运用数学模型解决问题

运用数学模型解决问题

张家荣

（中山大学新华学院信息科学系逸仙班）

摘要：数学模型是数学创造与数学教学中经常使用的一种重要的数学方法。从方法论的角度考虑，我们了解数学模型的涵义以及它的作用、构建一般的模式，对促进数学学习、灵活的应用数学知识和它的思想方法解决现实问题、提高我们的数学能力都有极其重要的意义。运用数学模型来解决各学科中的数学问题，可以把抽象问题具体化、解题过程规律化，提高答题的准确性，是解决数学问题的有效方法。

关键词：数学模型数学建模数学应用

Abstract: Mathematical model is an important mathematic way in mathematical creation and mathematical education. Thinking in methodology, we realize its mean and function. Setting up the normal mode can improve our mathematic study and use it to solve some mathematic problems. When we solve the problem, we can embody the abstract problem so we can improve our accuracy which is an effective method for solving the mathematic problems.

Key words: Mathematical model Mathematical modeling Application of mathematics

前言

随着科学技术的迅速发展，数学模型越来越多的出现我们的工作、生活中。筹划出一个合理的数学模型，必定可以获得更大的效益。在日常活动中也越来越重要，采购中，人们也会谈论找出一个数学模型，或者在出行的时候，优化出行的路线。而对于那些科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型解决相关的问题更是必不可少的方法。本论文主要是通过一个例子来阐述数学模型的重要性。

一、什么是数学模型

一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。【1】

二、衣柜能否搬进新居

下面这个例子为“衣柜能否搬进新居”[2]，通过这个例子，阐述数学模型的重要性。

题目如下：

老张临搬家前，站在自己大衣柜旁发愁，担心这大衣柜搬不进新居，站在一旁的小李马上拿着一把尺子出去了，不一会儿，小李对老张说：“从量得的电梯前楼道和单元前楼道宽度，绝对没有问题，请问小李的根据是什么？”

这是一个非常普遍的生活问题，而这个问题是完全可以通过建立一个数学模型去解决的！

思路如下：

设：电梯前楼道宽a m ，单元前楼道b m ，楼道成直角相交，大衣柜的长为L ，搬运拐弯时与某一楼道的夹角为φ，

再设：

CD=L

CO=L 1 OD=L 2

则：L=CO+OD= L 1+ L 2

具体化，如图所示：

由图得：L 1=2s os n ,i c b a L ϕϕ

=

L= L 1+2L =s cos in b a ϕϕ+ 即L 是φ的函数，求L 的一阶导数：

332222()sin cos sin cos cos sin cos sin dL b a b a d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

=--= 求出驻点：

33()0sin s 0co dL b a d ϕϕϕϕ

-==⇔ 1313

33,tan ,tan ()sin cos arctan()a a b b a b

b a ϕϕϕϕϕ==== 代入L(φ)=s cos in b a ϕϕ

+中，得到：

321

32233()arc an )()t (L a b a b =+ C

由此可知，衣柜长度最大值为322233()a b +，小李哥量得a ，b 的值即可算此最大值，所以小李告诉老张绝对没有问题。

值得我们注意的是，在这个实际的问题中，相互垂直的两楼道的宽度是确定的，所以两端点分别在外侧墙壁上且经过拐角O 的线段长度是确定的，它是转角φ的一元函数，因此它有一个最小值，大衣柜能否经过楼道拐角，受制于这个最小值，所以我们就将研究的对象放在上述的线段L 上，求出L 的最小值，就是能转过楼道拐角的大衣柜的长度的最大值。

在上面的模型中，我们将衣柜当做是图中的L ，事实上，我们的衣柜是一个长方体，我们不妨继续依据事实去再设计一个模型，如图：

设：电梯前楼道宽a m ，单元前楼道b m ，楼道成直角相交，大衣柜的长为L ，宽为W ，搬运拐弯时与某一楼道的夹角为φ，

由图得：L=L 1+L 2=

sin c n os si a wcos b w ϕϕϕϕ--+

由等式中依然可以看出，L 依然是是关于φ的函数！后面的解题思路与上述的还是一样的，在这里就不再重复了。重点是找出研究的对象，考虑的对象依然是与拐角相交的L ，显然，问题迎刃而解。

三、 数学模型的建立的基本思路

衣柜问题中，虽然未完全按照此思路去构建模型，但大致的步骤还是一致的。C

然而，真正意义上的实际问题的数学模型比想象中的数学模型复杂的多。但，无论如何复杂的还是简单的数学模型，他们构建的基本思路都是差不多的，我们应该好好利用此思路去构建模型。

总结

本文通过数学模型去解决了一个生活中的实际问题，提出了数学模型构建基本思路。马克思说过：“一门学科只有成功的运用数学时，才算达到了完善的地步。”我们如果能好好运用数学模型，必将使我们的问题得到很好的解决。

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M]，北京:高等教育出版社2003

[2]李心灿. 高等数学应用205例子[M],北京：高等教育出版社1997/8