角平分线1
初中数学 角的平分线将角分成什么比例
初中数学角的平分线将角分成什么比例
角的平分线将角分成相等的两部分，即平分线将角分成1：1的比例。
详细解释如下：
1. 角的平分线：角的平分线是指一条直线，将一个角分成两个相等的角。
对于任意一个角，都存在一条唯一的平分线，将该角分成两个相等的部分。
2. 相等的两部分：当一条平分线与角的两边相交时，它将角分成两个相等的部分。
这意味着分割后的两个角的度数是相等的，它们具有相同的大小和形状。
3. 平分线的比例：由于平分线将角分成相等的两部分，所以这两个角的度数比例为1：1。
换句话说，每个角的度数是原角度数的一半。
例如，如果原角的度数为60°，则平分线将角分成两个相等的30°角；如果原角的度数为90°，则平分线将角分成两个相等的45°角。
总结起来，角的平分线将角分成相等的两部分，即1：1的比例。
这个性质在几何证明、角度计算和角度构造中经常被使用。
对于初中数学学习者来说，理解角的平分线分割角度的比例关系，有助于解决与角有关的几何问题，并在构造角的过程中正确应用平分线的性质。
角的平分线定理 定理1
角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理。
《角平分线》1
C
证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等． 几何语言： ∵∠1=∠2 PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE
A D P C E
４．用直尺和圆规平分一个已知角．
已知：∠AOB(如图)
B
E
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC ． O
Ｃ
D
A 作法： 1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．
1 2．分别以D、E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧， 2 两弧在∠AOB内交于点C．
3．作射线OC
OC就是∠AOB的平分线．
A
A D
E B F D C
B
C
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等．
(二)角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相 等的点，在这个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线．
已知：在三角形ABC中，∠BAD=∠CAD,∠ABC=2∠C. 求证: AB+BD=AC
A
B
C D
2、△ABC中，∠B与∠C的角平分线相交于点F，过 点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9， BC=10，则四边形DBCE的周长 是 。 3、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平 分∠BAC, DE⊥AB于点E,若AB=10cm,则△DBE的周长 等于 。
5.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=BC,AD平分∠BAC,D，∠A=70°，∠B与∠C的内 角平分线相交于O，∠B与∠C的外角平分线 相交于M，则∠BOC= ，∠BMC=
1.4、角平分线1
1.4、角平分线(一)
课型
新授课
教学目标
1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
教学重点
角平分线性质定理及其逆定理。
6．给出规范的表述并进一部阐释它的内涵和与角平分线性质定理的关系。因学生已经接触过线段垂直平分线判定定理的证明，所以不妨把这个证明的任务留给学生课后完成。知道对于角平分线，也有类似的结论。
三、用直尺和圆规作角的平分线
1．讲述与作图有关的数学史知识，尤其是与本节课内容接近的三等分任意角问题；让学生对此有初步的了解，开阔学生的视野，让学生体会数学家坚韧不拔的科学探索精神。
4．拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。
5．说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。说明白已是通过折纸的过程和观察得到上述猜测的。
6．在老师的表扬和鼓励中，树立起自信，知道思考的重要性。继续思考刚才的问题，发现实例中应用角平分线性质的几个例子都有类似的特点。
3．综合学生的发现，对于其中应用角平分线性质的几个例子，让学生猜想：它们应用的性质有没有什么相同的地方?
4．让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶点处要折好；然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。可以带学生完成上述操作，以便学生顺利地把注意力集中到观察折痕上。
5．让学生说出他们的猜想，并说明他们怎么想到的，暴露学生的思维过程，一是为了让学生理顺自己的思路，二是可以找到学生思维的进程。
《角的平分线的性质(1)》课件
PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究三：用角的平分线的性质解决简单问题 活动1 例1 (2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
则图中PD＝PE吗 不相等
【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线， 由此PD与PE不相等.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 重难点归纳
（1）角的平分线的性质的探究. （2）角的平分线的性质的证明及应用. （3）证明线段相等通常证明线段所在的两个 三角形全等.
边的垂线段. 哪个学生的作法正确？ 同学乙的画法是正确的．
同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线， 而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的 画法不符合要求．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：角的平分线的性质 活动2 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
证明： ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E， ∴DC=DE 又∵△AD=DF △ ∴ DCF≌ DEA（HL）
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
活动3
练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE， CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
知识回顾 问题探究 探究二：角的平分线的性质 活动3
课堂小结
随堂检测
角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为点D、E.（已知） ∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的 两边的距离相等）
角平分线1
B E
D C
仔 细 观 察 步 骤
．
尺规作角的平分线
A
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
O
折一折
A D
A P C
O
B
O
将∠AOB对折,先折出一个直角三角形(使第一条折 痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕, 你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二 次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到 ∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P 在BM上,
C
D
A
E
B
5.如图所示， △ABC中，AB=AC，M为BC 中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。
求证：MD=ME。
D B
A
E
M
C
•
反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．AΒιβλιοθήκη EF DB
C
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
1.4角平分线1
角平分线性质定理
角平分线判定定理
(1) 二者互逆，条件中都有垂直． (2) 性质定理和判断判定定理经过证明后就可以直接使用.
１.利用尺规作一个三角形三个内角的角平分线，你发 现了什么?并在信息技术课上利用几何画板验证一下。
2.认真思考独立完成 课本P习题1.9第３.４题
随堂检测
２如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB 的距离相等，则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
随堂检测
3 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足 分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( D ) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
都要经过严格的推理证明才能使用！
逻辑推理是数学的一个重要特征！
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
条件
结论
已知： 如图：
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.
求 证 ： PD＝PE
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE.
请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F， DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
角平分线的判定定理
求DE的长？ AD＝10 DE与AD有数量关系
解：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F
且DE＝DF
角的平分线的性质1
A
C
P
O
E
B
归纳
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距 离相等。
D A C P O E B
新授 几何语言描述： ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD= PE
O
D
A C
P
E
B
范例 例1.已知：如图，BC、AD分别垂直 OA、OB，BC和AD相交于E，且OE 平分∠AOB。 O 求证：EA=EB。 C D
A
1.以O为圆心，适当长为 M 半径画弧，交OA于M， C 交OB于N； 2.分别以M、N为圆 O 1 N B 心，大于 2 MN的长 为半径画弧，两弧在 ∴OC就是∠AOB ∠AOB的内部交于点C； 的平分线。 3.作射线OC。 下结论
巩固 1.已知：如图，∠AOB。 求作：OD平分∠AOB。
用直尺和圆规画角 的平分线的方法：
受确定：天上地下唯我独尊/它确定天地唯有の神剑/唯有の锋芒/即使确定至尊/都无法触其锋芒/ 这种感知让冰凌王难以置信/无法想象马开居然敢凝聚出这样の法则の/太过惊世骇俗咯/最让它震撼の确定/凝聚成功咯/ 敢凝聚和凝聚成功确定两佫概念/要成功凝聚这样の法则/马开の信念要多么坚定/对 天地の感悟何其之神/自己の元灵和身体要共振到何种地步/ 这吃要超出至尊の感悟/超出至尊の元灵/说说容易/但要做到/难比登天/ 马开身居至尊法/也拥有抪少圣法/更确定有无穷の法则/要从至尊法/圣法/法则中超脱出来/这几乎确定抪可能の/可确定马开做到咯/ 正如冰凌王想の那样/马开走到这壹 步十分抪易/抪只确定把自己の气海化作元气海/抪只确定凝聚无数法则/更确定抪断感悟自身/感悟天地/感悟各种法/才走到这壹步/而且十分侥幸/ 马开差壹点点就失败咯/可幸好の确定/它终于走到咯这壹步/ 此刻の马开
角平分线(1-2)
角平分线(1-2)
§1．4．1 角平分线（一）
教学目标
（一）知识目标
1．角平分线的性质定理的证明。
2．角平分线的判定定理的证明。
3．用尺规作已知角的角平分线。
（二）能力目标
1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言的能力。
2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。
教学重点
1．角平分线的性质和判定定理的证明。
2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。
教学难点
1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。
2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。
教学过程
1、创设问题情境：
〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC 上一点P 处,为尽快爬到OA 或OB 上控制猎物,它应该选择什幺路线,两条路线长度关系怎样?。
角平分线的性质1PPT演示课件
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。
角平分线(1)
10.5.角平分线（1）导学案教学目标：1．经历角平分线的性质的证明过程，掌握角平分线的性质定理及逆定理2．能运用角平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。
学习策略1.角平分线性质定理的应用.2.利用角平分线的有关定理解答实际问题.学习过程一.复习回顾：1、若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．2、若等腰三角形的一个外角是120°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3、若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________．二.新课学习：1.角平分线的性质定理：已知：OP平分∠AOB,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E求证：PD=PE证明：【归纳：】角平分线性质定理:文字语言：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
图形语言：符号语言：2.角平分线的判定定理：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，且PD=PE 求证：点P在∠AOB的角平分线上（即OP平分∠AOB）证明：【归纳：】角平分线判定定理:文字语言：在一个角的内部，并且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
图形语言：符号语言：例1 如图10-29，在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E,F，且DE=DF，求DE的长.三.尝试应用：1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_______；2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D 到AB的距离是________。
3.OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD四.自主总结：1.角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
最新角平分线(1)
C
∴EA=EB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等). ∵AC=27 ∴EA+EC=27 ∴EB+EC=27 ∵ EB+EC+BC=50 ∴BC=23
3. 如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸 边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等, 码头应建造在什么位置？
A● B● C●
得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A、 ∠B、∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面 “∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个 假定出发推下去，找出矛盾． 证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设
∵ ∠C=90º
∴ AD=2CD ∵ ∠B=∠BAD=30º ∴ BD=AD=2CD
方法二：
4.已知:如图,∠C=900,
∠B=300,AD是 A Rt△ABC的角平分线. E 求证:BD=2CD.
B C 过点D作DE⊥AB， D ∵ DC⊥AC， AD是Rt△ABC的角平分线
∴DE=DC
在Rt△BED中， ∠B=30º ， ∴ BD=2DE=2DC，
回顾与思考
定义： 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定， 也就是给出它们的定义。 命题： 判断一件事情的句子。 公理： 能作为证实其他命题的起始依据的公认的真命题。 定理： 经过证明的真命题称为定理。
三角形全等的判定、性质公理
判定公理1： 三边相等的两个三角形全等.（SSS）
角平分线定理
由定理2和斯特瓦尔特定理可以推导出三角形内的角平分线长公式。 如右图3，在△ABC中，AD平分∠BAC 图3可设AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，则BC=u+v 由定理2我们知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy 由 斯 台 沃 特 定 理 ， 有 w ²= ( x ²v + y ²u ) / ( u + v ) - u v 用u=xv/y,v=uy/x替换原式中的u和v 即 得 A D ²= x y - u v = A B × A C - B D × D C
应用例子
三角形内外角平分线性质定理：三角形的内外角平分线内、外分对边与其延长线所得的两条线段与夹这个角 的两边对应成比例。
谢谢观看
定理1
定理2 角平分线长
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 证明：如图1，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC 图1定理1证明图∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C ∴∠ABD=∠ACD=90° 又 AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴CD=BD 故原命题得证。 该命题有逆定理：
过C作CN∥AB，交AM的延长线于N 相似法图∵CN∥AB ∴∠ABC=∠BCN 又 ∠AMB=∠CMN ∴△ABM∽△NCM ∴AB:NC=BM:CM ∵AM是∠BAC的角平分线 ∴∠BAN=∠CAN 又 ∠BAN=∠ANC ∴∠CAN=∠ANC ∴AC=CN
作△ABC的外接圆，AM交圆于D 正弦定理法图由正弦定理，得 AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM, AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM ∵AM是∠BAC的角平分线 ∴∠BAM=∠CAM ∴sin∠BAM=sin∠CAM 又∠AMB+∠AMC=180° sin∠AMB=sin∠AMC ∴AB:AC=MB:MC
角平分线的性质(1)课件
A
Ｍ
Ｃ
大于 1ＭＮ的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部
2
交于Ｃ．
３.画射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
动手折一折
• 发现规律：
角平分线上的点到角两边的 距离相等。 A
D O E
P ·
B
C
角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的性质
第一课时
★ 什么是角的平分线？怎样画一 个角的平分线？ 从一个角的顶点出发，把这个角分成相 等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
A
C
O B
A
·
B
·
C
· ·
如图，AB＝AD，BC＝DC， 沿着AC画一条射线AE， D AE就是∠BAC的角平分线， 你知道为什么吗？
E
如何用尺规作角的平分线？
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，
A
D C
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=
B
P
·
E
O
一起来证明这个性质：
已知： ∠AOC= ∠BOC,点P 在OC上， PD ⊥OA,PE ⊥OB, 求证: PD=PE
证明：
C
A D
证明一个几何命题的步骤： 1. 2. 3.
（课本21页）
P
·
E
O
B
1. 在Rt△ABC中， ∠C 为直角，BD平分 ∠ABC，DE⊥AB于E，则：
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
从这节课中你 有哪些收获？
课堂小测
角平分线(一)
1.4角平分线（一）一、提出问题：1.角平分线的定义：______________________________________2.问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.FE DCB A四、课堂检测1.OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFDC:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDF3.△ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4.与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为____________.6.在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB 的距离是________.7.如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.。
《角平分线(1)》系列课件ppt
二尖尖的小嘴，圆乎乎的 身体，脚趾分开的。
出示图片，观察小鸭
小鸭有扁扁的小嘴，圆乎乎的 身体，脚趾是蹼连在一起的。
对比小鸡和小鸭的不同： 1、小鸡尖尖嘴，小鸭有扁扁的小嘴。 2、小鸡身体圆圆的，小鸭身体像橄榄。 3、小鸡的脚趾分开，是爪子，小鸭脚趾连在一起， 是脚蹼。
三 示范操作
老师讲解示范，小朋友操作 1、将白纸用各种鲜艳的颜色涂满。
2、再在涂满颜色的纸上用深色再 次涂色，将底色全部覆盖。
3、用小竹签在制作好的刮画纸上画 上小鸡和小鸭。
作品欣赏
作品欣赏
四 活动拓展
活动拓展
活动拓展
谢谢观看！
小鸡和小鸭
一
初步掌握蜡刻画的方法运用点线面大胆作画.体会绘 画中的色彩美和构图美。
目标 二
三
学习刻画的基本方法能用刻画的方式表现出小鸭 和小鸡的外形及细节。
尝试运用不同工具进行刻画创作,感受奇特的 效果,享受成功的喜悦。
一 导入活动
老师出示刮画纸、小竹签变魔术，激发幼儿兴趣。
教师:小朋友们你们看这张 纸是什么颜色的?(黑色)上 面是不是什么都没有?看看 等会儿老师会变出什么来。
教师拿出竹签在画纸上画出小鸡和小鸭，可以看到有彩色的 线条慢慢呈现出来,画出的小鸡和小鸭也是彩色的。
教师:小朋友们看一看老师这里 变出来的画画上有什么呀?(引 导幼儿观察教师画的小鸡和小 鸭)再看看小鸡和小鸭身上的花 纹是怎么画的呢?
介绍操作工具
小朋友们老师变的魔术好 玩吗?你们也想变魔术吗? 来看看老师是用什么变的。
角的平分线定理 定理1
角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L ×h初中数学圆的定理12不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
角平分线的性质(第1课时)
05
巩固练习与提高
Байду номын сангаас 基础练习题
题目1
已知∠AOB = 90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上移 动，两直角边分别与边OA、OB交于点C、D。求证：PC = PD。
题目2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，且BD = CD，DE、DF分别垂直于AB、 AC，垂足为E、F。求证：BE = CF。
角平分线的性质( 第1课时)
目录
• 角平分线的基本概念与性质 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用举例 • 角平分线与相关概念的联系与区
别 • 巩固练习与提高
01
角平分线的基本概念与性 质
角平分线的定义
01
角平分线是指从一个角的顶点出 发，将该角平分为两个相等的小 角的一条射线。
02
角平分线所在的直线是该角的对 称轴，即角平分线上的每一点到 角的两边的距离相等。
角平分线把三角形分成面积相等的两个三角形。因此，在三 角形中，若一条射线将三角形分成面积相等的两个三角形， 则这条射线是三角形的角平分线。
利用三角形全等判定
• 若两个三角形有两边及夹角对应相等，则这两个三角形全等（SAS）。因此，在判定角平分线时，我们可以通过构造两个三 角形并证明它们全等来判断一条射线是否为一个角的平分线。具体方法为：在角的两边上分别截取两段相等的线段，再分 别以这两段线段为邻边作两个三角形，若这两个三角形全等，则所截取的线段所在的射线就是这个角的平分线。
提高练习题
题目1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G。求证：AD 垂直平分EF。
题目2
在三角形ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC = 32，且BD:CD = 9:7，求点D到AB的距 离。
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1/2
BOD
= 1/3
A E
AD是 BAD
BAC的平分线 = CAD
（ 角平分线的意义 ）
B
D
C
ABC = 2 BE 平分
ABE ABC
（ 角平分线的意义 ）
准备一张纸，在纸上画一 个角， 你能找到它的角平分 线吗？
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分 ∠COB,求∠EOF的大小？ C E
OB 平分 AOC （ 已知 ）
AOB = 或 AOC=2 BOC =（ 角平分线定义 ）
D C B O 如图 OB 是 BOC BOC AOB = A BOC = COD， AOC 的平分线， =1/2 =1/2 AOC， BOD AOC
BOC = 1 / 2
= AOD
解：∵ OE平分 ∠ AOC，OF平分 ∠COB ∴∠EOC=1／2∠AOC, F ∠COF=1／2∠COB（角平分线的意义 O
A
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180° B （平角的意义） ∴∠EOF=∠EOC+∠COF =1／2∠AOC+1／2∠COB =1／2（∠AOC+∠COB)
=90°
如图，OC平分∠AOD,∠BOD=2∠AOB.若∠AOD=114°， 求∠BOC的度数？ 解：∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=114° B A （角的和差关系） C ∠BOD=2∠AOB
∴∠AOB=1／3∠AOD=38°
O ∵OC平分∠AOD D ∴∠AOC=1／2∠AOD=57°
（角平分线的意义） ∴∠BOC=∠AOC－∠AOB =57°－38° =19°（角的和差关系）
课堂小结
课本：第143页习题4.3 第5、10题
下课了!
2
1
C 2 1
解：∠AOC=∠AOB+∠BOC B =30°+ 30°
= 60° A
O
C B 2 1
当 把
1=
2 时，射线OB
AOC分成两个相等的角
，这时OB叫做 A
AOC 的平
AOC
O
分线，也可以说OB平分
定义：在角的内部，自顶点引一条射线把 这个角分成两个相等的角，那么，这条射 线叫做角的平分线。 几何语言（如图）：