欧几里得空间习题解答

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欧几里得空间

第九章-欧几里得空间

复习题

一、判断题

1、欧氏空间中两两正交的向量组是线性无关的.

2、欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.

3、两个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵.

4、n 维欧氏空间n R 的恒等变换，既是正交变换，也是对称变换.

5、有限维欧氏空间不同的基的度量矩阵是合同的.

6、欧氏空间中保持向量长度不变的变换必是正交变换.

7、任意一个(1)n n ≥维欧氏空间都存在标准正交基.

8、n 维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵必是正交矩阵.

9、设V 为欧氏空间，βαβα⊥∈,,V ，则222βαβα+=+.

10、设V 为有限维欧氏空间，是V 上对称线性变换，

1V 为的不变子空间，则⊥1V 也为

的不变子空间.

11、设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个正交子空间，则{}021=V V .

12、实对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.

13.欧氏空间是定义了内积的线性空间.

14.若实对称矩阵A 的特征值全不等于零，则A 必正定.

15.若A 是实对称矩阵，则必存在正交矩阵P ，使B =P -1AP =P T AP 为以A 的特征值

为对角元的对角矩阵.

16.n 阶矩阵A 是正交矩阵的充要条件是||=1A .

17.欧氏空间中的正交变换是保持向量内积不变的线性变换.

18.与任意向量都正交的向量不一定是零向量.

19.同构的两个欧氏空间具有相同的维数.

20.对n 维欧氏空间V 中任意两个向量α，β，必有|(α,β)|≤|α|⋅|β|.

21.任一n 维欧氏空间V 与R n 同构.

22.n 维欧氏空间V 中一定存在某组基的度量矩阵是非正定的.

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】

第9章欧几里得空间

9.1复习笔记

一、定义与基本性质

1．欧几里得空间定义

设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：

（1）（α，β）＝（β，α）；

（2）（kα，β）＝k（α，β）；

（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；

（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.

这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．

2．长度

（1）定义

非负实数称为向量α的长度，记为|α|．

（2）关于长度的性质

①零向量的长度是零，

②|kα|＝|k||α|，

③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1

就是一个单位向量，通常称此为

把α单位化．

3．向量的夹角

（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有

|（α，β）|≤|α||β|

当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．

（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为

（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．

零向量才与自己正交．

（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．

4．有限维空间的讨论

（1）度量矩阵

设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得

a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），

显然a ij＝a ji，于是

利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，

欧几里得空间练习题

一、填空题

1. 与任何向量都正交。

2. 设A 、B 均为正交矩阵，则1AB -= 。

3. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基，且1234236αεεεε=+++，则

α= 。

4. 设A 、B 均为3阶正交矩阵，则12AB -= 。

5. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基，且123423αεεεε=+++，则

α= 。

6. 若1234,,,εεεε为欧氏空间V 的一组标准正交基，且1234234αεεεε=+++，则

α= 。

7. 设欧氏空间的正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵是U ，则U = 。

8. 两个欧氏空间同构的充要条件是它们有。

1. 设,στ是欧氏空间V 的两个正交变换，则（）。

A.στ+ 也是正交变换

B.στ也是正交变换

C.任意,k R k σ∈也是正交变换

D.στ-也是正交变换

2. 设V 是n 维欧氏空间，那么V 中的元素具有如下性质（）。

A ．若()()γβγαβα=⇒=,,

B ．若βαβα=⇒=

C ．若()11,=⇒=ααα D. 若()βα,>βα=

⇒0 3. 关于欧氏空间与线性空间的关系，下列说法错误的是（）。

A . 欧氏空间是特殊的线性空间

B .如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间

C . 如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间

D . 线性空间比欧氏空间范围大

4. 设V 是n 维欧氏空间，W 是V 的子空间，则W 的正交补的维数等于（）。

A . dim W

B . n -dim W

C . n -2dim W

欧氏空间

第八章欧式空间

基础训练题

1. 证明，在一个欧氏空间里，对任意的向量α，β，以下等式成立： (1) 222222βαβαβα＋＝－＋＋；

(2) 〈α，β 〉＝2

24141βαβα－－＋.

[提示：根据向量内积的定义及向量模的定义易证.]

2. 在欧氏空间R 4中，求一个单位向量与 α1＝(1, 1, 0, 0)，α2＝(1, 1, －1, －1)，α3＝(1, －1, 1, －1)

都正交.

解:ε=⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,21,21,21－－.

3. 设a 1, a 2, …, a n 是n 个实数，证明: )(222211n n i i a a a n a ＋＋＋ ≤

∑=.

证明: 令α=(1,1, …,1), β=(|a 1|,|a 2|,…, |a n |)

〈α , β〉=∑=n

i i a 1≤|α|·|β |=)(2

2221n a a a n +++ . 4. 试证，欧氏空间中两个向量α, β正交的充分必要条件是：对任意的实数t ，都有

|α＋t β| ≥ |α|.

证明: 〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+2t 〈α , β〉+t 2〈β , β〉

必要性: 设α与β正交, 对任意的实数t ,则

〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+t 2〈β , β〉≥〈α , α〉

所以 |α＋t β| ≥ |α|.

充分性: 当β=0时,结论成立.

当β≠0时,取t 0=2,ββα〉

〈-,则

〈α +t 0β,α +t 0β〉=〈α , α〉22

,ββα〉〈-. 由已知

〈α +t 0β,α +t 0β〉≥〈α , α〉

习题解答第九章欧氏空间(定稿)

○2
证 (1)因为(,) ( , ),所以 ( , )=(,) (, ) ( ,) ( , ) (,) ( , ) (, ) ( ,) 0
几何解释：表示菱形两对角线互相垂直.
(2)由已知有S { V | (, ) 0， S}. 可证S 是V的子空间，且V =S S .
，则称与 W 正交，记为 W .
定义 10 设W1,W2 是欧氏空间 V 的子空间，如果对W1 中的任意一个向量，都有 W2 ，则称W1 与W2 正交，记为W1 W2 .
定义 11 设 W 和 U 是欧氏空间 V 的子空间，如果W U 且V W U ,则称 U 是 W 的正交补,记U W .
则称欧氏空间 V 与 W 同构，并称为由 V 到 W 的同构映射. 定理 5 有限维欧氏空间 V 与 W 同构的充要条件是 dim(V ) dim(W ) .
4. 正交变换定义 9 设 T 是欧氏空间 V 上的一个线性变换，如果对于任意的, V
（T，T ）（，）
则称 T 为正交变换. 定理 6 设 T 是 n 维欧氏空间 V 上的线性变换，则下列结论是等价的：
此即证(x, y)是V的内积，从而V是R的一个欧式空间。
3.在欧式空间V中 (1)若向量, 等长，证明： +与 -正交，作出几何解释； (2)设V是n维的，S是V的子空间，ST 是V中的一切与S正交的向量所成集合，证明： ST 是V的子空间，且

欧几里得空间

第九章欧几里得空间

习题解答

1、设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,

,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=.

在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A . 1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,

,0)ε=，2(0,1,

,0)ε=，

，(0,0,

,1)n ε=的度量矩阵；

3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。

解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。

1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；

2 ''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；

3 '''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A

4 ',(,)ij i j i j

a x x αααα==∑A .

由于A 是正定矩阵，所以,ij i j i j

a x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当

0α=时，(,)0αα=。由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。

2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么

1()

0(,)(0

0)(,1,2,

,)10n ij i j ij i n nn a a b a i j n a a εε⎡⎤

⎢⎥

⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，

此即 =B A .

3）,(,)ij i j i j

a x x αβ=∑

，α==

β==

第九章欧氏空间综合练习题解答

第九章欧氏空间(综合练习)

一、选择题

1. 设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ不是正交变换的充分必要条件是（Ａ） A. σ保持非零向量的夹角； B. σ保持内积；

C. σ保持向量的长度；

D. σ把标准正交基映射为标准正交基． 2.下列命题正确的是（ C ） .

A. 线性变换保持向量长度不变；

B. 对称变换保持向量的内积不变；

C.正交变换保持向量夹角不变；

D.线性变换保持向量的线性无关性. 3．欧氏空间3R 中的标准正交基是（ A ）．

A. ();;

0,1,0； B. ()1111,,0;,;0,0,12222⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

C. ();;

0,0,0； D. ()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---.

4.欧氏空间中不同基下的度量矩阵是（Ａ）．

A ．合同的；

B ．相似的；

C ．相等的；

D ．正交的. 5. n 维欧氏空间V 中，下列命题不成立的是（ C ）． A ． V ∈βα,,若α⊥,则2

βαβ

α+=+；

B ．V ∈βα,，若βα与线性相关，则

)(,2

ββααβα，），（）（=； C ．若()()γβγαβα=⇒=,,； D ．若V ∈∀β，都有()0,=βα，则0=α． 6. A 是n 级正交矩阵，则下列结论错误的是（ D ）．

A. 11-=或A ；

B. A A '=-1；

C.A 的列向量组是n R 的一个标准正交组；

D.A 的特征值必为实数. 7．在3R 中,与向量()()1,2,1,1,1,121==a a 都正交的单位向量为（ C ）．

A ． ()1,0,1；

应用多元统计分析习题解答_朱建平_第四章

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第四章判别分析

4.1 简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。

答：设p维欧几里得空间中的两点X=和

Y=。则欧几里得距离为

。欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。②会受到实际问题中量纲的影响。

设X,Y是来自均值向量为，协方差为

的总体G中的p维样本。则马氏距离为D(X,Y)=

。当

即单位阵时，

D(X,Y)==即欧几里得距离。

因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。

4.2 试述判别分析的实质。

答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设R1，R2，…，Rk 是p 维空

间R p 的k 个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为，则称为的一

个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p 维空间构造一个“划

分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。

4.3 简述距离判别法的基本思想和方法。

答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。 ①两个总体的距离判别问题

设有协方差矩阵∑相等的两个总体G 1和G 2，其均值分别是μ1和μ 2，对于一个新的样品X ，要判断它来自哪个总体。计算新样品X 到两个总体的马氏距离D 2

（X ，G 1）和D 2

（X ，G 2），则

，D 2（X ，G 1）D 2（X ，G 2）

欧几里得空间习题

欧几里得空间
1.设 A (aij ) 是一个 n 阶正定矩阵，而 ( x1 , x2 , , xn ), ( y1 , y2 , , yn ), 在 R n 中定义内积 ( , ) 为 ( , ) A .
1) 证明：在这个定义之下 R n 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0,0, ,1) 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布涅科夫斯基不等式.
解：1) (a )( , ) A A ( , ) (b )(k , ) ( k ) A k (A ) k ( , ) (c )( , ) ( ) A A A ( , ) ( , )
2）由于 0 是线性无关的，
将它扩充为 V 的一组正交基 ,2 ,3 ,,n .
这时，因为
(i , ) 0(i 2,3,, n) 所以 i V1 (i 2,3,, n)
对任意 V1 , 有 k1 k22 knn
0 ( , ) k1 ( , ) k2 (2 , ) kn (n , ) k1 ( , )
a11 aij 0(i j). 故 A 于是为对角阵， ann
又由 AA E
aii 2 1, 得

欧几里得空间习题解答

第九章

欧几里得空间习题解答

P394.1.1

(,)'0(""0)

')'''(,)

A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=⇔====正定非负性证得由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积

(

P394.1.2

,(0

6);19,,P394.1.2

|(,)|||||(,)|i i

i j n n

ij i j

i j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

∴≤=∴--≤∑∑∑∑的度量矩阵即为A

不等式为|()

393.2P ①, α=(2,1,3,2), β

=(1,2,-2,1)

|||,)0,,2

αβαβαβπ

αβ∴====∴⊥∴=

〈〉

393.2P ②, α=(1,2,2,3), β

=(3,1,5,1)

|||6,(,)18

(,)(,)arc cos ||||4arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====

393.2P ③, α=(1,1,1,2), β

=(3,1,-1,0)

||||(,)3

,arc 700'30''38

αβαβαβ===∴==︒〈〉

P393. 3

||||||αβαβ+≤+

(,)|||()()||||

(,)(,)

d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =

P393.4在4

R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交

解设所求

2123412341234123

欧氏空间练习题与测试题

第九章欧氏空间练习题与测试题

一、填空题

1．设V 是一个欧氏空间，V ξ∈，若对任意V η∈都有(,)0ξη=，则ξ＝_________．

2．在欧氏空间3

R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝____ _____，α＝_________．

3．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,

,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，

那么(,)i ξη＝_________，ξ＝_________．

4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．

5．已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________．二、判断题

1．在实线性空间2R 中，对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==，定义1122(,)(1)x y x y αβ=++，那么2R 构成欧氏空间。( )

2．在n 维实线性空间n R 中，对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==，定义11(,)a b αβ=，则n R 构成欧氏空间。 ( )

3．12,,,n εεε是n 维欧氏空间V 的一组基，1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标，则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++。( ) 4．对于欧氏空间V 中任意向量η，1

η是V 中一个单位向量。( )

5．12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。( )

第九章欧氏空间习题

一、填空题

1．设V 是一个欧氏空间，V ξ∈，若对任意V η∈，都有(,)0ξη=，则______ξ=。

2．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,

,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，

那么(,)____i ξη=，||____ξ=。 3．若33()ij A a ⨯=是一个正交矩阵，则方程组111122133121122223323113223333

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解

为。

4.已知三维欧式空间V 中有一组基123(,,)a a a ，其度量矩阵为110120003A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

，则向量12323βααα=+-的长度为。

5.设2中的内积为(,)'A αβαβ=，2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

则在此内积之下的度量矩阵为。

6．设1(0,1,1)α=-，2(2,1,2)α=-，12k βαα=+，若β与2α正交，则k = 。

7．若欧氏空间V 在某组基下的度量矩阵为200031011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，某向量在此组基下的坐标为(1,1,1),则它的长度为，在此基下向量(1,1,1)与向量(1,1,1)-的夹角为。

8．在欧氏空间中，若,αβ线性相关，且2,3αβ==，则(,)αβ 。

9．11010002A k k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

是度量阵，则k 必须满足条件______________。 10．线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是。

数学分析23.1n维欧氏空间与向量函数(含习题及参考答案)

第二十三章向量函数微分学

1 n 维欧氏空间与向量函数

一、n 维欧氏空间

概念：所有n 个有序实数组(x 1,x 2,…,x n )的全体称为n 维欧氏空间，或简称n 维空间，其中每个有序实数组称为n 维空间中的一个向量(或

一个点)，记作：x=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n x x x 21 (1). 约定向量总是指列向量，如(1)式；记号x T 表示向量的转置，即x T 表示行向量.

向量x 中的数x 1,x 2,…,x n 是这个向量(或点)的n 个分量(或坐标).

运算：设x=(x 1,x 2,…,x n )T 与y=(y 1,y 2,…,y n )T 是n 维空间中任意两个向量，α为任意实数，则：

1、向量x 与y 之和为：x+y=(x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )T ；

2、数量α与向量x 的数乘积为：αx=(αx 1,αx 2,…,αx n )T ；

3、向量x 与y 的内积定义为：x T y=x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ；内积的性质：

(1)x T x ≥0, 当且仅当x=0时，x T x=0；

(2)x T y=y T x ；

(3)α(x T y)=(αx)T y=x T (αy), α为实数；

(4)(x+y)T z=x T z+y T z.

定义了内积的n 维空间叫做n 维欧几里得空间(简称n 维欧氏空间)，记作R n .

4、利用内积定义向量x ∈R n 的模为：x =x x T =∑=n

i i x 12. 模的性质： (1)x ≥0, 当且仅当x=0时，x =0； (2)x α=|α|x , α为实数； (3)y x +≤x +y (三角形不等式)； (4)y x T ≤y x

线性代数习题集第七章

第七章欧⼏⾥得空间

I. 单项选择题

1. 欧式空间V 内的s 个⾮零向量12,,

,s ααα，如果两两正交，则（）

⑴线性相关⑵线性⽆关⑶互相可以线性表⽰⑷两两夹⾓为零

2. 给定两个向量1123a α?? ? ?= ?- ?-??，23241α-?? ? ?= ? ???

，且内积12,1αα=-，则a 为（）⑴23- ⑵34- ⑶14- ⑷12

3. n 维欧式空间V 的线性变换σ是可逆的对称变换当且仅当σ关于V 的任意⼀组标准正

交基的矩阵是（）

⑴可逆变换⑵对称变换⑶正交变换⑷可逆的对称变换 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵是（）

⑴初等矩阵⑵正定矩阵⑶正交矩阵⑷实对称矩阵 5. 设A 为n 阶对称矩阵，若1

A -存在，则1

A -是（）

⑴正交矩阵⑵正定矩阵⑶对称矩阵⑷反对称矩阵 6. 下列有关正交变换的命题中，正确的是（）⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换

⑵保持任意两个⾮零向量夹⾓不变的线性变换是正交变换⑶正交变换是对称变换

⑷正交变换在任意⼀组基下的矩阵是正交矩阵

7. 在欧式空间V 中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（）

⑴正定矩阵⑵对称矩阵⑶正交矩阵⑷转置矩阵 8. 实上三⾓矩阵为正交矩阵时，必为对⾓矩阵，其对⾓线上的元素为（）

⑴1 ⑵-1 ⑶0 ⑷±1 9. 欧式空间中线性变换σ是正交变换的充要条件是（）

⑴σ为对称变换⑵σ保持向量的长度不变⑶σ保持向量间的夹⾓不变⑷保持向量间的正交关系不变 10. n 阶实矩阵T 是正交矩阵当且仅当T 的⾏向量组是（）

⑴正交组⑵标准正交组⑶线性⽆关组⑷单位向量组 11. 正交矩阵的实特征值只能是（）

第九章欧几里得空间

习题解答

1、设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x α= ，12(,,,)n y y y β= .

在n R 中定义内积(,)αβ为'

(,)

αβαβ

=A .

1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1

(1,0,,0)

ε= ，2

(0,1,,0)

ε= ，，(0,0,,1)

ε= 的度量矩阵；

3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。解 1）只要证明按定义'

(,)

αβαβ

=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是

一个内积就可以了。 1 ''''

(,)()(,)

αβαβαββαβα====A A A ；

(,)()()(,)

k k k k αβαβαβαβ===A A ；

(,)()(,)(,)

αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A

,(,)

ij i j

i j

a x x αααα==

∑

A .

由于A 是正定矩阵，所以,ij i j

i j

a x x ∑

是正定二次型，从而(,)0

αα≥

，并且仅当

α=时，(,)

αα=。由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。

2）设单位向量的度量矩阵为()

ij b =B .那么

1()

0(,)(010)(,1,2,,)10n ij

i j ij i n n n a a b a i j n a a εε⎡⎤

⎢⎥⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，

此即

=B A

3）,(,)ij i j

i j

a x x αβ=∑

，α

，

故柯西-布涅柯夫斯基不等式为

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(名校考研真题欧几里得空间)

第9章　欧几里得空间

一、分析计算题

1．设B 是实数域上n×n 矩阵，

，对任一大于0

的常数n ，证明

定义了

的一个内积，使得

成为欧氏空间．其中

表示列向量的

转置，E

表示

单位矩阵．[

浙江大学研]

证明：（1

）

（2

）

（3）

（4）

由于，所以由上可知，

定义了

上的一个内积，从而

成为欧氏空间．

2．设n 维欧氏空间的两个线性变换在V 的基下的矩阵分别是A 和

B ，证明：，都有

，则存在正定矩阵P ，使

[武汉大

学研]

证明：由题设

任给

，令

则

同理令基的度量矩阵为

，则

同理因

，故

考虑的任意性，并结合与均为对称矩阵知

3．设是n 维欧氏空间V 子空间，且的维数小于的维数，证明必有一个非

零向量正交于中一切向量．[

浙江大学研

]

证：证法1：由于恰由一切与正交的向量组成，所以只要证明

即可．

事实上，如

，则

为直和．

所以

又所以所以所以

矛盾．

证法2：（1）当时，结论显然成立．（2）设

，取的基

的基

令

因为

等价于

（1）

而方程组（1）的方程个数未知量个数s ，所以它有非零解．

即

使

．

4．设α是欧氏空间V 的线性变换，τ是V 的一个变换，且．都有（σ（α），

β）=（α，τ（β））．

证明：（1）τ是V 的线性变换；

（2）τ的值域Imτ等于σ的核

ker （σ）的正交补．

[武汉大学研]证明：（

1）β，α，γ∈V∈V，由题设可得

由α的任意性知

（1）

同理，λ∈R，ξ∈V，有

（2）

所以

由式（1）、式（

2）得τ

是V

的线性变换．（2

）可等价地证明①

，有

所以

②如，则有

所以

从而

结合①、②可得

5．设S 是酉空间V 的一个非空集合，记

证明：是子空间，且，并举例说明不一定成立．[西安交通大学

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