专题10二次函数比较大小和二次函数的平移(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册常考题专练
九年级数学上册复习专题10二次函数比较大小和二次函数的平移
专题10二次函数比较大小和二次函数的平移解题步骤：函数平移解题技巧：二次函数平移的具体方法如下：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1．若点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，则12,y y 的大小关系是___________． 2．已知A （3，y 1）、B （4，y 2）都在抛物线y=x 2+1上，试比较y 1与y 2的大小：__________．3．点A （2，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+c 的图象上，则y 1与y 2的大小关系为y 1_____y 2（填“＞”“＜”或“＝”）．4．已知点(2,)A a -，(1,)B b -，(3,)C c 均在抛物线2(1)y x k =++上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<5．已知(-3，y 1)，(-2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y=-3x 2-12x+m 上的点，则( ) A ．y 3<y 2<y 1B ．y 3<y 1<y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 26．若二次函数y=﹣x 2+6x+c 的图象过点A （﹣1，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 3＞y 2＞y 1 D ．y 3＞y 1＞y 27．已知A （-3，y 1）、B （-2，y 2）、C （2，y 3）在二次函数y ＝x 2+2x+c 的图象上，比较y 1、y 2、y 3的大小（ ） A ．1y ＞2y ＞3yB ．2y ＞3y ＞1yC ．2y ＞1y ＞3yD ．3y ＞1y ＞2y8．若二次函数26y x x c =-+的图象过()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ， A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2>y 1>y 3D ．y 3>y 1>y 29．若二次函数y，，x -3，2，k 的图象过A(，1，y 1)，B(2，y 2，y 3)三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( ) A ．y 1，y 2，y 3B ．y 2，y 1，y 3C ．y 1，y 3，y 2D ．y 3，y 1，y 210．已知点A （﹣2，y 1）、B （1，y 2）在二次函数y ＝x 2+2x +2的图象上，y 1与y 2的大小关系为（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 211．若二次函数y ＝（x-3）2＋k 的图象过A （－1，y 1）B （2，y 2）C （3＋2，y 3）三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 212．若二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象过A （－1，y 1）、B （2，y 2）、C （3 ，y 3）三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．13．若二次函数y=x 2-6x+c 的图象过A(-1，y 1)，B （2，y 2） ，y 3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（ ）A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2>y 1>y 3D ．y 3>y 1>y 214．若123135(,)(1,)(,)43A yB yC y --、、为二次函数y=-x 2-4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y315．如果点()15,A y -与点()22,B y -都在抛物线()211y x =++上，那么1y ____2y （填“＞”、“＜”或“=”） 16．，，A，，3，y 1，，B，0，y 2，，，，，，y=，2，x，1，2+3，，，，，，，，，y 1，y 2，，，，，，________，，y 1，y 2，y 1=y2，y 1，y 2，，1．抛物线231y x =--是由抛物线23(1)1y x =-++怎样平移得到的（ ） A ．左移1个单位上移2个单位 B ．右移1个单位上移2个单位 C ．左移1个单位下移2个单位D ．右移1个单位下移2个单位2．将抛物线()2y 2x 13=-++向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A ．()2y 2x 41=-++ B ．()2y 2x 21=--+ C ．()2y 2x 45=-++D ．()2y 2x 45=-+-3．将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A ．22(6)y x =- B ．22(6)4y x =-+ C ．22y x =D ．224y x =+4．把抛物线y ＝－12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－12 (x ＋1)2＋1B ．y ＝－12 (x ＋1)2－1C ．y ＝－12(x －1)2＋ 1D ．y ＝－12(x －1)2－1 5．在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2﹣2x ﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( ) A ．y =(x +1)2+1B ．y =(x ﹣3)2+1C ．y =(x ﹣3)2﹣5D ．y =(x +1)2+26．将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝（x+1）2﹣13 B ．y ＝（x ﹣5）2﹣5 C ．y ＝（x ﹣5）2﹣13D ．y ＝（x+1）2﹣57．将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ） A ．y ＝x 2﹣1B ．y ＝x 2+1C ．y ＝（x ﹣1）2D ．y ＝（x +1）28．如果将抛物线241y x x =--平移，使它与抛物线21y x =-重合，那么平移的方式可以是（ ） A ．向左平移2个单位，向上平移4个单位 B ．向左平移2个单位，向下平移4个单位 C ．向右平移2个单位，向上平移4个单位 D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位9．在平面直角坐标系中，将函数y=2x 2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为_____．10．将抛物线y ，2x 2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为_____， 11．把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________．12．将函数y=5x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为__________． 13．在平面直角坐标系中，将抛物线(5)(3)y x x =+-向左平移2个单位后顶点坐标为_______．14．如果将抛物线2251y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3),A 那么所得新抛物线的解析式为____________.。
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数图像平移、旋转总归纳一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x2+1的图象①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2+4；②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x2-3；③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1；④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1．由此可以归纳二次函数y=ax2+c 向上平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax2+c+m；向下平移m个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax+c-m；向左平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x+n）2+c；向右平移n个单位，所得图象的函数表达式是:y=a（x-n）2+c，二、二次函数的图象的翻折在一张纸上作出二次函数y=x2-2x-3的图象，⑤沿x轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x2+2x-3．⑥沿y轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x2+2x-3由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c若沿x轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax2-bx-c，若沿y轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax2-bx+c三、二次函数的图象的旋转，将二次函数y=-2x+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=22122 1x-x+1；由此可以归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax2-bx-c．（备用图如下）1、（201*桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3围着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y=-（x+1）2+2 B．y=-（x－1）2+4C．y=-（x－1）2+2D．y=-（x+1）2+42、（201*浙江宁波中考）把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．3、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2，飞机着陆后滑行的最远距离是（）A．600m B．300mC．1200mD．400m4、（201*襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5、已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c0时，函数开口方向向上；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而削减；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，y最小＝4a2a4acb2b当a0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。
二次函数值大小比较 对称轴
二次函数值大小比较对称轴【知识文章】如何比较二次函数值大小以及对称轴的作用引言：二次函数是高中数学中重要的内容之一，在数学建模、物理学等领域有着广泛的应用。
在学习二次函数时，我们经常需要比较二次函数在不同取值下的大小，并且对称轴对于二次函数的研究也尤为重要。
本文将从比较二次函数值大小和对称轴的作用两个方面，介绍二次函数的基本特性。
一、比较二次函数值大小1. 基本概念：二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
在比较二次函数值大小时，我们通常关注的是二次函数的开口方向以及顶点的位置。
2. 二次函数的开口方向：当 a > 0 时，二次函数开口向上，即函数的图像呈现一种向上凸的形状；当 a < 0 时，二次函数开口向下，即函数的图像呈现一种向下凹的形状。
3. 顶点的位置：顶点是二次函数的最极值点，它的纵坐标值决定了二次函数的最大值或最小值。
当二次函数开口向上时，最小值对应顶点；当二次函数开口向下时，最大值对应顶点。
基于以上概念，我们可以通过以下方法比较二次函数值大小：- 比较两个二次函数的开口方向，开口方向相同的二次函数，其值在相同取值范围内，顶点纵坐标较小的函数值较小；- 对于开口方向相反的二次函数，我们可以比较它们的顶点纵坐标。
二、对称轴的作用1. 对称轴的定义：二次函数的对称轴是以顶点为中心，与函数图像关于某条直线对称的轴线。
对称轴方程为 x = h，其中 h 是顶点的横坐标。
2. 对称轴的作用：对称轴对于研究二次函数的性质和图像有着重要的作用。
- 对称轴将二次函数的图像分为两部分，可以方便地研究函数在对称轴两侧的性质；- 对称轴是一个坐标轴方程，通过对称轴方程我们可以求解二次函数的顶点坐标；- 对称轴方程 x = h 可以帮助我们确定二次函数的开口方向。
个人观点与理解：二次函数值大小的比较是我们在解决实际问题时常会遇到的情况。
专题10 二次函数的新定义问题专训(解析版)
专题10二次函数的新定义问题专训【精选最新30道二次函数的新定义问题】1．（2023·广西柳州·校联考二模）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)；②当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；③当x ＝1时，函数有最大值是4；④函数与直线y ＝m 有4个公共点，则m 的取值范围是0＜m ＜4．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由2|23|y x x 可得函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，可判断①错误，根据图象及函数性质可判断②正确；由从图象上看，当1x 或3x ，函数值有大于4的值，因此③是错误的；由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．【详解】解：如图：∵2|23|y x x ，∴函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，①是错误的；②根据函数的图象和性质，发现当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此②是正确的；③由图象可知，当1x 时，函数值随x 的减小而增大，当3x 时，函数值随x 的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当1x 时的函数值4并非最大值，故③错误．④由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是主要通过题干信息理解“鹊桥”函数2||y ax bx c ，2(0,40)a b ac 的定义，掌握它与2y ax bx c 之间的关系以及两个函数性质的联系和区别．2．（2023·山东济南·统考二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数2y x x c （c 为常数）在24 x 的图像上存在两个二倍点，则c 的取值范围是（）A ．124c B ．944cC ．144cD ．9104c【答案】B【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上，由-2＜x ＜4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，将x =-2代入y =2x 得y =-4，将x =4代入y =2x 得y =8，设A （-2，-4），B （4，8），如图，联立方程x 2-x +c =2x ，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c＞0，解得c＜9 4，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，∴64 128cc，解得c＞-4，∴-4＜c＜94满足题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．3．（2023·山东济南·校联考二模）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣1≤a＜12D．﹣2≤a＜0【答案】B【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．【详解】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a+2∴0≤a+2＜1当x ＝﹣1时，y ＝4a+2＜0即：021420a a ，解得﹣2≤a ＜﹣1故选B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．4．（2023·湖南株洲·统考一模）对于实数a 、b ，定义一种运算“ ”为：22a b a ab ，有下列命题：①132 ；②方程10x 的根为：1221x x ，；③不等式组 240{130x x 的解集为：14x ；④点15 22，在函数 1 y x 的图象上．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④【答案】C【分析】根据新定义和解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识对各选项进行判断【详解】根据新定义21311322 ，所以命题①正确；∵10x ，∴220x x ，解得1221x x ，，所以命题②正确；∵ 244224221 31234x x x x x x ，，∴2201{{14404x x x x x ，所以命题③正确；∵ 212y x x x ，∴当12x 时，2119522242y ，∴点15 22，不在函数 1 y x 的图象上，所以命题④错误，综上所述，命题①②③正确．故选C ．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，涉及到解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识，此题需要熟练掌握新定义．5．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）定义一种新运算：(0)(0)@(0)aa b a b b ab a ，下列说法：①若3@2x x ，则13x ，21x ；②若 1@22x ，则该不等式的解集为35x ；③代数式 2@123@21@2x x x取得最小值时，12x ；④函数 11@y x ，函数 222@y x x ，当102x 时，12y y ．以上结论正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可．【详解】解：①由题意得：32x x，2230x x ，解得：13x ，21x ；检验：当13x ，21x 时，0x ；13x ，21x 是原分式方程的解，故①正确；②当10x 时，1x ，0(2)0 ，此情况成立；当10x 时，1x ，10x ，故 121@2x x ，122x，14x 解得：35,1x x ，综上所述：35x ，故②正确；③由题意得：112126226223x x x x x x ，取得最小值时，13x，故③错误；④212,22y x y x x ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，11(,)22A ，当102x 时，12y y ，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键．6．（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）若一列数含有n 个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足752 ， 275 ，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：①12，3，a 为三级浪花数，则a 的值为-9②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为12③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数④2022级浪花数中的所有数之和为0下列说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”，进行一一判断即可【详解】解：①∵12，3，a 为三级浪花数，∴a +12=3，解得：a =-9，故①正确；②设这四级浪花数分别为1，x +1，x ，-1，则其积为：211(1)()24x x x ，当x =12 时，其积最大值为14，所以这列数的积的最大值不可能为12，故②错误；③设任意组100级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，由题意得这一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……可以看出每六个数一次循环，36÷6=6，所以第36个数为x -y ，63÷6=10余3，所以第63个数为y -x ，所以第36个数和第63个数一定互为相反数，故③正确；④2022级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，则一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……，可以看出每六个数一次循环，这六个数的和为：x +y +y -x -x -y +x -y =0，且2022÷6=337，所以2022级浪花数中的所有数之和为0由④正确；故选：C【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键．7．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x ，它的相关函数为00x x y x x．已知点M ，N 的坐标分别为1,12 ，9,12 ，连接MN ，若线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（）A ．31n 或514nB ．31n 或514nC ．31n 或514n D ．31n 或514n 【答案】B【分析】求出二次函数24y x x n 的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点1,12，9,12，再解方程结合图象判断即可．【详解】二次函数24y x x n 的相关函数为 224040x x n x y x x n x，大致函数图像如下：如图1所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有1个公共点时，∴当x =2时，1y ，则-4+8+n =1,解得n =-3，如图2所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点时，∵抛物线y =24x x n 与y 轴交点纵坐标为1，∴-n =1，解得n =-1；∴当31n 时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点；如图3所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点，∵二次函数24y x x n 经过点（0，1），∴n =1，如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点，∵抛物线y =24x x n 经过点1,12，∴14+2-n =1，解得n =54，∴514n时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是31n 或514n ．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．8．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数 213y ax a 的图象在直线1y 下方的部分沿直线1y 向上：翻折，则所得图形的坐标角度 的取值范围是（）A ．3060B ．120150C ．90120D ．6090【答案】D【分析】分a=1和a=3两种情况画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题．【详解】解：当a=1时，如图1所示，∵角两边分别过点A （-1,1），B （1,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∴BE ＝OE ，∴∠BOE ＝45°，根据对称性可知：∠AOB ＝90°，∴此时坐标角度 ＝90°；当a=3时，如图2所示，角两边分别过点A （33,1），B （33,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∵3tan 3BOE，∴∠BOE ＝60°，根据对称性可知：∠AOB ＝60°，∴此时坐标角度 ＝90°,∴60°≤ ≤90°，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数综合题，图形的坐标角度定义等知识，解题的关键是理解题意，学会画图，利用特殊点或者特殊位置解决问题．9．（2023·山东济宁·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，点(,)P x y 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的勾股值，记P x y ．若抛物线21y ax bx 与直线y x 只有一个交点C ，已知点C 在第一象限，且24C ，令2242020t b a ，则t 的取值范围为（）A ．20172018t B ．20182019t C ．20192020t D ．20202021t 【答案】B【分析】由题意△=0，故（b-1）2-4a=0，4a=（b-1）2，用方程可以化为（b-1）2+4（b-1）x+4=0，则x 1=x 2=21b ，故C （21b ，21b ），而且2≤C ≤4，即1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，即可求解．【详解】由题意得方程组21y x y ax bx＝＝只有一组实数解，消去y 得ax 2+（b-1）x+1=0，由题意△=0，∴（b-1）2-4a=0，∴4a=（b-1）2，∴用方程可以化为（b-1）x 2+4（b-1）x+4=0，∴x 1=x 2=21b，∴C （21b ，21b），∵且2≤C ≤4，∴1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，∵点C 在第一象限，∴-1≤b≤0，t=2b 2-4a+2020，∵t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，∵-1≤b≤0∴2018≤t≤2019．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点 0,2A ，点 2,0C ，则互异二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A ．4，-1B ．5172，-1C ．4，0D ．5172，-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B （2,2）；若二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当0m 时，则当A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有202m m m，解得：10m ；当01m 时，则当C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 20120m m m ，解得：01m ；当12m 时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有2120m m m，解得：12m ；当m>2时，则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有 222022m m m m m，解得：51722m；综上可得：m 的最大值和最小值分别是5172，1 ．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）我们定义一种新函数：形如 220,40y ax bx c a b ac 的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点．关于下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线1x ；②当1x 时，函数的最大值是4a ；③当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则4t ．其中正确结论的序号是．【答案】①③【分析】先根据题意画出函数图像，再运用抛物线的对称性结合过(1,0),(3,0) 两点可得对称轴，即可判定①；求出当1x 时，4y a b c a ，当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，即可判断②；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，即可判断③；由图像可得当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则0 t 或4t 即可判定④．【详解】解：根据题意画出图像如图：由二次函数图像的对称性可得：对称轴为1312x，则①正确；∵函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点，∴0930a b c a b c，∴3c a ，∵对称轴为12bx a，∴2b a ，∴当1x 时，4y a b c a ，∴由函数图像可知：当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，则②错误；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，则③正确；当1a 时，44a ，∵2ax bx c t 有两个实数根，∴由函数图像可知：0 t 或4t ，则④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意正确画出函数图像是解答本题的关键．12．（2023·云南昭通·统考二模）如下图，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，A （﹣4，0），B （﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P ，使得点P 到正方形ABCD 四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD 的“友好抛物线”．若抛物线y=2x 2﹣nx ﹣n 2﹣1是正方形ABCD 的“友好抛物线”，则n 的值为．【答案】-3或6【分析】到A 、B 、C 、D 四个点距离都相等的点为AC 、BD 的交点点E ，求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入二次函数解析式，求出n 的值即可.【详解】连接AC 、BD 交于点E ，作EF ⊥AB 交AB 于点F ，由题意得，抛物线必经过点E ，∵A （﹣4，0），B （﹣2，0），∴AB =2，BO =2，∵正方形ABCD ，∴∠ABE =45°，AE ⊥BE ，AE =BE ，∴AF =BF =EF =1，∴E （﹣3，﹣1），∴﹣1=2×9+3n ﹣n 2﹣1，解得n =﹣3或6.故答案为﹣3或6.【点睛】确定出到A 、B 、C 、D 四个点距离相等的点的位置是解题的关键.13．（2022·全国·九年级专题练习）定义新运算：对于任意实数m ，n 都有2m n m mn n ☆，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： 232332217 ☆．根据以上知识解决问题：（1）若x ☆3=1，则x 的值为．（2）抛物线 21y x ☆的顶点坐标是．（3）若2a ☆的值小于0，则方程220x bx a 有个根．【答案】x 1=1，x 2=2（52，−54）2【分析】（1）利用新定义运算法则列出方程x 2-3x +3=1，然后解方程即可；（2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案；（3）由2☆a 的值小于0知22-2a +a ＜0，解之求得a ＞4．再在方程-2x 2-bx +a =0中由Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0可得答案．【详解】解：（1）根据题意，得x 2-3x +3=1，移项、合并同类项，得x 2-3x +2=0，整理，得（x ，-1）（x -2）=0，解得x 1=1，x 2=2；故答案为：x 1=1，x 2=2；（2）根据题意知，y =（2-x ）2-（2-x ）（-1）+（-1）=x 2-5x +5=（x -52）2-54．所以，顶点坐标（52，−54）；故答案为：（52，−54）；（3）∵2☆a 的值小于0，∴22-2a +a ＜0，解得a ＞4．在方程-2x 2-bx +a =0中，∵Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0，∴方程-2x 2-bx +a =0有两个不相等的实数根．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，解题的关键是掌握新定义运算法则，难度不大．14．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线3y x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线 2y x m n 的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是．【答案】2【分析】先求出B 点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．【详解】解：∵B 直线3y x 与y 轴的交点，∴B 点坐标为（0，3），∵B 是抛物线 2y x m n 的顶点，∴抛物线解析式为23y x ，∴233y x y x，解得03x y或12x y ，∴直线3y x 与抛物线23y x 的两个交点坐标为（0，3），（1，2），∴抛物线关于直线y 的割距是2201322 ，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了求一次函数与y 轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．15．（2022·山东济南·模拟预测）定义[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：①当m ≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在14x 时，y 随x 的增大而减小；④当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m ，正确的结论是．（填写序号）【答案】①②④【分析】根据函数特征数确定二次函数解析式为 2211y mx m x m ，当m ≠0时，把x =1代入函数，求得=0y 可判断①，当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,求出121,12m x x m作差可判断②；当m ＜0时，20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111444x m可判断③；当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，根据两交点关于对称轴对称构造方程21+6+9312=82m m m m m，解得13m ，可判断④．【详解】解：由题意得：二次函数解析式为 2211y mx m x m当m ≠0时，x =1， 2112110y m m m m m m ∴点(1，0)一定在函数的图象上；故①正确；当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,因式分解得 211=0mx m x 解得121,12m x x m函数图象截x 轴所得的线段长度=1+1313=+2222m m m 故②正确；当m ＜0时， 2211y mx m x m∴20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111124444b m x a m m 函数在14x时，可能x 在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；故③不正确；④当m ＞0，抛物线顶点的纵坐标为 2228114169488m m m ac b m m y a m m，由②知抛物线与x 轴的两个交点坐标为解得 10,102m m，，，∴两交点的距离为1311+=22m m m m∵抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，列方程得21+6+9312=82m m m m m 解得13m ，∵m ＞0，则13m ，经检验13m 符合题意，是原方程的根，故④正确；∴正确的结论是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查抛物线的特征数，利用特征数研究抛物线的性质过定点，交点间弦长，增减性，等腰直角三角形性质等知识，掌握以上知识，灵活应用数形结合的思想是解题关键．16．（2022·江苏·九年级专题练习）定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为 ,x y ，当x <0时，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；当0x 时，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．抛物线 22y x n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P 在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件所有n 值的和为．【答案】-13【分析】根据四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，可求P′（2，-n ）,根据变换当点P 在y 轴左侧，P （-2，-n ）,当点P 在y 轴右侧，P（-n ,-2），点P 在 22y x n 上， 222n n 或 222n n 解方程即可．【详解】解：∵四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，∵E （2，n ）,∴P′（2，-n ）,当点P 在y 轴左侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；∴P （-2，-n ）,∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，∴18n ；当点P 在y 轴右侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．∴P （-n ,-2），∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，整理得2560n n ，因式分解得 230n n ，解得232,3n n ；∴n =-8或-2或-3．∴-8-2-3=-13，故答案为-13．【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键．17．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）定义： ,,a b c 为二次函数2y ax bx c （0a ）的特征数，下面给出特征数为 ,1,2m m m 的二次函数的一些结论：①当1m 时，函数图象的对称轴是y 轴；②当2m 时，函数图象过原点；③当0m 时，函数有最小值；④如果0m ，当12x 时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③．【分析】利用二次函数的性质根据特征数 ,1,2m m m ，以及m 的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．【详解】解：当1m 时，把1m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 1,0,1∴1a ，0b ，1c ，∴函数解析式为21y x ，函数图象的对称轴是y 轴，故①正确；当2m 时，把2m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 2,1,0 ∴2a ，1b =-，0c =，∴函数解析式为22y x x ，当0x 时，0y ，函数图象过原点，故②正确；函数212y mx m x m 当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向上，有最小值，故③正确；当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向下，对称轴为：1121112222m m m x m m ∴12x时，x 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．18．（2022·湖北武汉·统考一模）（定义[a,b,c]为函数的特征数,下面给出特征数为[2m,1－m,－1－m]的函数的一些结论：①当m ＝－3时,函数图象的顶点坐标是（13,83）;②当m>0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32;③当m<0时,函数在14x时,y 随x 的增大而减小;④当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点．其中正确的结论有．（只需填写序号）【答案】①②④．【详解】试题分析：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m];①当m=﹣3时,y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83,顶点坐标是（13,83）;此结论正确;②当m ＞0时,令y=0,有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0,解得x=(1)(31)4m m m ,x 1=1,x 2=12mm,|x 2﹣x 1|=1313222m m m ＞32,所以当m ＞0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32,此结论正确;③当m ＜0时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）是一个开口向下的抛物线,其对称轴是：14m m,在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时,14m m =1144m＞14,即对称轴在x=14右边,因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误;④当x=1时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）="0"即对任意m,函数图象都经过点（1,0）那么同样的：当m=0时,函数图象都经过同一个点（1,0）,当m≠0时,函数图象经过同一个点（1,0）,故当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析,①②④都是正确的,③是错误的．故答案是①②④．考点：二次函数综合题．19．（2022秋·九年级单元测试）我们定义：关于x 的函数y =ax 2+bx 与y =bx 2+ax （其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如y =3x 2+4x 与y =4x 2+3x 是互为交换函数．如果函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，那么b =．【答案】﹣2【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x 轴对称，从而得到关于b 的方程，可以解答本题．【详解】解：由题意函数y =2x 2+bx 的交换函数为y =bx 2+2x ．∵y =2x 2+bx =222()48b b x ，y =bx 2+2x =211()b x b b，函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，∴﹣4b =﹣1b 且218b b，解得：b =﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．20．（2022·全国·九年级假期作业）对于实数a ，b ，定义新运算“ ”：a b= 22a ab a b b ab a b；若关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根，则t 的值为．【答案】2.25或0【分析】令y= 211x x ，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，即可得到直线y=t 与函数y 的图象的位置关系，进而即可求解．【详解】∵当 211x x 时，即：2x 时， 2221121211252x x x x x x x ，当 211x x 时，即：2x 时， 2221112112x x x x x x x ，∴令y= 211x x = 22222252x x x x x x，画出函数图象，从图象上观察当关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根时，函数y 的图象与直线y=t 有两个不同的交点，即直线y=t 过抛物线y=22x x 的顶点或直线y=t 与x 轴重合．∴t=2.25或t=0．故答案是：2.25或0．【点睛】本题主要考查函数图象的交点与方程的根的关系，掌握二次函数的图象和性质，学会画二次函数的图象，理解函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，是解题的关键．21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于某函数图象上的一点P ，先向右平移1个单位长度，再向上平移 0n n 个单位长度得到点Q ，若点Q 也在该函数图象上，则称点P 为该函数图象的“n 倍平点”．(1)函数①2y x ；②2y x ；③2y x 中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；(2)若反比例函数2y x，图象恰有1个“n 倍平点”，求n 的值；(3)求函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标．【答案】(1)②(2)8n (3) 4,3 或3,0【分析】（1）根据函数图象的“n 倍平点”的定义逐个进行判断即可；（2）设2,P a a，则21,Q a n a ，把21,Q a n a代入2y x 得220na na ，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出280n n ，即可求出答案；（3）当0x 时，243y x x ，当0x 时，243y x x ，分两种情况，根据函数图象的“n 倍平点”的定义分别计算即可得出结论．【详解】（1）当2n 时，①设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 2212222y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．②设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 22122y x a a ，∴点Q 在2y x 的图象上．∴该函数图象存在“2倍平点”．③设 ,2P a a ，则 1,4Q a a ，当1x a 时，21234y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．故答案是②；（2）设2,P a a，则21,Q a n a，把21,Q a n a代入2y x 得，221n a a ，即220na na ，∵图象恰有1个“n 倍平点”，∴280n n ．∴120,8n n ．∵0n ，∴8n ．（3）当0x 时，243y x x ，设 2,43P a a a ，则 21,46Q a a a ，把 21,46Q a a a 代入243y x x 得，22461413a a a a ，解得：3a ，∴14a ，2463a a ．∴ 4,3Q ， 3,0P ．当0x 时，243y x x ，设 2,43P b b b ，则 21,4Q b b b ，把 21,4Q b b b 代入243y x x 得，2241413b b b b ，解得：4b ，∴13b ，240b b ．∴ 3,0Q ， 4,3P ．综上所述，函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标是 4,3 或 3,0．【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n 倍平点”是解题的关键．22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：2245y x x 的友好同轴二次函数为225y x x ．(1)函数2221y x x 的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．(2)已知二次函数21:44C y ax ax （其中0a 且1a 且12a），其友好同轴二次函数记为2C ．①若函数1C 的图象与函数2C 的图象交于A 、B 两点（点A 的横坐标小于点B 的横坐标），求线段AB 的长；②当30x 时，函数2C 的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线12x ，2331y x x (2)①4；②1 或3【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数2C ，联立函数1C ，2C ，解方程可求出点,A B 的坐标，由此即可得；②分1a 且0a 且12a、1a 两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：函数2213y 2x 2x 12x 22的对称轴为直线12x ，因为 123 ，所以设函数2221y x x 的友好同轴二次函数为221333324y x m x x m，所以314m ，解得14m ，所以函数2221y x x 的友好同轴二次函数为2331y x x ，故答案为：直线12x，2331y x x ．（2）解：①二次函数 221444:24C y ax ax a x a ，则设 22212141:44C y a x b a x a x a b ，所以444a b ，解得4b a ，所以 22:1414C y a x a x ，联立 22441414y ax ax y a x a x 得： 2214210a x a x ，解得0x 或4x ，当0x 时，4y ；当4x 时，161644y a a ，所以 4,4,0,4A B ，所以 044AB ；②函数 22214141:24C y a x a x a x a 的对称轴为直线2x ，（Ⅰ）当1a 且0a 且12a时，抛物线的开口向上，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而减小；当20x 时，y 随x 的增大而增大，则当2x 时，y 取得最小值，最小值为4a ，当0x 时，y 取得最大值，最大值为4，所以448a ，解得1a ，符合题设；（Ⅱ）当1a 时，抛物线开口向下，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当20x 时，y 随x 的增大而减小，则当2x 时，y 取得最大值，最大值为4a ，当0x 时，y 取得最小值，最小值为4，所以448a ，解得3a ，符合题设；综上，a 的值为1 或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x 轴上两点 ,0A m ， ,0B n m n 的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线1C ： 13y x x 与抛物线2C ：213y x x 是都经过 1,0， 3,0的同弦抛物线．(1)任意写出一条抛物线1C 的同弦抛物线3C ．(2)已知抛物线4C 是1C 的同弦抛物线，且过点 4,5，求抛物线4C 对应函数的最大值或最小值．【答案】(1) 3:313C y x x （答案不唯一）(2)最小值为53。
二次函数的变换与平移的考试常见题型
二次函数的变换与平移的考试常见题型二次函数是高中数学中非常重要的一类函数。
研究二次函数的变换与平移是理解和应用二次函数的关键。
在考试中，经常会出现与二次函数的变换和平移相关的题型。
以下是其中常见的题型及解答技巧：1. 找出二次函数的平移规律这种题型通常给出一个二次函数的图像，并要求找出它相对于标准二次函数y=x^2的平移规律。
解答这种题目时，可以观察图像向左平移还是向右平移，以及上下平移的距离。
根据观察结果，可以得出平移的规律，即确定二次函数的平移公式。
2. 判断二次函数的开口方向这种题型给出一个二次函数的表达式，要求判断它的开口方向是向上还是向下。
解答这种题目时，需要观察二次函数的二次项系数。
当二次项系数大于零时，开口向上；当二次项系数小于零时，开口向下。
3. 分析二次函数与直线的交点给定一个二次函数和一条直线的方程，要求求出二者的交点。
解答这种题目时，可以通过将二次函数和直线的方程联立，然后解方程组来求解交点的横纵坐标。
4. 求二次函数的最值这种题型给出一个二次函数的表达式，要求求出它的最值。
解答这种题目时，可以通过求二次函数的顶点来得到最值。
顶点横坐标为二次函数的轴对称线的横坐标，纵坐标即为二次函数的最值。
5. 构造满足特定条件的二次函数这种题型要求根据给定的条件构造一个满足特定条件的二次函数。
解答这种题目时，可以根据条件确定二次函数的相关特点，如顶点坐标、开口方向等，并根据特点构造出满足条件的二次函数。
以上是二次函数的变换与平移的考试常见题型及解答技巧。
通过练和掌握这些题型的解答方法，可以提高对二次函数变换与平移的理解和应用能力，为考试取得好成绩打下坚实基础。
专题10 二次函数的实际应用问题(4大考点)-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(解析版)
第三部分函数专题10 二次函数的实际应用问题（4大考点）核心考点一销售、利润问题核心考点二图形面积问题核心考点核心考点三抛物线型问题（拱桥、隧道等）核心考点四其他问题新题速递核心考点一销售、利润问题例1（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，则，所以将销售定价定为故答案为11．元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．【详解】解：当时，设，把（，解得，∴每天的销售量个）的函数解析式为，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为，∵1<0，当时，故答案为：为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)6004503001500(1)请直接写出p与x之间的函数关系式：(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．【答案】(1)(2)这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大(3)a的值为2．【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；（3）根据题意列出日销售利润与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．【详解】（1）解：由表格的数据可知：p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，则，解得：k=-30，b=1500，∴p=-30x+1500，∴所求的函数关系为p=-30x+1500；（2）解：设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30），即，∵-30<0，∴当x=40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）解：日获利=p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a），即，对称轴为，①若a＞10，则当x=45时，有最大值，即=2250-150a＜2430（不合题意）；②若0＜a≤10，则当x=40+a时，有最大值，将x=40+a代入，可得，当=2430时，，解得=2，=38（舍去），综上所述，a的值为2．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．1、常用公式有：利润=售价-成本价，总利润=单个商品的利润×销售量，利润率=利润/进价×100%，通过公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得到解决。
部编数学九年级下册专项10二次函数和线段和差最值问题(解析版)含答案
专项10 二次函数和线段和差最值问题“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
“两点定点一定长”模型一：当两定点 A、B 在直线l异侧时，在直线l上找一点 P，使 PA+PB 最小。
作法：连接AB交直线l 于点 P，点P即为所求作的点。
结论：PA+PB值最小模型二：作法：作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’与直线l相交的点P即为所求结论：AP+PB’值最小模型三：PA-最大。
当两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PB作法：接 AB并延长交直线l于点 P，点P即为所求作的点。
PA-的最大值为 AB。
结论：PBPA-最大。
当 l 两B定点 A、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点 P，使PB作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点 P，点P即为所求作的点。
PA-的最大值为AB′结论：PB模型四：当 l 两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PBPA-最小。
作法：连接 AB，作AB的垂直平分线交直线l于点 P，点 P 即为所求作的点。
PA-的最小值为 0结论：PB【考点1 线段最值问题】【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x 轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段ME的最大值；【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+4，则，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x2+x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4或﹣2，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）、（0，4），设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，设点M（x，﹣x2+x+4），则点E（x，﹣x+4），则ME＝（﹣x2+x+4）﹣（x﹣4）＝﹣x2+2x，∵，故ME有最大值，当x＝2时，ME的最大值为2；【变式1-1】（2021•柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）①设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+，又∵a＝﹣1＜0，∴x＝时，h的值最大，最大值为．【变式1-2】（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；【典例2】（2020秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A （1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，故TC﹣TB的最大值为AC＝＝，故答案为；【变式2】（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点，∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）【典例3】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵PQ⊥x轴，∴PQ∥y轴，∴∠PQN＝∠BCO＝45°，∵PN⊥BC，∴PN＝PQ•sin∠PQN＝（﹣t2+3t）•sin45°＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，∴当t＝时，PN的最大值为；【变式3】（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），当y＝0时，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）当a＝1时，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，当m＝﹣1时，QD有最大值是，当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．【考点2 线段和最小】【典例4】（2019秋•东莞市校级期末）已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB，∵PA+PC＝PB+PC＝BC，∴此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）；【变式4-1】（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED 为最小，函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），则EC+ED的最小值为DC′＝；【变式4-2】（2016•黑龙江二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．∵y＝x2﹣x﹣2＝（x2﹣3x﹣4 ）＝，∴顶点D的坐标为（，﹣）．（2）设点C关于x轴的对称点为C′，直线C′D的解析式为y＝kx+n，则，解得：．∴y＝﹣x+2．∴当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝．∴m＝．【典例5】（2022•恩施州模拟）如图1，已知抛物线．点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D 作x轴的垂线，垂足为点C．（1）直接写出h，k的值；（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴h＝1，∴y＝（x+1）2+k，∵是抛物线与y轴的交点，∴+k＝，∴k＝1；（2）存在最小值，理由如下：由（1）可知y＝（x+1）2+1，作C点关于直线x＝﹣的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ，由对称性可知C'K＝CQ，∴CQ+KQ+KD＝C'K+KD+KQ≥C'D+KQ，当C'、K、D三点共线时，CQ+KQ+KD的值最小，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴KQ＝1，∵D（3，5），CD⊥x轴，∵C（3，0），∴C'（﹣4，0），∴C'D＝，∴CQ+KQ+KD的最小值为+1，设直线C'D的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+，∴K（﹣1，），∴Q（0，）；【变式5】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B 的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四边形CC'QP是平行四边形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6；【考点3 周长最值问题】【典例6】（2020春•五华区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，∴b＝﹣2，∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标（1，﹣4）；（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，故点M（1，﹣2）．【变式6-1】（2021•富拉尔基区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为多少？【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵△ACM周长的值最小，∴MC+AM的值最小，即点M即为直线BC与抛物线对称轴的交点，∴△ACM周长的最小值为BC+AC，∵点B（﹣3，0），C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝，∴△ACM周长的最小值为，故答案为：；【变式6-2】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），则，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵抛物线的对称轴为直线x＝2．∴当x＝2时，y＝1．∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．∴AC＝＝，BC＝＝3，∴AC+BC＝+3，∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；【典例7】（2022春•衡阳期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，3）．∵抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点，∴，解得．∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+3．（2）∵A（4，0），B（0，3）．∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5．∵ED⊥AB，∴∠EDM＝∠AOB＝90°，∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，∴∠DEM＝∠BAO，∴△AOB∽△EDM，∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，设E的横坐标为t，则E（t，﹣t2+t+3），∴M（t，﹣t+3），∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．∴△DEM的周长为：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，△DEM的周长的最大值为．【变式7】（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x 轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A点，且点A在x轴上，∴A（﹣1，0）；将A（﹣1，0）和D（3，﹣4）代入抛物线C1：y＝ax2+bx+2，∴，解得，∴抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．（2）由（1）知抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．令y＝0，解得x＝﹣1或x＝2，∴B（2，0）；令x＝0，则y＝2，∴C（0，2）．∴OB＝OC＝2，直线BC的解析式为：y＝﹣x+2；∴△OBC是等腰直角三角形，且∠OBC＝∠OCB＝45°；∵GH∥y轴，∴∠GNB＝90°，∴∠BHN＝45°，∵GM⊥BC，∴∠GMH＝90°，∵∠MGH＝∠GHM＝45°，∴GM＝MH＝GH；设点G的横坐标为t，则G（t，﹣t2+t+2），H（t，﹣t+2），∴GH＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1．∵﹣1＜0，∴当t＝1时，GH有最大值1；∵△GHM的周长为：GM+MH+GH＝（+1）GH，∴△GHM周长的最大值为+1．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；2．（2022•宁远县模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；【解答】解：（1）∴二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），∴，解得：．∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴C、D关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，此时PA+PD＝PA+PC＝AC＝＝＝3．∴PA+PD的最小值为3；3．（2022•昭平县二模）如图1，对称轴为直线x＝1的抛物线经过B（3，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一点，使PA+PC取得最小值，求点P的坐标；【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，4）代入：4＝﹣3a，a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，连接BC，交抛物线对称轴于点P，连接PA，即点P为所求点，此时PA+PC＝PB+PC＝BC的值最小，∵B（3，0）、C（0，4），设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝，∴P点的坐标为（1，）；4．（2022春•石鼓区校级月考）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵y＝x2+2x﹣3，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，连接BD，交对称轴于点P，∵点A坐标为（﹣3，0），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴点B坐标为（1，0），∴BD＝＝3，又∵AD＝＝，∴△PAD周长的最小值为3+．5．（2022•江阴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC 的最小值；【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，＝＝．∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1．6．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B（2，m）（m＞0），设直线OA的解析式为y＝kx，则5k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），∴BH＝m﹣2，＝15，∵S△OAB∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12），此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．7．（2022•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求A、B两点坐标；（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）当y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴A（﹣3，0），B（4，0），（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，P～N＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为．8．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），∵B （3，0），C （0，3），∴OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝45°，∵PF ∥AB ，∴∠PFE ＝∠OBC ＝45°，∵PE ⊥BC ，∴△PEF 是等腰直角三角形，∴PE 的值最大时，△PEF 的周长最大，∵S △PBC ＝S △POB +S △POC ﹣S △OBC＝×3×（﹣m 2+2m +3）+×3×m ﹣×3×3＝﹣m 2+m＝﹣（m ﹣）2+，∵﹣＜0，∴m ＝时，△PBC 的面积最大，面积的最大值为，此时PE 的值最大，∵×3×PE ＝，∴PE ＝，∴△PEF 的周长的最大值＝++＝+，此时P （，）；。
二次函数像的平移与伸缩规律
二次函数像的平移与伸缩规律二次函数的平移与伸缩规律二次函数是一种常见的数学函数形式，其图像呈现为抛物线的形状。
在数学中，我们可以通过改变二次函数的参数来实现对其图像的平移和伸缩操作。
本文将详细介绍二次函数的平移和伸缩规律，以帮助读者更好地理解和应用这些数学概念。
一、平移规律对于一般形式的二次函数 y = ax² + bx + c，我们可以通过改变参数b 和c 来实现平移操作。
1. 水平平移当二次函数的参数 c 不为零时，整个图像将沿x轴平移。
当 c > 0 时，图像将向左平移 |c| 个单位；当 c < 0 时，图像将向右平移 |c| 个单位。
2. 垂直平移当二次函数的参数 b 不为零时，整个图像将沿y轴平移。
当 b > 0 时，图像将向上平移 |b| 个单位；当 b < 0 时，图像将向下平移 |b| 个单位。
二、伸缩规律对于一般形式的二次函数 y = ax² + bx + c，我们可以通过改变参数 a 来实现伸缩操作。
1. 水平伸缩当 a > 1 时，图像将在 x 轴方向上进行水平压缩；当 0 < a < 1 时，图像将在 x 轴方向上进行水平拉伸。
这一规律可以通过观察二次函数的顶点来进行判断。
2. 垂直伸缩当 a > 1 时，图像将在 y 轴方向上进行垂直拉伸；当 0 < a < 1 时，图像将在 y 轴方向上进行垂直压缩。
这一规律可以通过观察二次函数的开口方向来进行判断。
综合平移和伸缩规律，我们可以得出以下结论：1. 若 a > 0，则二次函数的图像开口向上；若 a < 0，则二次函数的图像开口向下。
2. 若a ≠ 0，则二次函数的顶点为 (-b/2a, f(-b/2a))；若 a = 0，则二次函数为一次函数。
3. 给定二次函数 y = ax² + bx + c，当a ≠ 0 时，通过平移和伸缩操作，我们可以得到新的二次函数 y = a(x - h)² + k。
二次函数平移旋转对称最值比较大小专题
1．把抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+3先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x+1）2+2C．y＝﹣2（x﹣3）2+5D．y＝2（x﹣3）2+52．将抛物线y＝x2+2x﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝x2+6x+8C．y＝x2﹣2x﹣6D．y＝x2+6x+23．将抛物线y＝x2+3x+2向右平移a单位正好经过原点，则a的值为（）A．a＝1B．a＝2C．a＝﹣1或a＝1D．a＝1或a＝24．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2 B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+2 5．平移抛物线y＝﹣2（x﹣2）（x+5），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A．向左平移2个单位B．向右平移5个单位C．向上平移10个单位D．向下平移20个单位6．将抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣3）2+2 B．y＝﹣2（x+3）2+2C．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2D．y＝﹣2（x+3）2﹣27．将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣3）2+9 B．y＝（x+3）2+9C．y＝﹣（x+3）2+9 D．y＝﹣（x﹣3）2+98．先将抛物线y＝（x﹣1）2+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+2 B．y＝﹣（x+1）2+2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣29．在平面直角坐标系中，对于抛物线y＝﹣3x+4，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10．已知四点A（0，﹣2），B（1，0），C（2，0），D（0，4）若一个二次函数的图象经过这四点中的三点，则这个二次函数图象的对称轴为（）A．x＝B．x＝﹣3C．x＝3D．x＝﹣11．抛物线y＝﹣（x﹣1）（x﹣2）的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（，）D．（）12．二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，0）和C（﹣2，﹣2），则下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是直线13．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m（m是常数），当x分别取﹣1，1，2时，对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y114．已知二次数y＝x2﹣3x+c经过点（2，y1），（﹣1，y2），（，y1），则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．）y2＞y1＞y315．若点A（﹣2，y l），B（0，y2），C（，y3）是二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，且a＜0）的图象上三点，则y l，y2，y3的大小关系为（）A．y l＞y2＞y3B．y l＞y3＞y2C．y3＞y2＞y l D．y3＞y l＞y216．在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1 17．已知二次函数y＝2x2+bx+3的图象的顶点在x轴的正半轴上，则b的值是（）A．2B．6C．﹣2D．218．二次函数y＝a2x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为P（m，k）且有一点Q（k，m）也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是（）A．m＝k B．m＞k C．m≥k D．m＜k19．已知抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+5，若﹣1≤x≤1，则下列说法正确的是（）A．当x＝2，y有最大值5B．当x＝﹣1，y有最小值﹣22C．当x＝﹣1，y有最大值32D．当x＝1，y有最小值2 20．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+2，关于该函数在﹣3≤x≤1的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值6，有最小值﹣3B．有最大值5，有最小值﹣3C．有最大值6，有最小值5D．有最大值6，有最小值﹣1 21．已知两点A（﹣3，y1）、B（5，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣3B．x0≥5C．1＜x0≤5D．x0＞122．关于x的二次函数y＝x2+bx+b2在b≤x≤b+3范围内，函数值有最小值21，则b的值是（）A．或2B．或±2C．﹣4或D．1或﹣4或23．已知二次函数y＝x2﹣2x+m2﹣3（m为常数）当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣3，则m的值为（）A．1B．0或﹣1C．0或1D．﹣1或124．二次函数y＝x2﹣2ax+3（a为常数）在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y有最小值2a，则a的值为（）A．﹣3B．1C．D．26．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值如图，下列说法错误的是：（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴的交点是（0，4）C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小D．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大27．二次函数y＝x2+bx+c中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：下列结论正确的是（）A．当x＝2时，y有最大值1B．当x＜2时，y随x的增大而增大C．点（5，9）在该函数的图象上D．若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，则当m＞时，y1＜y2 28．已知抛物线f（x）＝x2+bx+c的系数满足3b﹣c＝5，则这条抛物线一定经过点_____________.。
九年级数学上册复习专题10二次函数比较大小和二次函数的平移(1)
专题10二次函数比较大小和二次函数的平移解题步骤：函数平移解题技巧：二次函数平移的具体方法如下：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1．若点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，则12,y y 的大小关系是___________． 【答案】12y y > 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到函数图象的对称轴，根据函数的性质即可得到答案. 【详解】 ∵()21112y x =-+-， ∴函数图象的对称轴是直线x=-1，开口方向向下， ∵点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，且1<2, ∴由对称轴右侧y 随着x 的增大而减小得到12y y >， 故答案为：12y y >. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据顶点式解析式确定图象的开口方向，对称轴得到增减性，由此判定函数值的大小，正确掌握函数图象的性质是解题的关键.2．已知A （3，y 1）、B （4，y 2）都在抛物线y=x 2+1上，试比较y 1与y 2的大小：__________．【答案】y 1＜y 2【解析】把A（3（y 1（（B（4（y 2（代入抛物线y=x 2+1，可得y 1=10（y 2=17，所以y 1（y 2.3．点A （2，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+c 的图象上，则y 1与y 2的大小关系为y 1_____y 2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】〉 【解析】 【分析】先根据解析式求出对称轴x=b2a-=-1,再根据函数开口方向且321>>-，即可比较y 1与y 2的大小. 【详解】∵抛物线的对称轴为x=b2a-=-1，函数开口向下，又∵321>>-， ∴y 1>y 2. 【点睛】此题主要考察二次函数的图像，利用函数的对称性是解题的关键.4．已知点(2,)A a -，(1,)B b -，(3,)C c 均在抛物线2(1)y x k =++上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】由y=（x+1）2+k 可知抛物线的对称轴为直线x=-1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵y=（x+1）2+k ，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵抛物线开口向上，而点C （3，c ）到对称轴的距离最远，B （-1，b ）是顶点， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性． 5．已知(-3，y 1)，(-2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y=-3x 2-12x+m 上的点，则( ) A ．y 3<y 2<y 1 B ．y 3<y 1<y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质计算即可； 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 ()12x 223-=-=-⨯- ，a 30=-< ，x 2∴=- 时，函数值最大，又3- 到 2- 的距离比1到 2- 的距离小，312y y y ∴<< ．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键．6．若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】C【解析】试题分析：先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，然后比较三个点都直线x=3的远近得到y1、y2、y3的大小关系．解：∵二次函数的解析式为y=﹣x2+6x+c，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴点A离直线x=3最远，点C离直线x=3最近，而抛物线开口向下，∴y3＞y2＞y1；故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7．已知A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，比较y1、y2、y3的大小（）A．1y＞2y＞3y B．2y＞3y＞1y C．2y＞1y＞3y D．3y＞1y＞2y【答案】D【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据三点与对称轴的远近来判断函数值的大小.【详解】因为二次函数的解析式为y＝x2+2x+c，所以抛物线的对称轴为直线x=-1，因为A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3），所以点C离直线x=-1最远，点B离直线x=-1最近，而抛物线开口向上，离对称轴越远对应的y值越大所以y3＞y1＞y2.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴及单调性，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.8．若二次函数26y x x c =-+的图象过()11,A y -（()22,B y （()35,C y ，则1y （2y （3y 的大小关系是（ （ A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 1>y 3>y 2 C ．y 2>y 1>y 3 D ．y 3>y 1>y 2【答案】B 【解析】y=x 2-6x+c=(x-3)2+c-9，从而可知抛物线开口向上，对称轴为x=3，A 、B 、C 三点离对称轴的距离为：3-（-1）=4，3-2=1，（），开口向上时离对称轴越远的点对应的y 值越大，所以y 1＞y 3＞y 2 ；故选D ． 点睛：在对同一抛物线上的点所对应 的y 值进行大小比较时，可采用这个方法：抛物线开口向上时，离对称轴越远的点对应的y 值就越大；开口向下时，离对称轴越近的点对应的y 值 越大.9．若二次函数y（（x -3（2（k 的图象过A(（1（y 1)（B(2（y 2（y 3)三点，则y 1（y 2（y 3的大小关系正确的是( ) A ．y 1（y 2（y 3 B ．y 2（y 1（y 3 C ．y 1（y 3（y 2 D ．y 3（y 1（y 2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称轴为直线x=3（x（3时，y 随x 的增大而减小，x（3时，y 随x 的增大而增大进行判断，再根据二次函数的对称性确定出y 2（y 3（y 1（y 3（ 【详解】∵二次函数y =（x -3）2＋k 的对称轴为直线x =3（∴x <3时，y 随x 的增大而减小，x >3时，y 随x 的增大而增大， ∵−1<2<3（ ∴y 1＞y 2（∵x =2与x =4时的函数值相等>4（ ∴y 2（y 3（∵x =1与x =5时的函数值相等， ∴y 1（y 3（ ∴y 1＞y 3＞y 2. 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.10．已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1≤y2【答案】C【解析】【分析】将两点的x分别代入二次函数,求出y值比较大小即可.【详解】解：当x＝﹣2时，y1＝x2+2x+2＝4﹣4+2＝2，当x＝1时，y2＝x2+2x+2＝1+2+2＝5，所以y1＜y2．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的增减性,关键在于灵活运用代点求值的方法.11．若二次函数y＝（x-3）2＋k的图象过A（－1，y1）B（2，y2）C（3＋2，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得函数的对称轴为直线x=3，根据函数的性质可得离对称轴越远，则函数值越大．根据题意可得：．考点：二次函数的性质．12．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是________．【答案】y1＞y3＞y2．【解析】试题分析：根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y1＞y3＞y2．考点：二次函数的图象与性质13．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1，y1)，B（2，y2），y3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（）A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y 2>y1>y3D．y3>y1>y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意，得 y 1=1+6+c=7+c ，即y 1=7+c ； y 2=4-12+c=-8+c ，即y 2=-8+c ；y 3-18-+c=-7+c ， 即y 3=-7+c ； ∵7＞-7＞-8， ∵7+c ＞-7+c ＞-8+c ， 即y 1＞y 3＞y 2． 故选B ．考点：二次函数图象上点的坐标特征． 14．若123135(,)(1,)(,)43A yB yC y --、、为二次函数y=-x 2-4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 3<y 1<y 2 D ．y 2<y 1<y 3【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数y=-x 2-4x+5配方，求对称轴，再根据A（B（C 三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y l （y 2（y 3的大小． 【详解】解：∵y=-x 2-4x+5=-（x+2（2+9（ ∴抛物线开口向下，对称轴为x=-2（（A（B（C 三点中，B 点离对称轴最近，C 点离对称轴最远， （y 2（y 1（y 3（ 故选D（ 【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a（0时，开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；当二次项系数a<0时，开口向下，则离对称轴越近，函数值越大（15．如果点()15,A y -与点()22,B y -都在抛物线()211y x =++上，那么1y ____2y （填“＞”、“＜”或“=”）【答案】＞． 【解析】 【分析】利用二次函数的性质得到当1x <-时，y 随x 的增大而减小，然后利用自变量的大小关系得到1y 与2y 的大小关系． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线1x =-， 而抛物线开口向上，所以当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∵-5＜-2，所以12y y >． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（（A（（3（y 1（（B（0（y 2（（（（（（y=（2（x（1（2+3（（（（（（（（（y 1（y 2（（（（（（________（（y 1（y 2（y 1=y2（y 1（y 2（（【答案】y 1＜y 2 【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x ＞1时，y 随 x 增大而减小，当x ＜1时，y 随x 增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y 1＜y 2. 故答案为y 1＜y 2.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a 的值判断其增减性，然后可判断.1．抛物线231y x =--是由抛物线23(1)1y x =-++怎样平移得到的（ ） A ．左移1个单位上移2个单位 B ．右移1个单位上移2个单位 C ．左移1个单位下移2个单位 D ．右移1个单位下移2个单位【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的性质即可判断. 【详解】抛物线()2311y x =-++经过右移1个单位下移2个单位，即()231112y x =-+-+-=231x --， 故选D.【点睛】此题主要考查抛物线顶点式()2y a x h k =-+的特点，熟知顶点式的性质特点是解题的关键.2．将抛物线()2y 2x 13=-++向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A ．()2y 2x 41=-++ B ．()2y 2x 21=--+ C ．()2y 2x 45=-++D ．()2y 2x 45=-+-【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】.解：抛物线 ()2y 2x 13=-++ 向右平移3个单位，得()2y 2x-23=-+，再向下平移2个单位，得：()2y 2x 21=--+．故答案为：B ． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 3．将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A ．22(6)y x =- B ．22(6)4y x =-+ C ．22y x = D ．224y x =+【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可． 【详解】解：将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，得到22(3+3)2y x =-+， 再向下平移2个单位长度，得到22(3+3)2-2y x =-+， 整理得22y x =， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．4．把抛物线y ＝－12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－12 (x ＋1)2＋1 B ．y ＝－12 (x ＋1)2－1 C ．y ＝－12 (x －1)2＋ 1 D ．y ＝－12(x －1)2－1 【答案】B 【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：21y x+112=-－（）.5．在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2﹣2x ﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( ) A ．y =(x +1)2+1 B ．y =(x ﹣3)2+1 C ．y =(x ﹣3)2﹣5 D ．y =(x +1)2+2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】抛物线y =x 2﹣2x ﹣1可化简为y =(x ﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度， 所得的抛物线的解析式y =(x ﹣1+2)2﹣2+3=(x +1)2+1； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．6．将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝（x+1）2﹣13 B ．y ＝（x ﹣5）2﹣5 C ．y ＝（x ﹣5）2﹣13 D ．y ＝（x+1）2﹣5【答案】D 【解析】 【分析】先把抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x ﹣4＝（x ﹣2）2﹣8，∴将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y ＝（x ﹣2+3）2﹣8+3，即y ＝（x+1）2﹣5．【点睛】此题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解决此题的关键．7．将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣1B ．y ＝x 2+1C ．y ＝（x ﹣1）2D ．y ＝（x +1）2【答案】D【解析】【分析】根据图像的平移规律：左加右减，可得答案．【详解】解：由题意，得y ＝x 2的图像向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为y ＝（x+1）2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．如果将抛物线241y x x =--平移，使它与抛物线21y x =-重合，那么平移的方式可以是（ ）A ．向左平移2个单位，向上平移4个单位B ．向左平移2个单位，向下平移4个单位C ．向右平移2个单位，向上平移4个单位D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位【答案】A【解析】【分析】先把241y x x =--化为顶点式，然后根据平移的规律解答即可．【详解】∵241y x x =--=(x -2)2-5，∴把y=(x -2)2-5向左平移2个单位，向上平移4个单位，可得21y x =-．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本9．在平面直角坐标系中，将函数y=2x 2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为_____．【答案】y=2(x-1)2+5【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=2（x -1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2+5．故答案是：y=2（x -1）2+5．【点睛】考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．将抛物线y （2x 2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为_____（【答案】y （2（x （1（2+3【解析】【分析】用顶点式表达式（按照抛物线平移的公式即可求解（【详解】y （2x 2向右平移1个单位长度（再向上平移3个单位长度后（函数的表达式为（y （2（x （1（2+3（故答案为：y （2（x （1（2+3（【点睛】本题考查了函数图象的平移（抛物线与坐标轴的交点坐标的求法（要求熟练掌握平移的规律（左加右减（上加下减（11．把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________．【答案】(－1，1)【解析】【分析】用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式,再利用平移规律求平移后的顶点坐标∵215322y x x =++ =2156)22x x ++（ =213)22x +-（∴图象向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位后,得出:y=12(x+1)2 +1; 得到顶点坐标为(-1,1).故答案为(-1,1)【点睛】 此题考查了二次函数图形与几何变换，解题关键在于用配方法将抛物线一般式转化为顶点式12．将函数y=5x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为__________．【答案】y=5（x+2）2+3【解析】【分析】根据二次函数平移的法则求解即可.【详解】解：由二次函数平移的法则“左加右减”可知，二次函数y=5x 2的图象向左平移2个单位得到y=25(2)x +，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=25(2)x +的图象向上平移3个单位可得到函数y=25(2)3x ++，故答案是：y=25(2)3x ++．【点睛】本题主要考查二次函数平移的法则，其中口诀是：“左加右减”、 “上加下减”,注意数字加减的位置. 13．在平面直角坐标系中，将抛物线(5)(3)y x x =+-向左平移2个单位后顶点坐标为_______．【答案】()3,16--【解析】【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y=（x+5）（x -3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．所以，抛物线y=（x+5）（x -3）向左平移2个单位长度后的顶点坐标为（-1-2，-16），即（-3，-16），故答案为：（-3，-16）此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14．如果将抛物线2251y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3),A 那么所得新抛物线的解析式为____________.【答案】2253y x x =++【解析】【分析】设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把点A 的坐标代入进行求值即可得到b 的值．【详解】解：设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把A （0，3）代入，得3＝−1＋b ，解得b ＝4，则该函数解析式为2253y x x =++．故答案为：2253y x x =++．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．。
二次函数复习平移与缩放的计算方法与实例
二次函数复习平移与缩放的计算方法与实例二次函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各种科学和工程问题的建模与分析中。
在二次函数的研究中，平移与缩放是两个常见且重要的运算，本文将详细介绍二次函数平移与缩放的计算方法，并给出实际的应用实例。
一、平移的计算方法与实例平移是指将二次函数沿着x轴或y轴的方向移动一定的距离。
当二次函数向左平移a个单位时，可以通过将二次函数的自变量x替换为x+a的方式进行计算；当二次函数向右平移a个单位时，则可以通过将自变量x替换为x-a进行计算。
下面通过具体的实例来说明平移的计算方法：实例1：已知二次函数y=x^2，将其向左平移2个单位。
解：根据平移的计算公式，将自变量x替换为x+2，得到平移后的二次函数为y=(x+2)^2。
通过对比原函数和平移后的函数，我们可以发现原函数的顶点在原点处(0,0)，而平移后的函数的顶点在(-2,0)。
实例2：已知二次函数y=x^2，将其向上平移3个单位。
解：按照平移的计算公式，将因变量y替换为y+3，得到平移后的二次函数为y=x^2+3。
比较原函数与平移后的函数，我们可以发现平移后的函数整体向上移动了3个单位。
二、缩放的计算方法与实例缩放是指对二次函数的横轴和纵轴进行比例的调整。
当横轴进行缩放时，可以通过将自变量x进行除以一个常数的操作来实现；而当纵轴进行缩放时，则需要将因变量y进行乘以一个常数的操作。
下面通过实例来说明缩放的计算方法：实例3：已知二次函数y=x^2，将其在横轴方向上缩小为原来的一半。
解：按照缩放的计算公式，将自变量x替换为x/2，得到缩放后的二次函数为y=(x/2)^2。
从函数的表达式可以看出，横轴方向上的缩放使得原函数的每个点的横坐标减小了一半。
实例4：已知二次函数y=x^2，将其在纵轴方向上放大两倍。
解：根据缩放的计算公式，将因变量y替换为2y，得到缩放后的二次函数为y=2x^2。
从函数的表达式可以看出，纵轴方向上的缩放使得原函数的每个点的纵坐标增大了两倍。
专题10 二次函数问题(解析版)
备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）专题10 二次函数问题考点扫描☆聚焦中考二次函数问题是中考的重点内容，近几年各地中考题目主要以选择题与解答题的形式考查，也可能在填空题中出现，题目难度中高档；考查内容主要有：二次函数的性质与图象；用待定系数法确定函数解析式；二次函数的最值与平移问题；与方程、不等式、几何知识结合的综合题等；考查热点主要有：二次函数的性质与图象；通过具体问题情境学会用三种方式表示二次函数关系；通过在实际问题中应用二次函数的性质，发展应用二次函数解决实际问题的能力。
考点剖析☆典型例题（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】C【点拨】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．【解析】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，故C选项符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣3【答案】C【点拨】利用二次函数的性质进行判断即可．【解析】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质．2023•达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【点拨】由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a＞0，c＜0，根据对称轴为直线x＝1得出b＝﹣2a＜0，即可判断①；由对称轴为直线x＝1得出2a+b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x＝﹣1时，y＞0，得出a﹣b+c＞0，由b＝﹣2a得出3a+c ＞0即可判断⑤．【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称，∴﹣＝1，∵a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵c＜0，∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1，∴x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故③错误；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，故④错误；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＞0．故⑤正确．故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（）A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】D【点拨】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．【解析】解：抛物线y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），而点（1，5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（﹣1，2），【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．例5（2023•无锡）二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠），有下列结论：①该函数图象过定点（﹣1，2）；②当m＝1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当1＜m＜时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，则y1＞y2．其中，正确结论的序号为①②④．【答案】①②④．【点拨】抛物线整理为y＝x2+（2m﹣1）x+2m＝x2+2mx﹣x+2m＝2m（x+1）+x2﹣x可判断①，将m＝1代入并计算b2﹣4ac即可判断②，计算抛物线对称轴并根据m≠可判断③，根据题意确定对称轴的范围后可确定P、Q的位置，再根据增减性可判断④．【解析】解：y＝x2+（2m﹣1）x+2m＝x2+2mx﹣x+2m＝2m（x+1）+x2﹣x，当x＝﹣1时，y＝2，∴该函数图象过定点（﹣1，2），故①正确；当m＝1时，y＝x2+x+2，∵b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，∴函数图象与x轴无交点，故②正确；抛物线的对称轴为：x＝，∵m≠，∴，∴当m＞时，对称轴在y轴左侧，当m＜时，对称轴在y轴右侧，故③错误；∵，∴﹣1＜﹣m＜﹣，∴P（x1，y1）在对称轴左侧，Q（x2，y2）在对称轴右侧，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，∴当x＝﹣2时，y1最小＝y＝4﹣4m+2+2m＝﹣2m+6，当x＝0时，y2最大＝2m，此时，y1﹣y2＝﹣4m+6，∵，∴﹣4m+6＞0，∴y1＞y2，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征．2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；（3）求证：b2+4a＝0．【答案】（1）a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）﹣4＜n＜﹣2；（3）证明见解析．【点拨】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【解析】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），∴解得，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝m，∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，∴由图象的对称性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．2023•辽宁）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x（元）…506070…月销量y（台）…908070…（1）求y与x之间的函数关系式；【答案】见解析【点拨】（1）设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为y＝kx+b，把（50，90）和（60，80）代入解方程组即可得到结论；（2）设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】解：（1）设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为y＝kx+b，把（50，90）和（60，80）代入得，解得，∴y＝﹣x+140；（2）∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，∴40≤x≤80，设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+140）＝﹣x2+180x﹣5600＝﹣（x﹣90）2+2500，∴当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是列出关系式，熟练掌握二次函数的性质，准确计算．2023•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB 交于点D，设点P的横坐标为m．①当时，求m的值；②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．【答案】（1）y＝﹣x+4，点C的坐标为（0，4）；（2）①2或3或；②，S的最大值为．【点拨】（1）利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可；（2）①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据PD＝2 列一元二次方程求解即可；②证明△FOQ∽△POE，推出FQ＝﹣m+4，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．【解析】解：（1）由y＝﹣x2+4x得，当y＝0 时，﹣x2+4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∵点A在x轴正半轴上．∴点A的坐标为（4，0）．设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．将A，B两点的坐标（4，0），（1，3）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+4．将x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4．∴点C的坐标为（0，4）；（2）①解：∵点P在第一象限内二次函数y＝﹣x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB 交于点D，其横坐标为m．∴点P，D的坐标分别为P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），∴PE＝﹣m2+4m．DE＝﹣m+4，OE＝m，∵点C的坐标为（0，4），∴OC＝4．，∴PD＝2．如图1，当点P在直线AB上方时，PD＝PE﹣DE＝﹣m2+4m﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，∵PD＝2，∴﹣m2+5m﹣4＝2，解得m1＝2．m2＝3．如图2，当点P在直线AB下方时，PD＝DE﹣PE＝﹣m+4﹣（﹣m2+4m）＝m2﹣5m+4，∵PD＝2，∴m2﹣5m+4＝2，解得，∵0＜m＜1，m＝．综上所述，m的值为2或3或；②解：如图3，由（2）①得，OE＝m，PE＝﹣m2+4m，DE＝﹣m+4．∴OQ＝1，∵点P在直线AB上方，∴EQ＝m﹣1．∵PE⊥x轴于点E，∴∠OQF＝∠OEP＝90°，∴FQ∥DE，∠FOQ＝∠POE，∴△FOQ∽△POE，∴，∴，∴，∴FQ＝DE，∴四边形FQED为平行四边形，∵PE⊥x轴，∴四边形FQED为矩形．∴S＝EQ•FQ＝（m﹣1）（﹣m+4），即S＝﹣m2+5m﹣4＝，∵﹣1＜0，1＜m＜4，∴当m＝时，S的最大值为；【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．考点过关☆专项突破类型一二次函数的图象与性质1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【点拨】首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．【解析】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴顶点在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．2．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【点拨】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解析】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【答案】D【点拨】将（0，6）代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m ＝3，再利用公式法求出二次函数最值．【解析】解：由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：＝＝．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．4．（2023•衢州）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．B．C．D．m＞2【答案】C【点拨】根据已知条件列不等式即可得到结论．【解析】解：∵a＜0，∴y＝﹣3a＞0，∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，∴4am2﹣8am＞﹣3a，∴4m2﹣8m+3＜0，∴＜m＜①，∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，∴3am2＜4am，∵a＜0，m＞0，∴am＜0，∴m＞②，由①②得＜m＜．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确地列出不等式是解题的关键．5．（2023•大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【答案】D【点拨】根据二次函数的图象，结合当0≤x≤3时函数图象的增减情况，即可解决问题．【解析】解：由二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝1．又1﹣0＜3﹣1，所以当x＝3时，函数取得最大值，y＝32﹣2×3﹣1＝2．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．6．（2023•扬州）已知二次函数y＝ax2﹣2x+（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②D．③④【答案】B【点拨】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．【解析】解：∵a＞0时，抛物线开口向上，∴对称轴为直线x＝＝＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大而增大，∴函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握a决定二次函数的开口方向，进一步能确定出其最值是解题的关键．7．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【点拨】观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，再结合题目一一判断即可．【解析】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．8．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为﹣1﹣．【答案】﹣1﹣．【点拨】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．【解析】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，∴a＝﹣1﹣．故答案为：﹣1﹣．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．9．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是﹣1＜n＜0．【答案】﹣1＜n＜0．【点拨】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B 在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．【解析】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y1＜y2，∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，不等式组无解；若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，解得：﹣1＜n＜0，∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．故答案为：﹣1＜n＜0．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．10．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．【答案】（1）；（2）t≤．【点拨】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．【解析】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵对称轴为x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，∴＞t，即t≤．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．类型二二次函数的图象与系数的关系1．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．abc＜0B．2a+b＝0C．4ac＞b2D．点（﹣2，0）在函数图象上【答案】B【点拨】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称轴为直线x＝1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），再结合对称轴为直线x＝1，可得出另一个交点坐标．【解析】解：A：由二次函数的图形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A错误．B：因为二次函数的对称轴是直线x＝1，则＝1，即2a+b＝0．故B正确．C：因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C错误．D：因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），且对称轴为直线x＝1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0）．故D错误．故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．2．（2023•雅安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（）①a＞0；②点B的坐标为（6，0）；③c＝3b；④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．A．①②B．②③C．②③④D．③④【答案】C【点拨】通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点可判断①、②、③，通过x＝2时抛物线取得最大值判断4a+2b≥am2+bm，进而求解．【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，①错误，∵A、B关于对称轴x＝2对称，∴B点的横坐标为6，②正确，∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴，把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，得：4a﹣2b+c＝0，∴﹣2b+c＝0，整理得：c＝3b，③正确，∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，抛物线取得最大值为y＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴4a+2b+c≥am2+bm+c，即4a+2b≥am2+bm，④正确．∴所有正确结论的序号为②③④．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质．3．（2023•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C （﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【点拨】根据二次函数的对称轴为直线x＝﹣1和经过点C（﹣3，0），再结合抛物线的对称性即可解决问题．【解析】解：因为二次函数的图象过点C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，所以由抛物线的对称性可知，点（1，0）也在抛物线上．将（1，0）代入二次函数解析式得，a+b+c＝0．故①正确．因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，所以，即b﹣2a＝0．又a+b+c＝0，则将a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得，2c+3b＝0．故②正确．因为﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，所以点A离对称轴更近．则当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2．故③错误．由ax2+bx+c＝k（x+1）得，ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0．又a+b+c＝0，2c+3b＝0，得．则（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）＝（）2﹣4×（）（c﹣k）＝．又k＞0，所以＞0．即该方程有两个不相等的实数根．故④正确．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据抛物线的对称轴及经过定点得出a，b，c的关系是解题的关键．4．（2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【点拨】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；②由对称轴为直线x＝﹣2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c﹣3a的符号．③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．【解析】解：①因图象开口向下，可知：a＜0；又∵对称轴为直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同号．由图象可知，当x＝4时，y＜0，又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0；即c＜0；∴abc＜0，故①正确．②由①得：b＝4a．代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0．即：a•（﹣1）2+4a•（﹣1）+c＞0，整理得：c﹣3a＞0，故②正确．③设4a2﹣2ab≥at（at+b）则4a﹣2b≤at•t﹣bt，两边+c得到4a﹣2b+c≤at•t﹣bt+c，左侧为x＝﹣2时的函数值，右侧为x＝t时的函数值，显然不成立，故③错误．④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根，从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x＝﹣2对称，∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，即当﹣5＜m＜﹣2时，满足题设，故④正确．故本题选：C．【点睛】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．5．（2023•湖北）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【点拨】根据二次函数的性质及数形结合思想进行判定．【解析】解：①由题意得：y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵a＜0，∴b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①是错误的；②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故②是正确的；③∵b＝2a，c＝﹣3a，∴3b+2c＝6a﹣6a＝0，故③是正确的；④∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．∴抛物线的对称轴为：x＝﹣1，当点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，∴m≤﹣1或，解得：m＜0，故④是错误的，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．6．（2023•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a为常数，a≠0）．（1）若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．（2）若a＝﹣1，求证：当﹣1＜x＜0时，y＞0．（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，则a的取值范围是a＞3或a＜﹣1．【答案】（1）证明见解析过程；（2）证明见解析过程；（3）a＞3或a＜﹣1．【点拨】（1）证明b2﹣4ac＞0即可解决问题．（2）将a＝﹣1代入函数解析式，进行证明即可．（3）对a＞0和a＜0进行分类讨论即可．【解析】证明：（1）因为（﹣2a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，又因为a＜0，所以4a＜0，a﹣3＜0，所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，所以该函数的图象与x轴有两个公共点．（2）将a＝﹣1代入函数解析式得，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下．则当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而增大，又因为当x＝﹣1时，y＝0，所以y＞0．（3）因为抛物线的对称轴为直线x＝，且过定点（0，3），又因为该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，所以当a＞0时，a﹣2a+3＜0，解得a＞3，故a＞3．当a＜0时，a+2a+3＜0，解得a＜﹣1，故a＜﹣1．综上所述，a＞3或a＜﹣1．故答案为：a＞3或a＜﹣1．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．类型三二次函数的图象变换1．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022D．y＝﹣x2+x+1【答案】D【点拨】根据抛物线的平移规律，可得答案．【解析】解：∵将抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，∴抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，由平移规律得出a不变是解题的关键．2．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4【答案】B【点拨】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解析】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．3．（2020•衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位【答案】C【点拨】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【解析】解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x 轴对称，则m，n的值为（）A．m＝﹣6，n＝﹣3B．m＝﹣6，n＝3C．m＝6，n＝﹣3D．m＝6，n＝3【答案】D【点拨】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得．【解析】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，∴y＝﹣mx2﹣2x+n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n相同，∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，解得m＝6，n＝3，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线y＝mx2+2x ﹣n化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．5．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）．【答案】（1，﹣3）．【点拨】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解析】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．6．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是y＝﹣3．【答案】y＝﹣3．【点拨】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解析】解：由题意，将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．7．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．【答案】（1）对称轴是直线x＝6，y的最大值为4，a＝7；（2）5．【点拨】（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令y＝3，转化为方程求出a即可；（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．【解析】解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，∴抛物线的顶点为Q（6，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，∴x＝5或7，∵点P在对称轴的右侧，∴P（7，3），∴a＝7；（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，∴平移后的顶点Q′（3，0），∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型．类型四二次函数的图象与x轴的交点1．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝9．。
二次函数的平移缩放与反转变换解析
二次函数的平移缩放与反转变换解析二次函数是高中数学中的重要知识点，它在数学和物理等学科中都有广泛应用。
在解析几何中，我们经常需要对二次函数进行平移、缩放和反转等变换操作，以便更好地研究其特性和性质。
本文将详细介绍二次函数的平移缩放与反转变换的解析方法。
一、平移变换平移是指改变二次函数的图像位置，使其在平面上上下左右移动。
平移变换可以通过改变二次函数的形式来实现。
对于一般形式的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果我们希望将图像向右平移$h$个单位，可以将$x$替换为$x-h$，即$f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c$。
同样地，如果我们希望将图像向左平移$h$个单位，可以将$x$替换为$x + h$，即$f(x+h) = a(x+h)^2 + b(x+h) + c$。
例如，考虑二次函数$f(x) = x^2$，我们希望将其向右平移3个单位。
根据平移变换的原理，我们将$x$替换为$x-3$，得到$f(x-3) = (x-3)^2$。
这样，原来的函数图像$f(x) = x^2$向右平移3个单位后，变成了$f(x-3) = (x-3)^2$的图像。
同样地，我们可以将二次函数向上或向下平移$k$个单位。
具体操作是将整个函数加上或减去$k$，即$f(x) + k$或$f(x) - k$。
例如，如果要将函数$f(x) = x^2$向上平移2个单位，我们可以令$y = f(x) + 2 = x^2 + 2$，这样原来的函数图像$f(x) = x^2$向上平移2个单位后，变成了$y = x^2 + 2$的图像。
二、缩放变换缩放是指改变二次函数图像的形状和大小，使其变得更高或更扁。
缩放变换可以通过改变二次函数的系数来实现。
对于一般形式的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果我们希望将图像垂直方向缩放$k$倍，可以将$f(x)$替换为$k \cdot f(x)$，即$kf(x) = k(ax^2 + bx + c)$。
二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题
二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题目录题型01二次函数平移问题题型02二次函数翻折问题题型03二次函数对称问题题型04二次函数旋转问题题型05二次函数折叠问题题型01二次函数平移问题1. 二次函数的平移变换平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.1(2023·上海杨浦·统考一模)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a≠0与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BC 上一点，如果∠PAC =45°，求点P 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果tan ∠PEF =12，求平移后抛物线的表达式．【答案】(1)y =x 2-2x -3(2)P 53,-43(3)y =x +1792-4【分析】(1)设点A 的横坐标为x A ，点B 的横坐标为x B ，根据对称轴，AB =4，列式x A +x B2=1,x B -x A =4，利用根与系数关系计算确定a 值即可．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，交AC 左侧的AP 的延长线于点N ，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．(3)设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，证明Rt △FGE ∽Rt △PHF ，根据相似三角形的性质得出GEHF=GF HP =EF FP =1tan ∠PEF =2即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-2ax -3a ≠0 与x 轴交于点A 、点B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且AB =4，∴x A +x B 2=1,x B -x A =4，解得x B =3,x A =-1，∴-3a=3×-1 ，解得a=1，故抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，∵∠PAC =45°，∴AC =CM ，过点M 作MT ⊥y 轴于点T ，∴∠ACO =90°-∠ECM =∠CMT ∵∠ACO =∠CMT ∠AOC =∠CTM AC =CM，∴△AOC ≌△CTM AAS ，∴AO =CT ,OC =EM ，∵抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，x B =3,x A =-1，∴AO =CT =1,OC =TM =3，A -1,0 ,C 0,-3 ,B 3,0 ，∴OE =2,TM =3∴M 3,-2 ，设AM 的解析式为y =kx +b ，BC 的解析式为y =px +q ∴-k +b =03k +b =-2 ,3p +q =0q =-3 ，解得k =-12b =-12,p =1q =-3 ∴AM 的解析式为y =-12x -12，BC 的解析式为y =x -3，∴y =x -3y =-12x -12 ，解得x =53y =-43，故P 53,-43；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4，点D 1,-4 ,设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，由(2)知，直线AP 的表达式为：y =-12x -12，P 53,-43设F m ,-12m -12 ∵∠EFP =90°，∴∠GFE +∠HFP =90°，∵∠GFE +∠GEF =90°，∴∠GEF =∠HFP ，∴Rt △FGE ∽Rt △PHF ，∴GE HF =GF HP =EF FP =1tan ∠PEF=2，∵GE =y F -y E =-12m -12+4，HF =x P -x F =53-m ，GF =x F -x G =m -1-t ，HP=y F -y P =-12m-12+43，∴-12m -12+453-m =m -1-t -12m -12+43=2，解得：t =269，∴y =x -1+269 2-4=x +179 2-4．【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键．2(2023·广东湛江·校考一模)如图1，抛物线y =36x 2+433x +23与x 轴交于点A ，B (A 在B 左边)，与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE ∥AC 交抛物线于点E ，交y 轴于点P．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当△EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN ⊥AC ，连GM ，NO ，求GM +MN +NO 的最小值；(2)如图2，在(1)的条件下，过点F 作FH ⊥x 轴于点H 交AC 于点L ，将△AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到△A H L (点A ，H ，L 分别对应点A ，H ，L )，再将△A H L 绕点H 逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A L 所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当△PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．【答案】(1)4+23975(2)1733-3或833【分析】(1)作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ，求出直线DE 的解析式，联立方程得到x =-3时，FH 的值最大，求出答案；作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小，求出答案即可；(2)当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，得到直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，进而求出答案，当△QPR 是等腰三角形，同理求出答案．【详解】(1)如图1中，作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ．由题意可知A (-6,0)，B (-2,0)，C (0,23)，∵抛物线的对称轴x =-4，C ，D 关于直线x =-4对称，∴D (-8,23)，∴直线AC 的解析式为y =33x +23，∵DE ∥AC ，∴直线DE 的解析式为y =33x +1433，由y =33x +23y =33x +1433，解得x =8y=23 或x =2y =1633，∴E 2,1633 ，H m ,33m +1433，∵S △DEF =S △DEG +S △EFG ，△DEG 的面积为定值，∴△DEG 的面积最大时，△EFG 的面积最大，∵FH 的值最大时，△DEF 的面积最大，∵FH 的值最大时，△EFG 的面积最大，∵FH =-36m 2-3m +833，∵a <0．开口向下，∴x =-3时，FH 的值最大，此时F -3,-32．如图2中，作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小．∵直线DF 的解析式为：y =-32x -23，由y =-32x -23y =33x +23，解得x =-245y =235，∴G -245,232 ，∵TG ⊥AC ，∴直线GR 的解析式为y =-3x -2235，由y =33x +1433y =-3x -2235 ，解得x =-345y =1235，∴R -345,1235，∴RG =4,OR =23975，∵GM =TM =RN ，∴GM +MN +ON =RN +ON +RG =RG +ON =4+23975．∴GM +MN +NO 的最小值为4+23975．(2)如图3中，如图当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，PQ =PR易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，L 3-32,23+32，直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，∴R (0,3-3)，∴PR =1433-(3-3)=1733-3．如图4中，当△QPR 是等腰三角形，∵∠QPR =60°，∴△QPR 是等边三角形，同法可得R (0,23)，∴PR =OP -OC =1433-23=833综上所述，满足条件的PR 的值为1733-3或833．【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．3(2023·广东潮州·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ的最大值；(3)把抛物线y =-12x 2+bx +c 沿射线AC 方向平移5个单位得新抛物线y ，M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N 点的坐标，并把求其中一个N 点坐标的过程写出来．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4(2)当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)(3)N 点的坐标为N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.其中一个N 点坐标的解答过程见解析【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)运用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，证明△PDQ ∽△OCQ ，得出：PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12，运用求二次函数最值方法即可得出答案；(3)设M t -12t 2+2t +92,N (2,s )，分三种情况：当BC 为▱BCN 1M 1的边时；当BC 为▱BCM 2N 2的边时；当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．【详解】(1)∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，∴-12×(-2)2-2b +c =0-12×42+4b +c =0,解得：b =1c =4 ，∴抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4；(2)∵抛物线y =-12x 2+x +4与y 轴交于点C ，∴C (0,4)，∴OC =4，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，把B (4,0),C (0,4)代入，得：4k +d =0,d =4 解得：k =-1d =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，∴PD =-12m 2+2m ，∵PD ∥OC ，∴△PDQ ∽△OCQ ，∴PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12,∴当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)．(3)如图2，沿射线AC 方向平移5个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，∴新的物线解析式为y =-12(x -2)2+132=-12x 2+2x +92，对称轴为直线x =2，设M t ,-12t 2+2t +92,N (2,s )，当BC 为▱BCN 1M 1的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=4s =-12t 2+2t +92+4解得：t =6s =52，∴N 12,52;当BC 为▱BCM 2N 2的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=-4s =-12t 2+2t +92-4 ,解得：t =-2s =-112，∴N 22,-112;当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，则t +2=4-12t 2+2t +92+s =4，解得：t =2s =-52，∴N 32,-52;综上所述，N 点的坐标为：N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．4(2023·湖北襄阳·校联考模拟预测)坐标综合：(1)平面直角坐标系中，抛物线C 1：y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，且经过点6,3 ，求抛物线C 1的解析式，并写出其顶点坐标；(2)将抛物线C 1在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C 2：y 2=x 2-2mx +m 2-1，①如图1，设自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1．此时，若y 2的最大值比最小值大12m ，求m 的值；②如图2，直线l ：y =-12x +n n >0 与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点.过点A 、点C 分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点B ．设抛物线C 2与x 轴交于E 、F 两点(点E 在左边)．现将图中的△CBA 沿直线l 折叠，折叠后的BC 边与x 轴交于点M ．当8≤n ≤12时，若要使点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，请通过计算加以说明：抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？【答案】(1)抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，抛物线C 1的顶点坐标为3,-6(2)①m 的值为2或9-154；②抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位【分析】(1)根据对称轴为直线x =3，可得b =-6，再把把6,3 代入，即可求解；(2)①根据配方可得当x =m 时，函数有最小值-1，再由自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，可得1≤m ≤2，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A ，C 的坐标，可得点B 的坐标，再根据图形折叠的性质可得CM =AM ，在Rt △COM 中，根据勾股定理可得CM =54n ，从而得到点M 的坐标，继而得到n 的取值范围，然后根据点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，可得m 取值范围，即可求解．【详解】(1)解：∵y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，∴-b2=3，解得：b =-6，把6,3 代入y 1=x 2-6x +c ，得3=62-6×6+c ，解得：c =3，∴抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，当x =3时，y 1=32-6×3+3=-6，∴抛物线C 1的顶点坐标为3,-6 ；(2)解：①∵y 2=x 2-2mx +m 2-1=x -m 2-1，∴抛物线C 2的对称轴为直线x =m ，当x =m 时，函数有最小值-1，∵在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，∴1≤m ≤2，当1≤m ≤32时，x =2时y 2有最大值为m 2-4m +3，∴m 2-4m +3+1=12m ，解得m =9±154，∴m =9-154；当32≤m ≤2时，x =1时y 2有最大值为m 2-2m ，∴m 2-2m +1=12m ，解得m =2或m =12(舍)，综上所述：m 的值为2或9-154；②直线l ：y =-12x +n 与x 轴的交点A 2n ,0 ，与y 轴的交点C 0,n ，∴B 2n ,n ，∵△CBA 沿直线l 折叠，∴∠BCA =∠ACM ，∵∠BCA =∠CAM ，∴∠ACM =∠MAC ，∴CM =AM ，在Rt △COM 中，CM 2=CO 2+OM 2，即CM 2=n 2+2n -CM 2，解得CM =54n ，∴OM =34n ，∴M 34n ,0 ，∵8≤n ≤12，∴6≤34n ≤9，当x 2-2mx +m 2-1=0时，解得：x =m +1或x =m -1，∴E m -1,0 ，F m +1,0 ，∵点M 始终能够落在线段EF 上，∴m +1≥6，m -1≤9，∴5≤m ≤10，∵y 1=x 2-6x +3=x -3 2-6，y 2=x -m 2-1，当m =5时，抛物线C 1沿x 轴向右平移2个单位，向上平移5个单位，当m =10时，抛物线C 1沿x 轴向右平移7个单位，向上平移5个单位，∴抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．5(2023·浙江湖州·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，图象的顶点为M ．矩形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 的坐标为1,5 ．(1)求c 的值及顶点M 的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位0<t <3 得到对应的矩形A B C D ．已知边C D ，A B 分别与函数y =x 2-4x +c 的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG ⊥A B 于点G ．①当t =2时，求QG 的长；②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t ，使得△PGQ 的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)c =5，顶点M 的坐标是2,1(2)①1；②存在，t =12或52【分析】(1)把0,5 代入抛物线的解析式即可求出c ，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；(2)①先判断当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ，再求出x =3，x =2时点Q 的纵坐标与点P 的纵坐标，进而求解；②先求出QG =2，易得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ，然后分点G 在点Q 的上方与点G 在点Q 的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【详解】(1)∵二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，∴c =5， ∴y =x 2-4x +5=x -2 2+1，∴顶点M 的坐标是2,1 ．(2)①∵A 在x 轴上，B 的坐标为1,5 ，∴点A 的坐标是1,0 ．当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ．当x =3时，y =3-2 2+1=2，即点Q 的纵坐标是2，当x =2时，y =2-2 2+1=1，即点P 的纵坐标是1．∵PG ⊥A B ，∴点G 的纵坐标是1， ∴QG =2-1=1． ②存在．理由如下：∵△PGQ 的面积为1，PG =1，∴QG =2．根据题意，得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ．如图1，当点G 在点Q 的上方时，QG =t 2-4t +5-t 2-2t +2 =3-2t =2，此时t =12(在0<t <3的范围内)，如图2，当点G 在点Q 的下方时，QG =t 2-2t +2-t 2-4t +5 =2t -3=2，此时t =52(在0<t <3的范围内)．∴t =12或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．6(2023·江苏·统考中考真题)如图，二次函数y =12x 2+bx -4的图像与x 轴相交于点A (-2,0)、B ，其顶点是C ．(1)b =；(2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知△PCQ 是直角三角形，求点P 的坐标．【答案】(1)-1；(2)k ≤-3；(3)3,-52 或-1,-52 ．【分析】(1)把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4即可求解；(2)过点D 作DM ⊥OA 于点M ，设D m ,12m 2-m -4 ，由tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得D -1,-52，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为y =12x +3 2-92，根据二次函数得性质即可得解；(3)先设出平移后顶点为P p ,12p 2-p -4 ，根据原抛物线y =12x -1 2-92，求得原抛物线的顶点C 1,-92 ，对称轴为x =1，进而得Q 1,p 2-2p -72，再根据勾股定理构造方程即可得解．【详解】(1)解：把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4得，0=12×-2 2+b ×-2 -4，解得b =-1，故答案为-1；(2)解：过点D 作DM ⊥OA 于点M ，∵b =-1，∴二次函数的解析式为y =12x 2-x -4设D m ,12m 2-m -4 ，∵D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52，∴tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得m =-1或m =8(舍去)，当m =-1时，12m 2-m -4=12+1-4=-52，∴D -1,-52，∵y =12x 2-x -4=12x -1 2-92，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为y =12x +a 2-92，把D -1,-52 代入y =12x +a 2-92得-52=12-1+a 2-92，解得a =3或a =-1(舍去)，∴平移后得抛物线为y =12x +3 2-92∵过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在y =12x +3 2-92的对称轴x =-3的左侧，y 随x 的增大而减小，此时原抛物线也是y 随x 的增大而减小，∴k ≤-3；(3)解：由y =12x -1 2-92，设平移后的抛物线为y =12x -p 2+q ，则顶点为P p ,q ，∵顶点为P p ,q 在y =12x -1 2-92上，∴q =12p -1 2-92=12p 2-p -4，∴平移后的抛物线为y =12x -p 2+12p 2-p -4，顶点为P p ,12p 2-p -4 ，∵原抛物线y =12x -1 2-92，∴原抛物线的顶点C 1,-92，对称轴为x =1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，∴Q 1,p 2-2p -72，∵点Q 、C 在直线x =1上，平移后的抛物线顶点P 在原抛物线顶点C 的上方，两抛物线的交点Q 在顶点P 的上方，∴∠PCQ 与∠CQP 都是锐角，∵△PCQ 是直角三角形，∴∠CPQ =90°，∴QC 2=PC 2+PQ 2，∴p 2-2p -72+92 2=p -1 2+12p 2-p -4+922+p -1 2+12p 2-p -4-p 2+2p +722化简得p -1 2p -3 p +1 =0，∴p =1(舍去)，或p =3或p =-1，当p =3时，12p 2-p -4=12×32-3-4=-52，当p =-1时，12×-1 2+1-4=-52，∴点P 坐标为3,-52 或-1,-52．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．7(2023·湖北宜昌·统考模拟预测)如图，过原点的抛物线y 1=ax (x -2n )(a ≠0,a ,n 为常数)与x 轴交于另一点A ，B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，点M (-3,3)在抛物线y 1上．(1)点A 的坐标为；(2)C 为x 轴正半轴上一点，且CM =CB ．①求线段BC 的长；②线段CM 与抛物线y 1相交于另一点D ，求点D 的坐标；(3)将抛物线y 1向右平移(4-t )个单位长度，再向下平移165个单位长度得到抛物线y 2，P ，Q 是抛物线y 2上两点，T 是抛物线y 2的顶点．对于每一个确定的t 值，求证：矩形TPNQ 的对角线PQ 必过一定点R ，并求出此时线段TR 的长．【答案】(1)-8,0(2)①BC =5；②D -54,2716 (3)证明见解析，RT =5【分析】(1)根据中点公式求C 点坐标即可；(2)①设C x ,0 ，根据CM =CB ，建立方程(x +3)2+9=x +4，求出C 点坐标即可求BC ；②求出直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，求出n =-4，将M 点代入y 1=ax (x +8)，求出a =-15，从而求出抛物线y 1=-15x (x +8)，直线CM 与抛物线的交点即为点D -54,2716；(3)根据平移的性质可求y 2=-15(x +t )2，则T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，由根与系数的关系可得m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，证明△FPT ∽△ETQ ，则PF TE =FT EQ ，即15(m +t )2n +t =-t -m 15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，求出b =kt -5，所以直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，RT =5．【详解】(1)∵B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，∴OA =8，∴A -8,0 ，故答案为：-8,0 ；(2)①设C x ,0 ，∵CM =CB ，∴(x +3)2+9=x +4，解得x =1，∴BC =5；②设直线CM 的解析式为y =k 'x +b '，∴k '+b '=0-3k '+b '=3 ，解得k '=-34b '=34，∴直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，∴-8a (-8-2n )=0，∵a ≠0，∴-8-2n =0，解得n =-4，∴y 1=ax (x +8)，将M 点代入y 1=ax (x +8)，∴-3a (-3+8)=3，解得a =-15，∴抛物线y 1=-15x (x +8)，当-34x +34=-15x (x +8)时，解得x =-3或x =-54，∴D -54,2716；(3)证明：∵y 1=-15x (x +8)=-15(x +4)2+165，∴y 2=-15(x +t )2，∴T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 ，当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，∴m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，∵四边形TPNQ 是矩形，∴∠PTQ =90°，∴∠FTP +∠ETQ =90°，∵∠FTP +∠TPF =90°，∴∠ETQ =∠TPF ，∴△FPT ∽△ETQ ，∴PF TE =FTEQ，即15(m +t )2n +t=-t -m15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，∴mn +t (m +n )+t 2=-25，∴b -kt =-5，即b =kt -5，∴直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，∴对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，∴RT =5．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，题型02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
二次函数图像平移专题训练(含解析)
二次函数图像平移专题训练（含解析）一、单选题1．将直线向上平移2个单位，相当于（）A．向左平移2个单位B．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向右平移1个单位2．抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（）A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位3．抛物线经过平移得到，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移5个单位B．向左平移1个单位，再向上平移5个单位C．向右平移1个单位，再向下平移5个单位D．向右平移1个单位，再向上平移5个单位4．若抛物线平移得到，则必须（）A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位二、填空题5．在平面直角坐标系中，将点M（2，3）向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后的点的坐标是．6．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是．7．平移抛物线y=2x2，使其顶点为（2，3），平移后的抛物线是8．将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，则平移后的抛物线为．9．把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为．10．如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．11．把抛物线y＝先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是．12．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：将直线向上平移2个单位，可得函数解析式为：直线向左平移2个单位，可得故A不符合题意；直线向左平移1个单位，可得故B符合题意；直线向右平移2个单位，可得故C不符合题意；直线向右平移1个单位，可得故D不符合题意.故答案为：B.【分析】一次函数y=kx+b向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x+m)+b；一次函数y=kx+b向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x-m)+b；一次函数y=kx+b向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b+m；一次函数y=kx+b向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b-m，据此一一判断得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，故答案为：C【分析】根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减的原则求解即可。
二次函数平移问题
二次函数平移问题 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-二次函数的平移问题我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.一.当解析式为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)时1.向上或向下平移时,二次函数解析式的变化规律.将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n 两式比较:可得抛物线向上平移n个单位,常数项上加n，即解析式由y=ax2+bx+c变为y=ax2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移n个单位,常数项上减去n，即解析式由y=ax2+bx+c变为y=ax2+bx+c-n2.向左或向右平移时,解析式的变化规律.将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向左平移m个单位,自变量上减去m，即解析式由y=ax2+bx+c变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移m个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax2+bx+c变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c3.将抛物线向左平移m个单位长度后,再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c+n将抛物线向左平移m个单位长度后,再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c-n将抛物线向右平移m个单位长度后,再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c+n将抛物线向右平移m个单位长度后,再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c-n二.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）时1.向上或向下平移时，解析式的变化规律.将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k-n 将抛物线向上平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k+n将抛物线向下平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k-n比较两个解析式可得出向上平移n个单位，括号外加n，同理可推出向下平移n个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k-n2.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m)2+k将抛物线向左平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h-m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a[x-(h-m)]2+k=a （x-h+m)2+k将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-h-m)2+k两解析式比较可得出图像向左平移m 个单位，括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x-h+m)2+k ；同理可推出向右平移m 个单位括号内减去m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x-h-m)2+k综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项3.将抛物线向左平移m 个单位长度后,再将抛物线向上平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h+m)2+k+n将抛物线向左平移m 个单位长度后,再将抛物线向下平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h+m)2+k-n将抛物线向右平移m 个单位长度后,再将抛物线向上平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h-m)2+k+n将抛物线向右平移m 个单位长度后,再将抛物线向下平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h-m)2+k-n二次函数的平移练习题1.把抛物线y=-x 2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（） A.y=-（x-1）2+3B.y=-（x+1）2+3C.y=-（x-1）2-3D.y=-（x+1）2-32.抛物线y=x 2+bx+c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（）A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=23.将函数y=x 2+x 的图像向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2的图像，则a 的值为（）A.1B.2C.3D.44.已知二次函数y=x 2-bx+1（-1≤b ≤1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A.先往左上方移动，再往右下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动B.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动5.已知抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移得到抛物线C ′.若两条抛物线C 、C ′关于直线x=1对称，则下列平移方法正确的是（）A.将抛物线C 向右平移2.5个单位B.将抛物线C 向右平移3个单位C.将抛物线C 向右平移5个单位D.将抛物线C 向右平移6个单位6.把二次函数y=-41x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式 A.y=-41(x-2)2+2B.y=41(x-2)2+4C.y=-41(x+2)2+4D.y=(21x-21)2+3 7.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．y=2x 2-2B ．y=2x 2+2C ．y=2(x-2)2D ．y=2(x+2)28.将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y=2(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=2x 2-19.将函数y=x 2+x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数y=x 2-x+2的图象，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．410.把抛物线y=-2x 2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A.y=-2（x-2）2+5B.y=-2（x+2）2+5C.y=-2（x-2）2-5D.y=-2（x+2）2-511.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x 2+x-2关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A ．y=-x 2-x+2B ．y=-x 2+x-2 C.y=-x 2+x+2 D ．y=x 2+x+212.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转1800，所得抛物线的解析式是（）A ．y=-（x+1）2+2B ．y=-（x-1）2+4C ．y=-（x-1）2+2D ．y=-（x+1）2+413.要得到二次函数y=-x 2+2x-2的图象，需将y=-x 2的图象（）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位14.若二次函数y=(x-m)2-1，当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．m ＝1B ．m ＞1C ．m ≥1D ．m ≤115.如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x-m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为-3，则点D 的横坐标最大值为（ ）A ．13B ．7C ．5D ．816.抛物线y=ax 2向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线17.二次函数y=-2（x+3）2-1由y=-2（x-1）2+1向_____平移______个单位，再向_____平移______个单位得到18.抛物线y=3（x+2）2-3可由抛物线y=3（x+2）2+2向平移个单位得到19.将抛物线y=53（x-3）2+5向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 20.把抛物线y=-（x-1）2-2是由抛物线y=-（x+2）2-3向平移个单位，再向_____平移_____个单位得到21.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2-3x+5，则a+b+c=__________22.抛物线y ＝x 2-5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式23.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 24.已知a+b+c=0，a ≠0，把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式 25.已知二次函数y ＝-x 2-4x-5.①指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；②把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式；③把这个二次函数的图象左、右平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式。
2020-2021年中考数学专题复习9二次函数选择题和填空题(含答案)
解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式是 ，
∴a=1＞0，故①正确；
当 时，y有最小值 ，故②错误；
若点 ，点 在二次函数图象上，则 ， ，∴ ，故③正确；
【详解】
由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴 ﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴ ﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数 的图象特征．
故选：B·
【点睛】
本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
6．B
【分析】
根据开口方向、对称轴、与 轴交点即可分别判断 符号，进而判断A选项；由 两点的横坐标分别为 和 可得两个方程，判断B选项；由当 时 判断C选项；由二次函数对称轴及增减性判断D选项.
【详解】
∵开口向下，与 轴交点在正半轴
∴
∵ 两点的横坐标分别为 和
∴
∴
∴ ，故A选项正确，B选项错误
∵ 两点的横坐标分别为 和
专题九二次函数选择题和填空题
学校:___________姓名：__________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A． B．
C． D．
2．已知在同一直角坐标系中二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象可能是（）
∴正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
二次函数函数值大小比较的方法
二次函数函数值大小比较的方法二次函数是一个非常重要的函数形式，在数学和实际应用中都经常出现。
如果我们要比较两个二次函数的函数值大小，可以通过以下几种方法来实现。
首先，我们可以通过图像的比较来判断二次函数函数值的大小。
对于给定的两个二次函数，我们可以首先画出它们的图像。
可以通过计算两个二次函数的顶点，以及求解二次函数和x轴的交点，来确定它们在坐标平面中的位置。
然后，我们可以观察二次函数在不同区间内的变化趋势。
比较这两个二次函数图像的高低，可以推断出它们的函数值大小关系。
其次，我们可以通过求解二次函数的零点来判断函数值的大小。
对于二次函数y=f(x)，我们可以通过将该函数等于0来求解它的零点。
设函数g(x)=f(x)-0，即g(x)=f(x)，然后我们可以求解g(x)=0对应的解x1，再将其带入原二次函数f(x)中可以得到对应的函数值f(x1)。
同样，对于另一个二次函数y=g(x)，我们可以求解g(x)=0对应的解x2，然后带入f(x)中可以得到对应的函数值f(x2)。
最后，比较f(x1)和f(x2)的大小即可判断二次函数函数值的大小关系。
第三，我们可以通过二次函数的求导来比较函数值的大小。
对于给定的两个二次函数f(x)和g(x)，我们可以分别求解它们的导数f'(x)和g'(x)。
然后，我们可以求解f'(x)=g'(x)对应的解x1，并通过将x1带入f(x)和g(x)中求解f(x1)和g(x1)。
最后，比较f(x1)和g(x1)的大小即可得到二次函数函数值的大小关系。
另外，我们还可以通过化简二次函数的标准形式来比较函数值的大小。
对于给定的两个二次函数f(x)=ax^2+bx+c和g(x)=px^2+qx+r，我们可以通过比较它们的系数a、b和c以及p、q和r的大小来判断二次函数的函数值大小。
首先，我们可以比较二次系数a和p的大小。
如果a>p，那么随着x的增大，f(x)的函数值会比g(x)的函数值大。
二次函数的变换(热考题型)-解析版
专题06 二次函数的变换【思维导图】◎考点题型1二次函数的平移（1） 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：（2） 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）将抛物线y ＝﹣3x 2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ） A ．y ＝﹣3（x ＋2）2 B ．y ＝﹣3（x ﹣2）2﹣1 C ．y ＝﹣3（x ＋1）2﹣1 D ．y ＝﹣3（x ﹣1）2＋3【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律进行解答即可． 【详解】解：抛物线y ＝﹣3x 2＋1向左平移2个单位长度得y ＝﹣3(x+2)2＋1， 抛物线y ＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1个单位长度得y ＝﹣3(x ＋2)2． 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．变式1．（2021·山东烟台·九年级期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（ ） A ．2b =，6c =- B ．6b =-，8c = C ．6b =-，2c = D ．2b =，0c【答案】D 【解析】 【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 【详解】由题意可得新抛物线的顶点为(1,4)-， ∴原抛物线的顶点为(1,1)--，设原抛物线的解析式为2()y x h k =-+， 代入得：22(1)12y x x x =+-=+，∴2b =，0c ． 故选：D ． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．变式2．（2022·广西·南宁市天桃实验学校八年级期末）将抛物线22(3)2y x =--图像先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是( ) A ．22(8)2y x =-+ B ．22(8)6y x =-- C ．22(2)6y x =+- D ．22(2)2y x =++【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将抛物线22(3)2y x =--图像先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是22(35)24y x =-+-+，即22(2)2y x =++．故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，主要考查的是函数图像的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．变式3．（2022·河北邢台·九年级期末）怎么样才能由22y x =的图像经过平移得到函数22(6)7y x =-+的图像呢？小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度； 小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度． 对于上述两种说法，正确的是（ ） A ．小亮对 B ．小丽对C ．小亮、小丽都对D ．小亮、小丽都不对【答案】B【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：小亮：由y=2x2的图象先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x+6）2+7，则小亮说法错误；小丽：由y=2x2的图象先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x-6）2+7，则小丽说法正确；故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．◎考点题型2 二次函数图象的对称（1）关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；（2）关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；（3）关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．例．（2022·河南周口·九年级期末）已知抛物线21y x mx =+-经过(1,)n -和(2,)n 两点，则n 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据(1,)n -和(2,)n 可以确定函数的对称轴1x =，再由对称轴的12mx =-=，即可求解． 【详解】解：抛物线21y x mx =+-经过(1,)n -和(2,)n 两点， 可知函数的对称轴12122x -+==， 122m ∴-=， 1m ∴=-；21y x x ∴=--，将点(1,)n -代入函数解析式，可得1n =； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的对称性． 变式1．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）已知4a -2b +c =0，9a +3b +c =0，则二次函数y =ax 2+bx +c 的图象顶点可能在（ ） A ．第一或第四象限 B ．第三或第四象限 C ．第一或第二象限 D ．第二或第三象限【答案】A 【解析】 【分析】首先由已知条件4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，得出此二次函数过点（-2，0），（3，0），然后根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴，进而得出二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能所在的象限．【详解】解：∴4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，∴此二次函数过点（-2，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=12，∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能在第一或第四象限．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象与性质求出对称轴为直线x=12是解题的关键．变式2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）已知二次函数y＝ax2＋bx ＋c，函数y与自变量x的部分对应值如表：x……﹣11234……y (10521)25……若A（m，y1）、B（m﹣1，y2）两点都在函数的图象上，则当m满足（）时，y1＜y2A．m≤2B．m≥3C．m52<D．m52>【答案】C【解析】【分析】根据表格中的数据先确定抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，然后根据二次函数图象的性质，列出m 的不等式，解不等式即可．【详解】解：由表格可知，该函数图象开口向上，对称轴为直线x042+==2，∴A（m，y1）、B（m﹣1，y2）两点都在函数的图象上，y1＜y2，∴2﹣（m ﹣1）＞m ﹣2， 解得：m 52＜，故C 正确．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据表格中的数据确定二次函数图象的对称轴，列出关于m 的不等式，是解题的关键．变式3．（2020·辽宁铁岭·九年级期中）点1P （－1，1y ），2P （3，2y ），3P （5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y =>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．23y y y <<【答案】A 【解析】 【分析】已知函数表达式里面二次项系数和一次项系数，可以求出该函数图像的对称轴2ba-，结合对称轴，分析函数的增减性即可．当a <0，x >2b a -时，y 随x 的增大而减小；当a <0，x <2ba-时，y 随x 的增大而增大． 【详解】 对称轴：x =2ba-=212(1)-=⨯- 11(1)P y -，到对称轴有1-（-1）=2个单位长度； 22(3)P y ，到对称轴有3-1=2个单位长度；∴12y y = ∴a =-1<0 ∴当x >2ba-时，y 随x 的增大而减小 ∴33(5)P y ，，5>3>2b a- ∴32<y y综上：321y y y <= 故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，结合函数表达式求出函数图像的对称轴，根据二次项系数的正负和对称轴分析函数的增减性是解题的关键．◎考点题型3 二次函数的图象与系数的关系二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的系数与图象的关系（1）a 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的开口方向决定：0>⇔a 开口向上 ，0>⇔a 开口向上；（2）b 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的对称轴的位置及a 的符号共同决定：对称轴在y 轴左侧b a ,⇔同号，对称轴在y 轴右侧b a ,⇔异号；（3）c 的符号由抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的位置决定：与y 轴正半轴相交0>⇔c ，与y 轴正半轴相交0<⇔c ⏹ 二次项系数a二次函数y =ax 2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠0．⑴ 当a >0时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑴ 当a <0时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．【总结起来】a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，|a |的大小决定开口的大小． ⏹ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a >0的前提下，当b >0时，−b2a <0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧（a 、b 同号）； 当b =0时，−b 2a =0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b <0时，−b 2a >0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧（a 、b 异号）． ⑵ 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b >0时，−b2a >0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧（a 、b 异号）； 当b =0时，−b 2a =0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b <0时，−b 2a <0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧（a 、b 同号）． 【总结起来】在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．常数项c⑴ 当c >0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c <0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 【总结起来】c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ， b ， c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．例．（2021·山东烟台·九年级期中）在同一平面直角坐标系内，二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数y ax b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】逐图分析系数a ，b 的符号，即可判断． 【详解】A ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＞，此选项错误；B ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＜，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＜，此选项错误；C ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＜，此选项正确；D ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＜，0b =，此选项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题关键是会根据图象判断系数a ，b 的符号．变式1．（2022·云南玉溪·九年级期末）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正确的是( )A ．abc <0B ．b =－4aC ．4a +2b≥m (am +b )D ．a －b ＋c >0【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的开口向下可知a <0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知c <0，由抛物线的对称轴x =2可得出a 、b 的关系，再对四个选项进行逐一分析． 【详解】∴抛物线的开口向下， ∴a ＜0，∴抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴c ＞0，∴抛物线的对称轴为直线2x =， ∴22ba-=，即4b a =- ∴4a +b =0，故B 正确，不符合题意；； ∴0b >，∴abc <0，故A 正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线2x =，a ＜0， ∴当2x =时，y 取得最大值为42a b c ++ ∴对于任意实数m ，242a a c am bm c ++≥++∴4a +2b +c≥m (am +b )+ c ∴4a +2b ≥m (am +b )， 故C 正确，不符合题意；当x =﹣1时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上，即a ﹣b +c =0，故D 错误， 符合题意．故选D ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键，二次函数y = ²+bx +c (a ≠0)的图象，当a <0时，抛物线向下开口，当a 与b 同号时(即ab >0，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时(即ab <0)，对称轴在y 轴右．变式2．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2），与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：∴240b ac -<；∴当1x >-时，y 随x 增大而减小；∴0a b c ++<；∴若方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则2m >；∴0b c -+>．其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】 【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：根据题意得：二次函数与x 轴有两个交点， ∴b 2-4ac >0，故∴错误；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x =-1， ∴抛物线开口向下，∴当x >-1时，y 随x 增大而减小，故∴正确；∴抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和-2，0）之间，对称轴为直线x =-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，∴x =1时，y =a +b +c <0，故∴正确；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （－1，2），抛物线开口向下， ∴函数的最大值为2，∴当m >2时，抛物线与直线y =m 没有交点， ∴方程ax 2+bx +c -m =0没有实数根，故∴正确；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2），抛物线开口向下， ∴当x =-1时，2a b c -+=，0a <， ∴20b c a -+=->，故∴正确， ∴正确的有4个． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x 轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合思想解答，属于中考常考题型．变式3．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数()2y x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m ＜0，n ＜0，即可得出一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限． 【详解】解：∴抛物线的顶点（-m ，n ）在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0， ∴m ＜0，∴一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限， 故选：D ． 【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n 、m 的符号．◎考点题型4二次函数与一次函数的综合判断例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一次函数1y x =与二次函数22y x bx c =++的图像相交于P 、Q 两点，则函数()21y x b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象和二次函数的性质判断即可． 【详解】解： 由2y =x 2+bx +c 图象可知，对称轴x =2b-＞0，0c <，0b ∴<，抛物线21y x b x c =+-+（）与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B ，C 错误，抛物线21y x b x c =+-+（）的对称轴为1122b bx --=-=， ∴102b-＞， ∴抛物线y =x 2+（b -1）x +c 的对称轴在y 轴的右侧，故选项D 错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图像和性质，明确二次函数2y ax bx c =++ 中各项系数的意义及利用数形结合的思想是解答本题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】题干中二次函数2y ax =的图象开口向下，可以判断出a 的符号为负，一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，可以据此判断出b 、c 的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合二次函数2y ax bx c =++的图象． 【详解】∴二次函数2y ax =的图象开口向下， ∴a <0，又∴一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，∴b >0，c >0， 则2ba->0， 可知二次函数2y ax bx c =++开口方向向下，对称轴在y 轴右侧，且与y 轴交点在y 的正半轴，选项B 图象符合， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的关系．变式2．（2021·河南驻马店·九年级期中）函数1y ax =+与()210y ax ax a =++≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数图象可确定a 的符号，再确定二次函数图象的大致形状和位置即可． 【详解】解：根据四个选项中一次函数图象在一、二、三象限，可以确定a ＞0时， ∴a ＞0，函数y ＝ax 2+ax +1（a ≠0）的图象开口向上， 对称轴为直线122a x a =-=-； 在y 轴左侧， 只有C 选项符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题一次函数和二次函数图象与系数的关系，解题关键是明确函数图象与系数的关系，树立数形结合思想，准确进行判断推理．变式3．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在同一坐标系中，二次函数2y ax c =+与一次函数y ax c =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项判断,a c 符号，即可求解． 【详解】解：A 、由二次函数图象，可得0a < ，一次函数图象，可得0a > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B 、由二次函数图象，可得0a > ，一次函数图象，可得0a < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C 、由二次函数图象，可得0c > ，一次函数图象，可得0c < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、由二次函数图象，可得0a > ，0c <，一次函数图象，可得0a > ，0c <，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到,a c 符号是解题的关键．◎考点题型5 根据图像判断式子符号例．（2021·广东湛江·九年级期末）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：∴ac ＜0；∴a -b +c =0；∴4ac －b 2＜0；∴当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【详解】∴∴抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a> 0，c< 0∴ac<0故结论∴正确；∴从图中可以看出，抛物线经过点(-1，0)，当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，故∴正确；∴∴抛物线与x轴有两个交点∴b2- 4ac> 0即4ac- b2< 0故结论∴正确；∴∴抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x =1所以当x < 1时，y随x的增大而减小故结论∴错误故正确的结论有∴∴∴共3个；故选：B．【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．变式1．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信息：∴c＞0；∴b2﹣4ac＞0；∴a＋b＋c＜0；∴对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．其中正确信息的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】【分析】由抛物线与y轴交点在x轴上方可判断∴，由抛物线与x轴交点个数可判断∴，由图象可得x=1时y＞0可判断∴，根据（-5，m）、（1，n）与对称轴的距离可判断∴．【详解】解：∴抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴正确．∴抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，∴正确．由图象可得x=1时y＞0，∴a+b+c＞0，∴错误．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3，且1-（-3）＞-3-（-5），∴n＞m，∴正确．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．变式2．（2022·山东德州·九年级期末）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3010﹣3…下列结论正确的是（）∴ab＞0；∴a+b+c＜0；∴若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根.A．∴∴∴B．∴∴∴C．∴∴∴D．∴∴∴【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据，可以得到此二次函数具有最大值，对称轴为x=1，再根据二次函数的性质，即可判断题目中的各个小题是否正确．【详解】解：由表格可知，该二次函数有最大值，开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，1），∴a＜0，b＜0，∴ab＞0，故∴正确；由表格可知，当x=1时，y=a+b+c=-3＜0，故∴正确；∴点（-7，y1）到对称轴x=-1的距离小于点（7，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2，故∴错误，∴图象经过（-3，-3）和（1，-3）两个点，∴方程ax2+bx+c=-3有两个不相等的实数根，故∴正确，故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．变式3．（2020·黑龙江·北安市教育局九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：∴当x＞3时，y＜0；∴3a＋b＞0；∴﹣1≤a≤23；∴3≤n≤4中，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】∴由抛物线的对称轴为直线x =1，一个交点A （-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项∴作出判断；∴根据抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴方程求得b 与a 的关系是b =-2a ，将其代入（3a +b ），并判定其符号；∴利用一元二次方程根与系数的关系可得3c a =-，然后根据c 的的取值范围利用不等式的性质来求a 的取值范围；∴把顶点坐标代入函数解析式得到43n a b c c =++=，利用c 的取值范围可以求得n 的取值范围． 【详解】解：∴抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴对称轴直线是x =1，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0）， ∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）， 观察图象得：当x >3时，y <0，故∴正确； ∴观察图象得：抛物线开口方向向下， ∴a <0， ∴对称轴12bx a=-=， ∴.2b a =-，∴3320a b a a a +=-=<，即3a ＋b ＜0，故∴错误； ∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点（-1，0），（3，0）， ∴方程ax 2+bx +c =0的两根为-1，3， ∴133c a =-⨯=-，即3ca =-， ∴抛物线与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴23c ≤≤， ∴2133c -≤-≤-，即213a -≤≤-，故∴正确； ∴.2b a =-，3c a =-， ∴223c b a =-=， ∴顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，43n a b c c =++=， ∴23c ≤≤， ∴84433c ≤≤，即843n ≤≤，故∴错误； 综上所述，正确的有∴∴，共2个．故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定是解题的关键．◎考点题型6 抛物线y =ax 2+bx +c 最值抛物线y =ax 2+bx +c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）⏹ 公式法：y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a ， ∴顶点是（−b 2a ，4ac−b 24a ），对称轴是直线x =−b 2a . ⏹ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x −h )2+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线x =h .【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.例．（2022·浙江金华·九年级期末）飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行时间t （单位：秒）的函数表达式为2s at bt =+，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（ ）A ．600米B ．800米C ．1000米D ．1200米【解析】【分析】先根据滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，求出函数的解析式，然后求出函数的最大值即可．【详解】解：∴10t =时，450s m =；20t =时，600s m =，∴1001045040020600a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：3260a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴23602S t t =-+， ∴()2233602060022S t t t =-+=--+， ∴当20t =时，S 最大，且最大值为600，即飞机的最大滑行距离为600米，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式和最大值，根据题意求出二次函数解析式，是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y （元）与降价x （元）之间的关系是y ＝－2x 2＋60x ＋800，则利润获得最多为（ ）A ．15元B ．400元C ．800元D ．1250元【答案】D【解析】【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．【详解】解：y ＝－2x 2＋60x ＋800＝－2（x －15）2＋1250∴－2＜0故当x ＝15时，y 有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D ．此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．变式2．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∴二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∴1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（）A．12-B．13-C．12-或13-D．﹣1或13-【答案】D 【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．【详解】解：2(21)3y x a x =+--，∴图象开口向上，对称轴为直线212a x -=-， ∵﹣1≤x ≤3， ∴当2112a --时，即12a -，3x =时有最大值1， 9(21)331a ∴+-⨯-=，13a ∴=-， 当2112a --时，即12-a ，1x =-时有最大值1， 1(21)(1)31a ∴+-⨯--=，1a ∴=-，1a ∴=-或13-， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．◎考点题型7 待定系数法求函数解析式例．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．【答案】（1）1m =-；（2）直线1x =-【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用对称轴公式2b x a=-求解即可． 【详解】解：（1）∴二次函数y ＝x 2－2mx ＋5m 的图象经过点(1，－2)，∴－2＝1－2m ＋5m ，解得1m =-；∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x －5．（2）二次函数图象的对称轴为直线2122b x a =-=-=-； 故二次函数的对称轴为：直线1x =-；【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二次函数的表达式．【答案】二次函数的表达式为24y x =+．【解析】【分析】将点(﹣2，8)和(﹣1，5)代入二次函数表达式，列出二元一次方程组，进行求解即可．【详解】 解：二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)， ∴485a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：14a c =⎧⎨=⎩． ∴二次函数的表达式为24y x =+．【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式，将已知点代入表达式，再解方程，然后确定二次函数的表达式．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式【答案】245y x x =-++【解析】【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入求解即可．【详解】解：∴抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，∴设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，∴()()21545y x x x x =-+-=-++．∴该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式． 变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，与y 轴的交点坐标为()0,3．（1）求此二次函数的解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）()1,4 ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将(1,0)-，(0,3)两个点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；（2）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】解：（1）把(1,0)-，(0,3)代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）()222232113(1)4=-++=--+-+=--+y x x x x x ，。
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专题10二次函数比较大小和二次函数的平移解题步骤：假设抛物线过三个点：A （x函数平移解题技巧：二次函数平移的具体方法如下：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1．若点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，则12,y y 的大小关系是___________． 【答案】12y y > 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到函数图象的对称轴，根据函数的性质即可得到答案. 【详解】 ∵()21112y x =-+-， ∴函数图象的对称轴是直线x=-1，开口方向向下， ∵点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，且1<2, ∴由对称轴右侧y 随着x 的增大而减小得到12y y >， 故答案为：12y y >. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据顶点式解析式确定图象的开口方向，对称轴得到增减性，由此判定函数值的大小，正确掌握函数图象的性质是解题的关键.2．已知A （3，y 1）、B （4，y 2）都在抛物线y=x 2+1上，试比较y 1与y 2的大小：__________． 【答案】y 1＜y 2【解析】把A（3（y 1（（B（4（y 2（代入抛物线y=x 2+1，可得y 1=10（y 2=17，所以y 1（y 2.3．点A （2，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+c 的图象上，则y 1与y 2的大小关系为y 1_____y 2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】〉 【解析】 【分析】先根据解析式求出对称轴x=b2a-=-1,再根据函数开口方向且321>>-，即可比较y 1与y 2的大小. 【详解】∵抛物线的对称轴为x=b2a-=-1，函数开口向下，又∵321>>-， ∴y 1>y 2. 【点睛】此题主要考察二次函数的图像，利用函数的对称性是解题的关键.4．已知点(2,)A a -，(1,)B b -，(3,)C c 均在抛物线2(1)y x k =++上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】由y=（x+1）2+k 可知抛物线的对称轴为直线x=-1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵y=（x+1）2+k ，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵抛物线开口向上，而点C （3，c ）到对称轴的距离最远，B （-1，b ）是顶点， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性． 5．已知(-3，y 1)，(-2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y=-3x 2-12x+m 上的点，则( ) A ．y 3<y 2<y 1 B ．y 3<y 1<y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质计算即可； 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 ()12x 223-=-=-⨯- ，a 30=-< ，x 2∴=- 时，函数值最大，又3- 到 2- 的距离比1到 2- 的距离小，312y y y ∴<< ．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键．6．若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】C【解析】试题分析：先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，然后比较三个点都直线x=3的远近得到y1、y2、y3的大小关系．解：∵二次函数的解析式为y=﹣x2+6x+c，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴点A离直线x=3最远，点C离直线x=3最近，而抛物线开口向下，∴y3＞y2＞y1；故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7．已知A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，比较y1、y2、y3的大小（）A．1y＞2y＞3y B．2y＞3y＞1y C．2y＞1y＞3y D．3y＞1y＞2y【答案】D【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据三点与对称轴的远近来判断函数值的大小.【详解】因为二次函数的解析式为y＝x2+2x+c，所以抛物线的对称轴为直线x=-1，因为A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3），所以点C离直线x=-1最远，点B离直线x=-1最近，而抛物线开口向上，离对称轴越远对应的y值越大所以y3＞y1＞y2.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴及单调性，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.8．若二次函数26y x x c =-+的图象过()11,A y -（()22,B y （()35,C y ，则1y （2y （3y 的大小关系是（ （ A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2>y 1>y 3D ．y 3>y 1>y 2【答案】B 【解析】y=x 2-6x+c=(x-3)2+c-9，从而可知抛物线开口向上，对称轴为x=3，A 、B 、C 三点离对称轴的距离为：3-（-1）=4，3-2=1，（），开口向上时离对称轴越远的点对应的y 值越大，所以y1＞y 3＞y 2 ；故选D ． 点睛：在对同一抛物线上的点所对应 的y 值进行大小比较时，可采用这个方法：抛物线开口向上时，离对称轴越远的点对应的y 值就越大；开口向下时，离对称轴越近的点对应的y 值 越大.9．若二次函数y（（x -3（2（k 的图象过A(（1（y 1)（B(2（y 2（y 3)三点，则y 1（y 2（y 3的大小关系正确的是( ) A ．y 1（y 2（y 3 B ．y 2（y 1（y 3C ．y 1（y 3（y 2D ．y 3（y 1（y 2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称轴为直线x=3（x（3时，y 随x 的增大而减小，x（3时，y 随x 的增大而增大进行判断，再根据二次函数的对称性确定出y 2（y 3（y 1（y 3（ 【详解】∵二次函数y =（x -3）2＋k 的对称轴为直线x =3（∴x <3时，y 随x 的增大而减小，x >3时，y 随x 的增大而增大， ∵−1<2<3（ ∴y 1＞y 2（∵x =2与x =4时的函数值相等>4（ ∴y 2（y 3（∵x =1与x =5时的函数值相等， ∴y 1（y 3（ ∴y 1＞y 3＞y 2. 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.10．已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1≤y2【答案】C【解析】【分析】将两点的x分别代入二次函数,求出y值比较大小即可.【详解】解：当x＝﹣2时，y1＝x2+2x+2＝4﹣4+2＝2，当x＝1时，y2＝x2+2x+2＝1+2+2＝5，所以y1＜y2．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的增减性,关键在于灵活运用代点求值的方法.11．若二次函数y＝（x-3）2＋k的图象过A（－1，y1）B（2，y2）C（3＋2，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得函数的对称轴为直线x=3，根据函数的性质可得离对称轴越远，则函数值越大．根据题意可得：．考点：二次函数的性质．12．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是________．【答案】y1＞y3＞y2．【解析】试题分析：根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y1＞y3＞y2．考点：二次函数的图象与性质13．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1，y1)，B（2，y2），y3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（）A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y 2>y1>y3D．y3>y1>y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意，得 y 1=1+6+c=7+c ，即y 1=7+c ； y 2=4-12+c=-8+c ，即y 2=-8+c ；y 3-18-+c=-7+c ， 即y 3=-7+c ； ∵7＞-7＞-8， ∵7+c ＞-7+c ＞-8+c ， 即y 1＞y 3＞y 2． 故选B ．考点：二次函数图象上点的坐标特征． 14．若123135(,)(1,)(,)43A yB yC y --、、为二次函数y=-x 2-4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 3【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数y=-x 2-4x+5配方，求对称轴，再根据A（B（C 三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y l （y 2（y 3的大小． 【详解】解：∵y=-x 2-4x+5=-（x+2（2+9（ ∴抛物线开口向下，对称轴为x=-2（（A（B（C 三点中，B 点离对称轴最近，C 点离对称轴最远， （y 2（y 1（y 3（ 故选D（ 【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a（0时，开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；当二次项系数a<0时，开口向下，则离对称轴越近，函数值越大（15．如果点()15,A y -与点()22,B y -都在抛物线()211y x =++上，那么1y ____2y （填“＞”、“＜”或“=”）【答案】＞． 【解析】 【分析】利用二次函数的性质得到当1x <-时，y 随x 的增大而减小，然后利用自变量的大小关系得到1y 与2y 的大小关系． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线1x =-， 而抛物线开口向上，所以当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∵-5＜-2，所以12y y >． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（（A（（3（y 1（（B（0（y 2（（（（（（y=（2（x（1（2+3（（（（（（（（（y 1（y 2（（（（（（________（（y 1（y 2（y 1=y2（y 1（y 2（（【答案】y 1＜y 2 【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x ＞1时，y 随 x 增大而减小，当x ＜1时，y 随x 增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y 1＜y 2. 故答案为y 1＜y 2.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a 的值判断其增减性，然后可判断.1．抛物线231y x =--是由抛物线23(1)1y x =-++怎样平移得到的（ ） A ．左移1个单位上移2个单位 B ．右移1个单位上移2个单位 C ．左移1个单位下移2个单位 D ．右移1个单位下移2个单位【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的性质即可判断. 【详解】抛物线()2311y x =-++经过右移1个单位下移2个单位，即()231112y x =-+-+-=231x --， 故选D.【点睛】此题主要考查抛物线顶点式()2y a x h k =-+的特点，熟知顶点式的性质特点是解题的关键.2．将抛物线()2y 2x 13=-++向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A ．()2y 2x 41=-++ B ．()2y 2x 21=--+ C ．()2y 2x 45=-++D ．()2y 2x 45=-+-【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】.解：抛物线 ()2y 2x 13=-++ 向右平移3个单位，得()2y 2x-23=-+，再向下平移2个单位，得：()2y 2x 21=--+．故答案为：B ． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 3．将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A ．22(6)y x =- B ．22(6)4y x =-+ C ．22y x = D ．224y x =+【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可． 【详解】解：将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，得到22(3+3)2y x =-+， 再向下平移2个单位长度，得到22(3+3)2-2y x =-+， 整理得22y x =， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．4．把抛物线y ＝－12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－12 (x ＋1)2＋1 B ．y ＝－12 (x ＋1)2－1 C ．y ＝－12 (x －1)2＋ 1 D ．y ＝－12(x －1)2－1 【答案】B 【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：21y x+112=-－（）.5．在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2﹣2x ﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( ) A ．y =(x +1)2+1 B ．y =(x ﹣3)2+1 C ．y =(x ﹣3)2﹣5 D ．y =(x +1)2+2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】抛物线y =x 2﹣2x ﹣1可化简为y =(x ﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度， 所得的抛物线的解析式y =(x ﹣1+2)2﹣2+3=(x +1)2+1； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．6．将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝（x+1）2﹣13 B ．y ＝（x ﹣5）2﹣5 C ．y ＝（x ﹣5）2﹣13 D ．y ＝（x+1）2﹣5【答案】D 【解析】 【分析】先把抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x ﹣4＝（x ﹣2）2﹣8，∴将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y ＝（x ﹣2+3）2﹣8+3，即y ＝（x+1）2﹣5．【点睛】此题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解决此题的关键．7．将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣1B ．y ＝x 2+1C ．y ＝（x ﹣1）2D ．y ＝（x +1）2【答案】D【解析】【分析】根据图像的平移规律：左加右减，可得答案．【详解】解：由题意，得y ＝x 2的图像向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为y ＝（x+1）2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．如果将抛物线241y x x =--平移，使它与抛物线21y x =-重合，那么平移的方式可以是（ ）A ．向左平移2个单位，向上平移4个单位B ．向左平移2个单位，向下平移4个单位C ．向右平移2个单位，向上平移4个单位D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位【答案】A【解析】【分析】先把241y x x =--化为顶点式，然后根据平移的规律解答即可．【详解】∵241y x x =--=(x -2)2-5，∴把y=(x -2)2-5向左平移2个单位，向上平移4个单位，可得21y x =-．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本9．在平面直角坐标系中，将函数y=2x 2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为_____．【答案】y=2(x-1)2+5【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=2（x -1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2+5．故答案是：y=2（x -1）2+5．【点睛】考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．将抛物线y （2x 2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为_____（【答案】y （2（x （1（2+3【解析】【分析】用顶点式表达式（按照抛物线平移的公式即可求解（【详解】y （2x 2向右平移1个单位长度（再向上平移3个单位长度后（函数的表达式为（y （2（x （1（2+3（故答案为：y （2（x （1（2+3（【点睛】本题考查了函数图象的平移（抛物线与坐标轴的交点坐标的求法（要求熟练掌握平移的规律（左加右减（上加下减（11．把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________．【答案】(－1，1)【解析】【分析】用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式,再利用平移规律求平移后的顶点坐标∵215322y x x =++ =2156)22x x ++（ =213)22x +-（∴图象向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位后,得出:y=12(x+1)2 +1; 得到顶点坐标为(-1,1).故答案为(-1,1)【点睛】 此题考查了二次函数图形与几何变换，解题关键在于用配方法将抛物线一般式转化为顶点式12．将函数y=5x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为__________．【答案】y=5（x+2）2+3【解析】【分析】根据二次函数平移的法则求解即可.【详解】解：由二次函数平移的法则“左加右减”可知，二次函数y=5x 2的图象向左平移2个单位得到y=25(2)x +，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=25(2)x +的图象向上平移3个单位可得到函数y=25(2)3x ++，故答案是：y=25(2)3x ++．【点睛】本题主要考查二次函数平移的法则，其中口诀是：“左加右减”、 “上加下减”,注意数字加减的位置. 13．在平面直角坐标系中，将抛物线(5)(3)y x x =+-向左平移2个单位后顶点坐标为_______．【答案】()3,16--【解析】【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y=（x+5）（x -3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．所以，抛物线y=（x+5）（x -3）向左平移2个单位长度后的顶点坐标为（-1-2，-16），即（-3，-16），故答案为：（-3，-16）此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14．如果将抛物线2251y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3),A 那么所得新抛物线的解析式为____________.【答案】2253y x x =++【解析】【分析】设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把点A 的坐标代入进行求值即可得到b 的值．【详解】解：设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把A （0，3）代入，得3＝−1＋b ，解得b ＝4，则该函数解析式为2253y x x =++．故答案为：2253y x x =++．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．。