分类与分步计数原理课件
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分类计数原理和分步计数原理
拓展应用：离散数学、计算机科学
离散数学
分类计数和分步计数原理在离散数学中被广泛应用 于组合问题、图论、递归和算法等领域。
计算机科学
分类计数和分步计数原理在计算机科学中被用于解 决计算复杂性、优化问题和算法设计等。
总结和应用建议
分类计数原理和分步计数原理是数学和计算机科学中重要的计数方法。了解 它们的定义、应用和联系，可以帮助我们解决各种计数问题。
2 区别
分类计数原理是将问题分为不同的分类进行计数，而分步计数原理是将问题分解为多个 步骤进行计数。
实例应用：组合、排列、二项式定理等
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
组合
通过分类计数，可以计算出从给定集合
排列
2
中选择不同元素的组合数。
使用分步计数，可以计算出在给定元素
集合中选择和排序元素的排列数。
3
二项式定理
通过应用分步计数原理，可以推导出二 项式定理，用于展开二次方和三次方的 多项式。
分类计数原理的定义和应用
分类计数原理是一种通过将问题分成不同分类的方式来计数。它在组合数学、离散数学和计算机科学中被广泛 应用。
分步计数原理的定义和应用
分步计数原理是一种通过将问题分解为多个步骤来计数的方法。它通常在组合数学和排列问题中使用。
分类计数原理和分步计数原理的联系 和区别
1 联系
两种原理都可以用于解决计数问题，但是采用不同的分解方式。
分类计数原理和分步计数 原理
本演示将介绍分类计数原理和分步计数原理。了解基本概念、定义、应用、 联系和区别，并深入探讨实例应用以及拓展领域。最后进行总结和应用建议。
基本概念
分类计数原理
通过将问题分解为各个独立分类，然后对每个 分类进行计数，得到最终的计数结果。
分类计数原理与分步计数原理
【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成， 其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多 少个？ 【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱 中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目， 每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
”智深道：“洒家也不杀你，只要问你买酒吃。”那汉子见不是头，挑了担桶便走。智深赶下亭子来，双手拿住匾担，只一脚，交裆踢着，那汉子双手掩着，做一堆蹲在地下，半日起不得。智深把那两桶酒都提在亭子上，地下拾起旋子，开了桶盖，只顾舀冷酒吃。无移时，两大桶酒吃了 一桶。智深道：“汉子，明日来寺里讨钱。”那汉子方才疼止，又怕寺里长老得知，坏了衣饭，忍气吞声，那里敢讨钱？把酒分做两半桶挑了，拿了旋子，飞也似下山去了。 只说鲁智深在亭子上坐了半日，酒却上来。下得亭子，松树根边又坐了半歇，酒越涌上来。智深把皂直裰褪膊下 来，把两只袖子缠在腰里，露出脊背上花绣来，扇着两个膀子上山来。但见：头重脚轻，眼红面赤；前合后仰，东倒西歪。踉踉跄跄上山来，似当风之鹤；摆摆摇摇回寺去，如出水之蛇。指定天宫，叫骂天蓬元帅；踏开地府，要拿催命判官。裸形赤体醉魔君，放火杀人花和尚。鲁达看看 来到山门下，两个门子远远望见，拿着竹篦来到山门下，拦住鲁智深便喝道：“你是佛家弟子，如何噇得烂醉了上山来？你须不瞎，也见库局里贴的晓示：但凡和尚破戒吃酒，决打四十竹篦，赶出寺去，如门子纵容醉的僧人入寺，也吃十下。你快下山去，饶你几下竹篦。” 鲁智深一者 初做和尚，二来旧性未改，睁起双眼骂道：“直娘贼！你两个要打洒家，俺便和你厮打。”门子见势头不好，一个飞也似入来报监寺，一个虚拖竹篦拦他。智深用手隔过，揸开五指，去那门子脸上只一掌，打得踉踉跄跄；却待挣扎，智深再复一拳，打倒在山门下，只是叫苦。智深道：“ 洒家饶你这厮。”踉踉跄跄，攧入寺里来。监寺听得门子报说，叫起老郎、火工、直厅、轿夫，三二十人，各执白木棍棒，从西廊下抢出来，却好迎着智深。智深望见大吼了一声，却似嘴边起个霹雳，大踏步抢入来。众人初时不知他是军官出身，次后见他行得凶了，慌忙都退入藏殿里去 ，便把亮槅关上。智深抢入阶来，一拳一脚，打开亮槅，三二十人都赶得没路，夺条棒从藏殿里打将出来。 监寺慌忙报知长老，长老听得，急引了三五个侍者直来廊下，喝道：“智深不得无礼！”智深虽然酒醉，却认得是长老，撇了棒，向前来打个问讯，指着廊下对长老道：“智深吃 了两碗酒，又不曾撩拨他们，他众人又引人来打洒家。”长老道：“你看我面快去睡了，明日却说。”鲁智深道：“俺不看长老面，洒家直打死你那几个秃驴！”长老叫侍者扶智深到禅床上，扑地便倒了，齁齁地睡了。 （1）在空格内依次填写一个动词。概括文中鲁智深与酒的几件事。 想酒～买酒～抢酒～闹酒 （2）文中汉子的唱词有哪些作用？ （3）结合水浒传，完成下面题目 ①鲁智深在上五台山之前所做的义事是A A拳打镇关西 B大闹桃花村 C火烧瓦官寺 D大闹野猪林 ②鲁智深为何被称作花和尚 ③与林冲和李逵相比，鲁智深的性格有什么特别之处，请举例具体 分析。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】本文主要描述了鲁智深大闹五台山的故事．第一段写鲁智深来到五台山几个月没喝酒，正想着酒，外面传来了卖酒的歌声；第二段写鲁智深想买酒遭拒，就开始动手抢酒，吓跑了卖酒的汉子；第三至五段，写鲁智深喝完，酒劲上来看返回寺 院，门子见状阻拦，鲁智深反打门子，惊扰到长老送至房间便酒意大发睡去了． 【解答】（1）本题考查主要内容的概括．解答此题明确本文的写作线索为“酒”，按写作的顺序找出事件，然后分别用两个字来概括即可．文章第一段写鲁知深想到了喝酒，第二段写鲁智深想买酒遭到了拒 绝，便开始抢酒；第三至五段，主要写他喝酒后回寺大闹寺院．可分别概括为：想酒、买酒、抢酒和闹酒． （2）本题考查内容的理解与分析．唱词与战争、项羽相关，结合前文情节我们知道，鲁智深曾经作过提辖，这个唱词则触发了鲁智深的英雄豪情，想起自己此时却在寺院中为僧， 这样就刺激了他的酒瘾，从而引发了下面的情节． （3）本题考查名著情节的识记与人物形象的对比分析．解答此题关键在于平时的阅读与积累．①鲁智深上山之前是提辖，因为救助金氏父女而拳打镇关西，为了逃脱人命官司而来到了这里．故选A．②鲁智深上山为僧，但他的脊背上有 花绣，又因为他不守戒律，喝酒吃肉打人，所以得名“花和尚”． ③林冲在《水浒传》中一开始的性格是软弱的，就因为一再的忍让才被害．李逵的勇猛和鲁智深很相似，但李逵有勇无谋，没有头脑．而鲁智深有智慧，如拳打镇关西至他于死地时，用郑屠的装死来骗众人，取得逃跑的 时间等情节就能体现出来． 代谢： （1）买 抢 闹（共3分，每空1分） （2）汉子的唱词进一步触发了曾为军官的鲁智深的豪情和他对当时处境的不满，更刺激了他的酒瘾． （3）①A ②因为他出家为僧，且脊背上有花绣，也因为他喝酒吃肉打人，不守戒律． ③示例：与林冲相比，鲁 智深办事更加果断干脆．例如，林冲在被奸人高俅陷害后一再隐忍退让，而鲁智深为解救金氏父女，直接痛打了恶人郑屠． （2017安徽）【二】（21分） 扁担的一生 范宇 ①在村庄的记忆里，几乎任何时间、任何角落都能见到扁担的身影。挑粪、挑种子、挑谷子、挑土豆、挑橘子…… 农人在土地上的所有倾注与收获，都与扁担密不可分。扁担就是农人的精神脊梁，让他们挑起一个家庭重担的同时，也挑起了一个村庄沉重的历史与殷殷期盼。 ② 。母亲嫁给父亲时，半背篼谷子便是全部的家当。泥墙茅顶的房子破败不堪，常常在狂风骤雨中摇摇欲坠，只有立于墙角略 弯的扁担显得精神抖擞，给人信心与希望。或许，母亲嫁给父亲的勇气，有几分便来自于扁担的抖擞精神。总之，在昼夜有序更替的村庄里，父母用扁担慢慢挑起了生活的担子，就像蚂蚁搬家一样，虽然缓慢，却渐渐挑出了一个家庭的崭新面貌。 ③ 。 ④20年前，父亲从山里找到一截 不错的木材，正想着用来做点什么呢。身为木匠的舅舅几乎脱口而出——扁担。对，扁担！父亲也认为，只有改成一根扁担，才不辜负这上好的木材。说干就干，粗糙的木材到了舅舅手里，不用半天，就变成了一根笔直的扁担。扁担不能太直，太直则易伤肩头和腰。因此，还得将扁担以 火烤之后，用外力将之略微压弯成弓形。可这根扁担实在太有骨气了，即便火烤、重压，仍然笔直，没有半点屈服。 ⑤这根扁担挑起来更吃力，父亲却爱不释手。之后的许多年里，父亲无论挑什么，都用她。有次在挑玉米时，父亲不小心闪了腰，疼了好长一段时间。但父亲并没有放弃 她，用汗水和心血一点点浸润着她，渐渐地，她坚硬的心被融化了，挺直的腰板，也弯了下来。父亲挑起扁担来越来越有默契，像与母亲的婚姻一样，虽偶有磕磕绊绊，感情却越来越深厚。她也没有辜负父亲的良苦用心，苦心经营，以顶天立地般的气慨，让一个家庭从贫穷落后走向富足 安逸。 ⑥可这样的日子并没有持续多少年。越来越多的人开始离开村庄，离开赖以生存的土地，扁担也渐渐地走向了落寞。不少人再也没有回来，在城里买了房子，过上了舒坦的日子。这也让父亲坚信一根扁担能够挑出一个未来的信念，逐渐土崩瓦解。或许，这背后更多是村庄现实的 无奈。 ⑦无论如何，父亲最终选择了离开。 ⑧曾经朝夕相对的扁担被搁置在了一个冰冷的墙角，孤零零的。说来也奇怪，没有了重压，扁担却一天比一天更弯，弯得像一个苟延残喘的暮年老者。或许，再过几年，抑或十余年，她便将走完一生，彻底告别深爱了一生也奋斗了一生的村庄 。 ⑨这也是农人的一生。 ⑩九月，村庄又迎来冷冷清清的收获季节。我返城时，碰见正挑着谷子从田边迎面走来的大伯。大伯今年已60余岁了，还在田间劳作着。他也曾短暂离开过村庄，却始终没能走出像扁担一样的命运。他仍然坚信着，只要村庄还在，扁担还在，就一定能够扛起生 活的重担。甚至，在人烟越来越少的村庄里，不少死守的农人还是坚信——一根扁担仍能挑起一个村庄。 ?这是一种可贵精神，或许它与现实追求早已背道而驰，却让人肃然起敬。 （选自《襄阳晚报》2016年3月3日，有删改） 10、根据上下文，将下面两个句子分别填入文章②③两段横 线处，第②段应填（ ），第③段应填（ ）。（4分） A、这让我有了探索一根扁担一生的浓厚兴趣。 B、我的家也是扁担挑起来的。 11、阅读文章④—⑥段，概括补充扁担经历的主要变化过程。（每空不超过5个字）（4分） 上好的木材→ →渐弯的扁担→ 12、作者提到“扁担”，多 次使用第三人称“她”，有何表达效果？（3分） 13、联系上下文，简要分析第⑩段画线句子蕴含了作者怎样的情感。（4分） 14、“扁担”在文中有着丰富的内涵，请结合全文谈谈你的理解。（6分）[来源:学科网 代谢：【二】 10. （4分）B A 11. （4分）不屈的扁担 落寞的扁担 12.（3分） 运用拟人化的手法，把扁担当成了与自己家庭命运休戚相关的一员，抒发了对扁担对既往岁月的无限怀念留恋之情，同时也表达了对父亲对家庭的热爱之情。 13.（4分） 表达了对大伯不能与时俱进，还固守着旧有的生活方式，希望能用一根扁担扛起生活重担精神的钦佩与 惋惜之情 14.（4分）扁担是农人的希望，是农人精神脊梁；扁担也是父亲的命运与精神的反映 。扁担有着不屈的精神，挑起过生活的重担，创造过富足安逸，也有着英雄暮年的孤寂衰老，它的一生也反映了人的一生；在一定程度上，扁担也是落后生活方式的代表。 （2017浙江温州）4 ． 天道立秋 张承志 （1）1990年立秋日，是个神秘的日子。 （2）年复一年地，代谢人渐浙开始从春末就恐怖地等着入伏。一天天地熬，直到今年是一刻刻地熬。长长无尽的代谢苦夏，在这一回简直到了极致。 （3）一点一点地挨着时间；无法读书，无法伏案。不仅是在白昼，夜也是 潮闷难言，漆黑中的灼烤实在是太可怕了。 （4）我有时独自坐在这种黑热里，像一块熄了不多时的炉膛里的烧烬。心尖有一块红红的煤火，永无停止地折磨着自己。似乎又全靠着它，人才能与这巨大的黑热抗衡。久久坐着，像是对峙。 （5）天亮以后几个时辰，大地便又堕入凶狠的爆 烤。有谁能尽知我们的苦夏呢？ （6）街上老外，满脸汗水。 （7）度夏的滋味、中国人是说不出的。 （8）后来愈热愈烈，我几乎绝望。再这样热下去，连我也怀疑没有天理了。 （9）可是，那一天是立秋。上午我麻木地走进太班有男生30人， 女生24人，要从中选一人参加学校会议，问： 总共有多少种选法？
计数原理-完整版课件
解析： ∵C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝26＝64， ∴C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝64－2＝62. 答案： 62
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理课件(人教版)
B大学 数学 会计学 经济学 法学
追问：现在他共有多少种选择？
C大学
方案1
营销管理
从A大学中选专业 5
土木工程 完成一件事 方案2
选专业 从B大学中选专业 4
方案3 从C大学中选专业 2
5 4 2 11
分类加法计数原理推广
完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， ..... 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法.
列举法：56种 完成一件事
座位编号
分两个步骤完成：
第1步.确定英文字母 有6种方法
A
第2步.确定阿拉伯数字 有9种方法
69 54
1 A1
2
A4
9种
5
A5
6
A6
7
A7
8
A8
9
A9
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
练习
1．某校高二有三个班，分别有学生50人、50人、52人．从中选一人担负
学生会主席，共有多少种不同选法( )
A．100
B．102
C．152
D．50
2.设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程
x2 m2
y2 n2
1表示焦点位于x
轴上的椭圆有( )
A．6个
B．8个
C．12个
D．16个
3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件
尝试一下：孙行者三个字交换位置可以得到多少个名字？
分类计数原理与分步计数原理课件
在实施过程中，需要密切监控方案的执行 情况，及时调整和优化方案，以确保达到 预期的效果。
混合应用的优势与挑战
优势
分类计数原理和分步计数原理的混合应用可以更好地解决复杂的问题，提高解决问题的效率和准确性 。同时，这种应用方式可以更好地满足实际需求，提高生产效率、项目管理和物流管理水平。
挑战
在混合应用中，需要充分考虑各种因素，包括分类和分步的边界、数学模型的建立、实施方案的制定 和实施与监控等。这些因素都需要综合考虑，才能达到最佳的应用效果。同时，这种应用方式也需要 较高的专业知识和技能水平，需要具备丰富的实践经验和管理能力。
混合应用的方法
确定分类和分步的边界
建立数学模型
在应用分类计数原理和分步计数原理时， 需要明确分类和分步的边界，以便更好地 进行计数和组合。
通过建立数学模型，可以更好地描述分类 计数原理和分步计数原理的混合应用，并 进行优化和控制。
制定实施方案
实施与监控
根据分类和分步的边界以及数学模型，制 定具体的实施方案，包括具体的操作步骤 、时间安排、资源分配等。
实例三
一个骰子有6个面，投掷3次骰子， 每次都有6种可能的结果，那么投掷 3次骰子有多少种不同的结果？
分类计数原理的应用
应用一
在生产过程中，如果各个工序之 间相互独立，且每道工序都有n 种不同的加工方法，那么完成整 个产品需要的方法数为n的乘积
。
应用二
在排列组合问题中，如果需要完 成多个独立任务，且每个任务都 有不同的方法数，那么完成这些 任务的方法数为各个方法数的乘
总结词
互斥事件的乘法原则
详细描述
分类计数原理主要应用于多个独立事件，其中每个事件的发生都是互斥的，即一个事件发 生后，其他事件就不会发生。在这种情况下，完成这些事件的种数就是各个事件种数的乘 积。
《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》_优秀PPT课件人教A版1
答案：C
2. 如图所示为一电路图，从A到B可通电的线路共有（ D）
A.1条 C.3条
B.2条 D4条
3. 高二（1）班有学生50人，其中男生30人；高二（2）班 有学生60人，其中女生30人；高二（3）班有学生55人，其中 男生35人.
（1）从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法? （2）从高二（1）班、（2）班男生中，或从高二（3）班 女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法? 分析：按当选学生来自不同班级分类.
种不同的参赛方式？333381
（2）没项竞赛值允许一位学生参加，有多少种不
同的参赛方式？ 44464
例5. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限 报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺 这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少 种？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成
在第1类方案中有 m1 种不同的方法，
在第2类方案中有 ……
m2
种不同的方法，
在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
Nm 1m 2 m n 种不同的方法。
1.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本， 则购买方式共有( )
A．3种
B．6种
C．7种 D．9种
解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购 买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝ 7(种)．
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N= m+ n 种不同的方法。
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:
2. 如图所示为一电路图，从A到B可通电的线路共有（ D）
A.1条 C.3条
B.2条 D4条
3. 高二（1）班有学生50人，其中男生30人；高二（2）班 有学生60人，其中女生30人；高二（3）班有学生55人，其中 男生35人.
（1）从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法? （2）从高二（1）班、（2）班男生中，或从高二（3）班 女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法? 分析：按当选学生来自不同班级分类.
种不同的参赛方式？333381
（2）没项竞赛值允许一位学生参加，有多少种不
同的参赛方式？ 44464
例5. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限 报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺 这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少 种？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成
在第1类方案中有 m1 种不同的方法，
在第2类方案中有 ……
m2
种不同的方法，
在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
Nm 1m 2 m n 种不同的方法。
1.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本， 则购买方式共有( )
A．3种
B．6种
C．7种 D．9种
解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购 买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝ 7(种)．
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N= m+ n 种不同的方法。
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:
分类加法计数原理与分步乘法计数原理PPT优秀课件15
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
解：可分为两条线路，
第一类线路：
宾馆 中国国家馆 上汽集团-通用汽车馆 宾馆
3×2×2=12
第二类线路：
宾馆 上汽集团-通用汽车馆 中国国家馆 宾馆
2×2×3=12
所以有 12+12=24 种走法
小结：回忆本节课所学习的内容，你都学到了什么？
类类相加 步步相乘
作业：自主学习丛书 P91 T13 （3）选作
通过练习，你能总结一下用计数原理解题的一般步骤吗？
都可以用来求完成一件事的方法种类
类类相加
步步相乘
完成任何其中的一步都
用任何一类中的任何一 不能完成该件事，只有
种方法都可以单独完成 当各个步骤都完成后，
这件事
才算完成这件事
巩固练习
1.填空： ①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方
法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1 人来完成这件工作，不同选法的种数是 9 . ②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2 条，从A村经B村去C村，不同的路线有 6 条.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
解：可分为两条线路，
第一类线路：
宾馆 中国国家馆 上汽集团-通用汽车馆 宾馆
3×2×2=12
第二类线路：
宾馆 上汽集团-通用汽车馆 中国国家馆 宾馆
2×2×3=12
所以有 12+12=24 种走法
小结：回忆本节课所学习的内容，你都学到了什么？
类类相加 步步相乘
作业：自主学习丛书 P91 T13 （3）选作
通过练习，你能总结一下用计数原理解题的一般步骤吗？
都可以用来求完成一件事的方法种类
类类相加
步步相乘
完成任何其中的一步都
用任何一类中的任何一 不能完成该件事，只有
种方法都可以单独完成 当各个步骤都完成后，
这件事
才算完成这件事
巩固练习
1.填空： ①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方
法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1 人来完成这件工作，不同选法的种数是 9 . ②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2 条，从A村经B村去C村，不同的路线有 6 条.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、分类计数原理1.定义与基本概念2.描述设A和B为两个集合，其中，A，表示集合A的元素个数，则分类计数原理可以表示为：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B3.应用举例例如，假设班有30个学生，其中20个学生喜欢音乐，25个学生喜欢摄影，而有10个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。
那么根据分类计数原理，班上至少有多少学生既喜欢音乐又喜欢摄影呢？根据分类计数原理的公式，我们可以得到：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B其中，A表示喜欢音乐的学生集合，B表示喜欢摄影的学生集合，A，表示喜欢音乐的学生人数，B，表示喜欢摄影的学生人数，A∩B，表示既喜欢音乐又喜欢摄影的学生人数。
带入已知条件，可以得到：A∪B，=20+25-10=35所以，至少有35个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。
1.定义与基本概念分步计数原理（Principle of Multiplication）是指当一个任务可以分解为若干个相互独立的步骤进行时，事件的总数等于各步骤个数的乘积。
2.描述分步计数原理是一种基于排列和组合的计数方法，用于计算在一个事件中各步骤个数的乘积。
具体的描述如下：设任务可分解为若干个步骤进行，其中第i个步骤有n(i)种可能的选择，且各个步骤之间的选择是相互独立的。
此时，该任务的总数为：N=n(1)*n(2)*...*n(k)其中，N表示任务的总数，n(i)表示第i个步骤的选择个数，k表示步骤的总数。
3.应用举例例如，班有30个学生，其中有10个男生和20个女生，另外还有3个学科竞赛：数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛。
如果每个竞赛只允许一位学生参加，并且每个学生只能参加一个竞赛，那么参加这三个竞赛的可能性有多少种呢？根据分步计数原理的公式，我们可以得到：N=n(1)*n(2)*n(3)其中，n(1)表示数学竞赛的参赛人数，n(2)表示物理竞赛的参赛人数，n(3)表示化学竞赛的参赛人数。
根据已知条件，数学竞赛只能有10个人参加，物理竞赛有30-10=20个人参加，化学竞赛有30-10-20=0个人参加（没有学生参加化学竞赛）。
第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)
主，难度将会变小．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
高二数学分类计数原理和分步计数原理课件 人教版
分类计数原理和分步计数原理
授课人:史显梅
分类计数原理和分步计数原理
• 问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽 车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天法？
3+2=5
变式：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞
机。一天中，火车有3班，汽车有2班，飞机有2班．那么一天中，乘坐 这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字， 每个拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理， 4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字的号码的个 数是 N=10 ×10 ×10 ×10=10000 答：可以组成10000个四位数字号码。
练习: 1．一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字 组成,其中前四位数字是统一的,后四位数字都是0到9之 间的一个数字,那么不同的电话号码最多有多少个? 答案:10 ×10 ×10 ×10=10000 2. ２．乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后 共有多少项? 答案: 3 ×4 ×5=60
N m1 m2 mn
• 种不同的方法．
思考:分类计数原理与分步计数原理有什么相同点和不同点 ？ 相同点： 分类计数原理与分步计数原理都是涉及到完成一件事 的不同方法的种数。
不同点：
分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立， 用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与 “分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成 了，这件事才算完成． 分类则加，分步则乘。
• 例３ 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名 分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
授课人:史显梅
分类计数原理和分步计数原理
• 问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽 车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天法？
3+2=5
变式：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞
机。一天中，火车有3班，汽车有2班，飞机有2班．那么一天中，乘坐 这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字， 每个拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理， 4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字的号码的个 数是 N=10 ×10 ×10 ×10=10000 答：可以组成10000个四位数字号码。
练习: 1．一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字 组成,其中前四位数字是统一的,后四位数字都是0到9之 间的一个数字,那么不同的电话号码最多有多少个? 答案:10 ×10 ×10 ×10=10000 2. ２．乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后 共有多少项? 答案: 3 ×4 ×5=60
N m1 m2 mn
• 种不同的方法．
思考:分类计数原理与分步计数原理有什么相同点和不同点 ？ 相同点： 分类计数原理与分步计数原理都是涉及到完成一件事 的不同方法的种数。
不同点：
分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立， 用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与 “分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成 了，这件事才算完成． 分类则加，分步则乘。
• 例３ 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名 分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是
;4
名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的
可能结果有
种.
四色定理是1852年由英国大学生古德里提出的，指的是“任
何一张地图最多只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同
的颜色”，是世界近代三大数学难题之一，直到1976年美国数学家
的方法.
推广 完成一件事，有n类不同方案.在第1类方案中有m1种不同的方
法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不
同的方法,则完成这件事共有 N= m1+ m2+ ……+ mn种不同的方法.
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的
方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
的方法.
1.各步相互依存, 每步都完成才算完成此事；
2.分步标准清楚 ；
3.可推广到n步.
例 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不同的水粉画.
(1)张伟从中任选一幅画布置教室，有几种不同的选法？
பைடு நூலகம்
分类
计数
相加
例 现有有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不同的水粉画.
(2)从这些国画、油画、水粉画中各选一幅布置教室，有几种不同
在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同
的方法.
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做
第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同
的方法.
高二上学期开学，张伟惊喜地发现，学校更换了食堂，“快
乐食间” 推 出两种套餐 ： Ａ套餐（西餐） （15元）有8种 配餐
;4
名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的
可能结果有
种.
四色定理是1852年由英国大学生古德里提出的，指的是“任
何一张地图最多只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同
的颜色”，是世界近代三大数学难题之一，直到1976年美国数学家
的方法.
推广 完成一件事，有n类不同方案.在第1类方案中有m1种不同的方
法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不
同的方法,则完成这件事共有 N= m1+ m2+ ……+ mn种不同的方法.
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的
方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
的方法.
1.各步相互依存, 每步都完成才算完成此事；
2.分步标准清楚 ；
3.可推广到n步.
例 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不同的水粉画.
(1)张伟从中任选一幅画布置教室，有几种不同的选法？
பைடு நூலகம்
分类
计数
相加
例 现有有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不同的水粉画.
(2)从这些国画、油画、水粉画中各选一幅布置教室，有几种不同
在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同
的方法.
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做
第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同
的方法.
高二上学期开学，张伟惊喜地发现，学校更换了食堂，“快
乐食间” 推 出两种套餐 ： Ａ套餐（西餐） （15元）有8种 配餐
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布置作业 必做题：第122页习题10.1 思考题：从大英到康定，要从大英先乘火车 或汽车到成都，再于次日从成都乘汽车到康 定，一天中从大英到成都火车有3班，汽车有 5班，从成都到康定汽车有2班，那么两天中 ，从大英到康定共有多少种不同的走法？
欢迎各位专家批评指正！
N= k1× k2×…× kn
创设情境
情境1 狼堡
（2种） （3种） 狼堡→羊村
情境2 羊村 狼堡 ④
③ （3种）
①（2种） ②
⑤ 狼堡→羊村→狼堡 （共3×2= 6种）
羊村
问 题 分 析：
（共3+2=5种）
1、情境1和情境2研究的都是什么问题？ 2、情境1和情境2灰太狼要完成的事情有什么不同？ 3、情境1和情境2在计算方法上有什么不同？
计数原理 1、分类计数原理
完成一件事，有n类方式
第1类方式有k1种方法
第2类方式有k2种方法
探究新知
完成一件事，有n个步骤
完成第1步有k1种方法 完成第2步有k2种方法 完成第n步有kn种方法 并且只有这n个步骤都完 成以后，这件事才完成， 那么完成这件事的方法共有
2、分步计数原理
……
……
第n类方式有kn种方法
N=15+18+10=43种 （2）根据分步计数原理： N=15×18×10=2700种
答：略
喜羊羊为羊族制定了一批会员卡，每张卡的卡号共 6位，均由0～9十个数字组成，问最多可制定多少张不 同的会员卡？
实践2
指导实践
问 题 剖 析：
1、完成一件什么事？ 制定6位数会员卡号 分步 2、分类还是分步？ 第1位 第2位 第3位 第4位 第5位 第6位
计数原理 两个计数原理的联系与区别：
分类（加法）计数原理
理解原理
分步（乘法）计数原理
联系
都是研究完成一件事情有多少种不同方法的问题
1）完成一件事情共有n类 1）完成一件事情共有n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
区别 2）每类办法相互独立 一步完成 2）每个步骤相互依存 多步完成
理解原理
实践2 喜羊羊为羊族制定了一批会员卡，每张卡的 卡号共6位，均由0～9十个数字组成，问最多可 制定多少张不同的会员卡？
实践1
指导实践
爱美的美羊羊去商店买衣服。商店里有15种不同上衣， 18种不同裙子,10种不同裤子。 （1）若只能买一件上衣或一件裙子或一件裤子，共有多少种 不同的选法？ （2）若可以买上衣、裙子、裤子各一件，共有多少种不同选 法？ 解： （1）根据分类计数原理：
探究1 探究2 探究3 对比两个计数原理，指出相同点与不同点
何时用分类或分步计数原理
用两个计数原理解决问题的思维步骤
实践1
指导实践
爱美的美羊羊去商店买衣服。商店里有15种不同上衣， 18种不同裙子,10种不同裤子。 （1）若若只能买一件上衣或一件裙子或一件裤子，共有多少 种不同的选法？ （2）若可以买上衣、裙子、裤子各一件，共有多少种不同选 法？
10种 10种 10种 10种 10种 10种 解：根据分步计数原理： N=10×10×10×10×10×10=1000000种
选择题
当堂检测
1、某学校一年级新生有两个班，一班有10个人会打乒乓球，二班有12个人会打 乒乓球，从两个班中选出1个人参加学校的乒球表演赛，共有（ D ）种不同选法 。 A.10 B.12 C.122 D.22 2、从甲组的40件产品与乙组的20件产品中，抽出1件进行质量检测，共有（ B ）种抽取方法。 A.20 B.60 C.40 D.800 3、从王华、张凤、李伟3个候选人中，选出2个人分别担任班长和团支部书记， 会有（ B ）种选举结果。 A.3 B.6 C.5 D.2 4、从分别写有1，2，3，… ，9，九张数字的卡片中，抽出一张数字为偶数的卡 片，共有（ D ）种不同的抽法。 A.3 B.5 C.9 D.4 5、由数字1，2，3，4可以组成（ C）个三位数 A.12 B.120 C.64 D.24
例2
初步应用
问 题 剖 析：
喜羊羊配一份套餐 配青草、配水果、配蘑菇汤 分步
第1步 第2步 第3步
5种 3种 2种
解：根据分步计数原理 ： N=5×3×2=30种 答：共有30种不同的配法。
理解原理
探究1 探究2 探究3 对比两个计数原理，指出理解决问题的思维步骤
灰太狼抓正在开运动会的羊
分类 解：根据分类计数原理： N=12+11+9+13=45种
答：共有45种不同的选择。
运动会结束了，小羊们来到食堂用餐，羊村食堂备有5种青草、 3种水果、2种蘑菇汤。喜羊羊要配成青草、水果和蘑菇汤各一样的 套餐，问可以有多少种不同的配法？ 1、完成一件什么事？ 2、如何完成？ 3、分类还是分步？
反思小结 计数原理 两个计数原理的联系与区别：
分类（加法）计数原理 分步（乘法）计数原理
联系
都是研究完成一件事情有多少种不同方法的问题
1）完成一件事情共有n类 1）完成一件事情共有n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
区别 2）每类办法相互独立 一步完成 2）每个步骤相互依存 多步完成
创设情境
情境1 狼堡
（2种） （3种） 狼堡→羊村
情境2 羊村 狼堡 ④
③ （3种）
①（2种） ②
⑤ 狼堡→羊村→狼堡 （共3×2= 6种）
羊村
问 题 分 析：
（共3+2=5种）
1、情境1和情境2研究的都是什么问题？ 2、情境1和情境2灰太狼要完成的事情有什么不同？ 3、情境1和情境2在计算方法上有什么不同？
两个计数原理
温 你准备好了吗？ 馨 导学案；红蓝双色笔 提 示 勇敢展示、大胆质疑
华容县职业中专
刘丹凤
情境1
创设情境
（2种）
（3种） 狼堡
（2种） ① ④ ⑤ （3种） ③ ②
情境2
羊村
共3+2=5种
狼堡
羊村
创设情境
（2种）
③ ④ ① ②
⑤ （3种） 狼堡
羊村
①③ ②③
①④ ②④
① ⑤ 共2×3= 6种 ②⑤
那么完成这件事的方法共有
N= k1+ k2+…+ kn
N= k1× k2×…× kn
灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会，有 12只羊在跳远、11只羊在跳高、9只羊在标枪比赛 、13只羊在铁饼比赛。灰太狼要从中抓一只羊，有 多少种不同的选择？ 例2 运动会结束了，小羊们来到食堂用餐，羊村食堂 备有5种青草、3种水果、2种蘑菇汤。懒羊羊要配成 青草、水果和蘑菇汤各一样的套餐，问可以有多少种 不同的配法？
计数原理 1、分类计数原理
完成一件事，有n类方式
第1类方式有k1种方法
第2类方式有k2种方法
探究新知
完成一件事，有n个步骤
完成第1步有k1种方法 完成第2步有k2种方法 完成第n步有kn种方法
2、分步计数原理
……
……
第n类方式有kn种方法
那么完成这件事的方法共有
N= k1+ k2+…+ kn
那么完成这件事的方法共有
例1
初步应用
灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会，有12只羊 在跳远、11只羊在跳高、9只羊在标枪比赛、13只羊在铁饼 比赛。灰太狼要从中抓一只羊，有多少种不同的选择？
例1
初步应用
问 题 剖 析：
1、完成一件什么事？ 2、如何完成？ 3、分类还是分步？ 第1 类 第2 类 第3类 第4 类 12种 11种 9种 13种