平面向量的概念及表示

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平面向量的概念

平面向量是数学中的一个重要概念，是指由两个矢量组成的有向线段。平面向量通常用加粗的小写字母来表示，例如a、b等。平面向量具有长度和方向两个基本属性，同时也具有加法、减法、数乘等运算，可用于求解各种几何和物理问题。

平面向量的表示方法有两种，一种是初末点法。即用平面上两个点A(x1,y1)和

B(x2,y2)来表示平面向量AB。向量AB的表示方法为AB=(x2-x1,y2-y1)。另一种是分量表示法，即将平面向量投影到坐标轴上，用坐标表示向量的长度和方向。例如，向量AB在x 轴上的投影为x轴方向上的分量a，y轴方向上的投影为y轴方向上的分量b，则向量AB 可以表示为AB=a+b。

平面向量的长度可以用勾股定理求解，即向量AB的长度为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。方向可以用夹角cos求解，即两个向量的夹角cosθ=AB·CD/|AB|·|CD|，其中·表示点乘，|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度。

平面向量具有加法和减法运算，其运算方法为：对应坐标相加或相减。例如向量AB 和向量CD的和为向量AC，其坐标为AC=(x2-x1+x4-x3,y2-y1+y4-y3)。减法也是同样的方法。数乘则是将向量的长度与方向进行分解，再将其乘以一个实数k，具体计算方法为：向量kAB=k(x2-x1,y2-y1)=(kx2-kx1,ky2-ky1)。

平面向量的重要应用之一是向量叉乘，即将两个向量进行叉乘，得到的结果是一个新的向量，并且该向量垂直于原来的向量。例如向量AB和向量CD的叉乘为向量n，其坐标为n=AB×CD=[(y2-y1)(z4-z3)-(z2-z1)(y4-y3),(z2-z1)(x4-x3)-(x2-x1)(z4-z3),(x2-x1)(y4-y3)-(y2-y1)(x4-x3)]。向量叉乘在计算平面和空间中的向量积、平面的法线、对称线等问题中都有着广泛的应用。

平面向量的基本概念和表示方法

平面向量的基本概念和表示方法平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上具有方向和大小。在

数学和物理学中，平面向量是一种常见的工具，用于描述物体的位移、力的作用、速度的方向等等。本文将介绍平面向量的基本概念和表示

方法。

一、基本概念

平面向量由两个有序数构成，其中，第一个数表示向量在x轴上的

分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。向量通常用小写字母加箭

头来表示，比如向量a可以表示为➡a。

平面向量有三个重要的性质，即方向、大小和起点。向量的方向由

向量指向的位置决定，大小由向量的长度表示，起点是向量的起始位置。

二、表示方法

平面向量有多种表示方法，下面介绍其中常见的两种方法：坐标表

示法和分解表示法。

1. 坐标表示法

坐标表示法是一种常见的表示方法，将向量的两个分量表示为一个

有序数对。例如，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x 轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。以单位向量为例，单位向

量在坐标表示法中的坐标为(1, 0)和(0, 1)，分别代表x轴和y轴的正方向。

2. 分解表示法

分解表示法是将向量分解成两个分量的和的形式。以向量a为例，向量a可以分解为两个分量i和j的线性组合，即a = ai + aj。其中，i 表示向量在x轴上的分量，j表示向量在y轴上的分量。这种表示方法更直观，能够清晰地描述向量的方向和大小。

三、向量运算

平面向量有四种基本运算，即加法、减法、数乘和点乘。下面分别介绍这四种运算。

1. 加法

向量加法将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。例如，向量a和向量b的和可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。

6.1平面向量的概念

解析若 a＝b，则 a 与 b 大小相等且方向相同，所以 a∥b；若|a|＝|b|，则 a 与 b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有 a ∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若 a 与 b 方向相反，则有 a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0 或|b|＝0，则 a∥b.故①③④都能使 a∥b 成立．
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3(1．)几向何量表的示表：示向方量法可以用_有__向__线__段__A→_B__来表示，我们把这个向量记作向量A→B.有向线段的长度|A→B|表示向量的___大__小___，有向线段的方向表示向量的___方__向___. 必须(加2)箭字头母，表即示为：_向__→量a__也_，可_以__→用b__字_，母__a_→，c__b_，，c…，.…表示，书写时
(2)对于 A 项，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故 A 项错误；对于 B 项，长度相等的向量方向不一定相同，故 B 项错误；对于 C 项，共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，
故 C 项正确；对于 D 项，b＝0 时，a∥b，b∥c，但 a 与 c 不一定
平行，故 D 项错误．故选 ABD 项．答案 (1)B (2)ABD
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类型三共线向量和相等向量规律总结
对共线向量和相等向量的理解 (1)共线向量仅仅指向量的方向相同或相反，相等向量指向量的大小和方向均相同． (2)任何一个向量和它本身是共线向量． (3)任何两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． (4)对于向量来讲，平行与共线等价，而线段的平行与共线是严格区分开的．

平面向量的定义

平面向量是数学中重要的概念，它在几何学和物理学等领域有广泛

的应用。通过定义，我们可以清晰地了解平面向量的特点、性质和运

算规则。本文将介绍平面向量的定义以及相关的基本概念和运算规则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。

一、平面向量是由大小和方向共同决定的有向线段，用于表示平面

上的位移、力、速度等物理量。它由起点和终点组成，起点表示向量

作用的起始位置，终点表示向量作用的终止位置，而有向线段则表示

了向量的方向和大小。

在平面向量中，方向由箭头表示，箭头的末端表示向量的终点。大

小通常使用向量的模或长度来表示，记作 |AB| 或 ||AB||，其中 A 和 B

分别表示向量的起点和终点。

二、平面向量的性质

1. 平面向量具有位移性质：平面向量可以描述物体的位移，在空间

中沿着特定的方向移动。位移的大小和方向由向量的模和方向决定。

2. 平面向量具有等价性质：两个向量如果具有相同的模和方向，则

它们是等价的。即使起点和终点的位置不同，只要向量的模和方向相同，我们可以认为它们是相等的。

3. 平面向量具有相反性质：对于任意向量 A，在平面上存在一个唯

一的向量 -A，它们有相同的模但方向相反。即 A 和 -A 是相互抵消的

力或相反方向的位移。

4. 平面向量具有平移性质：对于平面上任意两点 A 和 B，我们可以通过平移将 A 移动到原点 O，同时将 B 移动到 P，得到表示向量 AB 的平移向量 OP。在平面向量表示中，起点和终点的具体位置可以任意选择。

三、平面向量的运算

1. 平面向量的加法：向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。对于任意向量 A 和 B，它们的和记作 A + B，其起点与 A 的起点相同，终点与 B 的终点相同。

平面向量的概念与运算

平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程

等领域。本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基

本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更

深入的理解。

一、平面向量的定义

平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。在平面直角

坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小

和方向相同的向量。平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

二、平面向量的表示

平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。设向量a的终

点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +

y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。

三、平面向量的加法

平面向量的加法遵循平行四边形法则。设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向

线段表示向量a + b。其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。

四、平面向量的减法

平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。设

有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向

量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。其数学表示

为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,

y₂)为向量b的坐标。

五、平面向量的数乘

平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。设k为一个实数，向

6.1平面向量的概念

，CuuBur
，
uuur FD
.
训练题
1.［2019·杭州高一检测］设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论错
误的是（
A.
uuur AO
＝
uuur OC
）
B.
uuur BO
//
uuur DB
C.
uuur AB
与 CuuDur
共线
D.
uuur AO
＝
uuur BO
D 解析：如图，
∵
uuur AO
与
对于（4），直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有大小，不是向量，（4）错误. 综上，正确的结论有（2）（3）. 【答案】（2）（3）
【概念辨析】 1.判断一个量是否为向量应从两个方面入手（1）是否有大小；（2）是否有方向. 2.注意两个特殊向量：零向量和单位向量（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等. （2）单位向量不一定相等，因为单位向量的方向不一定相同. 3.平行向量与共线向量的含义（1）平行向量与共线向量是同一概念的不同名称，根据定义可知，平行（共线）向量所在的直线可以平行，也可以重合.
，
uuur DA
.
（2）证明：在 ABCD中，AD綊BC.
又E，F分别为AD，BC的中点，∴ ED綊BF，
∴
四边形BFDE是平行四边形，∴

平面向量的概念和运算

平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上表示了方向和大小。

在数学和物理学中，平面向量是非常重要的概念，它们在几何、力学、电磁学等领域都有广泛应用。本文将详细介绍平面向量的概念和运算，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、平面向量的概念

平面向量可以定义为有大小和方向的量。通常用箭头表示，箭头的

长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。假设有两个点A

和点B，在空间中，从点A指向点B的箭头就是一个平面向量。平面

向量常用小写字母加上一个有方向的箭头来表示，如a→、b→等。

二、平面向量的表示

在平面几何中，平面向量可以通过坐标来表示。平面上的一个点可

以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y

轴上的坐标。如果有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则从点A到点B的

平面向量可以表示为：

AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)

三、平面向量的运算

1. 加法

平面向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

假设有两个向量a→ = (a1, a2)和b→ = (b1, b2)，它们的和可以表示为：

a→ + b→ = (a1 + b1, a2 + b2)

加法运算满足交换律和结合律，即对于任意的两个向量a→和b→，有a→ + b→ = b→ + a→和(a→ + b→) + c→ = a→ + (b→ + c→)。

2. 数量乘法

平面向量的数量乘法是将一个向量的每个分量与一个实数相乘。假

设有一个向量a→ = (a1, a2)和一个实数k，它们的数量乘积可以表示为：ka→ = (ka1, ka2)

平面向量的基本概念与运算方法总结

平面向量的基本概念与运算方法总结平面向量是数学中一种常用的概念，广泛应用于几何、物理等各个领域。它可以用有向线段表示，并具有大小和方向两个属性。在本文中，我们将总结平面向量的基本概念和运算方法。

一、基本概念

平面向量由起点和终点确定，可以表示为矢量形式：A B⃗。其中，A表示起点，B表示终点。平面向量有以下基本概念：

1. 零向量：起点和终点相同的向量，记作0⃗。零向量的大小为0，任何向量与零向量的加法结果仍为本身。

2. 单位向量：大小为1的向量，在同一方向上的向量可以相互转化为单位向量。

3. 平行向量：方向相同或相反的向量为平行向量。

4. 共线向量：共线向量是指在同一直线上的向量，可以通过数乘转化为对应的共线向量。

二、基本运算

对于平面向量的运算，我们有以下基本规则：

1. 加法：

- 两个向量相加的结果，是一个以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量；

- 加法满足交换律和结合律；

- 两个向量相加，可以通过平行四边形法则或三角形法则进行计算。

2. 数乘：

- 一个向量与一个实数相乘的结果，是将向量的长度乘以该实数，并改变了向量的方向（如果实数为负数）；

- 数乘满足结合律、分配律和交换律。

三、向量的表示方法

在实际应用中，人们常常需要将平面向量转化为其他形式，以方便

计算和应用。常见的表示方法有以下几种：

1. 分解表示法：

- 将一个向量分解为两个与坐标轴相平行的向量的和；

- 分解表示法常用于平面向量的运算和应用中。

2. 坐标表示法：

- 在二维平面上，可以使用坐标表示法将向量表示为一个有序数对（x，y）；

平面向量的定义和表示方法

平面向量是数学中一种重要的概念，它用于表示空间中的位移、力、速度等量。本文将介绍平面向量的定义和表示方法，帮助读者更好地

理解和应用平面向量。

一、平面向量的定义

平面向量是具有大小和方向的量，它与平面上的一个点或直角坐标

系中的一个有序对相对应。一般来说，平面向量用一个带箭头的字母

表示，如→AB。其中，A和B分别表示平面上的两个点，箭头表示向

量的方向。

二、平面向量的表示方法

1. 坐标表示法

平面向量可以用坐标表示法来表示。在直角坐标系中，平面上的任

意一个点可以表示为一个有序对(x, y)，而平面向量可以表示为一个有

序对的差值。假设平面上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则平面向量

→AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。

2. 分解表示法

平面向量还可以用分解表示法来表示。根据平行四边形法则，平面

向量→AB可以表示为两个非零向量的和。这两个向量可以分别与坐标

轴平行，并且它们的和等于→AB。这种表示方法常用于求解平面向量

的合成、分解、模长和方向角等问题。

3. 数量表示法

除了坐标表示法和分解表示法，平面向量还可以用数量表示法来表示。平面向量有一个重要的性质，即平面上的两个向量可以相互移动

并保持大小和方向不变。因此，我们可以将平面向量→AB平移使其起

点与原点重合，这样平面向量→AB就可以表示为一个有向线段的长度。这个长度就是平面向量的模长，用符号|→AB|表示。

三、平面向量的运算

平面向量具有加法和数乘两种运算：

1. 平面向量的加法

设有两个平面向量→A和→B，它们的加法定义为：→A + →B =

平面向量的概念及表示

向量的概念及表示

1.向量的概念：

(我们把既有大小又有方向的量叫向量>

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：错误!.

3.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0；

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

4.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.

说明：(1>综合①、②才是平行向量的完整定义；

(2>向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.

5.相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：(1>向量a与b相等，记作a＝b；

(2>零向量与零向量相等；

(3>任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

6.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，系这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.

说明：

(1>平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

(2>共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量错误!与错误!是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；b5E2RGbCAP

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是错误!＝错误!；

p1EanqFDPw

⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量错误!、错误!在同一直线上.DXDiTa9E3d

平面向量的基本概念

平面向量是平面上具有大小和方向的量。在平面直角坐标系中，平面向量可以用两个有序实数表示，分别表示向量的横坐标和纵坐标。平面向量的表示形式通常为< x, y >，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

平面向量有以下基本概念：

1. 零向量：零向量是一个特殊的平面向量，表示没有大小和方向的向量，即<0, 0>。它与任何向量相加都不改变原向量，满足向量加法的单位元的性质。

2. 向量的模：向量的模表示向量的大小，用直线的长度来表示。平面向量< x, y >的模可以用以下公式计算：< x, y > = √(x^2 + y^2)。模为正数，且零向量的模为0。

3. 单位向量：单位向量是模为1的向量，用来表示方向。一个非零向量v除以它的模，可以得到一个与v方向相同的单位向量，即v/ v 。单位向量与原向量的方向相同，但长度为1。

4. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量。具体而言，如果向量< x1, y1 >和< x2, y2 >平行，则有x1/x2 = y1/y2。平行向量的模可以是相同的或相反的。

5. 相等向量：若两个向量的横坐标和纵坐标分别相等，则它们相等。即< x1, y1 > = < x2, y2 >当且仅当x1 = x2，y1 = y2。

6. 负向量：给定一个向量v = < x, y >，存在一个负向量-v = < -x, -y >，它的大小和方向与v相反。

平面向量的基本概念和基本定理

【平面向量】

（1）平面向量的基本概念和基本定理：考点．．1．重要的概念．．．．．

①基本概念向量、向量的模（长度），向量的表示，自由向量、相等向量，相反向量，位置向量，零向量、共线向量、单位向量、基线、数乘向量、基向量、坐标、正交基底、向量的数量积、夹角、正射影考点．．2．重要的定理．．．．． ②基本定理：平行向量基本定理（掌握）、平面向量基本定理（了解）

向量共线定理向量b 与非零向量a

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λ

a ∥

b (b

≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e +λ22e （2）平面向量的基本运算：（几何运算、代数运算、坐标运算）考点３重要的运算 ① 向量的加法

几何运算：如图，已知向量a 、在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC

叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+

特殊情况：

(1)

a +b

a +A

C C

)

2()

对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00

向量加法的运算律：a +b =b +a (a +b ) +c =a + (b +c )

向量的加法的代数运算：AC BC AB b a =+=+

向量的加法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， ② 向量的减法

平面向量的定义和表示方法

平面向量在数学中具有重要的地位，它是向量的一种特殊形式，由

大小和方向组成。本文将详细阐述平面向量的定义以及常用的表示方法。

一、平面向量的定义

平面向量是具有大小和方向的箭头，用于表示平面上两点之间的位移。平面向量通常使用字母加上一个箭头来表示，例如：→AB。其中，向量箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

平面向量的定义包括以下重要要素：

1. 大小：平面向量的大小可以通过向量的模或长度来表示，记作

|→AB|。向量的模满足非负性、正定性和三角不等式。

2. 方向：平面向量的方向由向量箭头的方向指示，可以使用角度或

者其他表示方法来描述。

3. 起点和终点：平面向量的起点和终点分别表示向量的起始位置和

结束位置，通常用两个点来表示。

二、平面向量的表示方法

平面向量可以通过以下几种常用的表示方法来表示：

1. 分解表示法

分解表示法是将平面向量分解为两个已知向量之和的形式。一般地，平面向量→AB可以表示为→AD + →DB，其中→AD和→DB是已知向量。这种表示方法常用于解题中，可以简化向量的计算。

2. 坐标表示法

坐标表示法是将平面向量表示为其在坐标系中的坐标。在平面直角

坐标系中，向量→AB的坐标表示为 (x,y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。

3. 单位向量表示法

单位向量是指模为 1 的向量，可以表示为平面上的一个点。单位向

量通常用符号→u表示。平面向量→AB可以通过除以其模得到单位向量，即→u = (1/|→AB|) × →AB。单位向量在几何和物理中有广泛的应用，可以帮助求解方向和位移等问题。

平面向量概念

1. 概念定义

平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。它由两个有序实数对（x，y）表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。平面向量通常用小

写字母加上一个箭头来表示，如→a。

2. 重要性

平面向量是数学中的重要概念，具有广泛的应用。它在几何、物理、工程等领域中起着重要作用。

2.1 几何应用

平面向量可以用于描述平面上的点、直线、曲线等几何对象的位置、方向和形状。通过向量的加法、减法、数乘等运算，可以得到平面上的向量和向量之间的关系，从而解决几何问题。

2.2 物理应用

在物理学中，平面向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。通过向量的运算，可以分析物体的运动规律，解决物理问题。

2.3 工程应用

在工程领域中，平面向量可以用于描述力、力矩、电场强度等物理量。通过向量的运算，可以分析结构的受力情况、电场的分布等问题，为工程设计和分析提供依据。

3. 平面向量的基本运算

3.1 加法

设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a+→b=(x1+x2, y1+y2)。向量加法满足交换律和结合律。

3.2 减法

设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a-→b=(x1-x2, y1-y2)。减法可以看作加法的逆运算。

3.3 数乘

设有向量→a=(x, y)和实数k，则k→a=(kx, ky)。数乘改变向量的大小，但不改

变其方向。

3.4 数量积

设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的数量积为

→a·→b=x1x2+y1y2。数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。

平面向量的概念和运算

平面向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决几何问题和物理问题中有着广泛的应用。本文将介绍平面向量的定义、表示、基本运算以及一些常见的性质和应用。

一、平面向量的定义和表示

平面向量是有大小和方向的量。在平面直角坐标系中，以有向线段表示平面向量。设点A和点B为平面上的两个点，线段AB的起点为A，终点为B，则线段AB代表的向量记作AB。

平面向量表示为：AB = (x,y)，其中x和y分别代表向量在x轴和y 轴上的投影长度。例如，向量AB = (3,2)表示该向量在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为2。

二、平面向量的基本运算

1. 平面向量的加法

设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的和记作AB + CD = (x1+x2, y1+y2)。

例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的和为AB + CD = (3+(-

1), 2+4) = (2, 6)。

2. 平面向量的数乘

设有一个向量AB = (x, y)和一个实数k，则k乘以向量AB记作kAB = (kx, ky)。

例如，向量AB = (3, 2)的2倍为2AB = (2*3, 2*2) = (6, 4)。

3. 平面向量的减法

设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的差记作AB - CD = AB + (-CD)，

其中-CD = (-x2, -y2)。

例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的差为AB - CD = AB + (-CD) = (3,2) + (-1,-4) = (2,-2)。

平面向量的基本概念与运算知识点总结

平面向量是研究平面运动的重要工具，具有方向和大小两个基本特征。本文将对平面向量的基本概念和运算进行总结，帮助读者理解和

掌握相关知识。

1. 平面向量的定义

平面向量由有向线段表示，起点和终点分别称为向量的始点和终点。向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a表示为→a。平面向量有两

个基本属性：方向和大小。方向由向量的方向夹角确定，大小由向量

的长度表示。

2. 平面向量的表示方法

平面向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示。在直角坐标系中，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的投影，a₂表示向量在y轴上的投影。位置矢量表示中，向量a的始点为原点O，终点为点A，表示为向量OA。

3. 平面向量的相等与相反

两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。两个向量的

相反向量，大小相等但方向相反，用符号-→a表示。

4. 平面向量的加减运算

平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点和另一

个向量的终点相连，得到一个新向量，表示两个向量的和。向量的减

法可以通过向量加上其相反向量得到。

5. 平面向量的数量积

平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示为a·b，是两个向量

的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。

其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。

6. 平面向量的数量积的性质

平面向量的数量积具有以下性质：

- 交换律：a·b = b·a

- 结合律：(ka)·b = k(a·b)