【配套K12】高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2二项式定理2课堂导学案新人教A版选修2

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高中数学第1章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理b23b高二23数学

() A．x5
B．x5－1
C．x5＋1
D．(x－1)5－1
解析：选 B.运用二项式定理，得原式＝[(x－1)＋1]5－1＝ x5－1.
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3．(2－ x)8 展开式中含 x4 项的系数为________．
解析：由二项式通项公式得：Tr＋1＝Cr828－r(－ x)r，r＝8，系数为 C8r28－r·(－1)r＝1.
12/8/2021
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1．注意区分二项式系数与项的系数的概念． 2．要牢记 Crnan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，不要误认为是第 r 项．
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1．(1＋2x)5 的展开式中，x2 的系数等于( )
A．80
B．40
C．20
D．10
解析：选
A．15 C．30
1.1＋x12(1＋x)6 展开式中 x2 的系数为(
)
B．20
D．35
解析：选 C.(1＋x)6 展开式的通项 Tr＋1＝C6rxr，所以1＋x12(1＋x)6 的展开式中 x2 的系数为 1×C26＋1×C46＝ 30，故选 C.
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2．二项式(2x－21x)6 的展开式中的常数项为________．解析：Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1)r(21x)r ＝(－1)rC6r 26－r(12)rx6－2r，令 6－2r＝0，得 r＝3，所以 T4＝(－1)3C36＝－20.
第一章计数(jìshù)原理
1．3 二项式定理(dìnglǐ)
1．3 ．1 二项式定理
12/8/2021

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课前导引素材新人教B版选修2-3

二项式定理问题导入求二项式〔x 2+x 21〕10展开式中常数项. 思路分析：展开式中第r+1项为r C 10〔x 2〕10-r ·〔x 21〕r,要使得它是常数项必须使x 指数为0，依据是x 0=1〔x≠0〕.解：设第r+1项为常数项，那么T n+1=r C10〔x 2〕10-r ·〔x 21〕r =r C 10·r x 2520-〔21〕r . 令2025-r=0,得r=8.∴T 9=810C 〔21〕8=25645. 温馨提示使二项式展开式某一项为常数项，就是使这一项不含“变元〞，一般采用令变元指数为零方法解答这类问题.知识预览1.二项式定理〔a+b 〕n =0n C a n +1n C a n-1b 1+…+r n C a n-r b r +…+nn C b n 〔n∈N *〕.这个公式所表示定理叫做二项式定理.〔1〕二项展开式：右边多项式叫做〔a+b 〕n 二项展开式.〔2〕项数：二项展开式中共有_____________项.〔3〕二项式系数：在二项展开式中各项系数_____________〔r=_____________〕叫做二项式系数.〔4〕通项：在二项展开式中_____________叫做二项展开式通项，用T r+1表示，即通项为展开式第r+1项：T r+1=_____________.答案：n+1 r n C 0,1,2,…,n r n C a n-r b r rn C a n-r b r 3.在二项式定理中，如果设a=1,b=x,那么得到公式：〔1+x 〕n =_____________.假设a=1,b=-x,那么得到公式：〔1-x 〕n =_____________.答案：1+1n C x+…+n n C x n 1-1n C x+2n C x 2-3n C x 3+…+〔-1〕n n n C x n。

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理讲义新人教A版选修2_3

1．3.1 二项式定理知识点二项式定理及其相关概念1．二项式定理二项展开式：(a＋b)n＝□01C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理，其中各项的系数□02C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．特别地，(1＋x)n＝□031＋C1n x＋C2n x2＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n(n∈N*)．结构特点：(1)各项的次数都□04等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；05n＋1项．(3)共有□2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的第k＋1项□06C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即T k＋1＝□07C k n a n－k b k.(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)1．注意区分项的二项式系数与系数的概念二项展开式的第r＋1项的二项式系数是C r n，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第r＋1项的系数则是二项式系数C r n 与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C15，而第二项的系数则是C15·24.注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．2．要牢记C k n a n－k b k是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a ＋b )n展开式中共有n 项．( )(2)二项式(a ＋b )n与(b ＋a )n展开式中第r ＋1项相同．( ) (3)C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( )答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是________． (2)展开⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 4为________．(3)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．答案 (1)－560x 10(2)1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4 (3)10解析 (1)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·x16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ，所以第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10＝－560x 10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 4＝1＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x4.(3)T 4＝C 35x 2y 3含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.探究1 二项式定理的正用与逆用例1 (1)若f (x )＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋4，则f (2019)－f (－2019)的值为________；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4的展开式．[解析] (1)根据f (x )的解析式，逆用二项式定理，得f (x )＝[(x －1)＋1]4＋3＝x 4＋3.显然f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，∴f (2019)－f (－2019)＝0.(2)解法一：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14·(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.解法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x 2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1)＝x 2－2x＋32－12x ＋116x2. [答案] (1)0 (2)见解析拓展提升二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a ＋b )n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：将展开式合并成二项式(a ＋b )n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．[跟踪训练1] (1)用二项式定理展开⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4；(2)化简1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn .解 (1)解法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x2(1＋3x )4＝1x 2[1＋C 14(3x )＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4) ＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn ＝C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝(1＋2)n＝3n.探究2 利用二项式定理求某些特定项例2 已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项．[解] (1)由题意得，T r ＋1＝C rn(3x )n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r n x n －2r 3(r ＝0,1,2，…，n )．∴T 6＝T 5＋1＝(－1)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125C 5n ·xn －103，又第6项为常数项，∴n －103＝0，∴n ＝10.(2)由(1)知T r ＋1＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r10·x 10－2r 3，令10－2r3＝2，得r ＝2. ∴x 2的系数为(－1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 210＝454.含x 2这一项的二项式系数为C 210＝45.(3)由题意得，10－2r3为整数，其中0≤r ≤10，r ∈Z .∵T r ＋1为有理项， ∴10－2r3为有理数，∴10－2r ＝0，或10－2r ＝6，或10－2r ＝－6，得r ＝5或r ＝2或r ＝8. ∴有理项为T 3＝C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫122x 2＝454x 2，T 6＝C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝－638， T 9＝C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128·x －2＝45256x －2. 拓展提升求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．[跟踪训练2] (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是________．答案 (1)1 (2)7解析 (1)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x9－r(－a )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xr ＝C r 9·(－a )r x 9－2r(0≤r ≤9，r ∈N )．当9－2r ＝3时，解得r ＝3，代入得x 3的系数，根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1. (2)展开式的通项为T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－r －13r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－43r (0≤r ≤8，r ∈N )．令8－43r ＝0，得r ＝6，则T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫128－6C 68＝7.探究3 整除及余数问题例3 (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求9192被100除所得的余数． [解] (1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1 ＝(1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋C 910·10＋1)－1 ＝1010＋C 110·109＋C 210·108＋…＋102＝100(108＋C 110·107＋C 210·106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.拓展提升利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．[跟踪训练3](1)求证32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除；(2)求230－3除以7的余数．解(1)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋C n＋1n＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋C n－1n＋182＋C nn＋1·8＋1－8n－9＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋C n－1n＋182.该式每一项都含因式82，故能被64整除．(2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 ＝C010710＋C11079＋…＋C9107＋C1010－3＝7×(C01079＋C11078＋…＋C910)－2.又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.1．若(2x －3x )n ＋3的展开式中共有15项，则自然数n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 A解析因为(2x －3x )n ＋3的展开式中共n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11.选A.2．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 B解析二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x2r ＝(－1)r ·2r C r 5x 15－5r，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3×23×C 35＝－80.选B.3．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5 答案 C解析由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有C 适合．4．(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于________．答案 70解析 ∵(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝41＋29＝70.5．求(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数．解 ∵(x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10，本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x8及x10的系数．由T r＋1＝C r10x10－r·2r，取r＝2得x8的系数为C210×22＝180，又x10的系数为C010＝1，因此所求系数为180－1＝179.。

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理

解答
类型二二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数
例2

已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
解

3

x－32x10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10(3
x)10－k－32xk
103k
x ＝Ck10310－k－23k· 2 (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究若(1＋ 3)4＝a＋b 3(a，b 为有理数)，则 a＋b＝___4_4__. 解析 ∵(1＋ 3)4＝1＋C14×( 3)1＋C24×( 3)2＋C34×( 3)3＋C44×( 3)4 ＝1＋4 3＋18＋12 3＋9＝28＋16 3， ∴a＝28，b＝16， ∴a＋b＝28＋16＝44.
跟踪训练1 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋ 1)－1. 解原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1)－ C55(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
解答
(2)求展开式第4项的系数；解展开式的第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760. (3)求第4项. 解展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
解答
反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念. (2)第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 Ckn. 例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.

2018-2019学年高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理优质课件

类型 3 混淆二项式系数与项的系数致误(误区警示) [典例 3] 设(x－ 2)n 展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，则含 x2 的项是________．易错提示：若将“二项展开式中的二项式系数”与 “二项展开式中项的系数”混为一谈，则会出现错解．
防范措施：二项式(a＋bx)n 的展开式的二项式系数是 Cnr (r∈N*，r≤n)，它们是一组仅与二项式的幂的指数 n 有关的(n＋1)个组合数，而与 a，b 无关，即展开式的第(r ＋1)项的二项式系数 Crn与第(r＋1)项的系数是不同的概念．明白了这一区别则不会出现错误．
2．(x＋2)n 的展开式共有 12 项，则 n 等于( )
A．9
B．10
C．11
D．8
解析：因为(a＋b)n 的展开式共有 n＋1 项，而(x＋2)n
的展开式共有 12 项，所以 n＝11.
答案：C
3．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1 得 ()
A．(x－1)4 B．x4 C．(x＋1)4 D．x5 解析：原式＝[(x－1)＋1]4＝x4.
解得n＝10.
(2)令2n－52k＝5，得k＝25(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)6124C610＝1085.
(3)要使2n－
5 2
k，即
40－5k 2
为整数，只需k为偶数，
由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，
分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
归纳升华 1.求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

高中数学第1章计数原理1.31.3.1二项式定理课件新人教A版选修2_3

思考 2：二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknan－kbk，而(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknbn－kak.
1．(x＋1)n 的展开式共有 11 项，则 n 等于( )
A．9
B．10
C．11
1)n－k＋…＋(－1)nCnn.
[解]
(1)法一：
x－21 x4＝C04(
x)4－C14(
x)3·21 x＋C24(
x)2·2
1
x
2－C34 x·21 x3＋C4421 x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
法二：
x－21 x4＝22x－x14＝161x2(2x－1)4
＝161x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
40 10 [∵T3＝C25(2x)2＝C2522x2＝40x2， ∴第 3 项的系数为 40，第 3 项的二项式系数为 C25＝10.]
合作探究释疑难
二项式定理的正用和逆用
【例 1】
(1)求
x－21 x4的展开式；
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋ Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
二项式定理的双向功能 1．正用：将二项式(a＋b)n 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开． 2．逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n 的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．

【配套K12】[学习]2017-2018学年高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.

1.3.1 二项式定理[课时作业] [A 组基础巩固]1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．答案：B2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( ) A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 答案：D3．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：先求出(1＋x )5含有x 与x 2的项的系数，从而得到展开式中x 2的系数．(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D. 答案：D 4．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：T r ＋1＝C r n(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x5r2n -，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．答案：B5．(x 2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析：(1x 2－1)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(1x2)5－r ·(－1)r，r ＝0,1,2,3,4,5.当因式(x 2＋2)提供x 2时，则取r ＝4；当因式(x 2＋2)提供2时，则取r ＝5. 所以(x 2＋2)(1x－1)5的展开式的常数项是5－2＝3.答案：D6．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案) 解析：利用二项展开式的通项公式求解．x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20. 答案：－207．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．解析：二项展开式的通项公式T k ＋1＝C k20x20－k·(43y )k ＝C k20(43)k x 20－k y k (0≤k ≤20)．要使系数为有理数，则k 必为4的倍数，所以k 可为0,4,8,12,16,20共6项，故系数为有理数的项共有6项．答案：68．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14∶3，则展开式中的常数项为________．解析：由已知条件得：C 4n ∶C 2n ＝14∶3，整理得：n 2－5n －50＝0，所以n ＝10，所以展开式的通项为：T k ＋1＝C k 10(x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k＝C k 10·2k·x1052k -，令10－5k 2＝0，得k ＝2，所以常数项为第三项T 3＝22C 210＝180. 答案：1809．用二项式定理证明1110－1能被100整除．证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C 110×109＋…＋C 910×10＋1)－1 ＝1010＋C 110×109＋C 210×108＋…＋102＝100×(108＋C 110×107＋C 210×106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除．10.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．解析：由题意知C 8n ＝C 9n ， ∴n ＝17，T r ＋1＝C r17x 172r-·2r·x3r -，∴17－r 2－r3＝1，∴r ＝9，∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3， ∴T 10＝C 917·29·x ，其一次项系数为C 91729.[B 组能力提升]1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r7·(2x )7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xr ＝27－r C r 7a r·1x2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a＝1.故选C. 答案：C2．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：二项式(1＋3x )n的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r .依题意得C 5n ·35＝C6n·36，即n n －n －n －n －5！＝3×n n －n －n －n －n －6！(n ≥6)，得n ＝7.答案：B3．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________. 解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3， ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a4．(2015年高考福建卷)(x ＋2)5的展开式中，x 2的系数等于________(用数字作答)．解析：T r ＋1＝C r 5x 5－r·2r ，令5－r ＝2，得r ＝3，所以x 2的系数为C 35×23＝80.答案：805．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，求a 的值．解析：∵T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a )r C r6x 362r－，令r ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令r ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4. 由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0，所以a ＝2.6．在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． (1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项．解析：T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x 1233n r －. 由前三项系数的绝对值成等差数列，得C 0n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 2n ＝2×12C 1n ，解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去)． (1)展开式的第4项为：T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48＝358.。

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课件新人教B版选修2_3

1.3.1 二项式定理
1.理解用组合的知识推导二项式定理,弄清其适用范围. 2.理解通项的意义,并会灵活运用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的一些简单的问题.
二项式定理
0 n 1 n-1 2 n-2 2 (1)二项式定理:(a+b)n=C�� a +C�� a b+C�� a b +…+ �� n +…+C�� b (n∈N+).
�� 名师点拨 (1)展开式中第r+1项的二项式系数 C�� 与第r+1项的系数,在一般情况下是不相同的. (2)在通项中共含有a,b,n,r,Tr+1这5个元素,只要知道其中4个元素, 便可求出第5个元素的值.在有关二项式定理的问题中,常常会遇到: 知道这五个元素中的若干个(或它们之间的关系),求另外几个元素的问题.这类问题一般是利用通项,把问题归结为解方程(组)或不等式(组),这里要注意n为正整数,r为非负整数,且r≤n.
【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是( A.2n B.n+1 C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n, 所以展开式有2n+1项. 答案:C
)
0 1 �� 【做一做 1-2】化简:C�� (x+1)n-C�� (x+1)n-1+…+(-1)rC�� (x+1)nr �� +…+(-1)nC�� = .
(1)展开式中含x的一次幂的项; (2)展开式中所有含x的有理项; (3)展开式中系数最大的项. 分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通项求特定项.

【配套K12】高中数学第一章计数原理5二项式定理2教案北师大版选修2_3

二项式定理一、教学目标：1、知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。

2、过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题。

3、情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

二、教学重难点：掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式三、教学方法：探析归纳，讨论交流四、教学过程（一）、复习：()n a b +=011n n r n r r n n n n n n C a C a b C a b C b --++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ （n N ∈）,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做()na b +的，其中r n C （r=0,1,2,……,n ）叫做，叫做二项展开式的通项，通项是指展开式的第项，展开式共有个项。

1.展开4)x 1x (+； 2. 展开6)x 1x 2(-。

(二)、探究新课1、二项式展开式的通项公式：r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=．2、通项公式的应用：⑴求某一指定项或项的系数；⑵求特殊项或系数。

注意：区分项的系数与二项系数。

（三）、例题（2）9(3x 的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项， 489912593423T C x x --=⋅=，159********T C x--=⋅= 。

例2．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数。

解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280。

（2）∵91()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-，∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =。