第二章_状态空间表达式的解
第2章(4)-控制系统的状态空间表达式
2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。
实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。
所以说系统动态方程是非唯一的。
虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。
设给定的系统为：作线性变换：Tz x = 即x T z 1-=T --为非奇异矩阵（变换矩阵）则：Bu T ATz T z11--+= ， ()()01100x T x T z --== 因为T 为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。
2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值 特征方程：0=-A I λ系统特征值即为特征方程的根。
2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。
证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：()AI A I T T T A I TTA I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=-=---------λλλλλλλ11111111所以，特征值是不变的。
因为 00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ所以，1210,,,--n n a a a a 是不变的，为系统的不变量。
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
第二章 状态空间表达式
⎧ y1 = x = x1 ⎪ & = x2 ⎨ y2 = x ⎪ y = && ⎩ 3 x
⎛ ⎛ y1 ⎞ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ y = 0 ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ k ⎝ 3 ⎠ ⎜− ⎝ m
⎞ ⎛ ⎜ 0 0 ⎟ ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ + ⎜ 0 x 2⎠ ⎜ ⎝ ⎟ f 1 − ⎟ ⎜− m⎠ ⎝ m
外部描述：微分方程、传递函数 数学模型
{
u
R(s) ( )
G (s )
C(s) ( )
内部描述：状态空间表达式
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
y
•
动力学部件
输入引起内部状态 的变化，用一阶微 分方程组表示----状 态方程
x
输出部件
内部状态和输入引 起输出的变化，用 代数方程表示----输 出方程
统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状 态方程和输出方程。
k u(t) m f y (t )
1.选择状态变量： x1 (t ) = y (t ) 、 x 2 (t ) = y(t )
2.列写状态方程
•
x1 (t ) = x 2 (t )
1 x 2 (t ) = − m
• • ⎤ ⎡ 1 u (t ) ⎢ ky (t ) + f y (t )⎥ + ⎣ ⎦ m k f 1 =− x 1 (t ) − x 2 (t ) + u (t ) m m m
⎞ 0⎟ ⎟⎛ F ⎞ 0 ⎟⎜ ⎟ V ⎝ ⎠ ⎟ f ⎟ m⎠
状态空间表达式的解
2020/6/4
***状态转移矩阵的基本性质**** 性质1：组合性质
e A e A t e A ( t ) ( t) () ( t )
性质2： e A ( t t) e 0 I ( t t ) ( t ) ( t ) I
性质3： 转移矩阵的逆意味着时间的逆转
e A 1 t e A t ( t) 1 ( t)
【例2－8】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：
解：根据上面的式子
其中
， K=1
2020/6/4
在例2－6中已求的：
2020/6/4
其状态轨迹图可以MABLAB方便地绘出，如图所示： %Example Example 2-8 grid; xlabel('时间轴'); ylabel('x代表x1，----*代表x2'); t=0:0.1:10; x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,'x',t,x2,'*') end
两边同时在
区间积分，得：
两边同时左乘 即：
并整理得：
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当初始时刻为t0=0时,初始状态x(t0)=x(0)时,其解为:
x (t) (t)x (0 ) 0 t (t )B() u d ，
当初始时刻为t0时,初始状态x(t0)时,其解为:
t
x (t) (t t0)x (t0 )t0 (t)B ()u d
1 t
1 t 2 ... 2!
(n
1 - 1)!
t
n1
0
1
t
...
(n
1 - 2)!
线性控制理论 第2章 状态空间表达式的求解
12t 2 0 2 2 2 t 1 2! 0 2 2 n t
1 2 2 1 t t 0 1 1 2! 1 2 2 1 2 t 2 t 2! 1 2 2 0 1 n t n t 2!
1
1 2 1 m 1 t t 2! (m 1)! t （2-21） 1 2 1 t 2! t 1 mm
证明 因
12 1 1 0 1 2 ,A A 0 1 1 1 mm 21
x(t ) Φ(t ) x(0),t 0
上式表明齐次状态方程的解，在初始状 态确定情况下，由状态转移矩阵惟一确定，
即状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部
信息，完全表征了系统的动态特性。
定义2.1
线性定常系统状态转移矩阵 Φ(t t0 ) 是
满足矩阵微分方程和初始条件
(t t ) AΦ (t t ), t t Φ 0 0 0 Φ (t0 t0 ) I
(2-3)
(t ) b1 2b2t kbk t x
( k 1)
k
Ax (t ) A(b0 b1t b2t bk t )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较上式两边t的同次幂可得
现代控制系统课件第2章
2021/1/4
5
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.2.1 状态转移矩阵
齐次微分方程的自由解为： x(t) eAt x0
或
x(t) e A(tt0 ) x0
从这个解的表达式可知，初始时刻的状态矢量x0， 到任意t>0或t>t0时刻的状态矢量x(t)的一种矢量变换 关系，变换矩阵就是矩阵指数函数 eAt 。
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27
例
x1 x2
0 2
1 3
x1 x2
0 1u
求 u(t) 为单位阶跃函数时,系统状态方程的解 (设
初始状态为零).
解:
(t)
e At
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
x(t) e At x(0) 0te A(t ) Bu( )d
0 1
例:已知 A 2 3 ，求eAt
解： s 1
sI A 2 s 3
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19
(sI A) 1
1 sI A
adj (sI
A)
(s
1 1)(s
2)
s 3
2
1 s
s3
(
s
1)( s 2
2)
(s 1)( s 2)
1
(s
1)( s s
2)
(s 1)( s 2)
x(t) eAt x0 , t 0
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2
证明： 和标量微分方程求解类似，先假设式齐次状 态方程的解x(t)为t的矢量幂级数形式，即:
x(t) 0 1t 2t 2 iti
**
代入齐次状态方程中, 得
1 22t iit i1
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
状态空间表达式的解
第2章 状态空间表达式的解第1节 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程0(0)x Ax x x ==& 的解为0()Atx t e x = (0)t >式中，22()2!!kAt k t At e I At A k ∞∆==+++=∑L 证明：用拉普拉斯变换法。
对 x A x =& 作拉氏变换，得0()()sX s x AX s -=10()()X s sI A x -=-110()[()]x t L sI A x --=-因为 223111()()sI A I A A I s s s -+++=L故 1223111()sI A I A A s s s --=+++L12023111()[]x t L I A A x s s s -=+++L 2201()2!I At A t x =+++L 0Ate x =顺便可知])[(11---=A sI L eAt第2节 矩阵指数函数Ate1、Ate 的定义和性质（1）定义22()2!!kAtk t At e I At A k ∞==+++=∑L 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ⨯阶；Ate —矩阵指数函数，n n ⨯阶时变矩阵。
若A 中各元素均小于某定值，Ate 必收敛；若A 为实矩阵，Ate 绝对收敛。
（2）基本性质：◆组合性质：)(2121t t A At At ee e += 其中21,t t 为相衔接的两时间段。
推论1：I eeee A t t A t A At ===--0)()(推论2：)(1][t A At ee --=◆微分性质：A e Ae e tAt At At ==d d ◆当A 、B 两阵可交换，即 BA AB =，则tB A BtAt ee e )(+=◆若1-P 存在，则P e P eAAPP 11-=-2、Ate 的计算 （1）级数计算法()!kAtk At e k ∞==∑ （2）拉氏变换法])[(11---=A sI L eAt当A 阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。
现代控制理论 刘豹
0 2 2 A 1 3,..B 0
matlab的m文件文本如下： A=[0 -2 ;1 -3]; B=[2; 0]; fait02=expm(A*0.2) fait04=expm(A*0.4)
2-6 应用Matlab的系统运动分析
求下列系统在u=1(t)时的状态响应和输出响应
K---KT u(K)=constant
x(k 1) G(T )x(k) H (T )U (k) y(k) C(T )x(k) Du(k)
t
x(t) (t t0 )x0 (t )Bu( )d ...t t0
t0
t0 kT, t (k 1)T
( k 1)T
x(k 1) (T )x(kT) ((k 1)T )Bdu(k )
2-6 应用Matlab的系统运动分析
(1 e2T e2T
)
H
(T
)
1 2
(T 1
e 2T 2
e 2T
1
2
分析选择不同的采样周期T.的影响
2-4 连续时间状态方程的离散化
0.5
0.45 0.4
0.35
continous discrete 1 discrete 0.5
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
状态转移阵的计算
方法1
(t) eAt I At 1 At2 ... 1 Akt k ...
2
k!
方法2
eAt (t) L1[(sI A)1]
sX (s) x(0) AX (s) (sI A) X (s) x0 X (s) (sI A)1 x0 x(t) L1(sI A)1 x0
现代控制理论第二章
第二章 控制系统状态空间表达式的解建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。
§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
状态方程为齐次矩阵微分方程：AX X= （2－1）若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。
0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥（2－2）若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：0)(x e t x At =， 0t t ≥（2－3）证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(（2－4）对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x代人式（2-1）得：A x= ( +++++kk t b t b t b b 2210) （2－5）既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==，0323!3131b A Ab b ==，… 01!11b A k Ab kb k k k ==-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：022)!1!211()(x t A k t A At t x k k +++++= （2－6）括号内的展开式是n n ⨯矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e221112!!At k ke At A t A t K =+++++ （2－7）式（2-6）可表示为：0()At x t e x =再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。
第2章 状态空间表达式求解
1 T 2. 若A能通过非奇异变换予以对角线化，即 AT
则
e1t e At (t ) T 0
e2t
0 T 1 n t e
证明：根据定义式
A2t 2 A3t 3 Ak t k e I At 2! 3! k 0 k! At
A2t 2 A3t 3 ( I At ) A e At A 信息与控制工程学院 2! 3!
5. 性质五
设有nxn矩阵A和B，当且仅当AB=BA 时，有eAteBt
= e(A+B)t ，而当AB≠BA 时，则eAteBt ≠ e(A+B)t 。
证明：根据定义式
e ( A B ) t ( A B ) 2 2 ( A B )3 3 I ( A B )t t t 2! 3! A2t 2 ABt2 BAt2 B 2t 2 I ( A B )t ( ) 2! 2! 2! 2! A3t 3 A2 Bt3 ABAt3 AB2t 3 BA2t 3 BABt3 ( 3! 3! 3! 3! 3! 3! B 2 At3 B 3t 3 ) 3! 3!
2 2 1 t 2! 1 1t 1 k k 2t At e At k 0 k! nt 1 0 0 k k 1 t k! k 0 0 2 2 2t 2!
(t )( ) (t ) (t )( t ) (t t ) I ( )(t ) ( t )
( t )(t ) ( t t ) I
从而证明了(t)与(-t)互为逆
信息与控制工程学院
4. 性质四
现代控制理论总结
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态和输入u作用下的状态运动x（t）分解为由初始状态和输入u分别单独作用所产生的运动和的叠加。
状态空间表达式的解PPT课件
06 结论
状态空间表达式解法的总结
解法概述
详细总结了状态空间表达式的解法，包 括其基本原理、主要步骤和常用技巧。
优缺点分析
对状态空间表达式的解法进行了全面 的优缺点分析，以便读者更好地理解
和使用。
应用实例
列举了几个实际应用的状态空间表达 式问题，并展示了如何运用解法进行 求解。
与其他方法的比较
将状态空间表达式的解法与其他常见 的方法进行了比较，突出了其独特性 和优势。
状态空间表达式的重要性
01
状态空间表达式具有直观性和通 用性，能够全面地描述系统的动 态特性，包括系统的稳定性、可 控性和可观测性等。
02
它为控制系统分析和设计提供了 强大的数学工具，使得复杂系统 的分析和控制成为可能。
状态空间表达式的应用领域
控制系统设计
状态空间表达式广泛应用于控制系统 设计和分析中，如线性控制系统、非 线性控制系统、多变量控制系统等。
等。
判定方法
03
通过计算系统的极点、零点和增益等参数，判断解的稳定性。
解的唯一性
定义
如果给定相同的初始条件和输入信号，状态空 间表达式的解是唯一的，则称该解是唯一的。
判定方法
通过求解线性代数方程组或使用数值计算方法， 验证解的唯一性。
唯一性条件
只有在无病态或适定性条件下，解才是唯一的。
解的收敛性
稳定性分析
分析系统的稳定性，判断系统是否能够保持稳定运行。对于不稳定 的系统，需要采取措施进行控制和调整。
04 状态空间表达式的解的性 质
解的稳定性
定义
01
如果状态空间表达式的解在初始条件的影响下，最终会趋于稳
定状态，则称该解是稳定的。
状态空间表达式的解及可控可观性
① 定义式计算
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k 0 k!
② 拉氏变换（复域）法（实用）
( t ) L 1 sI A 1
6
③ 对角标准形法
定理：线性定常系统，若矩阵 A 的特征值互不相同，
则必存在一非奇异矩阵P，通过线性变换，使A阵化为
λ 1n
1
λ2n 1
λnn8
1
例：计算
0 A 2
1 3
的状态转移矩阵
解：1）用拉氏变换法计算
s 1
(
sI
A
)
2
s 3 ,
sI A ( s 1 )( s 2 )
s3
sI
A 1
(
s
1
)(
s
2
)
-2
( s 1 )( s 2 )
1
( s 1 )( s 2 )
s
( s 1 )( s 2 )
e At L1
sI A 1
2et e2t 2e t 2e 2t
et e2t
解：
e At
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e 2t
参考 前面
t
x( t ) e At x( 0 ) e A(t τ)Bu( )d
0
3et 2e2t 0.5 et 0.5e2t 0.5 2et 1.5e2t
第二章控制系统状态空间表达式的解要求1、掌握状态空间表达式的
③ 比较 f ( )、f (* ) ④ 解得K 例 已知
G(s)
得n个方程
10 ，试设计状态试系统的闭环极点为-2，-1±j。 s( s 1)( s 2)
0 0 x 0 y 10 1 0 0 0 u 0 1 x 2 3 1 0 0 x
带输出反馈的传递函数阵（L=I，D=0）
GH ( s ) C[ sI ( A BHC )]1 LB [ I G0 ( s ) H ]1 G0 ( s ) G0 ( s )[ I HG0 ( s )]1
受控系统传递函数阵（D=0）
G0 (s) C (sI A)1 B
1. SISO系统极点配置
定理
对Σ0（A,B,C）任意配置极点 Σ0完全能控。
给定极点确定状态反馈增益K的步骤： ① 加入 K [ K0
K1 Kn1 ]
② 求 f () I ( A BK )
* * f * ( ) ( 1* )( 2 )( n )
故受控系统可以任意配置极点以及观测器的特征值。 令 G ( g1 g2 g3 )T ，则
1 ( ) I ( A GC) I f 3 0 0 g1 g 2 [0 1 1 2 0 g 3 0
K [k1 k2 k3 ]
20 G 25 12
令
，则
1 0 0 1 f ( ) I ( A BK ) I 3 1 1 0 [ k1 k2 k3 ] 0 2 0 0 k1 1 k2 k3 3 1 1 3 k1 2 (k1 3k2 3) 2k1 6k3 2
状态空间表达式的解
第2章状态空间表达式的解第1节线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程i= Ax x(0) = X o的解为x(t) = e At X o (t 0 )式中，e At T At A2-2! k=o k!证明：用拉普拉斯变换法。
对x= Ax作拉氏变换，得sX(s) - X o= AX(s)-iX(s) = (si - A) X ox(t) =「[(si「A)1]x o111因为(si A)(T 丐A 飞A2 lilt Is s s故(si「A) 1 = -1 2 A + A2IIIs s sx(t)= L1[-r 2 A ^A2lll]x°s s s=(I At f A2t2lll)x o= e At x)顺便可知e At = L 1[(sl - A) 1]第2节矩阵指数函数e At1、e At的定义和性质(1)定义e At= I + At + A2「+ 11 卜z(At)-2! k=o k!式中A—线性定常系统系统矩阵，n n阶；e At—矩阵指数函数，n n阶时变矩阵。
若A中各元素均小于某定值，e At必收敛；若A为实矩阵，e At绝对收敛。
(2)基本性质：♦组合性质：e Atl e At^ e A(t/12}其中为相衔接的两时间段。
推论2: [e At]T 二e A Ct)■微分性质:%Ae At e At Adt♦当A、B两阵可交换，即BA，则e At e Bt (A B)t♦若pF存在，贝卩eg P1e A P2、e‘At的计算（1）级数计算法、lAtl!Ate(2)拉氏变换法当A 阵维数较高时, (3)多项式表示法e At = L 1[(sl A)1]预解矩阵可采用递推法计算。
e At若A 的特征根1，o (t)1(t)n-1k' k(t)A k=0•, n 两两互异，则III J in r1 I12212 2e l te 2t(4)非奇异变换法 1)设A 的特征根1，・，n 两两互异，贝卩t1e nt]P 1At■ t ■ te A - Pdiag[e lte 2t其中 P 满足 P^APu diag 「「2 n ]推论：若A= diagV 「2…5】，则证明:可交换，故 」e At 二 diag[e lt e 2t扎11 e nt]2）设A 为具有共轭复特征根zi,2CJ-j 的二阶阵，贝U其中P 满足eAtCT P 1AP-tP cos t sin t 胡 I P sin t cos t（模态规范型）。
现代控制理论试题与答案
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u uy y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。
第二章控制系统状态空间表达式的解
a(b0 b1t b2t 2 bkt k )
（1） （2） （3）
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0
b2 bk
1 2
1 k
ab1
abk
1 2!
a
2b0
1 k!
a
（5）
将（5）式代入（1）式
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k 1
A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0
b2 bk
1 2
1 k
Ab1
Abk
1 2!
A2b0
1 k!
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
1、线性定常系统的运动
1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时， 由初始状态引起的运动称自由运动。
u0
x
( A, B)
齐次状态方程的解： x Ax , x(t) |t0 x(0)
2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称
为强迫运动。
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1）先求得A阵的特征值 。i
2）求对应于 的i 特征向量 ，p并i 得到T阵及T的逆阵。
3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
即：A det(I A) 0 i (i I A)pi 0 pi T
0 0 0 0 1
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（3）斜坡 u(t) K t 1(t) 输入下的解为：(使用条件A的逆存在)
x(t) eAt x(0) [A2 (eAt I ) A1t]BK
注意：线性系统的输出输入特性。
返回
四.线性时变系统状态方程的解
，则
(t)
e At
et
cost sin t
sin t cos t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 0 0
[举例1]： 若
A
0 0
0
1 0 0
0 3 0
0
0
4
e te 1t
1t
0
0
则
e At
0
0
e 1t
0
其中:
1 1 0 0
0
初始状态引起的解： x(t) (t)x(0)
输入作用引起的解：
t
x(t) (t )Bu( )d
0
由输出方程可以求出系统的输出解。
Laplae变换求解
状态方程两边同时求拉氏变换得：
X (s) (sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)
x(t) L1[(sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)] L1[(sI A)1 x(0)] L1[(sI A)1 BU (s)]
2!
i!
返回
2. 齐次方程解的物理意义
由初始条件引起的运动规律为齐次方程的
解 x(t) eAt x(0) 确定的，状态向量在任意时
刻t1的取值可由
x(t ) eAt1 x(0) 1
获得。并可以
在以x（t）向量为坐标系的n维状态空间里绘
制系统状态随时间运动的轨迹，称为状态轨迹。
返回
3. 状态转移矩阵的引出 系统由初始条件引起的运动的规律及特性主
y[kT] Cx(kT) Du (kT)
[例8]：P89 例2-12。
例题
（3） 近似离散化
连续系统状态方程：
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
当T足够小时，有
x(t) x[(k 1)T ] x(kT ) T
代入连续系统状态方程中得：
x(t) x[(k 1)T ] x(kT) T
(4) (t t ) (t )(t )
1
2
1
2
(5) 1 (t) (t) 状态转移矩阵的逆为时间的逆转。
(6)
(t t )(t t ) (t t )
2
1
1
0
2
0
(7) (t)k (kt)
e e e (8) 若 A B B A ，则有 ( AB)t
e4t
返回
3.一般状态转移矩阵的求法
(1) 利用定义计算
eAt (I At 1 A2t 2 1 Aiti )
2!
i!
(2) 利用Laplace变换计算 eAt L1 (sI A)1
推导
(3) 化A阵为对角型或约旦标准型计算 （利用状态转移矩阵的性质计算）
系统的状态与输出的形式取决与系统结构 初始条件和输入信号的形式，所以在系统为 典型输入信号作用时的状态解和输出解的形 式可以依据上述通式导出。
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2． 典型输入下非齐次方程的解
（1） 脉冲 u(t) K (t) 输入下的解为：
x(t) eAt x(0) eAt BK
（2） 阶跃 u(t) K 1(t) 输入下的解为：(使用条件A的逆存在)
1k
0
0
2 k
0
0
0 0 3
0
0
3k
G为约旦型
(k) Gk
0
1 k k
0
kk 1
k
G可化对角型（变换阵为P）
(k)
Gk
k
P
1
0
0
k 2
0 0
G可化约旦型（变换阵为P）
(k)
nn nn
nn nn
At Bt
注：上述性质由定义导出。 p59
返回
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Aiti )x(0) eAt x(0)
2!
i!
2. 几个典型形式的状态转移矩阵
（1）若 1
为对角阵，则
e 1t
A
2
得系统状态的迭代计算式为：x(k ) Gk x(0) Gk j1Hu ( j) j0 注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k) Hu(k) zx(z) zx(0) Gx(z) Hu(z) (zI G)x(z) zx(0) Hu(z) x(z) [(zI G)1 z]x(0) (zI G)1 Hu(z) x(k) Z 1[(zI G)1 z]x(0) Z 1[(zI G)1 Hu(z)]
要取决与eAt，eAt是由系统矩阵A唯一确定的。系
统由输入引起的运动规律除了和输入信号的大小
形式有关与系统的结构及eAt的形式也密切相关，
定义 (t) [eAt ] 为系统状态转移矩阵。显然， nn
状态空间表达式的求解关键在于求取系统的状态 转移矩阵。 x(t) Ax(t) x(t) eAt x(0)
n
(t) eAt
e2t
e
n
t
（2）若 T-1AT=
1
2
为对角阵，则
n
e 1t (t) eAt T
e2t
T 1
e
nt
（3）A=
求特征值和特征向量
由变换阵P化A为对角阵或约旦标准型
求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵
求原矩阵A的状态转移矩阵。
返回
三.线性定常非齐次状态方程的解
1、非齐次方程解的通式
直接求解
Laplace变换求解
2、典型输入下非齐次方程解 脉冲输入 阶跃输入 斜坡输入
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五.离散系统状态方程的解
1、差分方程组的求解方法
迭代法 Z变换法
2、引入状态转移矩阵，简化离散 系统状态方程的求解
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1. 差分方程组的求解方法（1）
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
（1） 迭代法
k 0, x(1) Gx(0) Hu(0) k 1, x(2) Gx(1) Hu(1)
3. 线性定常系统状态方程的离散化方法
(1) 化连续状态方程为离散状态方程
连续系统状态方程： x(t) Ax(t) Bu(t)
理论推导可得：取
G(T ) e AT ,
T
H (T ) e At Bdt
为采样周期，
0
时，T
则离散化以后的状态空间表达式为：
x[(k 1)T ] G(T )x(kT) H (T )u(kT)
Gk
k
P 0
0
0
P
1
3
k
kk k
1
P
1
（3）状态转移矩阵的性质
(k 1) Gk1 (k)G
(0) G0 I
返回
六. 连续系统的离散化
1. 连续系统离散化的意义 意义 2. 连续系统离散化的假设条件
(1) 离散化按等采样周期处理； (2) 采样脉冲为理想脉冲信号； (3) 输入向量u（t）只在采样点变化，两相邻采样点 之间的输入由零阶保持器保持不变； (4) 采样周期的选择满足香农定理。
G2 x(0) GHu(0) Hu(1) k k 1, x(k) Gx(k 1) Hu(k 1)
Gk x(0) Gk1Hu(0) GHu(k 2) Hu(k 1)
k 1
Gk x(0) Gk j1Hu( j) j0
k 1
返回
二. 状态转移矩阵
(t) [eAt ] nn
1、状态转移矩阵的性质 2、几个典型形式的状态转移矩阵 3、 一般状态转移矩阵的求法
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1. 状态转移矩阵的性质
(1) (0) I
(2) (t) A(t) AeAt
(t) [eAt ] nn
(3) (0) A(0) A
x[(k 1)T ] G(T )x(kT ) H (T )u(kT )
y[kT ] Cx(kT ) Du(kT )
（注：近似计算方法的采样周期越小系统近似的精度越高）
[例11]：P92 例2-14（2）。
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4、线性时变系统状态方程的离散化
（自学）
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单元练习2
1. 设系统状态空间表达式为 x(t) Ax(t) 。Bu(t) y(t) Cx(t)
0
0
0
1 0 0
0 1 0
0 0
为约旦阵，则
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