北大版金融数学引论第二章答案,DOC
专题2 金融数学的实际应用含答案
专题2 金融数学的实际应用含答案金融数学是金融领域中的重要学科，它通过运用数学方法和模型来解决各种金融问题。
本文将探讨金融数学的实际应用，并提供相关问题的答案。
1. 期权定价期权是金融市场中常见的金融衍生产品之一。
金融数学可以应用于期权定价，通过使用著名的Black-Scholes模型，可以计算出期权的合理价格。
该模型考虑了标的资产价格、行权价格、无风险利率、资产波动率等因素，从而帮助投资者确定期权的合理价格。
2. 简单利率与复利率的计算金融数学还可以用于计算利率。
在金融市场中，人们经常需要计算简单利率和复利率。
简单利率是指每期利息基于本金计算，而复利率是指每期利息基于本金和已累积利息计算。
通过使用金融数学中的利率计算公式，可以准确计算出简单利率和复利率。
3. 货币时间价值货币时间价值是指货币随着时间推移而产生的价值变化。
金融数学可以帮助人们计算货币时间价值，确定现金流的现值和未来价值。
通过将未来现金流的价值折算到现在，金融数学可以帮助人们做出更准确的投资决策。
4. 统计分析金融数学对于统计分析也有重要应用。
通过应用统计学方法，金融数学可以帮助分析市场数据，预测未来的趋势和变化。
例如，通过使用回归分析，金融数学可以帮助评估不同因素对证券价格的影响，并建立预测模型。
5. 投资组合优化金融数学还可以应用于投资组合优化。
投资组合优化是指通过合理配置不同资产，以达到最佳的风险和收益平衡。
金融数学可以帮助分析资产间的相关性和波动性，从而帮助投资者构建理想的投资组合。
以上是金融数学在实际应用中的一些例子。
通过应用金融数学的方法和模型，人们可以更好地理解和解决各种金融问题，提高投资决策的准确性和效率。
以上是针对专题2 "金融数学的实际应用" 的简要介绍和答案。
希望对您有所帮助！。
金融数学引论答案第二版
金融数学引论答案第二版【篇一：北大版金融数学引论第二章答案】>第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+x 元，年利率7%。
计算x 。
解：s = 1000s?7%+xs?7%20p10p20px = 50000 ? 1000s?7% = 651.72s?p7%102．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解：设首次付款为x ，则有10000 = x + 250a?p1.5%48解得x = 1489.3613．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i =n解：p v = na?npi= 1nn+2 =(n + 1)nn2n4．已知：a?pn= x，a?p2n= y 。
试用x和y 表示d 。
解： a?p2n= a?pn+ a?p (1 ? d)则nny ? xd = 1 ? ( x ) n5．已知：a?p7= 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760。
计算i。
11p18p解：a?p = a?p + a?p v718711解得=i = 6.0%10?p +a∞?p6.证明： 11?v10s。
s10?p北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究证明：s?p + a∞?p=s?10p10+101 = 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。
解：p v = 100a?+ 100a20?8p3% p3% = 2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解：设每年退休金为x，选择65岁年初为比较日=解得x = 8101.658。
金融数学附答案
1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数50 60 40 55 0.55 1/2 1000（1）求看涨期权的公平市场价格。
（2）假设以公平市场价格+0.10美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少？答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.0406040505.005.0=--⨯⨯e （2）83.2>73.2，τr e S V -∆+∆='0083.2> τr e S -∆+∆'0406005--=--=∆d u S S D U =25.0股 104025.00'-=⨯-=∆-=∆d S D 753.9975.0105.005.0'-=⨯-=∆⨯-e 美元则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元所以无风险利润为1.85835.005.0=⨯e 美元2、假定 S 0 = 100，u=1.1，d=0.9，执行价格X=105，利率r=0.05，p=0.85，期权到期时间t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。
(答案见课本46页)3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。
波动率σ为0.318.问题：（1）、他要支付多少的期权费？【参考N（0.506)=0.7123；N（0.731）=0.7673 】{提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系}解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（-0.506），N（d2）=N（-0.731）。
给出最后结果为0.6084、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=0.4，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。
金融数学引论答案第一章--北京大学出版[1]
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第一章习题答案1•解：JEt = O 代入得A(O) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(O)= (t 2 + 2t + 3) /3 In =A(n) 一 A(n 一 1)= (n 2 + 2n + 3) - ((n - I)2 + 2(n - 1) + 3))= 2n + l 2.解:(1)1 = A(n)-A(t) = I n +I nl + ∙ ∙ ÷I t+1 =n(n+ l)∕2-t(t+ 1)/2 (2)I = A(n)-A(t)= Y J l k = 2π+, -2,+,A-r÷l3•解：由题意得a(0) = I Z a(3) =A(3)/A(O)= => a = , b = 1 ∕∙ A(5) = 100A(IO)=A(O) ∙ a(10) = A(5) ∙ a(10)/ a(5)= 100 X 3 = 300.4.解：(l)i5 =(A(5) - A(4))∕A(4)=5120^ % ilθ =(A(IO) - A ⑼)∕A(9)=5145≈ %(2)i5 =(A(5) 一 A(4))∕A(4)IOO(I + 0.1)5-l∞(l + 0.1)4IOo(I + o.ιy l5•解:A(7) = A(4)(l + i5)(l + i6)(l + i7) =1000 XXX6•解：设年单利率为i500(1 + = 615解得i = %设500元需要累积t 年500(1 + t × %) = 630解得t = 3年4个月 }7•解：设经过t 年后，年利率达到％1 + 4%×t= (1 + 2.5%)1 t Q8. 解ι(l + i)11 = (l + i)5+2*3 = XY 39. 解：设实利辜为i600[(l + i)2 一 1] = 264解彳gi = 20%：• A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元10•解：设实利站为i10% i K)=(A(10)-A(9))∕A(9) =1∞(1 + 0.1)10-100(1 + 0.1)9 IOO(I + 0.1)910%---------- 1 ------- ~ (l + z)n (l + ∕)2n所以"=导》右11•解:由500×(l+ i)30 = 4∞0 => (l + i)30 = 8IOOOO I(XX)O IOOOo++ i)2°(1 +i)40 (1 +i)60=IOOO ×2 4 (8~+8~+8^2)12 解:(1 + i)a = 2(l + i)b =j (2)(l + i)c = 5 (3)3 + i)n =- (4) 2=> n ∙ In(I. + i) = In 5 -In 3⅝l∕ ⅝l∕11/ /k 牧→ In5 = c × ln(l + i) × (2) => In3 = (a + b) ■ In (1 + i) =C -(a + b)13•解：A ∙ i = 336 A ∙ d = 300 i —d = i ∙ d => A =2800 14•解：(1)10%'1 + 5x10%=%⑵ a-1(t) = 1 一=> a(t) = a(5)III δ A(t)= δ B(t)得t = 5)19・解：依题意,累积函数为a(t) = at2 + bt + 1 a = 0.25a ++ 1 =a(l) = a + b + 1 ==> a =b =于是 δ =≤222= 0.068a(0.5)20∙解：依题意，§ A (t) = J 「J B (t)= ----------------1 + L 1 + tIllJ A (t)> ¾ (t) 1一 1-0.1/=dS = ΦH√1) a(5)=%15∙解:由(l + -r )3=(l-£-)7 3 4i⑶-3二> 〃⑷=4・[1一(1 +寸)-可:⑶ Itl:⑹ z ∕(12)(1 + L_)6=(1_L_)3) 6 12〃(⑵=> 严>=6∙[(1 -------- Γ2-l]1216•解:⑴ 终值为IOO × (1 + i(4)/4 F?=元⑵ 终值为Ioo × [(1 -4d<V4))1/4 ]-2=元17. 解：利用 1/d (FTl)- 1/i (Fn) = I∕m=> m = 818. 解:aA (t) = 1 + => δ A (t)a"1A (t) = l-0.05r=>¾ (a"1B (t))1 aΛ(t) 0.05"l-0.05ra A (I) 1 + 0」/2t 2=> -------- > ---------- 1 +L 1 +t=> t > 121.解：d (4) = 8% ,设复利下月实贴现率为d,单利下实利率为do 。
《金融数学引论第二版》复习提纲
《金融数学引论》复习提纲第一章 利息的基本计算 第一节 利息基本函数一. 累积函数a(t)与总量函数A(t)某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n =三.. 贴现函数一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+四．名利率与名贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。
五．连续利息计算定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=一个常用的关系式如下：()()11[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m pδ---+=+==-=-=要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。
金融数学引论答案 .docx
第一章习题答案1.设总量函数为A(t) = t2 + 2/ + 3 o试计算累积函数a(t)和第n个吋段的利息【仇°解：把t =()代入得4(()) = 3于是：4(t) t? + 2t + 3啲=丽=3In = 4(北)一A(n一1)=(n2 + 2n + 3) — ((n — I)2 + 2(n — 1) + 3))= 2n+l2.对以下两种情况计算从t时刻到冗(£ < n)时刻的利息：(1)厶(0 < r < n);(2)/r =2r(0<r <n).解：(1)I = A(n) - A(t)—In + in-1+ • • • + A+l n(n + 1) t(t + 1)=2 2I = A(n) - A(t)n n=乞h = 土hk=t+l A：=t+13.已知累积函数的形式为：Q(t) = at2 +几若0时刻投入的100元累积到3吋刻为172元,试计算：5时刻投入的10()元在10时刻的终值。
解：由题意得。
(0) = 1, «(3) = = L72=> a = 0.0& 6=14(5) = 100>1(10) = 4(0) • «(10) = 4⑸• W = 100 x 3 = 300.a(5)4.分别对以下两种总量函数计算订和讪:(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1尸・解：(1)_ 4(5) - 4(4)5 _ 4(4)5二面-.17% . 4(10)-4(9)210 =—4(9)—5=—^ 3.45%145⑵_ 4(5) - 4(4)5 - 4⑷_ 100(1 + 0.1)5 - 100(1 + 0.1)4 = 100(1+ 0.1)4=10%. 4(10) —4(9)皿=_ 100(1+ O.1)10-100(1+ 0.1)9 = 100(1 + 0.1)9=10%5•设4(4) = 1000, i n = O.Oln.试计算4(7)。
北大版高等数学第二章 微积分的基本概念答案 习题2.8
习题2.8N ew to n -L eib n iz (1)4.将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:141300330022114436421531.N ew to n -L eib n iz :1(1).44(2).(3)sin co s | 2.(4)ln |ln 2.(5)(2sin )2co s 4.4411(6)(1)326124bb x xbaaaxx d x e d x ee e xd x x d x x xx x x d x x x x x x x x d x x πππππ====-=-===⎡⎤+=-+=+⎢⎥⎣⎦⎡+++=+++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰用公式计算下列定积分()1422221122112212222422223.211112..2111:?21111111,2221112x x x d x xxx x d x x x x x x x x x x x x x x x x x d x x x x ----⎤=⎢⎥⎦⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎛⎫⎛⎫'-=-=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰验证是的一个原函数并计算定积分试问下式是否成立为什么故是的一个原函数.解4112221125.41111.[1,1]2x d x x x x x x--=⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰不成立因为在不可积.11001133413411113.R iem an n N ew to n -L eib n iz 1(1)limsinsin co s |1co s 1.11(2)limlim.44111(3)limlim1/nn k nnn n k k nnn n k k k xd x x n nk k xx d x nn n d x n kn k n→∞=→∞→∞==→∞→∞====-=-⎛⎫====⎪⎝⎭==++∑⎰∑∑⎰∑∑将下列极限中的和式视作适当函数的和,然后使用公式求出其值:1100ln (`1)|ln 2.1x x=+=+⎰122110101111010111/21001/21/2234.N ew to n -L eib n iz (1)|| 1.22(2)sg n 1(1)110.111(3)22243xxx d x xd x xd x xd x d x d x xx d x x x d x x x d xx x x -----=-=-==+-=-=⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:1321/2222000212221200111111111.3416243424168(4)|sin |sin sin co s |co s |22 4.(5)([])(1)2211() 1.22x x d x xd x xd x x x xx x x d x xd x x d x x πππππππ⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭=-=-+=+=⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.()[,]().[,],()()()().()()()(N ew to n -L eib n iz )()()().b aF x a b F x c a b F b F a F c b a F b F a F x d x F c b a '∈'-=-'-='=-⎰设在上有连续的导函数试证明:存在一点使得公式定积分中指中值公式证。
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第一章习题答案1.设总量函数为A(t) = t2 + 2/ + 3 o试计算累积函数a(t)和第n个吋段的利息【仇°解：把t =()代入得4(()) = 3于是：4(t) t? + 2t + 3啲=丽=3In = 4(北)一A(n一1)=(n2 + 2n + 3) — ((n — I)2 + 2(n — 1) + 3))= 2n+l2.对以下两种情况计算从t时刻到冗(£ < n)时刻的利息：(1)厶(0 < r < n);(2)/r =2r(0<r <n).解：(1)I = A(n) - A(t)—In + in-1+ • • • + A+l n(n + 1) t(t + 1)=2 2I = A(n) - A(t)n n=乞h = 土hk=t+l A：=t+13.已知累积函数的形式为：Q(t) = at2 +几若0时刻投入的100元累积到3吋刻为172元,试计算：5时刻投入的10()元在10时刻的终值。
解：由题意得。
(0) = 1, «(3) = = L72=> a = 0.0& 6=14(5) = 100>1(10) = 4(0) • «(10) = 4⑸• W = 100 x 3 = 300.a(5)4.分别对以下两种总量函数计算订和讪:(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1尸・解：(1)_ 4(5) - 4(4)5 _ 4(4)5二面-.17% . 4(10)-4(9)210 =—4(9)—5=—^ 3.45%145⑵_ 4(5) - 4(4)5 - 4⑷_ 100(1 + 0.1)5 - 100(1 + 0.1)4 = 100(1+ 0.1)4=10%. 4(10) —4(9)皿=_ 100(1+ O.1)10-100(1+ 0.1)9 = 100(1 + 0.1)9=10%5•设4(4) = 1000, i n = O.Oln.试计算4(7)。
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版权所有，翻版必究第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。
计算X 。
解：S = 1000s 20¬p7%+Xs 10¬p7%X =50000 − 1000s 20¬p7% s 10¬p7%= 651.722．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解： 设首次付款为X ，则有10000 = X + 250a 48¬p1.5%解得X = 1489.363．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1。
试计算该年金的现值。
解：P V = na¬n pi1 − v nn= n 1n=(n + 1)nn 2− n n+2 (n + 1)n4．已知：a¬n p= X ，a 2¬n p= Y 。
试用X 和Y 表示d 。
解： a 2¬n p= a¬n p+ a¬np (1 − d)n则Y − X1d = 1 − ( X ) n5．已知：a¬7p= 5.58238, a 11¬p= 7.88687, a 18¬p= 10.82760。
计算i 。
解：a 18¬p = a¬7p + a 11¬p v 7解得6.证明： 11−v 10=s10¬p +a ∞¬p。
s 10¬pi = 6.0%北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究证明：s 10¬p + a ∞¬p(1+i)10−1+11 s 10¬p=i(1+i)10−1ii= 1 − v 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
金融数学引论答案第一章__北京大学出版[1]
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第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t 2 + 2t + 3 。
试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息I n 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t 2 + 2t + 3）/3I n = A(n) − A(n − 1)= (n 2 + 2n + 3) − ((n − 1)2+ 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)I r (0 < r <n); (2)I r = 2r (0 < r < n).解: ()n n-1t 11I A(n)A(t)I I I n(n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・ (2)1t 11I A(n)A(t) 22n n k k t I ++=+=-==-∑3. 已知累积函数的形式为: 2a(t) at b =+。
若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴ A(5) = 100A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300.4. 分别对以下两种总量函数计算i 5 和i 10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2)t A(t) 100(1 0.1)=+.解：(1)i 5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17%i 10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45%(2)i 5 =(A(5) − A(4))/A(4)()()()544109109100(1 0.1)100(1 0.1) 10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+5.设()n A 4 1000, i 0.01n ==. 试计算A(7) 。
北大版金融数学引论第二章答案
北大版金融数学引论第二章答案版权所有，翻版必究第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。
计算X 。
解：S = 1000s 20¬p7%+Xs 10¬p7%X =50000 −1000s 20¬p 7%s 10¬p7%= 651.722．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解： 设首次付款为X ，则有10000 = X + 250a 48¬p1.5%解得X = 1489.363．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1。
试计算该年金的现值。
解：P V = na¬n pi1 − v nn= n 1n=(n + 1)nn 2− n n+2 (n + 1)n4．已知：a¬n p= X ，a 2¬n p= Y。
试用X 和Y 表示d 。
解： a 2¬n p= a¬n p+ a¬np (1 − d )n则Y − X1d = 1 − ( X ) n5．已知：a¬7p= 5.58238, a 11¬p= 7.88687, a 18¬p= 10.82760。
计算i 。
解：a 18¬p = a¬7p + a 11¬p v 7解得6.证明： 11−v10=i = 6.0%s。
10¬p +a∞¬ps10¬p北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究证明：s 10¬p + a ∞¬p(1+i)10−1+11 s 10¬p=i(1+i)10−1ii= 1 − v 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
金融数学引论答案第5—7章北京大学出版
版权所有，翻版必究第五章习题答案1. 已知某10年期零息票债券兑现值为1000，试对收益率为10%和9%分别计算当前价格。
并说明如果收益率下调10%，债券价格上涨的百分比。
解：(1)记P为买价，则有价值方程:P1(1 + 10%)10 = 1000P2(1 + 9%)10 = 1000解得:P1 = 385.54元P2 = 422.41元(2)收益率下降后P1(1 + 10% ×90%)10 = 1000P2(1 + 9% ×90%)10 = 1000解得:P1 = 422.41元，上涨百分比:9.56%; P2 = 458.93元，上涨百分比:8.65%。
2. 已知26周的短期国债的发行价格为9600元，到期兑现10,000元。
1〕按短期国债计算天数的典型方法计算贴现率；2〕假定投资期恰为半年，计算年收益率。
解：(1)由短期国债的定价公式10000(1 −Y dt360) = 9600解得：Y d = 7.91%(2)由定义设年换算收益率为i，则：9600(1 + i)12 = 10000解得：i = 8.51%3. 短期国债的贴现率均为8%，计算52 周国债与13 周短期国债的年利率之比。
52周实际天数已经超过360，如何处理；年利率之比是指等价年利率之比还是贴现率的比。
4. 某10年期面值为100元的债券半年名息率10%，到期兑现105元，如果收益率为半年换算8%，计算债券的买价。
北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究解：由基本公式：P = Fra n p i + Cv n = 100 ×5% ×13.5903 + 105 ×1.04¡20 = 115.875. 由债券价格计算公式，给出以下导数的计算公式，并解释其含义。
1) ∂P∂i , ∂P∂n和∂P∂g2) ∂n∂P和∂n∂P解：(1.1)由基本公式对i求导：∂P∂i= Fr(Da)n p i −nP(n + 1, i) < 0解释：债券的买价随着年限的增加而递减。
金融数学课后复习题答案 2
第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。
试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)A(0)=t2 + 2t + 33In = A(n) − A(n −1)= (n2 + 2n + 3) −((n −1)2 + 2(n −1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <n); (2)Ir = 2r(0 < r < n).解:(1)I = A(n) − A(t)= In + In¡ 1 + ・・・+ It+1=n(n + 1)2− t(t + 1)2(2)I = A(n) − A(t)=Σnk=t+1Ik =Σnk=t+1Ik= 2n+1 −2t+13. 已知累积函数的形式为: a(t) = at2 + b 。
若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
第1 页解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴A(5) = 100A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)a(5)= 100 ×3 = 300.4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1)t.解：(1)i5 =A(5) − A(4)A(4)=5120≈4.17%i10 =A(10) − A(9)A(9)=5145≈3.45%(2)i5 =A(5) − A(4)A(4)=100(1 + 0.1)5 −100(1 + 0.1)4100(1 + 0.1)4= 10%i10 =A(10) − A(9)A(9)=100(1 + 0.1)10 −100(1 + 0.1)9100(1 + 0.1)9= 10%第2 页5.设A(4) = 1000, in = 0.01n. 试计算A(7) 。
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版权所有，翻版必究第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。
计算X。
解：S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7%X=50000−1000s20¬p7%s10¬p7%=651.724年。
6.证明：11−v10=10¬p+a∞¬p。
s10¬p北京大学数学科学学院金融数学系第1页版权所有，翻版必究 证明：s 10¬p +a ∞¬p(1+i)10−1+11s 10¬p= i(1+i)10−1ii= 1−v 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
解：PV =100a¬8p3% +100a 20¬p 3% =2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，¨¬n p=s¬−n p1+(1+i)n12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。
解：PV =100a49¬p1.5% −100a¬2p1.5% =3256.88AV =100s49¬p1.5% −100s¬2p1.5% =6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金36；另17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。
解：年金在4月1日的价值为P=1+4. 5% 4.5%×2000=46444.44，则PV = P(1+i)2+23=41300.65718.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。
B和C三人0.49，求B与D的份额之比。
版权所有，翻版必究解：由题意知那么PVCPVAPVB==a¬n pv2na¬n pa¬n pv n13n=0.49=0.61PVD iv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
100100a列价值方程解得年的期末年金每次1538元，20的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解：27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。
已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。
解：由题意可得价值方程10000=105Ka¬2p4%v 3+Ka¬2p4% +10000v 10则 K=10000−10000v 10105a¬2p4%v 3+a¬2p4%v 5=979.9428.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。
计算首次付款金额X 的表达式。
元。
已知 第6页33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。
有题意得75 0 i + 750s20¬pi i=Ra30¬pi解得R=1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解：由题意知125n2 30北京大学数学科学学院金融数学系第7页38.已知i(4)=16%。
计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，共12年。
（问题）解：39.已知：δt=1+1t。
求¯¬n p 的表达式。
解：¯¬n p= ∫ne−R0tδs ds dt=ln(1+n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。
元的固定第8页43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，...。
另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。
解：由题意：11 13(1+i)6=(1+i)7⇒i=112PV =v+3v2+···+(2n−1)v n+···=v[1+PV +2(v+v2+···)]=v(1+PV +2v 解得:PV =66 1−v)44.给出现值表达式Aa¬n p +B(Da)n|所代表的年金序列。
用这种表达式给出如1009、10年底各300元，依此类推。
证明其现值为:v4100北京大学数学科学学院金融数学系i−vd第9页解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金...。
从而PV =v4100 1 1=100v41 1 =100 v4i a¬2pi i i1−v2 i−vd48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。
证明其现值为：4年。
北京大学数学科学学院金融数学系6000¨¬4p ¨(12)9/12| 第10页51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三 个k 年每年底还3R ；依此类推。
给出现值表达式。
解：把此年金看成从第nk 年开始的每年为R 的永久年金(n=0,1,2,···):每个年金的值为Ra ∞¬p在分散在每个k 年的区段里： Ra ∞| a k|再按标准永久年金求现值：X=20X=(四年一次的永久年金：首次1 =v·PV解：由于0<k<i ，故下列广义积分收敛：PV = ∫ ∞ ∫ ∞ (1+k)te −δt dt = (0 01+k1+i )t dt =1 ln(1+i)−ln(1+k)北京大学数学科学学院金融数学系第11页55. 递延一年的13年连续年金的年金函数为t 2−1，利息力为(1+t)−1，计算该年 金现值。
与原答案有出入 解：PV=exp(−∫111+tdt)∫14 1(t 2−1)exp(−∫t −1 01 1+sds)dt=47.4356. 给出下列符号的表达式:∑n∑it=11∑n1∑¨¬−i nt=1 t− t=1 n1−v ti = 1n(n+1)−1i 2 i 2i(n−a¬np)=2n (n+1)−n+a¬npi 257. 现有两种永久年金：A －金额为p 的固定期末年金；B －金额为q,2q,3q,···的 递增期末年金。
分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利 率。
北京大学数学科学学院金融数学系第12页版权所有，翻版必究解：年金现值分别为：PV A = pa∞¬pi=p i q qPV B= q(Ia)∞| =(1)当PV A=PV B时有：ip=iq+qi+i 2i=q解得：p−q,p>qi不存在, p≤q(2)令f(i)=p i −q i −i q2pi2+ q +2 q =0年，单AV = s m¬p7%×(1+0.11)n+s¬n p11%= s m¬p7%×(0.11s¬n p11% +1)+s¬n p11%=640.72北京大学数学科学学院金融数学系第13页60. 甲持有A 股票100股，乙持有B 股票100股，两种股票都是每股10元。
A 股票每年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所 有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。
B 股 票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n 年后出售其股票。
为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同，分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。
解：设X 为买价，有价值方程：0.4s 10¬p 6%+2=0.8s n −10|6%+X(1+0.06)−(n−10)从而有：5.22 2.48 某奖学金从1990日用半8%结算利息。
另外，从1991 2000年元旦的 解：由题意： N2Ka M ¬p i=Ka N ¬pi⇒v M=1+vN>v 2即：M<N/2北京大学数学科学学院金融数学系2第14页64. 从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，问：什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。
解：半年实利率：i=(1+6%)1/2−1=2.9563%余额首次超过X的时刻：500¨n|i ≥X2X=100008从而解得：n≈35 X=100000年元旦2n B n nA+A2+4AB −168. 对于固定的n和L，且L>n，证明：L=a¬n p 在−1<i<1上有唯一解。
证：(斯图姆判别？)考虑如下现金流：初始时刻投入L,而后的n年每年末得到回报1,从而此投资的内部收益率i满足L=a¬n pi由于现金流只改变一次方向，从而由笛卡儿符号法则有，在−1<i<1,有唯一的内部收益率。
69. 证明：(Ia)n pi+(Da)ni=(n+1)a n pi;s n+1pi=i(Is)n pi+(n+1)。
并给出实际背景解释。
n,n−1,···,11,2,+n−a¬v)每年以4％的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。
1)分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年平均工资的70%；年退休金为年平均工资的2.5%再乘以工作年限。
2〕如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。
北京大学数学科学学院金融数学系第16页解：1)平均工资：$=18000(1+1.04+···+1.0436)/37=39747.04退休前一年的工资：18000×(1+0.04)36=73870.79 法一：年退休金：0.7$=27822.93,比例为：37.66%法二：年退休金：0.25$×37=36766.01,比例为：49.77% 2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：∑36P =18000×6%×(1+4%)t(1+6%)36−t=235871.7t=0设年退休金为R,则有：n=12第一种方式8第二种方式已知永久期初年金为：首次1+2+解：进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两t 的6年底，B 希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C ，转卖价格使C 今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。