【初中】初中数学方程的解法及应用
人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)
D 1．(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根，则 m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D． 3
2．（2021•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等 的实数根，则实数k的值为 k 9．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41（- 4） 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二：一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解：a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三：判别式和一元二次方程根的情况
5．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中
考点二：一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习： 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2．若方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的 取值范围是（a 1且a 0 ）
初中二年级数学解方程方法技巧
初中二年级数学解方程方法技巧1.一元一次方程的解法一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程。
解一元一次方程的方法有：- 平移法：将未知数项和常数项移到等号的两边，通过移项、化简和运算，找到未知数的值。
平移法：将未知数项和常数项移到等号的两边，通过移项、化简和运算，找到未知数的值。
- 等价法：对等号两边进行同样的变换，使方程变为等价的简单形式，在观察方程的性质后求解未知数的值。
等价法：对等号两边进行同样的变换，使方程变为等价的简单形式，在观察方程的性质后求解未知数的值。
2.一元二次方程的解法一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程。
解一元二次方程的方法有：- 因式分解法：将方程转化为两个一次方程，然后解出未知数的值。
因式分解法：将方程转化为两个一次方程，然后解出未知数的值。
- 配方法：通过将方程化简为完全平方形式，然后求解未知数的值。
配方法：通过将方程化简为完全平方形式，然后求解未知数的值。
- 公式法：利用求根公式，直接求出未知数的值。
公式法：利用求根公式，直接求出未知数的值。
3.应用题的解法数学中的应用题常常需要通过解方程来求解。
解这类问题的关键是将问题转化为一个方程，并通过解方程来得到答案。
解应用题的方法有：- 列式解法：根据问题的条件，列出相应的方程或不等式，然后解方程或不等式得到答案。
列式解法：根据问题的条件，列出相应的方程或不等式，然后解方程或不等式得到答案。
- 代数解法：通过定义未知数，并利用相关的方程或不等式，解出未知数的值。
代数解法：通过定义未知数，并利用相关的方程或不等式，解出未知数的值。
以上是初中二年级数学解方程的常见方法和技巧，希望对你有帮助！。
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结二次函数是初中数学中重要的内容之一，它在代数与几何中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数的解法与应用知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、二次函数的标准形式与一般形式二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 可以是任意实数。
二、二次函数图像的性质1. 开口方向：- 当 a > 0 时，二次函数开口朝上；- 当 a < 0 时，二次函数开口朝下。
2. 对称轴：对于二次函数 y = ax² + bx + c，其对称轴为 x = -b / (2a)。
对称轴平分了抛物线，并且抛物线上任意两点关于对称轴对称。
3. 最值点：- 当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)；- 当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)。
三、二次函数的解法1. 求零点：通过解二次方程 ax² + bx + c = 0 来求二次函数的零点。
- 当Δ = b² - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac < 0 时，方程无实数根。
2. 求顶点：二次函数的顶点为最值点，可通过顶点公式 x = -b / (2a) 来求得。
四、二次函数的应用知识点1. 面积与最值：在给定条件下，一个矩形的面积最大或最小值可以由一个二次函数的最值点确定。
2. 抛物线的运动轨迹：- 在自由落体的问题中，我们可以利用二次函数来建立小球的运动模型；- 在抛体运动的问题中，我们也可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
七年级上册数学一元一次方程应用题知识点
七年级上册数学一元一次方程应用题的知识点主要包括以下几个方面：
1.方程的概念：了解方程的基本定义，即含有未知数的等式。
2.一元一次方程的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将一元一
次方程化为标准形式，并求解。
3.方程的解与解集：理解方程的解是指使方程成立的未知数的值，而解集则是指所有
满足方程的未知数的值的集合。
4.实际问题的数学模型：能够将实际问题转化为数学问题，通过建立一元一次方程来
求解。
在应用题方面，通常会涉及到以下几种类型：
1.相遇问题：两个物体在某一点相遇，需要求出它们的速度和时间等参数。
2.追及问题：一个物体追赶另一个物体，需要求出追赶的速度和时间等参数。
3.利润与折扣问题：涉及到商品的利润和折扣计算，需要建立一元一次方程来求解。
4.工程的分配问题：需要分配一定量的工程任务给多个工人或机器，需要根据各自的
效率或能力进行分配，需要建立一元一次方程来求解。
总之，七年级上册数学一元一次方程应用题的知识点包括方程的概念、一元一次方程的解法、方程的解与解集以及实际问题的数学模型等。
通过掌握这些知识点，可以更好地解决实际问题。
一元一次方程的解法及其应用(含答案)初中数学
一元一次方程的解法及其应用［教学目标］1. 经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2. 了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程中的作用。
3. 会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想，了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活运用。
4. 会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
5. 通过实践与探索过程，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。
【典型例题】例1. 已知()||m x m +=-320032是关于x 的一元一次方程，求m 的值。
解：由一元一次方程的定义可知： ||m m -=+2130，且≠由||||m m m -===2133，得，则± 又由m m +-303≠，得≠ ∴m =3小结：方程ax b a a b +=00()≠，且、为已知数是关于x 的一元一次方程，这里包含有（1）未知数只有一个，且未知数的最高次数是“1”。
（2）未知数的系数合并后不能为零。
（3）它必须是等式。
例2. 已知x =23是一元一次方程334325()m x x m-+=的解，则m 的值是多少？ 解：因为x =23是方程334325()m x x m-+=的解，所以3342332235()m m -+=××即33215m m -+=解得m =-14小结：方程的解是指满足方程两边相等的未知数的值，x =23是原方程的解，则把原方程中的x 换成23后等式仍然成立。
从而可以得到另一个关于m 的方程求解。
例3. 解下列方程：（1）5263x x +=-（2）0408613...x x -=- （3）30%70%(440%x x x ++=-)（4）32234122[()]xx ---= （5）97352775x x +=-（6）21431233436()()()x x x -+-=-+ （7）x x +--=-40230516...解：（1）5263x x +=-移项得： 2365+=-x x 合并同类项得：5=x ∴x =5（2）由方程0408613...x x -=-两边同时乘以10得： 486013x x -=-413608x x +=+ 1768x = x =4（3）30%70%(440%x x x ++=-) 方程两边都乘以100得： 3070440x x x ++=-()3744x x x ++=-() 372840x x x +++= 1428x =- x =-2（4）32234122[()]xx ---=去中括号得：()xx 4132---=xx 4132---= x x --=1648 -=324x x =-8 （5）97352775x x +=-97273575x x -=--x =-2（6）21431233436()()()x x x -+-=-+ 21431233436()()()x x x -----=()()x ---=321412346436()x -=4126x -= 418x =x =92（7）x x +--=-40230516...545022320516().()..x x +--=-××5202616x x +-+=-. 3276x =-. x =-92.例 4. 如果关于x 的方程23523331432x x n x n n -=--=+-与()的解相同，求()n -3582的值。
初中数学中的二次方程与解法
初中数学中的二次方程与解法二次方程在初中数学中是一个重要的概念，它不仅在代数学中起着重要作用，而且在几何学中也有广泛的应用。
本文将介绍二次方程的定义、解法以及解的性质，帮助读者更好地理解和应用二次方程。
一、二次方程的定义二次方程是指形如 ax² + bx + c = 0 的代数方程，其中 a、b、c 为已知实数（a ≠ 0），并且 a、b、c 具有特定的意义。
其中，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。
二次方程的解即是能够使得方程等号两边相等的未知数的值。
二、二次方程的解法针对二次方程的不同形式和条件，我们可以采用不同的解法来求解。
1. 因式分解法当二次方程的系数具有特殊的关系时，可以通过因式分解的方法求解。
例如，对于形如 x² - 5x + 6 = 0 的二次方程，我们可以将其分解为(x - 2)(x - 3) = 0，然后令括号中的因式分别等于零，得到 x = 2 或 x = 3。
因此，这个二次方程的解为 x = 2 或 x = 3。
2. 公式法对于一般的二次方程，我们可以通过求解二次根式来得到其解。
二次方程的解公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)其中，±表示两个相反的符号可以取任意一个，√ 表示求平方根。
通过将二次方程的系数 a、b、c 代入公式，我们可以求得二次方程的解。
例如，对于形如 x² - 2x - 3 = 0 的二次方程，根据公式可以得到：x = (2 ± √((-2)² - 4*1*(-3)))/(2*1)= (2 ± √(4 + 12))/(2)= (2 ± √(16))/(2)= (2 ± 4)/(2)根据计算结果可以得到，x = (2 + 4)/2 = 3 或 x = (2 - 4)/2 = -1，因此这个二次方程的解为 x = 3 或 x = -1。
初中数学《方程组的解法和应用》单元教学设计以及思维导图1
方程组的解法和应用适用年级七年级所需时间5课时主题单元学习概述本章主要内容及特点方程组是解决涉及求多个未知数的问题的有力工具.本章在学生对一元一次方程已有认识的基础上,对二元一次方程组进行讨论,并由此为今后进一步学习线性方程组及平面解析几何奠定基础.本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想,感受代数方法的优越性,同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
本章特别强调使学生经历建立二元一次方程组这种数学模型并应用它解决实际问题的过程,把体会方程组的作用和消元思想,掌握运用方程组解决问题的一般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强数学应用意识作为本章的中心任务。
本章由四节组成，学习的重点是二元一次方程组的解法，难点是列二元一次方程组解应用题。
主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：1.掌握二元一次方程组的含义及解法2.理解三元一次方程组的含义及解法3.能运用二元一次方程组解决实际问题过程与方法：1.体会“消元”的思想。
2.注意数学中转化思想的运用情感态度与价值观：1.在“化未知为已知”的过程中，体会化归的数学美。
2.引导学生多角度思考问题，培养开拓、创新意识。
对应课标掌握二元一次方程组的相关概念及解法，掌握灵活运用代入消元法和加减消元法的基本思想，将“未知”转化为“已知”，把复杂的问题转化为简单问题的化归思想，能应用二元一次方程组解决实际问题。
主题单元问题设计1. 二元一次方程组的解有多少？2.如何从实际问题中得到二元一次方程组？专题划分专题一：二元一次方程组的认识及解法（2 课时）专题二：三元一次方程组（1课时）专题三：列方程组解应用题（2课时）.......其中，专题2 （或专题中的活动作为研究性学习）专题一二元一次方程组的认识及解法所需课时2课时专题学习目标1. 掌握二元一次方程组的含义及解法。
2. 在解二元一次方程组的过程中体会“消元”的思想。
专题问题设计1.什么是二元一次方程(组）？2.什么是二元一次方程（组）的解？怎么解？所需教学环境和教学资源多媒体课件学习活动设计第一课时活动一、预习导学：（一）复习回顾1、什么叫一元一次方程？2、如何判断一个数是不是一元一次方程的解？3、若是方程的解，求的值.活动二、探究新知：（1）（一）二元一次方程的概念：1、山东黄金队在CBA联赛的某12场比赛中得到20分，那么黄金队在12场比赛中胜负场数各是多少？（CBA联赛规则：每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分）要求：1、尝试设两个未知数列方程2、只列方程不求解2、请与一元一次方程进行对照、思考，给新方程命名并写出它的定义：运用新知3、请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由？(1) x-2y=8;(2) x2+y=0;(3) x=2/y+1;(4) a+1/2b；(5) xy+y=2;4、若方程x2 m –1 + 5y3n –2 = 7是二元一次方程.求m、n的值探究新知（二）二元一次方程的解：5、对于问题1：设胜x场，负y场，所列的方程是x＋y＝12，2x＋y＝20.要求每组中的1号同学做第(1)题，2号做第(2)题，然后组内交流。
剖析初中数学中的解方程的基本步骤及应用
剖析初中数学中的解方程的基本步骤及应用一、引言在初中数学学习中，解方程是一个重要的知识点。
通过解方程，我们可以求得未知数的值，帮助我们解决实际问题。
本文将深入剖析初中数学中解方程的基本步骤及其应用。
二、解方程的基本步骤1.明确问题首先，我们需要明确所给的方程是什么问题的数学描述。
例如，通过一个例子来说明：小明的年龄比小红的年龄大5岁，小红的年龄比小华的年龄大3岁，现在我们需要求解三个人的年龄。
2.列方程确定未知数及其关系后，我们可以通过列方程来表示问题。
根据上面的例子，设小明的年龄为x，则小红的年龄为(x-5)，小华的年龄为(x-8)。
3.化简方程为了便于解方程，我们需要通过一些数学运算将方程进行化简。
例如，将上述例子中的方程进行化简，得到x + (x-5) + (x-8) = 总年龄。
4.解方程通过数学运算，我们可以求解方程中的未知数。
将方程进行合并计算，得到3x -13 = 总年龄。
5.验证解在得到方程的解之后，我们需要验证解是否符合原问题的条件。
以小明、小红和小华的年龄问题为例，我们可以将解代入原方程进行验证。
三、解方程的应用1.实际问题的解决解方程在解决日常生活问题中有着广泛的应用。
以线性方程为例，通过解方程，我们可以求解物品的价格、人的年龄、速度与时间的关系等。
解方程为我们提供了解决实际问题的有效工具。
2.提高逻辑思维能力解方程过程中需要运用逻辑推理和数学运算，培养了学生的逻辑思维能力。
通过解方程，学生需要将问题进行拆解、推理并运用数学知识进行计算，从而提高了解决问题的能力。
3.培养问题解决能力解方程是一个系统性的问题解决过程，需要学生进行分析和思考，通过逐步推导找到解决方案。
这种问题解决的能力对学生的综合素质提升起着关键作用。
四、结论解方程在初中数学中具有重要的地位，掌握解方程的基本步骤对学生的数学学习与实际问题解决能力有着积极的影响。
通过解方程，学生不仅可以学到数学知识，还可以培养逻辑思维和问题解决能力。
初中数学教案：线性方程组的解法和应用
初中数学教案：线性方程组的解法和应用一、线性方程组的解法线性方程组是初中数学中的重要内容，它描述了多个变量之间的关系。
解线性方程组可以帮助我们解决实际问题，掌握解法和应用方法对于学生的数学素养是必不可少的。
1.1 消元法消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
通过逐步消去未知量，将线性方程组化简为较简单的形式，从而得到方程组的解。
下面以一个简单的例子来说明消元法的步骤：例题：解下面的线性方程组2x + 3y = 84x - 2y = 2解法：首先，我们通过变换等式使得第一个方程的系数为1，即将第一个方程乘以2/4，得到新的方程组：2x + 3y = 82x - y = 1然后，将第二个方程的系数与第一个方程相减，消去x的变量：2x + 3y = 8- (2x - y = 1)---------------4y = 7最后，求出y的值：y = 7/4将y的值代入原方程组的第一个方程，求出x的值：2x + 3(7/4) = 82x + 21/4 = 82x = 8 - 21/4x = 23/8所以，原方程组的解为：x = 23/8，y = 7/4。
1.2 代入法代入法是解线性方程组的另一种常用方法。
通过将一个方程的解代入另一个方程中，逐步求解出未知量。
以下是一个例题的解法步骤：例题：解下面的线性方程组3x + 2y = 72x - y = 1解法：首先解出第一个方程的x：3x + 2y = 73x = 7 - 2yx = (7 - 2y)/3然后将x的表达式代入第二个方程中：2[(7 - 2y)/3] - y = 1解出y的值：(14 - 4y)/3 - y = 114 - 4y - 3y = 3-7y = -11y = 11/7最后将y的值代入第一个方程中，求出x的值：3x + 2(11/7) = 73x + 22/7 = 73x = 49/7 - 22/7x = 27/7所以，原方程组的解为：x = 27/7，y = 11/7。
七上数学列方程解应用题公式
七上数学列方程解应用题公式
七年级上册数学列方程解应用题公式主要包括以下几种：
1. 追及问题：甲、乙两物体在同一直线上运动，如果甲、乙做匀速直线运动，那么追及问题的等量关系为：甲的路程+乙的路程=甲与乙的初始距离。
2. 相遇问题：甲、乙两物体在某地相向而行，经过一段时间它们相遇了。
相遇问题的等量关系是：甲的路程+乙的路程=两地的距离。
3. 航行问题：航行问题可以分为顺水航行和逆水航行两种情况。
在顺水航行中，船的速度等于船在静水中的速度加上水流的速度；在逆水航行中，船的速度等于船在静水中的速度减去水流的速度。
4. 劳力调配问题：这类问题一般涉及三个等量关系，设工作总量为“1”，
若完成某项工作的人数增加，则工作时间减少；若完成某项工作的人数减少，则工作时间增加。
5. 比例问题：若甲、乙两数的比是 k，那么我们可以得到以下等量关系：甲/乙=k，或者甲=k×乙。
6. 工程问题：在工程问题中，工作量、工作时间和工作效率之间的关系非常重要。
一般来说，工作量=工作时间×工作效率。
这些是七年级上册数学列方程解应用题的主要公式和等量关系。
需要注意的是，这些公式和等量关系都是根据实际问题的情况而定的，具体问题需要具体分析。
在解题过程中，还需要注意单位的统一和换算。
初中数学复习根式方程组的解法与应用
初中数学复习根式方程组的解法与应用根式方程组在初中数学中是一个重要的知识点。
它是由多个根式方程组成的方程组，其中包含未知数和根式。
学好这一知识点，不仅能帮助我们解决实际问题，还能够培养我们的逻辑思维和解题能力。
本文将介绍根式方程组的解法和应用。
一、根式方程组的解法根式方程组的求解需要借助数学方法和技巧。
下面我们来介绍两种常见的解法。
1. 消元法消元法是一种常用的解根式方程组的方法。
其基本思想是通过对方程组进行变形，消除其中的根式，然后利用代入法或等量代换法求解。
例如，考虑以下根式方程组：$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$$2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$我们可以通过平方的方式来消去根式。
将第一条方程两边平方得到：$x + 2\sqrt{xy} + y = 25$（1）将第二条方程两边平方得到：$4x - 2\sqrt{xy} + y = 1$（2）把方程（1）和方程（2）相加得：$5x + 2y = 26$把方程（2）乘以2再减去方程（1）得：$3x - y = -24$联立以上两个方程，可以求得$x=4$和$y=8$。
通过这种方法，我们成功求解了根式方程组的解。
2. 代入法代入法是另一种常用的解根式方程组的方法。
其基本思想是将其中一个方程的一个变量表示成另一个方程中的变量，然后代入到另一个方程中去求解。
例如，考虑以下根式方程组：$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$$\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$由第二条方程可以得到$\sqrt{x} = 1 + \sqrt{y}$。
将其代入第一条方程得：$1 + \sqrt{y} + \sqrt{y} = 5$解得$\sqrt{y} = 2$，进而可得到$y = 4$。
将$y$的值代入$\sqrt{x} = 1 + \sqrt{y}$中，可以得到$\sqrt{x} = 3$，进而可得到$x = 9$。
初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用
初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用初中数学知识归纳：函数与方程的实际问题应用数学是一门实用的学科，在我们日常生活中有着广泛的应用。
其中，函数与方程是数学的基础内容之一，它们在解决实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将归纳整理初中数学中函数与方程的实际问题应用，帮助读者更好地理解和运用这些数学知识。
一、函数在实际问题中的应用我们生活的各个方面都涉及到了函数的应用，比如我们经常听说的速度、抛物线等等。
下面我们具体讨论几个常见的实际问题。
1.1 飞机起降问题假设一架飞机以一个恒定的速率起飞，那么它的高度将随着时间的推移而增加。
我们可以用函数来描述这个过程，假设函数为h(t)，其中t表示时间，h(t)表示飞机的高度。
如果飞机以每秒500米的速度上升，那么可以表示为h(t) = 500t。
1.2 铺设铁路在设计铁路线路时，需要考虑线路的曲线问题，而曲线正是函数的应用之一。
假设铁路是一段半径为r的圆的一部分，而这段圆弧的长度为l。
我们可以用函数来表示这段圆弧的形状，假设函数为y(x)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
通过函数的性质，我们可以计算出曲线的斜率以及其他相关的信息，为铁路的设计提供便利。
1.3 注射药液问题在医学领域，注射药液的输送过程可以用函数来描述。
假设注射药液的浓度随着时间的推移而改变，我们可以用函数C(t)来表示药液的浓度，其中t表示时间。
通过分析函数的变化情况，我们可以得出药液的浓度曲线，并据此做出相关的判断和决策。
二、方程在实际问题中的应用方程在实际问题中的应用同样广泛，通过方程我们可以解决各种实际问题。
下面我们将讨论几个例子。
2.1 物体自由落体问题当一个物体自由落体时，我们可以用方程来描述其运动。
假设物体从一定高度h自由落下，时间t为0时物体的速度为0，我们可以得出以下的方程：h = (1/2)gt^2，其中g是物体自由落体的加速度，也就是重力加速度。
2.2 两个人合作完成任务在某个任务中，两个人一起合作完成，根据问题的具体情况，我们可以利用方程求解他们合作完成任务所需的时间或者速度。
初中数学复习根式方程的解法与应用
初中数学复习根式方程的解法与应用一、根式方程的基本概念与解法根式方程是指涉及根式的数学方程，其中根式可以是平方根、立方根或更高次根的形式。
下面我们来介绍根式方程的基本概念与解法。
1.1 基本概念根式方程是由带有根式的代数式构成的等式，在方程中，未知数所在的那一项通常含有根式。
1.2 解法对于根式方程的解法，一般有以下几种方法：(1) 平方消去法：将方程中含有根号的项进行平方消去，将根式方程转化为一元二次方程或者一元一次方程来求解。
(2) 平方倒置法：将方程中含有根号的项进行平方倒置，通过转化为二次方程或者一次方程的方式，求解根式方程的根。
(3) 配方法：对于一些带有根式的方程，可以通过配方法，将根号的系数进行变形，使方程转化为一元二次方程或者一元一次方程求解。
(4) 分离有理项法：对于含有根号的分式方程，可以通过分离有理项的方法，将方程转化为关于未知数的一次方程，从而求出解。
二、根式方程的应用根式方程在实际生活和科学研究中具有广泛的应用，下面我们来介绍几个典型的应用场景。
2.1 几何应用在几何学中，根式方程被广泛应用于计算图形的边长、面积和体积等问题。
例如，通过根式方程可以求解三角形的边长、矩形的对角线长度以及球体的半径等。
2.2 物理应用在物理学中，根式方程常用于解决运动学、力学和电磁学等问题。
例如，在匀加速运动中，通过根式方程可以求解物体的运动时间，以及抛体运动中的最大高度等。
2.3 金融应用在金融领域中，根式方程可以用于计算复利、利息和贷款等金融问题。
例如，在计算银行利息或者投资收益时，根式方程可以帮助我们准确计算最终的本金与利息。
2.4 工程应用在工程领域中，根式方程常用于计算建筑物的结构设计、强度和稳定性等问题。
例如，在桥梁设计中，通过根式方程可以求解材料的尺寸和使用数量，从而进行合理的施工。
总结：根式方程作为数学中重要的一部分，在初中数学中有着广泛的应用与重要性。
通过掌握根式方程的基本概念与解法，我们可以更好地理解和应用根式方程在实际问题中的解决方法。
初中数学 指数对数方程的解如何计算
初中数学指数对数方程的解如何计算解指数对数方程的方法是根据方程的形式和已知条件，运用指数和对数的性质进行化简和变换，最终求得未知数的值。
下面将介绍一些常见的指数对数方程的解法。
一、指数方程的解法：1. 相同底数的指数方程：如果指数方程的底数相同，即a^x=b^x，可以通过取对数来解方程。
将方程两边取以a或b为底的对数，得到x=log_a(b)或x=log_b(a)。
2. 指数方程的对数变换：对于形如a^x=b的指数方程，可以将其转化为以a为底的对数方程，即x=log_a(b)。
3. 不同底数的指数方程：如果指数方程的底数不同，可以通过将方程两边取对数，然后运用换底公式来解方程。
换底公式是log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，其中c可以是任意正数。
二、对数方程的解法：1. 对数方程的指数变换：对于形如log_a(b)=c的对数方程，可以将其转化为以a 为底的指数方程，即a^c=b。
2. 对数方程的对数变换：如果对数方程的底数不同，可以通过对方程两边取对数，然后运用换底公式来解方程。
换底公式是log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，其中c可以是任意正数。
3. 对数方程的化简：有些对数方程可以通过化简得到更简单的形式，然后进行求解。
例如，对数方程log_a(a^x)=b可以化简为x=b。
三、复合形式的指数对数方程的解法：1. 指数对数方程的化简：对于复合形式的指数对数方程，可以通过化简和变换，将其转化为仅含有指数或对数函数的方程，然后再进行求解。
2. 变量替换：有时可以通过引入新的变量替换来简化复合形式的指数对数方程，然后进行求解。
四、实际问题中的应用：在实际问题中，解指数对数方程的过程通常还涉及到建立方程、分析问题、推导关系等步骤。
需要根据具体问题的特点和已知条件进行建模和求解。
在解题过程中，需要注意以下几点：1. 对数底的选择：根据已知条件和方程的形式，选择合适的对数底。
初中数学一元二次方程在实际生活中的应用案例
初中数学一元二次方程在实际生活中的应用案例初中数学一元二次方程在实际生活中的应用案例一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，学习和掌握它对于解决实际生活中的问题具有重要意义。
以下将介绍几个一元二次方程在实际应用中的案例。
例一：抛物线的应用 - 抛物线喷泉在公园中，常常可以看到美丽的喷泉景观。
这些喷泉往往呈现出一个高高上升的水柱然后再逐渐下落，形成一个美丽的抛物线形状。
喷泉的高度和时间之间的关系可以由一元二次方程来表示。
设喷泉的高度为h（单位：米），时间为t（单位：秒）。
研究显示，喷泉的高度随时间的变化关系可以用以下一元二次方程表示：h = -5t^2 + 20t在这个方程中，-5t^2代表了喷泉高度随时间的递减，并且t^2项的系数-5表示了递减的速率。
喷泉的初始高度是20米，因为方程的常数项20表示了t=0时的高度。
通过对这个方程进行求解，我们可以得到喷泉的高度在不同时间点的具体数值，以及它在不同时间点的高低变化趋势。
这样的分析有助于公园管理者进行喷泉景观的设计和维护。
例二：运动轨迹的预测 - 投掷运动一元二次方程也可以在物体的投掷运动中应用。
当我们投掷物体时，它的运动轨迹往往呈现出一个抛物线形状。
通过建立一元二次方程，我们可以预测物体的运动轨迹和到达目标所需的时间。
假设有个人以初速度v（单位：米/秒）将一个物体投掷出去，物体的运动轨迹可以由方程h = -5t^2 + vt + h0表示，其中h代表物体的高度，t代表时间，h0代表投掷时的高度。
通过解方程，我们可以计算出物体到达地面时所需的时间以及它的落点坐标等信息。
这对于进行远程投掷比赛、预测投掷物下落位置等都非常有用。
例三：经济学中的应用 - 成本与利润一元二次方程在经济学中也有应用，特别是在成本、利润等方面的分析中。
假设某公司的生产成本与产量之间的关系可以用一元二次方程进行表示。
设生产成本为C（单位：元），产量为x（单位：个），则可以用方程C = 2x^2 - 10x + 100来表示。
初中数学二次方程的解法与应用知识点
初中数学二次方程的解法与应用知识点在初中数学的学习中，二次方程就像是一座神秘的城堡，充满了各种有趣的秘密和挑战。
今天，咱们就一起来揭开这座城堡的神秘面纱，好好聊聊二次方程的解法与应用。
先来说说二次方程的一般形式：ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 （a ≠ 0）。
这就像是一个密码锁，要解开它，咱们得有钥匙。
那钥匙是什么呢？就是各种解法！最常见的就是配方法。
配方法就像是给方程这个“小怪兽”量身定制一套衣服，让它变得规规矩矩的。
比如说，对于方程 x²＋ 6x ＋ 8 ＝ 0 ，咱们先把常数项 8 移到等号右边，变成 x²＋ 6x ＝－8 。
然后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，也就是 3²＝ 9 ，得到 x²＋ 6x ＋ 9 ＝ 1 。
这时候左边就变成了一个完全平方式（x ＋ 3）²＝ 1 ，接下来开平方，就能求出 x 的值啦。
还有公式法，这可是个万能钥匙。
只要记住那个神奇的求根公式 x＝b ± √（b² 4ac) ／（2a），把 a、b、c 的值往里一代，答案就出来了。
不过，用公式法的时候可千万要小心，别把符号给弄错了，不然就得不出正确答案咯。
因式分解法也很厉害！就像把一个大蛋糕切成小块，让问题变得简单。
比如方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0 ，咱们可以分解为（x 2）（x 3）＝ 0 ，那 x 2 ＝ 0 或者 x 3 ＝ 0 ，x 的值不就出来了嘛。
说完了解法，再来说说二次方程的应用。
这可有意思啦！记得有一次，学校组织我们去果园帮果农伯伯采摘水果。
果农伯伯给我们出了个难题：果园里有一块长方形的地，准备用来种苹果树。
如果这块地的长比宽多 2 米，面积是 24 平方米，那这块地的长和宽分别是多少呢？这时候，二次方程就派上用场啦！我们设宽为 x 米，那长就是 x ＋2 米。
根据长方形的面积公式，面积＝长 ×宽，就可以列出方程 x（x ＋ 2）＝ 24 ，展开得到 x²＋ 2x 24 ＝ 0 。
数学初中教案：线性方程组的解法与应用
数学初中教案：线性方程组的解法与应用一、线性方程组的解法线性方程组是初中数学中常见的问题，它由多个线性方程共同组成。
解决线性方程组问题的方法有多种，下面我们将介绍几种常用的解法。
1. 列主元消去法列主元消去法是一种常用于解决二元和三元线性方程组的方法。
首先，我们将线性方程组写成增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量合并为一个矩阵，然后通过基本行变换将其化简为最简形。
接着，利用回代或者代入的方法求得未知数的值。
2. 克莱姆法则克莱姆法则适用于规模较小（通常是二阶或三阶）的线性方程组。
该方法要求对应系数矩阵可逆。
根据克莱姆法则，只需要计算系数矩阵与相应未知数对应列向量的行列式，并除以系数矩阵行列式即可得到每个未知数的值。
3. 矩阵消元法矩阵消元法是一种高效解决大规模线性方程组问题的方法。
首先，将线性方程组写成增广矩阵形式，然后利用初等行变换将其化简为梯形矩阵。
接着，通过回代或者逆序消元法求得未知数的值。
二、线性方程组的应用线性方程组不仅在数学理论中有重要的地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。
下面我们将介绍线性方程组的几个常见应用。
1. 电路分析在线性电路分析中，经常需要解决包含电阻、电容和电感等元件的复杂线性方程组。
通过求解这些方程组，可以确定电路中各个元件的电压和电流大小，进而进行相关计算和设计。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用于数据拟合和函数逼近问题的统计技术。
采用最小二乘法，可以通过拟合一个或多个线性方程组来找到与实际测量数据最接近的函数模型。
3. 经济学模型经济学中有许多问题可以转化为线性方程组进行求解。
例如，在供需分析中，通过建立供给曲线和需求曲线对市场平衡价格进行预测；在投资组合理论中，利用资产收益率与风险之间的线性关系对投资组合进行优化配置。
4. 工程应用线性方程组在工程领域也有广泛的应用。
例如，在结构分析中，可以通过求解线性方程组来确定建筑物或桥梁的静力平衡问题；在信号处理中，采用线性方程组可以预测和校正噪声干扰对信号质量产生的影响。
初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析
一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。
初中数学教案：线性方程的解法与应用
初中数学教案：线性方程的解法与应用一、线性方程的解法线性方程是初中数学中常见且重要的内容，掌握了线性方程的解法，可以帮助我们解决实际生活中的问题。
本文将介绍两种常见的线性方程解法：图形法和代入法，并结合具体应用进行说明。
1. 图形法图形法是一种可视化解决线性方程的方法。
对于一元一次方程y=kx+b,如果我们把x作为自变量，y作为因变量，可以得到一个直线。
我们可以通过绘制该直线的图像来找出方程的解。
例如，考虑如下线性方程：y=2x+3我们可以画出这条直线，并观察直线与坐标轴交点所在的位置。
上述例子中，当y=0时，我们可以发现x=-1.5。
同样地，当x=0时，y=3。
由此可见，在图像上找到了两个有意义且具体的点(-1.5, 0)和(0, 3)，它们就是原始方程的解。
通过图形方法求解线性方程有助于我们理解数学模型与现实情景之间的联系。
它使得计算过程更加清晰明了，并能够为许多问题提供直观有效的答案。
2. 代入法代入法是另一种常见的线性方程解法方法。
它基于原始方程中的一个变量可以用其他变量表示的观点。
以如下线性方程为例：2x+y=73x-2y=-11我们可以将第一个方程改写为：y=7-2x接下来，我们可以将y=7-2x代入第二个方程中：3x-2(7-2x)=-11通过展开计算，得到新的等式：7x+4=-11。
再进一步，我们可以解出x的值，并将其代回原方程求得y。
代入法适用于含有多个未知数的线性方程组，它能够更好地实现变量之间的消去和替换，从而简化问题的处理过程。
二、线性方程的应用线性方程在生活中具有广泛应用，在物理、经济学等领域都扮演着重要角色。
以下是线性方程在两个典型问题中的应用案例：1. 走钢丝问题假设有两根平行钢丝悬挂在高楼之间，两人分别站在两根钢丝上进行钢丝走动，他们同时出发并以不同速度前进。
当各自到达终点时（即某个大楼顶层），画一条垂直于地面的虚拟线。
现在我们需要求出这两条虚拟线相交点的坐标。
解决这个问题，我们可以使用线性方程组。
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【关键字】初中
第7讲方程组的解法及应用
◆考点链接
1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义．
2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．
3．会解简单的三元一次方程组．
＊4．会解简单的二元二次方程组．
5．能利用方程组解应用题．
注：标有“＊”号的是选讲内容．
◆典例精析
【例题1】已知的解，求a，b的值．
解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组．
答案：a=2，b=－3
【例题2】解方程组：
（1）
解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x．
答案：（1）
【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围．
解：由原方程组得，解得<m<7．
评析：这是一道方程与不等式的综合试题，需求出方程组的解，才能建立满足条件的不等式组．
◆探究实践
【问题1】（重庆）某出租车公司有出租车100辆，•平均每天每车消耗的汽油为80元．为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为
4 000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：•已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改造同样多的车辆后，所有改造后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的．
问：（1）公司共改装了多少辆出租车？•改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了多少？
（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节约的燃料费中收回成本？
解题思路：抓住改装后的车辆每天的燃料费占未改装车辆每天燃料费的分率，建立方程组是解此题的关键．
解：设公司第一次改装了y辆出租车，•改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x．
答：公司第一次改装了20辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%．
（2）设公司一次性将全部出租车改装，m天后就可以从节约的燃料费中收回成本．则100×80×40%×m=4000×100，解得m=125．
答：125天后，就可以从节省的燃料费中收回成本．
【问题2】（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表：
张强两次共购买香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，•请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？
解：设张强第一次购买香蕉x（kg），第二次购买香蕉y（kg），由题意，得0<x<25．（1）由0<x≤20，y≤40时，由题意，得
（2）当0<x≤20，y>40时，由题意，得
（不合题意，舍去）
（3）当20<x<25时，25<y<30，此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5•×50=•250<264
（不合题意，舍去）．
综合（1）（2）（3）可知，张强第一次购买香蕉，第二次购买香蕉．
评析：充分利用表中信息，分段讨论及解答是解此类题的关键．
◆中考演练
一、选择题
1．下列各方程中，是二元一次方程的为（）．
A．x2+2y=9 B．x+=．xy－1=0 D．+y=4
2．若是方程kx－y=3的解，那么k值是（）．
A．2 B．－．1 D．－1
3．（济南）如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y1，y2的图象，设y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，则方程组的解是（）．
A．
2、填空题
1．已知关于x、y的方程xm－2－4yn－3=0是二元一次方程，则+n=________．
2．已知方程3x+6y=8，则用含x的代数式表示y，则y=_______．
3．若一个二元一次方程的解为，则这个方程可以是______（只要求写出一个）．
三、解答题
1．解方程组：
（1）
416525
(2)
216;3420; x y x z
x y x z
-=-+=
⎧⎧
⎨⎨
+=+=
⎩⎩
2．（恩施）某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍每间可住8人，•小的每间可住5人，该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍，问大、小宿舍各有多少间？
◆实战模拟
一、选择题
1．已知方程组
5325
5451
x y x y
ax y x by
+=-=
⎧⎧
⎨⎨
+=+=
⎩⎩
与有相同的解，则a、b的值为（）．
A．
14614
...
2622 a a a a
B C D
b b b b
==-=-=⎧⎧⎧⎧
⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎩⎩
2．若方程组
31
32
x y k
x y
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
的解x，y满足0<x+y<1，则k的取值范围是（）．
A．2<k<3 B．－1<k<0 C．－3<k<1 D．1<k<2
3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，
就是
3219
423.
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．类似地，图2•所示的算筹图我们可以表述为（）．
(1) (2)
A．
211211321926
... 432743224234327 x y x y x y x y
B C D
x y x y x y x y
+=+=+=+=
⎧⎧⎧⎧
⎨⎨⎨⎨+=+=+=+=
⎩⎩⎩⎩
二、填空题
1．已知方程组
23
434
x y a
x y a
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
的解x与y的和是2，则a=_______．
2．已知代数式kx+my+z中，当x=－1，y=3，z=4时，它的值等于0；当x=－1，y=－2，z=1时，它的值等于4，则k=_____，m=_____．
3．关于x、y的二元一次方程组
5
9
x y k
x y k
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k•
的值是________．
三、解答题:
1．解下列各题:
（1）在某校举办的足球赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．九年级三班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个球队只输了2场，那么这支足球
队胜了几场？平几场？
（2）如图，在3×3的方程中，填写了一些代数式和数．
①在图3中各行，各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值；
②把满足（1）的其他6个数填入图4中的方格内．
(3) (4) 2．（盐城）某校书法兴趣准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，•超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，•按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B•两种类型毛笔的零售价各是多少？
（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售，现要购买A型毛笔a支（a>40），在新的销售方法和原销售方法中，•应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．
答案:
中考演练
一、1．D 2．A 3．B
二、1．10 2．y=83
6
x
-
3．x+2y=0
三、1．（1）
2 701
(2)(3)(4)3
253
5
x
x x a
y
y z b
z
=
⎧===-
⎧⎧⎧⎪
=⎨⎨⎨⎨===-
⎩⎩⎩⎪=
⎩
2．学校大的宿舍有16间，小的宿舍有14间实战模拟
一、1．D 2．C 3．A
二、1．5 2．－1
5
，－
7
5
3．
3
4
三、1．（1）胜6场，平4场（2）①x=－1，y=1 ②略
2．（1）A型毛笔每支2元，B型毛笔每支3元
（2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元
则m=20×2+（a－20）×（2－0.4）=1.6a+8
如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，
则n=a×2×90%=1.8a，于是n－m=1.8a－（1.6a+8）=0.2a－8，
∵a>40，∴0.2a>8，
∴n－m>0可见，当a>40时，用新的方法购买得的A型毛笔花钱多，故用原来的方法购买花钱少．
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