电磁场与电磁波 第七章 导行电磁波
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导行电磁波
2 av 4 E 1 * i 0 ˆj S1 Re E1 H1 Re z sin k1z cos k1z 0 1 2
在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。
电磁场与电磁波
第七章
平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
图7-3 驻波和行驻波的电磁场振幅分布
Ei0 Er0
1
2
Et0
解得：
2 1 Er0 Ei0 2 1 22 Et 0 Ei0 2 1
Er0 2 1 令： Ei0 2 1
反射系数 ：分界面上反射波电场 强度与入射波电场强度之比。
Et 0 22 T Ei0 2 1
电磁场与电磁波
第七章
平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
例：有一频率 f 100MHz ，x 方向极化的均匀平面波， 从空气垂直入射到 z 0 的理想导体表面上， 设入射波电 场强度振幅为 6mV/m， 试写出： (1) 入射波电场强度 Ei 和 磁场强度 H i 的复数和瞬时表达式； (2) 反射波电场强度 Er 和磁场强度 H r 的复数和瞬时表达式； (3) 空气中的 合成场 E 和 H ； (4)空气中离界面第一个电场强度波腹 点的位置；
透射系数 T ：分界面上透射波电场 强度与入射波电场强度之比。
Er
z
Hr
反射波与折射波的特性由分界面两侧媒质的参数确定。
电磁场与电磁波
第七章
平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
二、平面波对理想导体表面的垂直入射
jk1z ˆ 入射波: E x E e i i0 E i 0 jk1z 1 ˆ ˆ H i z Ei y e
电磁场理论-导行电磁波
第7章 导行电磁波
上式给出了 g、 和 c 之间的关系。 c 由导波系统的截 面形状、尺寸和模式决定，可以根据具体导波结构求出。 对于 TEM 模， c ，所以 g
可见，TEM 模的波导波长等于填充相同介质的无界空 间中的波长。
(3) 相速
由vp
，可得
TE
和
TM
波相速：
vp
v
v
1 ( c )2
第七章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
电磁波除了在无限空间传播外，还可以在某种特定 结构的内部或周围传输，这些结构起着引导电磁波传输 的作用，这种电磁波称为导行电磁波(简称导波)，引导 电磁波传输的结构称为导波结构。导波结构可以由金属 材料构成，也可以由介质材料构成，还可以由金属和介 质共同构成。这里主要讨论在其轴线方向上截面形状、 面积以及所填充媒质均不变的均匀导波结构。无限长的 平行双导线、同轴线、金属波导、介质波导以及微带传 输线等等都是常用的导波结构。
0
，可得：
对 TM 模
Ez 0
对 TE 模，由
(k 2
2
)Et
j
ez
t Hz
t Ez
可得
(k
2
2
)n
Et
j
n ez t H z
n t Ez
j
n ez t H z
0
j n ez t H z
j (n t Hz )ez j
(n ez )t H z
j
H z n
ez
H z 0 n
第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
1、纵向分量与横向分量的关系
导波结构中电磁场满足无源区域的麦克斯韦方程组：
H
电动力学教程 第7章 导行电磁波
对于TEM波，λc=∞，
0 g r r
7.2 矩形波导
矩形波导的结构如图所示，假定其内的填充介质为理想
介质。矩形波导内只能传播TE波或TM波而不能传播TEM波。 7.2.1 矩形波导中的TM波
2 Ez 2 Ez 2 k c Ez 0 2 2 x y
Ez ( x, y ) X ( x)Y ( y )
1 2
m n a b
2
2
截止波长
c
fc
2 m n a b
2 2
式中 v 1/ 为无限大介质中的电磁波的波速。
截止状态
当工作频率低于截止频率时，即 f < fc，γ为正实数，此
3. 横磁波(TM波)
7.1.1 横电磁波(TEM波)
根据纵横关系，横向场分量不为0的条件是
2 γTEM k2 0
即
γTEM jk jω με
定义 ：导行波的波阻抗 Z
导波系统中，沿波的传播方向构成右手螺旋关系的横 向电场和横向磁场之比，即 x
Ey Ex Z Hy Hx
z
y
m n kc k k a b
2 x 2 y
在矩形波导中TE波的传输常数为
2 2 kc2 k 2 k x ky k2
m n 2 a b
2
2
(2) 当y=0时，Ez=0，
Ez c2c3 sin kx x 0
欲使上式对所有 x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零， 因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的 情况不符，因此只能取c3等于零。
《电磁场与电磁波》课件第七章
1
0 0
ln
D
d
120 ln
D
D d
2
2
d
300
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7-3 无损传输线的工作状态
• 一、波的反射 • 二、传输线中电压波的特点
• 三、传输线与负载的阻抗匹配
• 四、例题
一、波的反射
V ( z ) V0 e
I (z)
j z
V ( z ) V0 e
a
E 0 ( x , y ) dl V0e
jkz
任一导体在位置z处的电流为：
H ( x , y , z ) H 0 ( x , y )e
jk z z
I(z)
H ( x , y , z ) dl
l
I(z) e
jkz
l
H 0 ( x , y ) dl I 0e
I (z)
j z
V
0
e
j z
V0
e
j z
ZC
Rg
ZC
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Eg
ZC
ZL
z
V V
定义终端电压反射系数为：
(z 0) (z 0)
V0 V0
z0
传输线上各点的电压和电流分别为： 在z=0处
V ( z ) V (e
0 j z
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e
j
j z
)
E 1 x E 0 (e
i
jk 1 z
Re
j
电磁场与电磁波第七章
2.TE波和TM波 若电场在电磁波传播方向上的分量 Ez= 0 ，即电场仅在横
截面内，则此种波型称为横电波，简称 TE 波或 H 波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁场仅在横截面
内，则此种波型称为横磁波，简称 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波传输系统是单导
其中
T
1 k c2
h1u1
h2u2
h2 u 2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的 场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
决于传播常数 ，而 满足关系：
2
k
2 c
k2
（7-2-1）
对于无损耗的理想导行系统, k 2 是实数， 为工作
波长，kc 是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也
是实数。令 kc c
2 c
，c 称为截止波长。因此，随着工作
波长的不同， 2 的取值有三种可能，即 2 > 0， 2 < 0, 2 = 0。
E(u1 ,u2 , z) E(u1 ,u2 ) e- z （7-1-2a）
H (u1 ,u2 , z) H (u1 ,u2 ) e- z （7-1-2b）
第七章 导行电磁波
拉普拉斯算子可写为
2
2 T
2 z 2
（7-1-3）
将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 满足的方程为
截面内，则此种波型称为横电波，简称 TE 波或 H 波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁场仅在横截面
内，则此种波型称为横磁波，简称 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波传输系统是单导
其中
T
1 k c2
h1u1
h2u2
h2 u 2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的 场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
决于传播常数 ，而 满足关系：
2
k
2 c
k2
（7-2-1）
对于无损耗的理想导行系统, k 2 是实数， 为工作
波长，kc 是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也
是实数。令 kc c
2 c
，c 称为截止波长。因此，随着工作
波长的不同， 2 的取值有三种可能，即 2 > 0， 2 < 0, 2 = 0。
E(u1 ,u2 , z) E(u1 ,u2 ) e- z （7-1-2a）
H (u1 ,u2 , z) H (u1 ,u2 ) e- z （7-1-2b）
第七章 导行电磁波
拉普拉斯算子可写为
2
2 T
2 z 2
（7-1-3）
将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 满足的方程为
第七章导行电磁波
h2u2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
13
§7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的场
结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
若电场和磁场在传播方向上的分量 Ez 0 、Hz 0 ，
用以引导电磁波传输的装置称为导波装置，或称为传输 线或导行系统。在导波装置中沿一定方向传输的电磁波称为 导行电磁波。如果导波装置的横截面尺寸、形状、介质分布、 材料及边界均沿传输方向不变，则称之为规则导波装置。常 用的导行系统如图7-1所示。其中最简单、最常用的是矩形波 导、圆柱形波导和同轴线。
如果将一段波导的两端短路或开路，就可以构成微波谐 振器。
波kc为色0散，波因。而对，于其T相EM速波和，群k速c 都0是，频则率有的，函v数p ，v即g TEv波和TcrMr ，
第七章 导行电磁波
10
j由横乘向以方式程（7(7-1-1-9-9aa）) ，和对（式7-1（-97c-）1-9可c ）以作求得E T e、z HT运，算 用，
然后两式相加，并利用矢量恒等式 (A ) A A A B C ( A C ) B ( A B ) C ，整理可得
（7-1-7b） （7-1-7c）
T 2H z (u1,u2)kc 2H z(u1,u2)0
（7-1-7d）
第七章 导行电磁波
8
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 HT ，而是结合导行系统的边界条
第七章导行电磁波
ez
ET
（7-2-15）
第七章 导行电磁波
21
对于TEM波，有
Z WTEM
0
r 120 r
r r
（7-2-16）
4．传输功率
导行波的复坡印廷矢量为
S
1
E
H*
，利用式（7-2-15）
2
可得，沿导行系统 + z 方向传输的平均功率为
P
1 2
Re
Σ
(E
H*
)
dΣ
1 2
Re
Σ
(ET
而在其内部不存在传导电流。因此，横向磁场必然要由纵向电场
所产生的位移电流 j Ez 来维系。而TEM波的纵向场为零，
所以不可能存在TEM波。 2.TE波和TM波 若电场在电磁波传播方向上的分量 Ez 0 ，即电场仅在横截
面内，则此种波型称为横电波，简称TE波或H波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 H z 0 ，即磁场仅在横截
2 c
， c
称为截止波长。
因此，随着工作波长的不同， 2 的取值有三种可能，即
2 0 、 2 0 和 2 0 。
第七章 导行电磁波
16
1） 2
0，即
c
，则
为实数，导波场表示为
E(u1,u2 , z) E(u1,u2 )e- z
H (u1,u2 , z) H (u1,u2 )e-j z
第七章 导行电磁波
8
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 H T ，而是结合导行系统的边界条
件求解标量波动方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到纵向场分 量后，再利用场的横向分量与纵向分量之间的关系求得所有横 向分量。场的横向分量与纵向分量之间的关系式可由麦克斯韦 方程组导出。
2020年电磁场与电磁波第七章
如图所示矩形波导，宽边尺寸为a，窄边尺寸为b。
波导内填充介电参数为 , 的理想媒质，波导
壁为理想导体。由于矩形波导是单导体波导，故 不能传输TEM波。 7.2.1 矩形波导中的场分布 1. 矩形波导中TM波的场分布 对于TM波，因为 H z 0，波导中的电磁场量由 Ez 决定。在给定的矩形波导中，Ez 满足下面的波动 方向和边界条件：
Ex Hy
j
1
1
Hx
ZTM
Ey, Hy
ZTM
Ex
即：
H
1 ZTM
ez
E
2. 横电波(TE波)
在传播方向上没有电场分量，即 Ez 0 ,
Hx
kc
2
H z x
,Hy
kc2
H z y
Ex
j
kc2
H z y
, Ey
j
E y x
Ex y
jH z
H z y
H y
jEx
H z x
H x
jE y
H y x
H x y
jEz
可以将上面六式中的横向分量由纵向分量 给出：
式中
Hx
1 kc2
(
H z x
j
Ez y
)
Hy
1 kc2
f
v v 1 ( fc )2
f
其中 v 是无界空间的相速度
波阻抗：
波阻抗：
k 1 ( fc )2
ZTM
波导内填充介电参数为 , 的理想媒质，波导
壁为理想导体。由于矩形波导是单导体波导，故 不能传输TEM波。 7.2.1 矩形波导中的场分布 1. 矩形波导中TM波的场分布 对于TM波，因为 H z 0，波导中的电磁场量由 Ez 决定。在给定的矩形波导中，Ez 满足下面的波动 方向和边界条件：
Ex Hy
j
1
1
Hx
ZTM
Ey, Hy
ZTM
Ex
即：
H
1 ZTM
ez
E
2. 横电波(TE波)
在传播方向上没有电场分量，即 Ez 0 ,
Hx
kc
2
H z x
,Hy
kc2
H z y
Ex
j
kc2
H z y
, Ey
j
E y x
Ex y
jH z
H z y
H y
jEx
H z x
H x
jE y
H y x
H x y
jEz
可以将上面六式中的横向分量由纵向分量 给出：
式中
Hx
1 kc2
(
H z x
j
Ez y
)
Hy
1 kc2
f
v v 1 ( fc )2
f
其中 v 是无界空间的相速度
波阻抗：
波阻抗：
k 1 ( fc )2
ZTM
电磁场与电磁波理论第7章
1. 矩形波导中的TE模
♥ 矩形波导中的TE模的纵向场的解的特点
◘ 由于有无穷多组解，所以有无穷多个TE模；
◘ 每一对 值都对应着一种波型，故称之为 模；
◘
被称为波型指数或模指数；
◘ 式中的 是与激励源有关的待定常数；
◘ 对于 模， 不能同时为零，否则全部场分量为零。
◘ 最简单的TE模是 模和 模。
当
时，
模和 模是简并的
7-36
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
矩形波导的传播模式的传播参数
——所有波导中传播模式的传播常数的公式都是一样的
相位常数
波导波长
相速度
群速度
7-37
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
矩形波导的传播模式的传播参数
♥ 波导的传播常数中只有波型阻抗与传播的波型有关
第7章均匀波导中的导行电磁波
矩形波导的TE模和TM模的传播条件
♥ 矩形波导中传播的模式必须满足的条件是
（7.1.38）
◘ 对于给定频率的激励源，有可能产生许多的模式，但是只 有满足传播条件的模式才能在波导中传播。反之，要使某 一种模式能在波导中传播，其工作频率必须满足传播条件。
◘ 矩形波导的截止频率不仅与波导的尺寸有关，还与模指数 有关。因此，当波导的尺寸一定时，随着工作频率的的改 变，矩形波导可以多模传播，也可以单模传播，甚至也可 以处于截止状态（没有模式可以传播）。
◘ 解的形式以及待定常数的大小完全由边界条件和激励源决 定；
◘ 一旦确定了两个纵向场分量，将它们代入（7.2.1）～ （7.2.4）式就得到其余的横向场分量了。
7-19
《电磁场与电磁波理论》
电磁场与电磁波答案
第7章 导行电磁波1、 求内外导体直径分别为0.25cm 和 0.75cm 空气同轴线的特性阻抗； 在此同轴线内外导体之间填充聚四氟乙烯（ 2.1r ε=），求其特性阻抗与300MHz 时的波长。
解：空气同轴线的特性阻抗00.7560ln60ln =65.9170.25b Z a ==Ω 聚四氟乙烯同轴线:00.75=41.404ln345.487 0.25b Z a ===Ω80.69v m f λ==== 2、在设计均匀传输线时，用聚乙烯（εr ＝2.25）作电介质，忽略损耗⑴ 对于300Ω的双线传输线，若导线的半径为0.6mm ，线间距应选取为多少？⑵ 对于75Ω的同轴线，若内导体的半径为0.6mm ，外导体的内半径应选取为多少？解：⑴ 双线传输线，令d 为导线半径，D 为线间距，则0110 ln , ln1 300 ln3.75, 25.5D L C D d dDZ dDD mm dμπεππ=====∴== ⑵ 同轴线，令a 为内导体半径，b 为外导体内半径，则0112 ln , 2lnb L C b a aμπεπ==01 ln 752 ln1.875, 3.91b Z abb mm aπ===∴==3、设无耗线的特性阻抗为100Ω, 负载阻抗为5050j -Ω, 试求：终端反射系数L Γ驻波比VSWR 及距负载0.15λ处的输入阻抗in Z 。
解：005050100112505010035L L L Z Z j j j Z Z j j---++Γ===-=-+-+-1 2.6181L LS +Γ===-Γ()()000250501000.15100210050500.15L in L j j tan Z jZ tan d Z d Z Z jZ tan d j j tan πλβλπβλλ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==⨯+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭43.55 +34.16j =4、一特性阻抗为50Ω、长2m 的无耗线工作于频率200MHz ，终端阻抗为4030j +Ω，求其输入阻抗in Z 。
电磁场与波课件教学PPT-第七章 导行电磁波-精品文档
2Exk2Ex0， 2Hxk2Hx0 —— 横向场方程 2Eyk2Ey0， 2Hyk2Hy0
2 E z k 2 E z 0 ， 2 H z k 2 H z 0—— 纵向场方程
利用解形式化简为：
由于
Ez(x,y,z)Ez(x,y)ez Hz(x,y,z)Hz(x,y)ez
xa
O
边界条件：Ez |x00 Ez |xa0 Ez |y00 Ez |yb0
分离变量法求解偏微分方程： E z(x,y)f(x)g(y)
第七章 导行电磁波
16
电磁场与电磁波
偏微分方程化为微分方程求解：
f
(x)kx2
f
(x)
0
g(y)ky2g(y) 0
f(0)0, f(a)0 g(0)0, g(b)0
H z y
)
Ex
k
1
2 c
(
E z x
j
H z) y
Ey
1
k
2 c
(
E z y
j
H z) x
kc2 2 k2
9
电磁场与电磁波
2. 场方程（分析方法）
根据亥姆霍兹方程 2 E k 2 E 0 ， 2 H k 2 H 0 其场分量形式即为：
电磁场与电磁波
分类分析时变电磁场问题
共性问题
个性问题
0 t
电磁波的
j 典型代表 t
均匀平面波
电磁波的 传输
波导
电磁波的 辐射
天线
第4章
√
第5、6章
√√
第7章
第七章 导行电磁波
电磁场与电磁波七章讲解
的频率为矩形波导的截止频率或临界频率， 用 fc 表示。
对于尺寸为a×b的矩形波导，其传播常数为
k
2 x
k
2 y
k2
m
a
2
n
b
2
2
c
1
( m )2 ( n )2
a
b
fc
2
1
( m )2 ( n )2
a
b
尺寸为a×b的矩形 波导截止频率
14:01
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
关于矩形波导截止频率的说明：
cos
n
b
x
cos
n
b
y
e
z
y
e
z
H
y
j
kc2
m
a
E0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
e
z
式中：
kc2
kx2
k
2 y
2
k2
( m
a
)2
( n
b
)2
14:01
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
2 TEM
k2
0
TEM
k2 jk j
相速度：v p
k
电磁场与电磁波(第4版)第7章 导行电磁波
C.Y.W@SDUWH
2010
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
18
7.2.2 矩形波导中波的传播特性 在矩形波导中，TEmn 波和TMmn 波的场矢量均可表示为
Emn ( x, y, z ) = Emn ( x, y )e −γ mn z
H mn ( x, y, z ) = H mn ( x, y )e −γ mn z
H x ( x, y, z ) = H x ( x, y )e −γ z H y ( x, y, z ) = H y ( x, y )e −γ z H z ( x, y, z ) = H z ( x, y )e −γ z
Ex ( x, y, z ) = Ex ( x, y )e −γ z E y ( x, y, z ) = E y ( x, y )e −γ z Ez ( x, y, z ) = Ez ( x, y )e −γ z
13
设 Ez 具有分离变量形式，即 问题，即
代入到偏微分方程和边界条件中，得到两个常微分方程的固有值
⎧ f ′′( x) + k x2 f ( x) = 0 ⎨ ⎩ f (0) = 0, f (a ) = 0
2 ⎧ g ′′( y ) + k y g ( y ) = 0 ⎨ ⎩ g (0) = 0, g (b) = 0
C.Y.W@SDUWH
2010
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
10
2. 场方程 根据亥姆霍兹方程 故场分量满足的方程
∇ 2 E + k 2 E = 0，∇ 2 H + k 2 H = 0
∇ 2 E x + k 2 E x = 0，∇ 2 H x + k 2 H x = 0 ∇ 2 E y + k 2 E y = 0，∇ 2 H y + k 2 H y = 0
电磁场与电磁波答案
电磁场与电磁波答案第7章导⾏电磁波1、求内外导体直径分别为0.25cm和0.75cm 空⽓同轴线的特性阻抗；在此同轴线内外导体之间填充聚四氟⼄烯( r 2.1)，求其特性阻抗与300MHz时的波长。
解：空⽓同轴线的特性阻抗b 0.75Z0 601 n 601 n =65.917a 0.25聚四氟⼄烯同轴线：_60_ in 075=41.4041n3 45.487.2.1 0.252、在设计均匀传输线时，⽤聚⼄烯( & r = 2.25 )作电介质，忽略损耗⑴对于300Q的双线传输线，若导线的半径为0.6mm,线间距应选取为多少？⑵对于75Q的同轴线，若内导体的半径为0.6mm,外导体的内半径应选取为多少?解：⑴双线传输线，令d为导线半径，D为线间距，则D in 3.75, D 25.5mm d⑵同轴线，令a为内导体半径，b为外导体内半径，则波⽐VSWR及距负载0.15处的输⼊阻抗Z in。
3 108300 106..2.10.69mL1oi b2 ln a' C121 b inaZ O5丄I1---ln b75C12■ r ain b 1.875, b 3.91mma3、设⽆耗线的特性阻抗为100 ,负载阻抗为50 j50试求：终端反射系数解:Z L Z O 50 j50 100Z L Z O 50 j50 1001 2j51 I L|1⼩2.6181 .5 5Z043.55 +j 34.164、⼀特性阻抗为50Q 、长2m 的⽆耗线⼯作于频率 200MHz 终端阻抗为40 j30 , 求其输⼊阻抗Z in 。
解：输⼊阻抗：z in Z 0Z LjZ °tan z⼩ 8 8 / “ 1.5, z2 ,tan 1.732f33Z in 26.32 j9.875、在特性阻抗为200的⽆耗双导线上,测得负载处为电压驻波最⼩点，V min 为8V,距负载/4处为电压驻波最⼤点，V 为10V,试求负载阻抗 Z L 及负载吸收的功率maxP L 。
电磁场与电磁波问题详解
第7章 导行电磁波1、 求内外导体直径分别为0.25cm 和 0.75cm 空气同轴线的特性阻抗； 在此同轴线内外导体之间填充聚四氟乙烯（ 2.1r ε=），求其特性阻抗与300MHz 时的波长。
解：空气同轴线的特性阻抗00.7560ln60ln =65.9170.25b Z a ==Ω 聚四氟乙烯同轴线:00.75=41.404ln345.487 0.25b Z a ===Ω80.69v m f λ==== 2、在设计均匀传输线时，用聚乙烯（εr ＝2.25）作电介质，忽略损耗⑴ 对于300Ω的双线传输线，若导线的半径为0.6mm ，线间距应选取为多少？⑵ 对于75Ω的同轴线，若内导体的半径为0.6mm ，外导体的内半径应选取为多少？ 解：⑴ 双线传输线，令d 为导线半径，D 为线间距，则0110 ln , ln1 300 ln3.75, 25.5D L C D d dDZ dDD mm dμπεππ=====∴== ⑵ 同轴线，令a 为内导体半径，b 为外导体内半径，则0112 ln , 2lnb L C b a aμπεπ==01 ln 752 ln1.875, 3.91bZ abb mm aπ===∴==3、设无耗线的特性阻抗为100Ω, 负载阻抗为5050j -Ω, 试求：终端反射系数L Γ驻波比VSWR 及距负载0.15λ处的输入阻抗in Z 。
解：005050100112505010035L L L Z Z j j j Z Z j j ---++Γ===-=-+-+-1 2.6181L L S+Γ===-Γ()()000250501000.15100210050500.15L in L j j tan Z jZ tan d Z d Z Z jZ tan d j j tan πλβλπβλλ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==⨯+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭43.55 +34.16j =4、一特性阻抗为50Ω、长2m 的无耗线工作于频率200MHz ，终端阻抗为4030j +Ω，求其输入阻抗in Z 。
第七章 导行电磁波
方程式
矩形波导形状如下图示，宽壁的内尺寸为 a ，窄壁的内尺寸为 b 。 已知金属波导中只能传输 TE 波
y
及TM 波，现在分别讨论他们在矩形 波导中的传播特性。
b z
,
a x
若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。按 照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量， 然后即可计算其余各个分量。
H 0 nπ
Ey j
H 0 mπ
mπ nπ jk z z x cos y e sin a a b
式中 m, n 0, 1, 2, ，但两者不能同时为零。由上式可见，与TM波一 样，TE波也具有前述多模特性，但此时m 及 n不能同时为零。因此，TE
式中 kc2 k 2 kz2
电磁场与电磁波 这样，只要求出 z 分量，其余分量即可根据上述关系求出。z 分量 为纵向分量，因此这种方法又称为纵向场法。
在圆柱坐标系中，同样可用 z 分量表示 r 分量和 分量。其关系
式为
Er 1 Ez H z j k j z 2 kc r r
电磁场与电磁波
类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为
mπ nπ jk z z H z H 0 cos x cos y e a b
Hx j Hy j Ex j
k z H 0 mπ mπ nπ jk z z x cos y e sin 2 kc a a b k z H 0 nπ mπ nπ jk z z x sin y e cos 2 kc b a b kc2 kc2 mπ nπ cos x sin b a b y e jk z z
矩形波导形状如下图示，宽壁的内尺寸为 a ，窄壁的内尺寸为 b 。 已知金属波导中只能传输 TE 波
y
及TM 波，现在分别讨论他们在矩形 波导中的传播特性。
b z
,
a x
若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。按 照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量， 然后即可计算其余各个分量。
H 0 nπ
Ey j
H 0 mπ
mπ nπ jk z z x cos y e sin a a b
式中 m, n 0, 1, 2, ，但两者不能同时为零。由上式可见，与TM波一 样，TE波也具有前述多模特性，但此时m 及 n不能同时为零。因此，TE
式中 kc2 k 2 kz2
电磁场与电磁波 这样，只要求出 z 分量，其余分量即可根据上述关系求出。z 分量 为纵向分量，因此这种方法又称为纵向场法。
在圆柱坐标系中，同样可用 z 分量表示 r 分量和 分量。其关系
式为
Er 1 Ez H z j k j z 2 kc r r
电磁场与电磁波
类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为
mπ nπ jk z z H z H 0 cos x cos y e a b
Hx j Hy j Ex j
k z H 0 mπ mπ nπ jk z z x cos y e sin 2 kc a a b k z H 0 nπ mπ nπ jk z z x sin y e cos 2 kc b a b kc2 kc2 mπ nπ cos x sin b a b y e jk z z
《电磁场与电磁波》第7章
γ为0时，导波处于传播和截止的分界点。
截止波数 kcmn
( m )2 ( n )2
a
b
与介质的参数无关，仅与波导的结构尺寸有关,即截止波数是反映
波导本身尺寸特征的参数。
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电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
TE波、TM波的传播特性：
kc2 k2 j
E(x, y, z) E(x, y)e z H (x, y, z) H (x, y)e z
)
Ex
1 kc2
(
Ez x
j
H z y
)
Ey
1 kc2
(
Ez y
j
H z x
)
kc2 2 k2 k
kc称为截止波数，不同于： jkc
证明思路：从麦克斯韦方程组出发
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电磁场与电磁波
证明：
第7章 导行电磁波
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
波导中时谐场的数学模型—以直角坐标系为例
对于均匀波导，导波的电磁场矢量为
E(x, y, z) E(x, y)e z H (x, y, z) H (x, y)e z
场分量：
振幅方向任意，振幅大小与Z无关。
Ex (x, y, z) Ex (x, y)e z Ey (x, y, z) Ey (x, y)e z Ez (x, y, z) Ez (x, y)e z 其中：
—— 横向场方程
2Ez k 2Ez 0，2Hz k 2Hz 0 —— 纵向场方程
如果电磁场的横向分量可用纵向分量表示，即可只求解纵向场方程。
将直角坐标系下的模型代入纵向场方程：
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7.1.1
TEM波
对于TEM波，因为 Ez 0 和 H z 0 ，所以，除非 kc2 2 k 2 0 ，否则由式（7.1.5a）到（7.1.5d） 只能得到0解。因此，对于TEM波有
2 TEM
k 0
2
从而可得到波导中的TEM波的传播特性： 传播常数 jk j
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第7章 导行电磁波
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2. 场方程 根据亥姆霍兹方程 故场分量满足的方程
2 2 2 E k E 0， H k H 0
2
2 E x k 2 E x 0， 2 H x k 2 H x 0 E y k E y 0， H y k H y 0
kc2 2 k 2
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第7章 导行电磁波
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推导过程
Ez Ez E y j H x j E y j ( j H x ) y y 消去Ey H z H z H x j E y j E y Hx x x
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横向场分量与纵向场分量的关系
Ez 直角坐标系中展开 E y j H x y Ez Ex j H y E j H x E y Ex j H z x y 直角坐标系中展开 H z H y j Ex y H z H j E H x j E y x H y H x j Ez x y
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可知，波导中的横向场分量可由纵向场分量确定。
根据纵向场 Ez 和 Hz 的存在与否，对波导中传播的电磁 波进行如下分类。
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数学分析+物理意义=>实际应用
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1. TEM波传输线
平行双导线是最简单的TEM波传输线，随着工作频率的升高， 其辐射损耗急剧增加，故双导线仅用于米波和分米波的低频段。
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1、场矢量 对于均匀波导，导波的电磁场矢量为 z E ( x, y, z ) E ( x, y )e H ( x, y, z ) H ( x, y )e z 场分量：
Hy Ex Ey
H z
kc2 y j H z kc2 y
j H z kc2 x
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TE波的波阻抗
ZTE
TE 波电场与磁场的关系为
Ez H z 1 H x 2 (j ) kc y x Ez H z 1 H y 2 (j ) kc x y H z 1 Ez Ex 2 ( j ) kc x y H z 1 Ez E y 2 ( j ) kc y x
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第7章 导行电磁波
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7.1 导行电磁波概论
分析均匀波导系统时， 做如下假定： ★ 波导是无限长的规则直波 导，其横截面形状可以任
意，但沿轴向处处相同，
沿z 轴方向放置。 ★ 波导内壁是理想导体，即 = 。
★ 波导内填充均匀、线性、各向同性无耗媒质，其参数 、
和 均为实常数。 ★ 波导内无源，即 ＝0，J ＝0。 ★ 波导内的电磁场为时谐场。波沿 + z 方向传播。
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3
导波系统中电磁波的传输问题属于电磁场边值问题，即 在给定边界条件下解电磁波动方程，这时我们可以得到导波 系统中的电磁场分布和电磁波的传播特性。在这一章中，将 用该方法讨论矩形波导、圆波导和同轴线中的电磁波传播问 题以及谐振腔中的场分布及相关参数。 当边界比较复杂时，用这种方法得到解析解就很困难。 如果是双导体导波系统且传播的电磁波频率不高，就可以引 入分布参数，用“电路”中的电压和电流等效前面波导中的 电场和磁场，这种方法称为“等效传输线法”。
TEM
相速度
vp
1
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波阻抗
ZTEM
Ex H y j
电场与磁场的关系
H
1 ZTEM
ez E
从以上的分析可知，导波系统中的TEM波的传播特 性与无界空间中的均匀平面波的传播特性相同。
(1) (2)
(1)+(2)得
Ez H z j H x 2H x y x
k 2 2
j
Ez H z k 2 2 Hx y x
Ez H z 1 Hx 2 j 2 y x k
Hx Ez H z 1 (j ) 2 kc y x
Hx
Hz 0
E H 1 H y 2 (j z z ) kc x y H 1 E Ex 2 ( z j z ) kc x y H 1 E E y 2 ( z j z ) kc y x
2 2 2 2
—— 横向场方程
2 E z k 2 E z 0， 2 H z k 2 H z 0 —— 纵向场方程
电磁场的横向分量可用两个纵向分量表示，只需要考虑纵向 场方程。 由于
2 2 ( 2 2 kc2 ) Ez ( x, y ) 0 x y 2 2 ( 2 2 kc2 ) H z ( x, y ) 0 x y
E z ( x, y , z ) E z ( x, y ) e z H z ( x, y , z ) H z ( x, y ) e
z
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导行电磁波 —— 被限制在某一特定区域内传播的电磁波
导波系统 —— 引导电磁波从一处定向传输到另一处的装置 常用的导波系统的分类 ： TEM传输线、金属波导管、表面波导。
Ex j Hy
E = ZTE ez H
对于TM波和TE波，因为 Ez 0 或 H z 0 ，所以 2 2 2 kc k 0 ，因此TM波和TE波的传播 常数 2 2
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7.1.2 TM波和TE波
1、横磁波（ TM波） 在传播方向上没有磁场分量，即 H z 0 。故 由式（7.1.5a）到（7.1.5d）得到TM波的纵向场 分量和横向场分量关系
Hx Ez H z 1 (j ) 2 kc y x
Hx
Ez 0
H z
kc2 x
E H 1 H y 2 (j z z ) kc x y Ex Ey H z 1 Ez ( j ) kc2 x y H z 1 Ez ( j ) 2 kc y x
ZTM
Ex H y j
TM波电场和磁场的关系为
1 H ez E ZTM
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2、横电波（ TE波） 在传播方向上没有电场分量，即 Ez=0 。故 由式（7.1.5a）到（7.1.5d）得到TE波的纵向场 分量和横向场分量关系
E x ( x, y , z )、E y ( x, y, z )、H x ( x, y , z )、H y ( x, y, z ) —— 横向分量
E z ( x, y, z )、H z ( x, y, z ) —— 纵向分量
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导波的分类 如果 Ez= 0， Hz= 0，E、H 完全在横截面内，这种波被称为 横电磁波，简记为 TEM 波，这种波型不能用纵向场法求解； 如果 Ez 0， Hz= 0 ，传播方向只有电场分量，磁场在横截 面内，称为横磁波，简称为 TM 波或 E 波； 如果 Ez= 0， Hz 0 ，传播方向只有磁场分量，电场在横 截面内，称为横电波，简称为 TE 波或 H 波。