广东省番禺区2020届高三摸底测试理科数学试题 Word版含解析

2020届番禺区高三年级摸底测试理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，{}(){}260,ln 1A x x x B x y x =--<==-，则()UAB =（ ）A. [1，3)B. (1，3]C. (1，3)D. (－2，1]【答案】A 【解析】 【分析】首先确定集合,A B 中的元素，然后由集合运算法则计算．【详解】由题意2{|60}{|23}A x x x x x =--<=-<<，{|10}{|1}B x x x x =->=<， ∴{|1}UB x x =≥，(){|13}[1,3)U A B x x =≤<=．故选：A.【点睛】本题考查集合的运算，考查一元二次不等式的解法，掌握集合的运算定义是解题关键．本题还考查了对数型复合函数的定义域．需要掌握对数函数的性质．2.设(2)(3)3(5)i xi y i +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则x yi +等于（ ） A. 5 B. 13 C. 22 D. 2【答案】A 【解析】 分析】把已知等式两边都化为复数的代数形式，然后由复数相等的定义求出,x y ，再根据复数模的定义求得模．【详解】由(2)(3)3(5)i xi y i +-=++得6(32)3(5)x x i y i ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴2222(3)45x yi x y +=+=-+=．故选：A.【点睛】本题考查复数相等的概念，考查求复数的模．掌握复数相等的概念是解题关键． 3.函数()cos xf x x=的部分图象大致为（ ） A .B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个，再由0x →(0)x >时，()f x →+∞，又排除一个，从而得正确选项． 【详解】cos()cos ()()x xf x f x x x--==-=--，()f x 是奇函数，排除A.B ， 0x →(0)x >时，()f x →+∞，排除C ，只有D 可选．故选：D.【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，可用排除法，先确定函数的奇偶性，再确定函数值的变化趋势，特别是0x →时，函数值的变化趋势．4.要得到函数23y x =的图象，只需将函数sin 3cos3y x x =+的图象（ ）A. 向右平移34π个单位长度 B. 向右平移2π个单位长度 C. 向左平移个4π单位长度 D. 向左平移个2π单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.【详解】因为sin3cos334y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以将其图象向左平移4π个单位长度，可得()3344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选C.【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ）B. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得2q，又由()5151131621a q S aq-===-，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±，若639S S =，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得38q =，则2q ，又由562S =，则有()5151131621a q S aq-===-，解可得12a =；故选B ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．6.射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A .0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.116【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 7.平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线a ，a∥α，a∥β B. 存在一条直线a ，a ⊂α，a∥βC. 存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a∥β，b∥αD. 存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a∥β，b∥α 【答案】D 【解析】【详解】对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面相交或平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面相交或平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线若平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确．8.设函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()3'22ln f x xf x =-，则曲线()f x 在点(4，f (4))处切线的倾斜角为（ ） A.6πB.4π C.34π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，从而先求出(2)f '得函数解析式，得导函数，然后可求得切线斜率． 【详解】由()3(2)2ln f x xf x '=-得2()3(2)f x f x ''=-，∴(2)3(2)1f f ''=-，1(2)2f '=， ∴3()2ln 2f x x x =-，32()2f x x '=-，32(4)124k f '==-=，斜率为1，倾斜角为4π． 故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义 ，解题关键求出导函数，求出(2)f '．9.已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x =-，则12x x -的最小值为（ ）A.3π B.23π C.4π D.2π 【答案】D 【解析】 【分析】利用()12f π-是函数的最值求得参数a ，然后再确定12,x x 的性质．【详解】由题意13()sin())126622f a a πππ-=---=--=1a =，∴1()sin 222(sin 22)2sin(2)23f x x x x x x π===-，22T ππ==． 1212()()4sin(2)sin(2)433f x f x x x ππ=--=-，12sin(2)sin(2)133x x ππ--=-，∵1sin(2)13x π-≤-≤，∴12sin(2)sin(2)33x x ππ--，中一个取值1一个取值1-，∴12min22T x x π-==． 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质，考查三角函数的最值、周期、对称性等．正弦函数的性质：过正弦函数图象的最高点或者最低点与x 边垂直的直线是其对称轴．即对称轴对应的函数值是最值．10.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A.15B.14C.13D.12【答案】D 【解析】 【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.11.已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM MN =，则||FN =（ ）A.58B.12C. 38D. 1【答案】A 【解析】 【分析】设M 的坐标00,x y ，点N 的坐标(,0)a ，根据向量关系解方程即可得解.【详解】由题意得点F 的坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点M 的坐标00,x y ，点N 的坐标(,0)a ，所以向量：001,8FM x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()00,MN a x y =--， 由向量线性关系可得：03x a =，00124y y -=-，解得：0112y =，代入抛物线方程可得：012x =±4a =±， 由两点之间的距离公式可得：5||8FN =. 故选：A .【点睛】此题考查根据直线与抛物线的交点构造向量关系求解参数，考查基本运算. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形1BFD E 一定是平行四边形； ③平面α与平面1DBB 不可能垂直； ④四边形1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②③C. ①②④D. ①②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的性质对每个命题进行判断．结合排除法可选正确结论．【详解】截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥111D A EFC -，四棱锥11B A EFC -，三棱锥111B A BC -，截面下方几何体对称的也是三个棱锥，对应体积相等（特殊位置截面更容易得此结论），①正确，排除B ；由正方体相对两个面平行，根据面面平行的性质定理知四边形1BFD E 的两组对边平行，从而是平行四边形，②正确，排除A ；当E 是1AA 中点，F 是1CC 中点，这时可证EF ⊥平面11BB D D （先证//EF AC ），从而平面α与平面1DBB 垂直，③错误，排除D ， 只有C 可选了．事实上，四边形1BFD E 即有最大值也有最小值．E 与A （或1A ）重合时面积最大，E 是1AA 中点时，面积最小．设AE x =，正方体棱长为1，01x ≤≤，21BE x =+，2211(1)22D E x x x =+-=-+，13BD =，在1BED ∆中，2222111221cos 2122D E BE BD BED D E BE x x x +-∠==⋅+⋅-+，所以2222112222()222sin 1cos 1(1)(22)(1)(22)x x x x BED BED x x x x x x --+∠=-∠=-=+-++-+， 所以1211sin 222BED F S BE D E BED x x =⋅∠=-+2132()22x =-+，所以0x =或1时，1BED F S 取得最大值2．④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查正方体的截面的性质．解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系．如果空间想象能力丰富，结论易得，由正方体对称性，①正确，从运动角度考虑，当E 从A 运动到1A 时，截面面积发生变化，这是一个有限的连续过程，其中必有最大值和最小值．④正确，②③易于从面线面关系说明．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中22x y 项的系数是____________ 【答案】420 【解析】 【分析】利用多项式乘法法则确定项的系数，【详解】由题意展开式中22x y 项的系数是22228612()4202C C ⨯⨯⨯-=．故答案为：420.【点睛】本题考查二项式定理的应用，求多项式展开式中某一项系数，可能利用多项式乘法法则，结合组合的知识求解．14.已知实数x y ，满足260x y x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+取得最大值的最优解为_________.【答案】（4，2） 【解析】 【分析】首先作出不等式组表示的可行域,然后利用z 的几何意义，作出直线0:20l x y +=,向上平移直线0l 到最高点,此时目标函数2z x y =+取得最大值,求出此时直线'0l 与可行域的交点坐标即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示：作出直线0:20l x y +=如图所示,向上平移直线0l ，当经过点A 时,目标函数2z x y =+取得最大值,所以点A 所对的坐标即为所求的最优解.联立方程6020x y x y +-=⎧⎨-=⎩,解方程组得42x y =⎧⎨=⎩,即点A 坐标为()4,2.故答案为:()4,2【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题;利用z 的几何意义和数形结合的思想是求解本题的关键;属于中档题.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*11,21nn S a a n n N n ==+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是__________ 【答案】511【解析】 【分析】利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n S 的递推关系，变形后求出n S ，然后用裂项相消法求和．【详解】由题意111S a ==，2n ≥时，12(1)nn n n S a S S n n-=-=+-， 1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-，即112n n S S n n --=-， ∴数列{}n S n 是等差数列，公差为2，首项为1，∴12(1)21n S n n n =+-=-，22n S n n =-，211111()32221n S n n n n n ==-+++，∴数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和为101111115[(1)()()]2223101111T =-+-++-=． 故答案：511． 【点睛】本题考查由数列n a 与n S 的关系求通项公式，考查裂项相消法求数列的和．掌握关系式1(2)n n n a S S n -=-≥是解题关键． 16.已知函数()212ln x x f x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________.【答案】322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】求出函数()g x 关于直线1y =的对称函数()h x ，令()f x 与()h x 的图象有交点得出m 的范围即可．【详解】()1g x mx =+关于直线1y =对称的直线为()1y h x mx ==-，∴直线1y mx =-与2ln y x =在21[,]e e上有交点，作出1y mx =-与2ln y x=的函数图象，如图所示：若直线1y mx =-经过点12e-（，），则3m e =，若直线1y mx =-与2ln y x =相切，设切点为(),xy ，则1 22y mx y lnx m x⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得3232 32x ey m e -⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩． ∴322?3e m e --≤≤，故答案为322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，若3cos ,2,34A B A b ===．（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分∠BAC ，求△ABM 的面积． 【答案】（1）2；（2757【解析】 【分析】（1）由平方关系求出sin A ，由二倍角公式求得sin B ，由正弦定理求得a ；（2）用诱导公式求出sin C ，由正弦定理求出c ，用三角形内角平分线定理求出BM ，由三角形面积公式计算即得． 【详解】（1）∵3cos ,2,34A B A b ===，∴7sin A=，7337 sin sin22sin cos24B A A A===⨯⨯=，由sin sina bA B=得73sin42sin37b AaB⨯===；（2）32cos42A=>，∴45A<︒，∴290B A=<︒，由（1）2371cos1()88B=-=，7133757sin sin()sin cos cos sin484816C A B A B A B=+=+=⨯+⨯=．由正弦定理得573sin516sin237b CcB⨯===．又AM平分BAC∠，∴36552CM CABM BA===，又2CM BM BC+==，∴1210,1111CM BM==，∴1151037757sin22211ABMS BA BM B∆=⋅=⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换．掌握正弦定理是解题关键．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C-中，平面11AA C C⊥平面ABC，1AA AC=，AC BC⊥. （1）证明：1A C⊥1AB；（2）设2AC CB =，160A AC ∠=，求二面角11C AB B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）3- 【解析】 【分析】（1）连结1AC .由菱形得对角线垂直，再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直BC ⊥平面11AAC C ，11B C ⊥平面11AAC C ，从而111B C AC ⊥，于是证得线面垂直后再得线线垂直； （2）取11A C 的中点为M ，连结CM ，证得CM 与,CA CB 都垂直后，以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，则法向量夹角得二面角，注意要判断二面角是锐角还是钝角． 【详解】（1）连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，∴11A C AC ⊥. ∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面11AAC C . 又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，∴111B C AC ⊥. ∵1111AC B C C ⋂=，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ， ∴1A C ⊥1AB（2）取11A C 的中点为M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，160A AC ∠=，∴11CM AC ⊥，CM AC ⊥. 又由（1）知CM BC ⊥，以C 为原点，CACB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠=，∴C （0，0，0），1A （1，0，A （2，0，0），B （0，1，0），1B （-1，1）. 由（1）知，平面11C AB的一个法向量为(110CA =，. 设平面1ABB 的法向量为()n x y z =，，，则1 n AB n AB ⊥⊥，，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.∵()2 1 0AB =-，，，(13 1 3AB =-，，，∴2030x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩.令1x =，得23y z ==，12n ⎛=⎝，. ∴111cos 4162CA n CA n CA n⋅<>===⋅⨯，，∴二面角11C AB B --的余弦值为4-【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．立体几何中证明垂直时，线线垂直，线面垂直，面面垂直常常是相互转化，判定定理与性质定理要灵活应用．在有垂直的情况下常常建立空间直角坐标系，用向量法求空间角．19.已知长度为4的线段的两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA =，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点()0,1H 的直线2y x t =+与曲线C 相交于两点,M N .若直线HM 与HN 的斜率之和为1,求实数t 的值.【答案】（1）2219x y +=（2）3【解析】 【分析】（1）设P,A,B 的坐标，由2BP PA =坐标化可得变量间的关系，再由AB =求出曲线C 的方程 ．（2）设直线l 的方程及M 和N 坐标，由直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理、 根的判别式、直线的斜率，结合已知条件能求出定点T 的坐标以及此常数 ． 【详解】解：（1）设()()(),,,0,0,P x y A m B n .3BP PA =，()()(),,33,3x y n m x y m x y ∴-=--=--，即333x m xy n y=-⎧⎨-=-⎩.434m x n y⎧=⎪∴⎨⎪=⎩. 又4AB =，2216m n ∴+=.从而221616169x y +=.∴曲线C 的方程为2219x y +=. （2）设()()1122,,,M x y N x y .联立22219y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()223736910x tx t ++-=. 由()()2236437910t t ∆=-⨯⨯->，可得t <.又直线2y x t =+不经过点()0,1H ，且直线HM 与HN 的斜率存在，1t ∴≠±.t <1t ≠±.123637t x x ∴+=-，2129937t x x -=.()()12121212124111HM HN x x t x x y y k k x x x x +-+--+=+=， ()()121212414411x x t x x tx x t +-+∴=-=+. 解得3t =.t ∴的值为3.【点睛】本题考查曲线方程的求法， 考查满足条件的x 轴上的定点是否存在的判断与求法， 考查椭圆、 直线方程、 根的判别式、 韦达定理等基础知识， 考查函数与方程思想， 考查运算求解能力， 是中档题 ．20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算 【解析】 【分析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案．【详解】解：（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=，()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=，()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=，∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：1171176970009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：267691000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）. ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题．21.已知函数()()0af x ax a x=->（1）若()ln f x x ≥在[1，+∞)上恒成立，求a 的取值范围．（2）证明：()()()*11ln 11,21nk n n n n N k n =>++≥∈+∑ 【答案】（1）1[,)2+∞；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）构造函数()()ln g x f x x =-，要求()g x 在[1,)+∞上的最小值0≥即得； （2）由（1）12a =时有11()()ln (1)2f x x x x x =-≥≥，且当1x >时，11()ln 2x x x->， 令1k x k+=，1,2,3,,k n =，得n 个不等式，相加后即证．【详解】（1）设()()ln ln ag x f x x ax x x=-=--， 2221()a ax x ag x a x x x-+'=+-=， 2140a ∆=-≤，即12a ≥时，()0g x '≥恒成立，()g x 在[1,)+∞上是增函数， ∴()(1)0g x g ≥=，∴12a ≥满足题意，102a <<时，20ax x a -+=有两个不等实根12,x x ，121x x a+=，121=x x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，当21x x <<时，()0g x '<，()g x 递减，2x x >时，()0g x '>，()g x 递增， ∴在1x ≥时，min 2()()g x g x =，2222()ln a g x ax x x =--，又2220ax x a -+=，2221x a x =+， ∴2222222222222(1)12()ln ln 1ln 11a x x g x x x x x x x --=-=-=--++， 令22()1ln (1)1h x x x x =--≥+，22222241(1)()0(1)(1)x x h x x x x x --'=-=≤++， ∴()h x 在[1,)+∞上递减，∴2()(1)0g x g <=，()0g x ≥在[1,)+∞上不恒成立，综上，12a ≥．即a 的取值范围是1[,)2+∞．（2）由（1）12a =时，11()()ln (1)2f x x x x x =-≥≥，且当1x >时，11()ln 2x x x->，令1k x k +=，则有111111ln()[(1)(1)]2121k k k k k k k k ++<-=+--++， ∴111ln(1)ln ()21k k k k +-<++，1,2,3,,k n =， 这n 个不等式相加得11111ln(1)()2232(1)k n n +<++++++， 整理得11111ln(1)22(1)nk n n k n n ==+++>+++∑．证毕． 【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，用导数证明不等式，不等式恒成立问题常常转化为研究函数的最值，为了研究导函数的正负，可能对导函数（或其中一部分构成的新函数）再求导，确定正负，确定单调性．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是()22281311k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围.【答案】（Ⅰ）()2213169x y y +=≠-.:6l x y -=.d ≤≤【解析】 【分析】（Ⅰ）联想二倍角公式化弦为切的结构特征，即2222tan 1tan sin 2,cos 21tan 1tan a ααααα-==++，结合22sin 2cos 1αα+=，所以将参数方程化为222241131x k k y k k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即可化为普通方程；cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos x θ=，cos y ρθ=代入，即可化为直角坐标方程； （Ⅱ）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.【详解】解：（Ⅰ）222241:131x k k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221129x y +=， 又(]2633,31y k =-+∈-+，C 的普通方程为()2213169x y y +=≠-. cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 6ρθρθ-=， 将cos x θ=，cos y ρθ=代入即可得到:6l x y -=.（Ⅱ）将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==，其中3tan4ϕ=d ≤≤. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意消参方法，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题.23.设函数()212f x x x a =-+-，x ∈R ．（1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集；（2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）[3,)+∞ 【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法，当4a =，分11,2,222x x x ≤<<≥三种情况讨论，求解不等式即可得解； （2）由绝对值不等式的三角不等式性质可得21221(2)1x x a x x a a -+-≥---=-， 再转化为15a a -≥-恒成立，再分10a -≥和10a -<讨论即可得解.【详解】解：（1）当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 则()9f x >等价于12459x x ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩或12239x ⎧<<⎪⎨⎪>⎩或2459x x ≥⎧⎨->⎩， 解得1x <-或72x >， 所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． （2）由绝对值不等式的性质有：()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立，有15a a -≥-恒成立，当5a ≥时不等式显然恒成立，当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<，综上，a 的取值范围是[3,)+∞．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，主要考查了不等式恒成立问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.。