江苏省淮安市淮海中学2016届高三上学期11月月考数学试卷(文科)

2015-2016学年江苏省淮安市淮海中学高三（上）11月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=__________．2．复数z=（1﹣2i）2+i的实部为__________．3．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生．4．从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数和为5的概率是__________．5．函数的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为__________．6．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为__________．7．等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=__________．8．在平面直角坐标系中，直线x﹣=0被圆x2+y2=4截得的弦长为__________．9．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的__________倍．10．已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+b﹣m=__________．11．设P为△ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD=2，若，则=__________．12．已知函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为__________．13．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为__________．14．已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2015）上零点的个数为__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知α∈（，π），tanα=﹣2（1）求的值；（2）求的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1=4，M是棱CC1上的一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若N是AB的中点，求证CN∥平面AB1M．17．（14分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C．（1）若C的坐标为（﹣1，1），求椭圆方程和圆C的方程；（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率．18．（16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2θ，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值．19．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}中a1=1，在a1、a2之间插入1个数，在a2、a3之间插入2个数，在a3、a4之间插入3个数，…，在a n、a n+1之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列{a n}中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{b n}．（1）若a4=19，求{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足=b n+μ（λ、μ为常数），求{a n}的通项公式．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选修4-1：几何证明选讲）（本小题满分0分）21．已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点．求证：直线PC经过点E．B.（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分0分）22．（选修4﹣2：矩阵与变换）设M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．C.（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分0分）23．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数）．（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长．D.（选修4-5：不等式选讲）（本小题满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对任意a，b∈R恒成立，求实数x的取值范围．【必做题】第25，26题，每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 25．已知A为曲线C：4x2﹣y+1=0上的动点，定点M（﹣2，0），若，求动点T 的轨迹方程．26．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB的夹角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC与面BMC夹角的余弦值．2015-2016学年江苏省淮安市淮海中学高三（上）11月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B={0，2}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中方程变形得：x（x﹣2）=0，解得：x=0或x=2，即A={0，2}，∵B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}；故答案为：{0，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数z=（1﹣2i）2+i的实部为﹣3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，则复数的实部可求．【解答】解：z=（1﹣2i）2+i=12﹣4i+（2i）2+i=﹣3﹣3i，∴复数z=（1﹣2i）2+i的实部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．4．从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数和为5的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数和为5的有2种情形，由概率公式可得．【解答】解：从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，其中满足所取2个数和为5的有（1，4），（2，3）共2种情形，∴所求概率为=故答案为：【点评】本题考查列举法表示基本事件及求概率，属基础题．5．函数的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为x=．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先求出函数的对称轴方程为x=，k∈Z，从而可求离坐标原点最近的一条对称轴的方程．【解答】解：∵函数的对称轴方程为x=，k∈Z∴当k=﹣1时，x=是离坐标原点最近的一条对称轴的方程．故答案为：x=．【点评】本题主要考察了正弦函数的图象与性质，属于基础题．6．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为7．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．【解答】解：执行一次循环，y=3，x=2，不满足|y﹣x|≥4，故继续执行循环；执行第二次循环，y=7，x=3，满足|y﹣x|≥4，退出循环故输出的y值为7，故答案为：7【点评】本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．7．等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=4．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1求出a1和q得到通项公式即可求出a3．【解答】解：∵等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得：a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q=则a3=a1q2=4或﹣4∵等比数列{a n}的公比大于1，则a3=a1q2=4故答案为4【点评】考查学生利用等比数列性质的能力．8．在平面直角坐标系中，直线x﹣=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出圆心到直线x﹣=0的距离，利用勾股定理，可得结论．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2∵圆心到直线x﹣=0的距离为d==，∴弦AB的长等于2=2故答案为：2．【点评】本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查学生的计算能力，属于基础题．9．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的2倍．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的性质，公式转化为用r表示的式子判断．【解答】解：∵一个圆柱和一个圆锥同底等高∴设底面半径为r，高为h，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴πrl=2πr2，l=2rh=r∴圆柱的侧面积=2πrl=2πr2，其底面积=πr2∴圆柱的侧面积是其底面积的2倍，故答案为：．【点评】本题考查了旋转体的几何性质，表面积的运算公式，属于中档题．10．已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+b﹣m=2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求出函数y=ax+的导数，求出切线的斜率，由已知切线，得到a﹣2=﹣1，从而得到m，再由切线过切点，即可得到b，进而得到a+b﹣m．【解答】解：点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，则m=a+2，函数y=ax+的导数y′=a﹣，该函数图象在P点处的切线斜率为a﹣2，由于直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则有a﹣2=﹣1，即a=1，m=3，b=1+m=4，则有a+b﹣m=1+4﹣3=2．故答案为：2．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．11．设P为△ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD=2，若，则=0．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的三角形法则可得=（）•（）=﹣（）•+，由数量积运算即可得出结论．【解答】解：由题意可得PA=PD=1，=2，∴=（）•（）=﹣（）•+=﹣3+2×1×1+1=0．故答案为0．【点评】本题主要考查向量加减的运算法则及数量积运算等知识，属于基础题．12．已知函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a﹣1）+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3=a+b，a＞1，b＞0．∴（a﹣1）+b=2．∴+===，当且仅当a﹣1=2b=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．13．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为[﹣1，+∞）．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】化简函数f（x），根据函数f（x）的单调性，解不等式即可．【解答】解：当x≤2时，f（x）=x|x﹣2|=﹣x（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，当x＞2时，f（x）=x|x﹣2|=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，此时函数单调递增．由f（x）=（x﹣1）2﹣1=1，解得x=1+．由图象可以要使不等式成立，则，即x≥﹣1，∴不等式的解集为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，使用数形结合是解决本题的基本思想．14．已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2015）上零点的个数为11．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．【解答】解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，而y=在x=时也有y=1；当x∈[2，22）时，f（x）=f（），在x=3处函数f（x）取得最大值，而y=在x=3时也有y=；当x∈[22，23）时，f（x）=f（），在x=6处函数f（x）取得最大值，而y=在x=6时也有y=；…，当x∈[210，211）时，f（x）=f（），在x=1536处函数f（x）取得最大值，而y=在x=1536时也有y=；综合以上分析，将区间（1，2015）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．故答案为：11．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知α∈（，π），tanα=﹣2（1）求的值；（2）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由可求得sinα、cosα的值，利用两角和的正弦即可求得的值；（2）由sin2α=2sinαcosα=可求得cos2α的值，利用两角差的余弦可得的值．【解答】解：（1）由得：，…，=…（2）sin2α=2sinαcosα=…，公式和结论各…，．…，公式和结论各【点评】本题考查两角和与差的正切函数，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1=4，M是棱CC1上的一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若N是AB的中点，求证CN∥平面AB1M．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）通过证明BC⊥C1C，BC⊥AC，推出BC⊥平面ACC1A1，然后证明BC⊥AM．（2）取AB1的中点P，连接MP，NP，证明NP∥B B1，推出NP∥CM，然后证明CN∥平面AB1M．【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴C1C⊥平面ABC，∴BC⊥C1C，又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵AM在平面ACC1A1上，∴BC⊥AM．…（2）证明：取AB1的中点P，连接MP，NP，∵P为A B1中点，N为AB中点，∴NP为△AB B1的中位线，∴NP∥B B1，又∵C1C，B1B都是直三棱柱的棱，∴C1C∥B1B，∴MC∥B1B，∴NP∥CM，∴NPCM共面，∴CN∥平面AB1M…（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直的性质定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．17．（14分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C．（1）若C的坐标为（﹣1，1），求椭圆方程和圆C的方程；（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得三角形BFO外接圆圆心为斜边BF中点C，由此求得b，c的值，结合隐含条件求出a，则椭圆方程和圆C的方程可求；（2）由AD为圆C的切线，得到AD⊥CO，联立直线和椭圆方程求得A的坐标，由得到a，b，c的关系式，结合隐含条件可求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵三角形BFO为直角三角形，∴其外接圆圆心为斜边BF中点C，由C点坐标为（﹣1，1）得，b=2，c=2，∴a2=b2+c2=8，则圆半径，∴椭圆方程为，圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2；（2）由AD与圆C相切，得AD⊥CO，BF方程为，由，得，由，得b4=2a2c2，（a2﹣c2）2=2a2c2a4﹣4a2c2+c4=0，解得：=．【点评】本题考查了椭圆与圆的方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此题的关键是由平面几何知识得到对应的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．18．（16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2θ，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；导数的综合应用；解三角形．【分析】（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，利用余弦定理，结合基本不等式，即可得出结论；（2）利用梯形的面积公式，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值．【解答】解：（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，，即，…2分所以，，…4分所以m+n≤100，当且仅当m=n=50时，m+n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值．答：当OA、OB都为50m时，△OAB的周长最大．6分（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，所以∠DOE=θ，由CD≤200，得．8分在△ODF中，DF=200sinθ，OF=200cosθ．又在△AOE中，，故EF=200cosθ﹣25.10分所以，==，．…12分令，，，，又y=及y=cos2θ在上均为单调递减函数，故f'（θ）在上为单调递减函数．因＞0，故f'（θ）＞0在上恒成立，于是，f（θ）在上为单调递增函数．…14分所以当时，f（θ）有最大值，此时S有最大值为．答：当时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为m2．…16分．【点评】本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查利用导数知识解决最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】（1）当a=0时，化简函数f（x）=3xlnx﹣1并求定义域，再求导数f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），从而由导数确定函数的极值；（2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）=3（ax2+lnx+1），再令g（x）=ax2+lnx+1，再求导g′（x）=2ax+=，从而由导数的正负性分类讨论以确定函数是否有极值点及极值点的个数．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），故f（x）=3xlnx﹣1在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；故f（x）在x=时取得极小值f（）=﹣3﹣1；（2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），f′（x）=3（ax2+lnx+1），令g（x）=ax2+lnx+1，则g′（x）=2ax+=，当a＞0时，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，故f′（x）=3（ax2+lnx+1）在（0，+∞）上是增函数，而f′（）=3[a（）2+ln+1]=3a（）2＞0，故当x∈（，e）时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在区间（，e）上单调递增，故f（x）在区间（，e）上没有极值点；当a=0时，由（1）知，f（x）在区间（，e）上没有极值点；当a＜0时，令=0解得，x=；故g（x）=ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，①当g（e）•g（）＜0，即﹣＜a＜0时，g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令g（）=0得=0，不可能；③令g（e）=0得a=﹣，所以∈（，e），而g（）=g（）=+ln＞0，又g（）＜0，所以g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，0）．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，化简比较困难，属于难题．20．（16分）已知数列{a n}中a1=1，在a1、a2之间插入1个数，在a2、a3之间插入2个数，在a3、a4之间插入3个数，…，在a n、a n+1之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列{a n}中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列{b n}．（1）若a4=19，求{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足=b n+μ（λ、μ为常数），求{a n}的通项公式．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）设正项等差数列{b n}的公差为d．由题意可得：b1=a1=1，b10=a4=19，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）=b n+μ（λ、μ为常数），可得．设正项等差数列{b n}的公差为d＞0．分别取n=1，2，3可得，解得λ，μ，d=1．可得，利用递推式可得：b n﹣b n﹣1=1，因此b n=n．利用a n=即可得出．【解答】解：（1）设正项等差数列{b n}的公差为d．由题意可得：b1=a1=1，b10=a4=19，19=1+9d，解得d=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）∵=b n+μ（λ、μ为常数），∴．设正项等差数列{b n}的公差为d＞0．分别取n=1，2，3可得，解得λ=，μ=，d=1．∴，化为，∴当n≥2时，，∴2b n=﹣﹣b n﹣1，化为（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1﹣1）=0，∵∀n∈N*，b n＞0，∴b n﹣b n﹣1=1，∴等差数列{b n}的公差为1，首项为1，∴b n=1+（n﹣1）=n．∴a n==．【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、新定义数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选修4-1：几何证明选讲）（本小题满分0分）21．已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点．求证：直线PC经过点E．【考点】圆周角定理．【专题】立体几何．【分析】连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB 的平分线，E是下半圆的中点，得到∠AOE=∠BOE=90°，利用圆周角定理得到．利用，∠APB的平分线有且只有一条，只要证明PC与PE重合．【解答】证明：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点则∠AOE=∠BOE=90°．…因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，所以．…同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分线．…又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．所以直线PC经过点E．…【点评】本题考查了圆周角定理的运用；关键是熟练圆周角定理的内容，正确运用．B.（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分0分）22．（选修4﹣2：矩阵与变换）设M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．【考点】二阶矩阵；矩阵的应用．【专题】计算题．【分析】根据矩阵的乘法法则求出MN，设p（x，y）是所求曲线上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0（x0，y0）在矩阵MN变换下的对应点，然后根据变换的性质求出曲线方程．【解答】解：∵M=，N=，MN==，设p（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点p0（x0，y0）在矩阵MN变换下的对应点，则=，∴，即，又点p0（x0，y0）在曲线y=sinx 上，故y0=sinx0，从而y=sin2x，所求曲线的方程为y=2sin2x．…【点评】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查学生掌握二阶矩阵的乘法法则，以及求出直线方程利用矩阵的变换所对应的方程．C.（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分0分）23．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数）．（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；坐标系和参数方程．【分析】（1）展开两角差的正弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得到直线l的直角坐标方程，两式平方作和消去θ得到圆的普通方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用弦心距、圆的半径及弦长的关系求得答案．【解答】解：（1）由，得，∴y﹣，即．圆的方程为x2+y2=100．（2）圆心（0，0）到直线的距离d=，y=10，∴弦长l=．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了弦心距、圆的半径及弦长的关系，是基础题．D.（选修4-5：不等式选讲）（本小题满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对任意a，b∈R恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】先分离出含有a，b的代数式，即（|a+b|+|a﹣b|）≥f（x）恒成立，问题转化为求左式的最小值，然后利用绝对值的几何意义得答案．【解答】解：不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对任意a，b∈R恒成立，即（|a+b|+|a﹣b|）≥f （x）恒成立，故f（x）小于等于（|a+b|+|a﹣b|）的最小值，∵（|a+b|+|a﹣b|）≥（|a+b+a﹣b|）=2，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0时取等号，∴（|a+b|+|a﹣b|）的最小值等于2．则|x﹣1|+|x﹣2|≤2．左边的几何意义为数轴上的动点x与两定点1，2的距离和，如图，当x∈[]时，满足|x﹣1|+|x﹣2|≤2．故x的取值范围是[]．【点评】本题主要考查了不等式的恒成立问题，通常采用分离参数的方法解决，考查了绝对值的几何意义，属于中档题．【必做题】第25，26题，每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 25．已知A为曲线C：4x2﹣y+1=0上的动点，定点M（﹣2，0），若，求动点T的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出A（x0，y0），T（x，y），利用条件，到点A与点T坐标间的关系式，由此关系式代入点A所满足的方程y0=4x02+1，消去x0和y0，转化为x、y的方程．【解答】解：由题意，设A（x0，y0），T（x，y），∵定点M（﹣2，0），，∴（x﹣x0，y﹣y0）=2（﹣2﹣x，﹣y），∴x0=3x+4，y0=3y，∵A为曲线C：4x2﹣y+1=0上的动点，∴y0=4x02+1，∴4（3x+4）2﹣3y+1=0，即为所求轨迹方程．【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查用代入法求轨迹方程，关键是理解题意，将向量条件转化为坐标关系．26．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB的夹角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC与面BMC夹角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】建立空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、M，的坐标（Ⅰ）通过证明AP⊥DC．利用AD⊥DC，证明DC⊥面PAD．然后证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求出与公式yg6d向量，即可利用cos=，求AC与PB的夹角的余弦值；（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，求出．说明∠ANM为所求二面角的平面角．利用cos==，即可求面AMC与面BMC 夹角的余弦值．【解答】解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为．（Ⅰ）证明：因，，所以，所以AP⊥DC．由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：因，故，，，所以cos==．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，=（1﹣x，1﹣y，y﹣z），=（1，0，﹣），∴x=1﹣λ，y=1，z=，要使AN⊥MC，只需，即x﹣z=0，解得．可知当时，N点的坐标（），能使，此时，有．由，得AN⊥MC，BN⊥MC，所以∠ANM为所求二面角的平面角．∵，，∴cos==所以所求面AMC与面BMC夹角的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直，直线与直线所成的角，平面与平面的二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．。