【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版
【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套课件】中档题目强化练——三角函数第四章
2x＝
43＋12sin2x＋3π，
∴当 sin2x＋3π＝1 时，ymax＝2＋4
3 .
A组 专项基础训练
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6．函数 y＝tan2x＋π6的对称中心为__________________．
解析
A组 专项基础训练
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6．函数 y＝tan2x＋π6的对称中心为_－__1_π2_＋__k_4π_，__0__(k_∈__Z__) ．
A组 专项基础训练
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3．对于函数 f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是
()
A．f(x)在π4，π2上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为 2π
D．f(x)的最大值为 2
解析
A组 专项基础训练
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3．对于函数 f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是
数学 川（理）
中档题目强化练——三角函数
第四章 三角函数、解三角形
A组 专项基础训练
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A组 专项基础训练
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1．已知角 A 是△ABC 的一个内角，若 sin A＋cos A＝173，则 tan A
等于
(四川专用)高三数学大一轮复习讲义 6.3等比数列及其前n项和 理 新人教a版
§6.3 等比数列及其前n 项和2014高考会这样考 1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；2.运用基本量法求解等比数列问题；3.考查等比数列的应用问题．复习备考要这样做 1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比q ＝1的情况；3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法．1． 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示． 2． 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3． 等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4． 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5． 等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q. 6． 等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n__. [难点正本 疑点清源] 1． 等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． 2． 等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3． 两个防范(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．1． (2012·辽宁)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2n解析 先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．a 25＝a 10>0，根据已知条件得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋q ＝5，解得q ＝2.所以a 21q 8＝a 1q 9，所以a 1＝2，所以a n ＝2n.2． 在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.答案51解析 由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51. 又a n >0，所以a 4＋a 8＝51.3． 已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数列，则a x ＋c y＝________.答案 2解析 令a ＝1，b ＝3，c ＝9，则由题意，有x ＝2，y ＝6.此时a x ＋c y ＝12＋96＝2.4． (2011·广东)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.答案 2解析 由a 2＝2，a 4－a 3＝4，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 2q 2－a 2q ＝4，⇒q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }是递增等比数列，故q ＝2.5． (2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7答案 D解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.题型一 等比数列的基本量的计算例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .思维启迪：(1)由S 1，S 3，S 2成等差数列，列方程求出q . (2)由a 1－a 3＝3求出a 1，再由通项和公式求出S n . 解 (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)． 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3.故a 1＝4.从而S n ＝4[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .探究提高 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．解 (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329，又a 1＋a 6＝11，故a 1，a 6可看作方程x 2－11x ＋329＝0的两根，又q ∈(0,1)，∴a 1＝323，a 6＝13，∴q 5＝a 6a 1＝132，∴q ＝12，∴a n ＝323·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －6.(2)由(1)知S n ＝643⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝21，解得n ＝6.题型二 等比数列的性质及应用 例2 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．思维启迪：注意巧用性质，减少计算．如：对于等比数列{a n }，若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ；若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . 解 (1)设公比为q ，则a 5a 2＝q 3，即q 3＝－18，∴q ＝－12，∴a n ＝a 5·q n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －4.(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 24，∴a 34＝8，a 4＝2. ∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.探究提高 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2(2)已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________. 答案 (1)A (2)－78解析 (1)把a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3a 7a 8a 9＝5×10＝5 2.(2)根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S 9－7)．解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.题型三 等比数列的判定例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．思维启迪：(1)由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1转化成a n 与a n ＋1的递推关系，再构造数列{a n －1}．(2)由c n 求a n 再求b n . (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列． 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∵首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .探究提高 注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n ＝1时是否符合n ≥2时的通项公式，能合并的必须合并．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明 ∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1， ∴a 1＝－1≠0.又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n＝2.∴{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.等差与等比数列综合性问题的求解典例：(12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．审题视角 设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d ，从而求出数列{b n }的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问． 规范解答(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.[2分] 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．[4分] 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.[6分](2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.[8分] 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．[12分]答题模板求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤： 第一步：设等比数列、等差数列的基本量； 第二步：根据条件列方程，解出基本量； 第三步：根据公式求通项或前n 项和；第四步：根据定义证明等差、等比数列；对于等比数列，一定要说明首项非零． 温馨提醒 关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．方法与技巧1． 等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2． 方程观点以及基本量(首项和公比a 1，q )思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a 1，q ，n ，a n ，S n 五个量中，知三求二．3． 在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度． 失误与防范1． 特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2． 由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3． 在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162， 后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4. ∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0，∴q >0，∴q ＝4.2． 等比数列{}a n 中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1C ．(－2)nD ．－(－2)n答案 A解析 ∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2.又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1.故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.3． 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n－1答案 C解析 由已知得数列{a n }的前三项分别为2,2q,2q 2.又(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)，整理得2q 2－4q ＋2＝0，解得q ＝1，S n ＝2n .4． 在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析 根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21.得1＋q ＋q2q2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.答案 240解析 ∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60， ∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.6． 在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是____________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝12×3n －2， n ≥2解析 由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1① 当n ≥3时，a n －1＝2S n －2② ①－②整理得a na n －1＝3 (n ≥3)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2×3n －2， n ≥2.7． 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________． 答案 －2解析 由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2. ∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1－qn1－q＝－2n1－2＝2n－1.9． (12分)已知数列{a n }的各项均为正数，且前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)．若a 2，a 4，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式．解 因为S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，①所以当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2；当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．②①－②并整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0 (n ≥2)． 因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝3 (n ≥2)． 当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，此时a 24＝a 2a 9成立． 当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，此时a 24＝a 2a 9不成立． 所以a 1＝2舍去．故a n ＝3n －2.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为 ( )A.158或4 B.4027或4 C.4027D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84. 而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得－q 31－q＝1－q 61－q.解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.2． 已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n 等于( )A.32 B.32或23 C.23D ．以上都不对答案 B解析 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 3． 设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和、前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －Y )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X ) 答案 D解析 对于含有较多字母的选择题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除三个选项，则剩下的唯一选项就一定正确；若不能完全排除，则可以取其他数字继续验证排除．取等比数列为1,2,22,23,24，…，令n ＝1，得X ＝1，Y ＝3，Z ＝7.代入验算，只有选项D 成立．二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，a n ＋1>a n ，且a 3＋2是a 2与a 4的等差中项，则数列{a n }的通项公式是______________．答案 a n ＝2n解析 因为a 3＋2是a 2与a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.因为a 2＋a 3＋a 4＝28，所以2(a 3＋2)＋a 3＝28.所以a 3＝8，a 2＋a 4＝20.设数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32，q ＝12.因为数列{a n }满足a n ＋1>a n ，所以a 1＝2，q ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.5． 在等比数列{a n }中，若a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________. 答案 b 9a 8 解析 因为{a n }是等比数列，所以a 9＋a 10，a 19＋a 20，…，a 99＋a 100成等比数列，从而得a 99＋a 100＝b 9a 8.6． 已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.答案 100解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，得lg x n ＋1－lg x n ＝1，∴x n ＋1x n＝10， ∴数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg 10100＝100.三、解答题7． (13分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2 (∵d >0).∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得：n ≥2时，c n b n ＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3 n ＝2·3n －1 n .∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.。
【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案19
【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案192.正弦函数y ＝sin x当x ＝____________________________________时，取最大值1；当x ＝____________________________________时，取最小值－1.3．余弦函数y ＝cos x当x ＝__________________________时，取最大值1；当x ＝__________________________时，取最小值－1.4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为____________、___________、______________.5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为______________和____________，y ＝tan x 没有对称轴． 自我检测1．(2019·十堰月考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是 ( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π123．(2019·湖北)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 4．(2019·北京海淀高三上学期期中考试)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x 的最小正周期为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2探究点一 求三角函数的定义域例1 (2019·衡水月考)求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域． 变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x－1)的定义域为________________________．探究点二 三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的单调区间． 变式迁移2 (2019·南平月考)(1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间． 探究点三 三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．转化与化归思想的应用例 (12分)求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【答题模板】 解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]． 当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分] (2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6) ∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减， ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[8分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2. ∴函数值域为[－1，12＋2]．[12分] 【突破思维障碍】1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝a sin ωx＋b cos ωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．2．关于y＝a cos2x＋b cos x＋c(或y＝a sin2x ＋b sin x＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x的单调区间来求．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2019·黄山月考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π32．(2019·安徽6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是 ( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6 (k ∈Z) B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z) C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3 (k ∈Z) D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6 (k ∈Z) 3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π44．函数y ＝－x cos x 的部分图象是图中( )5．(2019·三明模拟)若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( ) A ．1 B ．cos x 题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是________．7．函数f (x )＝2sin x 4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2019·江苏)定义在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2019·厦门月考)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．10．(12分)(2019·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．11．(14分)(2019·安徽合肥高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．答案 自主梳理1．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z} [－1,1][－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z) [2k π－π，2k π](k ∈Z) [2k π，2k π＋π](k ∈Z) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)2．2k π＋π2(k ∈Z) 2k π－π2(k ∈Z) 3.2k π(k∈Z) 2k π＋π(k ∈Z) 4.(k π，0)(k ∈Z) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2，0(k ∈Z) 5.x ＝k π＋π2(k ∈Z) x ＝k π(k ∈Z)自我检测1．C 2.D 3.D 4.D 5.A 课堂活动区例1 解题导引 求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解 要使函数有意义， 则⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2 (k ∈Z )，得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4. 变式迁移1 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析 由题意得⎩⎨⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12sin x >12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Zπ6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z，即x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z. 例2 解题导引 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R)，y ＝cos x (x ∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的． 又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z)，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4(k ∈Z)，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z)为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的递减区间．由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z)，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z)，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4(k ∈Z)，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z)为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的递增区间．综上可知，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z)； 递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z)．变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ， 得y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1112π，π.(2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4的周期 T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π.由y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4－π6， 由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z)． 例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，若a >0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3 或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3. 变式迁移3 解 ∵x ∈R ， ∴cos x ∈[－1,1]，若a >0，则⎩⎨⎧ a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎨⎧ a ＝2b ＝－1；若a <0，则⎩⎨⎧ a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝－sin(－2x＋π3)，周期为π. 课后练习区1．A [画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.]2．B [由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6的单调增区间满足： 2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3.]3．A 4．D5．D [因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，即－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x ．]6.π2解析 依题意得T 4＝π8，所以最小正周期T ＝π2. 7．4π 解析 由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x 4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z)时，f (x )取最小值；而x4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π (k ∈Z)时，f (x )取最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为4π. 8.23解析 线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23. 9．解 由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z)．∴f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k∈Z}．……………………………………………………………………………………………(3分)又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x＝(2cos 2x －1)(cos 2x －1)2cos 2x －1＝cos 2x－1＝－sin 2x ，……………………………………………………………………(6分)又∵定义域关于原点对称， ∴f (x )是偶函数．…………………………………………………………………………(8分)显然－sin 2x ∈[－1,0]，又∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴－sin 2x ≠－12.∴原函数的值域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |－1≤y <－12或－12<y ≤0.……………………………………………………………(12分)10．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a (3分) ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.…………………………………………………………(4分)(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)．…………………………………………………………………(8分)(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(10分)∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2， ∴a ＝－1.………………………………………………………………………………(12分)11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3.………………………………………………………(4分)(1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 解得单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z.……………………………………………………………………………………………(8分)(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z.……………………………………………………(12分)又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)。
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)等比数列及其前n项和教学案
等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r .特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；a n ＝a m q n －m .[小题能否全取]1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n 1－2＝2n －1－12. 答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－2 1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 解析：选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log aa n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．典题导入[例2] (2011·全国高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .[自主解答] 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 因为a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )， 解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝32＋34＋…＋32n ＝91－9n1－9＝98(9n－1)．典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32 C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n)D.323(1－2－n) 解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5.故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) A ．－12 B ．1C ．－12或1D.14解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( ) A.152B.154 C ．4D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2＝152. 3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )A.32 B.32或23 C.23D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n ，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案：2 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n 1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n 1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5， 得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.1．若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若a 2n ＋1a 2n ＝p ，则a n ＋1a n ＝±p ，不是定值；若a n ＋1a n ＝q ，则a 2n ＋1a 2n＝q 2，且q 2为正常数，故甲是乙的必要不充分条件．2．(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：法一：S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得， 3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．法二：设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)．∵q >0，∴q ＝32.答案：323．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.1．(2012·大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12， ∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. ( 也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 ) 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3. 故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . 3．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解：(1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．∵d >0，故解得d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2. ∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)． 又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3. ∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. ∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.。
【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案21
【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案21(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z)其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧ cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角．自我检测1．(2019·福建)计算sin 43°cos 13°－cos43°sin 13°的结果等于 ( )A.12B.33C.22D.322．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋7π6的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45D.453．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．(2019·台州月考)设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，4π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，3π2 5．(2019·广州模拟)已知向量a ＝(sin x ，cosx )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( )A ．1 B. 3 C ．3 D ．9探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1 求值：(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan10°)]2sin 280°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°； (2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)． 探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 变式迁移2 (2019·广州模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值． 探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移3 (2019·岳阳模拟)若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值． 转化与化归思想的应用例 (12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．【答题模板】解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.[2分]又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.[6分] (2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分] 又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.[9分] 故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－513＝3365.[12分] 【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.【易错点剖析】|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2019·佛山模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋2π3等于 ( ) A ．－45 B ．－35 C.35D.452．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－7π6的值是 ( )A ．－233 B.233 C ．－23 D.233．(2019·宁波月考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋4π3等于 ( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.144．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝5π4B ．x ＝3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－π25．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( )A.π6B.56π C.π6或56π D.π3或23π 题号 1 2 3 4 5答案 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2019·重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－ sin α13·sin α2＋α33＝________. 7．设sin α＝35 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________.8．(2019·惠州月考)已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． 10．(12分)(2019·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.（2）已知△ABC 的面积S =12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C . 11．(14分)(2019·济南模拟)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R.(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，π3，求x ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．答案 自主梳理1．(1)cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β(2)sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β2.a a 2＋b 2 b a 2＋b2 自我检测1．A 2.C 3.B 4.C 5.C课堂活动区例1 解题导引 在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．解 (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°·⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°·2sin80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2 sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2cos 10° ＝2sin 60°cos 10°·2cos 10°＝22sin 60° ＝22×32＝ 6. (2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°]＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0. 变式迁移1 解 (1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3. 例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝35， ∵0<β<π4<α<3π4， ∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝－45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1213－45×513＝－5665. ∴sin(α＋β)＝5665. 变式迁移2 解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13. (2)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝－(sin αcos β－cos αsin β)cos αcos β＋sin αsin β＝－sin (α－β)cos (α－β) ＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－121＋13×12＝17.例3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．解 (1)∵tan α2＝12， ∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2 ＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝45. (2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35. 又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π.由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2<β<π得β＝34π. (或求cos β＝－22，得β＝34π) 变式迁移3 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255， cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.① 又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π.②由①②，知A ＋B ＝7π4. 课后练习区1．D 2.D 3.B 4.A 5.A6．－12 7.－211 8.3 －23π 9．解 (1)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，cos β＝－513， ∴sin β＝1213.…………………………………………………………………………(2分)又∵0<α<π2，π2<β<π， ∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝3365·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－513－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－5665·1213＝35.…………………………………………………………(6分)(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分)∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分)∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0， ∴0<α<π4，π2<β<π， ∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)10．(1)①证明 如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))，…………………………………………………………………………………………(2分)由|P 1P 3|＝|P 2P 4|及两点间的距离公式， 得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………………………………………(4分)②解 由①易得，cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α.sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－(α＋β) ＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＋(－β) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分)(2)解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c .则S ＝12bc sin A ＝12， AB →·AC→＝bc cos A ＝3>0， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos A ＝3sinA ，……………………………………………………………(9分)又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010， 由cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. ……………………………………………………………………………………………(11分)故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010. ……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6. ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.………………………………………………………………(6分)(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z)， 即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π (k ∈Z)， 得函数单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π (k ∈Z)．……………………………………(10分)列表： x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 2 描点连线，得函数图象如图所示：…………………………………………………………………………………………(14分)。
2014《步步高》高考数学第一轮复习06 数列求和
§6.4 数列求和2014高考会这样考 1.考查等差、等比数列的求和；2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧；3.综合考查数列和集合、函数、不等式、解析几何、概率等知识的综合问题．复习备考要这样做 1.灵活掌握数列由递推式求通项公式的几种方法；2.掌握必要的化归方法与求和技巧，根据数列通项的结构特点，巧妙解决数列求和的问题．1． 等差数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，推导方法：倒序相加法；等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ， q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． 2． 数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3． 常见的拆项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .[难点正本 疑点清源]1． 解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．2． 等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．1． 在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.答案 54解析 由等差数列的性质，a 2＋a 8＝18－a 5， 即2a 5＝18－a 5，∴a 5＝6， ∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝54.2． 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝________.答案 255解析 由a 8＝1，q ＝12得a 1＝27，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255.3． 若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________.答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.4． (2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为 ( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20. ∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.5． (2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 ( )A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.题型一 分组转化求和例1 已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．思维启迪：第(1)问由已知条件列出关于p 、q 的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．解 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n ) ＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.探究提高 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.题型二 错位相减法求和例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪：(1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法．解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )，即2S n ＝n ·3n ＋1－3(1－3n )1－3，∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34.探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三 裂项相消法求和例3 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪：第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和． 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 探究提高 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .审题路线图等差数列{a n }中，特定项的值 ↓(a 3，a 5，a 7即为特定项) a 3＝7，a 5＋a 7＝26↓(从特定项，考虑基本量a 1，d )列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26↓(根据条件的结构特征，确定了方程的方法) 用公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .↓(将a n 代入化简求b n ) b n ＝14n (n ＋1)↓(根据b n 的结构特征，确定裂项相消) b n ＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1↓T n ＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 规范解答解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.[4分]所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .[6分](2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，[8分] 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)[10分]＝14·(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).[12分]温馨提醒 本题审题的关键有两个环节．一是根据a 3＝7，a 5＋a 7＝26的特征，确定列方程组求解．二是根据数列{b n }的通项b n ＝14n (n ＋1)的特征，确定用裂项相消法求和．所以，在审题时，要根据数式的结构特征确定解题方案.方法与技巧 数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 失误与防范1．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．2．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100答案 C解析 ∵S n n ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.2． 已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于 ( )A ．20B ．17C ．19D ．21 答案 C解析 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0.3． 若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2答案 C解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4． 数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.答案 2 600解析 由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n 知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k . ∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100) ＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×502＝2 600.6． 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.答案 66解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝1)2n －5 (n ≥2).令2n －5≤0，得n ≤52，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66.7． (2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．答案 1 830解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.三、解答题(共22分)8． (10分)求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n ＋12n；(2)S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 解 (1)由于a n ＝n ·2n ＋12n＝n ＋12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋121＋⎝⎛⎭⎫2＋122＋⎝⎛⎭⎫3＋123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12n ＋1.(2)当x ＝±1时，S n ＝4n .当x ≠±1时， S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n .∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n (x ＝±1)，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n (x ≠±1).9． (12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n1＋n .(1)解 由已知得⎩⎨⎧a n ＋1＝12S n ，a n＝12Sn －1(n ≥2)，得到a n ＋1＝32a n (n ≥2)．∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×⎝⎛⎭⎫32n －2 ＝12⎝⎛⎭⎫32n －2(n ≥2)． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12⎝⎛⎭⎫32n －2， n ≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32⎣⎡⎦⎤32·⎝⎛⎭⎫32n －1＝n .∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －11＋n ＝1－11＋n ＝n 1＋n.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134答案 C解析 b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n＝lg q (常数)， ∴{b n }为等差数列．∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22.由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S 11、S 12最大且S 11＝S 12＝132.2． 数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0. 令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.3． 已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0答案 C解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 013＝6×335＋3，∴S 2 013＝S 3＝4 018. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.答案 13(4n －1)解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)．5． 若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________. 答案 2n 2＋6n解析 令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合上式，所以a n ＝4(n ＋1)2 (n ∈N *)．于是a nn ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n .6． 已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．答案 765解析 由题意知{a n }是等差数列，a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，令a n ≥0，解得n ≥21. ∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝(－60＋90－63)×302－(－60＋60－63)×20＝765.三、解答题7． (13分)(2012·四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1>0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n ，当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2.② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2.③若a 2＝0，由①知a 1＝0； 若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①④解得a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2， a 2＝2－ 2.综上可得，a 1＝0，a 2＝0或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1>0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2. 当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ， (2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1.所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1.令b n ＝lg10a 1a n， 则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1.所以数列{b n }是单调递减的等差数列⎝⎛⎭⎫公差为－12lg 2. 从而b 1>b 2>…>b 7＝lg108>lg 1＝0. 当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128<12lg 1＝0.故当n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。
【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案20
【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案20学案20函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标： 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．自主梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．XΩx＋φy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A2.图象变换：函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y＝sin x y＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx ＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π83．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 4．(2019·太原高三调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝π12D ．x ＝5π125．(2019·六安月考)若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B. 2 C . 3 D ．2探究点一 三角函数的图象及变换例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．变式迁移1 设f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ＋32sin 2x (x ∈R)． (1)画出f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2上的图象； (2)求函数的单调增减区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象？探究点二 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．变式迁移2 (2019·宁波模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值． 探究点三 三角函数模型的简单应用例3 已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫100πt ＋π6表示，求： (1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．数形结合思想的应用例 (12分)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．【答题模板】解 (1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a 2， 作出函数y ＝sin(x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象． [3分]由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ －1<－a 2<1－a 2≠32. 即－2<a <－3或－3<a <2.[6分](2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈(－1，32)时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6， ∴α＋β＝7π3.[8分]当－2<a <－3，即－a 2∈(32，1)时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.[11分] 综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π. [12分] 【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sin x ＝x 的实根个数；⑤对称问题等．【易错点剖析】此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a 的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a ≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a ＝－3时，方程只有一解．1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y ＝sin x 的作用．2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．3．三角函数模型应用的解题步骤：(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 2．(2019·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 3．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( )A ．向左平移5π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度4．(2009·辽宁)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)等于 ( )A ．－23B ．－12C.23D.12 5．(2019·烟台月考)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π＋2 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.7．(2019·潍坊五校联考)函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后得到g (x )的图象，则g (x )＝______.8．(2019·福建)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是____________．三、解答题(共38分) 9．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．10．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象过点M (0,2)．又f (x )的图象关于点N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4，0对称且在区间[0，π]上是减函数，求f (x )的解析式．11．(14分)(2019·山东)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π16上的最小值． 答案 自主梳理1.0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω 0 π2 π 3π2 2π 2.(1)左 右 |φ| (2)伸长 缩短 1ω(3)伸长 缩短 A 3.A 2πω 1T ωx ＋φ φ 2π|ω| π|ω|自我检测1．B 2.D 3.A 4.D 5.B 课堂活动区例1 解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋φω来确定平移单位．解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表：X －π6π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2πy ＝sin X 01 0－1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3 0 2 0－2描点连线，得图象如图所示：(3)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象．变式迁移1 解 y ＝12·1＋cos 2x 2＋32sin 2x＋32·1－cos 2x 2＝1＋32sin 2x －12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6.(1)(五点法)设X ＝2x －π6，则x ＝12X ＋π12，令X ＝0，π2，π，3π2，2π，于是五点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，2，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6＋k π，k π＋π3，k ∈Z.由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3＋k π，k π＋5π6，k ∈Z. (3)把y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1的图象．例2 解题导引 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．解 由图象可知A ＝2，T ＝8.∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.方法一 由图象过点(1,2)，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4×1＋φ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4x ＋π4. 方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4x ＋π4. 变式迁移2 解 (1)由题意可得：A ＝2，T 2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋φ，f (0)＝2sin φ＝1， 由|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin(12x ＋π6)．f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 0＋π6＝2，所以12x 0＋π6＝2k π＋π2，x 0＝4k π＋2π3(k ∈Z)，又∵x 0是最小的正数，∴x 0＝2π3.(2)f (4θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π6＝3sin 2θ＋cos 2θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin 2θ＝2sin θcos θ＝429，∴f (4θ)＝3×429－79＝46－79.例3 解题导引 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A 、ω、b 的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中参数的确定有如下结论：①A ＝y max －y min 2；②k ＝y max ＋y min 2；③ω＝2πT ；④φ由特殊点确定．解 (1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5； 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1，∴cos π6t >0， ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z.①∵0≤t ≤24，故可令①中的k 分别为0,1,2， 得0≤t <3，或9<t <15，或21<t ≤24. ∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.变式迁移3 解 (1)t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)． (2)T ＝2π100π＝0.02(秒)．(3)当100πt ＋π6＝π2，t ＝1300秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为2203伏．课后练习区1．C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.9π107．－sin 2x 8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3 9．解 (1)由图象知A ＝2，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.……………………………………………………………………(2分)又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．………………………………………………………………………(5分)(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cosπ4x .……………………………………………………………(8分)∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.………………………(12分)10．解 根据f (x )是R 上的偶函数，图象过点M (0,2)，可得f (－x )＝f (x )且A ＝2，则有2sin(－ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ)， 即sin ωx cos φ＝0，∴cos φ＝0，即φ＝k π＋π2(k ∈Z)．而0≤φ≤π，∴φ＝π2.………………………………………………………………………(4分)再由f (x )＝2sin(－ωx ＋π2)＝2cos ωx 的图象关于点N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π4，0对称，f (3π4)＝2cos(3ω4π)＝0∴cos 3ω4π＝0，……………………………………………………………………………(8分)即3ω4π＝k π＋π2 (k ∈Z)，ω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋12 (k ∈Z)． 又0<ω≤2，∴ω＝23或ω＝2.……………………………………………………………(10分)最后根据f (x )在区间[0，π]上是减函数，可知只有ω＝23满足条件．所以f (x )＝2cos23x .………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π4＋12.……………………………………………………………………(6分)由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x ) ＝22sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π4＋12.……………………………………………………………………(10分)当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22，…………………………………………………………………(13分)所以g (x )在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)。
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 常考题型强化练 不等式第七章课件 理 新人教A版汇总
x＋y≤12， 2x＋y≤19， 别为 x，y，则根据条件得 x，y 满足的约束条件为10x＋6y≥72， x≤8，y≤7， x∈N*，y∈N*，
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3．(2011·四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重
(2)设工作台从左到右的人数依次 意一点时，均能使函数 d(x)取得最
为 2,1,3，试确定供应站的位置， 小值，且最小值为 3x3－x2－2x1. 并求所有工人到供应站的距离之
和的最小值．
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9．(12 分)某市政府为了造宜居城市，计划在 公园内新建一个如图所示的矩形 ABCD 的 休闲区，内部是矩形景观区 A1B1C1D1，景观 区四周是人行道，已知景观区的面积为 8 000 平方米，人行道的 宽为 5 米(如图所示)． (1)设景观区的宽 B1C1 的长度为 x(米)，求休闲区 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数； (2)规划要求景观区的宽 B1C1 的长度不能超过 50 米，如何设计景 观区的长和宽，才能使休闲区 ABCD 所占面积最小？
数学 川（理）
常考题型强化练——不等式
第七章 不等式
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1．“|x|<2”是“x2－x－6<0”的什么条件
2014届步步高大一轮复习讲义专题四
专题四 数列的综合应用1．数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．2．数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等．3．解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 4．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n ＋1的递推关系，还是S n 与S n ＋1之间的递推关系．1．在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 答案 5解析 设首项为a 1，公比为q ，则a 1>0，q >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝a 21q 4(1＋q 2)2＝25.∴a 1q 2(1＋q 2)＝5，∴a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(1＋q 2)＝5.2．已知等差数列的公差d <0，前n 项和记为S n ，满足S 20>0，S 21<0，则当n ＝________时，S n 达到最大值． 答案 10解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)>0，S 21＝21a 11<0，∴a 10>0，a 11<0，∴n ＝10时，S n 最大．3．设等差数列{a n }的各项均为整数，其公差d ≠0，a 5＝6，若a 3，a 5，a m (m >5)是公比为q (q >0)的等比数列，则m 的值为________． 答案 11解析 由题意，得a 3＝6－2d ，因为q ＝66－2d ＝33－d，所以3－d ＝3q ；因为q 大于零，所以3－d 是大于零的整数，q ＝33－d.由题意知，数列{a n }各项均为整数，故d ，q 均应为整数．当3－d >3,3－d ∈Z 时，q 不为整数，故3－d 只能取1,3.当3－d ＝3时，d ＝0，不满足条件；故3－d ＝1，此时d ＝2，q ＝3，满足条件．所以q ＝3，d ＝2，因此6×3＝a m ＝6＋(m －5)×2，所以m ＝11. 4．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根．则数列{a n }的通项公式是a n ＝________；若b n ＝a n ＋12n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝__________.答案 2n －1 2－n ＋22n解析 因为方程x 2－14x ＋45＝0的两个根分别为5、9，所以由题意可知a 3＝5，a 5＝9，所以d ＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.∵b n ＝a n ＋12n ＋1＝n ·12n ，∴T n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ·12n ①∴12T n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ·12n ＋1② ①－②得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n －n ·12n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n .5．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)等于( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 答案 C解析 f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ， 所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.题型一 等差数列与等比数列的综合应用 例1 在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列．思维启迪：第(1)问列首项a 1与公差d 的方程组求a n ；第(2)问利用定义证明． (1)解 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10. (2)证明 由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n＋10－10＝22n ＝4n ，∴b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4， ∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．探究提高 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ≥1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1 (n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d >0，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .题型二 数列与函数的综合应用例2 已知函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．思维启迪：(1)将a n 看成一个未知数，解方程即可求出a n ；(2)通过比较a n 和a n ＋1的大小来判断数列{a n }的单调性．解 (1)由已知得log 22a n －1log 22a n＝2n ，∴a n －1a n ＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0.∴a n ＝n ±n 2＋1.∵0<x <1，∴0<2a n <1，∴a n <0. ∴a n ＝n －n 2＋1.(2)方法一 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1－(n －n 2＋1)＝1－2n ＋1(n ＋1)2＋1＋n 2＋1>1－2n ＋1(n ＋1)＋n＝0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }是递增数列．方法二 ∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1＝n ＋n 2＋1n ＋1＋(n ＋1)2＋1<1，又∵an <0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }是递增数列．探究提高 本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)．由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1. T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋2，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，n ∈N *.题型三 数列与不等式的综合应用例3 (2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列． (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.思维启迪：根据前几项关系易求a 1，可以构造数列求a n ，进而利用放缩法证明不等式． (1)解 ∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， ∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴2S 1＝a 2－22＋1,2S 2＝a 3－23＋1， ∴2a 1＝a 2－3,2(a 1＋a 2)＝a 3－7. 由⎩⎪⎨⎪⎧2(a 2＋5)＝a 1＋a 3，2a 1＝a 2－3，2(a 1＋a 2)＝a 3－7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝5，a 3＝19.∴a 1＝1.(2)解 ∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，① ∴当n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1.②①－②得2a n ＝a n ＋1－a n －2n ＋1＋2n ，∴a n ＋1＝3a n ＋2n .两边同除以2n ＋1得a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12，∴a n ＋12n ＋1＋1＝32⎝⎛⎭⎫a n 2n ＋1. 又由(1)知a 222＋1＝32⎝⎛⎭⎫a 121＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1是以32为首项，32为公比的等比数列，∴a n 2n ＋1＝32·⎝⎛⎭⎫32n －1＝⎝⎛⎭⎫32n ，∴a n＝3n －2n ， 即数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2n . (3)证明 ∵a n ＝3n －2n ＝(1＋2)n －2n＝C 0n ·1n ·20＋C 1n ·1n －1·21＋C 2n ·1n －2·22＋…＋C n n ·10·2n －2n ＝1＋2n ＋2(n 2－n )＋…＋2n －2n >1＋2n ＋2(n 2－n )＝1＋2n 2>2n 2>2n (n －1)， ∴1a n ＝13n －2n <12n (n －1)＝12·1n (n －1)， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1＋12⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n (n －1) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n <32， 即1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.已知数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1a n ＝2a n ＋1－a n ，S n 表示数列{a n }前n 项和．求证：S n <1.证明 由a 1＝13≠0易知，对于任意的n ，a n ≠0，原式化为2a n －1a n ＋1＝1，1a n ＋1－1＝2⎝⎛⎭⎫1a n －1. 令b n ＝1a n －1，b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即b n ＝1a n －1＝2n ，所以a n ＝12n ＋1，故S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.题型四 数列的实际应用例4 某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)思维启迪：关键信息：①每年新建住房面积平均比上一年增长8%，说明新建住房面积构成等比数列模型；②中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，说明中低价房的面积构成等差数列模型．解 (1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×(1.08)n －1.由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)×50>400×(1.08)n －1×0.85.当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6， ∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 探究提高 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现．今年“十一”期间，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是 ( ) A ．211－47 B ．212－57 C ．213－68 D ．214－80 答案 B解析 由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构造以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ，第n 个30分钟内出来的人数为b n ，则a n ＝4×2n－1，b n ＝n ，则上午11时30分公园内的人数为S ＝2＋4(1－210)1－2－10(1＋10)2＝212－57.用构造数列的思想解题典例：(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n. 审题视角 (1)从求证内容来看，首先要求出S n .(2)从S n 与S n －1的递推关系来看，可考虑构造新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n .(3)可考虑用放缩法证明．规范解答(1)解 ∵a n ＝－2S n ·S n －1 (n ≥2)，∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2 (n ≥2)，[2分]∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列，[3分]∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n.[5分] 将S n ＝12n 代入a n ＝－2S n ·S n －1，得a n ＝⎩⎨⎧12(n ＝1)，12n －2n 2(n ≥2).[6分](2)证明 ∵S 2n ＝14n 2<14n (n －1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝⎛⎭⎫1－12＋…＋14⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝12－14n；[10分] 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1. 综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.[12分] 温馨提醒 (1)在数列的解题过程中，常常要构造新数列，使新数列成为等差或等比数列．构造新数列可以使题目变得简单，而构造新数列要抓住题目信息，不能乱变形． (2)本题首先要构造新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ，其次应用放缩法，并且发现只有应用放缩法才能用裂项相消法求和，从而把问题解决．事实上：14n 2<14n (n －1)，也可以看成一个新构造：b n ＝14n (n －1).(3)易错分析：构造不出新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ，从而使思维受阻．不会作不等式的放缩.方法与技巧1．用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量，减少差错．2．理解等差数列、等比数列定义、基本量的含义和应用，体会两者解题中的区别． 3．注意数列与函数、方程、三角、不等式等知识的融合，了解其中蕴含的数学思想． 4．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题． 失误与防范1．等比数列的前n 项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习．2．数列的实际应用问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15B ．12C ．－12D ．－15答案 A解析 ∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 A解析 设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n ) (n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫94，3B.⎝⎛⎭⎫94，3 C ．(2,3) D ．(1,3) 答案 C解析 数列{a n }满足a n ＝f (n ) (n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a >0，a 8－6>(3－a )×7－3，解得2<a <3.4．(2012·湖北)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为 ( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 答案 C解析 利用特殊化思想，选a n ＝2n 判定． 不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝4n .显然{f (2n )}是首项为4，公比为4的等比数列． ②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28， 所以f (a 2)f (a 1)＝2422＝4≠f (a 3)f (a 2)＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n . 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f (x )＝ln |x |，所以f (a n )＝ln 2n ＝n ln 2.显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列．故应选C. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2011·江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 答案33解析 由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33，即q 的最小值为33.6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．答案 －10解析 由于a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，所以a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝－2，…，所以{a n }是周期为4的数列，故S 26＝6×⎝⎛⎭⎫1－2－1＋12＋1－2＝－10. 7．对正整数n ，若曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为_______________． 答案 2n ＋1－2解析 ∵y ＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，∴y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，当x ＝2时，切线的斜率k ＝－(n ＋2)2n －1，∴在x ＝2处的切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)2n －1(x －2)，令x ＝0可得y ＝(n＋1)2n ，即a n ＝(n ＋1)2n ，∴a n n ＋1＝2n，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1为等比数列，其前n 项和S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.三、解答题(共22分)8．(10分)(2011·大纲全国)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝∑k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解 由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列，又11－a 1＝1，故11－a n＝n .所以a n ＝1－1n .(2)证明 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，S n ＝∑k ＝1n b k ＝∑k ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1. 9．(12分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值．解 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，…，其中a 1≠0，q ≠0. 由题意知：a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，① a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)．②②×7－①得6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∵等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n . (2)由(1)得b n ＝－n ·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )． 设T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ，③ 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1.④由③－④，得－T n ＝1×2＋1×22＋…＋1·2n －n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴－T n ＝－(n －1)·2n ＋1－2. ∴S n ＝－(n －1)·2n ＋1－2. 要使S n ＋n ·2n ＋1>50成立， 即－(n －1)·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1>50，即2n >26. ∵24＝16<26,25＝32>26，且y ＝2x 是单调递增函数，∴满足条件的n 的最小值为5.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值31答案 A解析 ∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)，由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6，即n ＋2>64，∴n >62，∴n 有最小值63.2．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4 (n ∈N *)且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n－6|<1125的最小正整数n 是 ( ) A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 由3a n ＋1＋a n ＝4得，a n ＋1－1＝－13(a n －1) (运用构造数列法)，∴{a n －1}是以a 1－1＝8为首项，－13为公比的等比数列， ∴a n －1＝8·⎝⎛⎭⎫－13n －1，∴a n ＝8×⎝⎛⎭⎫－13n －1＋1. ∴S n ＝8⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫－132＋…＋⎝⎛⎭⎫－13n －1＋n ＝8×1－⎝⎛⎭⎫－13n 1＋13＋n ＝6－⎝⎛⎭⎫－13n ×6＋n ， ∴|S n －n －6|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13n ×6＝⎝⎛⎭⎫13n ×6<1125， 即3n >750.将n ＝5,6,7分别代入验证符合题意的最小正整数n ＝7.3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n ) (n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n 答案 A解析 由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________． 答案 212解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋33＝33＋n 2－n ，所以a n n ＝33n＋n －1. 设f (x )＝33x ＋x －1，则f ′(x )＝－33x 2＋1. 令f ′(x )>0，得x >33或x <－33.所以f (x )在(33，＋∞)上是增函数，在(0，33)上是减函数．因为n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时，f (n )取最小值．因为f (5)＝535，f (6)＝636＝212，535>212， 所以a n n 的最小值为212. 5．在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.答案 3解析 因为a 6－a 5＝2(S 5－S 4)，所以a 6＝3a 5，所以q ＝3.6．(2011·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．答案 2 000解析 假设20位同学是1号到20号依次排列的，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁．此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000(米)．三、解答题7．(13分)(2012·天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．(1)解 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明 方法一 由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，① 2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1.② ②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝12(1－2n －1)1－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10. 而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n －6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *.方法二 ①当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； ②假设当n ＝k 时等式成立，即T k ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时有T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k )＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12)＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12.即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1.因此n ＝k ＋1时等式也成立．由①和②，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立．。
2014《步步高》高考数学第一轮复习06 等差数列及其前n项和
§6.2 等差数列及其前n 项和2014高考会这样考 1.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明；2.运用基本量法求解等差数列的基本量问题；3.考查等差数列的性质及综合应用．复习备考要这样做 1.准确理解概念，掌握等差数列的有关公式和性质；2.注意不同性质的适用条件和注意事项．1． 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2． 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3． 等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4． 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5． 等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6． 等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)． 7． 等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．[难点正本 疑点清源] 1． 等差数列的判断方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 2． 等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n . 3． 等差数列与函数在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.1． (2012·江西)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝____.答案 35解析 两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.2． 已知两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 与x ，b 1，b 2，y 都是等差数列，且x ≠y ，则a 2－a 1b 2－b 1的值为________． 答案 34解析 ∵a 2－a 1＝14(y －x )，b 2－b 1＝13(y －x )，∴a 2－a 1b 2－b 1＝34. 3． 已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.答案 15解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22， ∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15.4． (2011·江西)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于( )A ．18B ．20C ．22D ．24答案 B解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0. 又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20.5． (2012·辽宁)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.题型一 等差数列基本量的计算例1 (2011·福建)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．思维启迪：等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.探究提高 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0， ∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0， 解得d ≤－22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6＋15＝0， ∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2. 题型二 等差数列的前n 项和及综合应用例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．思维启迪：(1)由a 1＝20及S 10＝S 15可求得d ，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．解 (1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. ∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 同方法一求得d ＝－53.又由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值． 且最大值为S 12＝S 13＝130.(2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ② 由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a 7|＝a 7＝4×7－25＝3.设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4) (n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4 (n ≥7)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).探究提高 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．(2012·湖北)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.题型三 等差数列性质的应用例3 设等差数列的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180 (n >6)，求数列的项数n .思维启迪：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在涉及数列前n 项和及某些项和的问题中常用到此性质． 解 由题意可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5) ＝6(a 1＋a n )＝216.∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324.∴n ＝18.探究提高 本题的解题关键是将等差数列性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 与前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．(1)设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2 (n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.(2)等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．答案 (1)153 (2)180 解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }为等差数列．∴a n ＝－7＋(n －1)·2，∴a 17＝－7＋16×2＝25， S 17＝(a 1＋a 17)×172＝(－7＋25)×172＝153.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20＝18⇒S 20＝a 1＋a 202×20＝182×20＝180.整体思想在等差数列解题中的应用典例：(12分)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .审题视角 (1)S m ＋n ＝a 1(m ＋n )＋(m ＋n －1)(m ＋n )2d ＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ，这样只要求出a 1＋m ＋n －12d 即可．(2)由S n ，S m 可以构造出a 1＋m ＋n －12d ，并求出．规范解答解 方法一 设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ， 得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋n (n －1)2d ＝m ， ①S m＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n . ②[4分]②－①得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.[8分]∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．[12分]方法二 设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m . ④[4分]③－④得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m .[6分] ∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1， ∴A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )， ∴S m ＋n ＝－(m ＋n )．[12分]温馨提醒 (1)本题的两种解法都突出了整体思想，其中方法一把a 1＋m ＋n －12d 看成了一个整体，方法二把A (m ＋n )＋B 看成了一个整体，解起来都很方便．(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧．这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征． (3)本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误.方法与技巧1． 等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2． 方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解． 失误与防范1．如果p ＋q ＝r ＋s ，则a p ＋a q ＝a r ＋a s ，一般地，a p ＋a q ≠a p ＋q ，必须是两项相加，当然也可以是a p －t ＋a p ＋t ＝2a p .2．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数． 3．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·福建)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.方法二 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2． 数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20答案 C解析 S 20－2S 10＝20(a 1＋a 20)2－2×10(a 1＋a 10)2＝10(a 20－a 10)＝100d ，又a 10＝a 2＋8d ， ∴33＝1＋8d ，∴d ＝4，∴S 20－2S 10＝400.3． 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案 C解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.4． (2011·大纲全国)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A ．8B ．7C ．6D ．5答案 D 解析 ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.答案 13解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝2.所以a 6＝a 1＋5d ＝13.6． (2011·辽宁)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.答案 －1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，∴a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1. 7． 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2 (n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.答案 2n －1解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ≥1)，∴{a n }为等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)×2，即a n ＝2n －1.三、解答题(共22分)8． (10分)已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，求它的通项公式．解 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝－4，a 3a 7＝－12，所以a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两根．因为d >0，所以a 3<a 7.解方程，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－6，a 7＝2. 由a 7＝a 3＋4d ，得d ＝2.所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋2(n －3)＝2n －12.9． (12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S n n＋2 (n －1) (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n n－(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由a n ＝S n n＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1) (n ∈N *)． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4，故数列{a n }是以1为首项，以4为公差的等差数列．于是，a n ＝4n －3，S n ＝(a 1＋a n )n 2＝2n 2－n (n ∈N *)． (2)由S n ＝na n －2n (n －1)，得S n n＝2n －1 (n ∈N *)， 又S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n n－(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1.令2n －1＝2 013，得n ＝1 007，即存在满足条件的自然数n ＝1 007.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 因为S n ＝n (a 1＋a n )2，所以S n n ＝a 1＋a n 2，由S 33－S 22＝1，得a 32－a 22＝1，即a 3－a 2＝2，所以数列{a n }的公差为2.2． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 C解析 方法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．方法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．方法三 根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值． 3． 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于 ( )A ．0B.16C.13D.12答案 A 解析 记b n ＝11＋a n，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×⎝⎛⎭⎫12－13＝112，b 1＝16，∴b n ＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112，∴a n ＝11－n n ＋1，故a 11＝0. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.答案 15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，① S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.②。
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§4.7解三角形应用举例2019高考会这样考考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题．复习备考要这样做 1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养建模能力；2.掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用．1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．3．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．[难点正本疑点清源]解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案130°解析 由已知∠BAD ＝60°，∠CAD ＝70°，∴∠BAC ＝60°＋70°＝130°.2． (2019·上海)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是__________千米．答案 6解析 如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°， ∴AC ＝222·32＝ 6. 3． 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m. 答案 10 3解析 如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO＝60°，OM ＝AO tan 45°＝30，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103， 由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 4． 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为____________ m.答案 500(3＋1)解析 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝30°，故∠ADE ＝150°.于是∠ADB ＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD ＝45°－30°＝15°，故∠ABD ＝15°，由正弦定理得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD＝1 000sin 150°sin 15°＝500(6＋2)(m)． 所以在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 45°＝500(3＋1)(m)．5． 两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 灯塔A 、B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°，∠CAB ＝∠CBA ＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.题型一 测量距离问题例1 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．思维启迪：将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形． 解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km.探究提高 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案 507解析 连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500， 解得OC ＝507(米)．题型二 测量高度问题例2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．思维启迪：依题意画图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan ∠AEB ＝AB BE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．要求出塔高AB ，必须先求BE ，而要求BE ，需先求BD (或BC )．解 如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°，过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米)．∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)(米)． 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)． 故所求的塔高为103(3－3)米． 探究提高 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．如图所示，B ，C ，D 三点在地面的同一直线上，DC＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α<β)，则A 点距地面的高AB 为_______________．答案 a sin αsin βsin (β－α)解析 AB ＝AC sin β，AC sin α＝DC sin ∠DAC ＝a sin (β－α)， 解得AB ＝a sin αsin βsin (β－α). 题型三 测量角度问题例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile /h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪：本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠 近渔轮所需的时间为23h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin 120°， 所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314， 即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮． 探究提高 对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于A.217B.2114C.32114D.2128答案 B解析 如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理，得 sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277. 故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 正、余弦定理在实际问题中的应用典例：(12分)如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．审题视角 (1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC 和△BCD .(3)利用正弦定理或余弦定理求解．规范解答解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，[1分]在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6(海里)．[3分]又∵BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，[5分]在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD， ∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．[8分]又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15(分钟)．[11分] ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[12分] 答题模板解斜三角形应用题的一般步骤为第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．温馨提醒 (1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路．如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题．(2)本题的易错点：不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.方法与技巧1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．3．坡度——坡面与水平面所成的二面角的正切值．4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于 ( ) A.35B.45C.34D.43 答案 B解析 因为tan α＝34，所以cos α＝45. 2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 3． 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m 答案 A解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m 答案 A解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝50×2212＝50 2 (m)． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan 60°＝203(米)，又CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 6． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．7. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．答案 8 2解析 在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD， 所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2 (m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan 60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为15 6 m.9． (12分)如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12， ∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 在△ABC 中，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( ) A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析 利用正弦定理可得2sin 45°＝2sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又∵∠A ＝45°，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝30°，故选A. 2． 某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为 ( )A. 3B ．2 3 C.3或2 3D ．3 答案 C解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.3． 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直 线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案 A解析 如图，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 一船由B 处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C 、D 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A 处，看见灯塔C 在它的南偏西60°方向，灯塔D 在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是______海里/小时．答案 10解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．5． 某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米．答案 2063解析 如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°， ∴AO ＝2063(米)． 6． 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝_____.答案 60°解析 S △ADC ＝12×2×DC ×32＝3－3， 解得DC ＝2(3－1)，∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos 120°＝6，∴AB ＝ 6.在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos 60°＝24－123，∴AC ＝6(3－1)，则cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.三、解答题7． (13分)如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， 所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，即BD ＝32＋620≈0.33(km)． 故B 、D 的距离约为0.33 km.。
步步高2014届高三数学大一轮复习讲义 第6章 数列的通项与求和学案 苏教版
学案30 数列的通项与求和n .2.项和公式及其性质求一些特殊数列的和 1.能利用等差、等比数列前导学目标： 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理 1．求数列的通项anS 的关系：(1)数列前与通项项和nnnS ，＝， 1??1a ＝?nnSS≥2.－ ，??nn 1－nffaaafnf 可求，则可用}中，满足(2)－＋…＋＝＋())，且((2)当已知数列{(1)nnn1＋aaaaaaaaa －＋(．－＋…＋)＋((求数列的通项________－，常利用恒等式)＝)nnnn 12－1213a n 1＋afnfnff 满足(3)________当已知数列(1)·{(2)·…·中，(})可求，＝则可用(且)， na naaa n 32aaa . ·，常利用恒等式·＝·…·求数列的通项 nn 1aaa n 1－21作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来(4) 求通项． 归纳、猜想、证明法．(5)n 2．求数列的前项的和 公式法(1)Sn ；________________，①等差数列前推导方法：项和____________＝____________＝nSn ＝项和②等比数列前nq ，1＝ ，?? ? q ≠1. ， ＝?? 推导方法：乘公比，错位相减法．n ③常见数列的前项和：n ＝________＋2＋3＋…＋；a ．1n ________＋6＋…＋2；＝b ．2＋4n ________(2；－1)＝．c1＋3＋5＋…＋2222n 3＋…＋；＝________d ．1＋2＋3333n ____________.＋3＋…＋＝e ．1＋2 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，(3) 只剩有限项再求和． 常见的拆项公式有：111 ①＝－；nnnn 1＋＋111???－ ②＝；nn ??nn 1＋122－2＋－1nn . ＝－＋③1nn ＋1＋(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．n项和公式的推导． (5)倒序相加：例如，等差数列前自我检测2*anTnnan项的和{，则数列的前})3的前{)(1．原创题已知数列}项的乘积为＝(∈N nnn为________．1aqSnSq＝则{________. 的等比数列，}是其前是等差数列，项和，若2．设{是公比为}nnn aaababbbb ＋…＋20，故＋＝log3．已知等比数列{＋}的公比为4，且，则＋＝nnnn2614222＝________.n＋1*aana}，设{∈的通项公式N＝log (已知数列4．(2010·天津高三十校联考){)}nnn2n2＋nSSn的最小值为________成立的自然数．项的和为，则使<－的前5nn2*xxxnxn∈N(－)<2的解集中整数的个5．(2010·北京海淀期末练习)设关于的不等式aanSS的值为________，则}的前．项和为数为，数列{ nnn1001116．数列1,4，7，10，…前10项的和为________．248探究点一求通项公式n＋1a·2naaaa满足，求数列＝{的通项公式．}，＝已知数列例1 {2}nnnn1＋11＋a2＋nanSaSa＋41的前}，项和为2. ，已知＝＝变式迁移1 设数列{nnnn11＋baab}是等比数列；2 (1)设，证明数列＝{－nnnn1＋a}的通项公式． (2)求数列{n探究点二裂项相消法求和aSnaSna＝2(项和，且2. ＝7例2 已知数列{，}≥2)，是其前＋nnnn11－a}的通项公式；求数列{ (1)n m1*bTbnTn∈N对所有项和，设求使得＝，都成立是数列{<}的前(2)nnnn aa20·loglog nn1＋22m.的最小正整数111n项和．，…的前，，，…，变式迁移2 求数列1n＋…＋2＋2＋331＋1＋12＋探究点三错位相减法求和*aqqqbaan∈N)．≠1)的等比数列，＝ log (3 例已知数列{}是首项、公比都为 (>0且nnnn4qbnS；项和{}的前 (1)当＝5时，求数列nn14qbbn的最小值．时，若＝，求< (2)当nn1＋15 2n312S＝＋＋3 求和＋…＋.变式迁移nn32aaaa分类讨论思想nn32＋n1－*2xnfxnnfxxx的函数值中所有整时，)二次函数＋(1]()＝(＋∈，当N∈[)，例 (5分)23ng*aaaaaSgnan＝(＋－，－＝(∈N)，则1)＝数值的个数为＋…＋(－)nnn4321______________________.nn＋n1－答案 (－1)2*2xnnnfxxxxfx)＋的增大而增大，则1](的值随∈N)时，函数(解析当(∈[)，＝＋32nn32＋22**2nnnnngnnnan.＝＝∈(N)＝的值域为[2＋，)＋3＋＋2](3(∈N)，∴，于是n ng22222naaanSaaa1)－＋(3－＝4－＋)－＋…＋＋…＋[(－(1＝－2当为偶数时，)nnn1241－3nnnn＋3＋－2nn －1)]＝－·＝－－＝－][3＋7＋…＋(2；222aaaaaaanS ()＋－－＋)＋…＋当(为奇数时，(＝)－nnnn13－2－412nnnn＋－2naS＝－＝＝＋＋，nn＋n1－S. 1)∴＝(－nn1－22n进行分在利用并项转化n2 【突破思维障碍】求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项； (3)可化归为使用累加法、累积法； (4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法； (5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明．．数列求和的方法：2一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 3．求和时应注意的问题： (1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或(2) 转化为基本数列求和．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)aSnaaaa与且2·为等比数列，{)1．(2010·广东已知数列}是它的前项和，若＝nn4321 35aS＝________.的等差中项为2，则574Sna27＋n5abnST，若＝，，，{则}，其前＝项和分别为2．有两个等差数列{________.}nnnn bnT3＋n5aaaa－－nnnn＋－11aaan≥2)，则此数列的第10且＝满足 (＝2，项为＝3．如果数列{1}n21aaaa nnnn11－＋________．1SanSa＝项和为4．数列＝________.{，若}的前，则nnn5nn＋n1－2n项和2＋…＋2，…的前＋4，…，1＋2＋2,15．(2011·南京模拟)数列1,1＋＋2nS．的最小值是________>1 020，那么n naaSnaS＝＝1，(6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{}的前＝项和为3且nnnn1＋1S__________.log＝1,2,3，…)，则1041aaaa项的和为＝－2，267．(原创题)已知数列{＝－}满足，则该数列前＝1，nn22＋1a n________．aaaaaa}的“差，}的“差数列”，若{}，定义数列{＝－}为数列{28．对于数列{nnnnn11＋n anS＝____________.，则数列{项和}的前数列”的通项为2nn二、解答题(共42分)22*fxxnxnnn∈N)－7(＋1)．＋ 9．(12分)已知函数(＋)＝5－2(fxaa}是等差数列； }(1)若函数，试证明数列({)的图象的顶点的横坐标构成数列{nn fxxbbnS. 项和}轴的距离构成数列{的前}，(2)设函数试求数列()的图象的顶点到{nnn1*anSSnaaccn∈N是常数，设等差数列){－}的前)项和为(，且，＝＋10．(14分nnnnn2a＝6. 2ca}的通项公式；{(1)求的值及数列n1111(2)证明＋＋…＋<.aaaaaa8nn121＋32n anSb}满{{＝}的前3项和为，数列(1611．分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列nnn*bbbnn∈N)(2．－1) (足＝－1，＝＋nn11＋aa；的通项公式{(1)求数列 }nn bb；的通项公式{ }(2)求数列nn ab·nnccnT.{，求数列项和}的前(3)若＝nnn n答案自主梳理nn≥2或 1．1(4)＝自我检测4391．22 2. 3.15 4.8 5. 219课堂活动区例1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．前等差、等比数列的通项公式、nq的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉．利用等比数列前项和公式时注意公比2它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．aaa7＋＋＝?321??a＝2.(1)由已知得，解得解aa＋＋＋?231a3＝2?2aqa＝2，}的公比为设数列{，由n222aaqSq＝7，2＋22.又＝7可得，可知＝，＋＝331qq12qqqq＝，解得.＝－52＋2＝0.即2212qqa＝，∴，∴1.＝由题意得2>11n－1aa＝2{.}的通项为故数列nnn3a＝2，(1)得 (2)由n1＋3n3ban ln 2.＝3＝∴ln 2＝ln nn13＋bbb}是等差数列，＝又3ln 2－，∴{nnn1＋Tbbb＝＋…＋∴＋nn21nbbnn＋＋3n1＝·ln 2.＝22nn＋3T＝ln 2.故n2变式迁移1 4aaaadadadb}{<2.<2，所以则1<＋2＝4解析设，，，又，0<的公差为易知数列，n113241aadbaaad>5，所(2)正确；－＋∈(2,3)，所以2＝＝>4是等比数列，故(1)正确；，故＝3342228baaaabbaa＝2＝256，所以，故(4)＝以2＝2正确．>32，故(3)正确；又＋＋＝2 ＝8442434242a，这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项例2 解题导引n TTabSm.观察再求特点，求出，最后利用不等式知识求出.由从而求nnnnn2＋3aa12＋32??nn??aaf＋，＝＝＝＝解 (1)∵nn1＋a??333n a n2a}是以为公差的等差数列．∴{aan＋.n321＝＝1，∴又n133Taaaaaaaaaa－＝＋－(2)＋…－nnn152＋34312242aaaaaaaaa)－(＝)(－＋…＋)＋(－nnn1221－53＋14232n154????n＋＋??33344aaa)＝－·＋…＋＝－(＋nn)． (2＝－＋39 5n2423324211bn＝(3)当≥2时，＝n aa1221????nn1－nn????＋－????3333119????－，＝nn??21－＋12219????Sbbbb－1 ，∴＝×＋又＝＋…＋＝3nn211??32111119????－＋…＋1－－＋＝×nn??1＋312－5322n199????－1，＝＝n??n1＋21＋22m－2 001*nS∈N∵成立．<对一切n2nm－2 0019，< 即n212＋n199????－1递增，又∵＝n??n12＋2＋12nm－2 001999<.∴≥且，n2＋2212mm＝2 010.即≥2 010.∴最小正整数aaq. }的首项为解 (1)设等比数列{，公比为变式迁移2 n1aaa，＝依题意，有2(＋＋2)432aaaa＝8.＝＋28＋，得代入32343qaaq，20＝＋??11aa＝20.∴∴＋?422qaa，＝8＝??131??qq，＝2，＝??2?或解之，得?a2＝???1?a32.＝1q，2＝??n aa.∴2单调递增，∴＝}又{?nn a2.＝??11nnn nb·2，(2) 2·log2＝－＝n2n32nS×2.①∴－＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋nnn＋1234nSn×2.②－1)×2∴－2＋＋…＋＝1×2＋2×2＋3×2( nnn＋231nS·2 ＋…＋2∴①－②，得－2＋2＋2＝nn2－nnn＋1＋＋11nn－·2－2.－＝＝2·221－Snma<0，(＋由)＋nn1＋nnnn＋111＋＋1＋nnnm恒成立，－·2＋·2即2＋－2<0·2对任意正整数1nn11＋＋mmn·2恒成立．，2<2－－<1对任意正整数∴n21m 1，∴，≤－∵－－1>1n2m．(－∞，－即1]的取值范围是个月月余款为依题意，第1例3 解a，＝－10 000×20%×10%－30011 500＋＝10 000(120%)1aaa，×20%×10%－20%)(1个月月底余款为第2＝＋－300112 6an个月月底的余款为依此类推下去，设第元，n aaanaa1.18－＝元，则×20%×10%－＝300(1＋第20%)＋1个月月底的余款为nnnnn1＋1＋300.－下面构造一等比数列．xa＋n1＋xxaa1.18，＝1.18，则＋＋1.18＝设nn1＋xa＋n xaxa300.0.18∴＝－＝1.18.∴0.18＋nn1＋5 000a－n1＋35 000x1.18.，即∴＝＝－ 5 0003a－n35 0005 0005 000aa＝11 500－－＝－}是一个等比数列，公比为1.18，首项∴数列{n133329 500. 329 5005 000n1－a，－＝∴×1.18n3329 5005 00011a，－＝∴×1.18123329 5005 00011a，×1.18≈62 396.6(元∴)＝＋1233 元．即到年底该职工共有资金62 396.6a25%)＋－10 000(1纯收入有12．元)62 396.6－12 500＝49 896.6(＝a，}解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{变式迁移3 n daa，＝＝250，由题意可知{50}是等差数列，其中n1nna，＋－1)·50＝50则200＝250＋(n nn－2nnnS 25，＝250＋＋225×50＝n22nn 25≥4 750，＋225令2nnnn －190≥0，而≥10.即是正整数，∴＋9 4 750万平方米．∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于b }设新建住房面积形成数列{，(2)n qbb 1.08，，}是等比数列，其中＝＝400由题意可知{n 1n 1－b . 则＝400·(1.08)n ba >0.85，由题意可知nnn 1－n 50·0.85.＋200>400·(1.08)即ban<0.85当，＝5时，55ban >0.85＝6时，，当66n 6.∴满足上述不等式的最小正整数为85%. 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于2016年底，∴到 课后练习区22 2.②＋．3 3.991 14．7n1－2n－211nn ≥7. ≥100，∴＋…＋2≥100，∴秒钟，则1＋2＋2解析 设至少需要2－15．64 an ＋2nn ＋1aaaaaaa ，＝两式相除得所以2＝依题意有解析 2＝，所以，，…，，2nnnn 2＋＋＋35111a n 54aaaaaaa＝1×2＝，1＝而…也成等比数列，，，，成等比数列，＝＝2×2，所以2，321126421107abbaaa 64.，所以＋，又因为＝＋＝＝＝32nnn111010＋136． 解析 该题是数列知识与函数知识的综合．22224????????nnn 1－2－2－21????????a － －4·＝5·－，＝5· n ??????555??55yyxnanax ＋＝2，∴显然当＝2时，＝取得最小值，当1＝1时，，取得最大值，此时nn 3. ＝217．222xayxxaaaya (′＝(2)′＝2，，则过点(则切线方程为，＝)的切线斜率为2解析 －kkkkk a－，)k 2axyaa －2，令(＝0，得－)＝kkk 11axaa .＝＝，即∴ kkk 1＋221qaa ＝的等比数列，＝16故{，}是 n 121n 1－aaaa 21. 16＋即4＝16×()，∴＋＋1＋＝＝ n 51321078．6161行行5个奇数，第解析 由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第562×31个奇数，005009是第1 ＝＋3＋5＋…＋61＝961个奇数．而2 个奇数，前61行用去12ji 107.＝63故应是第63行第44个数，即＋＋44＝11??x ??xffa …………………………………………………(.)(1)＝＝＝9．解 (1)∵，∴ ??33)(1分1cafc ＝(1)－，＝－ 132ccfaf ]－[＝－(1)－，＝[(2)－] 292cfafc (2)－；－[＝[](3)－＝－] 3274281a 122caa －，＝＝{又数列＝－}成等比数列，＝n 1a 3233－27c (2＝1∴；……………………………………………………………………………………) 分a 121??2n 1－??aq ＝－公比＝＝，× n??a 33311??n *??n )∈N (3；＝－2×分……………………………………………………………………，??3()()SSSSSS －＝∵＋－nn 1－nnnn 1－－1SSn >2)，……………………………………………………………………(4＝分＋() nn 1－bSSS ＝1. －>0，>0，∴又nnnn 1－S }构成一个首项为1、公差为{1的等差数列， 数列n 2nSnSn .＝(…………………………………………………………－1)×1＝，(6＝1＋nn 分)22nnSnbSn 21－；＝(＝－当≥2，＝－－1)nnn 1－n 1又当＝时，也适合上式， 8*nnb (8………………………………………………………………………N 1，∴.＝2∈－n) 分1111T ＋＋…＋(2)＋＝ n bbbbbbbbnn 134213＋21111＋＋＋…＋＝ nn ＋1×33×55×7－11111111????????????－－－1＋…＋＝＋＋??????73553222n11111????????－－1(12＝＝.……………………………………………nnn????n1＋2＋－2121122＋2分)n1 0001 000nT>由，＝>，得n n12 009＋921 000T>∴满足112.…………………………………………………(14的最小正整数为n2 009分)nA(万元)，解设乙企业仍按现状生产至第技术改造后生个月所带来的总收益为10．n nB(万元)．依题意得产至第个月所带来的总收益为n Ann＋1)]＋…＋(2－[3＋5＝45n2nn，………………………………………………………………………………(5＝43分－)3????5????116－????2nB＝＋时，当≥5n31－23??4??nn－594，………………………………………………………40016＝81((10－5)－??2分)2nBAnn－594，＋≥5时，38－＝∴当nn22nnnn≥12，，解得＋3819)－594>0，即(令>955＋∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(14分) xny＝1，解令，＝ 11．(1)1fnfnf(1)(＝＋1)＝得到)·(2fn)，…………………………………………………………(2分()11fn)}是首项为，公比为∴{的等比数列，( 221n fn)＝()(.………………………………………………………………………………即(52分) Saaaa，＋…＋＋(2)证明记＝＋nn3121n anfnn·()＝)·＝(∵，……………………………………………………………………n2(6分)1111n32Sn×()，＋3×()＋…＋∴＝＋2×()n2222111111nn＋4231nnS，×() )))＝(＋2×()＋3×(＋…＋(－1)×(＋n222222 911111nn1＋2nS－()，×(两式相减得)＝＋()＋…＋n2222211nn1－nS<2.)－)整理得(＝2－(n22aaaa)∴<2.＋………………………………………………………………＋(9＋…＋分n312nf＋1n nbnf＝(9，而－(3)解∵())＝()n nf21n1＋2n－9n)＝－.…………………………………………………………………(11＝(921n2分)nbnb＝0；时，＝9 当时，≤8；当>0nn nb<0，>9时，当n nS取到最大值．………………………………………………………(14分时，或∴＝89) n1011。
《步步高》2014届高考数学大一轮复习课件(人教A版)易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语(共36张PPT)
根；②q：存在一个整数 b，使函数 f(x)＝x2＋bx＋1 在[0，＋∞)
上是单调函数；③r：存在 x∈R，使 x2＋x＋1≥0 不成立．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析
由于命题 p 是真命题，∴命题①的否定是假命题；
命题 q 是真命题，∴命题②的否定是假命题；
命题 r 是假命题，∴命题③的否定是真命题． 故只有一个是正确的，故选 B.
()
A．P＝M B．Q＝R C．R＝M D．Q＝N
解析
A组 专项基础训练
1
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4
5
6
7
8
9
1．已知集合 P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，R＝{x|y＝x2＋1}，
M＝{(x，y)|y＝x2＋1}，N＝{x|x≥1}，则
( D)
A．P＝M B．Q＝R C．R＝M D．Q＝N
解析
集合 P 是用列举法表示的，只含有一个元素，即函数 y＝x2 ＋1.集合 Q，R，N 中的元素全是数，即这三个集合都是数集， 集合 Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，集合 R 是一切实数．集合 M 的元素是函数 y＝x2＋1 图象上所有的点．故选 D.
A组 专项基础训练
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2．命题“对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 A．不存在 x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在 x∈R，x3－x2＋1≤0 C．存在 x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的 x∈R，x3－x2＋1>0 解析
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A组 专项基础训练
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14年高考 数学 限时训练 6.3 等比数列及其前n项和 [含答案解析] (2)
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双基限时练巩固双基,提升能力一、选择题1．(2012·安徽)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由题意得a 3a 11＝a 27＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 10232＝16⇒a 10＝25，故log 2a 10＝5.答案：B2．(2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：根据题意得⎩⎨⎧a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 1q 4×a 1q 5＝－8，即⎩⎨⎧a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 1q 3×a 1q 6＝－8⇒⎩⎨⎧a 1q 3＝－2，a 1q 6＝4或⎩⎨⎧a 1q 3＝4，a 1q 6＝－2.⇒⎩⎨⎧a 1＝1，q 3＝－2或⎩⎨⎧a 1＝－8，q 3＝－12.所以当a 1＝1，q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝1＋(－2)3＝－7； 当a 1＝－8，q 3＝－12时，a 1＋a 10＝－8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－7，所以选D.答案：D3．若S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝( )A．11 B．5 C．－8 D．－11解析：由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，得q＝－2，则S5S2＝a11＋25a11－22＝－11.答案：D4．在等比数列{a n}中，a1＝1，公比|q|≠1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m＝( ) A．9 B．10C．11 D．12解析：在等比数列{a n}中，∵a1＝1，∴a m＝a1a2a3a4a5＝a51q10＝q10.又∵a m＝q m－1，∴m－1＝10，∴m＝11.答案：C5．设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．若a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )A.152B.314C.334D.172解析：∵{a n}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{a n}的公比为q，则q＞0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝12，或q＝－13(舍去)，a1＝1q2＝4.故S5＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8⎝⎛⎭⎪⎫1－125＝314.答案：B6．已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝( )A．35 B．33C．31 D．29解析：设公比为q(q≠0)，则由a2·a3＝2a1知a1q3＝2，得a4＝2.又∵a4＋2a7＝52，∴a7＝14.∴a1＝16，q＝12 .故S5＝a11－q51－q＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.答案：C二、填空题7．(2012·浙江)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝__________.解析：当q ＝1时，由S 2＝3a 2＋2得a 2＝－2，由S 4＝3a 4＋2得a 4＝2，两者矛盾，舍去，则q ≠1，联立方程⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 11－q41－q ＝3a 1q 3＋2，可解得⎩⎨⎧a 1＝－1，q ＝32，故应填32.答案：328．(2012·辽宁)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q .又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2(q ＝12舍)，∴a n ＝a 1·q n －1＝2n . 答案：2n9．(2013·山西质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3，S 12－S 8＝12，则S 8＝__________.解析：由S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，得(S 8－S 4)2＝S 4(S 12－S 8)，解得S 8＝9或S8＝－3，又由等比数列的前n项和公式知S8与S4同号，故S8＝9.答案：9三、解答题10．(2013·许昌联考)设a1＝2，a2＝4，数列{b n}满足：b n＝a n＋1－a n，b n＋1＝2b n＋2.(1)求证：数列{b n＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；(2)求数列{a n}的通项公式．解析：(1)证明：∵b n＋1＝2b n＋2，∴b n＋1＋2＝2(b n＋2)．∴bn＋1＋2bn＋2＝2.又∵b1＋2＝a2－a1＋2＝4，∴数列{b n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)∵b n＋2＝4·2n－1，∴b n＝2n＋1－2，∴a n＋1－a n＝2n＋1－2.在上式中，令n＝1,2,3，…，(n－1)，叠加得an＝2n＋1－2n.11．已知等比数列{a n}中，a1＝13，公比q＝13.(1)S n为{a n}的前n项和，证明：S n＝1－a n 2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 解析：(1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.所以{}b n 的通项公式为b n ＝－n n ＋12.12．(2013·揭阳调研)已知数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项a n 及S n ；(2)设数列{b n ＋a n }是首项为－2，第三项为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解析：(1)∵数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝12的等比数列，∴a n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n，S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－12n . (2)依题意得数列{b n ＋a n }的公差d ＝2－－22＝2，∴b n ＋a n ＝－2＋2(n －1)＝2n －4， ∴b n ＝2n －4－22－n .设数列{b n ＋a n }的前n 项和为P n 则P n ＝n －2＋2n －42＝n (n －3)，∴T n ＝P n －S n ＝n (n －3)－4⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n 2－3n －4＋22－n .。
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5 ∴a2a3a4a5a6＝a4 ＝25＝32.
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高
在等比数列{an}中， 1 (1)若已知 a2＝4，a5＝－ ，求 an； 2
在解决等比数列的有关问题时，
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高
在等比数列{an}中， 1 (1)若已知 a2＝4，a5＝－ ，求 an； 2 (2)若已知 a3a4a5＝8，求 a2a3a4a5a6 的值．
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析
探究提高
【例 3】
已知数列{an}的前 n 项和
(1)由 an＋Sn＝n 及 an＋1＋Sn＋1＝ n＋1 转化成 an 与 an＋1 的递推关系， 再构造数列{an－1}． (2)由 cn 求 an 再求 bn.
为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝ an－an－1 (n≥2)，且 an＋Sn＝n. (1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等 比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
2n
51
解析
2
2
D
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高
Sn.已知 S1，S3，S2 成等差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn.
题型分类·深度剖析
在等比数列{an}中， 1 (1)若已知 a2＝4，a5＝－ ，求 an； 2 (2)若已知 a3a4a5＝8，求 a2a3a4a5a6 的值．
注意巧用性质，减少计算．如： 对于等比数列{an}， 若 m＋n＝p ＋q (m、n、p、q∈N*)，则 am· an ＝ap· aq；若 m＋n＝2p(m，n， p∈N*)，则 am· an＝a2 p.
题型一
【例 1】
等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高
Sn.已知 S1，S3，S2 成等差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn.
(1)由 S1，S3，S2 成等差数列，列 方程求出 q. (2)由 a1－a3＝3 求出 a1， 再由通项 和公式求出 Sn.
题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究提高
【例 3 】 已知数列 { a 的前 (1) 证明 ∵an＋S ＝ ， n 项和 n}n n ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. 为S n，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝ ②－①得 an＋1－an＋an＋1＝1， a n－ n－1 (n≥2)，且 an＋Sn＝n. ∴ 2aa n＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， a － 1 an1 n＋1c (1) 设 ＝ 1∴ ，求证： cn}是等 n ∴ ＝－ ， {an－1}{ 是等比数列． an－1 2 1 比数列； 又 a1＋a1＝1，∴a1＝ ， 2 1 1 (2) 求数列 {ba ∵首项 c1＝ －1，∴c1＝－ ，公比 q＝ . n} 1的通项公式． 2 2 又 cn＝an－1，
(2)若已知 a3a4a5＝8，求 a2a3a4a5a6 要注意挖掘隐含条件，利用性质， 的值．
特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则
am· an＝ap· aq”，可以减少运算量， 提高解题速度．
题型分类·深度剖析
变式训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5， ( A ) C．6 D．4 2
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高
Sn.已知 S1，S3，S2 成等差数列． 解 (1)依题意有 a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． (1)求{an}的公比 q； 由于 a1≠0，故 2q2＋q＝0. (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. 1 又 q≠0，从而 q＝－ . 2
数学
川（理）
§6.3
等比数列及其前n项和
第六章 数 列
基础知识·自主学习
要点梳理
1．等比数列的定义 如果一个数列 从第2项起，每一项
难点正本 疑点清源
1.等比数列的特征
从等比数列的定义看， 等比数列的任意项都是 非零的，公比 q 也是非 零常数．
与它的前一项比等于同一常数(不 为零) ， 那么这个数列叫做等比数列,
a6 1 1 ∴q ＝a ＝32，∴q＝2， 1 32 1n－1 1 1n－6 ∴an＝ 3 · ＝3· . 2 2
5
32 等比数列 {an}满足： a1＋ a6＝ 11 ， a3· a4 ＝ ，且公比 9
1 64 (2)由(1)知 Sn＝ 1－2n＝21，解得 n＝6. 3
基础知识·自主学习
要点梳理
5．等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝na1； a11－qn a1－anq 当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－ q 1－q 6．等比数列前 n 项和的性质 公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成
1 1 ∴{cn}是以－ 为首项， 为公比的等比数列． 2 2
①
②
题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析
探究提高
【例 3】 已知数列{an}的前 1 n 1项和 － 1 n 1 n， (2)解 由(1)可知 cn＝－2· ＝－ 2 2 为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝ 1 ∴an＝cn＋1＝1－2n. an＋Sn＝n. an－an－1 (n≥2)，且 1 1 － n ∴当 ≥ 2a 时， b 1－2 －1－2n 1 (1) 设n c ，求证： {－ cn }是等 n＝an－an 1＝ n＝ n－1 比数列； 1 － 1 1 n 1 n ＝2 －2 ＝2n. (2)求数列 { bn}的通项公式． 1 1 又 b1＝a1＝ 代入上式也符合，∴bn＝2n. 2
∴a1＝－1≠0.又由 an＋1＝2an 知 an≠0，
an＋1 ∴ a ＝2.∴{an}是以－1 为首项，2 为公比的等比数列． n
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例：(12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)数列{bn}的前 n 项和为
题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an＋1，求证：{an}是 等比数列，并求出通项公式．
证明 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，
思维启迪 解析 探究提高
Sn.已知 S1，S3，S2 成等差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn.
等比数列基本量的运算是等比数 列中的一类基本问题，数列中有 五个量 a1，n，q，an，Sn，一般 可以“知三求二”， 通过列方程(组) 可迎刃而解．
题型分类·深度剖析
变式训练 1 q∈(0,1)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若该数列前 n 项和 Sn＝21， 求 n 的值． 32 解 (1)∵a3· a4＝a1· a6＝ 9 ，又 a1＋a6＝11， 32 2 故 a1，a6 可看作方程 x －11x＋ ＝0 的两根， 9 32 1 又 q∈(0,1)，∴a1＝ ，a6＝ ， 3 3
难点正本 疑点清源
3.两个防范
(1) 由 an ＋ 1 ＝ qan ， q≠0 并不能立即断言{an}为等 比数列，还要验证 a1≠0. (2) 在 运 用 等 比 数 列 的 前 n 项和公式时，必须 注意对 q＝1 与 q≠1 分 类讨论，防止因忽略 q ＝1 这一特殊情形导致 解题失误．
qn 等比数列，其公比为____.
a7a8a9＝10，则 a4a5a6 等于 A．5 2
解析
B． 7
把 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 看成一个整体，则由题意，知它们
分别是一个等比数列的第 1 项，第 4 项和第 7 项，这里的第 4 项刚 好是第 1 项与第 7 项的等比中项．因为数列{an}的各项均为正数， 所以 a4a5a6＝ a1a2a3· a7a8a9＝ 5×10＝5 2.
题型分类·深度剖析
变式训练 2
(2)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，且 S3＝8，S6＝7，
7 －8 则 a4＋a5＋„＋a9＝________.
解析 根据等比数列的性质，知 S3，S6－S3，S9－S6 成等比数列， 1 2 即 8,7－8，S9－7 成等比数列，所以(－1) ＝8(S9－7)．解得 S9＝7 . 8 1 7 所以 a4＋a5＋„＋a9＝S9－S3＝78－8＝－8.
题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定