函数应用、零点、二分法知识点和练习

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函数的零点二分法练习题精选

函数的零点二分法练习题精选一、填空题1．设f(x)的图象在区间(a，b)上不间断，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则用二分法求相应方程的根时取有根区间为________．答案：(a，)2．一块电路板的AB线路之间有64个串联的焊接点，如果电路不通的原因是因为焊口脱落造成的，要想用二分法检测出哪一处焊口脱落，至多需要检测________次．解析：由二分法可选AB中点C，然后判断出焊口脱落点所在的线路为AC，还是BC.然后依次循环上述过程即可很快检测出焊口脱落点的位置，至多需要检测6次．答案：6x解析：虽然f(1)·f(1.5)<0，f(1.5)·f(1.25)<0，但(1.25,1.5)比(1,1.5)更精确．答案：(1.25,1.5)6．下列方程在区间(0,1)内存在实数解的有________．①x2＋x－3＝0；②＋1＝0；③x＋ln x＝0；④x2－lg x＝0.解析：0<x<1时，x2＋x－3<0，＋1>0，x2－lg x>0.答案：③7．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是________(填写序号)．①(0,1)②(1,2)③(2,3)④(3,4)解析：令g(x)＝x3－22－x，可求得g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，g(3)>0，g(4)>0.易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2)．答案：②8．函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点，则实数a的取值范围是________．解析：数形结合可知．答案：a=19．下列函数中能用二分法求零点的是________．解析：由二分法应用条件知只有③符合题意．答案：③10．下面关于二分法的叙述，正确的是________．①二分法可求函数所有零点的近似值②利用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后任一位有效数字③二分法无规律可循，无法在计算机上实施④只在求函数零点时，才可用二分法答案：②11．方程log3x＋x＝3的解所在区间是________．，f(3)>0，________．答案：014．方程x2－x－1＝0解析：f(x)＝x2－x－1，f(－1)>0，f(0)<0，f(2)>0.答案：(－1,0)或(0,2)15．用计算器求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解为________(精确到0.1)．解析：令f(x)＝ln x＋x－3，因为f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以取(2,3)为初始区间．答案：2.2二、解答题1．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有惟一零点，如果用“二分法”求这个零点的近似值(精确到0.001)，求将区间(a，b)等分的次数．解：每等分一次区间长度变为原来的一半，n次等分后区间长度变为原来的，即·0.1，要精确到0.001，必有·0.1<0.001，即2n>100，从而最小的n为7.即将区间(a，b)至少等分7次．2．用二分法求方程x3＋5＝0的近似解．(精确到0.1)解：令f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，故取区间[－2，－1]作为1.7.(精确到0.1)．1在区间(－1,0)上有解；1其他解的区间．－3)－1，故方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间综上，方程在区间(1,2)，(3,4)5．利用函数的图象特征，判断方程解：设f(x)＝2x3－5x＋1，则f(x)在又f(0)＝1>0，f(－3)＝－38<0.∴f(0)·f(－3)<0，∴在[－3,0]内必存在一点x0，使f(x0)＝0，∴x0是方程2x3－5x＋1＝0的一个实数根．∴方程2x3－5x＋1＝0存在实数根．巩固练习题：1．若二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是________．解析：由Δ＝m2－4(m＋3)>0可得m2－4m－12>0，所以m<－2或m>6.答案：{m|m<－2或m>6}2．若二次函数y＝－2x2－3x＋a的图象与x轴没有公共点，则实数a的取值范围是________．解析：Δ＝9＋8a<0，所以a<－.答案：a<－3．函数y＝x2－3x＋k的一个零点为－1，则k＝________，函数的另一个零点为________．解析：x＝－1时y＝1＋3＋k＝0，所以k＝－4，即y＝x2－3x－4＝(x＋1)(x－4)，所以另一个零点为4.答案：－4 4(x＋4)＝2x的根有________个．4．方程log解析：作函数y＝log2(x＋4)，y＝2x的图象如图所示，两图象有两个交点，且交点横坐标一正一负，∴方程有一正根和一负根．答案：25．函数f(x)＝ln x－的零点个数是________个．解析：如图可知y＝ln x与y＝的图象有两个交点．f(a)·f(b) 0(f(b)·f(c)0(．。

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

函数应用零点二分法知识点和练习

一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

函数的应用零点二分法

函数的应用（零点、二分法）
一、单选题(共6道，每道16分)
1.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
2.若函数在区间上恰有一个零点，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
3.函数的零点有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性
4.函数的零点个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
5.已知函数，若函数在上有两个零点，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的零点
6.用二分法求方程的近似解（精确度0.01），先令，则根据下表数据，方程的近似解可能是( )
A.2.512
B.2.522
C.2.532
D.2.542
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二分法求函数零点的近似值。

学考复习6 函数与方程(1)零点、二分法

学考复习6 函数与方程（1）----方程的根与函数的零点、二分法一、知识梳理1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做这个函数的零点。

函数零点的意义：它是方程0)(=x f 的实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程()0=x f 有实根 ⇔ ⇔2．零点存在定理：如果函数()x f y =在区间上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数()x f y =在区间内有零点，即存在()b a c ,∈，使得，这个c 也就是方程()0=x f 的根.3．二分法求函数()x f y =零点近似值的步骤：⑴确定区间，验证，给定。

⑵求；⑶计算；①若，则；②若，则令；③若，则令。

⑷判断二、例题例1、(1)函数23)(2+-=x x x f 的零点是（） 2,1.)0,2(),0,1.()0,2.()0,1.(D C B A (2) 函数44)(2+-=x x x f 的零点是，它有个零点；方程0)(=x f 有个实根．(3)函数m x x f +-=2)(的零点为1，则=m例2、（1）已知函数f (x )的图像是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为（）A.（1，2）B.（2，3）C.(3,4)D. (4,5)（2）函数62ln )(-+=x x x f 的零点一定位于区间（）A.（1，2）B.（2，3）C.(3,4)D. (4,5)（3）方程x x lg 3-=的解所在的大致区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C.(2,3)D. (3,4)(4)若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( )A ．至少有一个零点B ．只有一个零点C ．没有零点D ．至多有一个零点(5)已知函数2()2=-+f x x x b 在区间（2，4）内有唯一零点，则b 的取值范围是（）A ．RB ．(,0)-∞C ．(8,)-+∞D ．(8,0)-例3、(1 )用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是。

高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（）（A ）（0，1）；（B ）（1，2）；（C ）（2，e ）；（D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

函数零点的题型归纳与解题技巧

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。

在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。

一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。

2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。

3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。

4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。

5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。

6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。

例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。

2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。

例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。

3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。

例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。

4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。

例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。

5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。

例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。

6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。

7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。

《用二分法求函数的零点》讲义

《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。

简单来说，如果对于函数 f(x)，存在一个实数 c ，使得 f(c) ＝ 0 ，那么 c 就被称为函数 f(x) 的零点。

例如，对于函数 f(x) ＝ x 1 ，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0 ，解得 x＝ 1 ，所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。

函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在方程求解、函数性质研究以及实际问题中都有着重要的意义。

二、为什么要用二分法求函数的零点在实际问题中，我们常常需要求出函数的零点，但很多函数的零点并不能通过简单的代数运算直接得出。

这时候，就需要用到一些数值方法来近似地求出零点，二分法就是其中一种简单而有效的方法。

二分法的基本思想是“逐步逼近”。

通过不断将区间一分为二，确定零点所在的子区间，然后重复这个过程，使包含零点的区间越来越小，从而得到零点的近似值。

与其他求零点的方法相比，二分法具有原理简单、易于理解和实现的优点，而且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。

三、二分法的原理假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b) ＜ 0 ），那么在区间（a, b) 内至少存在一个零点 c 。

我们取区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 ，计算 f(m) 。

如果 f(m) ＝ 0 ，那么 m 就是函数的零点。

如果 f(m) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, m 中；如果 f(m) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 m, b 中。

然后，我们再对新的区间重复上述步骤，不断缩小包含零点的区间，直到达到所需的精度。

四、二分法的具体步骤1、确定初始区间 a, b ，使得 f(a) × f(b) ＜ 0 。

2、计算区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 。

2014.11.18函数零点、二分法、任意角题型全总结

函数零点、二分法、任意角题型全总结题型一：求零点或零点的个数方法1、解方程：根据零点的定义，)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的根，所以方程0)(=x f 根的个数就是函数)(x f y =零点的个数.练：方程 f(x)=96370x x-∙-=的零点是例1、求函数2223+--=x x x y 的零点. 例2：(2010年福建理科)函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为( )A0 B1 C2 D3方法2数形结合：函数)((x g x h y -=）的零点,也就是)(x h y =图象)(x g y =图象交点横坐标,所以函数)((x g x h y -=）的零点个数就是)(x h y =图象与)(x g y =图象交点个数.例：(2012年北京文科)函数xx x f )21()(21-=的零点个数为( )A0 B1 C2 D3练：1、方程223x x -+=的实数解的个数为 _______ 。

（2）2、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（） 3、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围是 }1|{>a a4、（10浙江）已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（）A ．()01<x f ，()02<x f B ．()01<x f ，()02>x f C ．()01>x f ，()02<x f D ．()01>x f ，()02>x f5、直线y ＝1与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是。

6、已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______方法3、零点存在性定理例1、求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

(整理)函数应用零点二分法知识点和练习.

精品文档5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。

7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。

8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a ，]b 上连续不断，且满足()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤：（1）确定区间[a ，]b ，验证()()f a f b ⋅0<，给定精度ε；（2）求区间(a ，)b 的中点1x ；（3）计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若()f a ⋅1()f x <0，则令b =1x （此时零点01(,)x a x ∈）；③若1()f x ⋅()f b <0，则令a =1x （此时零点01(,)x x b ∈）；(4)判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤(2)-(4)．11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

高一数学必修1第三章知识点

高一数学必修1第三章知识点第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数yf(x)的图象联系起来，○并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。

k(k0)没有零点。

x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。

②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0)．（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。

⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。

6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。

7、确定零点在某区间a,b个数是的条件是：①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。

8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；x若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a，b]上连续持续，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过持续地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);指数函数模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型实行分析评价，选出合适的函数模型12扩展阅读：高一数学必修1各章知识点总结金太阳新课标资源网高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合相关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

数学高一专题------零点及其二分法求解

数学高一专题零点及其二分法求解零点：函数图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

1.判断函数零点所在区间的常用方法（1）利用零点存在性定理，使用该定理的首要条件是函数在某一闭区间上的图像是连续的。

（2）数形结合法：画出函数的图像，用估算确定区间。

2.判断函数零点个数的常用方法（1）解方程法：（2）利用零点存在性定理：（3）数形结合法：二分法求解函数值：考点一：函数与方程1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上()A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点2. 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．33．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的变号零点个数为()A．1 B．2 C．3 D．44.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]5．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是不间断的，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在该区间上( )A ．只有一个零点B ．有二个零点C ．不一定有零点D ．至少有一个零点6. 若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是________．变式练习1.函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图像交点的横坐标所在区间为 ( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2.函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0,2]上 ( )A ．有3个零点B ．有2个零点C ．有1个零点D ．没有零点 3.对于函数n mx x x f ++=2)(，若0)(>a f ，0)(>b f ，则函数)(x f 在区间（a ，b ）内（）A ．一定有零点B ．一点没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点4.若函数)(x f y =是偶函数，定义域}0|{≠∈x x 且，且)(x f 在),0(+∞上是减函数，0)2(=f ，则函数)(x f 的零点有（）A ．惟一一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断5.已知函数f (2x )＝3x 2＋1，则f (x ＋5)有________个零点．6.求证：方程5x 2－7x －1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．考点二：二分法求零点求函数f (x )＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)变式练习1.若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：求方程x 3＋x 2－2x －22.用二分法求方程0212-0.9 x x 的实数解，精确到0.1.课后练习1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( )A ．f (0)>0，f (2)<0B ．f (0)·f (2)<0C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)<0D ．以上说法都不正确2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y ＝f (x )的零点个数是() A ．0 B ．1C ．2D ．1或23．设函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)4．方程2x －x －2＝0在实数范围内的解的个数是________．5．函数y ＝(12)x 与函数y ＝lg x 的图像的交点的横坐标是________．(精确到0.1)6．方程4x 2－6x －1＝0位于区间(－1,2)内的解有____________个．7.当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．。

高考数学-函数零点问题及例题解析

1函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：二分法：对于在区间对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二的零点所在的区间一分为二,,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法值的方法叫做二分法; ;二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间在区间[a,b][a,b][a,b]上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（在区间（a,b a,b a,b）内有零点，即存在）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）（或方程在某个区间上是否有根）（或方程在某个区间上是否有根）时，时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如分不必要条件：如例、函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（的零点所在的大致区间是（）（A ）（0，1）；（B ）（1，2）；（C ）（2，e ）；（D ）（3，4）。

高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)

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由图可知：当
0
m
1 2
时，两图象有两个不同的交点，
在区间 1,1 上方程 f x mx m 0 有两个不同的实根，故选：B
例 5．（2020·江苏宝应中学高三三模）已知函数 f x 2ln x2 3x 3 ，其中x 表示不大于 x 的
最大整数（如1.6 1，2.1 3），则函数 f x 的零点个数是（）
对函数
y
ln x
1, x
0 求导得
y
1 x 1
，
设切点为
x0, ln x0 1
，则
ln x0 1
x0 1
2 3
1 x0 1
m ，解得
x0
1
1
e3
，m
1
e3
，
数形结合可知，当
m
2 3
1
,e 3
时，直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点，即函数
g
x
有四个零点.故选：B.
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f |
(x) x|
有
2
个不同交点，不满足题意；
当 k 0 时，如图 2，此时 y | kx 2 |与 h(x)
f |
(x) x|
恒有
3
个不同交点，满足题意；
当 k 0 时，如图 3，当 y kx 2 与 y = x2 相切时，联立方程得 x2 kx 2 0 ，
令 0 得 k2 8 0 ，解得 k 2 2 （负值舍去），所以 k 2 2 ．综上， k 的取值范围为 (,0) (2 2, ) ，故选 D．
图形特征，是数形结合的体现.通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者

人教版高中数学必修一第三章函数的应用3.1函数与方程(教师版)【个性化辅导含答案】

函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、掌握函数的零点和二分法的定义．2、会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。

第09讲：函数的零点和函数的应用期末高频考点突破

第09讲:函数的零点和函数的应用期末高频考点突破高频考点梳理1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个__c __也就是方程f (x )＝0的根． 2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点题型一：函数零点存在定理1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数3ln y x x=-的零点所在区间是（） A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,12．（2021·河南·安阳市第三十九中学高一期末）关于函数2()311x f x x =+-的零点，下列判断正确的是（）A ．()f x 只有一个零点，且这个零点在区间12（,）内B ．()f x 有两个零点，且其中一个零点在区间12（,）内C ．()f x 只有一个零点，且这个零点在区间2,3（）内D ．()f x 有两个零点，且其中一个零点在区间2,3（）内3．（2022·河南安阳·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，实数a ，b ，c 满足a b c <<，且()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若0x 是函数()f x 的一个零点，则下列结论中一定不正确的是（）A ．0x a <B ．0a x b <<C ．0b x c <<D ．0x b <题型二：函数的零点个数分布问题（参数）4．（2021·河南·安阳一中高一期末）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5,5.55．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知函数()22,02,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程()12f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（） A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．90,16⎛⎫ ⎪⎝⎭6．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（） A ．（3，4）B ．（2，4）C ．[0，4）D ．[3，4）题型三：用二分法求函数f (x )零点近似值7．（2022·江西新余·高一期末）若函数()31f x x x =--在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：那么方程310x x --=的一个近似根（精确度为0.1）可以为（） A ．1.3B ．1.32C ．1.4375D ．1.258．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函数()329f x x x =+-的部分函数值数据如下：()16f =-，()23f =，()1.5 2.625f =-，()1.750.6406f =-，则方程3290x x +-=的一个近似根x 所在区间为（） A ．()0.6406,0-B ．()1.75,2C ．()1.5,1.75D ．()1,1.59．（2021·安徽宿州·高一期末）已知函数3()2xf x x=-在区间(1,2)上有一个零点0x ，如果用二分法求0x 的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(1,2)至少等分的次数为（） A ．5B ．6C ．7D ．8题型四：函数与方程的综合问题10．（2021·天津·高一期末）已知函数4(),01af x x a x=+<≤ (1)用定义法证明函数()f x 在[2,)+∞单调递增；(2)设()()22x xg x f a ⎡⎤=-⎣⎦，求()g x 在[1,0]-上的最大值(3)设2+1,<2()=5(),22x x x f x x ϕ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，若方程()20x a ϕ-=有两个不等实根，求实数a 的取值范围．11．（2022·安徽池州·高一期末）已知函数()214()log 21x f x +=+.(1)求函数()n x(2)若关于x 的方程2()14f x x m =+-在[2,3]-上有两个实数根，求实数m 的取值范围.12．（2022·江西抚州·高一期末）已知函数()ln 11ax f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（其中a R ∈且0a ≠）的图象关于原点对称. (1)求a 的值；(2)①判断()xy f e =在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；①关于x 的方程()ln 0xf e x k -+=在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，求实数k 的取值范围.题型五：函数模型的应用13．（2022·湖北武汉·高一期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 14．（2022·贵州六盘水·高一期末）2005年8月，时任浙江省省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断.为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米180元，池壁的造价为每平方米150元，池盖的总造价为2000元.设沼气池底面长方形的一边长为x 米，但由于受场地的限制，x 不能超过2米.(1)求沼气池总造价y 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域； (2)怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价.15．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x （千台）电脑需要另投成本()T x 万元，且2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式; (2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.参考答案：1．B【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由3,ln y y x x==-在(0,)+∞上递减，所以3ln y x x=-在(0,)+∞上递减，又3(2)ln 202f =-=>，e (3)1ln 3ln 03f =-=<，所以零点所在区间为()2,3. 故选：B 2．B【分析】根据零点存在性定理，特殊值检验解决即可. 【详解】由题知，2()311x f x x =+-，当2()3110x f x x =+-=时，2311x x =-+，令2123,11x y y x ==-+，如图有图知()f x 有两个零点；因为(1)311170f =+-=-<， (2)941120f =+-=>， (3)27911250f =+-=>，1(1)11103f -=+-<，1(2)41109f -=+-<，1(3)911027f -=+-<，1(4)1611081f -=+->，说明()f x 有两个零点位于12（,）和3,4--（），故选：B 3．B【分析】根据函数的单调性可得()()()f a f b f c >>，再分()0f a <和()0f a >两种情况讨论，结合零点的存在性定理即可得出结论.【详解】解：①()f x 是定义在R 上的减函数，a b c <<，①()()()f a f b f c >>， ①()()()0f a f b f c ⋅⋅<，①()()()0,0,0,f a f b f c <<<或()0f a >，()0f b >，()0f c <，当()0f a <时，0x a <，0x b <；当()0f a >，()0f b >，()0f c <时，0b x c <<； ①0a x b <<是不可能的. 故选：B ． 4．A【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f = ，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g = 求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤< 故选：A 5．D【分析】根据题意，作出函数()22,0,2,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩与12y x m =+的图像，然后通过数形结合求出答案.【详解】函数()22,0,2,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩的图像如下图所示：若关于x 的方程()12f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则函数()f x 的图像与直线12y x m =+有三个交点，若直线12y x m =+经过原点时，m ＝0，若直线12y x m =+与函数()12f x x m =+的图像相切，令22123022x x x m x x m -+=⇒++-=，令9940416m m ∆=-=⇒=.故90,16m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D ． 6．D【分析】利用数形结合可得12m <≤，结合条件可得121=x x ，312x ≤<，423x <≤，且344x x +=，再利用二次函数的性质即得.【详解】由方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根，得函数()y f x =的图象与直线y m =有四个不同的交点，分别作出函数()y f x =的图象与直线y m =．由函数()f x 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，12m <≤．设y m =与|ln()|(0)y x x =-<交点的横坐标为1x ，2x ，设12x x <，则11x <-，210x -<<，由()()12ln ln x x -=-得()()12ln ln x x -=--，所以()()121x x --=，即121=x x ．设y m =与245(1)y x x x =-+≥的交点的横坐标为3x ，4x ，设34x x <，则312x ≤<，423x <≤，且344x x +=，所以()()234333424[3,4)x x x x x =-=--+∈，则1234[3,4)x x x x ∈．故选：D. 7．B【分析】由零点存在性定理和二分法求解近似根.【详解】由()1.31250f <，()1.3750f >，且()f x 为连续函数，由零点存在性定理知：区间()1.3125,1.375内存在零点，故方程310x x --=的一个近似根可以为1.32，B 选项正确，其他选项均不可. 故选：B 8．B【分析】根据零点存在性定理可判断出函数零点所在的区间，从而可得到方程近似根x 所在的区间. 【详解】由题意，知()()()()()()120, 1.520, 1.7520f f f f f f ⋅<⋅<⋅<，所以函数的零点在区间()1.75,2内，即方程3290x x +-=的一个近似根x 所在区间为()1.75,2. 故选：B. 9．C【解析】根据二分法的定义可得10.012n<，解得6n >即得. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的12，则等分n 次后的区间长度变为原来的12n，则由题可得10.012n <，即621002n >>，6n ∴>，则至少等分的次数为7.故选：C.10．(1)证明见解析 (2)31a + (3)518a <≤【分析】（1）先设12,[2,)x x ∀∈+∞，12x x <，再根据作差法只需证明()()12f x f x <即可；（2）根据换元法求21()4,,12h t t at a t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦的最大值即可；（3）根据函数在(,2)-∞和[2,)+∞上的单调性，即可求得实数a 的取值范围.（1）12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <， ()()()12121212124444a a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()1212121212441x x x x a a x x x x x x --⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ ①122x x ≤<，①21120,4x x x x >->①01a <≤，①044a <≤，①124x x a >，①1240x x a -> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，①()f x 在[2,)+∞上单调递增，（2）设()24()222242x x x xx a g x a a a ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，令2x t =，①1[1,0],,12x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，21()4,,12h t t at a t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦①()h t 的对称轴为10,22a t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， ①()h t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，①max max ()()(1)31g x h t h a ===+．（3））2+1,<2()=45+,22x x x a x x x ϕ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，①()x ϕ在(,2)-∞上单调递减，①5(),4x ϕ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，由（1）可知()x ϕ在[2,)+∞上单调递增，①1()2,2x a ϕ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，方程()20x a ϕ-=有两个不等实根，等价于函数()y x ϕ=与2y a =有两个不同的交点①1222a a >-，①(x ϕ在[2,)+∞上与2y a =必有一个交点，故只需①524a >，即58a >，又①01a <≤，①518a <≤． 11．(1)2115log ,22⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)411log 3,28⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据被开方数非负列出一个关于对数函数的不等式，然后解不等式即可求出其定义域；（2）构造一个新函数()2141()log 212x x g x ++=+-，转化成求新函数在[2,3]-上的值域，最后解不等式即可.(1)依题意，()n x =()214log 2120x ++-≥，则212116x ++≥，则21215x +≥，则221log 15x +≥，故2115log 22x ≥，即函数()n x 的定义域为2115log ,22⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； (2)依题意，2()14f x x m =+-，故()2141log 2122x x m +++-=-；令()()212114444111()log 21log 21log 2log 222x x x x x x g x +++++⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭；令2x t =，因为[2,3]x ∈-，故1,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故1112()22x x t h t t ++=+=，因为12t t +≥12t t =，即t =而19129,(8)4416h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故49log 2log 4m -≤，即412log 914m <-≤-，即411log 328m -≤<-，即实数m 的取值范围为411log 3,28⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 12．(1)2a =(2)①()x y f e =在区间()0,∞+上单调递增；①2033k <≤ 【分析】（1）由图象关于原点对称知：()()0f x f x -+=，结合函数解析式可得()211a -=，即可求参数.（2）由已知得()1ln 1x f x x -=+，①()x y f e =为211x t e =-+，()ln g t t =的构成的复合函数，由它们在()0,∞+上均单调递增，即知()x y f e =的单调性；①由①整理方程得()11x x x e e k e +=-在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，令1x u e =-，(]0,3u ∈有23k u u =++，结合基本不等式求其最值，进而确定k 的取值范围.(1)由题意知()()0f x f x -+=，整理得()()1111ln 011a x a x x x -+--⎡⎤⨯=⎢⎥-+⎣⎦，即()222111a x x --=-，对于定义域内任意x 都成立，则有()211a -=，解得2a =或0a =，又0a ≠，所以2a =，当2a =时，()1ln 1x f x x -=+，定义域为(1)(1)-∞-+∞，，，关于原点对称，符合题意，故2a =.(2)由（1）可知，2a =，故()21ln 1ln 11x x x x f x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. ①()22ln 1ln 111x xx x e y f e e e ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由211x t e =-+，()ln g t t =在()0,∞+上均单调递增，得()x y f e =在区间()0,∞+上单调递增.①由①知1ln ln 01x x e x k e --+=+，可得1ln ln ln 01x x x e e k e --+=+，即()11x x x e e k e +=-在区间(]0,ln 4上有两个不同的解. 令1x u e =-，(]0,3u ∈，所以()()()112231x x x e e u u k u e u u +++===++-，因为23k u u =++在(上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以min 33k =+=，且3u =时，2203333k =++=，从而2033k <≤. 13．(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩； (2)年产量为105千件，最大利润是1000万元.【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.【详解】（1）当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-；当100x ≥时，45004500100(1205400)20002034009090L x x x x x =-+--=--+--，所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩. （2）当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+，当90x =时，L 取得最大值950，当100x ≥时，22520(90)16001600100090L x x =--++≤-+=-，当且仅当2259090x x -=-，即105x =时取等号，而1000950>，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.14．(1)()6308090002y x x x ⎛⎫=+⨯+<≤ ⎪⎝⎭ (2)当长2x =米，宽632=米时总造价最低，最低造价为7580元【分析】（1）池底、池壁、池盖的造价求得y 关于x 的解析式，并写出定义域.（2）利用函数的单调性求得设计方案并求得最低造价.【详解】（1）沼气池的宽为1863x x=，依题意612180231502000y x x x x ⎛⎫=⨯⨯++⨯⨯+ ⎪⎝⎭ ()6661809002000308090002x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯+=+⨯+<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）由（1）得()6308090002y x x x ⎛⎫=+⨯+<≤ ⎪⎝⎭，对于函数()()602f x x x x=+<≤，任取()()121212126602,x x f x f x x x x x <<≤-=+--()()1212126x x x x x x --=，其中1212120,0,60x x x x x x -<>-<，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在(]0,2上递减，所以当长2x =米，宽632=米时，()f x 最小，也即总造价最小，最小值为63080900275802⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭元. 15．(1)210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩(2)100千台，最大年利润为5 900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040x <<时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值.（1）解：10 000台=10千台,则(10)1002000T a =+，根据题意得：0.610000100200013501650a ⨯---=，解得=10a ，当040x <<时，22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-，当40x ≥时，1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+，综上所述210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩. （2）当040x <<时，22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当25x =时， ()W x 取得最大值max ()3900W x =；当40x ≥时，1000010000()61006100900W x x x x x=--+≤-+=，当且仅当=100x 时，max ()5900W x =因为59003900>，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.。

高中数学总复习考点知识讲解课件16 函数的零点与方程的解、二分法

高中数学总复习考点知识讲解课件第七节函数的应用第1课时函数的零点与方程的解、二分法【课程标准】1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解.【必备知识·精归纳】1.函数的零点与方程的解(1)函数的零点对于一般函数y=f(x),使f(x)=0的实数x.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理①条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0.②结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.点睛连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.【常用结论】有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.【基础小题·固根基】1.(结论)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选B.依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据函数零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.2.(教材变式)函数f(x)=e x+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由f'(x)=e x+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点.3.(教材提升)已知函数f(x)=--则f(x)的零点为.【解析】由题意,知-或-解得x=-2或x=e.答案:-2,e4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是.【解析】依题意函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,所以k≠0 函数f(x)在定义域上是单调函数,所以f(1)·f(2)≤0 即(k+1)(2k+1)≤0解得-1≤k≤-.答案: [-1,-]5.(应用零点和奇函数的概念不准确)设函数f(x)是定义在R上的奇函数且当x>0时,f(x)=x-1+lg x,则在R上f(x)的零点为.【解析】因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x).又当x>0时,f(1)=0,所以当x<0时,奇函数f(x)还有一个零点-1.答案:0,-1,1【题型一】函数零点所在区间的判定[典例1](1)(多选题)(2022·菏泽质检)函数f(x)=e x-x-2在下列哪个区间内必有零点()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】选AD.f(-2)=>0,f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,因为f(-2)·f(-1)<0,f(1)·f(2)<0,所以f(x)在(-2,-1)和(1,2)内存在零点.(2)设f(x)=0.8x-1,g(x)=ln x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点一定位于下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)【解析】选A.h(x)=f(x)-g(x)的零点等价于方程f(x)-g(x)=0的根,即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点的横坐标,其大致图象如图,从图象可知它们仅有一个交点A,横坐标的范围为(0,1).【方法提炼】——自主完善,老师指导确定函数零点所在区间的常用方法(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.【对点训练】1.已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4 +∞)【解析】选C.因为f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-<0,且f(x)在定义域内单调递减,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).2.设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)()A.在区间(,1),(1,e)内均有零点B.在区间(,1),(1,e)内均无零点C.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点【解析】选D.方法一(定理法):当x∈(,e)时,函数图象是连续的,且f'(x)=-=-<0,所以函数f(x)在(,e)上单调递减.又f()=+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,所以函数在区间(1,e)内有唯一的零点.方法二(图象法):令f(x)=0,得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图象,如图,显然y=f(x)在(,1)内无零点,在(1,e)内有零点.【加练备选】1.(2022·白银模拟)函数f(x)=ln x-的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B. (定理法)由题意知函数f(x)是增函数,因为f(1)<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln>0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).2.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)·(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞ a)和(a,b)内C.(b,c)和(c +∞)内D.(-∞ a)和(c +∞)内【解析】选A.函数y=f(x)是开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a<b<c,则a-b<0,a-c<0,b-c<0,因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.【题型二】函数零点个数的判定[典例2](1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.方法一:因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.方法二:设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.(2)已知函数f(x)=-则函数y=f(x)+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.(方程法)令f(x)+3x=0,则或-解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.(3)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.(图象法)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=()x,设g(x)=|log0.5x|,h(x)=()x,在同一平面直角坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图象如图,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.【方法提炼】——自主完善,老师指导函数零点个数的判定方法(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法:画出两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.【对点训练】1.函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时f(x)=x2-x,则函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为()A.6B.7C.8D.9【解析】选B.令f(x)=x2-x=0,所以x=0或x=1,所以f(0)=0,f(1)=0.因为函数的最小正周期为2,所以f(2)=0,f(3)=0,f(-2)=0,f(-1)=0,f(-3)=0.所以函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为7.2.函数f(x)=--的零点个数是.【解析】当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-∞ 0]上,f(x)有一个零点;当x>0时,f'(x)=2+>0恒成立,所以f(x)在(0 +∞)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,所以f(x)在(0 +∞)上有一个零点.综上,函数f(x)的零点个数为2.答案:2【加练备选】函数f(x)=x cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.(方程法)借助余弦函数的图象求解.f(x)=x cos 2x=0⇒x=0或cos 2x=0,又cos 2x=0在[0,2π]上有4个根,即,,,,故原函数有5个零点.【题型三】函数零点的应用角度1根据函数零点个数求参数[典例3](1)已知函数f(x)=--(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[1 +∞)C.(0,1)D.(-∞ 1]【解析】选A.画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-∞ 0]和(0 +∞)上各有一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零点,需0<a≤1;当x>0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.综上,0<a≤1.(2)函数f(x)=-kx2有两个零点,则实数k的值为.【解析】由f(x)=-kx2=x(-kx),函数f(x)=-kx2有两个零点,即函数y=-kx只有一个零点x0,且x0≠0.即方程-kx=0有且只有一个非零实根.显然k≠0 即=x2+2x有且只有一个非零实根.即二次函数y=x2+2x的图象与直线y=有且只有一个交点(横坐标不为零).作出二次函数y=x2+2x的图象,如图.因为≠0 由图可知,当>-1时,函数y=x2+2x的图象与直线y=有两个交点,不满足条件.当=-1,即k=-1时满足条件.当<-1时,函数y=x2+2x的图象与直线y=无交点,不满足条件.答案:-1角度2根据函数零点范围求参数[典例4](1)(2023·北京模拟)已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞ -1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A. (-∞ )B. (0,)C.(-∞ 0)D.( +∞)【解析】选B.由f(x)=3x-=0,可得a=3x-,令g(x)=3x-,其中x∈(-∞ -1),由于存在x0∈(-∞ -1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞ -1)上的值域.由于函数y=3x,y=-在区间(-∞ -1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞ -1)上单调递增.当x∈(-∞ -1)时,g(x)=3x-<3-1+1=,又g(x)=3x->0,所以函数g(x)在(-∞ -1)上的值域为(0,).因此实数a的取值范围是(0,).(2)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是.【解析】依题意,结合函数f(x)的图象分析可知,m需满足(-)·()即()·()()()()·[()]解得<m<.答案:(,)角度3求函数多个零点(方程根)的和则方程(x-1)f(x)=1的所有实根[典例5]已知函数f(x)=-(-)的和为()A.2B.3C.4D.1【解析】选A.当x>1时,2-x<1,所以f(2-x)=-ln[2-(2-x)]=-ln x=-f(x);当x<1时,2-x>1,所以f(2-x)=ln(2-x)=-f(x);当x=1时,f(1)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程(x-1)f(x)=1的根.,当x≠1时,原方程可变为f(x)=-的图象的交点故求方程(x-1)f(x)=1的所有实根的和即为求y=f(x)和y=-的横坐标之和.的图象,如图所示.作出函数y=f(x)和y=-由图象得,两个函数的图象有2个交点,分别设为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2).的图象都关于点(1,0)对称,所以A,B也关于点(1,0)因为函数y=f(x)和y=-对称,所以=1,即x1+x2=2.【方法提炼】已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求已知函数零点情况的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.【对点训练】1.函数f(x)=x2-ax+1在区间(,3)上有零点,则实数a的取值范围是()A.(2 +∞)B.[2 +∞)C. [2,)D. [2,)【解析】选D.由题意知方程ax=x2+1在(,3)上有解,即a=x+在(,3)上有解,设t=x+,x∈(,3),则t的取值范围是[2,),所以实数a的取值范围是[2,).2.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x)且f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在区间(-,]上的所有零点的和为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由f(-x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,由f(x)=f(2-x),可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1.由于函数f(x)与函数y=|cos(πx)|均为偶函数,所以在(-,]上g(x)的零点之和为0,只需求在(,]上的零点和.在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos(πx)|,y=f(x)在(,]上的图象如图,在(,]上,(1,1)为两函数图象的交点,且另两个交点关于x=1对称,所以在(,]上,g(x)的零点和为3,故所有零点的和为3.3.设函数f(x)=-(-)(-)若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 【解析】若a=1,则f(x)=-(-)(-)作出函数f(x)的图象如图所示.由图可得f(x)的最小值为-1.当a≥1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足21-a≤0 即a≥2;当a<1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足-解得≤a<1.综上,实数a的取值范围为[,1)∪[2 +∞).答案:-1[,1)∪[2 +∞)【加练备选】1.(多选题)设函数f(x)=()若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b可取的值为()A.0B.C.D.1【解析】选BCD.函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,当x≤0时,f(x)=(x+1)e x,则f'(x)=e x+(x+1)e x=(x+2)e x,所以f(x)在(-∞ -2)上单调递减,在(-2,0]上单调递增,且f(-2)=-,f(0)=1,x→-∞时,f(x)→0从而可得f(x)的图象如图所示.通过图象可知,若函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,则b∈(0,1].2.已知函数f(x)=log2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点,则m的取值范围为()A. (-,0)B. (-∞ -)∪(0 +∞)C. (-∞ -]∪(0 +∞)D. [-,0)【解析】选D.由于函数y=log2(x+1),y=m-在区间(1,3]上单调递增,所以函数f(x)在(1,3]上单调递增.由于函数f(x)=log2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点,则()()即解得-≤m<0.因此,实数m的取值范围是[-,0).3.(2023·浙江名校联盟联考)定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=-f(x),且f(x)=f(2-x).当0<x≤1时,f(x)=log2x,则方程f(x)=1在[-6,6]上的实数根的和为.【解析】定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=-f(x),且f(x)=f(2-x),则f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,且其图象关于直线x=1对称.当0<x≤1时,f(x)=log2x,所以f()=-1,则f(-)=1.由f(x)的图象关于直线x=1对称,得f()=1,则由周期为4可得,f()=1,f(-)=1,f(-)=1,f(-)=1,所以----++=-6.答案:-6【备选题型】嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套” 将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.角度1嵌套函数零点个数的判断[典例1]已知函数f(x)=则方程f(f(x))+3=0的解的个数为() A.3B.4C.5D.6【解析】选C.因为函数f(x)=由f(x)=-3,当x>0,即ln x=-3,解得x=,当x<0时,则有x+=-3,解得x=-.因为f(f(x))+3=0,即f(x)=或f(x)=-,由f(x)=,可得ln x=,此方程只有一个根.又x<0时,f(x)=x+≤-2,故f(x)=-仅在x>0时有一个根,f(x)=--在x<0时有两个根,在x>0时有一个根,综上,方程f(f(x))+3=0有五个根.【方法提炼】求解嵌套函数零点问题的主要步骤(1)换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零点.(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数.角度2与嵌套函数零点相关的参数范围[典例2]函数f(x)=(--) --若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是.【解析】设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图).当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1.当t1<-1时,t1=f(x)有一解,当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点.答案:[-1 +∞)【方法提炼】1.求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来” 抓临界位置,动静结合.【对点训练】1.已知函数f(x)=则函数g(x)=2f(f(x)-1)-1的零点个数为()A.7B.8C.10D.11【解析】选B.记t=f(x)-1,则2f(t)-1=0的解为t1=,t2=-1-,t3=-1+,t4=-1-.t=f(x)-1的根等价于直线y=t+1与y=f(x)的图象的交点个数,画出f(x)的图象,如图,数形结合知有8个交点,即g(x)=2f(f(x)-1)-1有8个零点.2.已知f(x)=,方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,则a的取值范围为()A.{-e}∪(3-e +∞)B.{-e}∪(0,3-e)C.(-∞ 0)D.{-e}∪[3-e +∞)【解析】选B.由题意知f'(x)=-(x>0且x≠1) 令f'(x)=0,得x=e,所以当x∈(0,1)∪(1,e)时,f'(x)<0;当x∈(e +∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)在(0,1),(1,e)上单调递减,在(e +∞)上单调递增,所以当x=e时,f(x)有极小值,且极小值为e,则函数f(x)的大致图象如图所示.由方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0得f(x)=-a或f(x)=-a+3,若方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,则有--或--解得0<a<3-e或a=-e.【思维导图·构网络】解题思维拓广角度❸复合函数零点、方程根的问题复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数与方程、数形结合、分类整合和化归与转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点,对考查学生思维能力、运算能力有较高的要求.[常见方法]先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.类型一确定复合函数零点的个数或方程解的个数[典例1](1)已知函数f(x)=则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数判断正确的是()A.当a>0时,有4个零点;a<0时,有1个零点B.当a>0时,有3个零点;a<0时,有2个零点C.无论a为何值,均有2个零点D.无论a为何值,均有4个零点【解析】选A.所求函数的零点,即方程f(f(x))=-1的解的个数,令t=f(x),先作出y=f(t)的图象,直线y=ax+1为过定点(0,1)的一条直线,但需要对a的符号进行分类讨论.当a>0时,如图1所示,先拆外层可得t1=-<0,t2=,如图2所示,而t1有两个对应的x,t2也有两个对应的x,共计4个;当a<0时,如图3所示,先拆外层可得t=,如图4所示,t=只有一个满足的x,所以共1个零点.结合选项,可判断出A正确.(2)已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是. 【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.答案:5【方法提炼】求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略:(1)先换元解“套” 令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t与几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的零点或方程解的个数,即“从外到内”.类型二已知函数零点的个数,求参数的取值范围[典例2](1)已知函数f(x)=若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是()A.[0 +∞)B.[1,3]C. (-1,-]D. [-1,-]【解析】选C.因为f(f(x))-2=0,所以f(f(x))=2,所以f(x)=-1或f(x)=-(k≠0).(i)当k=0时,作出函数f(x)的图象如图①所示,由图象可知f(x)=-1无解,所以k=0不符合题意;(ii)当k>0时,作出函数f(x)的图象如图②所示,由图象可知f(x)=-1无解且f(x)=-无解,即f(f(x))-2=0无解,不符合题意;(iii)当k<0时,作出函数f(x)的图象如图③所示,由图象可知f(x)=-1有1个实数根,因为f(f(x))-2=0有3个实数根,所以f(x)=-有2个实数根,所以1<-≤3 解得-1<k≤-.综上,k的取值范围是(-1,-].(2)已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是.【解析】令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,由方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,易知方程f(x)=t在t<1时有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象如图,由图象可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是[1,).答案: [1,)【方法提炼】已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问题的方法:(1)先换元解套,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.(2)由零点个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而确定参数的范围,即“从内到外”.此法称为双图象法(换元法+数形结合).【加练备选】已知函数f(x)=|x2-4x+3|,若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有七个不相同的实根,则实数b的取值范围是()A.(-2,0)B.(-2,-1)C.(0,1)D.(0,2)【解析】选B.通过图象变换作出t=f(x)的图象(如图),因为[f(x)]2+bf(x)+c=0最多只能解出2个f(x),若要解出七个根, 则t1=1,t2∈(0,1),所以-b=t1+t2∈(1,2),解得b∈(-2,-1).。

零点定理讲义

函数与方程知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点3.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点.知识点二、二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导1．如何求函数的零点？3北洋教育答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标. 2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？答：单调函数在其定义域内最多有一个零点.经典例题透析类型一、求函数的零点1．求下列函数的零点.(1)； (2).（3）12)(-=xx f举一反三：【变式1】求函数：(1)； (2)的零点.练习 1求函数)1lg()(-=x x f 的零点．2．设函数f (x )＝222[1,),2(,1)x x x x x -∈+∞⎧⎨-∈-∞⎩则函数F (x )＝f (x )－14的零点是________．类型二、确定函数零点的个数2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．无法确定练习1．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2 函数f (x )＝⎩⎨⎧0＞，ln ＋2－0，3－2＋2x x x x x ≤的零点个数为( ).A ．0B ．1C ．2D ．3零点定理的探究：（1）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（2）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．练习1.若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)5北洋教育的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定2．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f (－12)·f (12)＜0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根类型三通过零点定理判定零点区间设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间 ( ) A ．(1.25,1.5) B ．(1,1.25) C ．(1.5,2) D ．不能确定练习：1 ．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)＝0.200 f (1.587 5)＝0.133 f (1.575 0)＝0.067 f (1.562 5)＝0.003f (1.556 2)＝－0.029f (1.550 0)＝－0.060据此数据，可得f (x )＝3x －x －4的一个零点的近似值(精确到0.01)为____________．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－1,0]3．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )． A ．x 2＋x －3＝0 B ．x1＋1＝0 C ．21x ＋ln x ＝0D ．x 2－lg x ＝04．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )． A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点5.(2009·天津高考)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点类型四、用二分法求函数的零点的近似值1．如图所示，以下每个函数都有零点，但不能．．用二分法求图中函数零点的是3．求函数的一个正数零点(精确到0.1).举一反三：【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）类型四、用二分法解决实际问题4．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，7北洋教育如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？学习成果测评基础达标一、选择题1.（2011 东北四市 6）已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（）A. B. C. D.2.有两个互为相反数的零点的函数( )A.只能是偶函数B.可以是奇函数C.可以是增函数D.可以是减函数3.（2011 广东广州3月6）若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根5.若已知，则下列说法中正确的是( )A.在上必有且只有一个零点B.在上必有正奇数个零点C.在上必有正偶数个零点D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点6.函数在区间内的函数值( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于07.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )二、填空题1.三次方程在下列连续整数____________之间有根.①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与32.函数的零点是__________.三、解答题1.用二分法求在区间的一个实根(精确到0.01).高考真题【变式2】（2011 山东理16）已知函数，当时，函数的零点,则___________． .。