江西莲塘一中高三数学上学期第一次月考 理 北师大版【会员独享】

江西莲塘一中10-11学年高三上学期第一次月考
数学试卷(理)
一、选择题 （本小题共12小题，每小题5分，共60分）
1．函数
1
()4x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像过一个定点，则这个定点坐标是 A ．（5，1） B ．（1，5） C ．（1，4） D ．（4，1）
2
．若函数()f x =A ，函数()lg(1)g x x =-，[2,11]x ∈的值域为B ，则
A B 为
A ．(,1]-∞
B ．(,1)-∞
C ．[0,1]
D ．[0,1)
3．由直线
12x =
，x =2，曲线1
y x =
及x 轴所围图形的面积为
A ．15
4
B ．17
4
C ．1ln 2
2
D ．2ln 2
4．已知函数
1
()lg ()2x
f x x =-有两个零点21,x x ，则有 A ．
021<x x
B ．121=x x
C ．121>x x
D ．1021<<
x x
5．点),(b a M 在函数x y 1
=
的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线03=+-y x
上，则函数
1)()(2
-++=x b a abx x f 在区间)2,2[-上
A ．既没有最大值也没有最小值
B ．最小值为3-，无最大值
C ．最小值为3-，最大值为9
D ．最小值为413
-
，无最大值
6．已知,a b R ∈，若关于x 的方程20x ax b -+=的实根1x 和2x 满足
111x -≤≤,212x ≤≤， 则在直角坐标系aOb 中，点(,)a b 所表示的区域内的点P 到曲线
22(3)(2)1a b ++-= 上的点Q 的距离|PQ |的最小值为
A
．1 B
．1 C
．1 D
．1
7．有三个函数，第一个函数是()y f x =，第二个函数是第一个函数的反函数
1
()y f x -=， 第三个函数与第二个函数的图象关于点（1，0）对称。

第三个函数是
A ．函数(2)y f x =-的反函数
B ．函数()2y f x =+的反函数
C ．函数2()y f x =--的反函数
D ．函数()2y f x =-的反函数
8．函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,a b R ∈，且0b a <<-，已知
()y f x =无零点，设函数22()()()F x f x f x =+-，对于()F x 有如下四个说法：①
定义域是[,]b b -；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增；其中正确 说法的个数有
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为
（A ）2sin 2cos 2αα-+ （B
）sin 3αα+ （C
）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+
10． 设函数2
()2()g x x x R =-∈，()4,(),
()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩则f(x)的值域是 （A ）9,0(1,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[)0,+∞ （C ）9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （D ）9,0(2,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦
11．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π
个单位.若所得图象与原图象重合，则ω的
值不可能等于
A.4
B.6
C.8
D.12 12.设非空集合
{}
|S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2
x S ∈.给出如下三个命题：①若
1m =，则{}1S =；②若
12m =-
，则114l ≤≤；③若12l =
，则0
2m -≤≤.其中正确
命题的个数是
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．设函数
, (0)()(). (0)
x x f x g x x >⎧=⎨
<⎩3log 若()f x 是奇函数，则1()9g -的值为 ．
14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有2'(2)(2)0xf x f x +<且(2)0f -=，
则不等式(2)0xf x <的解集为____________
15．如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为
(1,2,3)i i α=，则
23
23
1
1
cos
cos
sin
sin
3
3
3
3
αααααα++-=
____________ .
16．设定义在R 上的函数()f x 存在反函数，且对于任意R x ∈恒有(1)f x ++(4)f x --2=，
则
11
(201109))(20f x x f ---+-= 三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.（12分）已知定义域为R 的函数1
2()2x x b
f x a +-+=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）若对任意
的t ∈R ，不等式
22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．
18. （12分）在△ABC 中，
cos cos AC B
AB C =
. (Ⅰ)证明B C =； (Ⅱ)若
1cos 3A =-
，求sin 43B π⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的值.
19. （12分）已知a 是实数，函数
()a x ax x f --+=3222
，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.
20. （12分）已知函数2()()x
f x ax bx c e -=++的图象过点(0,2)a ,且在该点处切线的倾斜角
为45°
（1）用a 表示,b c ；（2）若()f x 在[2,)+∞上为单调递增函数，求a 的取值范围；
21. （12分）已知函数
()()2,1f x x g x x ==-．
(1)若存在x ∈R 使()()
f x b
g x <⋅，求实数b 的取值范围;
(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()|F x |在[
]
01,上单调递增，求实数m 的取值
范围．
22. （14分）设函数2
()ln()f x x a x =++
（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；
（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln
2．
莲塘一中2010—2011学年度高三年级第一次月考
13. 2 14. (1,1)-
15.
1
2-
16.－3
17．解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即10
2b
a -+=+，
解得1b =， 从而有121()2x
x f x a +-+=+．又由(1)(1)f f =--知
1
121241a a -+-+=-
++， 解得2a =．
（2）由（1）知
12111
()2
221x x x
f x a +-+=
=-+++，
由上式易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．
由()f x 为奇函数，得：不等式
22
(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+， 又()f x 为减函数，由上式推得：2222t t t k ->-+，
即对一切t R ∈有2
320t t k -->，从而判别式4120k ∆=+<，解得
13k <-
18.
又02B π<<，于是
sin 2B =．
从而
227
sin 42sin 2cos 24cos 2sin 29B B B B B B ==
=-=-．
所以
sin(4)sin 4cos cos 4sin 33318B B B πππ
+=+=
．
19. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然在
[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.
令
()2
48382440
a a a a ∆=++=++=, 解得
32a -±=
①当
a =
时, ()y f x =恰有一个零点在
[]1,1-上; ②当
()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有
一个零点.
③当
()
y f x =在
[]1,1-上有两个零点时, 则
()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()20824401
1121010a a a a f f <⎧
⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨
⎪≤⎪
⎪
-≤⎩
解得5a ≥
或
a <
综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或
a ≤
20．解：（1）
2'()(2)()x x f x ax b e ax x c e b --=+-++2[(2)],x ax b a x c b e -=-+-+- 由已知得：'(0)1
(0)2f b c f a =-=⎧⎨
=⎩ 212c a
b a =⎧⎨
=+⎩
（2）由（1）得2'()(1)x
f x ax x e -=-+-
()f x 在[2,)+∞上为单调增函数，则'()0[2,)f x x ≥∈+∞对恒成立，
即
2
10ax x +-≤对[2,)x ∈+∞恒成立。

即
21x a x -≤
对[2,)x ∈+∞恒成立， 令222111111
()()24x x x x x x ϕ-==-=--
，
1112,0,()24mix x x x ϕ≥∴<
≤∴=- 14a ∴≤-,故a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.
21．解：(1)存在x R ∈,()()f x bg x <⇒存在x R ∈,20x bx b -+<
()2
4004
b b b b ⇒-->⇒<>或
(2)
()22
1F x x mx m =-+-，
()2224154
m m m ∆=--=-
①当0∆≤
即
m ≤-
≤时,则必需
02
0m
m m ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨
⎪≤≤⎪⎩
②当0∆>
即
m m <>时.设方程()0F x =的根为()12
12x ,x x x <
若12m ≥,则10x ≤.21
22
(0)10m m F m ⎧≥⎪⇒≥⎨⎪=-≤⎩
若0
2m ≤则2
0x ≤
20
125(0)10
m
m F m ⎧≤⎪⇒-≤<-⎨
⎪=-≥⎩
综上所述:102m m -≤≤≥或
22. 解：（Ⅰ）
1
()2f x x x a '=
++， 依题意有(1)0f '-=，故
3
2a =
．
从而2231(21)(1)
()3322x x x x f x x x ++++'==
++．
()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；
当
1
12x -<<-
时，()0f x '<；
当
1
2x >-
时，()0f x '>．
从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间
112⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221
()x ax f x x a ++'=
+．
方程2
2210x ax ++=的判别式2
48a ∆=-． （ⅰ）若0∆<
，即a <<()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 无极值．
（ⅱ）若0∆=
，则a =
a =
若a =
()x ∈+
，2
()f x '=
．
当x =时，()0f x '=，
当
2x ⎛⎛⎫∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，∞时，()0f x
'>，所以()f x 无极值．
若
a =)x ∈+，2
()0
f x
'=>，()
f x 也无极值．
（ⅲ）若0∆>，即a >或a <
，则2
2210x a x ++=有两个不
同的实根
12a x -
=，22a x -=
．
当a <1
2x a x a <-<-，，从而()f x '在()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极
值．
当a >
1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由极值判
别方法知()f x 在
12x x x x ==，取得极值．
综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为
2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln
22e
f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．。