18.2.1勾股定理的逆定理(公开课)

2.尺规作图
预习
（1）作∆ABC，且a=3cm,b=4cm,c=5cm
（2）作∆ABC，a=4cm,b=7.5cm,c=8.5cm
3.写出勾股定理的逆命题.
A
如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那
么这个三角形是A直角三角形
5cm 4cm B 3cm C
8.5c m
B 4c
7.5c m
C
交流探究
C.钝角三角形
D.等边三角形
3.一组勾股数的2倍一定还是勾股数吗？为
什么？三倍呢? n倍呢?
解:设任一组勾股数为a,b,c,且c为最大边 ∴a2+b2=c2
那么这组勾股数的n倍为：na,nb,nc 最大边是nc，(nc)2＝n2c2， (na)2+(nb)2＝n2a2+n2b2＝n2(a2+b2)=n2c2，
b2+c2＝∴∴(a1a22+2+xbb)2≠2=+cc(25，2，x)2＝169x2， ∴∴原原三三角角形形∴不是是a直2直+角b角三2=三角c角2形，形
∴ 原三角形是直角三角形
随堂练习
2. 三角形三边a，b，c满足条件：
(a+b)2－c2＝2ab，此三角形是（ B）
A.锐角三角形
B.直角三角形
（1）据说，几千年前的古埃及人就已知道，在一 根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子 将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4 个和第8个结处各钉上一个钉子，如图所示，这样 围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.你认 为结论正确吗？
（2）用尺规作△ABC，使a=3cm,b=4cm,c=5cm， ∠C是90°吗？（见预习2）
∴a2+b2=c2，
∴ 任一组勾股数的n倍仍然是勾股数
随堂练习 4.已知：如图,△ABC中，AB＝2 3 ， AC＝2，高AD＝ 3 ,求证:∠BAC＝90°.
23 23
随堂练习
5.如图.在正方形ABCD中,AB＝4, AE＝2， DF＝1，图中有几个直角三角形？你是 如何判断的？与同伴进行交流.
沪科版
18.2.1勾股定理的逆定理
主备人：肖婷婷
预习
1.①用文字叙述勾股定理 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
②用字母来表示勾股定理： 设∆ABC的两条直角边分别用a,b表示,斜边用c表示， 则∆ABC的三边有下列关系：
a2+b2＝c2
条件： 该三角形是直角三角形
结论： 直角边的平方和等于斜边的平方（a2+b2＝c2）
证明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2 ＝n4－2n2+1+4n2 ＝n4+2n2+1 ＝(n2+1)2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理).
随堂练习
1. 判断下列三边组成的三角形是不是
直角三角形，并说出理由。 （1）a＝2，b＝3，c＝4； （2）a＝ 2＋1，b＝ 2 －1，c＝ 6 ； （3）a∶b∶c＝13∶12∶5. 解解解：：：（（（12）3））∵∵设最最a大＝大边1边3是x是，cc＝b＝＝4，162，cx2，＝c2c＝1＝66，5，x ∵最大边a是2+ab＝2＝13(ax2+，2+ba12＝2)＝2+212(+63292x-＝21，)12＝3，6，
求证:△勾A股BC定是直理角逆三角定形.理A 的证明 A′
证明:画一个△A’B’C’,使
ac
a
∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b ∵ ∠ C’=900 ∴ A’B’2= a2+b2 ∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
∴ A’B’ =c
C b B C′ b B′
在△ ABC和△ A’B’C’中 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’ AB=c=A’B’
∴a2+b2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，最大边C所对角是直角.
（2）∵最大边是c＝11，c2＝121， a2+b2＝72+82＝113， ∴a2+b2≠c2
∴ △ABC不是直角三角形.
典例分析
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别 a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)， 求证： △ABC为直角三角形.
Байду номын сангаас
小结
1. 本节课你学习了哪些主要内容， 与同伴交流； （1）勾股定理的逆定理 （2）常见勾股数 （3）根据三边判断三角形的形状。
2.通过本节课的学习你有哪些收获和 经验？谈谈你的感悟.
下课啦
交流探究
想一想：为什么用下面三条线段围成的三角 形，就一定是直角三角形呢？你能说出理由 吗？
思考：在△ABC中，a=3cm,b=4cm,c=5cm， 这三条线段之间有何数量关系呢？
3 2+4 2＝52
a=4cm,b=7.5cm,c=8.5cm呢？
4 2+7.5 2＝8.5 2
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS）
∴ ∠ C= ∠ C’=90°
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
勾股定理的逆定理：
最长边 如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，
那么这个三角形是直角三角形
B 条件
结论
ac
数学语言：
Cb A
设在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC＝c，如果 a2+b2＝c2 ，
那么△ABC是 _直___角___ 三角形，且∠_C_ ＝90°.
典例分析
例1 根据下列三角形的三边a,b,c的值,判断△ABC是
不是直角三角形,如果是,指出哪条边所对的角是直角.
（1）a＝7，b＝24，c＝25； （2）a＝7，b＝8，c＝11； 解：像（7，1）24，∵2最5 这大样边，是能够c＝成为25直，角c三2＝角6形2三5， 条边长的三个正整数，a称2+为b勾2＝股7数2+．242＝625，