微专题 极坐标方程的应用

极坐标 一、内容回顾

1．平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝λx ，λ>0，

y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对

应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系

(1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的极径，记为ρ.以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．

(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由此得ρ2＝

x 2

＋y 2

，tan θ＝y

x (x ≠0)．

3．常用简单曲线的极坐标方程

二、典型例题

题型一：平面直角坐标系中图象的变换

1.在同一平面直角坐标系中， （1）求

x 2＋y 2＝1

在变换φ：⎩

⎨⎧='='y y x

x 32的作用下，得到的曲线方程

【解析】 由题意可得：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧'='

=3

2

y y x x ，代入x 2＋y 2＝1，即13222=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'y x ， 则所得新曲线方程为19

42

2

=+y x ；

（2）曲线C 在变换φ：⎩⎨⎧='='y

y x x 32的作用下得到椭圆x 29＋y 2

4＝1.求此曲线C 方程

【解析】 由题意可知：将⎩⎨⎧='='y

y x x 32，代入x 29＋y 2

4＝1，即

149942

2=+y x ，

则所得新曲线方程为14

9942

2=+y

x ；

（3）求一个伸缩变换，使得圆x 2

＋y 2

＝1变换为椭圆x 29＋y 2

4

＝1.

（3）【解析】 设伸缩变换为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝λx ，λ>0，

y ′＝μy ，μ>0，

由题意知，λ2x 29＋μ2y 2

4＝1，即2)3(λx 2＋2)2

(μy 2＝1.

与x 2＋y 2

＝1比较系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1

)2

(1)3(22

μλ故⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝3x ，y ′＝2y ，

即先使圆x 2＋y 2＝1

上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29

＋y 2

＝1，

再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 2

4

＝1.

题型二 直接用极坐标方程中的ρ解决问题

(2019·广州五校联考)在极坐标系中，圆C 是以点C )6

,2(π

-为圆心，2为半径的圆。

(1)求圆C 的极坐标方程；

(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π

12(ρ∈R )所截得的弦长。

解 (1)设所求圆上任意一点，M (ρ，θ)，如图，

在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2，∠AOM ＝2π－θ－π

6，|OA |＝4。

因为cos ∠AOM ＝|OM |

|OA |

，

所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos )62(π

θπ--＝4cos )6

(π

θ+，

验证可知，极点O 与A )6,4(π

-

的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos )6

(π

θ+为所求。

(2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OP A ＝π2，易得∠AOP ＝π

4

，

所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝22。

题型三 极坐标化成直角坐标后解决问题

在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2。 (1)求曲线C 2的极坐标方程； (2)求曲线C 2上的点到直线ρcos )4

(π

θ+＝2距离的最大值。

解 (1)设P (ρ1，θ)，M (ρ2，θ)，

由|OP |·|OM |＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝4

ρ1。

因为M 是C 1上任意一点，所以ρ2sin θ＝2， 即4

ρ1

sin θ＝2，ρ1＝2sin θ。 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ。

(2)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2－2y ＝0， 化为标准方程为x 2＋(y －1)2＝1， 则曲线C 2的圆心坐标为(0,1)，半径为1， 由直线ρcos )4

(π

θ+

＝2，

得：ρcos θcos π4－ρsin θsin π

4＝2，即x －y ＝2，

圆心(0,1)到直线x －y ＝2的距离为 d ＝|0×1＋1×(－1)－2|2＝32

2，

所以曲线C 2上的点到直线ρcos )4

(π

θ+

＝2距离的最大值为1＋32

2。

题型四 用极坐标方程或转化成直角方程两种方法解决问题

(2019·山东淄博二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是x ＝4。曲线C 的参数方程是

⎩⎨

⎧

x ＝1＋2cos φ，

y ＝1＋2sin φ

(φ为参数)。以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝α)4

0,0(π

αρ<

<≥与曲线C 交于点O ，A ，与直线l 交于点B ，求|OA |

|OB |的取值范围。

解 (1)由ρcos θ＝x ，得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝4。

曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝1＋2cos φ，

y ＝1＋2sin φ

(φ为参数)，消去参数φ得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2

＝2，即x 2＋y 2－2x －2y ＝0，

将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ。

(2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝4

cos α

，