第二章 平面体系的机动分析

2. 一个刚片的自由度——3 刚片——平面内一个几何不变的刚 体(它可以是一根杆件：直杆、曲杆 或由若干杆件组成的几何不变体系)。 15:29
o o
y x x
A(x,y)
y x
A(x,y)
y x
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算
二、约束（联系）： ----约束(restraint) ：凡能减少自由度的装置（即能限制体
§2-2 平面体系的自由度计算 如果体系不与基础相连，即r=0时， 体系对基础有三个自由度，仅研究体系 本身的内部可变度V。 则知 W V 3
得：V
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W 3 3m 2h 3
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算
例1．
1 ①
ห้องสมุดไป่ตู้
2
②
3
解:
w 3m (2h r ) 3 3 (2 2 4) 1
Ⅲ θ 2 Ⅱ
θ 3
XA 、 YA 实际自由度（五个）： 、 θ1 、 θ2 、 θ3 ； 铰A相当于两个单铰。 结论：连接n个杆件的复铰，相当于(n－1)个单铰。 15:29 其他情况自己推导，记住结论。
必要约束 ( necessary restraints)：体 系中增加一个或减少一个该约 束，将改变体系的自由度数。 多余约束 ( redundent restraints)：体 系中增加一个或减少一个该约束 并不改变体系的自由度数。
小
W>0, W=0,
结
缺少足够联系，体系几何可变。 具备成为几何不变体系所要求 的最少联系数目。
W<0， 体系具有多余联系。 W> 0
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体系几何可变
W< 0
体系几何不变
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算
复习： 自由度的讨论：
利用公式：
W 3m (2h r )
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多余约束
必要约束
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 2.平面刚片系的组成：
简单铰 ⑴各刚片间用铰相连 复铰 ⑵各刚片用一定的支杆 (sup portLink )与基础相连。
连接方式
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结构力学
Structural mechanics
第二章 平面体系的机动分析
东北大学资土学院土木工程研究所 陈百玲
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第二章 平面体系的机动分析
问题：是不是任何一个结构都能成为工程结构？ §2-1 基本概念： 一、几何不变体系：
(geometrically stable system)： 一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本 身的弹性变形而能保持其几何形状和位置不变 的体系。
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第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 结论：W≤0是体系几何不变的必要条 件，而不是充分条件，还必须通过几 何组成分析才能得出体系几何可变或 几何不变。
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第二章 平面体系的机动分析
§2-3 几何不变体系的构成规则 ( Geometric construction analysis (Kinematics analysis）) 一、三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰 两两相连，所组成的平面体系几何不变。
m 3, h 2, r 4
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第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算
例2. 不与基础相连
解:
m 7, h 9
内部可变度：
1 1
1 1 1
V 3m 2h 3 3 7 2 9 3
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2
2
0
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 4、平面链杆系的自由度(桁架):
§2-2 平面体系的自由度计算 一根链杆 → 一个约束 即两点间加一链杆，则减少一个自由度。 设一个平面链杆系： 铰结点数： j 自由度：2j 链杆数： b 约 束： b 支座链杆数：r 约 束： r 则体系自由度：W 2 j b r 内部可变度： v w 3 2 j b 3 15:29
§2-1 基本概念： 二、几何可变体系：
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第二章 平面体系的机动分析
§2-1 基本概念： 三、瞬变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考
虑材料应变的前提下，体系产生瞬时变形后，由几何 可变体系变为几何不变体系，则称为几何瞬变体系。
FP
FP
15:29
瞬变体系分析: 特点：
从微小运动角度看，这是一 个可变体系； 微小运动后即成不变体系。 15:29
系运动的装置）。
1.常见约束装置： （单约束、复约束） （1）单约束 仅连接两个刚片的约束. 1）单链杆 1个单链杆 = 1个约束。 链杆可以是曲的、 折的杆，只要保持两铰 间距不变，起到两铰连 线方向约束作用即可 1个单刚结点=3个约束
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2）单刚结点
3）单铰(简单铰)
1个单铰=2个约束=2个单链杆。
虚铰——在运动中虚铰的位置不定， 这是虚铰和实铰的区别。通常我们 研究的是指定位置处的瞬时运动， 因此，虚铰和实铰所起的作用是相 同的都是相对转动中心。
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第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 ⑵ 复约束：连接两个以上刚片的约束。 复铰 复刚
一个连接 n个刚片的复铰相当 于(n-1)个单铰，相当于2(n-1) 个约束。
一个连接 n个刚片的复刚相当 3(n-1)个约束。 连接n个结点的复链杆相当于 2n-3个单链杆
复链杆
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以连接三刚片的复铰为 例，推导：
A
θ1
Ⅰ
分析：
一个刚片有三个自由 度，没连接前，三刚 片共有9个自由度；用 铰A连接后，实际自 由度为5，共减少了4 个自由度；一个单铰 减少两个自由度，所 以说铰A相当于两个 单铰作用。
§2-3 几何不变体系的构成规则 ⑶三平行杆等长，但不在同一侧，组成瞬 变体系( 图③ )。
1
Ⅱ
2
3
15:29
图③
温馨提示1： 三个规律只是相互之间变相，
终归为三角形稳定性。
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温馨提示2：每个规律的条件是必须的，否则将 成为可变体系。
如果规律的条件不具备：
FP FP
FN


FN
FP FN 2 sin
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算
例3 ．
j=9 b=15 r=3
W 2j br 2 9 15 3
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0
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算
例4．
j=6 b=9 r=3
w 26 9 3
W=0 几何不变
0
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组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； 15:29 • 约束布置方式合理。
第二章 平面体系的机动分析
§2-2平面体系的自由度计算： (Degrees of freedom of planar systems)
一、自由度： 物体做刚体运动时，可以独立变化的几何参数的 个数，也即确定物体的位置所需的独立坐标数。 y 1. 一个点的自由度 ——2
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A
刚片1
B
第二章 平面体系的机动分析
§2-3 几何不变体系的构成规则 几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为 几何不变体系。
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第二章 平面体系的机动分析
§2-3 几何不变体系的构成规则 三、两刚片规则： 两个刚片用一个铰和一个不通过该铰铰 心的链杆连接，组成几何不变体系。
铰
链杆
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。 平面上一个点有两个自由度。 如图：A、B两点共有四个自由度： YA 、 X A、 XB 、 YB B 两点用一链杆相连后有： L A ( X B X A ) 2 (YB YA ) 2 L2
可见独立的参数仅三个。
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第二章 平面体系的机动分析
第二章 平面体系的机动分析
§2-2平面体系的自由度计算
5、自由度的讨论：
⑴ W>0 几何可变 ⑵ W=0 具有成为几何不 变所需的最少联系
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第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 (3) W<0 有多余联系
W<0 几何不变 15:29
W<0 几何可变
因此，体系几何不变的必要条件： W≤0
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算
3、平面刚片系的自由度计算公式： 设有一个平面刚片系 ：
刚片数： m 单铰数： h 支座链杆数：r
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自由度：3m 约 束： 2h 约 束： r
体系自由度（计算）： W 3m (2h r )
第二章 平面体系的机动分析
Ⅱ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
几何不变
几何不变
几何可变 （瞬变）
两链杆的交点——单铰
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实铰 交点不在无穷远处 虚铰交点在无穷远处
第二章 平面体系的机动分析
§2-3 几何不变体系的构成规则
二、 二元体规则 在刚片上增加（或减少）一个二元体， C 是几何不变体系。
二元体——由两根不共 线的链杆联接一个新结 点的装置，这个“两杆 一铰”体系，称为二元 体。
P
几何不变
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弹性变形
第二章 平面体系的机动分析