第三章 平面一般力系

第三章平面一般力系
教学目的及要求
1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。

2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。

3．能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。

4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。

5．理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。

§3-1 平面一般力系向作用面内一点简化
教学重点：1.平面一般力系如何向作用面内一点简化
2. 主矢与主矩的概念
教学难点：对力的平移定理的理解和应用
教学内容：
首先对什么是平面一般力系进行分析。

对于平面一般力系如何向其作用面内一点简化，从而引出力的平移定理。

1．力的平移定理
作用在刚体上的力可以向任意点平移，但必须附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原来的力对平移点（新作用点）的矩，它是一般力系向上点简化的依据。

2．基本概念
1) 合力矢：汇交力系一般地合成为一合力，合力的作用线通过汇交点，合力矢等于力系的主矢。

2）主矢：平面力系各力的矢量和，即
3．应用力的的平移定理将平面一般力系向作用面内一点简化
用图形来进行讲解力系向一点简化的方法和结果。

最终平面一般力系向一点简化可以得到两个简单的力系：平面汇交力系和平面力偶系。

应用前两章学过的内容，这两个简单的力系还可以进一步简化成一个主矢和对简化中心的主矩。

结论：平面一般力系向作用面内任选一点O简化，可得到一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O，这个力偶的矩等于该力
系对于点O的主矩。

注意：主矢与简化中心无关；而主矩与简化中心有关，必须指明对于哪一点的主矩。

4．固定端约束
它是平面一般力系向作用面内一点简化的一个典型应用。

可以将固定端支座的约束反力向作用平面内点A简化得到一个力和一力偶，这个力用两个未知分力来代替。

它限制了物体在平面内的转动，所以比铰支座多了一个给反力偶。

§3-2 平面一般力系简化结果与分析
教学重点：平面一般力系向作用面内一点简化的结果
教学难点：将一个力系向指定点简化的具体应用。

教学内容：
1．平面力系的简化步骤如下：
1)选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上）
2) 建立直角坐标系Oxy
3) 求主矢
4) 求主矩：逆正顺负，画在图中
5) 简化结果讨论
2．平面力系的简化结果
一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。

平面一般力系向作用面内一点简化结果，有四种情况：
1) 简化为一个力偶的情形：
力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零。

即：
F R′=0，M o≠0
2) 简化为一合力的情形
力系向点O简化的结果为主矩等于零，主矢不等于零。

即：
F R′≠0，M o=0
3)若F R′≠0，M o≠0
平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。

原力系合成为作用点为O′的力F R，合力作用线在点O的哪一侧，由主矢和
主矩方向确定。

4) 若F R′=0，M o=0
即平面一般力系处于平衡状态。

§3-3 平面一般力系平衡条件和平衡方程
教学重点：1.平面一般力系平衡的充分和必要条件及平衡方程
2. 物体及物体系平衡问题的解法。

教学难点：
1.利用特殊力系的特点画出某些约束反力，选择恰当的平衡方程求解未知量。

2. 物体系平衡问题中正确选取研究对象及平衡方程。

应用平衡条件和平衡方程求解单个物体和简单物体系统的平衡问题。

教学内容：
1．平衡充要条件
主矢为零（F R′=0）——作用于简化中心O点的平面汇交力系为平衡力系
主矩为零（M o=0）——附加力偶系为平衡力系
2．平衡条件的解析式表示（平面一般力系的平衡方程）：
；；
3．平衡方程的其它形式
1）三个平衡方程中有一个投影方程和两个力矩方程
；；
其中x轴不能与A，B两点连线垂直。

证明上述形式的平衡方程也能满足力系平衡的充分和必要条件。

2）三个均为力矩方程
；；
其中A、B、C三点不共线。

为什么必须有这个附加条件，请同学们课后自己证明。

4．平面力系平衡方程的应用
应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。

它是求解平衡问题的主要方法。

这种解题方法包含以下步骤：
1) 根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。

选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。

2) 对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平衡汇交定理、力偶等效定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。

3) 建立平衡方程式，求解未知量：为免去解的方程组相互联立，要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只含有一个（或较少）的未知量，以便求解。

下面应用平衡条件和平衡方程求解物体的平衡问题举例。

例1．已知：P , a,各杆重不计；
求：B 铰处约束反力。

§3-4 平面简单桁架的内力计算
教学重点：理解节点法，截面法求解平面静定桁架的内力
教学难点：掌握节点法，截面法求解平面静定桁架的内力
教学内容：
1．桁架
是由若干直杆在端点用铰连接而成的几何形状不变的结构。

若所有杆件都在同一平面内称其为平面桁架。

在工程中的桁架满足四点假设。

称其为理想桁架，这样桁架的各杆都可以称为两端受力作用的二力杆件。

2．求平面静定桁架各杆内力的两种方法。

1）节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。

2）截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截断为两部分，取其中的一部分
为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截断各杆件的内力。

例2：（利用节点法）已知：荷载与尺寸如图；求：每根杆所受力。

例3：（利用截面法）已知：P1,P2,P3尺寸如图。

求：1，2，3杆所受力。

教学建议
1. 对平面力系的简化方法及简化结果应阐述透彻。

特别指出：主矢和主矩是在对一个力系进行简化时，为了准确描述力系的特征而引入的重要概念。

主矢不是合力，合力有大小，方向与作用点三个要素，而主矢只具有大小和方向两个特征，力系的主矢与简化中心无关。

一般而言，主矩的大小、转向与简化中心的选取有关，但是在主矢为零的情况下，主矩与简化中心无关。

注意对不同的简化中心的简化结果表面上看互不相同，但它们互为等效力系。

2.对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象和平衡方程，应通过典型例题着重讲解，并引导学生进行归纳总结。

特别指出如下要点：
其一，求解物系的平衡问题的关键在于选取研究对象，它需要一定的分析判断能力，也需要经验的积累。

在选取研究对象时，有两种极端情况：（a）只选取整体为研究对象，在此要注意受力图中只画外力，不画内力，本质问题是由外力构成的力系平衡问题，因此，无法求解系统内力，且当未知数多于三个时，也无法求解全部未知量；(b)将系统中所有刚体相互隔离，取每个刚体单独作为研究对象，由于是静定问题，则全部内外反力借助全部的平衡方程均可解出，虽思路
简单，但由于求出多个不需求的未知力，使求解工作量增加，且过程繁琐。

因此，一般而言，应根据题目的具体要求，灵活选取研究对象，尽量以最少的研究对象求解系统的平衡问题。

其二：在开始求解平衡方程时，如果独立平衡方程式的个数少于未知量的个数，可能出现两种情况：(a)该问题是静不定问题；(b)该问题为刚体系统的平衡问题，需再次选择研究对象。

应注意的是，此种情形下，虽然不能依据这些平衡方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一个或两个未知量。

3．适当介绍有关结构分析软件，初步培养学生力学建模和解决复杂物系平衡问题的能力。

作业布置
教材：3-13-33-73-83-173-19。