平面向量的概念及表示

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平面向量的基本概念和表示方法

平面向量的基本概念和表示方法平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上具有方向和大小。

在数学和物理学中，平面向量是一种常见的工具，用于描述物体的位移、力的作用、速度的方向等等。

本文将介绍平面向量的基本概念和表示方法。

一、基本概念平面向量由两个有序数构成，其中，第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。

向量通常用小写字母加箭头来表示，比如向量a可以表示为➡a。

平面向量有三个重要的性质，即方向、大小和起点。

向量的方向由向量指向的位置决定，大小由向量的长度表示，起点是向量的起始位置。

二、表示方法平面向量有多种表示方法，下面介绍其中常见的两种方法：坐标表示法和分解表示法。

1. 坐标表示法坐标表示法是一种常见的表示方法，将向量的两个分量表示为一个有序数对。

例如，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x 轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。

以单位向量为例，单位向量在坐标表示法中的坐标为(1, 0)和(0, 1)，分别代表x轴和y轴的正方向。

2. 分解表示法分解表示法是将向量分解成两个分量的和的形式。

以向量a为例，向量a可以分解为两个分量i和j的线性组合，即a = ai + aj。

其中，i 表示向量在x轴上的分量，j表示向量在y轴上的分量。

这种表示方法更直观，能够清晰地描述向量的方向和大小。

三、向量运算平面向量有四种基本运算，即加法、减法、数乘和点乘。

下面分别介绍这四种运算。

1. 加法向量加法将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

例如，向量a和向量b的和可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。

2. 减法向量减法将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

例如，向量a和向量b的差可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。

平面向量的定义及表示方法

平面向量的定义及表示方法平面向量是在平面上具有大小和方向的量。

它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在数学中，我们通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，坐标上的A点到B点的向量。

平面向量的定义表明，它不仅仅是点之间的连线，它还具有独立的数学性质和运算规则。

我们可以通过平移、加法、乘法等操作来处理平面向量。

在平面向量的表示方法方面，有几种常用的方式，包括坐标表示法、分量表示法和向量的单位表示法。

1. 坐标表示法：在笛卡尔坐标系中，平面上的向量可以用坐标表示。

如果A和B是平面上的两个点，那么向量A B⃗的坐标可以表示为(ABx, ABy)，其中ABx表示向量在x轴的投影，ABy表示向量在y轴的投影。

2. 分量表示法：分量表示法是将平面向量投影到坐标轴上的方法。

对于向量A B⃗，它可以表示为A B⃗ = x⃗ i + y⃗ j，其中x⃗和y⃗分别表示向量的x和y方向的分量，i和j是坐标轴上的单位向量。

3. 向量的单位表示法：向量的单位表示法将向量的大小统一为1的向量，用于表示向量的方向。

在平面向量中，单位向量通常用i和j表示，其中i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。

例如，向量A B⃗的单位向量可以表示为A B⃗ /|A B⃗ | = (ABx / |A B⃗ |) i + (ABy / |A B⃗ |) j。

除了上述常见的表示方法，平面向量还有一些其他的表示方法，如极坐标表示法和共线向量表示法，用于特殊情况下的向量表示和计算。

总结起来，平面向量可以用箭头表示，通过定义和表示方法，我们可以准确地描述和计算平面上的物理量和几何问题。

不同的表示方法可以根据具体情况和需要灵活运用，帮助解决实际问题和计算。

掌握平面向量的定义和表示方法，对于数学和物理学习都具有重要的意义。

平面向量的概念和运算

平面向量的概念和运算一、概念介绍平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。

平面向量常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的表示方法平面向量可以用两点表示，如果两点分别为A和B，那么向量AB通常用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。

向量的大小记为|→AB|。

三、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设向量→AB和→CD，可以将向量→AB和向量→CD的起点放在一起，将向量→CD的终点放在向量→AB的终点，这样得到的向量就是→AB + →CD。

2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设向量→AB和→CD，可以将向量→AB的起点放在→CD的终点，将向量→AB的终点放在→CD的起点，这样得到的向量就是→AB - →CD。

3. 数乘运算数乘运算是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

设向量→AB，实数k，那么k→AB的大小为|k|×|→AB|，方向与→AB相同（当k > 0）或相反（当k < 0）。

4. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积（又称点积、内积）定义为|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。

5. 平面向量的向量积平面向量→AB和→CD的向量积（又称叉积、外积）定义为一个新的向量→E，其大小等于|→AB|×|→CD|×sinθ，方向垂直于→AB和→CD所在的平面，符合右手法则。

四、平面向量的应用平面向量的概念和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。

例如，在力学中，用平面向量可以表示力的大小和方向；在几何学中，可以用平面向量表示线段的长度和方向。

总结：平面向量是用有向线段表示的量，具有大小和方向。

平面向量的运算包括向量加法、向量减法、数乘运算、数量积和向量积。

平面向量的应用涉及数学和物理学的各个领域。

平面向量的概念与运算

平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。

在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。

平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。

设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。

其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。

其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。

五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。

设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。

六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。

2.1平面向量的概念及表示

AB,
或a
向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。
三. 向量的有关概念
1.向量的长度(模): 向量 AB 的大小(长度)
对向量的大小和方向都明确规定
r
r
与a长度相等，方向相反的向量叫a的相反向量，
r 记为 a
a
（ a) a
a
比如作用力与反作用力
平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量（也叫共线向量）。
仅对向量的方向明确规定，而没有对向量的大小明确规定
a
b
c
d
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（黑体字）来表示。
4．向量的长度：向量的大小就是向量的长度
（或称为模）。记作
|
AB
|
5．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记
作0（黑体字）。
6．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。
7．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
如图：a、b、c就是一组平行向量。记作：a∥b∥c。规定：零向量0与任一向量平行。
（3）与零向量相等的向量是什么向量？零向量（4）存在与任何向量都平行的向量吗？零向量（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？平行向量（共线向量）（6）两个非零向量相等的条件是什么？
模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
练习1：判断下列各命题是否正确？ ur ur ur uur

平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳一、基本概念平面向量是具有大小和方向的量，通常用带箭头的字母表示，例如A→，其中→表示方向。

平面向量的大小叫做模，记作|A→|或||A||。

二、平面向量的表示平面向量可以用始点和终点坐标表示，记作A→=(A, A)，其中A和A分别表示A→在x轴和y轴上的投影。

三、平面向量的运算1. 平面向量的加法平面向量A→和A→的加法定义为A→+A→=A→，其中A→的始点是A→和A→的始点的重合点，终点是A→和A→的终点的重合点。

2. 平面向量的减法平面向量A→和A→的减法定义为A→-A→=A→+(-A→)，其中(-A→)表示与A→大小相等，方向相反的向量。

3. 数乘数乘是指一个实数乘以一个向量，记作AA→，其中A是实数。

数乘的结果是一个与原向量方向相同（当A>0）或相反（当A<0），长度为原向量长度的A倍的向量。

4. 平面向量的数量积平面向量A→和A→的数量积定义为A→⋅A→=|A→||A→|cosA，其中A是A→和A→之间的夹角。

5. 平面向量的向量积平面向量A→和A→的向量积定义为A→×A→=|A→||A→|sinAA，其中A是A→和A→之间的夹角，A是一个与A→和A→所在平面垂直的单位向量。

四、平面向量的性质1. 交换律和结合律平面向量的加法满足交换律和结合律，即A→+A→=A→+A→，(A→+A→)+A→=A→+(A→+A→)。

2. 数量积的性质a) A→⋅A→=A→⋅A→；b) A→⋅A→=|A→|^2，其中|A→|^2表示A→的模的平方；c) 若A→⋅A→=0，则A→和A→垂直。

3. 向量积的性质a) A→×A→=−A→×A→；b) A→×A→=A→，其中A→表示零向量；c) 若A→和A→共线，则A→×A→=A→。

五、平面向量的应用平面向量在几何、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如：1. 平面向量可以表示物体的位移和力的大小和方向。

平面向量的概念、运算及坐标表示(讲义及

平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义）➢ 知识点睛一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有，又有的量叫做向量．−−→表示：a ， AB−−→模：向量 AB 的叫做向量的模，记作．2. 几个特殊的向量：零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算1（几何意义）加法减法数乘定义求两个向量和的运算向量a 加上向量b 的，即 a +(-b )=a -b实数与向量的积是一个向量，记作λa法则法则法则λa = λ a当λ>0 时，λa 与 a 的方向；当λ<0 时，λa 与 a的方向；当λ=0 时，λa =0运算律交换律：λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )=a +b =结合律： a -b =a +(-b )(a +b )+c =λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b三、向量相关定理1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使．扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线．−−→−−→① PA =λPB ；−−→−−→−−→②对平面任一点O，OP =OA+t AB ；−−→−−→−−→③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）．2.平面向量基本定理（1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ．四、向量的坐标表示及运算1.坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ．2.坐标运算设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法−−→设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB= ．（2）向量位置关系与坐标a∥b ⇔ ⇔ ．➢精讲精练1.下列四个命题：①若a = 0 ，则a 为零向量；②若a =b ，则−−→−−→ a=b 或a=-b；③若a∥b，则a =b ；④若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D 四点共线．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.根据图示填空：（1）a+b= ；（2）c-a= ；（3）a+b+d= ；（4）f-a-b= ；（5）c+d+e= ；（6）g-c-d= ．3.若a，b 为非零向量，且a +b =a +b ，则（）A.a∥b，且a 与b 方向相同B.a=bC．a=-bD．a，b 无论什么关系均可−−→−−→−−→4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA + CD + EF =（）−−→−−→−−→A．0 B．BE C．AD D．CF−−→−−→−−→5.已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a，BC =b，AC =c，则a +b +c =（）A．0 B．3 C． 2 D．2 2−−→−−→−−→−−→6.平面上有A，B，C 三点，设m= AB +BC ，n= AB -BC ，若m，n 的长度恰好相等，则有（）A．A，B，C 三点必在同一直线上B．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形−−→ −−→ −−→7. 已知AB =a+5b，BC =-2a+8b，CD =3(a-b)，则（）A．A，B，D 三点共线B．A，B，C 三点共线C．B，C，D 三点共线D．A，C，D 三点共线8.在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，N 为AM 的中点，−−→−−→−−→若AN =λ AB +μ AC ，则λ+μ的值为（）A.12 B.13C.14D．1−−→9.如图，平面内有三个向量OA−−→，OB−−→，OC−−→，其中OA−−→与OB 的−−→−−→−−→−−→夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA =OB = 1，−−→ OC = 2−−→，若OC−−→=λOA −−→+μOB ，则λ+μ的值为．3λ λ λ +λ 10.已知 D ，E 分别是△ABC 的边 AB ，BC 上的点，且 AD = 1AB ，2 BE = 2BC ．若 −−→−−→ −−→ λ （，为实数），则3 的值为 DE = ．1 AB +λ2AC 1 2 1 2−−→ 11.如图，在△ABC 中，1 −−→ −−→ −−→ −−→ ，，若 =a ，−−→−−→BD = DC 2AE =3 ED AB AC =b ，则 BE =（）A ． 1 a + 1 bB ． - 1 a + 1 b3 3 24 C ． 1 a + 1 bD ． - 1 a + 1 b2 43 3−−→1 −−→ −−→ 1 −−→ 12.如图，在△AOB 中， OC = OA ，OD 4 = OB ，AD 与 BC 2−−→相交于点 M ，设 OA −−→OM =．−−→=a ， OB=b ，若以 a ，b 为基底，则13. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A ，B ，C 的坐标分别为 (-2，1)，(-1，3)，(3，4)，则顶点 D 的坐标是．14. 若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c=（）A．3a+b B．3a-bC．-a+3b D．a+3b15. 向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λ=．μ16. 已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，若a∥b，则2a+3b=（）A．(-5，-10) B．(-4，-8)C．(-3，-6) D．(-2，-4)17. 已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若a+b 与c 共线，则m = ．【参考答案】➢知识点睛一、平面向量的基本概念−−→1. 大小，方向，长度，AB二、平面向量的线性运算加法：三角形，平行四边形，b+a，a+(b+c)减法：相反向量数乘：相同，相反，(λμ)a，λa+μa，λa+λb，-(λa)，λa-λb三、向量相关定理1. b=λa2. （1）不共线；（2）λ1e1+λ2e2四、向量的坐标表示及运算1. (x，y)2. (x1+x2，y1+y2)，(x1-x2，y1-y2)，(λx1，λy1)（1）(x2-x1，y2-y1)（2）b=λa，x2 =y2 =λ（x ，y ≠ 0 ）x1y1➢精讲精练1. B2. （1）c；（2）b；（3）f；（4）d；（5）g；（6）e3. A4. D5. D6. C7. A8. A9. 610. 1211. B12. 1 a +3 b7 713. (2，2)14. B15. 416. B17. -11 1。

什么是平面向量

什么是平面向量平面向量是代数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。

平面向量可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量，具有方向和大小两个特征。

一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数组成的有序对，记作AB→，其中A、B 表示平面上的两个点，→表示有向线段。

实数称为平面向量的坐标或分量，可以用来表示向量在坐标轴上的投影。

二、平面向量的表示平面向量可以用坐标轴上的点表示，也可以用向量的坐标表示。

以直角坐标系为例，设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，那么平面向量AB→的向量坐标为{(x2-x1), (y2-y1)}。

三、平面向量的运算1. 加法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为AB→ +CD→ = AD→。

即向量的加法满足“三角形法则”。

2. 数乘：设有平面向量AB→，实数k，则kAB→ = BA→。

即向量的数乘改变了向量的方向或长度。

3. 减法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为AB→ - CD→ = AD→。

即向量的减法可以看作是加法和数乘的结合。

四、平面向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于该向量本身。

2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

3. 共线向量：若两个向量在同一直线上，则它们是共线向量。

4. 相等向量：若两个向量的方向和长度相等，则它们是相等向量。

5. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。

五、平面向量的应用平面向量在几何学中被广泛应用，例如求向量的模长、向量的夹角、向量的投影等。

在物理学中，平面向量可用于描述力的大小和方向，在工程学中，平面向量可用于描述力的分解和合成等问题。

总结：平面向量是由两个有序实数组成的有序对，具有方向和大小两个特征。

它可以用坐标轴上的点或向量的坐标来表示。

平面向量的运算包括加法、数乘和减法，满足相应的运算规律。

平面向量知识点总结(精华)

平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。

模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。

零向量的方向是任意的。

4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。

对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。

例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

若向量a与b平行，记作a。

例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。

6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。

其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。

平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容，也是大学数学中的基础知识，它是向量的一种。

向量是数学中的一个概念，它有方向和大小，用有向线段表示。

平面向量是指在平面中的向量，以下是平面向量的知识点归纳。

一、平面向量的定义平面向量是表示平面上有大小和方向的箭头的数学概念。

平面向量AB用符号→AB表示，它的长度表示向量大小，而方向则由方向角表示。

二、平面向量的加减法1. 平面向量的加法平面向量加法是指将一条平面向量按照另一条向量的方向和大小来平移，并合成为一条新的向量。

记作→AB+→BC=→AC。

向量加法满足交换律、结合律、分配律。

2. 平面向量的减法平面向量减法是将另一向量的方向翻转，依次相加，得到一个新向量。

记作→AB-→AC=→CB。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积是指两个向量之间相乘得到的标量。

记作→a⋅→b=a·b·cosθ，其中a、b是两个向量，θ是它们之间的夹角。

四、平面向量的叉积平面向量的叉积是在二维平面内的两个向量所形成的向量垂直于平面，大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。

记作→a×→b，其中a、b是两个向量。

五、平面向量的共线、垂直及夹角1. 平面向量的共线两个向量共线的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即→a//→b，当且仅当a·b=|a||b|。

2. 平面向量的垂直两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于0，即→a⊥→b当且仅当a·b=0。

3. 平面向量的夹角两个向量的夹角是指它们之间的夹角，记作θ，其中θ的范围是0≤θ≤π。

六、平面向量的投影与单位向量1. 平面向量的投影平面向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，也是向量的一个重要应用。

投影的值等于向量的模与夹角的余弦的乘积。

记作pr→a。

2. 平面向量的单位向量单位向量是模等于1的向量，它表示的方向与原向量相同。

单位向量是向量的一种特殊情况，用符号→e表示。

平面向量的定义和表示方法

平面向量的定义和表示方法平面向量是数学中一种重要的概念，它用于表示空间中的位移、力、速度等量。

本文将介绍平面向量的定义和表示方法，帮助读者更好地理解和应用平面向量。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，它与平面上的一个点或直角坐标系中的一个有序对相对应。

一般来说，平面向量用一个带箭头的字母表示，如→AB。

其中，A和B分别表示平面上的两个点，箭头表示向量的方向。

二、平面向量的表示方法1. 坐标表示法平面向量可以用坐标表示法来表示。

在直角坐标系中，平面上的任意一个点可以表示为一个有序对(x, y)，而平面向量可以表示为一个有序对的差值。

假设平面上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则平面向量→AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。

2. 分解表示法平面向量还可以用分解表示法来表示。

根据平行四边形法则，平面向量→AB可以表示为两个非零向量的和。

这两个向量可以分别与坐标轴平行，并且它们的和等于→AB。

这种表示方法常用于求解平面向量的合成、分解、模长和方向角等问题。

3. 数量表示法除了坐标表示法和分解表示法，平面向量还可以用数量表示法来表示。

平面向量有一个重要的性质，即平面上的两个向量可以相互移动并保持大小和方向不变。

因此，我们可以将平面向量→AB平移使其起点与原点重合，这样平面向量→AB就可以表示为一个有向线段的长度。

这个长度就是平面向量的模长，用符号|→AB|表示。

三、平面向量的运算平面向量具有加法和数乘两种运算：1. 平面向量的加法设有两个平面向量→A和→B，它们的加法定义为：→A + →B =→C，其中→C的起点与→A的起点相同，终点与→B的终点相同。

加法满足交换律和结合律。

2. 平面向量的数乘设有一个平面向量→A和一个实数k，它们的数乘定义为：k→A =→B，其中→B的起点与→A的起点相同，终点在与→A同一直线上，并且|→B| = |k||→A|。

数乘满足分配律。

平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的一个基本概念，同时也是高中数学中比较难理解和掌握的知识点之一。

下面我们将结合实例，对平面向量的定义、加减和数量积等知识点进行简明归纳。

一、平面向量的定义平面向量又称二维向量，是具有大小和方向的有向线段，通常用字母加箭头表示（如：$\vec{a}$）。

在直角坐标系中，平面向量可以表示成一个有序实数对$(a,b)$。

例如：已知点$A(1,2)$和点$B(3,4)$，连接这两个点所得的有向线段$\vec{AB}$就是一个平面向量，它的坐标表示为$\vec{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)$。

二、平面向量的加减平面向量的加减法是指将两个向量相加（或相减）所得的向量，即$\vec{a}+\vec{b}$（或$\vec{a}-\vec{b}$），其坐标分别相加（或相减）。

例如：已知向量$\vec{a}=(1,2)$和向量$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+4)=(4,6)$；$\vec{a}-\vec{b}=(1-3,2-4)=(-2,-2)$。

另外，平面向量加减法还满足以下性质：（1）交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$；$\vec{a}-\vec{b}=-\vec{b}+\vec{a}$（2）结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（3）零向量：对于任意向量$\vec{a}$，有$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，$\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}$。

其中，$\vec{0}=(0,0)$。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为$\vec{a} \cdot \vec{b}$，它的值为两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值，并可以用各个分量表示出来。

$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos\theta=a_xb_x+a_yb_y$其中，$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$，$|\vec{b}|=\sqrt{b_x^2+b_y^2}$，$\theta$表示$\vec{a}$与$\vec{b}$之间的夹角。

平面向量知识点整理

平面向量知识点整理平面向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。

下面是关于平面向量的知识点整理。

一、平面向量的定义和表示平面向量是指在平面上一个具有大小和方向的量。

平面向量可以表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量通常表示为有序对(a,b)，其中a和b是实数。

二、平面向量的运算1.加法：平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量。

加法运算满足交换律和结合律。

2.数乘：将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量，标量可以是实数。

数乘的结果是将向量的大小和方向进行相应的调整。

3.减法：将一个向量减去另一个向量等于将第二个向量取相反数后与第一个向量相加。

减法运算可以转化为加法运算。

三、平面向量的性质1.平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

平行向量的大小可以不同。

2.零向量：大小为零的向量称为零向量，用0表示。

任何向量与零向量相加的结果仍为原向量本身。

3.负向量：一个向量的大小和方向相同但方向相反的向量称为它的负向量。

4.共线向量：两个或更多个向量都平行于同一条直线时，它们是共线向量。

5.非共线向量：不在同一直线上的向量是非共线向量。

6. 数量积：两个非零向量a和b的数量积（也称为点积或内积）是一个标量，定义为a·b= ，a，，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

7. 向量积：两个非零向量a和b的向量积（也称为叉积或外积）是一个向量，定义为 a × b = ，a，，b，sinθ n，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角，n为一个与a和b都垂直的单位向量。

8.向量共线条件：两个向量共线的充要条件是它们的向量积等于零向量。

四、平面向量的应用1.几何问题：平面向量可以用于解决距离、角度等几何问题，如计算点的坐标、计算直线的夹角等。

2.物理问题：平面向量常用于物理学中的力学问题，如计算物体的合力、分解力等。

平面向量的计算知识点总结

平面向量的计算知识点总结一、基本概念1. 平面向量的定义在二维空间中，若给定两个不平行的线段AB和CD，其起点O重合，那么可以确定一个平面向量a，记作a=→AB。

平面向量a表示由有向线段AB所确定的量，它的大小为线段AB的长度，方向为从A指向B。

2. 平面向量的表示平面向量可以用有向线段来表示，也可以用坐标表示。

若O为坐标原点，i为x轴正向单位向量，j为y轴正向单位向量，那么平面向量a可以表示为a=xi+yj，其中x为a在x轴上的投影，y为a在y轴上的投影。

3. 平行向量与相等向量如果两个平面向量a=→AB和b=→CD的方向相同，则称它们为平行向量；如果两个平面向量a=→AB和b=→CD的大小和方向均相同，则称它们为相等向量。

4. 向量的模和方向角给定平面向量a=xi+yj，它的模记作|a|，定义为平面向量a的长度，即|a|=sqrt(x^2+y^2)；它的方向角记作θ，定义为平面向量a与x轴正向的夹角，即tanθ=y/x。

二、平面向量的运算1. 平面向量的加法给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的和记作c=a+b，c=→AC，其中C为有向线段AB和CD的终点。

平面向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，即将起点O作为共同点，以a和b为两条边作平行四边形或三角形的第三边。

2. 平面向量的减法给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的差记作c=a-b，c=→AD，其中D为有向线段AB和CD的终点。

平面向量的减法可以理解为将向量b取反后与向量a进行加法运算。

3. 数乘运算给定平面向量a=xi+yj和实数k，那么ka=kxi+kyj，它的模为|ka|=|k||a|，它的方向与向量a的方向相同（k>0）或相反（k<0），即乘积ka为向量a的长度的k倍或-k倍。

4. 数量积给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的数量积记作a·b，定义为|a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模，θ为向量a和b之间的夹角。

平面向量基本概念框架梳理

平面向量基本概念框架梳理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

它具有大小和方向，并可通过向量的加法和数乘进行运算。

本文将从向量的定义、表示形式、运算以及向量的性质等方面进行基本概念的框架梳理，以帮助读者全面理解和掌握平面向量的基本概念。

一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。

有向线段的起点和终点分别称为向量的始点和终点，记作A和B，向量AB表示从A到B的有向线段。

若两个向量的大小和方向相等，则它们相等。

二、向量的表示形式1. 箭头表示法：向量AB用箭头AB表示。

2. 坐标表示法：在平面直角坐标系中，向量AB的表示形式为AB = (x, y)，其中x和y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影。

三、向量的运算1. 加法：向量的加法满足交换律和结合律。

设向量AB和向量CD，它们的和为向量AC。

即AB + CD = AC。

2. 数乘：向量的数乘即将向量的大小与方向分别与一个实数相乘。

设向量AB，实数k，它们的数乘表示为kAB。

3. 减法：向量的减法可视为加法和数乘的结合运算。

设向量AB和向量CD，它们的差为向量AD。

即AB - CD = AD。

四、向量的性质1. 零向量：零向量是大小为0的向量，任何向量与零向量的和都等于该向量本身。

2. 负向量：向量AB的负向量记作-AB，它与向量AB大小相等，方向相反，且满足AB + (-AB) = 0。

3. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们称为平行向量。

4. 共线向量：如果两个向量的直线上的任意一点都与这两个向量的始点连线和终点连线共线，它们称为共线向量。

5. 模长与单位向量：向量AB的模长表示为|AB|，它的计算公式为|AB| = √(x² + y²)。

单位向量是模长为1的向量，它可以通过向量AB除以它的模长得到，记作u = AB/|AB|。

通过对平面向量的基本概念进行框架梳理，我们可以更好地理解和应用平面向量的相关知识。

平面向量的概念与运算

平面向量的概念与运算平面向量是解决几何问题中常用的数学工具之一。

本文将介绍平面向量的概念以及常见的运算方法。

一、平面向量的概念平面向量是指具有大小和方向的量。

通常用有向线段来表示，标志有向线段的箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

平面向量常用大写字母表示，例如A、B。

二、平面向量的表示平面向量可以分为简易表示法和坐标表示法两种方式。

1. 简易表示法在平面上，我们可以通过箭头的起点和终点来表示向量的方向和大小。

例如，向量AB表示从点A指向点B的向量，大小为AB的长度。

2. 坐标表示法使用坐标系来表示平面向量。

在二维坐标系中，平面上的向量可以表示为 <x, y> 的形式，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。

三、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数乘三种运算。

1. 加法运算设有向量A和向量B，它们的和向量记作A + B。

假设A = <a1,a2>，B = <b1, b2>，则A + B = <a1 + b1, a2 + b2>。

2. 减法运算设有向量A和向量B，它们的差向量记作A - B。

假设A = <a1, a2>，B = <b1, b2>，则A - B = <a1 - b1, a2 - b2>。

3. 数乘运算设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA。

假设A = <a1, a2>，则kA = <ka1, ka2>。

数乘可以改变向量的大小和方向，当k大于0时，向量的方向与原向量一致，当k小于0时，向量的方向与原向量相反。

四、平面向量的性质平面向量具有以下性质：1. 相等性两个向量相等表示它们的大小和方向都相同。

2. 平移性向量的平移不会改变其大小和方向。

3. 共线性若两个向量的方向相同或者相反，则它们共线。

4. 三角形法则若将两个向量的起点连结，形成的三角形的第三条边是这两个向量的和向量。

平面向量及其应用知识点总结

平面向量及其应用知识点总结
一、平面向量的定义和性质
1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对表示的，称为平
面向量。

2. 平面向量的性质：
（1）平面向量有大小和方向，大小为其长度，方向为从起点指向终点的方向。

（2）平面向量可以相加、相减和数乘，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。

（3）平面向量之间可以定义数量积和叉积，满足数量积交换律、结合律和分配律，叉积具有反交换律和分配律。

二、平面向量的表示方法
1. 坐标表示法：设平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则以A为起点，B为终点所表示的平面向量为AB=(x2-x1,y2-y1)。

2. 向量符号表示法：在AB上任取一点C作为起点，则以C为起点，B为终点所表示的平面向量也是AB。

三、平面向量之间的运算
1. 平移：将一个平面上的向量沿着另一个给定的非零向量进行移动得到新的向量。

2. 旋转：将一个给定角度旋转后得到新的向量。

3. 投影：将一个向量沿着另一个向量的方向投影得到新的向量。

4. 反向：将一个向量反过来得到新的向量。

5. 平面向量之间的加法、减法和数乘运算。

四、平面向量的应用
1. 向量运动学：平面上的物体在运动时可以用平面向量表示其位移、速度和加速度等物理量。

2. 向量力学：平面上的物体在受力时可以用平面向量表示其受力和作
用力等物理量，通过分解力求解问题。

3. 向量几何：利用平面向量可以求解线段长度、角度、垂直、平行等几何问题，如判断两条直线是否相交，判断三点共线等问题。

4. 向量代数：利用平面向量可以进行代数运算，如求解方程组、矩阵计算等问题。