北大版金融数学引论第二章答案,DOC

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第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。

解：

S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7%

X=

50000−1000s20¬p

7%

s10¬p7%

=651.72

4年。

6.证明：1

1−v10=10¬p+a∞¬p

。

s

10

¬p

北京大学数学科学学院金融数学系

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版权所有，翻版必究 证明：

s 10

¬p +a ∞¬p

(1+i)10

−1+1

1

s 10¬p

= i

(1+i)10

−1

i

i

= 1−v 10

7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。

解：

PV =100a¬8p3% +100a 20¬p 3% =2189.716

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，

¨¬n p

=s¬−n p

1+(1+i)

n

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：

PV =100a49¬p1.5% −100a¬2p1.5% =3256.88

AV =100s49¬p1.5% −100s¬2p1.5% =6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金

36；另

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。

解：年金在4月1日的价值为P

=1+4. 5% 4.5%

×2000=46444.44，则

PV = P

(1+i)2+23

=41300.657

18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。

B和C三人

0.49，求B与D的份额之比。

版权所有，翻版必究解：由题意知

那么PV

C

PV

A

PV

B

=

=

a¬n p

v2n

a¬n p

a¬n p

v n

13n

=0.49

=0.61

PV

D i

v

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。

100

100a

列价值方程

解得

年的期末年金每次

1538元，20

的期末年金为每年1072元。计算年利率。

解：

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。 解：由题意可得价值方程

10000=105Ka¬2

p4%v 3+Ka¬2

p4% +10000v 10

则 K=

10000−10000v 10105a¬2p4%v 3+a¬2p4%v 5

=979.94

28.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。计算首次付款金额X 的表达式。

元。已知 第6页

33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。

解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。有题意得

75 0 i + 750

s20¬pi i=Ra30¬pi

解得R=1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解：由题意知

125

n

2 30

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第7页

38.已知i(4)=16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，共12年。（问题）

解：

39.已知：δt=1+1t。求¯¬n p 的表达式。

解：

¯¬n p

= ∫

n

e−R0tδs ds dt=ln(1+n)

40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。

元的固定

第8页

43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，...。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。

解：由题意：11 13

(1+i)6=(1+i)7⇒i=112

PV =v+3v2+···+(2n−1)v n+···

=v[1+PV +2(v+v2+···)]

=v(1+PV +2v 解得:PV =66 1−v

)

44.给出现值表达式Aa¬n p +B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如

100

9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:

v4

100

北京大学数学科学学院金融数学系i−vd

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