概率论与数理统计离散性讲义随机变量及其分布函数

离散型随机变量与概率分布

离散型随机变量与概率分布离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。

与之相对应的是连续型随机变量，后者可以取任意连续的值。

在概率论和数理统计中，离散型随机变量是一个重要的概念，它通常用于描述实验中可以明确计数的结果。

离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）描述了该变量取特定值的概率。

概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）或累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。

下面将介绍离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，并给出两个例子进行说明。

一、概率质量函数概率质量函数（PMF）是离散型随机变量取各个值的概率。

对于离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中x为该随机变量可能取的某个值。

概率质量函数需要满足以下两个条件：1. 非负性：对于所有可能的取值x，P(X=x) ≥ 0。

2. 概率的总和为1：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x) = 1。

通过概率质量函数，我们可以计算出随机变量X取某个特定值的概率。

例如，假设有一个公平的六面骰子，投掷一次，随机变量X代表出现的点数。

则该骰子的概率质量函数为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6二、累积分布函数累积分布函数（CDF）是离散型随机变量小于等于某个特定值的概率。

对于离散型随机变量X，其累积分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)，其中x为该随机变量的某个值。

累积分布函数也需要满足概率的基本要求。

通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量X小于等于某个特定值的概率。

以前述的六面骰子为例，该骰子的累积分布函数为：F(x) = P(X≤x)F(1) = 1/6F(2) = 2/6 = 1/3F(3) = 3/6 = 1/2F(4) = 4/6 = 2/3F(5) = 5/6F(6) = 1三、例子说明例子1：硬币投掷假设有一个公平的硬币，投掷一次，随机变量X代表正面朝上的次数。

《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)

则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数，原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义：设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布

15
例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？解每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)

i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击中的次数大于等于2的概率。解将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
14
(2) 二项分布设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如：掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～

概率论与数理统计课件：随机变量及其分布

随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)

概率论与数理统计-随机变量及其分布

解
直接对上式求导有
二、连续型随机变量函数的分布
81
例 18
解
二、连续型随机变量函数的分布
82
定理 1
定理 2
83
总结/summary
离散型随机变量：分布律
分二项分布、泊松分布、几何
随布分布
机变
函数
连续型随机变量：密度函数
量均匀分布、指数分布、正态
分布
随机变量函数的分布
84
谢谢观赏
46
47
目录/Contents
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
48
目录/Contents
2.3 常用的连续型随机变量
一、均匀分布二、指数分布三、正态分布
一、均匀分布
49
一、均匀分布
50
一、均匀分布
51
一、均匀分布
15
定义3
（1）非负性（2）规范性
三、离散型随机变量及其分布律
16
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
17
例2
求
三、离散型随机变量及其分布律
18
解
四、连续型随机变量及其密度函数
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
73
目录/Contents
2.4 随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布

概率论与数理统计3.2 离散型随机变量及其分布律

(2)每次试验中事件 A 发生的概率相等, P( A) p
且 0 p1
则称这样的试验为n重伯努利(Bernoulli)试验
定理 (伯努利定理) 设在一次试验中，事件 A
发生的概率为 p(0 p 1), 则在 n 重贝努利
试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P{ X

k}
C
k n
pk (1
解设X：该学生靠猜测能答对的题数
则 X ~ B 5, 1
4
P至少能答对4道题 P X 4
P X 4 P X 5

C
4 5

1 4
4

3 4

1 5
4

1 64
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。
称
pi P{ X xi } i 1,2,3,
为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律
表格形式
X x1 pi p1
x2 xn p2 pn

分布列的性质：
(1) pi 0 , k 1,2,
(2) pi 1
i
用这两条性质判断一个函数是否是分布律
解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,则X~B(400,0.02),
P{ X

k}
C
k 400
(0.02)
k
(0.98)400
k
(k

0,1,2,..., 400)
所求概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399

概率论与数理统计课件 2.2 离散型随机变量及其概率分布

放射性物质发出的粒子数；
例5 某急救中心在间隔 t 时间段中收到呼救的次数 X ~ P(t 2) 且与事件间隔的起点无关(时间以小时计)，试求： (1) 某天12：00~15：00之间没有收到呼救的概率； (2) 某天12：00~17：00之间至少收到1次呼救的概率.
解 (1) t 1512 3 X ~ P1.5
1、二项分布 X ~ B(n, p).
P( X k) Cnk pk qnk k 0,1, 2, , n 当 n 1 时，称 X 服从参数为 p 的两点分布或0-1分布，记为
X ~ B(1, p) ，其分布律为
0 1
X ~ 1 p
p

如掷一枚均匀的硬币一次，用 X 表示出现正面的次数，则
性质2
设随机变量
Xn
~
B(n,
pn
)
,
且
lim
n
npn

，其中
0 为常数，
则对任意的非负整数 k ，有
lim
n
P(
X
n

k)

lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk k e
k!
泊松(Poisson)定理
若 X ~ B(n, p) , 则当 n 比较大，而 p 又很小时，
~

x1 p1
x2 p2
xn

pn

y

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

o x1 x2
xn
x
例直1到一首盒次元取件出有的5是件合，格已品知为其止中，有求2件首是次合取格到品合，格从品中时逐所一取取次出数元件的测分试布，

概率论与数理统计讲义

概率论与数理统计讲义一、概率论1.1 引言概率论是研究随机现象的理论，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程技术等领域。

它通过量化随机事件发生的可能性，帮助我们理解事件之间的关系和规律。

1.2 随机变量与概率分布随机变量是描述随机事件的事物，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

概率分布则是描述随机变量取值的概率情况，包括离散型随机变量的概率质量函数和连续型随机变量的概率密度函数。

1.3 期望与方差期望是随机变量取值的平均值，用来描述随机变量的集中程度。

方差则是随机变量与其期望之间的差异程度，用来描述随机变量的离散程度。

1.4 概率分布函数的性质概率分布函数有许多重要的性质，包括非负性、归一性、单调性、可加性等。

这些性质能够帮助我们更好地理解随机事件的规律和特征。

二、数理统计2.1 统计学概述统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，通过对样本数据的研究，推断出总体的一些特征和规律。

统计学广泛应用于社会调查、市场研究以及科学实验等领域。

2.2 描述统计学描述统计学是对数据进行总结和描述的统计学方法。

它包括数据的集中趋势度量、离散程度度量以及数据分布特征等内容。

2.3 参数估计参数估计是根据样本数据推断总体参数的一种统计学方法。

点估计通过寻找最优参数估计量来描述总体参数的真实值，区间估计则给出了参数估计的置信区间。

2.4 假设检验假设检验是用来判断总体参数是否满足某种假设的统计学方法。

它将原假设和备择假设相比较，通过计算统计量的值来判断是否拒绝原假设。

2.5 方差分析与回归分析方差分析和回归分析是用来研究多个变量之间关系的统计学方法。

方差分析用于比较多个总体均值是否相等，而回归分析则用于建立变量之间的数学模型。

三、应用案例3.1 金融风险管理概率论与数理统计在金融风险管理中发挥着重要作用。

通过对金融市场的随机波动性进行建模和分析，可以帮助投资者制定更合理的投资策略，降低风险。

3.2 医学研究数理统计在医学研究中具有广泛的应用。

概率论与数理统计：离散型随机变量的分布函数

0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了k 次.
A A A A A A ,
k次
n k 次
A A A A A A A A
k 1 次
n k 1 次

n 得 A 在 n 次试验中发生k 次的方式共有种, k 且两两互不相容.
P{ X 0} 0.012 P{ X 1} 0.058
P{ X 4} 0.218 P{ X 5} 0.175 P{ X 6} 0.109 P{ X 8} 0.022 P{ X 9} 0.007
P{ X 10} 0.002
P{ X 2} 0.137
1 0.9999
1000
1000 0.0001 0.9999999 1
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2,, 而取各个值的概率为 k! 其中 0 是常数.则称 X 服从参数为的泊松分布, 记为 X ~ π( ).
泊松资料
将 E 独立地重复地进行n 次, 则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就
是 n重伯努利试验. (3) 二项概率公式
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
xk x

xk x
P( X x
k
)
xk x
p
k
pk P( X xk ) F ( xk ) F ( xk 1 )

概率论与数理统计离散性随机变量及其分布函数

求分布率一定要说并且解：X 的可能取值为 5，6，7，8，9，10．明 k 的取值范围！ 4 C k 1 PX k=—— k 5， 6，， 10. 5
C 10
具体写出，即可得 X 的分布律：
X P
5
1 252
6
5 252
7
15 252
8
35 252
9
70 252
10
126 252
.
"
其中p
他答对题数" m这个随机变量 ~ B(5,1 / n) n k n k pk P ( m k ) p ( 1 p ) , ( k 0,1, ,5) k 5 1 p3 p4 p5 3 4 4 4 4 4 5 4 0.10
概率分布的性质

pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
k 1

规范性
二、离散型随机变量的分布函数
F ( x) P( X x) P( ( X xk ))
xk x

xk x
P( X x
k
)
xk x
p
k
pk P( X xk ) F ( xk ) F ( xk 1 )
解:X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.
X=0
X =1
X =2
X =3
X =4
男女
X的概率函数是：
k k P{X k}C4 p (1 p)4k ,
X可取值0,1,2,3,4.
k 0,1,2,3,4
试求 PX 4．

概率论与数理统计-随机变量及其分布-随机变量与分布函数

7
01 随机变量
如何描述随机变量的统计规律呢？
无论是离散型随机变量，还是连续型随机变量以及其他类型的随机变量，都需要一种统一的描述工具.
对一个样本空间，当建立了随机变量后，我们感兴趣的随机变量落在某区间或等于某特定值的概率. 为此给出分布函数的概念.
8
本讲内容
01 随机变量 02 分布函数
02 分布函数定义设 X 为随机变量，x 是任意实数，称函数为 X 的分布函数.
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的
值就表示 X 落在区间
的概率.
10
02 分布函数
用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：
因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的分布函数
分布函数的性质
(1) F ( x ) 单调不减，即
(3) F ( x ) 右连续，即如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.
01 随机变量
随机变量 ( random variable ) 定义设 S 是试验E的样本空间, 若
按一定法则
ω.
X(ω)
R
4
01 随机变量
随机变量通常用
X,Y,Z或 , ,等表示
随机事件可以通过随机变量的关系式表达出来例如某人每天使用移动支付的次数——随机变量X {某天至少使用1次移动支付} {某天1次也没有使用}
12
02 分布函数
例解

概率论与数理统计随机变量与概率分布

概率论与数理统计随机变量与概率分布概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的学科，它研究的对象包括随机事件、随机变量和概率分布等。

随机变量是概率论中的重要概念，它描述了在一次试验中可能出现的各种结果，并给出了每种结果发生的概率。

而概率分布则是随机变量取值的可能性分布情况。

一、随机变量随机变量是一种用数学模型来表示随机现象的变化情况的变量。

它可以是离散型的，也可以是连续型的。

离散型随机变量的取值是有限个或可数个，其概率分布通过概率质量函数（probability mass function）来定义。

连续型随机变量的取值是无穷个，其概率分布通过概率密度函数（probability density function）来定义。

对于离散型随机变量，常见的概率分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

伯努利分布表示了只有两个可能结果的随机事件，如抛硬币的结果；二项分布表示了重复进行相同随机试验的结果，如抛硬币若干次后正面朝上的次数；泊松分布则表示了在一段时间内某事件发生的次数，如一天内发生车祸的次数。

而对于连续型随机变量，常见的概率分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。

均匀分布表示了在一段区间内各个取值的概率是相等的，如抛一个骰子得到的点数；正态分布则是最常见的概率分布之一，它呈钟形曲线，以均值和标准差来描述数据的分布情况；指数分布表示了某事件的发生间隔时间的概率分布，如等待公交车的时间。

二、概率分布概率分布描述了随机变量取不同值的概率。

对于离散型随机变量，概率分布通过概率质量函数来表示。

概率质量函数给出了每个取值的概率。

对于连续型随机变量，概率分布通过概率密度函数来表示。

概率密度函数给出了在某个取值附近的概率密度。

常见的概率分布函数有：二项分布的概率质量函数、正态分布的概率密度函数等。

以二项分布为例，它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n为试验次数，k为事件发生的次数，p为事件发生的概率。

2013第二章随机变量及其分布-3

( x)
f (t )dt ,
F ( x) f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x).
y 8 32 , 8 y 16, 得 Y =2X +8 的概率密度为 fY ( y ) 0, 其它.
例5 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 fY (y)
概率论与数理统计
周圣武
第二章随机变量及其分布
一、随机变量二、离散型随机变量及其分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量及其分布五、随机变量的函数的分布
第七节随机变量的函数的分布
一、离散型随机变量的函数的分布
二、连续型随机变量的函数的分布
本节的任务：已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X),
1 FY ( y ) P X ( y b) a 1 ( y b) FX a
1 1 f Y ( y ) f X ( y b) a a
当a < 0 时，
X 1 ( y b) FY ( y ) P a 1 ( y b) 1 FX a 1 1 f Y ( y ) f X ( y b) a a
2
ln y 4 , 1 y e ' fY ( y) FY ( y ) 8 y 0 , 其它
Ⅱ. 公式法（只适用于单调函数）
定理设⑴ 随机变量X具有概率密度 f X ( x)
（） y g ( x) 处处可导,且是严格单调函数 2
则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为
y = g(x)
y
x1
x2
x3
xn

第二节离散型随机变量及其分布1

概率论与数理统计
广
东
工
业
广
大学
东工业
主讲教师：
大学
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第二章随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
广东工业大学
上页下页返回
§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广东工业大学
上页下页返回
例医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以记反应为阳性的人数。（1）写出的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
广
(3)至少有2人反应呈阳性的概率是
东工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
上页下页
返回
学
若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利试验中，事件A发生的次数在k1与k2之间的概率是
下面求P{ξ=k}

概率论与数理统计(随机变量函数的分布)

117 108 102 108 ( ) ( ) 3 3
( 3) ( 2) ( 3) ( 2) 1
0.9987 0.9772 1 0.9759
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
也可以这样计算：
102 108 X 108 117 108 P{102 X 117} P 3 3 3 X 108 P { 2 3} ( 3) ( 2) 0.9759 3
函数 NORMDIST 返回累 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 函数值（即分布函数
值）；如果为FALSE，返回概率密度值．
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
实验步骤： (1)在单元格B2中输入计算P{X < 102}的公式：
= NORMDIST(102, 108, 3, TRUE)
(2) 在单元格B3中输入计算P{X < 117}的公式：
f X [h( y)][ h' ( y)], y , fY ( y) 0, 其它
综合以上两式，定理证毕．
2.4.2 连续型随机变量函数的分布
说明：
若 f X ( x )在有限区间(a,b)外等于零,当 x (a, b) 时，g ( x ) ( , ) 且在(a，b)上恒有g'(x) > 0 （或恒有g'(x)<0 ），则仍可按式(2.12)求得 Y = g(X)概率密度.
2) 当y > 0时，FY ( y) P{ y X y} ( y) ( y) 2 ( y) 1 则
fY ( y) F 'Y ( y) 2 ( y) 2 1
2

《概率论与数理统计》第四节随机变量函数的分布

y，
(ln
y)
1， y
故Y的概率密度为：
fY
(
y)
1 2y
,
1
y e2,
0, 其它.
求连续型随机变量函数分布律的方法：
(2) 设y g( x)在区间I（k k 1,2,, s)上严格单调，且反函数分别
为x
hk (
y)，则Y
g( X )的概率密度为： s
fY ( y) f X [hk ( y)] h'k ( y) .
P(Z 1) P( X 1) P( X 1) 0.2 0.1 0.3，
P(Z 4) P( X 2) 0.3，P(Z 9) P( X 3) 0.3，
因此Z的分布律为：
Z P
0 0.1
1 0.3
4 0.3
9 0.3
.
从例1看到，根据X的分布确定Y g( X )分布，只需用“事件相同，概率相等”的思想处理. 一般地有，
h'(
y)
,
y ，
其它.
其中 min{ g(), g()}， max{g(), g()}.
一、分布函数
1. 分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数 x，事件{X x}的
概率P( X x)称为随机变量X的分布函数，记作F( x)，即
F( x) P( X x).
2. 分布函数的性质：
P( X k) k e，k 0，1，2,， 0，则称X服从泊松分布，记k为! ：X～ ( ).
4. 几何分布: 若随机变量X所有可能取值为1, 2, , 且分布律为:
P( X k) pqk1, k 1, 2,, 0 p 1, q 1 p,
则称X服从几何分布，记为：X～G( p).

概率论与数理统计02 第二节离散型随机变量及其分布函数

第二节离散型随机变量及其分布律内容分布图示★ 离散型随机变量 ★ 例1 ★ 例2 ★ 关于分布律的说明 ★ 退化分布 ★ 两点分布 ★ 例3 ★ n 个点上的均匀分布 ★ 二项分布 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 几何分布 ★ 例7 ★ 超几何分布 ★ 泊松分布 ★ 例8 ★ 二项分布的泊松近似 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题2-2内容要点:一、离散型随机变量及其概率分布定义设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =i x i , 称,2,1,}{===i p x X P i i为X 的概率分布或分布律, 也称概率函数.常用表格形式来表示X 的概率分布:n i n p p p p x x x X 2121二、常用离散分布退化分布两点分布 n 个点上的均匀分布二项分布几何分布超几何分布泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.三、二项分布的泊松近似定理1 (泊松定理) 在n 重伯努利试验中, 事件A 在每次试验中发生的概率为n p (注意这与试验的次数n 有关), 如果∞→n 时, λ→n np (0>λ为常数), 则对任意给定的k , 有λλ-∞→=e k p n k b kn n !),,(lim .例题选讲：离散型随机变量及其概率分布例1 (讲义例1) 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X 的概率分布.解 X 可取0, 1, 2为值, 01.0)1.0)(1.0(}0{===X P 18.0)1.0)(9.0(2}1{===X P 81.0)9.0)(9.0(}2{===X P且1}2{}1{}0{==+=+=X P X P X P 于是, X 的概率分布可表示为 .81.018.001.0210i P X例2 设随机变量X 的概率分布为:0,,2,1,0,!}{>===λλ k k aK X P k.试确定常数a .解依据概率分布的性质：,1}{0}{⎪⎩⎪⎨⎧==≥=∑kk X P k X P 欲使上述函数为概率分布应有,0≥a,1!0==∑∞=k kae K a λλ 从中解得.λ-=e a注: 这里用到了常见的幂级数展开式.!0∑∞==k kK e λλ两点分布例3 (讲义例2) 200件产品中, 有96件是正品, 4件是次品, 今从中随机地抽取一件, 若规定,,0,1⎩⎨⎧=取到次品取到正品X 则}1{=X P 200196=,98.0= }0{=X P 2004=.02.0= 于是, X 服从参数为0.98的两点分布.二项分布例4 (讲义例3) 已知100个产品中有5个次品, 现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解因为这是有放回地取3次, 因此这3次试验的条件完全相同且独立, 它是伯努利试验, 依题意, 每次试验取到次品的概率为0.05. 设X 为所取的3个中的次品数, 则),05.0,3(~b X于是, 所求概率为: .007125.0)95.0()05.0(}2{223===C X P 注: 若将本例中的 “有放回” 改为 “无放回”, 那么各次试验条件就不同了, 已不是伯努利概型, 此时, 只能用古典概型求解..00618.0}2{310025195≈==C C C X P例5 (讲义例4) 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率.解将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数为X , 则).02.0,400(~b XX 的分布律为,)98.0()02.0(400}{400kk k k X P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== .400,,1,0 =k 于是所求概率为}1{}0{1}2{=-=-=≥X P X P X P 399400)98.0)(02.0(400)98.0(1--=.9972.0=例6 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由4人维护, 每人负责20台; 其二是由3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法. 以X 记 “第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”, 以)4,3,2,1(=i A i 表示 “第i 人维护的20台中发生故障不能及时维修”, 则知80台中发生故障不能及时维修的概率为}.2{)()(14321≥=≥X P A P A A A A P而),01.0,20(~b X 故有 ∑==-=≥1}{1}2{k k X P X P k k k k -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2010)99.0()01.0(201.0169.0= 即.0169.0)(4321≥A A A A P按第二种方法. 以Y 记80台中同一时刻发生故障的台数. 此时),01.0,80(~b Y 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为0087.0)99.0()01.0(801}4{8030=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≥-=∑kk k k Y P 结果表明, 在后一种情况尽管任务重了(每人平均维护约27台), 但工作效率不仅没有降低, 反而提高了.几何分布例7 某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是p , 求所需射击发数X 的概率分布.解显然, X 可能取的值是,,2,1 为计算},{k X P =,,2,1 =k 设=k A {第k 发命中},,,2,1 =k 则,)(}1{1p A P X P ===,)1()(}2{21p p A A P X P ⋅-===,)1()(}3{2321p p A A A P X P ⋅-===…………可见所求需射击发数X 的概率分布为,)1(}{1p p k X P k ⋅-==-.,2,1 =k泊松分布例8 (讲义例5) 某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.解由概率的性质, 得}3{1}3{<-=≥X P X P }2{}1{}0{1=-=-=-=X P X P X P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-!28.0!18.0!08.012108.0e.0474.0≈二项分布的泊松近似例9 (讲义例6) 某公司生产的一种产品300件. 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?解把每件产品的检验看作一次伯努利试验, 它有两个结果: =A {正品},=A {废品}.检验300件产品就是作300次独立的伯努利试验. 用X 表示检验出的废品数, 则),01.0,300(~b X我们要计算}.5{>X P对,01.0,300==p n 有,3==np λ 于是, 得∑∞==>6)01.0,300;(}5{k k b X P ∑=-=50)01.0,300;(1k k b .!3135-=∑-≈e k k k查泊松分布表, 得.08.0916082.01}5{=-≈>X P例10 (讲义例7) 一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数5=λ的泊松分布来描述, 为了以95%以上的把握保证不脱销, 问商店在月底至少应进某种商品多少件?解设该商品每月的销售数为,X 已知X 服从参数5=λ的泊松分布. 设商店在月底应进该种商品m 件, 求满足95.0}{>≤m X P 的最小的,m 即95.0!505>∑=-mk kk e 查泊松分布表, 得,968172.0!595≈∑=-k kk e 931906.0!585≈∑=-k kk e 于是得9=m 件.例11 自1875年至1955年中的某63年间, 上海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次, 试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.解每年夏季共有)3031313031(153++++==n 天, 每次暴雨发生以1天计算, 则夏季每天发生暴雨的概率).15363/(180⨯=p将暴雨发生看做稀有事件, 利用泊松分布来建立上海市一个夏季暴雨发生),2,1,0( =k k 次的概率分布模型.设X 表示夏季发生暴雨的次数, 由于,9.215363180153=⨯⨯==np λ 故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为,!9.2}{9.2-==e k k X P k .,2,1,0 =k由上述X 的概率分布计算63年中上海市夏季发生k 次暴雨的理论年数},{63k X P = 并将它与资料记载的实际年数作对照, 这些值及}{k X P =的值均列入下表.由上表可见, 按建立的概率分布模型计算的理论年数与实际年数总的来看符合得较好,这表明所建立的模型能近似描述上海市夏季暴雨发生次数的概率分布.课堂练习1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2, 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求X 的概率分布.。

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概率论与数理统计之随机变量函数的分布知识点总结
离散型随机变量的函数分布：
离散型随机变量函数的分布
求连续型随机变量的函数分布的方法：
（1）公式法
利用公式法求解连续型随机变量的函数分布
（2）定义法
利用定义法求连续型随机变量函数的分布
题型一：证明随机变量函数的服从某一分布
例1：假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：随机变量Y=1-e^(-2X)在区间(0,1）上服从均匀分布。

证明：由题意得，随机变量X的分布函数为：
题型二：求随机变量函数的密度函数
例2：已知随机变量X的概率密度为f(x)=(1/2)exp(-|x|），x为全体实数，求Y=X^2的概率密度。

解题思路：本题利用定义法求解。

解：
总结：需要掌握利用定义法求随机变量函数的分布函数，这是考研中常考的题型。

随机变量,概率密度,分布函数理解

随机变量,概率密度,分布函数理解随机变量是概率论与数理统计的重要概念之一。

它表示一个随机试验结果的数值化描述，可以是一个实数或者是一组实数。

随机变量与概率密度和分布函数密切相关，理解这些概念对于研究概率与统计学非常重要。

首先，让我们来了解随机变量的概念。

随机变量是指一个随机试验的结果可以用某个数值进行描述的量。

每个随机试验结果都对应着一个数值，在数学上可以用大写字母（如X）来表示随机变量。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

离散随机变量是只能取某些特定数值的变量。

例如，抛硬币的结果可以用一个离散随机变量表示，他可以取两个值：正面和反面。

离散随机变量通常用概率质量函数来描述。

概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）是一个函数，可以计算出随机变量取某个特定值的概率。

概率质量函数的定义如下：P(X = x) = P(x)其中，P(X = x)表示随机变量X取值为x的概率。

连续随机变量是可以取任意实数范围内的值的变量。

例如，一场考试的得分可以用一个连续随机变量来描述，他可以取0到100之间的任意实数值。

连续随机变量通常用概率密度函数来描述。

概率密度函数（Probability Density Function， PDF）是一个函数，用于计算随机变量落在某个区间内的概率密度。

概率密度函数的定义如下：f(x) = P(a≤X≤b) / (b-a)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，a和b表示区间。

分布函数是描述随机变量可取不同值的累积概率的函数。

离散随机变量和连续随机变量的分布函数有所不同。

对于离散随机变量，分布函数（Distribution Function， DF）是一个函数，描述随机变量小于等于某个值的概率。

分布函数的定义如下：F(x) = P(X ≤ x)其中，F(x)表示随机变量X的分布函数。

对于连续随机变量，分布函数也称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function， CDF）。

概率论与数理统计随机变量及其分布函数课件

离散型随机变量的定义与性质
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在一定范围内取有限个值的随机变量，通常用X表示。
离散型随机变量的性质
离散型随机变量具有可数性、可加性和可逆性等性质。
常见的离散型随机变量及其分布函数
二项分布
如果一个随机试验只有两种可能的结果，并且这两种结果发生的概率是已知的，那么这种随机试验的结果就是一个二项随机变量。其分布函数为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n是试验次数，k是成功的次数，p是成功的概率。
PART 03
连续型随机变量及其分布函数
连续型随机变量的定义与性质
连续型随机变量的定义
如果一个随机变量X的所有可能取值是实数轴上的一个区间或几个互不相交的区间，则称X为连续型随机变量。
VS
连续型随机变量的性质
连续型随机变量具有连续性、可加性、可数性和独立性等性质。
常见的连续型随机变量及其分布函数
PART 04
随机变量的函数及其分布
随机变量的函数的定义与性质
定义
随机变量的函数是指对随机变量进行某种运算后得到的新随机变量。
性质
随机变量的函数具有一些重要的性质，如线性性质、单调性、可逆性等，这些性质在概
率论与数理统计中有着广泛的应用。
随机变量的函数的期望与方差
要点一
期望
要点二
方差
随机变量的函数的期望是指该函数取值的平均值，计算公式为E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx（X为随机变量，f(x)为概率密度函数）。
性质
分布函数具有非负性、规范性（即F(x)>=0,且F(+∞)=1）、单调不减性（即对于任意x1<x2，有F(x1)<=F(x2)）。