二次函数交点式练习题
《二次函数图像和性质(交点式)》专题
《二次函数与坐标轴交点》专题2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。
1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。
我们知道：①一次函数与x 轴的交点的求法 ②一次函数与y 轴的交点的求法那么：③二次函数与x 轴的交点的求法 ④二次函数与y 轴的交点的求法【归纳】(1)函数与x 轴y 轴交点的求法是：__________ ______________________（2）反比例函数与坐标轴没有交点的原因是______________________________ 2.一元二次方程02=++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 3.解下列方程（1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322=+-x x5.对比第3题各方程的解，你发现什么？一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2）xy( , )( , )Oxy( , )xy二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）二次函数c bx ax y ++=2与 一元二次方程02=++c bx ax与x 轴有 个交点 ⇔=∆ac b 42- 0，方程有的实数根与x 轴有 个交点；这个交点是 点⇔ =∆ac b 42- 0，方程有实数根与x 轴有 个交点 ⇔=∆ac b 42- 0，方程实数根.二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 .【当堂训练】1. 二次函数232+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3.二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3．4.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。
二次函数解析式-交点式
二次函数的交点式
当已知抛物线与x轴的两个 交点时,通常可以设所求的函数 关系式为y=a(x-x1)(x-x2),称之 为“交点式”.
❖二次函数的解析式有三种: (1) 一般式y=ax2+bx+c; (2)顶点式y=a(x-h)2+k; (3)交点式y=a(x-x1)(x-x2).
例7.已知二次函数图象经过点 A(-3,0)、B(1,0)、C(-1,4),交y 轴于D点.直线y=-2x交此二次 函数图象于M、N两点,且M点 在第二象限.
(1)求二次函数解析式;
(2)求D、M、N点的坐标;
(3)求△DMN的面积.
例8.已知一个二次函数的图象经过A(4,3),B(2,1)和C(-1,-8)三点.
(1)求这个二次函数的解析式以及它的图象与 x轴的交点M,N(M在N的左边)的坐标;
(2)若以线段MN为直径作⊙G,过原点O作⊙G 的切线OD,切点为D,求OD的长;
(3)求直线OD的解析式;
(4)在直线OD上是否存在点P,使得△MNP是 直角三角形?如果存在,求出点P的坐标接写出A、B、D的坐标;
(2)若抛物线y=x2+bx+c
y
过A、D两点,求这条抛 C
物线的解析式,并判断 点B是否在所求的抛物 A O
x B
线上,说明理由.
D
例的6.图若象二与次x函轴数相y交于A(12-5x,02),Bb(-x1,0).c
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)如果要通过适当的平移,使得这个 函数的图象与x轴只有一个交点,那 么应该怎样平移?向右还是向左?或 者是向上还是向下?应该平移几个 单位?
(其中的a≠0)
例1.已知一条抛物线与x轴的两个 交点的横坐标分别为-1和2，与y 轴的交点的纵坐标是2.求该抛物 线的解析式.
二次函数交点问题,解析式,应用
二次函数的交点问题巧解方法：1、二次函数与x 轴、y 轴的交点：分别令y=0,x=0；2、二次函数与一次、反比例函数或者与其他函数等的相点：联立两个函数表达式，解方程.例1、如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．例2、已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积例3、.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
例4、已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．例5、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．例6．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．训练题1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过 象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是 ．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m= ．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m= ．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ．8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 ．9．抛物线y=x 2－2x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是 ．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则的值是（）A ．－3B ．3C ．D ．－12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－＜1B ．0＜－＜2C ．1＜－＜2D ．－=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？a b a ca cbc b a +++++2121a b 2a b 2a b 2a b2函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
二次函数应用题专题(带答案)
二次函数应用题专题(带答案)0)时，可用交点式y=a(x-x1x-x2求其解析式。
4)根据问题要求，利用解析式求出所需的未知量。
三、练1、一枚炮弹在发射点上空爆炸，爆炸点离发射点水平距离1800米，爆炸高度为400米，求炮弹的初速度和仰角。
2、一架飞机以900km/h的速度飞行，飞行高度为2km，发现前方有一座山峰，山顶离飞机水平距离为10km，求飞机的爬升率和俯冲率。
3、一个人从距离地面20米的悬崖上抛出一个物体，物体抛出初速度为20m/s，抛出角度为60度，求物体落地点到悬崖的水平距离。
XXX：1、设炮弹飞行时间为t，初速度为v，仰角为θ，则可列出方程组：x=vtcosθy=vtsinθ-1/2gtx2y21800)2400)=xxxxxxx解得v600m/s，θ≈48.6°。
2、设飞机的爬升率和俯冲率分别为a和b，则可列出方程组：tan(θ-a)=4000/tan(θ+b)=2000/解得a≈2.5°，b≈1.4°。
3、设物体落地点到悬崖的水平距离为d，则可列出方程：d=vcosθtt=2vsinθ/g代入可得d≈40.8m。
评析：二次函数应用题需要学生熟练掌握建立坐标系、求解析式、利用解析式求未知量的方法，同时也需要学生对物理知识有一定的掌握，如抛物线运动、平抛运动等。
练中的例题和练题都体现了这些要点，可以帮助学生加深对二次函数应用的理解和掌握。
在教学过程中，可以引导学生多思考实际问题中的数学应用，提高他们的应用能力和解决问题的能力。
例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．1)求y与x之间的关系式；2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？解：(1)依题意设y=kx+b，则有 y= -30x+960 (16≤x≤32)．2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)=30(-x+32)(x-16)=-30+48x-512+1920．所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一次函数求最值．例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)1)求这个二次函数的解析式；2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米)解：(1)设二次函数的解析式为 y=ax^2+bx+c。
22.1.5二次函数交点式
求二次函数的解析式.
例2：若抛物线与x轴交于点 (-1, 0), (5, 0)且经过点（4，5）
求此二次函数的解析式。
解：
根据题意，设二次函数的解析式为： ∵经过点（4，5） ∴a（4+1）（4-5）=5 解得：a=-1 所以，二次函数的解析式为：
注意：已知抛物线与x轴的两个交点和任意一个点，函数的解
A a 0, b2 - 4ac 0
B a 0, b2 - 4ac 0
C a 0, b2 - 4ac 0
D a 0, b2 - 4ac 0
y
0
x
y
练习4: 右下图是二次函数的图象
（1）求此二次函数的解析 式和对称轴。
（2）当函数值y>0时,对应x的取
值范围是多少？（直接写出取值 -3
1、抛物线y=a(x-h)2+k的图像与
性质： 1.当a﹥0时，开口
向上Leabharlann ，当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是 直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
2、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax2的 形状 相同，位置 不 同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
问：一般地，抛物线y=a(x-h)2+k 与y=6x2的形状相同，位置不同则 a= 6
1
1 2 34
x
-1
-2
求二次函数的解析式.
交点式或（双根式）
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 (x1, 0), (x2, 0)
则可设解析式为 y = a(x - x1)(x - x2 ) a 0
练习:
(1)若抛物线与x轴交点的横坐标分别为2和3，与 y轴交点的纵坐标为12,则二次函数的解析式为 ____________
二次函数交点式专题
交点式专题知识点；二次函«轴* y轴的交点的求法：分别令严①沪0；二次两離9—次及反比例甬数第的相交：赢立聘孑喙数表达式，脾方程.制I、己期抛物钱y=J-2K TL"｝求证’课抛物线与*轴-定有两个交点，并求⑷这两牛交点的坐标.<2> Z'i^抛物线UK轴的两牛交点为九臥H它的顶总为H求ZUBF的而积例2、如閤，肖建I经过A〔3, 0), B^O, 3)闫点，11与二次函数严F+l的I炖姒，在第一魏班内相空于点C求: (|^厶人*的唧积：(2) 一次竭歡图會明点峪点A, B粗咸的三篇形的而和.例3、・朗期抛物线>• = /十脈-c绘过血线y =文一3,崎坐林轴时朗牛交点A * B-此抛物纽崎戈轴的另希交恵为0抛物歿浚魚宵U.(1)求此哋物线的解析成；C2)点P为甩伽线上的卜初点.-我便吃】S^；ti= 5 ’ 4的点P的坐标.DM 4*已知抛物钱y■丄］［抵-?・2 2<1)用配方法求它的顶点唯标和对称轴”(2)若该拋物线峙艾轴的烧个交点为九B，我缕段AB的I匕例5、已知抛物线yW-F (3-2m) x+m-2 (m^0> Fjx轴冇時牛不同的交点.(1) 求m的取就范帽：(2) 料断点P (I, 1)是否在抛物线上；C3)卅尸1时，求抛物线的顶点Q及卩点关于礎物线的对称轴对称的点P'的坐标■并过P' > 4卩二点.回出哋物级臥團■例氐已知一次函数y・一57) x-mffj图邃址抛物线*如图2S-10.<1)试求n为何愼时，抛物线与x轴的购牛交点阿的距离是3?<2)当皿为何值时，方程忙一(D］-3> x-m-0的悶个根均为负数？(3〕设抛物线的顶点为乩与x轴的交点卩、Q.余当PQ最短时AMPQ的而枳.【巩固练习】L 拋物线严&心一2）宀+“与x 轴的交点坐标为 ____________ •2*己知拋物线的对称轴是沪一h 它与x 轴交点的#坦离答于4,它在y 轴上的襯建是一氐則它的表达式为3. 若电〉Q ・h>0. c>0. A>Ot 那么抛物线厂阿”+bx 十c 经过 ____________ 尊甌4. 抛物线y=5a -2x+3的顶点坐标是 ___________ .乩 淮拋物线丫=2^一 5+3） LE +7的对称轴J£x=b 则庐 _________________ .6.哋物线丫=2/+驱+皿叼孔轴貝封一个交点.!i>Jm= ________ ・厂 匚知抛物钱尸ah+bx+t 的系敌有a-b+cP,则这岳抛物绽理址点. .8. 二次密数尸kjM^x —4的图象与K 轴有曲个交点，则k 的取惯范围 __________ *9. 抛物纽y=x !-2<^工+£的顶点任直罐 日 ±,则H 的仇是 ________________ .10. 聽物线产3（+5）;与两坐标轴交点的个数为（） A- 3 4" B. 2 牛 G 1个 D.无a b c- -- + ‘LL 如图I 所肩（^^y=ax i -bx + c 的图象过（一1，Oh 则bx c + a a^b 的炕區f13.已轨二次甫数产扌十阿+m —2.求证；无论円取何实敷’抛物线总与J （轴有两牛交点.11.已知一次函数产T —2kM+k'+k —込（!）当实数k 为何值时’图養经过原点F（2）当实数k 锂何范圈瓏值时，南数圏彖的顶点崔第四毀限内？图i12. L1知二次隔数尸十衣十u 的图象如圏2所朮”则卜'列关奈心确的是（:二次函数解析式的求法例一、已術抛物红上任意三点时.还常设解析式九一般武尸酬‘怡汁g黙后解二尤方程组求解;1.已知二钦歯救的斟粽经过A (0, 3X B CL 3人C (-L 1)三点*或该：次超数的解析式。
九年级数学二次函数表达式常见类型专项练习附答案
求二次函数表达式的常见类型名师点金：求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以使解题过程简便．)由函数的基本形式求表达式方法1 利用一般式求二次函数表达式1．【2016·黔南州】如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点C(0，－6)，与x 轴的一个交点是A(－2，0)． (1)求二次函数的表达式，并写出图象的顶点D 的坐标； (2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位长度，当y<0时，求x 的取值范围．方法2 利用顶点法求二次函数表达式2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋63．已知某个二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．方法3 利用交点式求二次函数表达式4．已知抛物线与x 轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y 轴交于点C ，且AB ＝BC ，求此抛物线对应的函数表达式．方法4 利用平移法求二次函数表达式5．【中考·绥化】把二次函数y ＝2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线对应的函数表达式是______________．6．已知y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝x 2－2x －3.(1)b ＝________，c ＝________； (2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．方法5 利用对称轴法求二次函数表达式 7．如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．8．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝－12. (1)求抛物线对应的函数表达式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求点M 的坐标．方法6 灵活运用方法求二次函数的表达式9．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．由函数图象中的信息求表达式10．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是()A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋211．【中考·南京】某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？由表格信息求表达式12．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是()x －1 0 1ax2 1ax2＋bx＋c 8 3A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋813．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x …－32－1－1212132…y …－54－2－94－2－5474…则该二次函数的表达式为______________．几何应用中求二次函数的表达式14．【2016·安顺】某校校园内有一个大正方形花坛，如图①所示，它由四个边长为3 m的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图②所示，DG＝1 m，AE＝AF＝x m，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是()(第14题)实际问题中求二次函数表达式15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．(第15题)答案1．解：(1)∵把C 点坐标(0，－6)代入二次函数的表达式得c ＝－6，把A 点坐标(－2，0)代入y ＝x 2＋bx －6得b ＝－1， ∴二次函数的表达式为y ＝x 2－x －6. 即y ＝()x －122－254. ∴图象的顶点D 的坐标为()12，－254.(2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位长度所得图象对应的函数表达式为y ＝(x ＋2)2－254. 令y ＝0，得(x ＋2)2－254＝0， 解得x 1＝12，x 2＝－92.∵a>0，∴当y<0时，x 的取值范围是－92<x<12.2．D3．解：设二次函数图象的顶点坐标为(x ，2)，则2＝x ＋1，所以x ＝1，所以图象的顶点坐标为(1，2)．所以设二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2＋2.将点(3，－6)的坐标代入上式，可得a ＝－2.所以该函数的表达式为y ＝－2(x －1)2＋2，即y ＝－2x 2＋4x.4．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB ＝5，OB ＝4. 又∵BC ＝AB ，∴BC ＝5.在Rt △BCO 中，OC ＝BC 2－OB 2＝52－42＝3， ∴C 点的坐标为(0，3)或(0，－3)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a ＝－34.将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a ＝34.∴该抛物线对应的函数表达式为y ＝－34(x －1)(x ＋4)或y ＝34(x －1)(x ＋4)，即y ＝－34x 2－94x ＋3或y ＝34x 2＋94x －3.点拨：若给出抛物线与x 轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x 轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解． 5．y ＝2x 2＋4x 6．解：(1)2；0(2)原函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1.∴其图象的顶点坐标为(－1，－1)．(3)原函数图象的顶点为(－1，－1)，新函数图象的顶点为(1，－4)．由勾股定理易得两个顶点之间的距离为13. 7．y ＝－x 2＋2x ＋38．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝a ()x ＋122＋k.把点(2，0)，(0，3)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧254a ＋k ＝0，14a ＋k ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，k ＝258.∴y ＝－12()x ＋122＋258， 即y ＝－12x 2－12x ＋3.(2)由y ＝0，得－12()x ＋122＋258＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM ＝BM 时，∵BO ＝CO ＝3，即△BOC 是等腰三角形，∴当M 点在原点O 处时，△MBC 是等腰三角形． ∴M 点坐标为(0，0)．②当BC ＝BM 时，在Rt △BOC 中，BO ＝CO ＝3，由勾股定理得BC ＝OC 2＋OB 2＝32，∴BM ＝3 2. ∴M 点坐标为(32－3，0)．综上所述，点M 的坐标为(0，0)或(32－3，0)．9．解：方法一：设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－2，4ac －b 24a＝4，a ＋b ＋c ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－49，b ＝－169，c ＝209.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49x 2－169x ＋209.方法二：设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x ＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x ＋2)2＋4.即y ＝－49x 2－169x ＋209.方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的另一个交点坐标为(－5，0)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)×(－2＋5)， 解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x －1)(x ＋5)，即y ＝－49x 2－169x ＋209.点拨：本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题目条件灵活选择方法，如本题中，第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小． 10．D11．解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元． (2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝k 1x ＋b 1. 因为y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)， 所以⎩⎨⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42.解方程组得⎩⎨⎧k 1＝－0.2，b 1＝60.所以所求函数表达式为y 1＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)．(3)设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2.因为y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)， 所以⎩⎨⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42.解方程组得⎩⎨⎧k 2＝－0.6，b 2＝120.所以y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)． 设产量为x kg 时，获得的利润为W 元．当0≤x ≤90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250.所以当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2 250.当90<x ≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535.当x ＝90时，W ＝－0.6×(90－65)2＋2 535＝2 160.由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，所以90<x ≤130时，W<2 160.因此，当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大利润是2 250元．12．A 13. y ＝x 2＋x －214．A 点拨：先求出△AEF 和△DEG 的面积，然后可得到五边形EFBCG 的面积，继而可得y 与x 的函数表达式．S △AEF ＝12AE ×AF ＝12x 2，S △DEG ＝12DG ×DE ＝12×1×(3－x)＝3－x 2， S五边形EFBCG＝S正方形ABCD－S △AEF －S △DEG ＝9－12x 2－3－x 2＝－12x 2＋12x ＋152， 则y ＝4×()－12x 2＋12x ＋152＝－2x 2＋2x ＋30. ∵0＜AE<AD ，∴0＜x<3. ∴y ＝－2x 2＋2x ＋30(0<x<3)． 故选A .15．解：(1)∵AB ＝x m ，∴BC ＝(28－x)m . 于是易得S ＝AB·BC ＝x(28－x)＝－x 2＋28x. 即S ＝－x 2＋28x(0＜x ＜28)． (2)由题意可知，⎩⎨⎧x ≥6，28－x ≥15.解得6≤x ≤13.由(1)知，S ＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196.易知当6≤x ≤13时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S 最大值＝195，即花园面积的最大值为195 m 2.。
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
求二次函数的解析式(交点式)
一、设 函数解析式
（1）已知抛物线上任意三点时，可设一般形式；
y ax bx c (a 0)
2
（2）已知抛物线的顶点坐标(对称轴或最值)时，通常 2 一般设顶点式。
y a x h k (a 0)
二、代 入已知点的坐标 三、求 方程（组）的解 四、写 出函数解析式
已知图象与x轴的交点坐标，通常选择交点式
通常选择顶点式
温馨提示：求二次函数的解析式时，应该根据 条件的特点，恰当地设函数表达式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ•8
（一般形式）
•2
做一做 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
(1)已知抛物线与x轴交于A,B 两点且它们的横坐标分别 为－1和2,并经过点M(0,1），求抛物线的解析式？
1 1 2 1 1 2 y x x 1 ( x x 2) ( x 1)( x 2) 2 2 2 2
3
3 2 3 3 3 2 y x x 3 ( x x 2) ( x 1)( x 2) 2 2 2 2
二次函数解析式常见的三种表示形式：
2 (1)一般式：y ax bx c(a 0)
(2)顶点式：y a( x h) (3)交点式：y
2
k (a 0)
6
例2、已知一元二次方程 x2 4 x 5 0 的两个实数根为
x1 , x2 且 x1 x2 ,若 x1 , x2 分别是抛物线 y ax2 bx c(a 0)
与x轴的两个交点A、B的横坐标(如图)，且抛物线与y轴
的交点为C(0,5).
(1)求抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线的顶点为D， 求四边形ABDC的面积； (3)是否存在直线y=kx(k>0)与 线段BD相交且把四边形ABDC的 面积分为相等的两部分？若存在， 求出k;若不存在，请说明理由。
二次函数交点式例题解题过程
二次函数交点式例题解题过程二次函数交点式例题解题过程二次函数是高中数学中比较重要的一章，它与初中数学中的一次函数构成了重要的数学基础。
在学习二次函数时，掌握二次函数交点式是十分必要的。
下面我们以一道典型的例题为例，进行解题过程的讲解。
例题：已知二次函数f(x)=-2x²+8x-3，求f(x)=1的解。
解题步骤：Step 1：设f(x)=1，即-2x²+8x-3=1.Step 2：将方程化为标准形式，即-2x²+8x-4=0.Step 3：将方程左边乘以-1，得到2x²-8x+4=0.Step 4：将方程左右两边同时除以2，得到x²-4x+2=0.至此，我们将原方程化为了二次方程x²-4x+2=0.Step 5：将二次方程用求根公式进行求解，得$x_1,x_2=\frac{4\pm\sqrt{4^2-4\times1\times2}}{2\times1}=2\pm\sqrt{2}$.Step6：将求得的两个解带入原方程，分别得到f(2+\sqrt{2})=1和f(2-\sqrt{2})=1.于是，原方程的解集为{x|f(x)=1}={(2+\sqrt{2}),(2-\sqrt{2})}.这样，我们就完成了对二次函数交点式的运用，并解决了这一典型题目。
二次函数交点式是解决二次函数方程的常用方法，常见的问题有：使用二次函数交点式求解函数零点、确定函数图象的交点位置、求出函数的最大值和最小值等等。
掌握了二次函数交点式的计算方法和应用，对学习数学有重要的帮助。
二次函数交点式的求解过程涉及到许多数学知识，涉及到代数运算、二次函数的标准形式和求根公式等知识点。
所以，我们在学习二次函数时，不仅需要积累数学知识，还需要加强题目训练，熟练掌握计算方法和技巧。
通过多做题，多练习，我们可以深入理解二次函数交点式的应用，提高我们的数学能力和解题能力。
总之，掌握二次函数交点式对于学习数学和解决生活中的实际问题有着很大的帮助。
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二次函数交点式练习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
二次函数交点式练习题
一、选择
1.如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（）
（A ）8（B ）14
（C ）8或14（D ）-8或-14
2.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y
随着x 的增大而减小，则k 的值应取（）
（A ）12（B ）11（C ）10（D ）9
3.若0<b ，则二次函数12-+=bx x y 的图象的顶点在（）
（A ）第一象限（B ）第二象限
（C ）第三象限（D ）第四象限
4.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是()
A.a>0,△>0
B.a>0,△<0
C.a<0,△<0
D.a<0,△<0
5.若抛物线
22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a <
Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤
二、填空
1、已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是
（-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是.
2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐
标是（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是.
3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是
（1,0）、则另一个交点坐标是，该抛物线的对称轴是.
4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是，对称轴是.
5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值
是-3.则该抛物线开口向，当x 时，y 随的增大而增大.
6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式：.
/7、把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析
式为（???）．
8.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为
9.二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为
10.二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为
_______。
11.已知二次函数222--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则a 的取值范围是
12.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为_。
13.抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它必定经过________和____
三、解答题
1.已知二次函数的图象与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线2=x ，且函数的最值是4.
⑴求另一个交点的坐标.
⑵求出该二次函数的关系式.
2.抛物线y=(k 2-2)x 2+m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y=-2
1x+2上，求函数解析式。
3.y=ax 2+bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1，OC=1，求函数解析式
4.抛物线562-+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D
(1)求△ABC 的面积。
(2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。
求M 点坐标。
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QA D 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
5、（2012山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx ．小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需多少秒？
/6、（2012江苏扬州12分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；
(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
7、（2012黑龙江大庆6分）将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为1r 和2r .
（1）求1r 与2r 的关系式，并写出1r 的取值范围；
（2）将两圆的面积和S 表示成1r 的函数关系式，求S 的最小值．。