高二上学期数学期末考试卷含答案

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2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的渐近线方程是（）A ．23y x =± B ．32y x =±C ．y =D ．y = 【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为22132x y -=，所以a b =，所以渐近线方程为b y x a =±=．故选：D2．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（） A ．cos ||||v v μθμ⋅=B ．||cos ||||v v μθμ⋅=C ．sin |||vv μθμ⋅=∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=【答案】D【分析】由线面角的向量求法判断【详解】由题意得||sin ||||v v μθμ⋅=，故选：D3．若抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 的方程为（） A ．22x y =- B ．22x y =C ．24x y =-D ．24x y =【答案】D【分析】由已知条件可得12p=，求出p ，从而可求出抛物线的方程. 【详解】因为抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，所以12p=，得2p =，所以抛物线方程为24x y =，故选：D4．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【分析】设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，当1x x <或23x x x <<或4x x >时，0fx，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增，在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ，所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点. 故选：C ．5．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（）A ．1B ．2C D ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .6．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.7．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．（1B ．（1C ．∞）D ．，＋∞）【答案】C【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由题意得2b a >，所以双曲线的离心率c e a ==故选：C.8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '-<，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是（）． A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,∞∞--⋃+ C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】D 【分析】记()()(),0f x g x x x=≠.判断出()g x 的奇偶性和单调性，即可解不等式. 【详解】记()()(),0f x g x x x=≠.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -= 因为()()()()f x f x g x g x x x --==-=--，所以()g x 为奇函数，所以()()()()222222f fg g --==-=--. 因为()20f -=，所以()()220g g -==. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以()g x 在()0,∞+上单减.因为()g x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 在(),0∞-上单减. 不等式()0f x x>即为()0g x >.当0x >时， ()g x 在()0,∞+上单减，且()20g =，所以()0g x >的解集为()0,2；当0x <时， ()g x 在(),0∞-上单减，且()20g -=，所以()0g x >的解集为(),2-∞-. 综上所述：()0f x x>的解集为()(),20,2-∞-.故选：D二、多选题9．下列导数运算正确的有（）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=【答案】BC【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，故错误；对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确；对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确；对于D ， ()()''11ln 222x x x x==，故错误. 故选：BC.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（）． A ．88a = B ．15120S = C ．11a < D ．22a >【答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得：88a =.故A 正确；对于B ：()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=.故B 正确；对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-. 因为1d >，所以11a <.故C 正确；对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-. 因为1d >，所以22a <.故D 错误. 故选：ABC11．已知曲线1C ：函数()nx m f x x m+=-的图像，曲线()()2222:12C x y r -+-=，若1C 的所有对称轴平分2C ，且1C 与2C 有公共点，则r 的值可以等于（）．ABCD ．3【答案】BD【分析】先将()f x 整理成()nm mf x n x m+=+-可得()f x 的所有对称轴都经过(),m n ，故可求得1,2m n ==，再计算()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离即可求得答案【详解】因为()nx m nm mf x n x m x m++==+--，且()f x 是由nm m y x +=向右平移m 个单位长度，向上平移n 个单位长度得到，nm my x+=的所有对称轴都经过()0,0，所以()nx m nm mf x n x m x m++==+--的所有对称轴都经过(),m n ，因为1C 的所有对称轴平分2C ，所以1C 的所有对称轴经过2C 的圆心()1,2M ，所以1,2m n ==，所以()321f x x =+-，设函数()f x 图象上的动点3,21P x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，则()()2233121611MP x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当311x x -=-时，取等号，所以()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离为6，若1C 与2C 有公共点，则6r ≥ 故选：BD12．我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo ．新Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线:1nnC x y +=，则下列有关曲线C 的说法中正．确．的是（）．A ．对任意的n ∈R ，曲线C 总关于原点成中心对称B ．当0n >时，曲线C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C ．当01n <<时，曲线C 围成的图形面积可以为2D ．当1n =-时，曲线C 上的点到原点最近距离为22【答案】ABD【分析】对于A ：利用代数法验证；对于B ：直接求出曲线C 过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，即可判断；对于C ：先判断出||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2，再判断出1n nx y +=在||||1x y +=内部,即可判断；对于D ：表示出距离222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭.令()11x t t -=>-,利用基本不等式求出最小值.【详解】对于A ：在曲线:1nnC x y +=中,以x -替换x ,以y -替换y ,方程不变,则曲线C 关于原点成中心对称.故A 正确；对于B,当0n >时,令0x =,得1y =±；令0y =,得1x =±.曲线C 总过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--.故B 正确；对于C ：当01n <<时,由1n nx y +=,得:1,1x y ≤≤,且等号不同时成立. ∴||||||||1n n x y x y +>+=.又||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2222⨯=，且1n nx y +=在||||1x y +=内部,则曲线C 围成图形的面积小于2.故C 错误.对于D ：当1n =-时,曲线C 的方程为：11||||1x y --+=.不妨令,x y 均大于0,曲线化为111x y +=，即1x y x =-，则222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭. 令()11x t t -=>-,则2222222112(1)2228t t d t t t t t t ++=++=++++≥=，当且仅当221t t =且22t t=,即1t =时等号成立.结合对称性可知,曲线C上点到原点距离的最小值为故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，则1234a a a a ++的值为______．【答案】14##0.25【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】{}n a 是公比为2的等比数列，121113411123148124a a a a a a a a a a ++∴===++ 故答案为：14.14．设点P是曲线32y x =+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【答案】20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】求出23'=y xtan α≥α的范围可得答案. 【详解】∵23y x '=≥∴tan α≥ 又∵0απ≤≤， ∴02πα≤<或23a ππ≤< 则角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.15．已知数列{}n a 满足()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数m 的取值范围是______．【答案】1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由123456a a a a a a <<<<<解出1111m -<，由对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，解出1117m ->，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】因为()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<，所以()()()()()()222222111212313414515616m m m m m m --⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯，解得：1111m -<. 因为对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，由二次函数的性质可得：()()101910212m m ⎧--<⎪+⎨-<⎪--⎩，解得：1117m ->. 所以1111711m <-<，解得：10161117m <<. 所以实数m 的取值范围为1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(]1,01e ⎧⎫-∞+⎨⎬⎩⎭【分析】方程2l en 1xx ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1x f x xx x +=+的图象，即可求解【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，令()()2ln 10e ,x x x x xf x -++=>，则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛⎫-+⋅- +⎪⎭+⎝'= ()222231l e l e n e n x x x x x x x x xx x ----+==-⋅-- 令()()()2211ln e e ln xxx x h x x x x x --⋅=-++⋅=，注意到()10h =，则()10f '=，且当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><，所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <；当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>，所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >；所以当()0,1x ∈时，0fx，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；又()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>，当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立；当0x →时，()f x →-∞；所以()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>的大致图象为：由2ln 1e xx a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，由图象可知0a ≤或11ea =+时满足条件，所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时，实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭故答案为：(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭四、解答题17．已知函数321()213f x x x =-++.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值.【答案】（1）单调递增区间为[]0,4；单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；（2）()min 1f x =；()max 193f x =. 【解析】（1）求出导函数，令0fx，求出单调递增区间；令()0f x '<，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域是R ， 2()4f x x x '=-+，令()0f x '≥，解得04x ≤≤ 令()0f x '<，解得>4x 或0x <，所以()f x 的单调递增区间为[]0,4，单调减区间为(),0∞-和()4,+∞； (2)由()()1f x 在[)1,0-单调递减，在[]0,2单调递增，所以()()min 01f x f ==，而()81928133f =-++=，()11012133f -=++=，故最大值是()9231f =. 18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）利用准线方程2p x =-求解（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2p x =-过()1,0M - 故12p -=-，则2p = 抛物线方程为24y x =（2）设切线方程为1x my =-与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。

河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．直线的倾斜角为（） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误；对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时，取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。

2022-2023学年福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试卷含答案

永春一中20221-2023学年（上）期末考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()()11,0,1,0,2a b ==- ，，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．15C ．35D ．752．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足132nn n a a ++=⋅，则11S 的值为（）A ．4093B ．4094C ．4095D ．40963．已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-4．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11AC 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1A G =（）A ．73B ．279C ．273D．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．355D ．526．设等差数列{}n a 的前n 项的和为527,9,16n S a a a =+=，则下列结论不正确的是（）A ．21n a n =-B ．3616a a +=C ．2n S n n=+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 和为21nn +7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该拋物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆22:49O x y +=，直线l 过点(2,6)N ，且交圆O 于,P Q 两点，点M 为线段PQ 的中点，则下列结论正确的是（）A ．点M 的轨迹是圆B ．||PQ 的最小值为6C ．若圆O 上仅有三个点到直线l 的距离为5，则l 的方程是43100x y -+=D ．使||PQ 为整数的直线l 共有16条10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，记121nin i aa a a ==++⋅⋅⋅+∑，则下列结论正确的是（）A ．934a =B ．()2233n n n a a a n -+=+≥C ．20212202120221i i aa a ==⋅∑D ．201920211ii aa ==∑11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点()3,0F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率是22B ．线段AB 长度的取值范围是(0,32+C ．ABF △面积的最大值是)9214+D ．OAB 的周长不存在最大值12．在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AD AA P ∠====为1CC 中点，点Q 满足][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦.下列结论正确的是（）A ．若12λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若AQ 平面1A BP ，则1AQ C Q +10310+C ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B A O ⋅为定值2D ．若17A Q =，则点Q 的轨迹长度为23π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，16题，第一空答对得2分，共20分．13．在空间直角坐标系O xyz -中，()2,1,1A ，(),0,5B b ，()0,,4C c ，若四边形OABC 为平行四边形，则b c +=________.14．设函数()3221f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若函数()y f x '=的图象的顶点的横坐标为12-，且()10f '=，则ba的值为__________.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆交C 于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第三象限，若113AF BF ≤，则C 的离心率的取值范围是__________.16．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程：()222253log 1nn n n x x x ++++=的实根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =_____；若πsin 2n n n b a =⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，则2022S =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知曲线31:C y x =和22:2,(R)C y ax x a =+-∈.(1)若曲线1C ､2C 在1x =处的切线互相垂直，求a 的值；(2)若与曲线1C ､2C 在0x x =处都相切的直线的斜率大于3，求a 的取值范围.18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点),(1,0)(1,2A B -.(1)若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||3MN =l的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得222||||1PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，PC ⊥底面ABCD ，且1,PC BC E ==是棱PB 上动点.(1)若过C ，D ，E 三点的平面与平面PAB 的交线是l ，证明：//CD l(2)线段PB 上是否存在点E ，使二面角P AC E --的余弦值是23？若存在，求PE PB 的值；若不存在，请说明理由.20．（本题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中，*N n ∈.(1)若12a =，2nn b =.①求数列{}n a 的通项公式；②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？21．（本题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线C 上一点，12121cos ,24F PF PF PF ∠==，且焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 为双曲线C 的左顶点，点(),0B t 为x 轴上一动点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,M N 两点，直线,AM AN 分别交直线2a x =于,S T 两点，若π02SBT ∠<<，求t 的取值范围.22．（本题满分12分）已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n +∈N，其中1x 为正实数．(1)用n x 表示1n x +；(2)若14x =，记2lg2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式．(3)若14,2n n x b x ==-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：3n T <．。

2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)

EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2

北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案

海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。

浙江省金华市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

金华2023学年高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.空间直角坐标系中，点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影，则OB =（）A.5B.25C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出B 点坐标，然后直接用距离公式计算即可.【详解】由点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影可得()340B ，，，则5OB == .故选：A.2.椭圆C ：221169x y +=的左焦点为F ，椭圆上的点1P 与2P 关于坐标原点对称，则12||||PF P F +的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令椭圆C 的右焦点F '，由已知条件可得四边形12PFP F '为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C 的右焦点F '，依题意，线段12PP 与FF '互相平分，于是得四边形12PFPF '为平行四边形，因此21||||P F PF '=，而椭圆C ：221169x y +=的长半轴长4a =，所以1211||||||||28PF P F PF PF a '+=+==.故选：D3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，则63a a =（）A.8- B.8C.1或8- D.1-或8【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则因为313S a =，所以12313a a a a ++=，即220q q +-=，解得1q =或2q =-，所以3631a q a==或8-.故选：C.4.攒（cuán ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A.B.C. D.6π【答案】B 【解析】【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中6AB =，23ACB π∠=，所以,36CAB AO π∠==，所以3cos6AO AC π===，所以圆锥的侧面积3S rl ππ==⨯=.故选：B5.已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】写出圆C 的圆心和半径，求出AC 距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r，所以AC ===≥所以点A 到圆C上点的最小距离为32222=.故选：C.6.直线12y xt =+与曲线y =相切，且与圆()2220x y r r +=>相切，则r =（）A.15B.C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】先由直线与曲线y =求出t ，再由直线与圆相切即可求出r【详解】设直线12yx t=+在曲线y=上的切点为(0x ，则()012f x '==，解得01x =，故切点坐标为()1,1，将()1,1代入直线12y x t =+中，解得12t =，所以直线方程为1122y x =+，即210x y -+=，又210x y -+=与圆()2220x y r r +=>相切，则55r ==，故选：B7.在数列{}n a 中，11n n na na a +=+，若46n a =，11a =，则n 的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得1n n n a a +-=，利用累加法可得(1)12n n n a -=+，结合46n a =即可求出n 的值.【详解】由11n n na na a +=+，得1n n n a a +-=，所以21321121(2)n n a a a a a a n n --=-=-=-≥ ，，,，所以112(1)n a a n -=+++- ，又11a =，所以(1)1(2)2n n n a n -=+≥，又11a =满足，所以(1)12n n n a -=+由46n a =，解得10n =.故选：B8.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以2OF 为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于,O M 两点，且PO 平分APM ∠，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，2F P OP ⊥，OM PM ⊥，所以2F P b =，OP a =因为OA a =，所以PAO APO∠=∠又因为PO 平分APM ∠，所以2APM PAO ∠=∠，由90APM PAO ∠+∠=︒，得30PAO ∠=︒，所以260POM PAO ∠=∠=︒，即tan 60ba=︒=所以2e ==故选：B二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知点M 椭圆22:4936C x y +=上一点，椭圆C 的焦点是12,F F ，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C 的长轴长是9B.椭圆C 焦距是C.存在M 使得1290F MF ∠=D.三角形12MF F 的面积的最大值是【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.【详解】22224936194x y x y +=⇒+=，所以229,43,2,a b a b c ==⇒===，对于A ：因为3a =，所以长轴为26a =，A 错误；对于B ：因为c =，所以焦距为2c =B 正确；对于C ：当M 取到上顶点时此时12F MF ∠取到最大值，此时123MF MF a ===，122F F c ==所以(22212331cos 02339F MF +-∠==-<⨯⨯，所以此时12F MF ∠为钝角，所以存在M 使得1290F MF ∠= ，C 正确；对于D ：当M 取到上顶点时此时三角形12MF F 的面积取到最大值，此时122S c b =⨯⨯=D 正确，故选：BCD10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A.数列{}n a 是递减数列B.100a =C.9S 是n S 中最小项D.216S S <【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+，解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确；D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-，由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：B C11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则下列结论正确的是（）A.直线1DB 与平面AEF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.三棱锥D AEF -的体积为23D.点D 到平面AEF 的距离为43【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面AEF 的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B ；根据等体积法可求得三棱锥D AEF -的体积，可判断C ；利用空间距离的向量计算公式，可判断D .【详解】如图，以D 点为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,2,2),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,1),(2,0,2),(2,2,1)D B A E F A G ,对于A,1(2,2,2),(1,2,0),(2,2,1)DB AE AF ==-=-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，可取(2,1,2)n =，而1(2,2,2)DB = ，与(2,1,2)n =不平行，故直线1DB 与平面AEF 不垂直，故A 错；对于B ，1(0,2,1)AG =- ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,()()10,2,12,1,20A G n ⋅=-⋅=,1A G 不在平面AEF 内,故直线1A G 与平面AEF 平行，故B 正确；对于C ，11122213323D AEF F DAE DAE V V S FC --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ,故C 正确；对于D ，(2,0,0)DA = ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,,故点D 到平面AEF 的距离为||23||n DA d n ⋅===，故D 正确，故选：BCD12.已知抛物线2:4C y x =，点(2,0)M -，(2,0)P ，过点P 的直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，下列说法正确的有（）A.128y y =-B.AB的最小值为C.11AP BP +=D.AMP BMP∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】首先设直线l 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立，消去x ，得2480y my --=，分别写出12y y +，12y y 式子，然后逐项验证，对于A 直接得出，对于B 利用弦长公式再结合二次函数求最值即可，对于C ，直接利用两点间的距离公式计算即可，对于D ，利用0AM BM k k +=即可验证.【详解】设直线l 的方程为2x my =+，则由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理，得2480y my --=，因为直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则所以124y y m +=，128y y =-，故A 正确.AB ===≥，m =0时等号成立，故B 正确.AP ==1，同理，可得BP y =2，则AP BP +=11===≠2，故C 不正确.()()()()AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++1221121212212222()()()()()()()y my y my my y y y x x x x +++++==++++12211212121244242222.()()()m mx x -+⨯==++122844022,即AMP BMP ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.【点睛】解决本题的关键就是设出直线l 的方程为2x my =+，这样很大程度减小了运算量，联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线20x y ++=的倾斜角的是______．【答案】3π4【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线20x y ++=的斜率1-，设直线20x y ++=的倾斜角为α，则tan 1α=-，因为[0,π)α∈，所以3π4α=，故答案为：3π4.14.已知函数()()sin 20f x x xf '=-，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【答案】3-【解析】【分析】先求函数()()sin 20f x x xf '=-的导数，利用赋值法求出(0)f '，即可得函数解析式，从而求得π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由于()()2cos 20f x x f ''=-，所以(0)2cos0(0)f f =-''，解得(0)1f '=，所以()sin 2f x x x =-，则()2cos21f x x '=-，所以π32f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故答案为：3-15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m 连环，用n a 表示解下()n n m ≤个圆环所需的最少移动次数，若数列{}n a 满足：11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为偶数）个圆环所需的最少移动次数n a =___________.（用含n 的式子表示）【答案】121n --【解析】【分析】根据通项公式得到243n n a a -=+，构造出等比数列，进而求出121n n a -=-.【详解】因为n 为偶数，当4n ≥时，()12221222143n n n n a a a a ---=-=+-=+，即()2141n n a a -+=+，又2121211a a =-=-=，所以{}1n a +是以212a +=为首项，4为公比的等比数列，故1121242n n n a -+=⨯=，所以121n n a -=-，故答案为：121n --16.已知在平面直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足2PA PB=，则P 点的轨迹Γ为圆_______，过点A 的直线交圆Γ于两点C ，D ，且AC CD = ，则CD =______.【答案】①.()22516x y -+=②.【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =可得圆的方程，利用垂径定理可求CD =【详解】设(),P x y2=，整理得到221090x y x +-+=，即22(5)16x y -+=.因为AC CD = ，故C 为AD 的中点，过圆心()5,0作AD 的垂线，垂足为M ，则M 为CD的中点，则32AM CD ==解得CD =故答案为：22(5)16x y -+=，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 中，11a =，且122(*)n n n a a n N +=+∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析，12n n a n -=⋅（2）()121n n S n =-+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式可求n a .（2）利用错位相减法可求n S .【小问1详解】因为122(*)n n n a a n N +=+∈，111222n n n n a a ++∴-=∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-⨯=，12n n a n -∴=⋅.【小问2详解】0111·22·22n n S n -=+++⋅ ，2n S =()1112122n n n n -⋅++-⋅+⋅ ，12112222n n n S n -∴-=++++-⋅ ()121n n =-⋅-，()121n n S n ∴=-⋅+.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 是棱BC 的中点，（1）求异面直线11,AB DC 所成角的余弦值；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．【答案】（1）6（2）13【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出11,AB DC ,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面1B AD 和平面1ADC 的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(,,0)(0,1,1)22A B B C D C ，,1111(1,0,1),(,,1)22AB DC ==- ,所以111111cos ,6AB DC AB DC AB DC <>== ，所以直线11AB DC ，所成角的余弦值为6；【小问2详解】设(,,)m x y z = 为平面1B AD 的一个法向量，111(,,0),(1,0,1)22AD AB == ,则⋅A =12+12=0 ·B 1 =+=0,∴+=0+=0，1,1,1(1,1,1)x y z m ==-=-∴=-- 令则，，同理111(,,0),(0,1,1)22AD AC == ,则11100,220·0x y n AD x y y z n AC y z ⎧+=⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=+=⎩,可取平面1ADC 的一个法向量为(1,1,1)n =- ，则1cos ,3m n m n m n<>== ,由图可知二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为13.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点21,2M ⎛ ⎪⎝⎭，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆2212x y +=相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且AOB 的面积为23，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =±【解析】【分析】(1)将点M 、N 的坐标代入椭圆方程计算，求出a 、b 的值即可；(2)设l 的方程为：(0)y kx m k =+>，1122,,()()A x y B x y ，，根据直线与圆的位置关系可得2221m k =+，直线方程联立椭圆方程并消去y ，利用韦达定理表示出1212+、x x x x ，根据弦长公式求出AB ，进而列出关于k 的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，N ．则221112a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a b ==，2212x C y ∴+=椭圆的方程为【小问2详解】设l 的方程为：(0)y kx m k =+>l 与圆2212x y +=相切22212m k =∴=+，设点1122,,()()A x y B x y ，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由，∴（1+22)2+4B +22−2=0，则Δ>01+2=−4B 1+2212=22−21+22，12223AOB S AB =⨯=，12AB x ∴==-，3，3=，2221m k =+又，425410k k ∴--=，21k =∴，0k > ，1k ∴=，故211m m =⇒=±，1l y x ∴=±的方程为20.如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，4=AD ，AB =2，AC BD O = ，SO ⊥平面ABCD ，SO =13BF FC =uu u r uu u r ，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7（2）存在，M 与S 重合【解析】【分析】（1）分别取AB ，BC 中点M ，N ，易证,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD 的一个法向量(,,)m x y z = ，再由cos ,m EF m EF m EF⋅<>=⋅ 求解；（2）假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ，再求得平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，然后由0m n ⋅= 求解.【小问1详解】解：分别取AB ，BC 中点M ，N ，则OM ON ⊥，又SO ⊥平面ABCD ，则,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，1(2,1,0),(2,1,0)22A D ---则,),F(1,1,0)，所以3(0,,),(0,2,0),(2,1,22EF DC SC =-==- ，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，2020m SC x y m DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 则，200x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，22)x z m ==-∴=- 令则cos ,7m EF m EF m EF⋅<>==⋅ ，,m EF EF SCD <> 与与平面所成角互余，直线EF 与平面SBC所成角的正弦值为7.【小问2详解】假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD，(2,1,(2,,)SM SC λλλλ==-=- 设，1(12,,)22EM ES SM λλ=+=--+ 则，设平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z =，()30221312022n EF y z n EM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅=--+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩则，令1y =，则111(,1,2121z x n λλλλ--==∴=++ ，平面MEF ⊥平面SCD，22021m n λλ-∴⋅=-=+ ，0λ∴=，∴存在点,M MEF SCD ⊥使得平面平面，此时M 与S 重合.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.（1）证明：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3(1)log 1nn n n b a a =+--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得22024n T >的最小正整数n .【答案】（1）证明见解析，131n n a -=+（2）4【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系式化简出132n n a a -=-，再构造成()1311n n a a -=--即可证明为等比数列同时求出通项公式；（2）化简可得()(1)1n n n b a n =+--，再通过分组求和可得2n T ，判断2n T 的单调性即可求出22024n T >的最小正整数n .【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，()113122n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则()1311n n a a -=--，而110a -≠，所以数列{}1n a -构成以1为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】131n n a -=+，()()13(1)log 131(1)1n n n n n n b a a n -∴=+--=++--，{}n a 的前2n 项和22133122132n n n n --+=+-(){}(1)1nn --的前2n 项和()0123421n -+-+-+⋯+-()()()()01232221n n n⎡⎤=-++-++⋯+--+-=⎣⎦223132n n T n -∴=+2n T 单调递增且66313337320242T -=⨯+=<，883134329220242T -=⨯+=>所以使得22024n T >最小正整数n 为4.22.已知双曲线()2222:100x y a b a b Γ-=>>，过点P ，且Γ的渐近线方程为y =．（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧．①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）①[)6+∞，；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得22,a b ，即可得解；（2）①易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k ，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，则0∆>，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据弦长公式可求得AB ，同理可求得2k 的范围及CD ，再根据12ACBD S AB CD =⋅整理即可得出答案；②设直线AD 的方程为y kx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，根据0∆>求得,t m 的关系，利用韦达定理求得5656,x x x x +，再利用弦长公式求得AD ，易求得,M N 的坐标，即可求出MN ，再根据M ，N 为线段AD 的三等分点，可得3AD MN =，结合AB CD ⊥，可得两个等量关系，从而可得出结论.【小问1详解】解：由题意有b a =b =①，将点P 代入双曲线方程得22361a b -=②，联立①②解得2213a b ⎧=⎨=⎩，故Γ的方程为2213y x -=；【小问2详解】解：①，易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 整理得()22330k x --=，直线1l 与双曲线Γ交于两点，故230k -≠且()21230k ∆=->，则23k <，则1212230,3x x x x k +==--，则AB ==，联立22113y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()2223130k x k --=，直线2l 与双曲线Γ交于两点，故2310k -≠且()2212310k k ∆=->，解得213k >，则23434230,31k x x x x k +==--，则CD =，根据对称性可知四边形ACBD 为菱形，其面积12ACBD S AB CD =⋅====2133k << ，∴22116243k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，，∴(]222221616341(1)2k k k k =∈+++，，∴(]22216301(1)k k -∈+，，[)6ACBD S ∴∈+∞，；②，假设满足题意的直线AD 存在，易知直线AD 斜率存在，设直线AD 的方程为y tx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2223230t x tmx m ----=，则()230t -≠且()()222244330t m m t ∆=++->，解得23≠t 且223t m <+，由韦达定理有56225622333km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，则AD ===，不妨设M 为直线AD 与渐近线y =的交点，联立y tx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M ⎛⎫∴，同理可得N点的坐标为⎛⎫，则MN ==，因为M ，N 为线段AD 的三等分点，3AD MN =，=，整理得22830t m +-=，①AB CD ⊥ ，AO DO ∴⊥，则0AO DO ⋅=，即56560x x y y +=，()()56565656x x y y x x tx m tx m +=+++()()()222225656223211033m tm t x x tm x x m t tm m t t --=++++=++=--，整理得223230t m -+-=,②联立①②得2913t =-，无解，故没有满足条件的直线AD ．。

辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末考试数学含解析

2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学（答案在最后）（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．椭圆22169x y +=的短轴长为（）A ．B ．C ．3D ．62．5(1)x -的展开式中含2x 的项是（）A ．25x-B ．25xC ．210x -D ．210x3．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,3,5,0,2,2,2,,1A B C t ----，若,,A B C 三点共线，则t 的值为（）A ．2-B ．7-C ．10D ．134．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画时，可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，则可配成的不同颜色种数为（）A ．3256种B ．27种C ．3255种D ．6种5．若双曲线221412x y -=上一点P 到其右焦点的距离是8，则点P 到其左焦点的距离是（）A ．4B ．10C ．2或10D ．4或126．已知(61a -=+,a b 均为有理数），则a 的值为（）A ．90B ．91C ．98D ．997．已知抛物线2:4E y x =，圆22:2C x y x +=，过圆心C 作斜率为k 的直线l 与抛物线E 和圆C 交于四点，自上而下依次为,,,A M N B ，若2AM NB MN +=，则k 的值为（）A ．B ．C ．2±D ．28．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A ．90种B ．120种C ．160种D ．190种二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线:2210l x y ++=，则（）A ．()1,1m =-是直线l 的法向量B ．直线l 的倾斜角为135︒C ．直线1:0l x y n --+=与直线l 平行的充要条件是12n ≠D ．直线l 在两坐标轴上的截距相等10．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,0,0,1,1,2,2,3,1A B C -，则（）A ．5AB BC ⋅=-B ．AC =C ．异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为1530D ．OB 在BC 上的投影的数量为1411．已知()62370123732(1)x x a a x a x a x a x -+=+++++ ，则下列结论正确的是（）A ．02a =-B ．385a =C ．2370123722222916a a a a a +++++= D ．135732a a a a +++=12．离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆22121222:1(0),,,,x y C a b A A B B a b+=>>为顶点，12,F F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．长轴长为4，短轴长为52-B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21PO A B ∥D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆221:(2)(1)4O x y +++=和圆222:(1)(3)9O x y -+-=的位置关系是______．14．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．15．如图，在正六边形ABCDEF 中，以,F C 为焦点，且经过点,,,A E B D 的双曲线的离心率e =______．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是过顶点11,,,B D D B 的圆上的一点，Q 为1CC 的中点．当直线PQ 与平面ABCD 所成的角最大时，点P 的坐标为______；直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知()3266C C 1m m m -=≠，计算：1236678C C C C m m m m ++++++；（2）解方程：72343C 5A x x x ---=．18．（12分）如图，,M N 分别是四面体O ABC -的棱,OA BC 的中点，,P Q 是MN 的三等分点（点P 靠近点N ），记,,AO a AB b AC c ===．（1）以{},,a b c为基底表示OQ ；（2）若1,2,,32a b c OAB OAC CAB ππ===∠=∠=∠= ，求OQ ．19．（12分）圆22:8O x y +=内有一点()01,2P ，过点0P 的直线交圆O 于,A B 两点．（1）当0P 为弦AB 的中点时，求直线AB 的一般式方程；（2）若圆O 与圆22:(1)(1)9C x y +++=相交于,E F 两点，求EF 的长度．20．（12分）已知2nx x ⎛+ ⎝的展开式的所有二项式系数之和为64．（1）求该二项式及其展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．21．（12分）如图，AD BC ∥且2,,AD BC AD CD EG AD =⊥∥且,EG AD CD FG =∥且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；（2）求二面角E BC F --的平面角的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．22．（12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)6,0F，其渐近线与抛物线2C ：22y px =交于点(2．（1）求双曲线1C 及抛物线2C 的标准方程；（2）设A是双曲线1C与抛物线2C在第一象限的交点，作直线l与双曲线1C的两支分别交于点,M N，使得．求证：直线MN过定点．AM AN2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 【解析】在椭圆22169x y +=中，b =，所以短轴长为2b =．2．C【解析】5(1)x -的展开式的通项公式为515C (1)k kk k T x-+=⋅⋅-，所以含2x 的项是323245(1)10T C x x =⋅⋅-=-．3．B 【解析】因为()()2,5,3,4,3,6AB AC t =--=-- ，且,,A B C 三点共线，所以352t -=-⨯，解得7t =-．4．A【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成3256256256256⨯⨯=（种）不同的颜色．5．D 【解析】由双曲线的方程可得224,12a b ==，所以22,41216a c ==+=，可得4c =．设右焦点为F ，左焦点为F '．当点P 在左支上时，则6PF a c ≥+=，所以28224PF PF a =-=-⨯='；当点P在右支上时，282212PF PF a =+=+⨯='．6．D【解析】因为(61-的展开式的通项公式为616C (,(1kk k T a +=⋅-=+，所以(((2462466666C C C C 99a =+⨯+⨯+⨯=．7．A 【解析】如图，圆22:(1)1C x y -+=的圆心为()1,0C ，半径1r=，且(1,0)C 为抛物线2:4E y x=的焦点，抛物线E的准线方程为1x =-．设()()1212,,,A y B x y x ，则1212112AB AC BC x x x x =+=+++=++．因为24AM NB MN +==，所以6AB =，则124x x +=．设直线l 的方程为()1y k x =-，显然0k ≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，所以2122244k x x k++==，解得k =．8．B 【解析】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球．将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中即可，不同的放法共有216C 120=（种）．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．BD 【解析】A ：直线:2210l x y ++=的一个法向量为()2,2，但()1,1m =-与向量()2,2不共线，A错误；B ：直线:2210l x y ++=的斜率为1-，故倾斜角为135︒，B 正确；C ：把直线1:0l x y n --+=的方程改写为2220x y n +-=，则直线1l ，l 平行的充要条件是21n -≠，即12n ≠-，C 错误；D ：直线:2210l x y ++=在,x y 轴上的截距分别是11,22--，D 正确．故选：BD ．10．AC 【解析】A ：()()1,1,2,1,2,3AB BC =--= ，所以1265AB BC ⋅=-+-=-，A 正确；B ：()0,3,1AC = ，所以09110AC =++=B 错误；C ：()1,1,2OB =- ，所以1146OB =++=，所以异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为03215cos ,30610OB AC OB AC OB AC⋅==⨯⋅，C 正确；D ：14914BC =++= ，所以OB 在BC 上的投影的数量为1263141414OB BC BC⋅==-，D 错误．故选：AC ．11．ACD【解析】A ：令0x =，得()0212a =-⨯=-，A 正确；B ：6(1)x +的展开式的通项为()16C 0,1,2,,6k kk T x k +== ，所以233415,20T x T x ==，所以()632(1)x x -+的展开式中3x 项的系数()33152205a =⨯+-⨯=，B 错误；C ：令2x =，得()2376012372222322(12)2916a a a a a +++++=⨯-⨯+= ，C 正确；D ：令1x =，得()60127312(11)64a a a a ++++=⨯-⨯+= ．令1x =-，得01270a a a a -+--= ．两式相减，得()1357264a a a a +++=，所以135732a a a a +++=，D 正确．故选：ACD ．12．BD【解析】A ：当长轴长为4，短轴长为2-时，512,12a b a b e a-==-⇒==≠，A 不符合题意；B：当11290F B A ∠=︒时，2111211121tan tan OB OFB A A F B O b ac OA OB ∠==∠=⇒=，即222510102a ac c e e e ---=⇒--=⇒=，B 符合题意；C：当1PF x⊥轴，且21PO A B ∥时，21b PF a ==，且11121121tan tan OB PF B A A FOP b c a OA OF ∠==∠=⇒=⇒=，则25122c e a -==≠，C 不符合题意；D ：当四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 时，点O 到直线22A B 的距离为c ，此时42221sin 310cB A A e e e a∠===⇒=⇒-+=，解得2352e =．又2310122e e e --<<⇒=⇒=，D 符合题意．故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．外切【解析】根据两圆的方程可知()()1212,1,1,3,2O O r --=，23r =，所以12125O O r r ===+，所以两圆外切．14．216【解析】最左端排甲，共有55120A =（种）；最左端排乙，最右端不能排甲，有1444C A 96=（种），所以不同的排法共有12096216+=（种）．151+【解析】设正六边形ABCDEF 的半径为r ，如图，连接,FC DF ，则,2DC r FC r ==．又90CDF ∠=︒，所以DF =．依题意，双曲线的实轴长)21a DF DC r =-=-，焦距22c FC r ==，所以该双曲线的离心率212c e a ===．16．1)+150,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】过点O 作11B D 的垂线并延长，交 11B D 于点E ，易得()()0,2,1,1,1,1OE Q E =，所以(1,QE =-．由图可知当点P 在点E 的位置时，直线PQ 与平面ABCD所成的角最大．易得平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设直线QE 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,5QE nQE n QE nθ⋅===⋅，即直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为155．当PQ ∥平面ABCD 时，直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值最小，为0，所以直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是150,5⎡⎢⎣⎦．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）因为()3266C C 1m m m -=≠，所以326m m +-=，解得2m =，所以1231236678778C C C C C C C mm m m m m m +++++++++=++2388C C m m ++=+39C m +=59C =126=．（2）由72343C 5A x x x ---=，得()()()()33!54!7!4!6!x x x x --=--，即()()33654!x x --=，所以()()3640x x --=，解得1211,2x x ==-（舍去），所以原方程的解为11x =．18．解：（1）OQ OM MQ =+()1123AO MA AB BN=-+++()11112322a a b c b ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦211366a b c =-++ ．（2）2222411221936369918OQ a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅41121211112093699292=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+14=，所以12OQ = ．19．解：（1）直线AB 的斜率显然存在．因为0P 为弦AB 的中点，由垂径定理得0OP AB ⊥．又因为020210OP k -==-，所以12AB k =-，故直线AB 的方程为()1212y x -=--，整理，得直线AB 的一般式方程为250x y +-=．（2）228x y +=与22(1)(1)9x y +++=相减，得2210x y ++=，所以直线EF 的方程为2210x y ++=．圆心()0,0O 到直线EF的距离24d ==．由垂径定理得EF的长度为2==．20．解：（1）由题意，得264n =，解得6n =，所以该二项式为62x ⎛+ ⎝，则通项公式为：36662166C (2)C 2k k k k k k k T x x ---+==．令3602k -=，解得4k =，所以该二项式的展开式中的常数项为42416C 260T +==．（2）设第1k +项的系数最大，则6176661566C 2C 2,C 2C 2,k k k k k k k k ----+-⎧≥⎨≥⎩解得4733k ≤≤，则2k =，所以展开式中系数最大的项为2433216C 2240T x x +==．21．解：（1）法一：如图1，取DG 的中点为Q ，连接,NQ MQ ．又因为,M N 分别为,CF EG 的中点，所以,MQ CD NQ DE ∥∥．因为,CD DE ⊂平面,,CDE MQ NQ ⊄平面CDE ，所以MQ ∥平面,CDE NQ ∥平面CDE ．又因为,,MQ NQ Q MQ NQ =⊂ 平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面CDE ．因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面CDE．图1图2法二：以D 为坐标原点，建立如图2的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,2,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0,2D A B C E ，()()()30,1,2,0,0,2,1,0,2,0,,12F G N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()()0,2,0,2,0,2DC DE == ．设平面CDE 的法向量为()0000,,n x y z = ，则0000020,220,n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令01z =-，得()01,0,1n =- ．31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00MN n ⋅= ，即0MN n ⊥ ．又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（2）()()()1,0,0,1,2,2,0,1,2BC BE CF =-=-=- ．设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,220,n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1z =，得()0,1,1n = ．设平面BCF 的法向量为(),,m a b c = ，则0,20,m BC a m CF b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1c =，得()0,2,1m = ．设二面角E BC F --的平面角为θ，显然θ为锐角，所以二面角E BC F --的平面角的余弦值为310cos 10m n m n θ⋅===，则二面角E BC F --的平面角的正弦值为sin 10θ==．（3）设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()1,2,BP t =-- ．平面ADGE 的一个法向量为()10,1,0n = ．因为直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，所以12cos ,2n BP ==，解得t =．则(DP = ．由（1）知平面CDE 的一个法向量为()01,0,1n =- ，所以点P 到平面CDE的距离002n DPd n ⋅== ．22．解：（1）双曲线1C 的渐近线方程为b y x a =±．因为)F ，双曲线1C的渐近线过点(，所以226,b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩则双曲线1C 的标准方程为22124x y -=．由抛物线2C过点(，得22p =，则抛物线2C 的标准方程为22y x =．（2）由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+．联立221,24,x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()2222240k x kmx m ----=，则()()()222222Δ44248420k m k m m k =--+=+->，212122224,22km m x x x x k k --+==--，所以()12122422m y y k x x m k+=++=-，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++22222224222m k m k m k k --=⋅++--222242m k k-=-．联立2222,24,y x x y ⎧=⎨-=⎩解得2,2,x y =⎧⎨=±⎩所以()()()11222,2,2,2,2,2A AM x y AN x y =--=-- ．由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，即()()()()12122222AM AN x x y y ⋅=--+-- ()()12121212228x x y y x x y y =+-+-++222222242448802222m m k km m k k k k---=+--+=----．整理，得221248120k km m m +-+-=，即()()22660k m k m +--+=．显然()2,2A 不在直线MN 上，即220k m +-≠，所以660k m -+=，满足Δ0>，所以直线MN 的方程为()6666y kx k k x =++=++，。

2023-2024学年济南市高二数学上学期期末质量检测试卷附答案解析

2023-2024学年济南市高二数学上学期期末质量检测试卷2024年1月全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线10x y -+=的倾斜角是（）A．30︒B．45︒C．60︒D．120︒2．已知双曲线2212y x -=，则其渐近线方程为（）A．12y x=±B．y x =C．y =D．2y x=±3．已知正项等比数列{}n a 中，2816⋅=a a ，则5a 等于（）A．2B．4C．5D．84．在三棱柱111ABC A B C -中，若AC a = ，AB b = ，1AA c =，则1CB = （）A．a b c +-r r r B．a b c-+r r rC．a b c -+- D．a b c-++5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n 站比第n 1-站多n 千瓶（2n ≥且*N n ∈），第10站准备的饮用水的数量为（）A．45千瓶B．50千瓶C．55千瓶D．60千瓶6．已知(2,0)A ，(8,0)B ，若直线y kx =上存在点M 使得0AM BM ⋅=，则实数k 的取值范围为（）A．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．44,33⎡⎤-⎢⎣⎦C．33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．44,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，其中A、2F 分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的点，满足2PF 垂直于x 轴且222AF PF =，则双曲线的离心率为（）A．32B．43C．2D．38．如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P 为直线DE 上的动点，则P 到直线AB 距离的最小值为（）A．22B．63C．74D．105二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一条光线从点(2,3)A -射出，射向点(1,0)B ，经x 轴反射后过点(,1)C a ，则下列结论正确的是（）A．直线AB 的斜率是1-B．AB BC⊥C．3a =D．||||AB BC +=10．已知1F ，2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点A，B 的动点，则下列结论正确的是（）A．椭圆C 的焦距为6B．12PF F △的周长为16C．128PF ≤≤D．12PF F △的面积的最大值为1611．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P，Q 分别满足111D P D B λ= ，1DQ DA λ= ，则（）A．()0,1λ∃∈，使1PQ A D ⊥且11PQ B D ⊥B．()0,1λ∀∈，//PQ 平面11ABB A C．()0,1λ∃∈，使PQ 与平面ABCD 所成角的正切值为23D．()0,1λ∀∈，BP 与AQ 是异面直线12．已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*32,B x x n n ==-∈N ．将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A．23a =B．46n n a a +-=C．20233035a =D．若2024n S >，则52n ≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，若a b ∥ ，则λ的值为．14．已知等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，则前n 项和n S 的最大值为．15．已知圆22:4C x y +=，直线:10l mx y m +--=，直线l 被圆C 截得的最短弦长为．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F，过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A，B，过点A 做垂直于x 轴的直线交C 于点D，若点M 是ABD △的外心，则||||AB MF 的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a ，满足25215a a +=，47a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令(1)nn n b a =-，求{}n b的前2n 项和2n T ．18．已知圆心为C 的圆经过()0,0O，(0,A 两点，且圆心C在直线:l y =上．(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在圆C 上运动，求22PO PA+的取值范围．19．已知抛物线的准线方程为2x =-，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点．(1)若OAB 为等腰直角三角形，求OAB 的面积；(2)若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点P，并求出定点P 的坐标．20．如图（1）所示PAB 中，AP AB ⊥，12AB AP ==．,D C 分别为,PA PB 中点．将PDC △沿DC 向平面ABCD上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA =．连接,,PA PB PC 得到四棱锥P ABCD -．记PB 的中点为N ，连接CN ．(1)证明：CN ⊥平面PAB ；(2)点Q 在线段CN 上且2QC QN =，连接,AQ PQ ，求平面PAQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值．21．设数列{}n a ，其前n 项和为n S ，2233n S n n =+，{}n b 为单调递增的等比数列，123729b b b =，1236b a b a +=-．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记mc 为{}n b 在区间(]()*0,m a m ∈N 中的项的个数，求数列{}m c 的前100项和100T．22．在平面直角坐标系．xOy 中，设1A ，2A 两点的坐标分别为(2,0)-，(2,0)．直线1A M，2A M相交于点M，且它们的斜率之积是12-．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)记动点M 的轨迹为曲线E，过(1,0)P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l与曲线E 交于A、B 两点，2l 与曲线E 交于C、D 两点，求AC BD ⋅ 的最大值．1．B【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系，结合斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】直线10x y -+=的斜率为1，故倾斜角为45︒.故选：B 2．C【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．【详解】由于双曲线为2212y x -=，所以其渐近线方程为2y =±.故选：C.3．B【分析】根据等比中项的性质计算即可.【详解】由题意易知228516a a a ⋅==，又{}n a 各项为正数，所以54a =.故选：B4．D【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题可知111CB CC CB AA AB AC a b c =+=+-=-++ .故选：D5．C【分析】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L，10910a a -=，然后利用累加法即可求解.【详解】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L ，10910a a -=，以上等式相加得：，()()()()10121321091101012310552a a a a a a a a +⨯=+-+-++-=++++== ，即1055a =.故选：C6．A【分析】由题可得点M 的轨迹方程，再由直线与圆有公共点建立不等式，求解即可.【详解】因为0AM BM ⋅=，所以AM BM ⊥，则点M 在以AB 为直径的圆上，因为AB 的中点坐标为(5,0)，6AB =，所以点M 的轨迹方程为22(5)9x y -+=，由题可知，直线y kx =与圆22(5)9x y -+=3≤，解得：3344k -≤≤.故选：C7．A 【分析】设()0,P c y ，代入双曲线方程求出y ，根据222AF PF =可得答案.【详解】设()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a =，即22b PF a =，2AF a c =+，因为222AF PF =，所以22+=b a c a ，可得()2222a ac c a +=-，2230e e --=，解得32e =.故选：A.8．B【分析】作出该几何体，确定直线DE 和直线AB 为异面直线，再根据平面ABC //平面DEF ，结合等体积法求得D 到平面ABC 的距离即可.【详解】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P 到直线AB 距离的最小值即直线DF 到直线AB 的距离，又DF //AC ，AC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，故DF //平面ABC .又1BC BD EC ED ====，故四边形BCED 为菱形，则DE //BC .BC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，故DE //平面ABC .又DF DE D = ，,DF DE ⊂平面DEF ，故平面DEF //平面ABC .故直线DF 到直线AB 的距离为平面DEF 到平面ABC 的距离.则D 到平面ABC 的距离即为P 到直线AB 距离的最小值.设AF 与CD 交于O ，则易得O 为正四棱锥B ADFC -中心.则1BA BC BD AC AD =====，CD ===，故BCD △为直角三角形，故2OB =.设D 到平面ABC 的距离为h ，则由B ACDD ABC V V --=，故1133ACD ABC S BO S h ⋅=⋅ ，故12311224h ⨯⨯⨯=，解得h =.故选：B9．ABD【分析】选项A 应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点A 关于x 轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点C 的坐标；选项D 应用两点间距离公式求解即可.【详解】由于(2,3)A -、(1,0)B ，由斜率公式得：0311(2)AB k -==---，选项A 正确；点(2,3)A -关于x 轴的对称点1A 的坐标为(2,3)--，经x 轴反射后直线BC 的斜率为：10(3)11(2)BC A B k k --===--，且1BC AB k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，选项B 正确；直线BC 即直线1A B的方程为：01(1)y x -=⨯-，即1y x =-，将1y =代入得：2x =，所以点(2,1)C ，2a =，选项C 不正确；由两点间距离公式得：||||AB BC +=选项D 正确；故选：ABD.10．AB【分析】由椭圆方程求得a ，b ，c 的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.【详解】由椭圆22:12516x y C +=，得5a =，4b =，3c =，∴椭圆C 的焦距为26c =，故A 正确；又P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，∴△12PF F 的周长为2216a c +=，故B 正确；12||8a c PF a c =-<<+=，故C 错误；当P 为椭圆C 的短轴的一个端点时，△12PF F 的面积取最大值为12122c b bc ⨯⨯==，故D 错误．故选：AB．11．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一计算判定选项即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意可知()()()()()()11,,1,,0,,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0P Q A D B A λλλλ，则()()()()10,,1,1,0,1,1,1,1,1,0,PQ DA BP AQ λλλλλλ=--==--=-，平面11ABB A 的一个法向量为()1,0,0m = ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，对于A，若1PQ A D⊥，则()()10,,11,0,110PQ DA λλλ⋅=--⋅=-=()10,1λ⇒=∉，故A 错误；对于B，易知()()0,,11,0,00PQ m λλ⋅=--⋅=恒成立，且PQ ⊄平面11ABB A ，则//PQ 平面11ABB A ，故B 正确；对于C，设PQ 与平面ABCD 所成角为π0,2αα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若2tan sin 3αα=⇒=，即sin cos ,PQ nPQ n PQ nα⋅====⋅，解之得35λ=或3λ=，显然()0,1λ∃∈，使得结论成立，故C 正确；对于D，因为()()1,1,1,1,0,BP AQ λλλλ=--=-，若,BP AQ 共线，则存在实数k ，使得()11101k BP k AQ k k λλλλ⎧-=-⎪=⇒-=⨯⎨⎪=⎩ ，解得()10,1λ=∉，所以()0,1λ∀∈，,BP AQ不共线，故D 正确.故选：BCD12．ABD【分析】求得,A B A B 中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得：{}*65,A B x x n n ⋂==-∈N ,可得{}1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,A B ⋃= ，则123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 对于选项A:易得23a =，故A 正确；对于选项B:易得46n n a a +-=，故B 正确；对于选项C:由46n n a a +-=，可得202335056430303034a a =+⨯=+=，故C 错误；对于选项D:易得数列{}n a 每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为13，公差为24，由11312121124107020242⨯+⨯⨯⨯=<，11313131224204120242⨯+⨯⨯⨯=>，则2024n S >，此时有52n ≥，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：关键是通过123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 找到46n n a a +-=，由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可.13．3-【分析】根据向量共线即可求解.【详解】由(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，a b ∥ ，可得3b a =-r r ，故3λ=-，故答案为：3-14．16【分析】利用等差数列前n 项和公式和,结合二次函数的性质即可求解．【详解】等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，22(1)7(2)8(4)162n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+．则前n 项和nS 的最大值为16．故答案为：16．15．【分析】先求出直线l 过定点()1,1A ，数形结合得到当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求出最短弦长.【详解】:10l mx y m +--=变形为()110m x y -+-=，故直线l 过定点()1,1A ，故当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，其中22:4C x y +=的圆心为()0,0C ，半径为2，此时弦长为=.故答案为：16．2【分析】设直线():10l x my m =+≠，联立方程，利用韦达定理求AB以及点M 的坐标，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，可知直线l 与抛物线必相交，设直线():10l x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，可得()11,A x y -，联立方程241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x 得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，可得()241AB m =+，1222y y m +=，且212212x x m +=+，即线段AB 的中点()221,2m m +，则线段AB 的中垂线方程为()2221y m m x m -=---，由题意可知：点M 在x 轴上，令0y =，可得223x m =+，即()223,0M m +，则()221MF m =+，所以()()2241221m AB MF m +==+.故答案为：2.【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．17．(1)21n a n =-(2)22n T n=【分析】（1）由题意得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，代入等差数列通项公式即可求解；（2）由(1)(21)n n b n =--，代入求和即可.【详解】（1）由已知，得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故21n a n =-（2）由（1）得(1)(21)nn b n =--，所以122122(1)(41)(1)(43)41(43)2n n n n b b n n n n --=--+--=--+-=，得21234212()()()2n n n T b b b b b b n-=++++++= ．18．(1)()(2214x y -+=(2)[]8,24【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；（2）设P 坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【详解】（1）圆经过()0,0O，(0,A 两点，得圆心在OA的中垂线y =又圆心C在直线:l y =上，联立直线方程有y y ⎧⎪⎨⎪⎩，得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即圆心坐标为(C ，又224r CO ==，故圆C 的标准方程为()(2214x y -+=．（2）设()00,P x y ，易知[]01,3x ∈-，则((22222222000000226PO PA x y x y x y +=+++-=++（*），因为点P 在圆C 上运动，则()(220014x y -+=，故（*）式可化简为，()2222000||||22416412PO PA x x x ⎡⎤+=+--+=+⎣⎦，由[]01,3x ∈-得22PO PA+的取值范围为[]8,24．19．(1)64(2)证明见解析，(8,0)P 【分析】（1）先根据准线方程求得抛物线方程，再由抛物线及等腰直角三角形的对称性得AOB 90∠=，OA OB =，从而求得,A B 坐标计算面积即可；（2）设直线l 方程及,A B 坐标，与抛物线方程联立，由垂直关系及韦达定理计算即可.【详解】（1）因为抛物线的准线为2x =-，可得抛物线的方程为：28y x =，又AOB 为等腰直角三角形，根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知：AOB 90∠=，OA OB =，且,A B 两点关于横轴对称，则直线:OA y x =．于是28y x y x =⎧⎨=⎩得()8,8A ，则()8,8B -，所以()1888642OAB S =⨯⨯+= ．（2）设直线:l x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立28x my n y x =+⎧⎨=⎩，得2880y my n --=，264320m n +∆=>，且128y y m +=，128y y n ⋅=-又因为OA OB ⊥，则12121OA OB y y k k x x ⋅==-，即12120y y x x +=．由28y x =，得2118y x =，2228y x =，222121264y y x x n ==，即2121280y y x x n n +=-=，解得8n =或0n =（舍去）．当8n =时，满足0∆>．此时，直线l 的方程8x my =+．则l 过定点(8,0)P ．20．(1)证明见解析(2)31919【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角.【详解】（1）取AB 中点M，连接NM，CM．则//,CD AM CD AM =，即四边形AMCD 为平行四边形，所以CM AD ∥，又因为AB AD ⊥，所以AB CM ⊥，由PD CD ⊥，CD AB ∥，即AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，,PD AD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD ，又AP ⊂平面PAD ，故AB AP ⊥，又因为NM AP ∥，则AB NM ⊥，又NM CM M = ，,NM CM ⊂平面NCM所以AB ⊥平面NCM ，又CN ⊂平面NCM ，所以CN AB ⊥，又在PCD 中，6PD CD ==且PD CD ⊥，在BCM 中，6CM BM ==且⊥CM BM ，则PC BC ==N 为PB 中点，所以CN PB ⊥，又AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CN ⊥平面PAB ．（2）由6PD AD ==，AP =222PD AD AP +=，即PD AD ⊥，又PD CD ⊥，AD CD ⊥，故以D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线x 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,6)P ，(0,0,0)D ，(0,6,0)C ，(6,0,0)A ，(6,12,0)B ，(3,6,3)N ，故(3,0,3)CN = ，(6,0,6)PA =- ，因为2(2,0,2)3CQ CN ==，所以(2,6,2)Q ，(2,6,4)PQ =-，设平面PAQ 的法向量()1111,,n x y z =，平面ABCD 的法向量()2222,,n x y z =，则111116602640PA n x z PQ n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取13x =，解得1(3,1,3)n = ，易知DP ⊥平面ABCD ，即2(0,0,1)n =，所以12319cos ,19n n ==，所以平面PAQ 与平面ABCD的夹角的余弦值为．21．(1)3n a n=，()*3n n b n =∈N (2)384【分析】（1）根据,n na S 的关系即可求解3n a n=，根据等比数列基本量的计算即可求解()*3n n b n =∈N ，（2）利用列举法即可逐一求解{}m c 的前100项，即可求和得解.【详解】（1）对于数列{}n a ，因为2233n S n n =+①，所以2123(1)3(1)n S n n -=-+-，2n ≥，*n ∈N ②-①②得()*32,n a n n n =≥∈N由①式，当1n =时，得13a =，也满足3n a n=，所以()*3n a n n =∈N ．因为数列{}n b 为等比数列，由等比数列的性质得31232729b b b b ==，得29b =，设数列{}n b 的公比为q ，又因为26a =，618=a ，所以1236b a b a +=-即96918q q +=-，解得3q =或13-，又因为{}n b为单调递增的等比数列，所以3q =，所以()*3n n b n =∈N （2）由于133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，所以1c ，2c 对应的区间为(0,3]，(0,6]，则121c c ==，即有2个1；3c ，4c ，…,8c 对应的区间为(0,9]，(0,12]，…,(0,24]，则3482c c c ==⋅⋅⋅==，即有6个2；9c ，10c ，…,26c 对应的区间为(0,27]，(0,30]，…,(0,78]，则910263c c c ==⋅⋅⋅==，即有18个3；27c ，28c ，…,80c 对应的区间为(0,81]，(0,84]，…,(0,240]，则2728804c c c ==⋅⋅⋅==，即有54个4；81c ，82c ，…,100c 对应的区间为(0,243]，(0,246]，…,(0,300]，则81821005c c c ==⋅⋅⋅==，即有20个5；所以1001226318454520384T =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22．(1)221(0)42x y y +=≠(2)4-【分析】（1）设出点M 的坐标为(,)x y ，根据斜率之积得到方程，求出轨迹方程，注意0y ≠；（2）设1:(1)l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设()33,C x y ，()44,D x y，同理得到两根之和，两根之积，根据直线1l ，2l 相互垂直，得到()()()222291212k AC BD kk -+⋅=++，利用基本不等式求出最大值.【详解】（1）设点M 的坐标为(,)x y ，因为直线1A M ，2A M的斜率之积是12-，所以1222y y x x ⋅=-+-，所以22142x y +=，因为点M 与1A ，2A 两点不重合，所以点M 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠．（2）显然直线1l，2l 的斜率都存在且不为0，设1:(1)l y k x =-，21:(1)l y x k =--，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222214240k x k x k +-+=-，显然()()4222164212424160k k k k ∆=-+-=+>，所以212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()()2222221121212222224431111212121k k k y y k x x k x x x x k k k k ⎣⎛⎫ -⎪--=--=-++=+=⎡⎭⎦⎝⎤+++，同理23422223422234221442121124242121133,2121k x x k k k k x x k k k y y k k ⎧⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎪+==⎪+⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-- ⎪-⎪⎝⎭==⎨+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎪==+⎪⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线1l ，2l 相互垂直，所以0AP PD PC BP ⋅=⋅=，所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()121234341111x x y y x x y y =--++--+()()12121234343411x x x x y y x x x x y y =-++++-+++22222222222443244311212121222k k k k k k k k k k ----=-+++-++++++++22223333212k k k k ----=+++，则()()()()()()222222222911942122122k kAC BD k k k k -++⋅=≤-=-++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时取得等号，所以AC BD ⋅的最大值为4-．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。

重庆市主城区七校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题及答案

2022—2023学年（上）期末考试高2024届数学试题（答案在最后）考试说明：1.考试时间：120分钟 2.试题总分：150分 3.试卷页数：4页一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2040S =，则30S =（）． A ．90 B ．80 C ．60D ．30 2．若(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则a b ⋅等于（） A ．5 B ．5- C ．7 D ．1-3．已知抛物线214y x =的焦点为F ,()1,0D -则FD 为（） A ．B ．2C ．1716D4．已知点,,A B C 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，若,A B 两点关于原点对称，AC 过右焦点F ，且0,3||||FB AC AF CF ⋅==，则双曲线的离心率为（） ABCD．15．等比数列{}n a 为递减数列，若7146a a ⋅=，4175a a +=，则518a a =（） A ．32B ．23C ．16D ．66．已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为（） A ．1＋3 B．12+ CD7．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 7=（）A ．110B ．128C ．144D ．898．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（）A ．直线l 与OM 一定不垂直；B ．若直线l 方程为22y x =+，则AB =C ．若直线l 方程为1y x =+，则点M 坐标为1233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程l 为230x y --=二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知动直线:10l kx y k --+=与圆22:40C x y y +-=，则下列说法正确的是（）A ．直线l 过定点()11，B ．圆C 的圆心坐标为()02-，C ．直线l 与圆 C的相交弦的最小值为 D ．直线l 与圆 C 的相交弦的最大值为410．已知椭圆221:1169x y C +=与双曲线()222:1916169x y C k k k+=<<--，下列关于两曲线的说法正确的是（）A ．1C 的长轴长与2C 的实轴长相等B ．1C 的短轴长与2C 的虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率不相等11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，那么下列选项正确的是（） A ．数列{1}n a +是等比数列 B ．数列{}n a 的通项公式为21n n a =- C ．2n n S n =- D ．1n T <12．已知1111ABCD A B C D -为正四棱柱，底面边长为2，高为4，E ，F 分别为1,1AA BB 的中点．则下列说法错误的是（）A ．直线1AD 与平面11DCC DB ．平面11AB D ⊥平面1BDCC ．直线EF被正四棱柱的外接球截得的弦长为D ．以D为球心，11BCC B 的交线长为23π 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.以(1,3)为圆心，且与直线x +2y +8=0相切的圆的标准方程是___________________. 14.线段AB ,其中A(2,5),B(5,1)，过定点P(1,2)作直线l 与线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是___________.15.数列{a n }满足下列条件：a 1=1,且∀n ∈N ∗,恒有a 2n =a n +n −1,则a 256=__________. 16.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E （如右图）是由椭圆C 1:x 28+y 24=1和双曲线C 2:x 23−y 2=1在y 轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C 1上一点P 0出发，经过点F 2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1,P2,P3,P4,…若P0,P4重合，则光线从P0到P8所经过的路程为_________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=5，S6=0.（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最大值.18.（12分）已知点D(−2,2),直线l:ax−2y+3=0圆C:x2+y2−2x−6y+5=0. （1）若连接点D与圆心C的直线与直线l垂直，求实数a的值；（2）若点P为x轴上一动点，求|PC|+|PD|的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标.19.（12分）在棱长为2的正方体ABCD−A′B′C′D′中，M,N,O,P分别为BC,CC′,C′D′,AA′的中点.（1）求证：MO∥平面BDD′（2）求异面直线BN与PB′所成角的余弦值.20.（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足条件2S n+3=3a n，其中n∈N∗.（1）求{a n}的通项公式3，又b1b3+b2b4+⋯+（2）设数列满足b n=log anb n b n+2<M，对一切n∈N∗恒成立，求M的取值范围.21.（12分）已知四棱锥P −ABCD （如图），四边形ABCD 为正方形，面PAB ⊥面ABCD,PA =PB =AB =2,M 为AD 中点. （1）求证:PC ⊥BM ;（2）求直线PC 与平面PBM 所成角的余弦值.22.(12分)椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的两焦点分别为1F ，2F ，椭圆与y 轴正半轴交于点2)Q ，122QF F S ∆=. （1）求曲线C 的方程；（2）过椭圆C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC PD 、，切点分别为C D 、，直线CD 与椭圆C 交于E G 、两点，求PEG ∆的面积PEG S ∆的取值范围.2022—2023学年（上）期末考试高2024届数学试题参考答案及评分标准一、1-8单选择题二、9-12多选题13.()()221+345x y --= 14.[−14,3] 15.248 16.16√2−8√3 四、解答题 17.解： (1)由S 6=0得6(S 1+S 6)2=0, .................1分从而S 1+S 6=0,即2S 1+5S =0, .................3分又因为S 1=5，所以S =−2,所以S S =5−2(S −1)=7−2S， .................5分 (2)S S =S (S 1+S S )2=S (12−2S )2=−S 2+6S =−(S −3)2+9，.................8分所以S =3时S S 有最大值9，.................10分18.解：（1）圆S :(S −1)2+(S −3)2=5,∴S (1,3),∴S SS =13,S S =S2，.................4分∵S ⊥SS ,∴S SS ∙S S =13∙S2=−1,∴S =−6，.................5分（2）点S (−2,2)关于S 轴的对称点为S ′(−2,−2)，................7分则|SS |+|SS |=|SS |+|SS ′|≥|SS ′|=√(1+2)2+(3+2)2=√34， (9)分当且仅当S、S、S ′三点共线时等号成立，此时，S SS ′=53,则直线方程为：S +2=53(S +2),即S =53S +43，.................11分令S =0,得S =−45，所以S (−45,0)，.................12分 19.解：（1）取SS 中点S ,连接SS ,SS ′,则SS =12SS ,SS ∥SS ∥SS ′，.................2分又因为SS ′=12S ′S ′=12SS ，所以SS ∥SS ′,且SS =SS ′，所以四边形SSS ′S 为平行四边形，所以SS ∥SS ′，.................4分又因为SS ′⊆平面BDD ′,所以SS ∥平面BDD ′，.................5分（2）以S 为原点，SS、SS、SS ′分别为S、S、S 轴，建立空间直角坐标系设S (2,2,0),S ′(2,2,2),S (2,0,1),S (0,2,1)，.................7分设直线SS 与SS ′所成角为S所以SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1),SS′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),，.................9分所以SSSS=|SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙SS′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|SS′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5∙√5=15，.................11分所以异面直线SS与SS′所成角的余弦值为15，.................12分20.（1）∵2S S+3=3S S,∴2S S+1+3=3S S+1,两式相减得2S S+1=3S S+1−3S S,∴S S+1=3S S，.................3分又2S1+3=3S1,S1=S1,∴S1=3，.................5分∴数列{S S}是以首项为3，公比为3的等比数列∴S S=3∙3S−1=3S，.................6分（2）由（1）知，S S=logS S 3=1S，.................7分∴S S S S+2=1S(S+2)=12(1S−1S+2)设S S=S1S3+S2S4+⋯+S S S S+2,∴S S=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1S−2−1S)+(1S−1−1S+1)+(1S−1S+2)]，.................9分∴S S=12(1+12−1S+1−1S+2)<12∙(1+12)=34，.................11分又S S<S对一切S∈S∗恒成立∴S≥34,S的取值范围为[34,+∞)，.................12分21.（1）证明：取SS中点S,连接SS,并过点S作SS的平行线SS,交SS于S,则SS⊥SS，.................1分∵SS=SS=SS，∴△SSS为等边三角形，又∵S为SS中点，∴SS⊥SS,，.................2分又∵面SSS⊥面ABCD，面SSS∩面ABCD=AB∴SS⊥面ABCD，∴SS⊥SS，.................3分以S为原点，SS,SS,SS所在直线分别为S,S,S轴建立如图空间直角坐标系，因为SS=SS=2则S(1,0,0),S(0,0,√3),S(−1,1,0),S(1,2,0)SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3),SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，.................5分所以SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(−2)+2×1+(−√3)×0=0所以SS⊥SS，.................6分（2）SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√3),SS⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2−√3)设平面SSS的一个法向量为S⃗⃗⃗⃗ =(S,S,S)，则有{SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙S ⃗⃗⃗⃗ =0SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙S ⃗⃗⃗⃗ =0,即{−S +S −√3S =0−2S +S =0令S =1,得S ⃗⃗⃗⃗ =(1,2,√33)，.................8分设直线SS 与平面SSS 所成角为S ，则SSSS =|SSS <SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,S ⃗⃗⃗⃗ >|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙S ⃗⃗⃗⃗ ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|S ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|1×1+2×2+√3×(−√3)|√1+4+13×√1+4+3=√64，.................10分所以直线SS 与平面SSS 所成角的余弦值为√1−(√64)2=√104，.................12分22(1)12222,2,142QF F x y b S bc c a ∆===∴==∴+=椭圆的方程为，.................4分(2)22000000(,),:()()0,1,:1P x y OP x x x y y y O x y CD x x y y -+-=+=+=设以为直径的圆又圆：两式相减，.................5分()0022222222000000002222200014240,164(2)(24)248(412)x x y y x y x x x y x x y y x y y x y +=⎧+-+-=∴=-+-⎨+=⎩=-+由得到2222220000000841(4)24(1),y x x y x EG⎡⎤=-+-=+==⎣⎦22P EG d -=PEG S∆=.................7分)220131PEGt t S t ∆+==+)1t ⎡=∈⎣.................8分21322113313333PEGt t t s t t t t t ∆⎛⎫+⎪⎫=+=+- ⎪⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭.................9分又131s t t⎡=+⎣在上递增，所以4s ⎡∈⎢⎣ 又2+43s y s ⎡=⎢⎣在上递增，所以1321133t t y t t+⎡=+⎣+在上递增所以213221131333PEGt t t s t t t t t ∆⎫+⎪⎫+=+-⎪⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭，在1⎡⎣上递增............10分所以PEG S ∆∈⎣⎭ .................12分。

山东省潍坊市诸城市2022高二数学上学期期末考试试题(含解析)

【详解】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，
∴ ,
∴x+y＝（x+y）（）＝5+ ≥5+2 ＝9，当且仅当x＝2y取等号，结合x+4y＝xy，
解得x＝6，y＝3
∴x+y的最小值为9，
故答案为A．
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
A. B. C.1D.0
【答案】C
【解析】
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，
故答案为或 .
【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 ( 的取值范围).
16.若函数对于时，恒有，则实数的取值范围是_____．
【详解】（1）设为等比数列的公比，则由，，
得，即，解得或（舍去），因此，
所以的通项公式为；
（2）∵ 是首项为1，且，
所以数列是公差为2的等差数列，
∴ ，
∴
【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．

2022-2023学年天津市河东区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年天津市河东区高二（上）期末数学试卷1. 双曲线x 23−y 22=1的焦点坐标是( )A. (±1,0)B. (±√5,0)C. (0,±1)D. (0,±√5)2. 抛物线y 2=−2x 的准线方程为( ) A. x =−1B. x =1C. x =−12 D. x =12 3. 等轴双曲线的一个焦点是F 1(−6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29−y 29=1B.y 29−x 29=1C. y 218−x 218=1D. x 218−y 218=14. 已知抛物线x 2=2py(p >0)上一点M(m,1)到焦点的距离为32，则其焦点坐标为( ) A. (0,12)B. (12,0)C. (14,0)D. (0,14)5. 若点P(1,2)在双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0))的一条渐近线上，则它的离心率为( ) A. √52 B. 2 C. √5 D. 2√56. 下列四个数中，哪个是数列{n(n +1)}中的一项( )A. 380B. 392C. 321D. 2327. 已知等比数列{a n }，满足log 2a 2+log 2a 13=1，且a 5a 6a 8a 9=16，则数列{a n }的公比为( )A. 2B. 12C. ±2D. ±128. 已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，若a 82−a 7−a 9=3，则S 15−a 8的值为( )A. 3B. 14C. 28D. 429. 九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下内关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记a n (3≤n ≤9,n ∈N ∗)为解下n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且a n =a n−2+2n−1，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为( )A. 30B. 90C. 170D. 34110. 设F 1，F 2为双曲线C ：x 29−y 24=1的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且|PF 1|=4，则|PF 2|=______.11. 已知数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1(n ≥2,n ∈N ∗)，a 2+a 4+a 6=12，a 1+a 3+a 5=9，则a 2+a 5等于______.12. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，则a 5=______. 13. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +3n (n ∈N ∗)，则{a n }的通项公式a n =______. 14. 设等差数列{a n }满足a 1=1，a n >0(n ∈N ∗)，其前n 项和为S n ，若数列{√S n }也为等差数列，则a n =______；S n+10a n2的最大值是______. 15. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)与圆O ：x 2+y 2=5交于A ，B 两点，且|AB|=4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，给出下列命题： ①若直线l 的斜率为√33，则|MN|=8；②|MF|+2|NF|的最小值为3+2√2； ③若以MF 为直径的圆与y 轴的公共点为(0,√62)，则点M 的横坐标为32；④若点G(2,2)，则△GFM 周长的最小值为4+√5.其中真命题的序号为______(把所有正确命题的序号都填在横线上).16. 已知双曲线的方程为4x 2−y 2=4，写出它的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．17. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别是F 1、F 2，左右顶点分别是A ，B.(1)若椭圆C 上的点M(1,32)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，求此椭圆C 的方程；(2)若P 是椭圆C 上异于A ，B 的任一点，记直线PA 与PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1⋅k 2=−12，试求椭圆C 的离心率．18. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是公比为2的等比数列，a 2是a 1，a 5的等比中项，b 3−a 3=3，b 1=2a 1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .19. 已知P(23,2√63)是椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)与抛物线E ：y 2=2px(p >0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F. (1)求椭圆C 及抛物线E 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为−34(注：O 为坐标原点)，点M 是线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求|BM||MN|的值．20. 已知数列{a n}满足：a1=2，na n+1+(n+1)=(n+2)a n+(n+1)3.}是等差数列；(Ⅰ)证明：数列{a nn(n+1)(Ⅰ)设b n=n(n+2)，求数列{b n}的前n项和S n.2n+1a n答案和解析1.【答案】B【解析】解：由双曲线x 23−y22=1，可得c=√3+2=√5，∴焦点坐标是(±√5,0)，故选：B.由双曲线x 23−y22=1，可得c=√3+2，即可得出焦点坐标．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=−2x，∴抛物线的焦点在x轴上，开口向左，且p=1，∴准线方程是x=12故选：D.先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得准线方程．本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查根据抛物线的标准方程求准线方程，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：设等轴双曲线方程为x2−y2=a(a>0)，化成标准方程：x 2a −y2a=1，由标准方程得：c=√2a=6，∴a=18，∴所求的等轴双曲线方程为x2−y2=18，故选：D.设出等轴双曲线的方程，把双曲线经过的点的坐标代入方程，求出待定系数，进而得到所求的双曲线的方程．本题考查利用待定系数法求双曲线的方程、考查双曲线三参数的关系c2=a2+b2.4.【答案】A【解析】解：∵抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点M(m,1)到焦点F的距离为32，∴1+p2=32，∴p=1，∴抛物线的焦点坐标为：(0,12).故选：A.根据抛物线的定义，可得1+p2=32，求出p，即可求抛物线C的焦点坐标；本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积是计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：双曲线x 2a2−y2=1的渐近线方程y=±xa，因为点P(1,2)在双曲线x 2a2−y2=1的一条渐近线上，所以2=1a ，所以a=12，它的离心率为ca =√(12)2+112=√5.故选：C.求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，求解a，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．6.【答案】A【解析】解：由题意，令n(n+1)=380，解得n=19，故A正确，再令n(n+1)=392，n(n+1)=321，n(n+1)=232，均无整数解，故BCD都错误．故选：A.分别令选项中的数值为n(n+1)，求出n是自然数时的这一项，即可得到答案．本题考查数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：设{a n}公比为q，∵log2a2+log2a13=log2(a2a13)=1=log22，∴a2a13=2且a2，a13>0，∴a13=a2q11>0，则q>0，∵a2a13=a6a9=2，a5a6a8a9=16，∴a5a8=8，∴a6a9 a5a8=a5q×a8qa5a8=q2=14，解得q=12.故选：B.根据已知条件，结合对数运算性质，以及等比数列性质，即可求解．本题主要考查对数运算性质，以及等比数列性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：正项等差数列{a n}，则a n>0，若a82−a7−a9=3，则a82=a7+a9+3=2a8+3，解得a8=3或a8=−1(舍)，则S15−a8=(a1+a15)×152−a8=2a8×152−a8=14a8=42.故选：D.根据等差数列的性质得a7+a9=2a8，则可由已知等式求a8的值，从而利用求和公式和等差数列性质求S15−a8得值．本题主要考查等差数列的前n项和，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意知：a8=a6+27，a6=a4+25，a4=a2+23=2+23=10，所以a8=2+23+25+27=170.故选：C.直接利用数列的递推关系式求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．10.【答案】10【解析】解：双曲线C：x 29−y24=1，可得a=√9=3，∵P为双曲线C上一点，且|PF1|=4<2a=6，∴P为双曲线C左支上一点，则|PF2|=|PF1|+2a=4+6=10，故答案为：10.双曲线C：x 29−y24=1，可得a=√9=3，根据P为双曲线C上一点，且|PF1|=4<2a=6，即可判断出点P的位置，再根据双曲线的定义即可得出结论．本题考查了双曲线的定义与标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】7【解析】解：∵数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1(n ≥2,n ∈N ∗)， ∴数列{a n }是等差数列， ∴a 6+a 1=a 3+a 4=a 2+a 5， ∵a 2+a 4+a 6=12，a 1+a 3+a 5=9， ∴3(a 2+a 5)=12+9，解得a 2+a 5=7. 故答案为：7.数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1(n ≥2,n ∈N ∗)，可得数列{a n }是等差数列，利用性质可得a 6+a 1=a 3+a 4=a 2+a 5，结合已知条件即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】81【解析】解：∵a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，∴n ≥2时，a n =2S n−1+1，相减可得a n+1−a n =2(S n −S n−1)=2a n ， ∴a n+1=3a n ，∵数列{a n }是等比数列，因此n =1时也成立． ∴n =1时，a 2=3a 1=2a 1+1，解得a 1=1，则a 5=34=81. 故答案为：81.a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =2S n−1+1，相减可得a n+1=3a n ，根据数列{a n }是等比数列，n =1时也成立．即可得出a 1，进而得出a 5.本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】3n −12【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +3n (n ∈N ∗)，即n ≥2时，a n −a n−1=3n−1， ∴a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+…+(a 2−a 1)+a 1 =3n−1+3n−2+…+32+3+1 =1−3n 1−3=3n −12，故答案为：3n −12. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +3n (n ∈N ∗)，即n ≥2时，a n −a n−1=3n−1，利用a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+…+(a 2−a 1)+a 1，及其等比数列的求和公式即可得出结论．本题考查了数列的递推关系、等比数列的求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】2n−1121【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a n>0，∴d≥0，∴S1=1，S2=2+d，S3=3+3d，∵数列{√S n}也为等差数列，∴2√S2=√S1+√S3，即2√2+d=1+√3+3d，两边同时平方得，4(2+d)=1+3+3d+2√3+3d，即d+4=2√3+3d，两边同时平方得，d2+8d+16=4(3+3d)，即(d−2)2=0，故d=2；故a n=a1+(n−1)d=2n−1，S n+10=(n+10)(1+2(n+10)−1)2=(n+10)2，a n2=(2n−1)2，故S n+10a n2=(n+102n−1)2=(12+212(2n−1))2，故当n=1时，12+212(2n−1)取得最大值11，故S n+10a n2的最大值是121，故答案为：2n−1，121.设等差数列{a n}的公差为d，从而可得2√2+d=1+√3+3d，从而解得d=2；再代入化简即可求解．本题考查了等差数列的性质的应用，属于中档题．15.【答案】②③【解析】解：由圆和抛物线的对称性可知点(1,2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，所以4=2p，解得p=2，所以抛物线C：y2=4x，F(1,0)，设直线l：x=my+1，与y2=4x联立得y2−4my−4=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，所以|MN|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，当m=√3时，|MN|=16，①错误；1|MF|+1|NF|=1x 1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1x 2+x 1+x 2+1=4(y 1+y 2)+4(y 1y 2)216+m(y 1+y 2)+3=4m 2+44m 2+4=1，则|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)(1|MF|+1|NF|)=3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2√2，当且仅当|MF|=1+√2，|NF|=1+√22时等号成立，②正确；如图，过M 作准线的垂线，垂足为M′，交y 轴于M 1，取MF 中点为D ，过D 作y 轴的垂线，垂足为D 1，则MM 1//OF ，DD 1为梯形OFMM 1的中位线，由抛物线的定义可得|MM 1|=|MM′|−|M 1M′|=|MF|−1，所以|DD 1|=|OF|+|MM 1|2=1+|MF|−12=|MF|2，所以点(0,√62)为直径的圆与y 轴相切，所以点(0,√62)为圆与y 轴的切点，所以D 点的纵坐标为√62，又D 为MF 中点，所以M 点纵坐标为√6，又点M 在抛物线上，所以M 点横坐标为32，③正确；过G 作DH 垂直于准线，垂足为H ，所以△GFM 的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM′|+√5≥|GH|+√5=3+√5，当且仅当点M 的坐标为(1,2)时取等号，④错误．故答案为：②③．首先求出抛物线的解析式，设出M ，N 的坐标，联立进行求解，当m =√3时，|MN|=16进而判断①错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断②；画出大致图像，过点M 作准线的垂线，垂足为M′，交y 轴于M 1，结合抛物线的定义判断③；过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，利用抛物线的性质判断④即可．本题主要考查了直线与抛物线相交的问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：双曲线的方程为4x 2−y 2=4，化为x 2−y 24=1，可得a =1，b 2=4，(b >0)，c =√a 2+b 2，解得a =1，b =2，c =√5，∴顶点坐标为(±1,0)，焦点坐标为(±√5,0)，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为y =±2x. 【解析】双曲线的方程为4x 2−y 2=4，化为x 2−y 24=1，可得a =1，b 2=4，(b >0)，c =√a 2+b 2，解得a ，b ，c ，即可得出结论．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】(1)解：椭圆C 上的点M(1,32)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，由椭圆的定义可知，2a =4，所以a =2，将点M(1,32)坐标代入方程x 24+y 2b2=1，得b 2=3，所以所求方程为x 24+y 23=1；(2)解：设点P 坐标为(x 0,y 0)，则x 02a 2+y 02b2=1，所以y 02=b2a 2(a 2−x 2)，又A(−a,0)，B(a,0)， ∴k 1⋅k 2=y 0x 0+a ⋅yx 0−a=y 02x 02−a 2=b 2a 2(a 2−x 2)x 022−a 2=−b2a2，又k 1⋅k 2=−12，所以b 2a2=12，即a =√2b ，又a 2=b 2+c 2，所以c =b ，所以椭圆的离心率e =ca =√2b=√22.【解析】(1)根据椭圆的定义先确定a 的值，再将点M 坐标代入方程得b 2，即可得到椭圆的标准方程；(2)设点P 坐标为(x 0,y 0)，化简得y 02=b 2a2(a 2−x2)，得到b2a 2=12，从而求出离心率．本题考查了椭圆的方程和离心率的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)根据题意可得{a 22=a 1a 5b 3−a 3=3b 1=2a 1，∴{(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)4b 1−a 1−2d =3b 1=2a 1，解得{a 1=1b 1=2d =2，∴a n =1+(n −1)×2=2n −1，b n =2n ；(2)由(1)知a n b n =(2n −1)2n ，∴S n =1⋅2+3⋅22+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅2n ，∴2S n =1⋅22+3⋅23+⋅⋅+(2n −3)⋅2n +(2n −1)⋅2n+1，两式相减可得−S n =2+2⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+2⋅2n −(2n −1)⋅2n+1，∴−S n =2+2[22(1−2n−1)1−2]−(2n −1)⋅2n+1=(3−2n)⋅2n+1−6，∴S n =(2n −3)⋅2n+1+6.【解析】(1)先根据题意建立方程组，从而解得a 1，d ，b 1，再根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解；(2)根据错位相减法即可求解．本题考查方程思想，等差数列与等比数列的通项公式的应用，错位相减法求和，属中档题．19.【答案】解：(1)∵P(23,2√63)是抛物线E ：y 2=2px(p >0)上的点， ∴(2√63)2=2p ×23， ∴p =2，故抛物线E 的方程为y 2=4x ，F(1,0)，∴在椭圆C 中，a 2−b 2=1，又∵P(23,2√63)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1上，∴49a 2+83b 2=1，即49(1+b 2)+83b 2=1，解得b 2=3，所以a 2=4，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x 3,y 3)，|BN||BM|=λ(λ>0)，∵点M 是线段OA 的中点，∴M(x 12,y 12)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 12−x 2,y 12−y 2)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3−x 2,y 3−y 2)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(x 3−x 2,y 3−y 2)=λ(x 12−x 2,y12−y 2)，即{x 3=λ2x 1+(1−λ)x 2y 3=λ2y 1+(1−λ)y 2，所以N(λ2x 1+(1−λ)x 2,λ2y 1+(1−λ)y 2)， ∵点N(x 3,y 3)在椭圆C 上，∴[λ2x 1+(1−λ)x 2]24+[λ2y 1+(1−λ)y 2]23=1 ∴λ24(x 124+y 123)+(1−λ)2(x 224+y 223)+λ(1−λ)(x 1x 24+y 1y 23)=1，又点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在椭圆C 上，OA ，OB 斜率之积为−34，∴x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，x 1x 24+y 1y 23=0， ∴λ24+(1−λ)2=1，∴5λ2−8λ=0，∴λ=85或λ=0(舍)， ∴|BN||BM|=85，∴|BM||MN|=53. 【解析】(1)将P 点坐标代入抛物线的方程，求出p 的值，即可求出抛物线方程，求其焦点即可得c 的值，然后可得a 2−b 2=1，再将点P 代入椭圆方程即可求解；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),N(x 3,y 3),|BN||BM|=λ(λ>0)，然后利用向量用A 和B 点坐标表示出N 点坐标，并将N 点代入椭圆方程并化简整理，再结合OA ，OB 斜率之积为−34即可求解．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：依题意，由na n+1+(n +1)=(n +2)a n +(n +1)3，可得na n+1−(n +2)a n =(n +1)3−(n +1)=n(n +1)(n +2)，两边同时乘以1n(n+1)(n+2)，可得a n+1(n+1)(n+2)−a n n(n+1)=1，∵a 11⋅2=22=1，∴数列{a n n(n+1)}是以1为首项，1为公差的等差数列． (Ⅰ)解：由(Ⅰ)，可得a n n(n+1)=1+1⋅(n −1)=n ，则a n =n 2(n +1)，故b n =n(n+2)2n+1a n =n(n+2)2n+1⋅n 2(n+1)=n+2n(n+1)⋅2n+1=1n⋅2n −1(n+1)⋅2n+1，∴S n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n=11⋅21−12⋅22+12⋅22−13⋅23+⋅⋅⋅+1n ⋅2n −1(n +1)⋅2n+1 =11⋅21−1(n +1)⋅2n+1=12−1(n+1)⋅2n+1.【解析】(Ⅰ)先将题干中的递推公式进行转化，再将等式两边同时乘以1n(n+1)(n+2)，进一步推导即可发现数列{a nn(n+1)}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而证明结论成立；(Ⅰ)先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{a nn(n+1)}的通项公式，以及数列{a n}的通项公式，再计算出数列{b n}的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前n项和S n.本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．。

广东省东莞市2023年高二上学期期末考试数学试题+答案解析(附后)

广东省东莞市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.数列，，1，3，5，的一个通项公式为( )A. B. C. D.2.已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，( )A. B. C. D.4.已知直线l过点，且其方向向量，则直线l的方程为( )A. B. C. D.5.如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则( )A. 5B. 13C.D.6.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则( )A. 8B. 7C. 6D. 57.设P，Q分别为直线与上任意一点，则PQ的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 68.定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，P 是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以为直径的圆的位置关系是( )A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不确定二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.10.若，则方程可能表示下列哪些曲线( )A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 两条直线11.已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列结论正确的是( )A. 四边形MAPB面积的最小值为4B. 四边形MAPB面积的最大值为8C. 当最大时，D. 当最大时，直线AB的方程为12.某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2020年底全县的绿地占全县总面积的从2021年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，预计每年能将前一年沙漠的变成绿地，同时，前一年绿地的又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的是( )A. 2021年底，该县的绿地面积占全县总面积的B. 2023年底，该县的绿地面积将超过全县总面积的C. 在这种政策之下，将来的任意一年，全县绿地面积都不能超过D. 在这种政策之下，将来的某一年，绿地面积将达到全覆盖三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点B，则__________.14.在数列中，，，则数列的前6项和为__________.15.曲线围成的图形的面积为__________.16.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M ，N两点点M位于第一象限，的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2022-2023学年河北省张家口市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷1. 已知两条直线l 1：5x −2y +1=0和l 2：ax +3y +2=0相互垂直，则a =( ) A. −152 B. 215 C. −65 D. 65 2. 若点(2,4)在抛物线y 2=2px(p >0)上，则抛物线的准线方程为( )A. x =−4B. x =−2C. x =−1D. y =−43. 椭圆C ：x 250+y 230=1的离心率为( ) A.√105B. √22C. √55D.2√254. 已知圆C 1：x 2+y 2−4x −6y +9=0与圆C 2：(x +1)2+(y +1)2=9，则圆C 1与圆C 2的位置关系为( )A. 相交B. 外切C. 外离D. 内含5. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为3，E ，F 分别在DB ，AB 1上，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1，则|EF|=( )A. 3B. 2√2C. 2√3D. 46. 已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{a n }，则a 100=( )A. 37B. 38C. 39D. 3107. 已知x +y =0，则√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −2)2+y 2的最小值为( ) A. √5 B. 2√2 C. √10 D. 2√58. 已知{a n }为等比数列，a 5+a 8=−3，a 6a 7=−18，则a 2+a 11=( ) A. 3 B. −9 C. 212 D. −2129. 下列选项正确的有( )A. x−x0y−y 0=2表示过点P(x 0,y 0)，且斜率为2的直线B. a =(2,1)是直线x −2y −4=0的一个方向向量C. 以A(4,1)，B(1,−2)为直径的圆的方程为(x −4)(x −1)+(y −1)(y +2)=0D. 直线(m +1)x +(2m −1)y −1−4m =0(m ∈R)恒过点(2,1)10. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 9+a 10+a 11>0，a 9+a 12<0，则下列选项正确的有( )A. 数列{a n }是单调递增数列B. 当n =10时，S n 最大C. S 19⋅S 20<0D. S 20⋅S 21<0 11. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为34，F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆C 上的动点，△F 1PF 2的周长为14，则下列选项正确的有( )A. 椭圆C 的方程为x 216+y 27=1B. |PF 1|⋅|PF 2|≤16C. △F 1PF 2内切圆的面积S 的最大值为πD. cos∠F 1PF 2≥−1812. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2√2，AB =AD =2，M 为棱DC 的中点，点P满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列结论正确的有( )A. 当λ=12，μ=12时，异面直线AP 与DB 1所成角的余弦值为3√714 B. 当μ=12时，AP ⊥D 1CC. 当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得AP ⊥D 1PD. 当λ=1时，存在点P ，使得AP ⊥MC 113. 已知空间向量a ⃗ =(3,2,λ)，b ⃗ =(λ−2,λ,8)，a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______.14. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点，过点F 作倾斜角为60∘的直线l ，直线l 与双曲线C 有唯一交点P ，且|FP|=6，则双曲线C 的方程为______.15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =1n 2+3n+2(n ≥2)，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n <λ恒成立，则λ的最小值为______.16. 过点P(2,−1)作圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______.17. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 8=6，S 21=0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前50项和T 50.18. 已知直线l ：y =kx −1与圆E ：(x −2)2+(y −3)2=9交于A ，B 两点．(1)当|AB|最大时，求直线l 的方程； (2)若D(0,−1)，证明：DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． 19. “十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用．下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米． (1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)；(2)已知直线m 是抛物线的对称轴，Q 为直线m 与水面的交点，P 为抛物线上一点，O ，F 分别为抛物线的顶点和焦点．若PF ⊥m ，PO ⊥PQ ，求桥面与水面的距离．20. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1={a n +2,n 为奇数,2a n ,n 为偶数,b n =a 2n−1.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{nb n }的前n 项和S n .21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，平面ADP ⊥平面ABCD ，PD =2，PB =2√7. (1)求证：AP ⊥平面CDP ；(2)若点E 在线段AC 上，直线PE 与直线DC 所成的角为π4，求平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值．22. 已知一动圆与圆E ：(x +3)2+y 2=18外切，与圆F ：(x −3)2+y 2=2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；(2)已知点P 在曲线C 上，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点P)，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为k 1，k 2，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①P(4,1)；②k 1+k 2=0；③k =−12.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为两条直线l1：5x−2y+1=0和l2：ax+3y+2=0相互垂直，所以5a+3×(−2)=0，则a=65.故选：D.由已知结合两直线垂直的条件建立关于a的方程，可求．本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵点(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上，∴42=2p×2，解得p=4，∴抛物线的方程为y2=8x，∴准线方程为x=−2.故选：B.由已知可求p，进而可求抛物线方程，可得抛物线的准线方程．本题考查抛物线的方程的求法，考查抛物线的几何性质，属基础题．3.【答案】A【解析】解：椭圆C：x 250+y230=1，可得a2=50，b2=30，∴离心率e=ca =√1−b2a2=√1−3050=√105，故选：A.利用离心率e=ca =√1−b2a2即可得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：圆C1：x2+y2−4x−6y+9=0的圆心为C1(2,3)，半径为2，圆C2：(x+1)2+(y+1)2=9的圆心为C2(−1,−1)，半径为3，而|C1C2|=√(2+1)2+(3+1)2=5=2+3，所以圆C1与圆C2的位置关系为外切．故选：B.判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论．本题考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为3，则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，B 1(3,3,3)，因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(1,1,0)，F(3,2,2)，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2)，故|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+4=3，故选：A.根据题意，建立空间直角坐标系，结合条件求得E ，F 的坐标，再利用空间向量的模的坐标表示即可得解．本题考查了空间中两点间距离的计算问题，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，在数表中，第n 行，有n 个数，而a 100为按从上到下、从左到右的顺序的第100个数，又由1+2+3+ (13)13×142=91，则a 100为第14行的第9个数，故a 100=38，故选：B.根据题意，归纳可得在数表中，第n 行，有n 个数，由此可得a 100为第14行的第9个数，分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，注意分析数表的规律，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：因为√x 2+y 2−2x −2y +2+√(x −2)2+y 2=√(x −1)2+(y −1)2+√(x −2)2+y 2，表示点(x,y)到点(1,1)，(2,0)的距离之和，又因为x +y =0，所以上述式子表示直线x +y =0上的点(x,y)到点A(1,1)，点B(2,0)的距离之和的最小值．设A(1,1)关于直线x +y =0的对称点为C(a,b)，则有{b−1a−1=1a+12+b+12=0，解得{a =−1b =−1，所以|BC|=√(2+1)2+12=√10，所以直线x +y =0上的点(x,y)到点A(1,1)，点B(2,0)的距离之和的最小值为|BC|=√10. 故选：C.将原式化简为√(x −1)2+(y −1)2+√(x −2)2+y 2，表示直线x +y =0上的点(x,y)到点A(1,1)，点B(2,0)的距离之和的最小值，求出A(1,1)关于直线x +y =0的对称点C(−1,1)，再由两点间的距离公式求出|BC|的长度即得答案．本题考查了代数式的几何意义、转化思想、数形结合思想，难点是将代数式转化为几何意义，作出图象是关键，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：{a n }为等比数列，a 5+a 8=−3，a 6a 7=−18， ∴a 5a 8=a 6a 7=−18，∴a 5，a 8是方程x 2+3x −18=0的两个根，解方程得{a 5=−6a 8=3或{a 5=3a 8=−6，当{a 5=−6a 8=3时，q 3=a 8a 5=−12，a 2+a 11=a 5q 3+a 8q 3=−6−12+3×(−12)=212；当{a 5=3a 8=−6时，q 3=a 8a 5=−2，a 2+a 11=a 5q 3+a 8q 3=3−2+(−6)×(−2)=212. 故选：C.由等比数列性质得a 5a 8=a 6a 7=−18，a 5，a 8是方程x 2+3x −18=0的两个根，解方程得{a 5=−6a 8=3或{a 5=3a 8=−6，再利用等比数列的通项公式能求出结果．本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】BCD【解析】解：x−x0y−y 0=2表示过点P(x 0,y 0)且斜率为2的直线方程不正确，不含点P(x 0,y 0)，选项A错误；直线x −2y −4=0的斜率为12，则该直线的一个方向向量a ⃗ =(2,1)，故B 正确；设圆上任一点为P(x,y)，则有PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，代人坐标即可得以A(4,1)，B(1,−2)为直径的圆的方程为(x −4)(x −1)+(y −1)(y +2)=0，故C 正确；(m +1)x +(2m −1)y −1−4m =0(m ∈R)即m(x +2y −4)+x −y −1=0，令{x +2y −4=0x −y −1=0，解得x =2，y =1，恒过定点(2,1)，故D 正确，故选：BCD.由直线方程的点斜式判断A ；由方向向量的定义可判断B ，点P(2,3)，Q(−4,1)，设圆上任一点为P(x,y)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可以判断C ；对于A ，将直线变形m(x +2y)−x −y −3=0，即可判断D. 本题主要考查直线系过定点的求法，以及圆的方程的求法，直线的点斜式方程，直线的方向向量，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 9+a 10+a 11>0，a 9+a 12<0， ∴{a 1+8d +a 1+9d +a 1+10d >0a 1+8d +a 1+11d <0，∴{a 1+9d >02a 1+19d <0，∴a 1>0，d <0， ∴数列{a n }是单调递减数列，故A 错误；a 10>0，a 11<0，∴当n =10时，S n 最大，故B 正确；S 19=192(a 1+a 19)=19a 10>0，S 20=202(a 1+a 20)=10(a 9+a 12)<0， ∴S 19⋅S 20<0，故C 正确；S 20=202(a 1+a 20)=10(a 9+a 12)<0，数列{a n }是单调递减数列， ∴S 21<0，∴S 20⋅S 21>0，故D 错误．故选：BC.推导出{a 1+9d >02a 1+19d <0，从而a 1>0，d <0，进而数列{a n }是单调递减数列，a 10>0，a 11<0，S 19=192(a 1+a 19)=19a 10>0，S 20=202(a 1+a 20)=10(a 9+a 12)<0，S 21<0，由此能求出结果．本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：设|F 1P|=m ，|PF 2|=n ，由题意可得ca =34，2a +2c =14，a 2=b 2+c 2，解得a =4，c =3，b 2=7，∴椭圆C 的方程为x 216+y 27=1，因此A 正确；∵m +n =2a =8，∴8≥2√mn ，化为mn ≤16，当且仅当m =n 时取等号，因此B 正确；设△F 1PF 2内切圆的半径为r ，则12r(2a +2c)=12×2c ×|y P |≤3×√7，∴r ≤3√77，∴△F 1PF 2内切圆的面积的最大值为πr 2=9π7，因此C 不正确； cosF 1PF 2=m 2+n 2−(2c)22mn=(m+n)2−2mn−4c 22mn=14m⋅n−1≥14(m+n2)2−1=−18.当且仅当m =n =4时取等号，因此D 正确．故选：ABD.由题意可得c a=34，2a +2c =14，a 2=b 2+c 2，解得a ，c ，b 2，可得椭圆C 的方程，结合基本不等式、三角形内切圆的面积计算公式、三角形面积计算公式、余弦定理即可判断出结论．本题考查了椭圆的定义与标准方程及其性质、基本不等式、三角形内切圆的面积计算公式、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：对于A.当λ=12，μ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 是BC 1与CB 1的交点，如图，建立空间直角坐标系，A(2,0,0)，P(1,2,√2)，D(0,0,0)，B 1(2,2,2√2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,√2)，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2√2)，所以|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√7×4=3√714，故A 正确；对于B.当μ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时，点P 在线段EF 上，(E,F 分别是棱BB 1，CC 1的中点)，此时D 1(0,0,2√2)，C(0,2,0)，P(x,2,√2)，0≤x ≤2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2,√2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2√2)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2)×0+2×2−√2×2√2=0恒成立，所以当μ=12时，有AP ⊥D 1C ，故B 正确；对于C.当λ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 在线段HS 上，(H,S 分别B 1C 1是BC 的中点)， P(1,2,z)，0≤z ≤2√2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,z −2√2)，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,z −2√2)，当AP ⊥D 1P 时，有AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+4+z(z −2√2)=0，即z 2−2√2z +3=0，Δ<0，所以方程无解，不存在点P 使AP ⊥D 1P ，故C 错误；对于D.当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 在线段CC 1上，P(0,2,z)，M(0,1,0)， C 1(0,2,2√2)，MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2√2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,z)，0≤z ≤2√2，若AP ⊥MC 1，则MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2√2)⋅(−2,2,z)=2+2√2z =0，解得：z =−√22，不成立，所以不存在点P ，使得AP ⊥MC 1，故D 错误．故选：AB.首先根据λ，μ的值，确定点P 的位置，再利用空间向量的垂直和线线角的坐标运算，即可判断选项．本题考查异面直线所成的角，考查线线垂直的判断，属中档题．13.【答案】−58【解析】解：∵空间向量a ⃗ =(3,2,λ)，b ⃗ =(λ−2,λ,8)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴λ−23=λ2=8λ，可得λ=−4，∴向量a ⃗ =(3,2,−4)，b ⃗ =(−6,−4,8)，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =3×(−6)+2×(−4)+(−4)×8=−58.故答案为：−58.直接根据向量共线求得λ，再代入数量积求解即可．本题主要考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】x 216−y 248=1【解析】解：因为点F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点，过点F 作倾斜角为60∘的直线l ，直线l 与双曲线C 有唯一交点P ，所以直线l 与渐近线平行，所以ba =tan60∘=√3，即b =√3a,c =2a ，所以双曲线为x 2a 2−y 23a 2=1，因为|FP|=6，所以x P =3−c,y P =3√3，即P(3−2a,3√3)，代入双曲线方程可得(3−2a)2a 2−273a 2=1，解得a =4，或a =0(舍去)，所以b =4√3,c =8，所以双曲线C 的方程为x 216−y 248=1，故答案为：x 216−y 248=1.根据题意得b =√3a,c =2a ，由|FP|=6，得P(3−2a,3√3)，代入方程解决即可．本题考查了双曲线的方程和性质，属于中档题．15.【答案】43【解析】解：∵a n =1n 2+3n+2=1n+1−1n+2，(n ≥2)， ∴当n ≥2时，S n =1+(13−14)+(14−15)+⋅⋅⋅+(1n+1−1n+2) =1+13−1n+2<43，当n =1时，S 1=a 1=1<43， ∴S n <43，∵S n <λ恒成立， ∴λ≥43， ∴λ的最小值为43. 故答案为：43.根据裂项求和法，恒成立问题化为最值，即可求解．本题考查裂项求和法的应用，恒成立问题的求解，属中档题．16.【答案】x −3y −1=0【解析】解：圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0，配方为(x −1)2+(y −2)2=6， ∴圆心E(1,2)，线段EP 的中点(32,12)，|EP|2=(2−1)2+(−1−2)2=10，∴以线段EP 为直径的圆的方程为：(x −32)2+(y −12)2=(12|EP|)2=52，与圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0相减可得直线AB 的方程为：x −3y −1=0. 故答案为：x −3y −1=0.求出以线段EP 为直径的圆的方程，与圆E ：x 2+y 2−2x −4y −1=0相减可得直线AB 的方程．本题考查了直线与圆相切的性质、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)根据题意可得{a 8=a 1+7d =6S 21=21a 1+210d =0，解得{a 1=20d =−2，∴a n =22−2n ；(2)根据(1)可知a n =22−2n ，S n =n(21−n)，令a n =22−2n ≥0，可得n ≤11，∴T 50=a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 11−(a 12+a 13+⋅⋅⋅+a 50)=2S 11−S 50=1670.【解析】(1)根据等差数列的通项公式及求和公式，方程思想，即可求解； (2)先去掉绝对值，再根据等差数列的求和公式，即可求解．本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，方程思想，属基础题．18.【答案】解：(1)直线l ：y =kx −1过定点(0,−1)，圆E ：(x −2)2+(y −3)2=9的圆心坐标为(2,3)，当|AB|最大时，直线l 过圆心，则k =3−(−1)2−0=2，直线l 的方程为y =2x −1；证明：(2)联立{y =kx −1(x −2)2+(y −3)2=9，得(1+k 2)x 2−(8k +4)x +11=0. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，Δ=(8k +4)2−44(1+k 2)>0，即5k 2+16k −7>0， x 1+x 2=8k+41+k2，x 1x 2=111+k2，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+1)⋅(x 2,y 2+1)=x 1x 2+k 2x 1x 2=(1+k 2)⋅111+k2=11.即DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．【解析】(1)求出直线所过定点及圆心坐标，可得|AB|最大时的k 值，则直线方程可求； (2)联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系及数量积的坐标运算证明．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系，AB 为桥面，CD 为水面，设对应抛物线的方程为x 2=2py(p <0)，又点(32,−32)在抛物线上，所以322=2p ×(−32)，解得p =−16，该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距为|p|=16； (2)由题意得|OF|=8米，|FP|=16米，所以tan∠POF =|FP||OF|=168=2，又PO ⊥PQ ，所以tan∠QPF =tan∠POF =2，所以|QF||PF|=|QF|16=2，所以|QF|=32米，又拱形最高点与桥面的距离为32米，所以桥面与水面的距离d =|OF|=8米，所以桥面与水面的距离为8米．【解析】(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系，设对应抛物线的方程为x 2=2py(p <0)，又点(32,−32)在抛物线上，代入求解即可；(2)由题意得|OF|=8米，|FP|=16米，从而可得tan∠POF =|FP||OF|=2，进而由已知可得tan∠QPF =tan∠POF =2，从而可得|QF|=32米，进而可得桥面与水面的距离．本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．20.【答案】解：(1)∵a n+1={a n +2,n 为奇数,2a n ,n 为偶数,，又b n =a 2n−1，∴b n+1=a 2n+1=2a 2n =2a (2n−1)+1=2(a 2n−1+2)=2(b n +2)， ∴b n+1+4=2(b n +4)，又b 1+4=a 1+4=6， ∴数列{b n +4}是以首项为6，公比为2的等比数列， ∴b n +4=6⋅2n−1=3⋅2n ， ∴b n =3⋅2n −4；(2)由(1)可知nb n =3n ⋅2n −4n ，设数列{n ⋅2n }的前n 项和为T n ，则T n =1⋅21+2⋅22+⋅⋅⋅+n ⋅2n ，∴2T n =1⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1，∴−T n =21+22+⋅⋅⋅+2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，∴T n =(n −1)⋅2n+1+2，∴S n =3T n −4[(1+n)n2] =3(n −1)⋅2n+1+6−2n 2−2n.【解析】(1)根据等比数列的定义及通项公式即可求解； (2)根据分组求和法与错位相减求和法即可求解．本题考查等比数列的定义及通项公式的应用，分组求和法与错位相减求和法的应用，属中档题．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥AD ，又平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD =AD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ⊥平面ADP ，又AP ⊂平面ADP ，∴AB ⊥AP ， ∴AP =√PB 2−AB 2=2√3， ∴AP 2+PD 2=AD 2，∴AP ⊥PD ，∵AB//CD ，∴AP ⊥CD ，又PD ∩CD =D ，PD ，CD ⊂平面CDP ， ∴AP ⊥平面CDP.(2)解：过P 作PO ⊥AD 于O ，作OF//CD 交BC 于F ，∵平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面ADP ， ∴PO ⊥平面ABCD ，由(1)知：AP ⊥CD,AP =2√3,PD =2，∴∠PAD =π6，∴PO =12AP =√3,AO =√32AP =3，∴OD =1，以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,√3),D(−1,0,0),C(−1,4,0),A(3,0,0)，∴DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,−√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)，设AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4λ,4λ,0)，∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−4λ,4λ,−√3)， ∵直线PE 与直线DC 所成的角为π4，∴|cos <PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√(3−4λ)+16λ+3=√22，解得：λ=12，∴PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3)，设平面PDE 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +√3z =0PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +2y −√3z =0，令z =1，解得：x =−√3,y =√3， ∴n ⃗ =(−√3,√3,1)，设平面PAC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3a −√3c =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−4a +4b =0，令a =1，解得：b =1,c =√3，∴m ⃗⃗⃗ =(1,1,√3)；设平面PDE 与平面PAC 夹角为θ， ∴cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√3√7×√5=√10535，即平面PDE 与平面PAC 夹角的余弦值为√10535.【解析】(1)根据面面垂直性质可证得AB ⊥平面ADP ，则AB ⊥AP ，利用勾股定理可证得AP ⊥PD ，结合AP ⊥CD ，由线面垂直的判定可得结论；(2)作PO ⊥AD ，垂足为O ，作OF//CD ，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据线线角的向量求法可构造方程求得λ=12，利用面面角的向量求法可求得结果．本题考查了线面垂直的证明以及两平面夹角的计算，属于中档题．22.【答案】解：(1)设动圆的圆心为P(x,y)，半径为r ，圆E ：(x +3)2+y 2=18的圆心E(−3,0)，半径r 1=3√2，圆F ：(x −3)2+y 2=2的圆心F(3,0)，半径r 2=√2，由题意可得{|PE|=r +r 1|PF|=r −r 2，即|PE|−|PF|=4√2<|EF|，而E ，F 为定点，由双曲线的定义可得P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a =4√2，c =3，可得a =2√2，b 2=c 2−a 2=9−8=1，所以曲线C 的方程为x 28−y 2=1(x ≥2√2)； (2)证明：将①②作为条件，由题意可得直线l 的方程为：y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 2−8y 2=8，整理可得：(1−8k 2)x 2−16kmx −8m 2−8=0， Δ=162k 2m 2+4(1−8k 2)[8m 2+8]>0，可得m 2>8k 2−1，且x 1+x 2=16km 1−8k2，x 1x 2=−8m 2−81−8k2，由题意k 1+k 2=y 1−1x 1−4+y 2−1x 2−4=(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)，因为k 1+k 2=0，所以(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)=0，即(kx 1+m −1)(x 2−4)+(kx 2+m −1)(x 1−4)=0，整理可得：2kx 1x 2+(m −1−4k)(x 1+x 2)−8(m −1)=0，即2k ⋅−8m 2−81−8k2+(m −1−4k)⋅16km 1−8k2−8(m −1)=0，即整理可得：8k 2+2k −1+m(1+2k)=0，即(1+2k)(m +4k −1)=0，解得k =−12或m =1−4k ，当m =1−4k 时，直线l 的方程为y =kx +1−4k =k(x −4)+1恒过定点P(4,1)，(舍)，所以k =−12，即证明①②⇒③；若选①③，则直线l 的方程为y =−12x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =−12x +m x 2−8y 2=8，整理可得：x 2−8mx +8m 2+8=0，Δ=64m 2−4(8m 2+8)>0，即m 2>1，且x 1+x 2=8m ，x 1x 2=8m 2+8， k 1+k 2=y 1−1x 1−4+y 2−1x 2−4=(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)，因为(y 1−1)(x 2−4)+(y 2−1)(x 1−4)=(12x 1+m −1)(x 2−4)+(−12x 2+m −1)(x 1−4)=−x 1x 2+(m +1)(x 1+x 2)−8(m −1)=−(8m 2+8)+(m +1)⋅8m −8(m −1)=0，所以②成立；若②③成立时，设直线l 的方程为：y =−12x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设双曲线上点P(x 0,y 0)，联立{y =−12x +m x 2−8y 2=8，整理可得：x 2−8mx +8m 2+8=0，Δ=64m 2−4×(8m 2+8)>0，可得m 2>1，x 1+x 2=8m >0，x 1x 2=8m 2+8，则意k 1+k 2=y 1−y 0x 1−x 0+y 2−y 0x 2−x 0=(−12x 1+m−y 0)(x 2−x 0)+(−12x 2+m−y 0)(x 1−x 0)(x 1−x 0)(x 2−x 0)，因为k 1+k 2=0，所以(−12x 1+m −y 0)(x 2−x 0)+(−12x 2+m −y 0)(x 1−x 0)=0，即−x 1x 2+(12x 0+m −y 0)(x 1+x 2)−2x 0(m −y 0)=0，即−(8m 2+8)++(12x 0+m −y 0)⋅8m −2x 0(m −y 0)=0，整理可得：2m(x 0−4y 0)+2x 0y 0−8=0，可得{x 0−4y 0=02x 0y 0−8=0x 028−y 02=1，解得x 0=4，y 0=1，即P 点的坐标(4,1)，即证得②③⇒①成立；【解析】(1)设动圆的圆心的坐标及半径，由题意及双曲线的定义可得曲线C 为双曲线的右支，并可得双曲线的方程；(2)若①②作为条件时，设直线l 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA ，PB 的斜率之和，将两根之和及两根之积代入整理可得直线l 的斜率的值，可证得③成立；若①③成立，设直线l 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA ，PB 的斜率之和，代入整理可得斜率之和为0，即证得②成立；若②③成立，设直线l 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA ，PB 的斜率之和，令斜率之和为0，可得点P 的坐标，即证得①成立．本题考查点的轨迹方程的求法及直线与双曲线的综合应用，属于中档题．。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

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【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的．1．命题〝假设2x =，那么2320x x -+=〞的逆否命题是〔〕A 、假设2x ≠，那么2320x x -+≠B 、假设2320x x -+=，那么2x =C 、假设2320x x -+≠，那么2x ≠D 、假设2x ≠，那么2320x x -+=2．〝直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的〔〕A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件3 ．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．假设AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，那么线段AB 的长为〔 )A 、6B 、9C 、12D 、无法确定4．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x5．圆心在抛物线xy 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是〔〕 A 、01222=+--+y x y x B 、041222=---+y x y x C 、01222=+-++y x y xD 、041222=+--+y x y x6．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．那么该四面体在xOz 平面的投影为〔〕A 、B 、C 、D 、7．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一个焦点在直线l 上，那么双曲线方程为〔〕A 、221205x y -=B 、221520x y -=C 、2233125100x y -=D 、2233110025x y -=8．变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，那么yx 的最小值是〔〕A 、1B 、4C 、23 D 、09．a, b, c 均为直线，α, β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：〔1〕任意给定一条直线a 与一个平面α，那么平面α内必存在无数条与a 垂直的直线；〔2〕任意给定的三条直线a, b, c ，必存在与a, b, c 都相交的直线；〔3〕α//β，βα⊂⊂b a , ，必存在与a, b 都垂直的直线；〔4〕βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , ，假设a 不垂直c ，那么a 不垂直B 、其中真命题的个数为〔〕 A 、 1B 、2C 、3D 、410．抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()22221x y a b a b -=>0,>0的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，那么该双曲线的离心率为〔〕 A 2 B 、2 C 2＋1 D 2－1PABCDE11．抛物线方程为x y 82=，直线l 的方程为02=+-y x ，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到l 的距离为2d ，那么21d d +的最小值为〔〕 A 、232- B 、222- C 、22 D 、222+ 12．双曲线13422=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，O为坐标原点，P 为双曲线右支上一点，21PF F ∆的内切圆的圆心为Q ，过2F 作PQ 的垂线，垂足为B ，那么OB 的长度为〔〕A 、7B 、4C ．3D 、2【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分．13．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为14．2019某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-6252x y x y x ，那么该校招聘的教师最多是名．15．如图，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点.那么异面直线AC 与DE 所成角的正切值为 . 16．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥如右图，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥底面面积是这个球面面积的316，那么较大圆锥与较小圆锥的体积之比为___________【三】解答题：本大题共5小题，共70分．解答须写出相应文字说明、证明过程和演算步骤．17．(总分值12分) 在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点M ()0,3-、N ()0,3的距离之和等于4．设点P 的轨迹为C 、 (1) 写出轨迹C 的方程；(2) 设直线y=12x+1 与C 交于A 、B 两点，求|AB|的长。

18．(总分值 14分) 如下图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又//AD BC ，AD DC ⊥，且33PD BC AD ===.〔1〕在网格中画出四棱准P ABCD -的正视图；〔2〕求证：平面PAD ⊥平面PCD ；〔3〕在棱PB 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PCD ，假设存在，求PEEB 的值. 假设不存在，请说明理由19．(总分值 14分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1，圆心在l 上.(1) 假设圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2) 假设圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.20．(总分值14分) 椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的焦点是(3,0)、3,0)，且椭圆经过点2(2,。

(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直PC BAD线l 恒过定点．21．(总分值16分) 椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>，其四个顶点组成的菱形的面积是O 为坐标原点，假设点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕求线段AB 长度的最小值；〔3〕试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.答案及说明选择题：CACDD AACBC BD填空题：13．3π；14．13；15．7；16．3:1解答题：17．(总分值12分)解：〔1〕设P 〔x ，y 〕 ∵MN PN PM =>=+324由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点，长半轴为2的椭圆. ……2分它的短半轴1,b ==故曲线C的方程为2214y x +=． (4)分〔2〕设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y x y kx ……………………5分消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． (7)分当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-．……………………8分2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-=+-，…………………9分而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=，………………10分所以46517AB =．……………………………………………………………12分18．〔总分值14分〕〔1〕解：四棱准P ABCD -的正视图如下图.………………2分〔2〕证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以 PD AD ⊥. ………………6分因为 AD DC ⊥，PD CD D =，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD . ………………7分因为 AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分〔3〕分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD .………………10分因为 //AD BC ，3BC AD =，所以 13OA AD OB BC ==，即12OA AB =.所以 OA PEAB EB =. 所以//AE OP . ………………12分因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以 //AE 平面PCD . ………………14分19.〔总分值14分〕解：〔1〕联立：⎩⎨⎧-=-=421x y x y ，得圆心为：C(3，2)．……1分[来源:学科网ZXXK]设切线为：3+=kx y ，d ＝11|233|2==+-+r k k ，得：430-==k k 或．故所求切线为：343+-==x y y 或． ……6分〔2〕设点M(x ，y)，由MO MA 2=，知：22222)3(y x y x +=-+，……8分化简得：4)1(22=++y x ， ……10分即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D 、又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． ……11分故：1≤|CD|≤3，其中22)32(-+=a a CD ． ……12分解之得：0≤a ≤125 ． ……14分20.〔总分值14分〕解：〔1〕椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>∴ 223a b -=，24a ==所以所求椭圆C 的方程为2214x y += (4)分〔2〕方法一〔1〕由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意. (2)不妨设直线l 的方程为x ky m =+．由22,14x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(4)240k y kmy m +++-=. …………………7分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么有12224kmy y k +=-+……①,212244m y y k -=+………② ………………… 8分因为以AB 为直径的圆过点M ，所以0MA MB ⋅=．由1122(2,),(2,)MA x y MB x y =-=-，得1212(2)(2)0x x y y --+=．将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得221212(1)(2)()(2)0ky y k m y y m ++-++-=. ……… ③ ……………………12分将①②代入③，得 225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =〔舍〕．综上，直线l 经过定点6(,0).5 (14)分方法二证明：(1) 当k 不存在时，易得此直线恒过点6(,0)5.…………7分〔2〕当k 存在时.设直线l y kx m =+的方程为，1122(,),(,)A x y B x y ，(2,0)M .由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(41)84120k x kmx m +++-=. 2216(41)0k m ∆=-+>1228,41kmx x k -+=+ ……①21224441m x x k -=+ ……. ② …………………9分由题意可知0MA MB ⋅=,1122(2,),(2,),MA x y MB x y =-=- 1122,.y kx m y kx m =+=+可得 1212(2)(2)0x x y y -⋅-+=. …………………10分整理得221212(2)()(1)40km x x k x x m -+++++= ③把①②代入③整理得 222121650,41k km m k ++=+ 由题意可知22121650,k km m ++=解得62,.5m k m k =-=- 〔i 〕当2,(2)m k y k x =-=-即时，直线过定点〔2,0〕不符合题意，舍掉.……12分〔ii 〕 65m k =-时，即6()5y k x =-，直线过定点6(,0)5，经检验符合题意. 综上所述，直线l 过定点6(,0)5 .…………………14分21.〔总分值16分〕21、解：〔1〕由题意22242c e a ab ⎧==⎪⎨⎪=⎩，解得224,2a b ==. 故椭圆C 的标准方程为22142y x +=. ……………4分〔2〕设点A ，B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ，其中00≠y ，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020+=x ty ， ……………5分解得02=-x t y ，又220024+=x y ，所以22200||(2)()=-+-AB x y t =2200002(2)()-++x x y y =2220002044+++x x y y =2220002042(4)42--+++y y y y =22002084(04)2++<≤y y y ，……………8分因为22002084(04)2+≥<≤y y y ，当且仅当204=y 时等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB 长度的最小值为22 ……………9分〔3〕直线AB 与圆222x y +=相切. ……………10分证明如下：设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(2,)t ，其中00y ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020x ty +=，解得02x t y =-. ……………11分直线AB 的方程为00(2)2y ty t x x --=--，即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=， ……………12分圆心O 到直线AB的距离d =……………13分由220024y x +=，02x t y =-，故d === ，所以直线AB 与圆222x y +=相切. ……………16分。