2021年浙江省高考模拟卷4月9+1高三数学试题

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2021年浙江省高考数学模拟试卷(5)(4月份)解析版

2021年浙江省高考数学模拟试卷（5）（4月份）1.已知全集，集合，，则A. B. C. D. R2.已知i是虚数单位，复数，则的共轭复数为A. B. C. D.3.已知直线a，b，m，其中，则“，”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D.5.记，则…的值为A. 1B. 2C. 129D. 21886.已知不等式组表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.7.甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有A. 18种B. 12种C. 36种D. 24种8.设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数，则方程的实根个数为A. 3B. 4C. 5D. 610.已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，，，分别交于三点M，N，Q，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为A. B. 3 C. D. 411.若实数x、y满足，则的取值范围是______.12.已知抛物线，其焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为________.13.如图，在四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交MN的延长线于不同的两点P，Q，则的值为______.14.双曲线C：的渐近线方程为，设双曲线经过点，且与C具有相同渐近线，则C的方程为 .15.设数列满足…的通项，数列前n项和是 .16.随机变量X的分布列如下：X01P a b c其中a，b，c成等差数列，则，方差的最大值是 .17.函数的部分图象如图所示，则，为了得到的图象，需将函数的图象最少向左平移个单位．18.已知锐角的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求角A的大小；求的取值范围．19.在三棱锥中，，，求证：；若点P为AC上一点，且，求直线BP与平面ACD所形成的角的正弦值．20.已知函数讨论的单调性；若有两个零点，求a的取值范围．21.已知椭圆C的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为、求椭圆C的方程；直线与椭圆C交于A，B，连接，并延长交椭圆C于D，E，连接DE，求与k之间的函数关系式．22.我们称满足：的数列为“k级梦数列”．若是“1级梦数列”且求：和的值；若是“1级梦数列”且满足，…，求的最小值；若是“0级梦数列”且，设数列的前n项和为证明：答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. C5. C6. D7. D8. A9. B10. C11.12.13. 014.15.16.17.18. 解：由及正弦定理得：，所以，所以，，所以，由，可得：，，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，解得B的范围为，则，的取值范围是19. 证明：取BD中点E，连接AE，CE，，又E为BD中点，，同理可得：，又，平面ACE，又平面ACE，解：，，为直角三角形，且，，，，即，又，所以平面BCD，以E为坐标原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴建立如图直角坐标系．，，，，设，，，，，，即，，，，，设是平面ACD的法向量，，令，得，，，由，可知，，的最大值为，即时，的值为20. 解：的定义域为，，①若，则，所以在上是单调递减．②若，则由得，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增．若，至多有一个零点，不符合题意；若，当时，取得最小值①当时，，只有一个零点；②当时，，没有零点；③当时，又，故在有一个零点．设整数N满足，则，故在有一个零点．综上，a的取值范围是21. 解：由在椭圆上，可得，，又，可得，，，所以椭圆C的方程为设，则，直线，代入，得，因为，代入化简得，设，，则，所以，，直线，同理可得，，所以，22. 解：是“1级梦数列”，所以，，，，则，；由易得：，…，解得，，，当且仅当时取等号，故的最小值为根据，可得①又由得故，所以②由①②得：【解析】1. 【分析】本题考查集合的并、补运算．利用数轴求解直观、形象．先求A的补集，再利用数轴求交集即可．【解答】解：，故选2. 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：，的共轭复数为故选3. 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键.根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：当a，b不是相交直线时，若，，则不一定成立，若，则，成立，则“，”是“”的必要不充分条件，故选4. 【分析】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，左半部分为四分之一圆柱，右半部分为二分之一圆锥，且圆柱与圆锥的底面半径均为2，高为然后由圆柱及圆锥的体积公式求解.【解答】解：由三视图还原原几何体，如图所示：该几何体为组合体，左半部分为四分之一圆柱，右半部分为二分之一圆锥，且圆柱与圆锥的底面半径均为2，高为2，则该几何体的体积是故选5. 解：记，，则令，可得……，则…，故选：二项式即，求得的值，可得…的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．6. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：作出函数的图象如图：则函数的图象关于对称，沿着对称轴平移图象，由图象可知当图象经过点B时函数m取得最小值，当图象经过点D时，m取得最大值，由，解得，即此时，即，由，解得，即，此时，即，则实数m的取值范围，故选：结合二元一次不等式组与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．7. 【分析】本题考查计数原理的应用，属于中档题．根据题意，分2种情况讨论：①，甲单独一个人旅游，②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，分别求出每一种情况的方案的数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，甲单独一个人旅游，在B、C景点中任选1个，有2种选法；再将其他3人分成2组，对应剩下的2个景点，有种情况，则此时有种方案；②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B、C景点中任选1个，有种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有种情况，则此时有种方案；则甲不到A景点的方案有种；故选8. 解：作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，故平行四边形为矩形，，设，，则在直角三角形ABF中，，，①得，②①②得，令，得，又由，得，，即，即，得，即，即，则，即，得得则椭圆的离心率的取值范围是，故选：根据条件判断四边形为矩形，结合椭圆的定义结合椭圆离心率方程进行转化求解即可．本题主要考查椭圆的离心率的计算，结合椭圆的定义进行转化是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．9. 解：设，可得，分别作出和的图象，可得它们有两个交点，即方程有两根，一根为，另一个根为，由，可得；由，可得x有3个解，综上可得方程的实根个数为故选：设，可得，分别作出和的图象，可得它们有两个交点，再结合的图象，即可得到实根的个数．本题考查函数方程的转化思想，注意运用换元法和数形结合思想方法，考查运算能力，属于中档题．10. 【分析】不妨设N在B处，，，则有，，由，，可得直角三角形斜边本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题．【解答】解：如图，不妨设N在B处，，，则有，，由，该直角三角形斜边故选：11. 解：，，故原式变形为，即，，即，当且仅当，即时取等号；解得，故答案为根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于s的不等关系式，进而可求出s的取值范围．利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．12. 【分析】由题意设直线AB的方程以及A、B点的坐标，由直线与抛物线方程联立消去y整理得关于x的二次方程，利用根与系数的关系求出的解析式，求出最小值即可．本题考查了直线与抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．【解答】解：由题意知，抛物线的焦点坐标为，当斜率k存在时，显然；设直线AB的方程为，、，由，消去y整理得：；则，，；根据抛物线性质知，，，，其中；设，，，当且仅当时取“=”；的最小值为；即的最小值为故答案为：13. 解：设，，，则，，，，，，，，，，，又，，故答案为：建立坐标系，设，，，求出和的坐标，即可得出结论．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使运算较简单．14. 【分析】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.直接求出双曲线的渐近线方程，得到第一问；利用双曲线的渐近线方程以及双曲线经过的点，求出即可得到双曲线方程.【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为：，由双曲线经过点，且与C具有相同渐近线，可得：，并且，解得，，所求双曲线方程为：，故答案为；15. 【分析】本题考查了数列递推关系、通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列满足…时，…相减可得：解得时，求得代入可得利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：数列满足…时，…相减可得：解得，时，，对于上式也成立．综上可得：，数列前n项和……故答案为：；16. 【分析】本题考查了随机变量的分布列与数学期望及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意可得：，又，联立解得可得利用数学期望计算公式可得，令，可得，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：由题意可得：，又，联立解得，令，，当且仅当时取等号．因此的最大值为故答案为，17. 解：由函数的部分图象，可得，，，，，将代入得，，，，可将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，故答案为：，由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点求出的值，可得函数的解析式，再利用的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由特殊点求出的值，的图象变换规律，属于基础题．18. 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可求，结合范围，可得A的值．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由于B的范围为，可求，根据正弦函数的图象和性质可求的取值范围是即可得解．19. 取BD中点E，连接AE，CE，证明，，推出平面ACE，即可证明以E为坐标原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴建立如图直角坐标系．求出相关点的坐标，求出，平面ACD的法向量，利用空间向量的数量积列出不等式转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20. 求出的导数表达式容易发现，当时，导数恒小于零，依此对函数的单调性根据a的值进行分类讨论．由中的分类讨论结果易知该函数有一个最小值，利用最小值与0的关系，根据函数零点的判定定理可以求出a的取值范围．本题主要考察了导数与单调性的关系，以及函数零点问题，分类讨论是本体的解题关键．21. 由已知可得，，又，可得a，b即可，设，则，设，，可得，，，，可得，本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．22. 本题主要考查数列的递推关系，属于中档题．根据是“1级梦数列”，所以，代值计算即可；由条件可得：，利用裂项求和可得，再根据基本不等式即可求出最小值；根据，可得①，又②，由①②即可证明。

浙江省嘉兴市2024届高三第一次模拟测试数学试题含答案

嘉兴市2024届高三第一模拟测试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知复数220231i i i z =++++ ，则z =（）A.0B.1C.D.【答案】A 【解析】【分析】化简复数z ，继而求模即可.【详解】220231i i i z =++++ ()()23420172018201920202021202220231i+i i +i i i +i i +i i +i =+++⋅⋅⋅++++15050i 1i 0=+⨯+--=则0z =，故选：A .2.已知集合πsin ,044k A k k ⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 且，则集合A 的元素个数为（）A.3 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】将k 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合A ，即可得集合A 的元素个数.【详解】当0k =时，πsin sin004k ==，当1k =时，ππsinsin 442k ==，当2k =时，π2ππsin sin sin 1442k ===，当3k =时，π3πsin sin 442k ==，当4k =时，π4πsinsin sinπ044k ===，故0,,12A ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，共三个元素.故选：A.3.已知向量()2,0a =，()0,3b = ，若实数λ满足()()b a a b λ-⊥+ ，则λ=（）A.49B.94C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】先表示出,b a a b λ-+的坐标，然后根据垂直关系得到λ的方程，由此求解出结果.【详解】因为()()2,3,2,3b a a b λλ-=-+=，且()()b a a b λ-⊥+ ，所以22330λ-⨯+⨯=，所以49λ=，故选：A.4.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.5.已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型： 1.4e 0.1250ety k -=⋅（00k >，当0=t 时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过n 年后(N)n ∈，当该物种的种群数量不足2023年初的10%时，n 的最小值为（参考数据：ln10 2.3026≈）（）A.16B.17C.18D.19【答案】D 【解析】【分析】确定2023年初的种群数量为0=t 时的函数值，根据题意可列不等式 1.4e 0.125 1.4e 00e 10%e tk k -⋅<⋅⋅，结合对数运算即可求得答案.【详解】由题意可知2023年初的种群数量为0=t 时的函数值 1.4e0e k ⋅，故令 1.4e 0.125 1.4e 00e10%e ty k k -=⋅<⋅⋅，即0.1251e 10t -<，则0.125ln10t >，ln108ln108 2.302618.42080.125t ∴>=≈⨯=，由于*n ∈N ，故n 的最小值为19，故选：D6.已知数列{}n a 满足10a =，231a a ==，令()*12N n n n n b a a a n ++=++∈．若数列{}nb 是公比为2的等比数列，则2024a =（）A.2024247- B.2024237+ C.2024247+ D.2024267+【答案】B 【解析】【分析】数列{}n b 是公比为2的等比数列，可得2nn b =，则有32nn n a a +-=，累加法结合等比数列求和公式，计算2024a .【详解】11230112b a a a =++=++=，数列{}n b 是公比为2的等比数列，则2nn b =，即()13123121222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ++++++++-=++-++=-=-=，()()()()2024202420212021201820182015522a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ ()67423202420242021201820152212242322221111877⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=+++++=+=+=- .故选：B【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列{}n b 的通项得到32nn n a a +-=，用累加法即可计算2024a .7.正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A.2B.94 C.3D.52【答案】C 【解析】【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以223332BG BE ==⨯⨯=，所以AG ==r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，2348OM ON ⎛⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+ ()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，PO的最大值为44=，所以PM PN ⋅的最大值为23348⎛-= ⎝⎭.故选：C8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A.13B.12C.2D.63【答案】A 【解析】【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MN ME的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接G I 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E，设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，因为G 为12PF F ∆的重心，所以00(,)33x y G ，因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，则有01212122()()23x PF PF F N NF F O ON OF ON ON -=-=+--==，又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x xPF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，011223=3x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +-所以得03cxOM a=，所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3IN MN a c PEMEa c -==-，即0()3a c y IN a c-=-，因为1212121211()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=++=即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13c a =，所以答案为A.【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.正切函数是周期函数，最小正周期为πB.正切函数的图象是不连续的C.直线()ππZ 2x k k =+∈是正切曲线的渐近线D.把ππtan ,,)2(2y x x =∈-的图象向左、右平行移动πk 个单位，就得到tan y x =π(R,π)2x x k ∈≠+的图象【答案】ABC 【解析】【分析】根据正切函数的性质，以及它的的图象的特点，即可判断A ，B 。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第01节随机事件的概率 2

高考模拟复习试卷试题模拟卷第01节随机事件的概率A 基础巩固训练1.(·江西南昌检测)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”[答案]C[解析] 该试验有三种结果：“恰有1个白球”“恰有2个白球”“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．2.(文)(·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f(x)＝x2＋ax ＋b2无零点的概率为( )A ．12B ．23C ．34D ．14[答案] C3. 甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三个数字，每人则可喊0,5,10,15,20五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时喊该数字者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则 ()A ．甲胜的概率大B ．乙胜的概率大C ．甲、乙胜的概率一样大D ．不能确定谁获胜的概率大【答案】A4.(·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( ) A.18B.38C.58D.78【答案】D【解析】至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P ＝1－18＝78. 5.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件【答案】DB 能力提升训练1.(·济南调研)现釆用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ． 0.852B ． 0.8192C ．0.8D ． 0.75[答案] D[解析] 随机模拟产生的20组随机数，表示至少击中3次的组数为15，所以概率为P ＝1520＝0.75. 2.从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为( )A.15B.25C.35D.45【答案】B3. (·浙江台州中学统练)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a 、b ∈{0,1,2,3,4,5}，若|a －b|≤1，则称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为( )A ．29B ．718C ．49D ．19[答案] C4. (威海市高三3月模拟考试)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(1,1)n =-垂直的概率为（A ）16（B ）13（C ）14（D ）12【答案】A【解析】由题意可知(,)m a b =有：(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5).共12个.m n ⊥即0,m n ⋅=所以1(1)0,a b ⨯+⨯-=即a b =，有(3,3)，(5,5)共2个满足条件.故所求概率为16. 5. 从一个三棱柱ABC －A1B1C1的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是( ) A ．15 B ．25C ．35D ．45 [答案] D[解析] 从6个顶点中选4个，共有15种选法，其中共面的情况有三个侧面，∴概率P ＝15－315＝45.C 思维扩展训练1.(·安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l1：ax ＋by ＝2与l2：x ＋2y ＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则点P(36P1,36P2)与圆C ：x2＋y2＝1 098的位置关系是()A ．点P 在圆C 上B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 内D ．不能确定【答案】C2. 设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P(a ，b)，记“点P(a ，b)落在直线x ＋y ＝n 上”为事件Cn(2≤n ≤5，n ∈N)，若事件Cn 的概率最大，则n 的所有可能值为()A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4【答案】D【解析】P(a ，b)的个数为6个．落在直线x ＋y ＝2上的概率P(C2)＝16，若在直线x ＋y ＝3上的概率P(C3)＝26，落在直线x ＋y ＝4上的概率P(C4)＝26，落在直线x ＋y ＝5上的概率P(C5)＝16. 3. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．【答案】3513154. 已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为__________，________.【答案】0.970.03【解析】断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.5. 【雅安中学高三下期3月月考数学】(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x, y, z)(1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(Ⅰ) (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(1) 用产品编号列出所有可能的结果;(2) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节二项式定理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【“五个一名校联盟” 高三教学质量监测（一）5】在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有（）A.4项B.5项C.6项D.7项2．【宝鸡市高三数学质量检测（一）】若)21(3x x n -的展开式中第四项为常数项，则=n （） A . 4 B. 5 C. 6 D. 73．【改编题】6(1)(1)x x +-展开式中3x 项系数为（）A.14 B ．15 C ．16 D ．174．【金丽衢十二校高三第二次联考】二项式2111()x x -的展开式中，系数最大的项为（）A.第五项B.第六项C.第七项D.第六和第七项 5．【江西赣州市六校高三上学期期末联考】已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为5670，其中a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．48C ．28或48D ．1或286．【高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．【高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30（D ）608.【高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122 B ．112 C ．102 D ．92 9．【咸阳市高考模拟考试试题（三）】若n x x )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（）A ．8B ．9C ．10D ．1210．【潍坊市高三3月模拟考试】设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8280128(1)...kx a a x a x a x -=++++，则1238...a a a a ++++=( )(A) 1 (B)0 (C)l (D)256 11．【浙江高考第5题】在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（）A.45B.60C.120D. 21012.【原创题】210(1)x x -+展开式中3x 项的系数为（）.A.210 B ．120 C ．90 D ．210二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【大纲高考第13题】8x y y x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中22x y 的系数为. 14．【改编题】对任意实数x ，有423401234(1)(3)(3)(3)(3)x a a x a x a x a a -=+-+-+-+-，则3a 的值为.15．【高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）.16．【高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在332n x x ⎛- ⎪⎭的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．18．已知223)n x x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992.求在212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．19．设(1－2x)2 013＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a2 013x2 013 (x ∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 013的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 013的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 013|的值．20．【第二次大联考数学江苏版】对于给定的函数()f x ，定义()n f x 如下：()0()C (1)n k k n k n n k k f x f x x n -==-∑，其中2n n ∈*N ≥，．（1）当()1f x =时，求证：()1n f x =；（2）当()f x x =时，比较2014(2013)f 与2013(2014)f 的大小；（3）当2()f x x =时，求()n f x 的不为0的零点．高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

2021届浙江省高考数学模拟试卷(2)(4月份)(含解析)

2021年浙江省高考数学模拟试卷（2）（4月份）（含解析）班级姓名学号一、选择题（本大题共10小题，共40分）1.集合A={x|x2−x−6>0}，B={x|1<x<4}，则(∁R A)∪B=()A. (3,4)B. (1,2]C. (−2,4)D. [−2,4)2.i是虚数单位，复数z满足z−(1−i)=1+i，则z=()A. 1+iB. 1−iC. iD. −i3.已知点A(1,−1)，B(−2,3)在直线x+y−b=0的两侧，则实数b的取值范围为()A. b>1B. b<1C. 0<b<1D. b>1或b<04.有下列命题：①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．其中正确的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.已知函数f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象是()A. B.C. D.−α)=cosα，k∈Z”是“k=1”的()6.“∀α∈R，sin(kπ2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知数列{a n}，{b n}满足b n=log2a n(n∈N∗)，其中{b n}是等差数列，且a9⋅a2011=4，则b1+b2+⋯+b2019=()A. 2017B. 2019C. log22019D. 201928.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，直线l经过A点且斜率为√34，以右焦点F为圆心、OF为半径的圆与直线l从左往右依次交于P、Q两点(O为坐标原点)，若∠OFQ=2π3，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±12x B. y=±√22x C. y=±√3x D. y=±2x9.已知关于x的不等式x2+1≥ax3+x2+axe x在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为()A. (−∞,e]B. (−∞,e−12] C. (−∞,e−1] D. (−∞,e−2]10.已知函数f(x)=|x+1|+|x+2|+⋯+|x+2016|+|x−1|+|x−2|+⋯+|x−2016|(x∈R)，且集合M={a|f(a2−a−2)=f(a+1)}，则集合N={f(a)|a∈M}的元素个数有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）11.某几何体的三视图如图所示，则原几何体的体积为______ ，表面积为______ ．12.已知a>0，多项式(ax+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6.若a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=12，则a=______ ，a3=______ ．13.在钝角三角形ABC中，已知a=5√6，b=10，B=45°，那么A的度数为______ ，C的度数为______ ．14.若直线l是曲线y=x2和圆x2+(y+1)2=1的非坐标轴的公切线，则直线l的斜率为______ ．15.甲和乙等六名志愿者参加进博会A，B，C，D，E五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为______ .(结果用数字表示)16.已知随机变量X的分布列如表，且E(X)=2，则p=______ ，D(2X−3)=______ ．X0 2 aP 16p1317.已知向量m⃗⃗⃗ =(2sinx,1)，n⃗=(√3cosx−sinx,2)，设函数g(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，f(x)=e x+g(−π12)⋅sinx.则下列对函数f(x)和g(x)的描述正确的命题有______.(请写出全部正确命题的序号)①g(x)的最大值为3．②g(x)在(−π3,0)上是增函数③g(x)的图象关于点(5π12,0)对称④f(x)在(−π,+∞)上存在唯一极小值点x0，且−1<f(x0)<0三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)解析式；(2)若关于x的函数g(x)=f(x)−2(2k+√3sin2x)在区间[π12,π2]有唯一零点，求k的取值范围？19.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，在梯形ABEF中，AF//BE，AF⊥AB，AB=BE=2AF= 2，平面ABEF⊥平面ABCD．(1)证明：BD⊥平面AFC；(2)若多面体ABCDEF的体积为4√33，∠ADC为锐角，求∠ADC 的大小．20. 已知数列{a n }，{b n }都是公差大于零得等差数列，其中{a n }满足a 1=−3，且a 2+1，a 3−1，a 4−1成等比数列.数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{|b n |}的前n 项和为T n ，当n ≤3时，T n =−12n 2+3n ． (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n =b n +1S n，求证12√c 23√c ⋯…+n n+1c <√2．21. 在圆A ：(x +1)2+y 2=8内有一点B(1,0)，动点M 为圆A 上任意一点，线段BM的垂直平分线与半径AM 相交于点N ，设点N 的轨迹为C ． (1)求轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y =kx +m 与轨迹C 交于不同两点E ，F ，轨迹C 上存在点P ，使得以OE ，OF 为邻边的四边形OEPF 为平行四边形(O 为坐标原点).求证：△OEP 的面积为定值．22. 已知函数f(x)=x −mlnx −1(m ∈R)在x =1处取得极值A ，函数g(x)=f(x)+e x−1−x ，其中e =2.71828…是自然对数的底数． (1)求m 的值，并判断A 是f(x)的最大值还是最小值； (2)求g(x)的单调区间；(3)证明：对于任意正整数n ，不等式(1+12)(1+122)…(1+12n )<e 成立．答案和解析一．选择题1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】B 10.【答案】D二．填空题11.【答案】323+8π12π+24+8√312.【答案】2 −16013.【答案】120°15°14.【答案】±2√615.【答案】168016.【答案】12417.【答案】①②④三.解答题18.【答案】解：(1) f(x)=2sin(2x−π6).(2) k的取值范围为[−√34,14)∪{−12}.19.【答案】证明：(1)略解：(2) ∠ADC=π3．20.【答案】(1)解：a n=4n−7，b n=n−72；(2)证明：略21.【答案】(1)椭圆的标准方程为x22+y2=1；(2)证明：∆OEP的面积为定值，且定值为√64．22.【答案】解：(1)m=1. 极值A是最小值．(2)函数g(x)的单调递减区间为(0,1)；单调递增区间为(1,+∞).………(11分)(3)证明：略详细答案在后面1.【答案】D【解析】解：集合A ={x|x 2−x −6>0}={x|x <−2或x >3}，B ={x|1<x <4}，所以∁R A ={x|−2≤x ≤3}，故(∁R A)∪B ={x|−2≤x <4}．故选：D ．利用一元二次不等式的解法求出集合A ，由补集的定义求出∁R A ，再利用并集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集和补集的求解，涉及了一元二次不等式的解法，解题的关键是掌握交集与补集的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由题意得z −=1+i1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2i 2=i ，故z =−i ．故选：D ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由于点A(1,−1)，B(−2,3)在直线x +y −b =0的两侧，所以(1−1−b)(−2+3−b)<0，整理得b(b −1)<0，解得：0<b <1．故选：C ．直接利用点和直线的位置关系的应用判断b 的取值范围．本题考查的知识要点：线性规划中不等式与直线的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于①，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，正确； ②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，错误； ③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的，正确．故选：C ．直接利用圆锥和圆台的定义的应用判断①②③的结果．本题考查的知识要点：圆锥和圆台的定义和性质，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由f′(x)图象知当−2<x<0时，f′(x)>0，此时函数为增函数，当0<x<2时，f′(x)<0，此时函数为减函数，则当x=0时，为极大值，当−2<x<−1时，f′(x)递增速度增加，函数增长速度越来越快，排除B，C，当−1<x<0时，f′(x)递增速度减少，函数增长速度越来越慢，排除D，故选：A．根据函数导数与单调性之间的关系，判断函数的单调性，以及递增速度的变化关系即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，是中档题．6.【答案】B【解析】解：当k=1时，sin(kπ2−α)=sin(π2−α)=cosα，即必要性成立，当k=5时，满足sin(kπ2−α)=sin(5π2−α)=cosα，但k=1不成立，即充分性不成立，即“∀α∈R，sin(kπ2−α)=cosα，k∈Z”是“k=1”的必要不充分条件，故选：B．根据三角函数的诱导公式进行化简，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分不必要条件的判断，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，若a9⋅a2011=4，则log2(a9⋅a2011)=log2a9+log2a2011= log24=2，即b9+b2011=2，变形可得b1+b2019=2b1010=2，又由{b n}是等差数列，则b1+b2+⋯+b2019=2019×(b1+b2019)2=2019，故选：B．根据题意，将a9⋅a2011=4变形可得log2a9+log2a2011=2，即b9+b2011=2，据此由等差数列的性质分析可得答案．本题考查等比数列与等差数列的综合应用，注意求出{b n}的通项，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意，A(−a,0)，F(c,0)，l：y=√34(x+a)，圆F的半径为c，如图，∵∠OFQ=2π3，∴QFG=π3，则Q(32c,√32c)，∵点Q在直线y=√34(x+a)上，∴√32c=√34(32c+a)，则c=2a，∴c2=a2+b2=4a2，即b2=3a2，∴ba=√3，则该双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故选：C．由题意画出图形，写出直线l的方程，再由已知求得Q的坐标，代入直线方程，整理后结合隐含条件求得ba，则该双曲线的渐近线方程可求．本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：由题意x>0，问题转化为a≤(x2+1)e x−x2x+x =e xx−xx+1，令g(x)=e xx −xx2+1，故a≤[g(x)]min，而g′(x)=(x−1)[e xx +x+1(x+1)]，令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0<x<1，故g(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，故g(x)min=g(1)=e−12，故a≤e−12，故选：B．问题转化为a≤(x2+1)e x−x2x3+x =e xx−xx2+1，令g(x)=exx−xx+1，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道中档题．10.【答案】D【解析】解：f(x)=|x+1|+|x+2|+⋯+|x+2016|+|x−1|+|x−2|+⋯+|x−2016|的几何意义是：数轴上x到点±1，±2，±3，±4，…，±2016的距离之和，f(x)=|−x+1|+|−x+2|+⋯+|−x+2013|+|−x−1|+|−x−2|+⋯+|−x−2016|的几何意义是数轴上点±1，±2，±3，±4，…，±2016到x点的距离之和，则根据绝对值的几何意义可知f(−x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，当x∈[−1,1]时，f(x)=40470308；当x∈[−2,−1]时，f(x)=−2x+2(3+4+⋯…+2018)=−2x+4070302，若f(a2−a−2)=f(a+1)，则a2−a−2=a+1①，或a2−a−2=−(a+1)②，{−1≤a2−a−2≤1−1≤a+1≤1，③由①得a2−2a−3=(a+1)(a−3)=0，即(a−1)(a−3)=0，解得a=−1或a=3；由②得a2−1=0，解得a=1或a=−1；由③得：1−√132≤a≤2，综上a=1或1−√132≤a≤1−√52或a=3；又f(1)=40470308，当−1≤a≤1−√52时，f(a)=40470308，当1−√132≤a<1时，f(a)=−2a+4070302，有无数个∴f(a)的值有无数个．故选：D．根据绝对值函数的几何意义，得到函数f(x)是偶函数，建立方程组即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，根据绝对值的几何意义判断出f(x)是偶函数，是解决本题的关键．难度较大．11.【答案】323+8π12π+24+8√3【解析】解：根据几何体的三视图可知该几何体为有一个半圆柱和一个三棱锥组成的组合体；直观图如图所示：所以V=12×π×22×4+13×12×4×4×4=8π+323，S 表=π⋅22+12×2⋅π⋅2×4+12×4×4+12×4×4+12×4√3×4√3×√32=12π+24+8√3．故答案为：323+8π，12π+24+8√3．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】2 −160【解析】解：(ax+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6，两边求导可得6a(ax+1)5=a1+2a2(x+1)+⋯+6a6(x+1)5，令x=0，可得6a=a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6，因为a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=12，所以6a=12，解得a=2，则(ax+1)6=(2x+1)6=[2(x+1)−1]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6，所以a3=C63×23×(−1)3=−160．故答案为：2；−160．对已知等式两边求导，令x=0，即可求解a的值，由(ax+1)6=(2x+1)6=[2(x+1)−1]6，利用二项展开式的通项公式即可求得a3的值．本题主要考查二项式定理，导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】120°15°【解析】解：由正弦定理知，asinA =bsinB，∴5√6sinA =10sin45∘，解得sinA=√32，∵钝角三角形ABC，∴A=120°，C =180°−A −B =15°．故答案为：120°；15°．根据正弦定理asinA =bsinB 和三角形内角和A +B +C =180°，代入已知数据进行运算即可得解．本题考查正弦定理的应用，属于基础题．14.【答案】±2√6【解析】解：设切线方程为y =kx +b ，切线与曲线y =x 2切于(x 0,y 0)，则y 0=x 02，y 0=kx 0+b ，k =2x 0，联立以上三式可得，k 24+b =0，①圆x 2+(y +1)2=1的圆心坐标为(0,−1)，半径为1，则√1+k 2=1，②联立①②解得：{k =0b =0(舍去)，或{k =2√6b =−6，或{k =−2√6b =−6． ∴直线l 的斜率为±2√6．故答案为：±2√6．设切线方程为y =kx +b ，切线与曲线y =x 2切于(x 0,y 0)，由题意可得k 与b 的关系，再由圆的方程求得圆心坐标与半径，由圆心到直线的距离等于半径可得k 与b 的另一方程，联立即可求得直线l 的斜率．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】1680【解析】解：根据题意，先不考虑限制条件，将6人分为5组，安排到五个不同的岗位服务，有C 62A 55=1800种安排方法，若甲乙安排在同一岗位服务，有A 55==120种安排方法，则有1800−120=1680种安排方法，故答案为：1680．根据题意，用间接法分析，先计算没有限制条件时的安排方法数目，再计算其中“甲乙安排在同一岗位服务”的安排方法数目，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，利用间接法分析，可以避免分类讨论，属于基础题．16.【答案】12 4【解析】解：p =1−16−13=12，∴E(X)=0×16+2×12+a ×13=2，解得a =3，∴D(X)=16(0−2)2+12(2−2)2+13(3−2)2=1， ∴D(2X −3)=22D(X)=4，故答案为：12；4．先根据概率之和为1，求出p 的值，再根据数学期望公式，求出a 的值，再根据方差公式求出D(X)，继而求出D(2X −3)．本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望，是基础题．17.【答案】①②④【解析】解：g(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2√3sinxcosx −2sin 2x +2=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴g(−π12)=2sin[2×(−π12)+π6]+1=1，∴f(x)=e x +g(−π12)⋅sinx =e x +sinx ． ①当sin(2x +π6)=1时，g(x)的最大值为3，正确．②∵y =e x ，y =sinx 在(−π3,0)上是增函数，∴g(x)在(−π3,0)上是增函数．正确； ③∵g(5π12)=2sin(2×5π12+π6)+1=1，∴g(x)的图象关于点(5π12,0)不对称，不正确；④f′(x)=e x +cosx ，x ∈(−π,0]时，f′(x)单调递增，f′(−π)=1e π+cos(−π)=1e π−1<0，f′(−π2)=1e π2+cos(−π2)=1e π2>0，因此存在唯一x 0∈(−π,0)，使得f′(x 0)=0．又f(x)在(−π,x 0)上单调递减，在(x 0,0)上单调递增，因此点x 0是f(x)在(−π,0)上极小值点．x ≥0时，f′(x)=e x +cosx ≥0，因此函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，无极值点． ∴f(−π)=1e π+sin(−π)=1e π，f(0)=1， ∴f(x 0)<0．f′(x 0)=e x 0+cosx 0=0，可得f(x 0)=e x 0+sinx 0=sinx 0−cosx 0=√2sin(x 0−π4)，由x 0∈(−π,−π2)，可得(x 0−π4)∈(−5π4,−3π4)，∴sin(x 0−π4)>sin(−3π4)=−√22， ∴f(x 0)=√2sin(x 0−π4)≥−√22×√2=−1，因此−1<f(x 0)<0，于是④正确．故答案为：①②④．利用数量积运算性质及其和差公式可得：g(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=2sin(2x+π6)+1，可得g(−π12)，可得f(x)=e x+sinx．①利用三角函数的单调性最值可得g(x)的最大值；②利用y=e x，y=sinx在(−π3,0)上是增函数，即可得出g(x)在(−π3,0)上的单调性；③计算g(5π12)，即可判断出其对称中心；④f′(x)=e x+cosx，根据f′(x)单调递增，结合函数的零点存在判定定理即可判断出存在极小值x0∈(−π,0)，x≥0时，判断出函数f(x)在[0,+∞)上无极值点．利用单调性即可判断出结论正确．本题考查了函数的单调性、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的零点存在判定定理、数量积运算性质及其和差公式，考查了推理化归能力与计算能力，属于难题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象，可得A=2，3 4×2πω=π3+5π12，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π3+φ=π2，∴φ=−π6，故f(x)=2sin(2x−π6).(2)若关于x的函数g(x)=f(x)−2(2k+√3sin2x)在区间[π12,π2]有唯一零点，即2sin(2x−π6)=4k+2√3sin2x在区间[π12,π2]有唯一解，即√3sin2x+cos2x=−4k在区间[π12,π2]有唯一解，即sin(2x+π6)=−2k在区间[π12,π2]有唯一解．当x∈[π12,π2]，2x+π6∈[π3,7π6]，∴sinπ3=sin2π3=√32，sin7π6=−12，∴−2k∈[−12,√32)，或−2k=1，∴k的取值范围为[−√34,14)∪{−12}.【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意可得sin(2x+π6)=−2k在区间[π12,π2]有唯一解，再利用正弦函数的图象和性质，求得k的范围．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，AF ⊥AB ，AF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ，∴AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，又AF ∩AC =A ，∴BD ⊥平面AFC ；解：(2)该几何体是由三棱锥F −ADC 与四棱锥C −ABEF 组合而成，由AF//BE ，AF ⊥AB ，得BE ⊥AB ，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，∴C 到AB 的距离等于C 到平面ABEF 的距离．设A 到CD 的距离为d ，则C 到AB 的距离也是d ，又AB =BE =2AF =2，多面体ABCDEF 的体积为4√33， ∴V F−ADC +V C−ABEF =13×12×d ×2×1+13×12×(1+2)×2×d =4√33，解得d =√3，则sin∠ADC =dAD =√32，又∠ADC 为锐角，可得∠ADC =π3．【解析】(1)由已知结合面面垂直的性质可得AF ⊥平面ABCD ，则AF ⊥BD ，再由四边形ABCD 为菱形，得BD ⊥AC ，由直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面AFC ； (2)由多面体的体积求出A 到线段CD 的距离，求解直角三角形可得∠ADC 的大小．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.【答案】(1)解：设{a n }的公差为d 1，因为a 1=−3且a 2+1，a 3−1，a 4−1成等比数列，所以(a 2+1)(a 4−1)=(a 3−1)2，即(−3+d 1+1)(−3+3d 1−1)=(−3+2d 1−1)2，解得d 1=2或d 1=4，当d 1=2时，a 2+1=0(不符合题意)舍去，故d 1=4，所以a n =4n −7，因为|b 1|=T 1=52，|b 1|+|b 2|=T 2=4，|b 1|+|b 2|+|b 3|=T 3=92，所以|b 3|=12，设{b n }的公差为d 2，因为d 2>0，所以b 1=52，否则b 2≤|b 2|=32<b 1与d 2>0矛盾，同理b 2=32，b 3=−12，所以d 2=1，所以b n =n −72； (2)证明：由(1)可得S n =−3n +n(n−1)2×4=2n 2−5n ，所以c n =b n +1S n=n−522n 2−5n =n−522n(n−52)=12n ，所以n n+1c =12n −12(n+1)√12n=√2n(n+1)，要证12√c 23√c ⋯…+n n+1√c <√2，即证∑2k(k+1)n <√2，即∑k(k+1)n <2，而k(k+1)=k(k+1)+k(k+1)=2√k +1⋅√k(√k +1+√k +1)<2√k +1⋅√k(√k +1+√k)=2(√k +1−√k)√k +1⋅√k=2(kk+1)，所以∑√k(k+1)n <2(√1√2)+2(√2√3)+⋯+2(√k −√k+1)=2(1−√k+1)<2，即12√c 23√c +⋯…+n n+1√c <√2．【解析】(1)设出{a n }的公差，利用a 2+1，a 3−1，a 4−1成等比数列建立等式可求出公差，注意验证公差是否满足条件，结合数列{|b n |}的前n 项和，分别求出前三项，从而可求出数列的通项公式； (2)先求{c n }的通项公式，要证12√c 23√c +⋯…+n n+1√c <√2，即证∑k(k+1)n <2，而√k(k+1)=√k(k+1)+√k(k+1)<2(√k √k+1)，代入即可证明结论．本题考查了等差等比数列的综合应用，主要考查了等差数列等比数列通项公式以及前n 项求和公式的应用、裂项相消法求和的应用，考查了学生逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于较难题．21.【答案】(1)解：根据题意可得，|AN|+|BN|=|AN|+|MN|=2√2>2=|AB|，所以点N 的轨迹C 是以A(−1,0)，B(1,0)为焦点的椭圆，所以2a =2√2，2c =2，故a =√2，c =1，所以b 2=a 2−c 2=1，故椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；(2)证明：由{y =kx +m x 22+y 2=1，消去y 可得，(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4km 1+2k2,x 1x 2=2m 2−21+2k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =−4k 2m 1+2k +2m =2m 1+2k ，因为四边形OEPF 为平行四边形，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(−4km 1+2k 2,2m 1+2k 2)，故点P 的坐标为(−4km1+2k 2,2m1+2k 2)，因为点P 在椭圆C 上，所以16k 2m 22(1+2k 2)2+4m 2(1+2k 2)2=1，整理可得4m 2=2k 2+1，因为直线l ：y =kx +m 与椭圆交于不同的两点E ，F ，所以△=8(2k 2−m 2+1)=24m 2>0，所以m ≠0，因为|EF|=√(1+k 2)[(x 1+x 22)−4x 1x 2]=√(1+k 2)[(−4km 1+2k 2)2−4×2m1+2k2] =2√2(1+k 2)(1+2k 2−m 2)1+2k 2 =2√6(1+k 2)m 22=√6(1+k 2)2|m|，由点O 到直线l ：y =kx +m 的距离为d =√1+k 2，所以S △OEP =12S OEPF =S △OEF =12×|EF|×d =√6(1+k 2)4|m|√1+k2=√64，故△OEP 的面积为定值，且定值为√64．【解析】(1)利用中垂线的性质得到|AN|+|BN|=|AN|+|MN|=2√2>2=|AB|，由椭圆的定义即可得到点N 的轨迹为椭圆，求解椭圆的标准方程即可；(2)联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，利用四边形OEPF 为平行四边形，求出点P 的坐标，然后将点P 代入椭圆的方程，得到k 与m 之间的关系式，利用弦长公式和点到直线的距离公式分别求出|EF|和点O 到直线l 的距离d ，由S △OEP =12S OEPF =S △OEF 代入化简即可证明．本题考查了动点轨迹方程的求解、椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，常用的方法是联立方程组，运用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．22.【答案】解：(1)因为f(x)=x −mlnx −1(x ∈(0,+∞))，所以f′(x)=1−m x(x ∈(0,+∞)). ……………………………………………(1分)因为x =1是f(x)的极值点，所以f′(1)=0，即1−m 1=0，所以m =1. …………………………………………………………(2分)此时f(x)=x −lnx −1，f′(x)=1−1x =x−1x，(x ∈(0,+∞))．易得，当0<x <1时，f′(x)<0；当x >1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递减；在区间(1,+∞)上单调递增，………(4分) 所以函数f(x)在x =1处的极值A 是最小值．…………………………………(5分) (2)由(1)知，m =1，所以g(x)=e x−1−lnx −1，且x ∈(0,+∞)．所以g′(x)=e x−1−1x . ……………………………………………………………(6分) 设ℎ(x)=e x−1−1x (x ∈(0,+∞))，则ℎ′(x)=e x−1+1x 2. ……………………(7分) 显然，当x >0时，ℎ′(x)>0恒成立，所以函数ℎ(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1)=0.………………………(9分) 所以，当0<x <1时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0；当x >1时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0．所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1)；单调递增区间为(1,+∞). ………(11分) (3)证明：由(1)可知，当x >1时，f(x)>f(1)=0，即x −1>lnx.………………………………(12分) 不妨令x =1+12n (n ∈N ∗)，则有ln(1+12n )<12n (n ∈N ∗).……………………………………………(13分) 所以ln(1+12)+ln(1+12)+⋯+ln(1+12)<12+12+⋯+12=1−12<1，即ln[(1+12)(1+122)…(1+12n )]<1=lne.…………………………………(15分) 因为函数y =lnx 在区间(1,+∞)上单调递增，所以(1+12)(1+122)…(1+12n )<e(得证). …………………………………(16分) 【解析】(1)因为f(x)=x −mlnx −1(x ∈(0,+∞))，可得f′(x)=1−m x(x ∈(0,+∞)).根据x=1是f(x)的极值点，可得f′(1)=0，解得m，进而判断出1是极小值点，即可得出结论．(2)由(1)知，m=1，所以g(x)=e x−1−lnx−1，且x∈(0,+∞).可得g′(x)=e x−1−1x.设ℎ(x)=e x−1−1x(x∈(0,+∞))，利用其单调性，ℎ(1)=0，即可得出函数g(x)的单调性．(3)由(1)可知，当x>1时，f(x)>f(1)=0，即x−1>lnx.不妨令x=1+12n(n∈N∗)，可得：ln(1+12n )<12n(n∈N∗).利用累加求和方法、对数运算性质即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、证明不等式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

浙江省稽阳联谊学校2021届高三数学下学期4月联考试题.doc

浙江省稽阳联谊学校2021届高三数学下学期4月联考试题一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B =A ．{2,1,1,2}--B ．{2}C ．{1,2}D ．{0}2．已知i 为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是A ．2155i + B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i --3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323π B ．16643π- C ．6416π- D ．163π4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =-的最大值是A ．0B ．2C ．4D ．55．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()log ()a f x x b =-+的图象是A ．B ．6．设0,0a b >>，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．设 10a <<，随机变量X的分布列为正视图则当a 在1(0,)3增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为椭圆的左,右焦点，过2F 的直线交椭圆与,A B 两点，190AF B ∠=，2223AF F B =，则椭圆的离心率是ABD9．如图：ABC ∆中，AB BC ⊥，60ACB ︒∠=，D 为AC 中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为11,αβ，直线AD 与直线BC所成的最大角，最小角分别记为22,αβ，则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤D ．1212,ααββ≥>10．已知数列{}n a满足：11n n a a +=+ ，1a a =，则一定存在a ，使数列中： A ．存在*n N ∈，有120n n a a ++<B ．存在*n N ∈，有12(1)(1)0n n a a ++--<C ．存在*n N ∈，有1255()()044n n a a ++--<D ．存在*n N ∈，有1233()()022n n a a ++--<二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分11．双曲线2213y x -=的焦距是 _________，渐近线方程是____________． 12．已知角α的终边过点(1,2)-，则 tan α=_____________，sin 2α=____________．13．5展开式中常数项是___________，最大的系数．．是___________． 14．已知ABC ∆中，3,5AB BC ==，D 为线段AC 上一点,AB BD ⊥ ，34AD CD =，则AC = ____________，ABC ∆的面积是___________ ．15．已知函数2()2(0)f x x x a a =++< ，若函数(())y f f x = 有三个零点，则 a =__________．A DCBADCBA16．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加,,A B C 三个志愿点的活动，每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有__________________种（用数字作答）． 17．如图：已知矩形ABCD 中，1,2AD AB ==，E 为边AB 的中点，P为边DC 上的动点（不包括端点），DP DC λ=（01λ<<），设线段AP 与DE 的交点为G ，则 AG AP ⋅的最小值是__________________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

2020-2021学年浙江省9 1高中联盟高一上学期期中考试数学试题 PDF版

2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试高一年级数学学科试题1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4．参加联批学校的学生可登陆查询个人分析报告。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}12M x x =<<，{}=3N x x <，则集合M 和集合N 的关系是（ ▲ ）A ．N M ∈B ．M N∈C ．M N⊆D ．N M⊆2．函数()()02f x x =+的定义域为（ ▲ ）A ．()(),22,-∞+∞ B ．()(),22,2-∞-- C ．(),2-∞-D ．()2-∞，3．已知幂函数()()22322m m f x m m x+-=--⋅在()0,+∞上单调递减，则=m （ ▲ ）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．1或3-4．命题“x R ∀∈,210x x ++≤”的否定为（ ▲ ） A ． x R ∃∈，210x x ++> B ．x R ∀∈，210x x ++≥C ． x R ∃∉，210x x ++> D ．x R ∀∉，210x x ++≤5．设R x ∈，则“02x <<”是“38x <”的（ ▲ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ▲ ）A B C D7．对于给定的正数k ，定义函数(),()(),()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨>⎩，若对于函数()f x =的定义域内的任意实数x ，恒有()()k f x f x =，则（ ▲ ） A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为4D ．k 的最小值为48．已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（ ▲ ）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦ D ．25,36⎛⎤⎥⎝⎦二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年浙江省高考数学模拟试卷(4)(4月份)解析版

2021年浙江省高考数学模拟试卷（4）（4月份）1.已知，集合，则集合且A. B.C. D.2.离心率为2的双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.3.复数z满足是虚数单位，则A. lB.C. 2D. 44.中，“”是“”的A. 必要不充分条件B. 充分必要条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则6.三个函数，，在同一平面直角坐标系中部分图象如图所示，则A. a为，b为，c为B. a为，b为，c为C. a为，b为，c为D. a为，b为，c为7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何体，由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合牟合在一起的方形伞方盖，其直观图如右图.已知球的半径与扣合成牟合方盖的圆柱的底面半径相同，且牟合方盖与对应球的体积之比为4：若牟合方盖的体积为，则此牟合方盖正视图的面积为A. 3B.C. 12D.8.已知是圆上任意一点，若是定值，则实数r的取值范围是A. B. C. D.9.如图，在矩形ABCD中，，现将沿BD折至，使得二面角为锐角，设直线与直线CD所成角的大小为，直线与平面ABCD所成角的大小为，二面角的大小为，则，，的大小关系是A. B. C. D. 不能确定10.已知函数，若对任意的实数x都成立，则正数a的取值范围是A. B. C. D.11.已知，则______ ；______ .12.若点满足约束条件，则所对应的平面区域的面积为______ ；目标函数取得最小值时的最优解为______ .13.某研究机构采用实时荧光检测2019新型冠状病毒现有一组病例样本检测中发现有份呈阴性和2份呈阳性，若从其中任取2份恰好有一份呈阳性的概率是，则______ ；该组病例样本检测呈阳性的病例数的方差是______ .14.已知平面向量、满足：，则与的夹角为______ .15.在二项式的展开式中，各项系数和为______ .16.已知函数的定义域为R，函数的定义域为R，函数的定义域为函数的定义域为______ .……，可推测在的定义域为______ .17.已知椭圆右顶点为，上顶点为B，该椭圆上一点P与A的连线的斜率，中点为E，记OE的斜率为，且满足若C、D分别是x轴、y轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2，则三角形COD面积的最大值是______ .18.已知函数若的图象向左平移个单位所得函数是偶函数，若，求的值；若，，求的值.19.已知四棱锥中，，，，，平面求证：平面平面ABCD；若直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为，求AB的值.20.如图为函数的图象.求a；求在区间的最大值.21.过x轴上一点M作一直线与抛物线相切于A点，过点M作斜率为的直线与此抛物线交于B、C两点.若点M的坐标为时，的斜率为求p的值；若的面积为时，求点M的坐标.22.已知数列，，求证：；求证：…答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. A5. C6. A7. B8. A9. C10. C11.12.13.14.15. 116.17.18. 解：，的图象向左平移个单位可得的图象，由于所得函数是偶函数，，，又，，即，，，，故19. 证明：因为平面PAC，，所以平面PAC，所以，，因为，，所以，所以，因为，AC、平面所以平面ABCD，又因为平面PCD，所以平面平面ABCD；解：由知CD、CA、CP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则各点坐标如下：，，，，，，设平面PAD的法向量为，，令，，直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为，解之得，所以AB的值为20. 解：，由图可知，，，解得；结合图像在递增，在递减，在递增，若，则在递增，的最大值是，时，在递增，在递减，故的最大值是，时，由，解得：或，时，在递增，在递减，在递减，，故的最大值是，时，在递增，在递减，在递减，，故的最大值是，综上：或时，，时，21. 解：由题意，当直线方程为时，与抛物线相切，联立方程组，消去y，得，令判别式，又，设，直线方程为，联立方程组，消去x，得，令，得，此时点设，，直线方程为，联立方程组，消去x，得，由韦达定理得，，所以，点到直线的距离为，，解得，此时，，故22. 证明：①数学归纳法证，，，成立；假设时成立，则，，，综上，②证，设，则，在上单调递减，在上单调递增，，，当且仅当时取“=”，，，，，综上①②可知证明：法一：用代替中的x，得，即，，，令，则，令，由，得，，，，即，，，，，时，，，，当且仅当时取“=”，法二：数学归纳法证明，①时，满足，②假设时成立，即，则由，得，要证，令，则要证，，构造，，，令，，则，在上单调递减，，在上单调递增，，即成立，即，，综上，当且仅当时取“=”，【解析】1. 【解析】可知或1或2或3，且故选：利用元素与集合之间的关系解答本题．本题考查的是元素与集合之间的关系，很简单，属于基础题．2. 解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在y轴上，其渐近线方程为，又由其离心率，则，则，即，则其渐近线方程故选：根据题意，由双曲线的离心率可得，由双曲线的几何性质可得，由此求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题．3. 解：复数z满足是虚数单位，，化为故选：利用复数的运算法则即可化简，再利用复数模的计算公式即可得出．熟练掌握复数的运算法则、复数模的计算公式事件他的关键．4. 解：在中，“”“”“”．必要性成立；反之，“不能“”，如时，，即，即充分性不成立，可判断是的必要而不充分条件．故选利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是，不要丢掉这个大前提．本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．5. 解：因为，，，，不正确，C正确；同理排除B、故选：由已知结合等比数列的通项公式及求和公式，结合排除法分别检验各选项．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，考查了逻辑推理的能力，属于中档题．6. 解：3个函数，，的最大值分别为，1，1，由于图象a的最大值最大，故a为；，最小正周期分别为，，图象b的最小正周期比c小，故b为，c为，故选：由题意利用三角函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．7. 解：由图可知，牟合方盖的正视图是圆柱的底面圆，因为，故，所以，所以故选：由图形可知，牟合方盖的正视图是圆柱的底面圆，利用牟合方盖与对应球的体积之比为4：，列出等式，求出球的体积，即可求出球的半径，从而得到答案．本题考查了求正视图的面积问题，考查了正视图的定义以及球的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题．8. 解：由题意可知此圆夹在两直线和之间时，是定值，所以，故选：利用点到直线的距离公式，列出不等式组，求解r的范围即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是中档题．9. 解：考虑利用极限位置的思想，若翻折至平面ABCD，此时，，，故故选：直接求解比较困难，可以考虑用极限位置的思想进行分析，当翻折至平面ABCD 内，根据此时的，，的大小都块判断出这三个角的大小关系．本题考查了异面直线所成的角、线面角、二面角的大小的比较，考查了翻折问题，属于难题，解题时如果应用常规方法，解决起来比较困难，可以考虑极限位置的思想．10. 解：因为，所以或，即或的解集为R，解，得或，所以当时，有，解得或，所以或，因为，所以，所以，所以a的取值范围为故选：根据条件可得或，即或的解集为R，然后求出a的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．11. 解：，所以，故答案为：，利用分段函数的解析式，根据x的值判断选用哪一段解析式求解，即可得到答案．本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．12. 解：约束条件对应可行域为图中阴影部分，面积为，由，得，由图可知，当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，有最小值，则最优解为故答案为：4，由约束条件作出可行域，利用三角形面积公式求面积，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合即可得到最优解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．13. 解：由题意，解得，设病例数为变量，则分布列为012P，，故答案为：2，根据题中给出的概率，求出n的值，设病例数为变量，求出其分别列，然后利用数学期望以及方差的计算公式求解即可．本题考查了概率的应用以及分布列的应用，考查了数学期望以及方差的计算公式的应用，属于基础题．14. 解：根据题意，平面向量、满足：，两边平方得，变形可得：，则与的夹角为，故答案为：根据题意，将变形可得，由数量积的性质分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．15. 解：在中，令，得，各项系数和为1，故答案为：利用赋值法求得结果即可．本题主要考查赋值法在求二项展开式系数和中的应用，属于基础题．16. 解：因为函数的定义域为R，函数的定义域为函数的定义域为……，函数的定义域为故答案为：把函数、函数都化为的形式，即可得出函数的定义域为本题考查了求函数的定义域应用问题，也考查了运算求解与推理能力，是基础题．17. 解：设，，PA中点，则有，，两式相减得，即，即，由为椭圆右顶点，所以，又，，得到，设，，，，则由四边形ABCD的面积为2，又B为上顶点，有，即，由基本不等式得，解不等式得，所以三角形COD的面积，当且仅当，即，时取等号．故答案为：设，，PA中点，利用点差法，求解，推出，设，，，，由四边形ABCD的面积为2，推出，利用基本不等式求解三角形COD的面积的最大值即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，三角形的面积的最值的求法，基本不等式的应用，是中档题．18. 由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得的值．由题意求得的值，根据的范围求得的值，再利用两角和差的正弦公式求得的值．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，两角和差的三角公式，属于中档题．19. 根据平面与平面垂直的判定定理证明；用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．20. 求出函数的导数，根据，求出a的值即可；通过讨论t的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是中档题．21. 联立直线方程与抛物线组成方程组，通过判别式为0，求解p即可．设，直线方程为，联立直线与抛物线方程得到方程组，设，，直线方程为，联立方程组，消去x，利用韦达定理以及弦长公式，结合点到直线的距离公式，求解三角形的面积得到t，即可求解M的坐标．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，三角形的面积的求法以及弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22. 直接利用数学归纳法和函数的导数的关系的应用求出结果；利用函数的导数和函数的单调性的关系及构造函数的关系式及函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数学归纳法的应用，构造新数列，函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．。

2021年高三高考冲刺卷(一)数学试题 Word版含答案

绝密★启用前2021年高三高考冲刺卷（一）数学试题 Word 版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1.已知集合，，若，则实数的值为．2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于第象限．3.运行如图所示的伪代码，其结果为 .4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么．5．函数的单调减区间是 .6．从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .7．以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．8.已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足，且，那么．S ←1For I From 1 To 79.若、均为锐角，且，，则．10. 若实数满足，且，则的最小值为 .11．已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为．12．过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为. 13．是等差数列{a n}的前n项和，若，则________．14．已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知中，角、、所对的边分别为、、，满足．⑴求角的值；⑵若，，成等差数列，试判断的形状．16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且A1E，求证：平面A1C1FE.17．（本小题满分14分）已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝(Ⅰ)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），，为坐标原点.（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；C1E OB1A1FD CB（2）若，求椭圆离心率的取值范围19．（本小题满分16分）已知数列满足，其中是数列的前项和．（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．20．（本小题满分16分）已知函数（），其中是自然对数的底数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多答，则按作答的前两小题给分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长.B．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．C．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆上的点到直线（）距离的最大值. D．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数满足，求证：. A BDEOC·【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4， AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．23．（本小题满分10分)已知，若存在互不相等的正整数…，使得…同时小于，则记为满足条件的的最大值．（１）求的值；（２）对于给定的正整数，（ⅰ）当时，求的解析式；（ⅱ）当时，求的解析式．1A 1B 1C ABCxx年高考数学冲刺卷01（江苏卷）答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题．．．．．．．卡相应位置上．．1.【命题意图】本题考查集合的运算，解题关键是掌握集合并集的概念．【答案】2【解析】由题意，得,则,则.2.【命题意图】本题考查复数的运算与复数的几何意义，考查运算求解能力．【答案】一【解析】因为，所以复数在复平面上对应的点位于第一象限.3.【命题意图】本题考查算法中的循环结构、伪代码等知识，考查学生阅读图表能力与运算求解能力．【答案】17【解析】第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17．4．【命题意图】本题考查抽样方法中的分层抽样，考查学生的数据处理能力与运算求解能力．【答案】200【解析】男学生占全校总人数为，那么5．【命题意图】本题考查复合函数的单调性、函数的定义域与一元二次不等式的解法，考查学生的运算求解能力．【答案】6．【命题意图】本题考查古典概型的基本计算方法，考查用列举法求事件的个数，考查运算求解能力．【答案】【解析】从5个数中，随机抽取2个不同的数共有10种情况，其中满足2个数的和为偶数共有1+3,1+5,2+4,3+5这4种，则这2个数的和为偶数的概率是．7.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、抛物线与双曲线的几何性质，考查运算求解能力．【答案】．【解析】设双曲线的标准方程为，y 2＝4x 的焦点为，则双曲线的焦点为；y ＝±x 为双曲线的渐近线，则，又因，所以，故双曲线标准方程为．8.【命题意图】本题考查向量的数量积运算，考查向量的线性运算，考查运算求解能力．【答案】3【解析】设正边长为，11()22DC AC AD AC AB AC AC AB =-=-+=-，所以，即，即，则．9.【命题意图】本题考查三角恒等变换中的两角和与差的余弦公式、同角三角函数关系，考查对公式的灵活运用能力以及配角法等方法．【答案】10.【命题意图】本题考查用基本不等式求最值，考查对数的运算性质及配方法．考查学生的推理论证能力．【答案】4【解析】由已知，，又，所以（当且仅当时取等号），所以最小值为4.11．【命题意图】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力和运算求解能力．【答案】【解析】因为平面平面,所以D 到直线BC 距离为三棱锥的高，134123412346,,25555ABC S h h ∆⨯⨯=⨯⨯=====．12．【命题意图】本题考查直线与圆相交问题、点到直线的距离、直线方程等基础知识，考查运算求解能力．【答案】【解析】如果直线与轴平行，则,不是中点，则直线与轴不平行；设，圆心到直线的距离，令中点为，则，在中,得，解得，则直线的方程为．13．【命题意图】本题考查等差数列的前项和公式，考查推理能力与运算求解能力．【答案】35．14．【命题意图】本题考查含绝对值的二次函数的图象与性质，以及函数与方程、零点等知识，考查学生运用分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想等综合解决问题的能力．【答案】(0,1)∪(9,+∞)【解析】由，得，作出函数，的图象，当，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则，此时，当时，，，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时，即，则由，即，解得或，当时，，，此时不成立，∴此时，要使两个函数有四个零点，则此时，若，此时与有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，即，整理得，则由，即，解得（舍去）或，综上a 的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，等差数列的性质，考查运算求解能力．16．（本小题满分14分）【命题意图】本题考查平面的基本性质，线面垂直的判断与性质．【解析】（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．………………………2分由直棱柱知，所以四边形为平行四边形，所以AC∥．……5分所以EF∥，故，，F，E四点共面．……………7分17．（本小题满分14分）【命题意图】本题考查函数的应用题，用基本不等式求函数的最值等数学知识，考查学生阅读理解能力、数学建模能力与运算求解能力．渗透了数形结合思想与数学应用意识．【解析】(1)当0<x≤40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；........ 2分当x>40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7360............4分所以，W＝....................................6分(2)①当0<x≤40，W＝－6(x－32)2＋6104，所以W max＝W(32)＝6104；.............10分②当x>40时，W＝－－16x＋7360，由于＋16x≥2＝1600，当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5760...........12分综合①②知，当x＝32时，W取最大值为6104..................14分18．（本小题满分16分）【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆相交问题、直线的位置关系等基础知识，，考查运算求解能力和数形结合思想的应用．联立方程得：，消去得：解得：或…………14分解得：综上，椭圆离心率的取值范围为．…………16分19．（本小题满分16分）【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，等差数列的判断与通项公式，函数与方程思想，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识解决问题的能力．（3）由（2）得，对于给定的，若存在，使得，只需，即，即，则，…………12分取，则，∴对数列中的任意一项，都存在和使得．…………16分20．（本小题满分16分）【命题意图】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性以及零点等知识，考查综合运用数学方法分析与解决问题的能力．①当，即时，在上单调增，………8分②当，即时，在上单调减，在上单调增，解得：综上，的取值范围是． ………10分（3）设，令，令0 0增极大值减极小值增， ………13分，∴存在，时，，时，．在上单调减，在上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=->由零点的存在性定理可知：的根，即． ………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多答，则按作答的前两小题给分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力与推理论证能力．B．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查矩阵的特征值与特征向量的概念、矩阵乘法等基础知识，考查运算求解能力．【解析】矩阵的特征多项式为，……………2分由，解得，. …………………………………………4分当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量；………………………………7分当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量．…………………………10分C．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查极坐标系与极坐标的概念、圆与直线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式，考查转化与化归能力与运算求解能力．D．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查基本不等式的应用，考查转化与化归能力和推理论证能力．【解析】因为正实数满足，所以，即，…………………………5分所以因此，……………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分)【命题意图】本题考查空间向量、二面角和直线垂直的应用等基础知识，考查应用向量法解决空间角和距离的能力与运算求解能力．【解析】（1）如图,以A为原点建立空间直角坐标系A－,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),设平面A1BC1的法向量为,则,即,令,则,,所以.同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以.由题知二面角A1－BC1－B1为锐角,所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.………5分23．（本小题满分10分)【命题意图】本题考查分类讨论思想、归纳推理能力，考查对有一定难度和新颖性问题的进行分析与解决的能力．【解析】（1）由题意，取，，满足题意，若，则必有，不满足题意，综上所述：的最大值为，即．………………4分（2）由题意，当时，设…，…，显然，时，满足，∴从集合中选出的至多个，时，，∴从集合中选出的必不相邻，又∵从集合中选出的至多个，∴从集合中选出的至多个，放置于从集合中选出的之间，∴，………………6分（ⅱ）当时，从中选出的个：…，考虑数的两侧的空位，填入集合的两个数，不妨设，则，与题意不符，∴，取一串数为：…（写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给1分．）40201 9D09 鴉31356 7A7C 穼25551 63CF 描K836182 8D56 赖922064 5630 嘰36629 8F15 輕35459 8A83 誃21979 55DB 嗛| -27868 6CDC 泜。

浙江省2021届高三下学期4月高考模拟(6)数学试题(含答案解析)

浙江省2021届高三下学期4月高考模拟（6）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，2{|30}B x x x =-<，则A B =（） A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(2,3)-2．双曲线x 224y -=1的渐近线方程是（）A ．yB ．yC ．y =±12xD ．y =±2x3．若实数x 、y 满足约束条件02200y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最大值是（）A ．23BC ．2 D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．2B ．4 C．D ．125．已知{}n a 是等差数列，111a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且57S S =，则n S 的最大值为（） A ．66B ．56C ．46D ．366．在ABC 中，角,A B C ，所对的边分别是,,a b c ，则“sin sin sin a b cB C A+=+”是“ABC 为等腰三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<8．已知函数2()(0)xax bx cf x a e ++=≠的部分图象如图所示，则（）A ．0a <B ．0a c ->C ．0b c -<D ．320a b c -+<9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为（）A B ．13C D ．1210．如图，三棱锥V ABC -的侧棱长都相等，底面ABC 与侧面VAC 都是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段AC 的中点，F 为直线AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是（）A B ．23C D二、填空题11．新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_______种不同安排方法．（用数字作答）12．已知a R ∈，若函数()2x x e a f x e =-在区间()1,2x ∈上存在最小值，则a 的取值范围是_______．13．已知ABC ∆三边长分别为3P 是平面ABC 内任意一点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的最小值是_______．三、双空题14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．请问塔顶层有______盏灯，塔底层有_______盏灯．15．已知复数z 满足()12z i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的虚部是_____，z = ______． 16．已知多项式25272701270127(1)(1)(2)(2)(2)x x a a x a x a x b b x b x b x +-=+++++++=++++，则0127a a a a ++++=_____，5b =______．17．已知圆224O x y +=：，过点)P作两条互相垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交该圆于A ，B 两点，2l 交该圆于C ，D 两点，则AB 的最小值是_____，AB CD +的最大值是_____．四、解答题18．已知函数()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求此时的x 值．19．如图，已知三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2AB AC BC PA ====，120PAC ∠=，3PM MC =．（1）证明：BM PC ⊥；（2）求直线AB 和平面PBC 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足：11a =，221(21)(21)n n n a n a ++=-*()n N ∈. 正项数列{}n c 满足：对每个*n N ∈，21n n c a -=，且21n c -，2n c ，21n c +成等比数列．（1）求数列{}n a ，{}n c 的通项公式；（2）当2n ≥时，证明：1235111117314n n c c c c -≤++++<+． 21．已知点F 是抛物线C ：24x y =的焦点，P 是其准线l 上任意一点，过点P 作直线P A ，PB 与抛物线C 相切，A ，B 为切点，P A ，PB 与x 轴分别交于Q ，R 两点．（Ⅰ）求焦点F 的坐标，并证明直线AB 过点F ；（Ⅱ）求四边形ABRQ 面积的最小值．22．已知a R ∈，设函数2()(34)6ln 6f x ax a x x =-+++，()3g x ax =．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x f x g x =+，是否存在实数a ，使得()h x 存在两个极值点1x ，2x ，且满足1212()()3ln 322hx h x x x ->--？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．注：ln3 1.10≈.参考答案1．A 【分析】求得集合,A B ，再求集合的交集即可得到结果. 【详解】集合{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，2{|30}{|03}B x x x x x =-<=<<， {|02}AB x x ∴=<<．故选：A ．【点睛】本题考查集合的交运算，涉及一元二次不等式的求解，属综合简单题. 2．D 【分析】根据双曲线渐近线定义即可求解. 【详解】双曲线的方程为2214y x -=，∴ 双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题. 3．C 【分析】作出不等式组所表示的可行域，设2t x y =-，利用线性目标函数的几何意义求得t 的取值范围，再利用绝对值的性质可求得z 的最大值. 【详解】作出不等式组02200y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩所表示的可行域如下图所示：令2t x y =-，联立2200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得23x y ==，可得点22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，同理可得点()2,0B ，平移直线2t x y =-，当直线2t x y =-经过可行域的顶点A 时，直线2t x y =-在x 轴上的截距最小，此时t 取最小值，即min 2222333t =-⨯=-；当直线2t x y =-经过可行域的顶点B 时，直线2t x y =-在x 轴上截距最大，此时t 取最大值，即max 2202t =-⨯=.所以，2223x y -≤-≤，则022x y ≤-≤，因此，max 2z =.故选：C. 【点睛】本题考查线性目标函数绝对值的最值，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 4．B 【分析】作出几何体的直观图，可知几何体为直三棱柱中截去一个三棱锥而形成，利用柱体和锥体的体积公式可计算出几何体的体积. 【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为直三棱柱111ABC A B C -中截去三棱锥111A A B C -所形成，结合三视图中的数据可知，几何体的体积为2211123234232V =⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：B. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键在于作出几何体的直观图，考查计算能力，属于较易题. 5．D 【分析】首先利用已知条件求出{}n a 的公差d ，再求出n S ，根据二次函数性质即可求出最大值. 【详解】由已知57S S =，111a =得，1154765722a d a d ⨯⨯+=+，所以2d =-，所以21(1)122n n n S na d n n ⨯-=+=-+，所以当6n =时，n S 有最大值为36, 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等差数列前n 项和n S 的最大值，可以直接利用n S 求出，也可以利用通项公式n a 求出，属于中档题. 6．A 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】充分性：sin sin sin a b cB C A+=+，得a b c b c a +=+，可得22a ac b bc +=+，则220a b ac bc -+-=，即()()0a b a b c -++=，0a b c ++>，a b ∴=，所以，ABC 为等腰三角形，即充分性成立；必要性：若ABC 为等腰三角形，则a c =或b c =，那么等式sin sin sin a b cB C A+=+不一定成立，即必要性不成立，故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及正弦定理边角互化思想的应用，考查推理能力，属于中等题， 7．D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以()()(),1E p D p p ξξ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则()()()()1121E p p p p p p η=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题. 8．B 【分析】求得函数()y f x =的导数2(2)()xax a b x b cf x e-+-+-'=，根据函数()y f x =的单调性可判断A 选项的正误，利用(1)f 、(1)f '、(0)f '的符号可分别判断D 、B 、C 选项的正误. 【详解】2()xax bx cf x e ++=，2(2)()x ax a b x b c f x e -+-+-'∴=，令2()(2)g x ax a b x b c =-+-+-，由图象可知，函数()y f x =先减后增再减，则0a -<，可得0a >，A 选项错误； (1)0f '-<，则(1)320g a b c -=-+-<，则320a b c -+>，D 选项错误； (1)0f '>，则(1)0g a c =->，B 选项正确；(0)0f '>，则(0)0g b c =->，C 选项错误.故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的单调性判断不等式的正误，解答的关键在于利用导数符号与函数单调性之间的关系解题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9．A 【分析】由题意可得12+2PF PF a =，1222,PF PA PF AF AF a ==+=，代入可得，123,22a aPF PF ==，在在1APF △，利用余弦定理可得1cos PAF ∠的值，可得1sin OAF ∠的值，可得答案. 【详解】解：如图，点P 在椭圆上，所以12+2PF PF a =，由1222,PF PA PF AF AF a ==+=，代入上式得，123,22a a PF PF == 在1APF △，222222111133122cos 32322a a a AF AP PF PAF a AF APa ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，又2111cos 12sin 3PAF OAF ∠=-∠=，所以1sin OAF ∠=即1sin c OAF e a ∠===，故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质，离心率的求法，考查学生的计算能力，灵活运用余弦定理求解是解题的关键. 10．D 【分析】连接BE ，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC 的一个法向量m ，平面VEF 的一个法向量n ，利用cos m n m nθ⋅=即可求解.【详解】底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，则Rt ABC Rt VAC ≅，所以VA VC BA BC === 设2VA VC BA BC VB =====，由E 为线段AC 的中点，则VE BV =由222VE BE VB +=，所以VE EB ⊥，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()C，)B，(V，设(),F x x ，(0,VC =，(2,0,VB =，(EV=，(,VF x x =，设平面VBC 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m VC m VB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11112020z z ⎧=⎪=，令11x =，则11y =，11z =，所以()1,1,1m =.设平面VEF 的一个法向量()222,,n x y z =，则00n EVn VF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即(222200x x x y =⋅+⋅=⎪⎩，解得20z =，令21y =，则21x =，所以21,1,0n x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos 3m n m n θ⋅== 将分子、分母同除以1x，可得=令()226663f x x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，当x =时，()min 3fx =，则cosθ故选：D 【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题. 11．114 【分析】先计算出没有限制条件下所有的排法种数，减去甲、乙两人安排在同一个路口时的排法种数，进而得解. 【详解】先考虑没有限制条件下的排法种数，将5人分为三组，三组的人数分别为3、1、1或2、2、1，此时，所有的排法种数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有()12333336C C A +=种排法.综上所述，共有15036114-=种. 故答案为：114. 【点睛】本题考查人员安排问题，采用正难则反的思想求解，考查计算能力，属于中等题.12．42242222e e e e ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【分析】当0a >时，根据2x x e ay e=-的单调性，可知若存在极值点，则两端点处的函数值一正一负；当0a =时，由函数单调性知不合题意；当0a <时，结合对号函数的性质可确定最值点所满足的范围；综合三种情况可得最终结论. 【详解】当0a >时，2x x e a y e =-在()1,2上单调递增，2max 22e ay e∴=-，min 2e a y e =-，若()f x 在()1,2上存在最小值，则220202e ae e a e ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，即()min 0f x =，解得：2422e ea <<；当0a =时，()22x xe ef x ==，在()1,2上单调递增，不存在最小值，不合题意；当0a <时，()22x x x x e a e a f x e e=-=-， ()1,2x ∈，()2,x e e e ∴∈，又2x x e ae -≥2x x e ae -=时，即x e =， ∴若()f x 在()1,2上存在最小值，则2e e <，解得：4222e e a -<<-；综上所述：a 的取值范围为42242222e e e e ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 故答案为：42242222e e e e ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 【点睛】本题考查根据函数在区间内有最值求解参数范围的问题；关键是能够通过分类讨论的方式，结合函数的单调性确定参数在不同范围内时，函数的最值点或区间端点值的符号，由此可构造不等式求得结果. 13．163-【分析】由()()()()PA PB PB PC PC PA PA PA AB PA AB PA AC PA AC PA ⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅+++⋅可得()232PA AB AC PA AB AC ++⋅+⋅，即()221333AB AC PA AB AC AB AC ⎛⎫++-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，当03AB ACPA ++=，即P 是ABC 的重心时取等号,根据三角形中的条件可得出答案. 【详解】()()()()PA PB PB PC PC PA PA PA AB PA AB PA AC PA AC PA ⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅+++⋅()232PA AB AC PA AB AC =++⋅+⋅ ()()222113333AB AC PA AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫+=+-++⋅≥-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()221133AB AC AB AC =-++⋅ 当03AB ACPA ++=，即P 是ABC 的重心时取等号.ABC ∆三边长分别为3若BC 则1213362AB AC ⋅===，此时原式()11169136333=-++⨯=-若3BC =,则141372AB AC ⋅===，此时原式()111610137333=-++⨯=-若BC 则6332AB AC ⋅===，此时原式()11161093333=-++⨯=-所以PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的最小值是163- 故答案为: 163- 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，向量的数量积，考查运算求解能力，属于中档题. 14．3 192 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列求和公式可求得1a 的值，进而可求得7a 的值，由此可得出结果. 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，设其前n 项和为n S ，由题意可得()71711212738112a S a-===-，解得13a =，则6732192a =⨯=.因此，塔顶层有3盏灯，塔底层有192盏灯. 故答案为：3；192. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，考查等比数列前n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15．32【分析】根据复数z 满足()12z i i +=-+，利用复数的除法化简得到1322z i =-+，再根据复数的概念和模的求法求解. 【详解】因为复数z 满足()12z i i +=-+，所以()()()()2121311122i i i z i i i i -+--+===-+++-所以z 的虚部是32，z ==故答案为：32【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念和模，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 16．64- 11 【分析】第一空，赋值1x =-可得；第二空，利用5(1)x -展开式求3x 的系数与5x 的系数和即可. 【详解】取1x =-，501272(2)64a a a a ++++=⨯-=-5(1)x - 展开式的通项515(1)k k k kT C x ，则2200555(1)+(1)=11b C C =--故答案为：64-；11 【点睛】本题主要考查展开式中的特定项系数及项的系数和.(1)利用赋值法求解项的系数和时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．17．2 【分析】将AB 用圆心到AB 的距离表示，再利用直角三角形中，直角边小于斜边，即可求得AB 的最小值；将AB CD +用圆心到两弦的弦心距表示，再利用基本不等式，即可求得AB CD +的最大值. 【详解】过O 作OE AB ⊥，交AB 于点E ，过O 作OF CD ⊥，交CD 于点F ，连接OA ，OC ，设圆心O 到AB 的距离为1d ，圆心O 到CD 的距离为2d ，则AB == 又OE OP ≤∴圆心O 到AB 的距离1d 的最大值为OP ，∴AB 的最小值为min 2AB =，AB CD +== 又222123d d OP +==，≤当且仅当12d d =所以4AB CD +==所以AB 的最小值为2，AB CD +的最大值是故答案为：2；【点睛】本题主要考查的是圆的弦长的计算，其中涉及到基本不等式的应用，属于中档题.涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：（1）几何法：利用半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；（2）代数法：将直线方程与圆的方程组成方程组，设出交点坐标，若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解；若交点坐标不易求，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可求弦长.18．（1）最小正周期为π；（23x π=.【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()26f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭用正弦型函数的周期公式可求得函数()y f x =的最小正周期；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出26x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的最大值，并可求出对应的x 值. 【详解】（1）()32sin cos cos 2sin cos 32f x x x x x x x π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭233sin cos sin 22226x x x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当226x ππ-=时，即当3x π=时，函数()y f x =【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了正弦型函数最值的求解，解答的关键在于利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.19．（1）证明见解析；（2【分析】（1）取AC 的中点E ，PC 的中点F ，连AF 、ME 、BE ，利用等腰三角形三线合一的性质得出BE AC ⊥，利用面面垂直的性质可得出BE ⊥平面PAC ，进而得出BE PC ⊥，再证明出ME PC ⊥，可得出PC ⊥平面MBE ，由此可得出BM PC ⊥；（2）过点E 作EH MB ⊥垂足为点H ，推导出EH ⊥平面PBC ，计算出EH ，可得出点A 到平面PBC 的距离为2EH ，由此可计算出直线AB 和平面PBC 所成角的正弦值为2EHAB，进而得解. 【详解】（1）取AC 的中点E ，PC 的中点F ，连AF 、ME 、BE . PA AC =，F 为PC 的中点，AF PC ∴⊥，又3PM MC =，M ∴为CF 的中点，//ME AF ∴，ME PC ∴⊥，又 AB BC =，E 为BC 的中点，BE AC ∴⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC ，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，BE PC ∴⊥，又MEBE E =，PC ∴⊥平面MBE ，BM ⊂平面MBE ，PC BM ∴⊥；（2）由（1）知PC ⊥平面MBE ，PC ⊂平面PBC ，∴平面MBE ⊥平面PBC ，过点E 作EH MB ⊥垂足为点H ，平面MBE平面PBC MB =，EH ⊂平面MBE ，EH ∴⊥平面PBC ，所以，EH 即是点E 到平面PBC 的距离，BE ⊥平面PAC ，ME ⊂平面PAC ，BE ME ∴⊥，BE =cos601AF PA =⋅=，1122ME AF ∴==，MB ∴==1ME BE EH BM ⋅∴===，又E 是AC 的中点，∴点A 到面PBC的距离2A h EH == AB ∴与面PBC所成角的正弦值为12A h AB ==. 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．（1）2(21)n a n =-，2221,*12n n n k c k N n n k ⎧=-=∈⎨=⎩－；（2）证明见解析；【分析】（1）由题意可得212(21)(21)n n a n a n ++=－，由累乘法可得2(21)na n =-;由221(21)－n n c a n ==-，得2n c n =（n 为奇数），再根据21221,,－n n n c c c +是等比数列，可得到2-1n c n ∴=（n 是偶数），从而得出答案.（2）先验证2n =时，不等式成立，当3n ≥时，不论n 为奇数偶数都有()21111111n c n n n n n ≥>=-++，2111111211n c n n n ⎛⎫≤=- ⎪--+⎝⎭，从而利用裂项相消法求和可证明结论. 【详解】解：（1）解法一：由已知可得212(21)(21)n n a n a n ++=－ 2n ∴≥时，13211221n n n n n a a a aa a a a a a ---∴=⋅⋯⋯⋅⋅ 22222222(21)(23)31(21)(23)(25)1n n n n n =⋅⋯⋯⋅=－－－－－，又21(211)a =⨯- 2(21)n a n ∴=-解法二：122(21)(21)n na a n n +=+－，即[]122(21)2(1)1n n a a n n +=+-－2(21)n a n ∴－为常数列，122(21)(211)n a a n ∴=⨯－－，又21(211)a =⨯-2(21)n a n ∴=-又221(21)n n c a n ==-－ 2n c n ∴=（n 为奇数）又21221,,n n n c c c +－是等比数列222221212121n n n c c c n n -+∴=⋅=-⋅+（）（）2(21)(21)n c n n ∴=-⋅+2(1)(1)n c n n n ∴=-⋅+=-1（n 是偶数）综上可得2(21)n a n =-，2221,*12nn n k c k N n n k ⎧=-=∈⎨=⎩－（2）先证123111174n c c c c ++++<…… 2n =时，12111471334c c +=+=<，显然成立. 3n ≥时，21n c n ≥- 3n ∴≥时，2111111211n c n n n ⎛⎫≤=- ⎪--+⎝⎭123n1111c c c c ∴+++⋯⋯+ 22111111111324354657(1)11n n ≤++++++⋯⋯++⋅⋅⋅⋅⋅--- 1111111111111123243546211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦－－－－－11117112214n n ⎛⎫=++< ⎪+⎝⎭－－再证12351111131nn c c c c -≤+++++ ①2n =时，左边14133=+=，右边43=，成立； ②3n ≥时，不论n 为奇数偶数都有()21111111n c n n n n n ≥>=-++ 222123*********++334k c c c c n +++⋯⋯+≥+++ 11111++33445(1)n n ≥+++⨯⨯⨯+ 4111111+334451n n =+-+-+-+ 5131n =-+ 综上所述，当2n ≥时，不等式1235111117314n n c c c c -≤++++<+成立. 【点睛】本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，考查数列不等式的证明，考查放缩法在证明不等式中的应用，考查裂项相消求和，将通项进行适当的放缩是解决本题的关键和难点，属于难题.21．（Ⅰ）(0,1)F ，证明见解析；（Ⅱ）3.【分析】（Ⅰ）解法一：(0,1)F ，设()2212120,,,,,144x x A x B x P x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出直线P A ，PB 的方程，然后由点P 在P A ，PB 上，得到直线AB 的方程求解；解法二：(0,1)F ，设AB 直线方程为y kx m =+，联立24y kx m x y =+⎧⎨=⎩，分别写出过A 和过B 的切线方程，求得点p 的坐标，再由点P 在直线1y =-上求解；(II)由(I)知0:12AB x l y x =+，代入C ：24x y =得20240x x x --=，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用函数的单调性求解最小值即可．【详解】（Ⅰ）解法一：(0,1)F ，设()2212120,,,,,144x x A x B x P x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()111:2PA x l y y x x -=-即112x y x y =- 同理22:2PB x l y x y =-．又P 在P A ，PB 上，则1012021212x x y x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以0:12AB x l y x =+．所以直线AB 过焦点F ．解法二：(0,1)F ，设AB 直线方程为y kx m =+，则由24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx m --=，所以121244x x k x x m +=⋅=-，，过A 的切线方程为()1112x y y x x -=-，过B 的切线方程为()2222x y y x x -=-，所以交点P 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为P 在直线1y =-上，所以1244x x m ⋅=-=-，所以1m =即直线过焦点F ．(II)由(I)知0:12AB x l y x =+，代入C ：24x y =得20240x x x --=，则1201224x x x x x +=⎧⎨=-⎩，则()2212121201||22244AB y y x x x x x ⎡⎤=++=+-+=+⎣⎦， P 到AB的距离d =(20142PAB S x =+ 由（Ⅰ）知12,0,,022x x Q R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121||2QR x x =-=所以PQR S2t t =≥，则311,(2)22PAB PQR ABRQ S S S t t t =-=-≥四边形， 311()22f t t t =-，则231()0,[2,)22f t t t '=->∈+∞成立，所以311()22f t t t =-在[2,)+∞上是增函数，所以()f t 的最小值是3，即四边形ABRQ 面积的最小值为3．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．22．（1）答案不唯一，见解析；（2）存在，1143，⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数的定义域以及()(23)(-2)x ax f x x -'=，讨论a 的取值范围，即0a ≤，403a <<，43a =或43a >，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （2）解法一：求出2246()ax x h x x'-+=，根据题意可得2230ax x -+=有两解两解12,x x ，从而可得124430,0,0a x x ∆=-⨯>>>，从而求得103a <<，由11221212126ln()()()4x h x h x x a x x x x x x -=+-+--，令121x t x =>，可得12212()()4ln 21h x h x t t x x t -=-+--，利用导数求出()24ln 21t m t t t -+=-的单调性，且根据(3)0,(1)0m m ==即可求解；解法二：根据函数有两个极值点可得103a <<，然后将不等式化为1212ln ln 304x xx x ->-，由方程2230ax x -+=，得1,2x =t ，(0,1)t ∈，则213t a -=，将不等式化为关于t 的不等式，利用导数即可证出.【详解】解：（1）2()(34)6ln 6f x ax a x x =-+++的定义域为{|0}x x >6()2(34)f x ax a x '=-++=22(34)6ax a x x-++=(23)(-2)x ax x -，（i ）若0a ≤,则20ax -<，所以()y f x =在3(0,)2递增，3(,)2+∞递减，（ii ）若403a <<，则()y f x =在3(0,)2递增，32(,)2a 递减，在2(,)a +∞递增，（iii ）若43a =,则()y f x =在(0,)+∞递增；（iv ）若43a >，则()y f x =在2(0,)a 递增，在23(,)2a 递减，在3(,)2+∞递增. （2）解法一： 2()(34)6ln 6f x ax a x x =-+++,()3g x ax =2()()()46ln 6h x f x g x ax x x =+=-++26246()24ax x h x ax x x='-+=-+，若()y h x =有两极值点，则2230ax x -+=有两解两解12,x x ，121223,x x x x a a+==. 且124430,0,0a x x ∆=-⨯>>> 所以103a <<. 11221212126ln()()()4x h x h x x a x x x x x x -=+-+-- 令121x t x =>，则121212121221311331()()()()222x x a x x x x x x t x x x x t a+-=-⨯=-+⨯=- 12212()()4ln 21h x h x t t x x t -∴=-+-- 若1212()()3ln 32,2h x h x x x ->--则24ln 3ln 312t t t >-， 28ln 3(1)ln 30t t t -->，令2()8ln 3(1)ln 3m t t t t =--(3)0,(1)0m m ==，()8ln 86ln 3m t t t '=+-(1)86ln30m '=->，(3)810ln30m '=-< 46ln 3()886ln 33ln 3()6ln 3t t m t t t t⨯--''=-== 所以()y m t '=在4(1,)3ln 3递增，在4(,)3ln 3+∞递减又(1)86ln30m '=->，(3)810ln30m '=-<则在区间4(,3)3ln 3内存在0t 使得0()0m t '=. 函数y =m (x )在0(1,)t 单调递增，在0(,3)t 单调递减，由(3)0,(1)0m m ==，所以当(1,3)t ∈时满足1212()()3ln 32,2h x h x x x ->-- 2212124()14233x x a t x x t a a +=++==，所以411(,)1433(2)a t t =∈++ 即实数a 的取值范围为11(,)43解法二： 2()(34)6ln 6f x ax a x x =-+++,()3g x ax =2()()()46ln 6h x f x g x ax x x =+=-++26246()24ax x h x ax x x='-+=-+，若()y h x =有两极值点，则2230ax x -+=有两解12,x x ，121223,x x x x a a+== 且124430,0,0a x x ∆=-⨯>>>，所以103a <<1212121212()()6(ln ln )()4h x h x x x a x x x x x x --=+-+-- 1212ln3ln 32622x x x x =-+>-+- 即 1212lnln 304x x x x ->- 由方程2230ax x -+=，得1,2x =令t =，(0,1)t ∈，则213t a -=，12212213ln2ln ln 3ln 3ln 311012441x t t x t t t x x t +----=>-- 令213()2ln ln 311t t G t t t +=---，求导可得 222222222(1)21(2)4(1)3ln 3()3ln 31(1)(1)1(1)t t t t t G t t t t t t ----+'=⋅-⋅=-+----22222224(1)3ln 3(1)(43ln 3)(43ln 3)(1)(1)t t t t t --+--+==--. 令()0G t '=，得到01t =，所以()y G t =在0(0,)t 上单调递增，在0(,1)t 单调递减.又(0)0G =，312()2ln 3ln 30324G =-=，所以由1()0,(0,)2G t t >∈得，1(0,)2，解得1143a <<. 故实数a 的取值范围是1143（，）. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题，考查了分类讨论的思想，属于难题.。

2021年浙江省高考第三次模拟考试数学试卷-含答案与解析

2021年浙江省高考第三次模拟考试数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40分）1（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A（0，2）B（0，3）C（2，3）D（﹣2，3）2（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A y＝±xB y＝±xC y＝±D y＝±2x3（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝|x﹣2y|的最大值是（）A B C2 D4（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2 B4 C D125（4分）已知{a n}是等差数列，a1＝11，S n为数列{a n}的前n项和，且S5＝S7，则S n的最大值为（）A66 B56 C46 D366（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝1﹣p，P（ξ＝1）＝p，且0＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ）|，则（）A E（η）＜E（ξ）B E（η）＞E（ξ）C D（η）＜D（ξ）D D（η）＞D（ξ）8（4分）已知函数f（x）＝（a≠0）的部分图象如图所示，则（）A a＜0B a﹣c＞0C b﹣c＜0 D3a﹣2b+c＜09（4分）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|＝|PA|，则椭圆的离心率为（）A B C D10（4分）如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A B C D二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）11（4分）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有种不同安排方法（用数字作答）12（4分）已知a∈R，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则a 的取值范围是13（4分）已知△ABC三边长分别为3，，，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是14（6分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍请问塔顶层有盏灯，塔底层有盏灯15（6分）已知复数z满足z（1+i）＝﹣2+i（i为虚数单位），则z的虚部是，|z|＝16（6分）已知多项式（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，则a0+a1+a2+…+a7＝，b5＝17（6分）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是，|AB|+|CD|的最大值是四、解答题（本大题共5小题，共74分）18已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值，并求此时的x值19如图，已知三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝PA＝2，∠PAC＝120°，（Ⅰ）证明：BM⊥PC；（Ⅱ）求直线AB和平面PBC所成角的正弦值20已知数列{a n}满足：a1＝1，（2n+1）2a n＝（2n﹣1）2a n+1（n∈N*）正项数列{c n}满足：对每个n∈N*，c2n﹣1＝a n，且c2n﹣1，c2n，c2n+1成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}，{c n}的通项公式；（Ⅱ）当n≥2时，证明：21已知点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB 与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值22已知a∈R，设函数f（x）＝ax2﹣（3a+4）x+6lnx+6，g（x）＝3ax（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+g（x），是否存在实数a，使得h（x）存在两个极值点x1，x2，且满足？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由注：ln3≈1.10参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，共40分）1（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A（0，2）B（0，3）C（2，3）D（﹣2，3）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集、并集定义及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A y＝±xB y＝±xC y＝±D y＝±2x【分析】由双曲线﹣＝1（a，b＞0），可得渐近线方程y＝±x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程【解答】解：由双曲线﹣＝1（a，b＞0），可得渐近线方程y＝±x，双曲线x2﹣＝1的a＝1，b＝2，可得渐近线方程为y＝±2x故选：D【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题3（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝|x﹣2y|的最大值是（）A B C2 D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由u＝x ﹣2y得y＝x﹣，平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣经过点B（2，0）时，直线y＝x﹣的截距最小，此时u最大：2，由，解得A（，），直线经过A时，u取得最小值：，所以z＝|x﹣2y|的最大值：2故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键4（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2 B4 C D12【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为三棱柱ABC﹣DEF切去一个三棱锥体C ﹣DEF如图所示：所以：V＝＝4故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型5（4分）已知{a n}是等差数列，a1＝11，S n为数列{a n}的前n项和，且S5＝S7，则S n的最大值为（）A66 B56 C46 D36【分析】由已知结合等差数列的和公式可求d，然后结合等差数列的性质即可求解【解答】解：因为{a n}是等差数列，a1＝11，且S5＝S7，∴S7﹣S5＝0，所以a6+a7＝0，所以2a1+11d＝0即d＝﹣2，因为a1＝11＞0，∴a6＞0，a7＜0，则S n的最大值为S6＝6×11+15×（﹣2）＝36故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和公式及性质的应用，属于基础试题6（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由，根据正弦定理可得：＝，化为a＝b反之不成立，即可判断出结论【解答】解：由，根据正弦定理可得：＝，化为：（a﹣b）（a+b+c）＝0，解得a＝b∴△ABC为等腰三角形，反之不成立，可能a＝c，或b＝c∴“”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了正弦定理、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝1﹣p，P（ξ＝1）＝p，且0＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ）|，则（）A E（η）＜E（ξ）B E（η）＞E（ξ）C D（η）＜D（ξ）D D（η）＞D（ξ）【分析】依题意，ξ服从两点分布，可知E（ξ），D（ξ），再求出E（η）和D（η）即可得到结论【解答】解：依题意，随机变量ξ服从两点分布，故E（ξ）＝p，D（ξ）＝p（1﹣p），又η＝|ξ﹣E（ξ）|，所以η的取值为p，1﹣p，且P（η＝p）＝1﹣p，P（η＝1﹣p）＝p，所以E（η）＝p（1﹣p）+p（1﹣p）＝2p（1﹣p），D（η）＝E（η2）﹣E2（η）＝[p2（1﹣p）+（1﹣p）2p]﹣[2p（1﹣p）]2＝p（1﹣p）[1﹣4p（1﹣p）]，∴E（η）﹣E（ξ）＝2p（1﹣p）﹣p＝p﹣2p2＝p（1﹣2p），可能为正也可能为负，即E（η）和E（ξ）大小关系不确定；∵0＜p＜1，∴D（η）﹣D（ξ）＝p（1﹣p）[1﹣4p（1﹣p）]﹣（p﹣p2）＝﹣4p2（1﹣p）2＜0，∴D（η）＜D（ξ）故选：C【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了两点分布，考查了大小比较，主要考查分析和解决问题的能力，属于中档题8（4分）已知函数f（x）＝（a≠0）的部分图象如图所示，则（）A a＜0B a﹣c＞0C b﹣c＜0 D3a﹣2b+c＜0【分析】求出原函数的导函数，结合图象可得导函数根的分布，再由二次函数根的分布与系数的关系逐一分析四个选项得答案【解答】解：由f（x）＝（a≠0），得f′（x）＝，令﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c＝0，由图可知该方程一个根在（﹣1，0）之间，一个根大于1 且二次函数g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的图象开口向下，则a＞0，故A错误；g（0）＝b﹣c＞0，故C错误；g（1）＝a﹣c＞0，故B正确；g（﹣1）＝﹣3a+2b﹣c＜0，则3a﹣2b+c＞0，故D错误故选：B【点评】本题考查函数的图象与图象变换，考查函数的单调性与导函数符号间的关系，考查二次函数根的分布与系数的关系，是中档题9（4分）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|＝|PA|，则椭圆的离心率为（）A B C D【分析】画出图形，利用椭圆的性质，结合已知条件，通过余弦定理求解三角形求解即可【解答】解：椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，可得|AF1|＝|AF2|＝a，|PF1|+|PF2|＝2a，若|PF1|＝|PA|，所以|PF2|＝a，|PF1|＝a，cos∠APF1＝＝，可得：a2＝3c2，所以椭圆的离心率为：故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查10（4分）如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A B C D【分析】连接BE，以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面VBC与平面VEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求解【解答】解：由底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，得Rt△ABC≌Rt△AVC，∴VA＝VC＝BA＝BC设VA＝VC＝BA＝BC＝2，由E为线段AC的中点，可得VE＝EB＝由VE2+BE2＝VB2，可得VE⊥EB以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则C（0，，0），B（，0，0），V（0，0，），设F（x，x﹣，0），，，，设平面VBC的一个法向量为，由，取x＝1，得；设平面VEF的一个法向量为，由，取y1＝1，得平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ＝＝令f（x）＝当x＝时，f（x）min＝3∴cosθ的最大值为故选：D【点评】本题考查利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力与运算求解能力，关键是建立恰当的空间直角坐标系，是中档题二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）11（4分）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有114 种不同安排方法（用数字作答）【分析】分3，1，1和2，2，1两类，每类中用间接法先不考虑甲乙直接用排列组合数公式求出安排方法，再减去甲乙在一个路口的分法，最后把求出的两类相加即可【解答】解：分为两类：第一类有一路口分3人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有C A﹣C C A＝42种；有两路口分2人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有A﹣C C A＝72种，则由加法原理共有42+72＝114种故答案为：114【点评】本题考查基本原理，排列组合数公式的应用，用间接法解决该题可避免讨论，简化运算，属于中档题12（4分）已知a∈R，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则a的取值范围是【分析】当a＞0时，由函数的单调性可知y＝在（1，2）内的范围，结合题意得到关于a的不等式组求解；当a＝0时，由函数的单调性可知不合题意；当a＜0时，结合对勾函数的性质可确定最值点所满足的范围【解答】解：当a＞0时，y＝在（1，2）上单调递增，可得＜y＜，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则，即f（x）min＝0，得＜a＜；当a＝0时，f（x）＝，在（1，2）上单调递增，不存在最小值，不合题意；当a＜0时，＝，∵x∈（1，2），∴e x∈（e，e2），又（当且仅当，即时取等号），∴若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则e＜＜e2，解得＜a＜∴a的取值范围是故答案为：【点评】本题考查利用函数在区间内的最值求解参数的范围问题，关键是通过分类讨论的方式根据函数的单调性确定参数在不同范围时，函数的最值点或区间端点值的符号，由此构造不等式求解结果，属难题13（4分）已知△ABC三边长分别为3，，，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是【分析】＝＝＝＝当，即P是△ABC的重心时取等号然后分类求解的值，则的最小值可求【解答】解：＝＝＝＝当，即P是△ABC的重心时取等号△ABC三边长分别为3，，，若|BC|＝，则，此时原式＝；若|BC|＝3，则，此时原式＝；若|BC|＝，则，此时原式＝∴的最小值是故答案为：﹣【点评】本题考查平面向量的线性运算，向量的数量积运算，考查运算求解能力，是中档题14（6分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍请问塔顶层有 3 盏灯，塔底层有192 盏灯【分析】设从上向下的灯的数记为{a n}，数列{a n}是以2为公比的等比数列且S7＝381，结合等比数列的求和公式可求a1，进而可求【解答】解：设从上向下的灯的数记为{a n}，则数列{a n}是以2为公比的等比数列且S7＝＝381，解可得，a1＝3，所以a7＝3×26＝192故答案为：3，192【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的简单应用，属于基础试题15（6分）已知复数z满足z（1+i）＝﹣2+i（i为虚数单位），则z的虚部是，|z|＝【分析】利用复数的运算法则求出z，再由复数虚部，模的定义即可得出【解答】解：因为z（1+i）＝﹣2+i，所以z＝＝＝＝﹣+i，则z的虚部是，|Z|＝＝，故答案是，【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的虚部，模的定义，属于基础题16（6分）已知多项式（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，则a0+a1+a2+…+a7＝﹣64 ，b5＝11【分析】令x＝﹣1可求第一个空，根据b5为x5的系数；求出第二个空【解答】解：∵令（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7；令x＝﹣1可得2×（﹣2）5＝a0+a1+a2+…+a7；即a0+a1+a2+…+a7＝﹣64；∵（x2+1）（x﹣1）5＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，∴b5为x5的系数；含x5的项为：x2•x3•（﹣1）2+1×x5＝11x5；故b5＝11；故答案为：﹣64，11【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，式子的变形是解题的关键，属于中档题17（6分）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是 2 ，|AB|+|CD|的最大值是【分析】先由弦长最小只需圆心到直线的距离最远⇒弦长|AB|的最小值；然后对直线l1的斜率的情况进行讨论，求得|AB|+|CD|，研究其最大值即可【解答】解：若|AB|长度最小，则圆心到直线l1距离d最长，所以直线l1⊥OP，d max＝，所以|AB|min＝2＝2①当直线l1斜率不存在时，由上可知|AB|＝2，|CD|＝4，此时|AB|+|CD|＝6；②当直线l1斜率为0时，可得：|AB|＝4，|CD|＝2，此时|AB|+|CD|＝6；③当直线l1斜率存在时，设直线l1方程为：y＝k（x﹣），此时直线l2方程为：y＝﹣（x﹣），∵圆心O到直线l1的距离d1＝，∴|AB|＝2＝2＝2＝2，同理|CD|＝2＝2＝2，令＝t，则t∈（0，3），此时|AB|+|CD|＝2（+）＝2＝2，t∈（0，3），易知当t＝时，|AB|+|CD|的最大值为2故答案分别为：2；2【点评】本题主要考查圆中的弦长公式及弦长之和的最值问题，属于中档题四、解答题（本大题共5小题，共74分）18已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值，并求此时的x值【分析】（Ⅰ）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果（Ⅱ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域【解答】解：（Ⅰ），＝，＝，∴T＝π（Ⅱ），所以所以即所以f（x）的最大值为当，即x＝时，函数f（x）取得最大值【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19如图，已知三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝PA＝2，∠PAC＝120°，（Ⅰ）证明：BM⊥PC；（Ⅱ）求直线AB和平面PBC所成角的正弦值【分析】解法一：（1）取AC的中点E，PC的中点F，连AF，ME，BE，证明AF⊥PC，ME ⊥PC，证明BE⊥AC，BE⊥PC推出PC⊥面MBE，说明PC⊥BM（2）过E作EH⊥MB垂足为H，EH即是E到面PBC的距离，通过求解三角形求解即可解法二：（1）取AC的中点E，连ME、EB，证明BE⊥PC，推出PC⊥面MBE，即可证明PC ⊥BM（2）过P作PO⊥CA交其延长线于O，连BO可得PB2＝PO2+BO2，令A到面PBC的距离为h O，通过V A﹣PBC＝V P﹣ABC，求出h O，转化求解AB与面PBC所成角的正弦值解法三：（1）取AC的中点O，建立如图所示的坐标系，通过，推出BM⊥PC，（2）求出面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解AB与面PBC所成角的正弦值【解答】解法一：（1）取AC的中点E，PC的中点F，连AF，ME，BE∵PA＝AC，∴AF⊥PC，又∵，∴M是CF的中点，∴AF∥ME，ME⊥PC，又∵AB＝BC，∴BE⊥AC，又∵面PAC⊥面ABC且二平面交于AC，∴BE⊥面PAC，BE⊥PC又∵ME∩BE＝E，∴PC⊥面MBE，∴PC⊥BM（2）由①知PC⊥面MBE，∴面MBE⊥面PBC且交于MB，∴过E作EH⊥MB垂足为H，EH 即是E到面PBC的距离，∵BE⊥ME，∴，又∵E是AC的中点，∴A到面PBC的距离，∴AB与面PBC所成角的正弦值为解法二：（1）取AC的中点E，连ME、EB，∵AB＝BC＝2，∴BE⊥AC，CE＝1，又∵面PAC⊥面ABC且交于AC∴BE⊥面PAC，∴BE⊥PC，∵PA＝AC＝2，∠PAC＝120°，又∵，∴，∠PCA＝∠APC＝30°，∵，∴，CM⊥ME，∴PC⊥面MBE，PC⊥BM（2）过P作PO⊥CA交其延长线于O，∵面PAC⊥面ABC且交于AC，∴PO⊥面ABC，连BO可得PB2＝PO2+BO2，又∵AC＝AP＝2，∠PAC＝120°，∴，，AO＝1，又∵，∴，∴，∴，∴，令A到面PBC的距离为h O，则V A﹣PBC＝V P﹣ABC∴，，∴AB与面PBC所成角的正弦值为解法三：（1）取AC的中点O，建立如图所示的坐标系，由已知可得，，∴，，∴∴BM⊥PC，（2）由（1）可知，设面PBC的法向量为，则，令y＝1，则，z＝3，，∴AB与面PBC所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20已知数列{a n}满足：a1＝1，（2n+1）2a n＝（2n﹣1）2a n+1（n∈N*）正项数列{c n}满足：对每个n∈N*，c2n﹣1＝a n，且c2n﹣1，c2n，c2n+1成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}，{c n}的通项公式；（Ⅱ）当n≥2时，证明：【分析】（Ⅰ）先由题设条件⇒{}为常数列，进而求得a n，再由题设条件分别求出当n为奇数、偶数时的c n，即可求得a n与c n；（Ⅱ）分别利用放缩法、裂项相消法求证出与即可【解答】解：（Ⅰ）解：由已知可得：，即，∴{}为常数列，∴，又a1＝1，∴又∵，∴（n为奇数）；又∵c2n﹣1，c2n，c2n+1是等比数列，∴，∴c2n ＝（2n﹣1）•（2n+1），∴（n是偶数），综上可得，c n＝（Ⅱ）证明：先证：①当n＝2时，，显然成立；②当n≥3时，，∴n≥3时，，∴＝＝再证：①n＝2时，左边＝，右边＝，成立；②n≥3时，＝＝﹣综上，所以【点评】本题主要考查构造法求数列通项公式及利用放缩法、裂项相消法证明不等式，难度较大21已知点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB 与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值【分析】（I）解法一：F（0，1），设，求出PA的方程，PB的方程，通过P在PA，PB上，得到说明直线AB过焦点F（I）解法二：F（0，1），设AB直线方程为y＝kx+m，通过得x2﹣4kx﹣4m＝0，利用韦达定理，切线方程求出m，即可说明结果（II）由（I）知，代入C：x2＝4y得x2﹣2x0x﹣4＝0，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用函数的单调性求解最小值即可【解答】解：（I）解法一：F（0，1），设，则即同理又P在PA，PB上，则，所以所以直线AB过焦点F（I）解法二：F（0，1），设AB直线方程为y＝kx+m，则由得x2﹣4kx﹣4m＝0，所以x1+x2＝4kx1•x2＝﹣4m，过A的切线方程为，过B的切线方程为，所以交点P的坐标为因为P在直线y＝﹣1上，所以x1•x2＝﹣4m＝﹣4，所以m＝1即直线过焦点F（II）由（I）知，代入C：x2＝4y得x2﹣2x0x﹣4＝0，则，则，P到AB的距离，所以，由（1）知，则，所以，令，则，在[2，+∞）上是增函数，则四边形ABRQ面积的最小值为3【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，切线方程的求法以及函数的单调性的判断，最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题22已知a∈R，设函数f（x）＝ax2﹣（3a+4）x+6lnx+6，g（x）＝3ax（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+g（x），是否存在实数a，使得h（x）存在两个极值点x1，x2，且满足？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由注：ln3≈1.10【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求出h（x）的导数，结合题意得到＝a（x1+x2）﹣4+，令t＝＞1，则＝﹣2+，问题转化为8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3＞0，构造函数，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝，（i）若a≤0，则ax﹣2＜0，则f（x）在（0，）递增，在（，+∞），（ii）若0＜a＜，则f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，（iii）若a＝，则f（x）在（0，+∞）递增，（iV）若a＞，则f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）h（x）＝f（x）+g（x）＝ax2﹣4x+6lnx+6，h′（x）＝2ax﹣4+＝，若y＝h（x）有2个极值点，则ax2﹣2x+3＝0有2个解x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝，且△＝4﹣12a＞0，x1＞0，x2＞0，故0＜a＜，则＝a（x1+x2）﹣4+，令t＝＞1，则x1﹣x2＝（x1﹣x2）•＝（x1﹣x2）（+）×＝（t ﹣），∴＝﹣2+，若＞﹣2，则＞，即8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3＞0，令m（t）＝8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3，m（3）＝0，m（1）＝0，m′（t）＝8lnt+8﹣6tln3，m′（1）＝8﹣6ln3＞0，m′（3）＝8﹣10ln3＜0，m″（t）＝，故y＝m′（t）在（1，）递增，在（，+∞）递减，又m′（1）＞0，m′（3）＜0，则在区间（，3）内存在t0使得m′（t0）＝0，函数y＝m（x）在（1，t0）递增，在（t0，3）递减，由m（3）＝0，m（1）＝0，故t∈（1，3）时满足，＝t+2+＝＝，故a＝∈（，），即实数a的范围是（，）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是一道综合题。

2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (8)

2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题8学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．如图,直线x=t与函数f(x)=log3x和g(x)=log3x-1的图象分别交于点A,B,若函数y=f(x)的图象上存在一点C,使得△ABC为等边三角形,则t的值为A.√3+22B.3√3+32C.3√3+34D.3√3+32．已知复数z满足1-4z3z-2=i,其中i是虚数单位,则|z|=A.15B.√55C.√5D.53．函数f(x)=1+x2+tanxx的部分图象大致为A.B.C.D.4．若集合A={-3,-1,1,3},B={x|x2-x-6≤0},则A∩B=A.{-3,-1,1}B.{-1,1,3}C.{-3}D.{3}5．函数f(x)=2lnx+2x−5的零点个数为A.1B.2C.0D.36．从3双不同的鞋子中任取3只,则这3只鞋子中有2只可以配成一双的概率是A.25B.12C.35D.237．设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若α⊥β，m⊥α，则m//βB.若m//α,n⊂α ,则m//nC.若α∩β=m，n//α,n//β，则m//nD.若α⊥β，且α∩β=m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β8．执行如图所示的程序框图,若输入n的值是10,则输出S的值为A.-9B.-1C.10D.209．已知{a n }是等差数列,a 1=9,S 5=S 9,那么使其前n 项和S n 最大的n 是A.6B.7C.C.8D.910．椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)与双曲线x 24−y 22=1有相同的焦点坐标,则a =A.3B.√3C.5D.√511．正三角形ABC 的内切圆圆心为Q ,点P 为圆Q 上任意一点.若QP⃗⃗⃗⃗⃗ =m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围是A.[-1,1]B.[-12,12]C.[-√22,√22] D.[-√2,√2]12．已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =2,b =3,C =2B ,则△ABC 外接圆的面积为A.277πB.547πC.817πD.1087π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知函数f (x )=√x +√x在区间(0,+∞)上有最小值4,则实数k = .14．某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台, 3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,且3件展品所选用的展台之间的间隔不超过2个展台,则不同的展出方法有种.15．如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AB ∥CD ,AD =CD =√102,AB =√10,PA =√6,DA ⊥AB ,点Q 在PB 上,且满足PQ ∶QB =1∶3,则直线CQ 与平面PAC 所成角的正弦值为 .16．已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线3x-4y-5=0垂直,则双曲线的离心率为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)(本题满分14分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知A =π4,b 2-a 2=12c 2.(Ⅰ)求tan C 的值;(Ⅱ)若△ABC 的面积为3,求b 的值.18．(本题12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,AB =PC =√2AD ,∠ADC =45°,点P 在底面ABCD 上的射影恰好为CD 的中点E ,点F 为AD 的中点.(1)证明:平面PAD ⊥平面PEF ;(2)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.19．(本题12分)为了了解完成某类工程的时间,某公司随机选取了10个完成这类工程的时间,得到如下数据(单位:天):17,23,19,21,22,21,19,17,22,19.(1)若这10个数据的平均数为μ、标准差为σ,把工期落在(μ-σ,μ+σ]内的称为标准工期,用样本的频率估计概率,求该类工程在标准工期内完成的概率;(2)现从工期大于20天的工程中随机抽取2个做调查,求抽取的2个工程工期不相同的概率.20．(本题12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且椭圆C 过点(√3,−√22)，过点(1,0)做两条相互垂直的直线分别与椭圆C 交于P,Q,M,N 四点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =SN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21．(本题12分)(本题满分15分)已知函数f (x )=e x -cos x ,f '(x )为f (x )的导函数. (1)求函数g (x )=f '(x )-2x 的最小值;(2)若对任意x ∈R ,xf (x )≥x 3+ax 2恒成立,求a 的取值范围.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。

2021届浙江省高考数学模拟试卷(3)(4月份)含解析

2021届浙江省高考数学模拟试卷（3）（4月份）班级姓名学号一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.已知全集U={1,2，3，4}，集合A={1,2}，B={2,3}，则∁U(A∪B)=()A. {1,3，4}B. {3,4}C. {3}D. {4}2.已知复数z满足z⋅i2020=1+i2019(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部是()A. −1B. 1C. −iD. i3.设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为()A. 12B. 8C. 4D. 24.若实数x，y满足约束条件{x+y≤2,2x−y≥1,y≥−1,则z=x+2y的最大值为()A. −2B. −1C. 1D. 35.若a，b，c是△ABC的三条边，则“a2+b2+c2=ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.现有四个函数①y=x|sinx|，②y=xcos|x|，③y=x2e x，④y=xln|x|的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()A. ①④②③B. ①④③②C. ③②④①D. ③④②①7.若x∈(0,π2)，y∈(0,π2)且sin2x=6tan(x−y)cos2x，则x+y的取值不可能是()A. π6B. π4C. 2π3D. 3π48. 已知函数f(x)={|x 3−4x −1|(x ≥0)x −1(x <0)，若关于x 的方程f(x)=a(x +3)恰有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A. [1,√2)B. [0,1)C. [13,√2)D. [13,1)9. 设l 1，l 2是平面α内所成角为π6的两条直线，过l 1，l 2分别作平面β，γ，且锐二面角α−l 1−β的大小为π4，锐二面角α−l 2−γ的大小为π3，则平面β，γ所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是( )A. √36B. √28C. 14D. 1310. 如图，椭圆C ：x 24+y 23=1，P 是直线x =−4上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB 与OP 交于点M ，则sin∠PMB 的最小值是( )A. 4√37B. 8√6565C. 7√210D. √32二、填空题（本大题共7小题，共36分,单空题每题4分，多空题每题6分） 11. 设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的其中一条渐近线交于点P(不同于O)，若双曲线C 右支上存在点M 满足PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为______． 12. 已知函数f(x)=3⋅(12)|x−a|，函数g(x)=−x 2+2x ，记m(x)=min{f(x),g(x)}，其中min{p,q}表示实数p ，q 中较小的数.若对∀x ∈R 都有m(x)≤34成立，则实数a 的取值范围是______ ．13. 已知扇环如图所示，∠AOB =120°，OA =2，OA′=12，P 是扇环边界上一动点，且满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +y 的取值范围为______ ．14. 若二项式(ax 2+√x )5的展开式中常数项为10，则常数项的二项式系数为，展开式的所有有理项中最大的系数为．15.我国南北朝时期一部数学著作《张丘建算经》卷中，第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈.”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”则每天增加的数量为______ 尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17=______ ．16.已知甲盒中仅有2个红球，乙盒中有3个红球和3个蓝球，先从乙盒中任取(无放回，且每球取到的机会均等)2个球放入甲盒中，再从甲盒中任取(无放回)2个球，若记X为甲盒中取到红球的个数，则P(X=0)=______ ；随机变量X的数学期望E(X)=______ ．17.若不等式|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[−1,1]上恒成立，则|a|+|b|+|c|的最大值是______ ，若|ax2+bx+c|≤1对于∀x∈[0,1]上恒成立，则2|a|+3|b|+4|c|的最大值是______ ．四、解答题（本大题共5小题，共74分）18.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足2cos(A−C)=4sinAsinC−1．(Ⅰ)若b=√3a，求角A；(Ⅱ)若a+c=3，b=√3，求△ABC的面积S．19.矩形ABCD中，AB=3，AD=2，E、F分别为线段CD、AB上的点，且BFBA =CECD=13，现将△ADE沿AE翻折成四棱锥P−ABCE，且二面角P−AE−B的大小为2π3．(1)证明：AE⊥PF；(2)求直线PB与平面PAE所成角的正弦值．20.已知正项数列{a n}，满足2√S n=a n+1，其中S n为{a n}的前n项和．(1)求{a n}的通项公式；(2)已知数列b n=(−1)n+1⋅a n+1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n，并求出满足T n≥m2+m5对n∈N∗恒成立时，实数m的取值范围．21.已知抛物线M：y2=4x，A、B为抛物线M上不同的两点，线段AB的垂直平分线与抛物线M的一个交点为C，交直线AB于点D．(1)若D(1,1)，求直线AB的方程；(2)若AB=2CD，求△ABC面积的最小值．22.已知函数f(x)=e ax ln(x+1)，g(x)=lnx+2x−a，其中a∈R．(Ⅰ)若函数y=f(x)的图象与直线y=x在第一象限有交点，求a的取值范围．(Ⅱ)当a<2时，若y=g(x)有两个零点x1，x2，求证：4<x1+x2<3e−2．答案和解析一．选择题1. D2. A3.C4.D5.A6.C7.C8.D9.B10. A二.填空题11. √2 12.(−∞,−32]∪[72,+∞) 13.[14,2√213] 14.【答案】5 ;8015.【答案】1629 52 16.【答案】130 32 17.【答案】5 265三.解答题18.【答案】解：(Ⅰ)∴A =π6．(Ⅱ)∴S △ABC =12acsinB =12×2×√32=√32．19.【答案】(1)证明：略 (2)∴直线PB 与平面PAE 所成角的正弦值为3√1520． 20.【答案】解：(1)a n =1+2(n −1)=2n −1；(2)T n ={12(1−12n+1),n 为偶数12(1+12n+1),n 为奇数；满足T n ≥m 2+m5对n ∈N ∗恒成立，可得m 2+m 5≤25，解得−2≤m ≤1．21.【答案】解：(1)直线AB 的方程为y =2x −1；(2)三角形ABC 的面积为S =12|AC||BC|=12|BC|2 =8(√1+k 2)2|k +t|2=8(1+k 2)(1+k 2)2k 2(k+1)(1+k 2)2k 2(k+1)2≥8(2k)2(k+1)22k 2(k+1)2=16，当且仅当k =1时取等号，此时三角形ABC 的面积的最小值为16． 23. 【答案】解：(Ⅰ) a 的取值范围是(0,12).(Ⅱ)略详细答案在后面1.【答案】D【解析】解：∵A ={1,2}，B ={2,3}， ∴A ∪B ={1,2，3}， ∵全集U ={1,2，3，4}， ∴∁U (A ∪B)={4}．根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵i4=1，∴i2020=i4×505=1，i2019=i4×504+3=−i，则z⋅i2020=1+i2019化为z=1−i，∴z的虚部为−1．故选：A．由虚数单位i的运算性质可得z=1−i，则答案可求．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是高为2的三棱锥，且底面三角形的底边长为4，高为3；所以该几何体的体积为V三棱锥=13×(12×4×3)×2=4．故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体是高为2的三棱锥，结合图中数据求出该三棱锥的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．4.【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=−12x+12z，平移直线y=−12x+12z由图象可知当直线y=−12x+12z经过点A时，直线y=−12x+12z的截距最大，由{x +y =22x −y =1，解得A(1,1)，此时z =1+2×1=3，故选：D ．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：若“△ABC 是等腰三角形”，则当a =b ≠c ，则a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca 不一定成立，若a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，则2a 2+2b 2+2c 2=2ab +2bc +2ca ，即(a −b)2+(b −c)2+(c −a)2=0，即a −b =0，b −c =0，c −a =0，则a =b =c ，则“△ABC 是等腰三角形”成立，即“a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ”是“△ABC 是等腰三角形”充分不必要条件，故选：A ．根据充分条件和必要条件的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等腰三角形的性质是解决本题的关键．比较基础．6.【答案】C【解析】解：①y =x|sinx|满足f(−x)=−f(x)，函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，当x >0时，f(x)≥0，定对应第四个图象， ③y =x 2e ≥0恒成立，对应第一个图象，④y =xln|x|的定义域为{x|x ≠0}，函数为奇函数，图象关于原点对称，对应第三个图象，②y =xcos|x|，满足f(−x)=−f(x)，函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，对应第二个图象，则C 正确，故选：C ．分别根据函数的奇偶性，对称性，以及函数符号，分别进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，对称性，以及函数值的符号是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】C【解析】【分析】设tan(x−y)=u，则tan2x=6tan(x−y)=6u，求得w=tan(x+y)=5u1+6u2，利用基本不等式可得|tan(x+y)|≤5√612<√3，结合x+y∈(0,π)，可得x+y的取值不可能为2π3．本题主要考查两角和差的正切公式、基本不等式的应用，解三角不等式，属于中档题．【解答】解：由sin2x=6tan(x−y)cos2x，得tan2x=6tan(x−y)，∵x∈(0,π2)，y∈(0,π2)，∴0<x+y<π．设tan(x−y)=u，x−y∈(−π2,π2)，则u的值域是R，∵tan2x=6tan(x−y)=6u，∴tan(x+y)=tan[2x−(x−y)]=tan2x−tan(x−y)1+tan2xtan(x−y)=6u−u1+6u2=5u1+6u2，记为w=tan(x+y)=5u1+6u2．∵|w|=5|u|1+6|u|2=51|u|+6|u|≤26=5√612，当且仅当|u|=√66时，取等号．∴|tan(x+y)|≤5√612<√3，结合x+y∈(0,π)，可得x+y的取值不可能为2π3．故选：C．8.【答案】D【解析】解：设g(x)=x3−4x−1(x>0)，g′(x)=3x2−4，当x∈(0,2√33)时，g(x)单调递减，当x∈(2√33,+∞)时，g(x)单调递增，直线y=a(x+3)与f(x)在x<0处有一个交点，在(2√33,+∞)处有一个交点，故在(0,2√33)处需2个交点，直线经过(0,1)点时a=13，当直线与y=−x3+4x+1相切于(1,4)时，a=1，故选：D．设g(x)=x3−4x−1(x>0)，g′(x)=3x2−4，判断函数的单调性，通过数形结合推出选项即可．本题考查函数与方程，考查考生用导数研究三次函数的图象和性质，导数的几何意义，函数的零点等知识，考查考生用数形结合方法解决问题的能力，属于难题．9.【答案】B【解析】解：如图，平面α为平面ABC，直线l1为直线AB，直线l2为直线AC，由题意得∠BAC=π6，过l1作平面β为平面ABP，过l2作平面γ为平面ACP，过点P向平面α作垂线，垂足为O，再由点O作OB⊥AB，OC⊥AC，连接PB，PC，锐二面角α−l1−β的大小为π4，即∠PBO=π4，同理可知∠PCO=π3，设CO=1，则PO=BO=√3，PC=2，PB=√6，在三角形△DAC中，∠BDO=π3，DB=1，DO=2，所以AC=3√3，AD=6，AB=5，PA=√31，过点C作CM⊥AP，所以高线CM=AC⋅PCPA =√3√31，∵AB⊥OB，AB⊥PO，OB∩OP=O，∴AB⊥面POB，又AB⊂面PAB，∴面PAB⊥面POB，过点O作OH⊥PB，则OH⊥面PAB，∴O到面PAB的距离OH=d1=OP⋅OBPB =√62，∴C到面PAB的距离为d2=32d1=3√64，记平面β，γ所成的角为θ，则sinθ=d2CM =3√646√3√31=√628，所以cosθ=√28．故选：B．作出图形，在γ内取一点C，计算C到平面β的距离和C到β与γ的交线的距离，从而可计算出二面角的大小．本题考查二面角计算，作出相应的图形和二面角是解题的难点，属于难题．10.【答案】A【解析】解：设A(x1,y1)，若A在椭圆的上半部，则y=√3⋅√1−x24，则y′=√3⋅(−x2)2√1−4=√3x4√1−4，A在椭圆上，x124+y123=1，y′|x=x1=√3x14√1−124=−3x14y1，所以过A的点的切线方程：y−y1=−3x14y1(x−x1)，即3x1x+4y1y=3x12+4y12=12，即x1x4+y1y3=1，同理可得A在椭圆的下半部分时，过A的点的切线方程为x1x4+y1y3=1，A为左右顶点时，切线方程也是x1x4+y1y3=1，综上所述：在A处的切线方程：x1x4+y1y3=1，设B(x2,y2)，同理可得在B处的切线方程为：x2x4+y2y3=1，P在x=−4上，设P(−4,m)，因为两条直线投过P，所以{−x1+y1m3=1−x2+y2m3=1，所以直线AB 的方程为：−x +my 3=1，可得直线AB 恒过定点(−1,0)，该直线AB 过椭圆的右焦点F ，直线OP 的方程为：y =−m4x ，则{−x +my3=1y =−m4x解得：{x =−1212+m 2y =3m 12+m2，即M(−1212+m 2,3m 12+m 2)， k AB =3m ，k PF =m−4−(−1)=−m3，所以k AB ⋅k PF =−1，所以AB ⊥PF ， |PF|=√9+m 2，|PM|=√(1212+m 2−4)2+(m −3m12+m 2)2=(9+m 2)√16+m 212+m 2，所以sin∠PMB =|PF||PM|=12+m 2√(9+m 2)(16+m 2)=√(12+m 2)2(9+m 2)(16+m 2)=√m 4+24m 2+144m 4+25m 2+144=√11+m 2m 4+24m 2+144=√11+1m 2+144m2+24≥√11+12√144+24=4√37，当且仅当m 2=144m 2，即m =±2√3，故选：A ．设A 在椭圆的上半部分时，由椭圆的方程求出A 的横坐标表示的纵坐标的函数，求导可得在A 处的切线的斜率，进而求出在A 处的切线的方程，可得A 在椭圆的任何处都一样的切线的方程，同理可得在B 处的切线方程，由P 在两条切线上，可得直线AB 的方程，进而可得直线AB 恒过定点为椭圆的左焦点F ，求出PF 的斜率可得，直线AB ⊥PF ，进而可得sin∠PMB =|PF||PM|，求出|PF|，|PM|的表达式，可得之比的表达式，由均值不等式可得其最小值．本题考查椭圆的性质，求导的方法求在椭圆上的点的切线的方程，再由点在两条切线上进而求出直线的方程，均值不等式的应用，属于中难题．11.【答案】√2【解析】解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：y =ba x ，即bx −ay =0，右焦点F(c,0)，所以F 到渐近线的距离d =√a 2+b 2=bc c=b ，在直角三角形OPF 中可得|OP|=√OF 2−d 2=√c 2−b 2=a ，所以|OP|=a ，|PF|=b ，所以可求得P(a 2c,abc)，F(c,0)，因为PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可得M 为P ，F 的中点，所以M(a2+c 22c,ab 2c)，把M 代入双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，可得(a 2+c 2)24a 2c 2−a 2b 24b 2c 2=1，整理可得c 2=2a 2，所以e =√2．故答案为：√2．由题意如图所示设渐近线的方程，可得|OP|的值，P 在渐近线上可得P 的坐标，再由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可得M 为PF 的中点，将M 的坐标代入双曲线的方程，可得a ，c 的关系，进而求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质及由向量的关系得点的坐标的关系，属于中档题．12.【答案】(−∞,−32]∪[72,+∞)【解析】解：对∀x ∈R 都有m(x)≤34成立，又g(x)=−x 2+2x ，且在(−∞,12]∪[32,+∞)内，g(x)≤34．故有x ∈(12,32)，f(x)≤g(x)且f(x)≤34，则f(x)=3⋅(12)|x−a|≤34，即为(12)|x−a|≤14，即有|x −a|≥2，即为a ≤x −2或a ≥x +2恒成立，则a ≤12−2=−32或a ≥32+2=72，故答案为：(−∞,−32]∪[72,+∞)．首先考虑g(x)≤34的解集，可得x ∈(12,32)，f(x)≤g(x)且f(x)≤34，结合指数函数的单调性和绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义函数的理解和应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】[14,2√213] 【解析】解：记OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈[0,2π3].设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为直角坐标系的x 轴．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(rcosθ,rsinθ)(12≤r ≤2)，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，代入OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得有(rcosθ,rsinθ)=(2x,0)+(−y,√3y)， ⇒rcosθ=2x −y ，rsinθ=√3y ，故2x +y =rcosθ+√3=r(√3+cosθ)3+cosθ=√213(sinθ7+cosθ×√37)=√213sin(θ+β)，其中cosβ=√7，sinβ=√3√7．又∵θ∈[0,2π3]．√213sin(θ+β)可以取到最大值√213，当θ=0时．√3+cosθ=1，当θ=1200时．√3+cosθ=12． ∴√3+cosθ∈[12,√213]， 12r ≤2x +y ≤√213r.∵12≤r ≤2，∴14≤2x +y ≤2√213故答案为：[14,2√213]记OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈[0,2π3].设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为直角坐标系的x 轴．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(rcosθ,rsinθ)(12≤r ≤2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，代入OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得有(rcosθ,rsinθ)=(2x,0)+(−y,√3y)， ⇒rcosθ=2x −y ，rsinθ=√3y ，故2x +y =rcosθ+√3=r(√3+cosθ)，运用三角函数的知识求解．本题考查了向量的基本定义即三角恒等变形、函数性质，属于压轴题．14.【答案】5 ;80【解析】解：二项式(ax 2+x )5的通项公式为T r+1=C 5r a 5−r x10−52r ，令10−52r =0，解得r =4，所以常数项C 54a 5−4=10得a =2，则常数项的二项式系数为C 54=5，所以该二项式的通项公式为T r+1=C 5r 25−r x10−52r ，由10−52r ∈Z ，0≤r ≤5，r ∈N ．可得r =0，2或4，因此展开式中的所有有理项为T 1，T 3，T 5，其中最大的系数为C 5223=80．故答案为：5，80．利用展开式的通项公式可得展开式中的常数项，即可求出a 的值，可得常数项的二项式系数，再求出展开式中的所有有理项为T 1，T 3，T 5，即可求出最大的系数．本题考查了二项式的展开式的通项公式及其性质、方程的解法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】1629 52【解析】解：依题意等差数列的前30项和为390，首项a 1=5，设公差为d ，所以S 30=30×5+30×292×d =390，解得d =1629，所以a 14+a 15+a 16+a 17═4a 1+58d =20+32=52．故填：1629，52．等差数列的前30项和为390，首项a 1=5，设公差为d ，代入等差数列的前n 项和公式，求出d ，再求S n ，a 14+a 15+a 16+a 17=4a 1+58d ．本题考查等差数列的前n 项和公式，等差数列的通项公式，考查计算能力，分析解决问题的能力．属于基础题．16.【答案】130 32【解析】解：由题意可得P(X =0)=C 32C 62×C 22C 42=315×16=130；随机变量X 的取值为0，1，2， P(X =0)=130， P(X =1)=C 32C 62×C 21C 21C 42+C 31C 31C 62×C 31C 11C 42=1330，P(X =2)=C 32C 62×C 22C 42+C 31C 31C 62×C 32C 42+C 32C 62×1=1630，所以期望E(X)=0×130+1×1330+2×1630=32．故答案为：130，32．由古典概型的概率公式可以直接计算，随机变量的取值可以是0，1，2，算出对应的概率即可解出．本题考查了统计与概率，古典概型概率的计算，数学期望，属于基础题．17.【答案】5 265【解析】解：对第一问，不等式|ax 2+bx +c|≤1对于∀x ∈[−1,1]上恒成立，可得x =0时，|c|≤1①，x =−1时，|a −b +c|≤1，② x =1时，|a +b +c|≤1，③ ①②相加可得|a −b +c|+|c|≤2，又|a −b +c|+|c|≥|a −b|，即为|a −b|≤2， ①③相加可得|a +b +c|+|c|≤2，又|a +b +c|+|c|≥|a +b|，即为|a +b|≤2，则|a −b|+|a +b|≤4，又|a −b|+|a +b|≥2|a|，则|a|≤2；由|a −b|+|a +b|≥2|b|，则|b|≤2；可得|a|+|b|+|c|≤5，即|a|+|b|+|c|的最大值为5；对第二问，若|ax 2+bx +c|≤1对于∀x ∈[0,1]上恒成立，当x =0时，|c|≤1， x =1时，|a +b +c|≤1，① x =12时，|a4+b2+c|≤1，②，x =13时，|a9+b3+c|≤1，③ 由①②相加可得|a +b +c|+|a4+b2+c|≤2，由|a +b +c|+|a4+b2+c|≥|3a 4+b2|，即|3a +2b|≤8，可得−8≤3|a|−2|b|≤8，④由①③相加可得|a +b +c|+|a9+b3+c|≤2，由|a +b +c|+|a9+b3+c||≥|8a 9+2b 3|，即|4a +3b|≤9，可得−9≤4|a|−3|b|≤9，⑤由2|a|+3|b|=18(3|a|−2|b|)−13(4|a|−3|b|)，可得2|a|+3|b|≤8×18+9×13=261，则2|a|+3|b|+4|c|的最大值为265．故答案为：5，265．对第一问，可令x =0，x =−1，x =1，得到绝对值不等式，通过绝对值的性质和可加性，可得所求最大值；对第二问，可令x =0，x =1，x =12，x =13，通过绝对值不等式的性质和可加性，化简变形可得所求最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，考查绝对值不等式的性质和不等式的可加性，考查化简运算求解能力，以及推理能力，属于难题．18.【答案】解：(Ⅰ)由2cos(A −C)=4sinAsinC −1，∴2cosAcosC +2sinAsinC =4sinAsinC −1，∴2cosAcosC −2sinAsinC =−1∴cos(A +C)=−12， ∴cosB =12，∵0<B<π，∴B=π3，由正弦定理可知asinA =bsinB，即sinA=12，∵0<A<π，∴A=π6或A=5π6，∵b=√3a，即b>a，∴B>A∴A=π6．(Ⅱ)由余弦定理可知b2=a2+c2−2accosB，即a2+c2=3+ac，从而(a+c)2=3+3ac，可得ac=2，∴S△ABC=12acsinB=12×2×√32=√32．【解析】(Ⅰ)根据两角和差的余弦公式，结合正弦定理即可求出；(Ⅱ)根据余弦定理可得到ac=2，根据面积公式即可求出．本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，考查了运算求解能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：由题意在矩形ABCD中AB=3，AD=2，BFBA =CECD=13，∴四边形ADEF为边长为2的正方形．连结DF，交AE于点M，如图：则AE⊥DF，且PM=MF=√2．在四棱锥P−ABCE中，AE⊥PM，AE⊥MF，∴AE⊥面PMF，又PF⊂面PMF，∴AE⊥PF．(2)解：设点F到平面PAE的距离为d1，点B到平面PAE的距离为d，由(1)∠PMF就是二面角P−AE−B的平面角，∴∠PMF=2π3．∵AE ⊥面PMF ，∴面PMF ⊥面PAE ，过F 作FH ⊥PM 于H ，∵面PMF ∩面PAE =PM ，∴FH ⊥面PAE ．又∵在△PMF 中，PM =MF =√2，∴∠FPM =π6，PF =√6， ∴d 1=FH =12PF =√62，∵AF AB =23，∴d =32d 1=3√64．由题意可得PB =√10，∴sinθ=d PB=3√1520，∴直线PB 与平面PAE 所成角的正弦值为3√1520．【解析】(1)说明四边形ADEF 为边长为2的正方形．连结DF ，交AE 于点M ，画出图形，说明AE ⊥DF ，推出AE ⊥PM ，AE ⊥MF ，证明AE ⊥面PMF ，然后证明AE ⊥PF (2)设点F 到平面PAE 的距离为d 1，点B 到平面PAE 的距离为d ，∠PMF 就是二面角P −AE −B 的平面角，过F 作FH ⊥PM 于H ，推出FH ⊥面PAE.然后求解直线PB 与平面PAE 所成角的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角以及直线与平面所成角的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)正项数列{a n }前n 项和为S n ，且S n =(1+a n )24(n ∈N ∗)，可得a 1=S 1=(1+a 1)24，解得a 1=1，n ≥2时，4S n−1=(1+a n−1)2，又4S n =(1+a n )2，两式相减可得4a n =4S n −4S n−1=(1+a n )2−(1+a n−1)2，化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，由a n >0，可得a n −a n−1=2，则a n =1+2(n −1)=2n −1； (2)b n =(−1)n+1⋅a n +1an a n+1=(−1)n+1⋅2n(2n−1)(2n+1)=(−1)n+12(12n−1+12n+1)，当n 为奇数时，T n =12(1+13−13−15+15+⋯−12n−3−12n−1+12n−1+12n+1)=12(1+12n+1)，可得此时T n >12；同理可得当n 为偶数时，T n =12(1−12n+1)，由T n 递增，可得T n ≥T 2=25， T n ={12(1−12n+1),n 为偶数12(1+12n+1),n 为奇数；满足T n ≥m 2+m 5对n ∈N ∗恒成立，可得m 2+m 5≤25，解得−2≤m ≤1．【解析】(1)应用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1；n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简结合等差数列的定义、通项公式可得所求； (2)求得b n =(−1)n+1⋅a n +1an a n+1=(−1)n+1⋅2n(2n−1)(2n+1)=(−1)n+12(12n−1+12n+1)，讨论n 为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，可得所求和，由单调性可得最小值，结合不等式恒成立思想可得所求范围．本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)设直线AB 的方程为：y −1=k(x −1)(k ≠0)，即y =kx +1−k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程{y =kx +1−ky 2=4x，消去x 整理可得：y 2−4k y +4k −4=0，所以y 1+y 2=4k =2，解得k =2，所以直线AB 的方程为y =2x −1；(2)设C(t 2,2t)(t >0)，则可设直线AC 的方程为：y −2t =k(x −t 2)，不妨设k >0，联立方程{y −2t =k(x −t 2)y 2=4x ，消去x 整理可得：y 2−4k y +8t k−4t 2=0，则y 1+2t =4k，y 1⋅2t =8t k−4t 2，所以|AC|=√1+1 k 2⋅|y 1−2t|=4√1+1k 2|1k −t|，由题知AC ⊥BC ，AC =BC ，所以k BC =−1 k ，同理可得|BC|=4√1+k 2(k +t)，(t >0,k >0)，由|AC|=|BC|，解得t =1−k 3k 2+k，故三角形ABC 的面积为S =12|AC||BC|=12|BC|2 =8(√1+k 2)2|k +t|2=8(1+k 2)(1+k 2)2k 2(k+1)(1+k 2)2k 2(k+1)2≥8(2k)2(k+1)22k 2(k+1)2=16，当且仅当k =1时取等号，此时三角形ABC 的面积的最小值为16．【解析】(1)由题意设出直线AB 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理即可求出直线AB 的斜率，进而可以求解；(2)设出点C 的坐标，根据点C 的坐标设出直线AC 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求出|AC|，再由AC 于BC 垂直得出直线BC 的斜率，讨论求出|BC|，利用AC =BC 求出直线AC 的斜率与点C 的坐标的关系，然后求出三角形ABC 的面积，化简后利用基本不等式求出最值．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了直线方程的求解以及弦长公式的应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)设g(x)=f(x)−x=e ax ln(x+1)−x，则由题设知，方程g(x)=0，在(0,+∞)有解，而g′(x)=f′(x)−1=e ax[aln(x+1)+1x+1]−1=e ax F(x)−1．设ℎ(x)=e ax F(x)−1，则ℎ′(x)=e ax[aF(x)+F′(x)]=e ax[a2ln(x+1)+2ax+2a−1(x+1)2].①若a≤0，由x>0可知0<e ax≤1，且F(x)=aln(x+1)+1x+1≤1x+1<1，从而g′(x)=e ax F(x)−1<0，即g(x)在(0,+∞)上单调递减，从而g(x)<g(0)=0恒成立，因而方程g(x)=0在(0,+∞)上无解．②若0<a<12，则ℎ′(0)=2a−1(x+1)2<0，又x→+∞时，ℎ′(x)→+∞，因此ℎ′(x)=0，在(0,+∞)上必存在实根，设最小的正实根为x0，由函数的连续性可知，x∈(0,x0)上恒有ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，也即g′(x)<0，在(0,x0)上单调递减，从而在(0,x0)上恒有g′(x)<g′(0)=0，因而g(x)在(0,x0)上单调递减，故在(0,x0)上恒有g(x)<g(0)=0，即g(x0)<0，注意到e ax>ax，因此g(x)=e ax ln(x+1)−x>axln(x+1)−x=x[aln(x+1)−1]，令x=e1a时，则有g(x)>0，由零点的存在性定理可知函数y=g(x)在(x,e1a)上有零点，符合题意．③若a≥12时，则由x>0可知，ℎ′(x)>0恒成立，从而ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，也即g′(x)在(0,+∞)上单调递增，从而g(x)>g(0)=0恒成立，故方程g(x)=0在(0,+∞)上无解．综上可知，a的取值范围是(0,12).(Ⅱ)因为f(x)有两个零点，所以f(2)<0，即ln2+1−a<0⇒a>1+ln2，设0<x1<2<x2，则要证x1+x2>4⇔4−x1<x2，因为2<4−x1<4，x2>2，又因为f(x)在(2,+∞)上单调递增，所以只要证明f(4−x1)<f(x2)=f(x1)=0，设g(x)=f(x)−f(4−x)(0<x<2)，则g′(x)=f′(x)−f′(4−x)=x−2x2+4−x−2(4−x)2=−8(x−2)2x2(4−x)2<0，所以g(x)在(0,2)上单调递减，g(x)>g(2)=0，所以x 1+x 2>4，因为f(x)有两个零点，x 1，x 2，所以f(x 1)=f(x 2)=0，方程f(x)=0即ax −2−xlnx =0构造函数ℎ(x)=ax −2−xlnx ，则ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0，ℎ′(x)=a −1−lnx ，ℎ′(x)=0⇒x =e a−1，记p =e a−1>2(a >1+ln2)，则ℎ(x)在(0,p)上单调递增，在(p,+∞)上单调递减，所以ℎ(p)>0，且x 1<p <x 2，设R(x)=lnx −2(x−p)x+p−lnp ，R′(x)=1x −4p (x+p)2=(x−p)2x(x+p)2>0，所以R(x)递增，当x >p 时，R(x)>R(p)=0，当0<x <p 时，R(x)<R(p)=0，所以ax 1−2=x 1lnx 1<2x 1(x 1−p)x 1+p+x 1lnp ，即(ax 1−2)(x 1+p)<2x 12−2px 1+x 12lnp +x 1plnp ，(2+lnp −a)x 12+(2−ap −2p +plnp)x 1+2p >0，(p =e a−1,lnp =a −1)，∖ 所以x 12+(2−3e a−1)x 1+2e a−1>0，同理x 22+(2−3e a−1)x 2+2e a−1<0，所以x 12+(2−3e a−1)x 1+2e a−1<x 12+(2−3e a−1)x 1+2e a−1，所以(x 2−x 1)[x 2+x 1+(2−3e a−1)]<0，所以x 2+x 1<−2+3e a−1，由a <2得：x 1+x 2<−2+3e a−1<3e −2，综上：4<x 1+x 2<3e −2．【解析】(Ⅰ)根据题意设g(x)=f(x)−x =e ax ln(x +1)−x ，问题转化为方程g(x)=0，在(0,+∞)有解，求导，分类讨论①若a ≤0，②若0<a <12，③若a ≥12时，分析单调性，进而得出结论．(Ⅱ)运用分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，关键是运用分类讨论，构造函数的思想去解决问题，属于难题．。

浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷(全国I卷)数学试题(一)

一、单选题二、多选题1.设是数列的前n项和，若，则（）A ．4045B ．4043C ．4041D ．20212. 已知集合，，则（）A．B．C．D．3. 函数（），当时，的值域为，则的范围为（）A．B．C．D．4.不等式的解集为（）A．B．C．D．5.在平行四边形中，，则（）A．B．C．D．6. 下列不等式一定成立的是( )A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则7. 陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：（其中为样本距今年代，为现代活体中碳14放射性丰度，为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度，该人类骨骼碳14放射性丰度，则该骨骼化石距今的年份大约为（）（附：，，）A ．3353B ．3997C ．4125D ．43878. 已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9.已知函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A ．的图象与轴有两个交点B．C ．若，则D ．若，，，，，，则最大10. 已知函数，则（）A．的定义域为B．是偶函数C．函数的零点为0D ．当时，的最大值为浙江省名校联盟2024届高三上学期9月新高考研究卷(全国I卷)数学试题(一)三、填空题四、解答题11. 已知函数，则（）A．函数的最小正周期为B ．点是函数图象的一个对称中心C ．函数在区间上单调递减D ．函数的最大值为112.四棱锥的三视图如图所示，平面过点且与侧棱垂直，则（）A．该四棱锥的表面积为B．该四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为C ．平面截该四棱锥所得的截面面积为D ．平面将该四棱锥分成上下两部分的体积比为13. 双曲线的左焦点为，过点作斜率为的直线与轴及双曲线的右支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为__．14. 函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a 的取值范围为__________．15.已知函数，若，且，则实数的取值范围是__________．16. 杭州第19届亚运会又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．某高校部分学生十分关注杭州亚运会赛事的发展，若将累计关注杭州亚运会赛事的消息50次及以上者称为“亚运会达人”，未达到50次者称为“非亚运会达人”．现从该校随机抽取100名学生进行分析，得到数据如表所示．亚运会达人非亚运会达人合计男生40女生44合计100已知从样本“亚运会达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男女比例是．(1)根据已知条件，求表中a ，b ，c ，d ，m ，n 的值；(2)通过计算判断是否有的把握认为该校学生是否为“亚运会达人”与性别有关．附：．0.0500.0100.0053.8 416.6357.87917. 已知等差数列的前项和为，，.(1)求及；(2)若，求数列的前项和.18. 已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)若，求函数的单调区间；(2)若，求证：，．19. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对于任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．20. 已知数列满足．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．21. 2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如下表：一分钟跳绳个数得分1617181920（1）若每分钟跳绳成绩为16分，则认为该学生跳绳成绩不合格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不合格的人数为多少？（2）学校决定由这次跳绳测试得分最高的学生组成“小小教练员”团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率.。

解析2021届浙江省高三4月份高考模拟(九)数学试卷

绝密★启用前2021届浙江省高三4月份高考模拟（九）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}3|0log 9B x x =≤≤，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋂⋂=（）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,4答案：A化简集合A ､B ､C ，根据交集的定义计算即可.解：集合{}{}2|20|02A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}{}993333|0log 9|1log log log 3|13B x x x x x x =≤≤=≤≤=≤≤，{}{}|20,2,4,6,C x x n n N ==∈=，，所以{}|12A B x x ⋂=≤≤，则(){}2A B C ⋂⋂=. 故选：A.2．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D 先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限.解：由()()212z i i -⋅+=得：()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， ∴1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限，故选：D ．3．如果点(),P x y 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，则12y x +-的取值范围是（）A ．12,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．12,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：A作出不等式组对应的平面区域，利用12y x +-的几何意义，通过数形结合即可的得到结论. 解：如图，先作出点()P x y ，所在的平面区域.12y x +-表示动点P 与定点()21Q -，连线的斜率. 联立21020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩.于是11011212123QE QF k k ++==-==----，. 因此11223y x +-≤≤--. 故选：A.4．条件p ：2450x x --<是条件q ：2650x x ++>的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分又非必要条件答案：A分别解不等式化简命题，利用充分不必要条件的定义求解即可．解：p ：由2450x x --<，解得：15x -<<， q ：由2650x x ++>，解得：1x >-或5x <-，由p q ⇒，而q 推不出p ，p ∴是q 的充分不必要条件，故选：A. 5．函数()2x xxf x e e -=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A先判断函数的奇偶性，再考虑x →+∞时，()f x 的取值情况，即可作出选择. 解：()()2x xxf x f x e e---==-∴+，函数()f x 为奇函数，排除选项B 和C ，当x →+∞时，x e 比x 增长的快，()0f x ∴→，排除选项D ，故选：A.6．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（）A ．32B ．3C ．10 D ．2答案：C先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A 作AM⊥BD 于点M,连结MC ，把AC 放在直角三角形AMC 中解AC.解：根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD⊥平面CBD ，过A 作AM⊥BD 于点M,连结MC,则AM⊥平面CBD ， ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN⊥BD 于点N,在直角三角形ABD 中，AB=1，3222BD AB AD =+=所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，则在直角三角形ABM 中，AB=1，∠ABM=60°，∴13,2BM AM ==同理，在直角三角形CBD 中，13,22DN CN ==. ∴MN=BD -BM-DN=112122--=,∴2CM ===在直角三角形AMC 中，AC ===故选：C点评：(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段. 7．已知直线l 过第一象限的点(),m n 和()1,5，直线l 的倾斜角为135︒，则14m n +的最小值为（） A ．4 B ．9C ．23D ．32答案：D由题得6(0,0)m n m n +=>>，再利用基本不等式求解. 解：由题得5tan1351,6(0,0)1n m n m n m -==-∴+=>>-，所以141141413()()(5)(56662n m m n m n m n m n +=++=++≥+=. 当且仅当2,4m n ==时取等. 所以14m n +的最小值为32. 故选：D点评：关键点睛：解答本题的关键在于“拼凑”化简14114()()6m n m n m n+=++，再利用基本不等式求解. 8．设10a <<，随机变量ξ的分布列为那么，当a 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D ξ的变化是（） A ．减小B ．增大C ．先减小后增大D ．先增大后减小答案：B先利用期望公式求得()()2,ξξE E ，然后再利用()()()22D E E ξξξ=-求解.解：因为()()113221E a a a ξ=⨯-+⨯=+，()()21134215E a a a ξ=⨯-+⨯=+，所以()()()()()22223915124D E E a a a ξξξ⎛⎫=-=+-+=--+ ⎪⎝⎭，当103a <<时，()D ξ单调递增．故选：B ．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．如图，在ABC 中，1,22,4AB BC B π===，将ABC 绕边AB 翻转至ABP △，使平面ABP ⊥平面ABC ，D 是BC 的中点，设Q 是线段PA 的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 等于（）A 5B ．355C 25D 25答案：C由题意可将三棱锥P ABC -放在棱长为2的正方体中如图所示，当//DQ PG 时，PC 与DQ 所成的角取得最小值，利用相似计算得到答案.解：由题意可将三棱锥P ABC -放在棱长为2的正方体中如图所示，延长AD 交正方体的棱于点E ，连接EF ，则,A E 均为其所在正方体棱上的中点，过点C 作EF 的垂线CG ，垂足为点G ，则AD ⊥平CEF ，所以AD CG ⊥，又因为EF CG ⊥，AD EF E =，所以CG ⊥平面PAEF ，则PG 为PC 在平面PAEF 内的投影，则当//DQ PG 时，PC 与DQ 所成的角取得最小值，此时由//,//AQ FG AD PF 得ADQFPG △△，则AQ ADFG FP=，在Rt FCE 中，易得45FG =，所以4512552AD FG AQ FP ⨯⋅===. 故选：C ．点评：本题考查了异面直线夹角的最值，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥放在棱长为2的正方体中是解题的关键. 10．已知数列{}n a 满足()*1111,1n n a a a n N n +=->∈+，则（） A ．100ln102a > B ．99ln100a >C ．99ln100a <D ．100ln99a <答案：B根据递推关系111n n a a n +->+，可知122111,,12n n a a a a n --->->-，累加可得()*11112,23n a a n n N n ->+++≥∈，即()*111123n a n N n>++++∈，令()ln(1)(1)f x x x x =+->-，利用导数研究函数的单调性，再结合对数函数的性质，进行求解.解：1111,1n n a a a n +=->+，11221111,,,12n n n n a a a a a a n n ---∴->->->-，11221n n n n a a a a a a ---∴-+-++-()*11112,23n a a n n N n=->+++≥∈，()*111123n a n N n∴++++∈>．令()ln(1)(1)f x x x x =+->-，当0x >时，1()1011xf x x x'=-=-<++，故当0x >时，()(0)0f x f <=，即ln(1)x x +<，111lnln 1n n n n+⎛⎫∴=+< ⎪⎝⎭．又12ln( 1) lnln ln11n nn n n ++=+++-，111123n a n ∴++>++11ln 2ln 1ln 1ln(1)2n n ⎛⎫⎛⎫>+++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以99ln100a >.故选：B点评：本题主要考查数列中的不等式问题，考查累加法的应用，不等式的放缩等知识点，考查化归与转化思想、运算求解能力．二、双空题11．已知函数()sin cos f x x a x ππ=+图象的一条对称轴为16x =，则a =___________，函数()f x 在区间11,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为___________．[1,2]（1）由题可得16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此即可解出a ；（2）可得()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可由11,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出值域. 解：因为函数()f x 的对称轴为16x =，由辅助角公式可得())(tan )f x x a πθθ=+=，所以16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭sincos66a ππ+=即12+=a =所以()sin 2sin 3f x x x x ππππ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭．由11,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得2,363x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin ,132x ππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin [1,2]3x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间11,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]．[1,2].点评：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据对称轴结合辅助角公式得出16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭继而求出a .12．若()4x a+的展开式的常数项为2，则a =___________，所有项系数的绝对值之和是___________. 答案：1 32（1）先写出4的通项公式，再求使x 的次幂为0的r 的值，进而代入求a 的值；（2）将所有项系数的绝对值之和，转化为求()4x a+⋅的各项系数和，再条件利用赋值法求解.解：解：（1）4(x-的通项公式为214(1)rr r r T C x -+=⋅-⋅，当3r =和2r时，()4x a∴+的展开式的常数项为()324412C a C ⨯-+⋅=，则1a =.（2）所有项系数的绝对值之和，即()4x a+⋅的各项系数和，令1x =，可得为()4x a+⋅的各项系数和()41232a +⋅=，故答案为：1；32.点评：由题意利用二项展开式的通项公式，求得a 的值，再通过给x 赋值，可得所有项系数的绝对值之和.13．已知ABC ，120BAC ∠=，BC =AD 为BAC ∠的角平分线，则（i ）ABC 面积的取值范围为______.（ii ）4AB ACAD+的最小值为_____.答案：(9（i ）在ABC 中，由余弦定理可得结合基本不等式可得AB AC ⋅的最大值，再利用三角形面积公式即可求面积的取值范围；（ii ）首先利用ABCABD ACD SS S =+可得bcAD b c=+，所以44AB AC c bbc b cAD++=+ ()()4b c c b bc+=+整理后利用基本不等式即可求最值.解：（i ）在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，即22122AB AC AB AC AB AC AB AC =++⋅≥⋅+⋅，解得：4AB AC ⋅≤，当且仅当AB AC =时等号成立.所以11cos 422ABCSAB AC BAC =⋅∠≤⨯= 所以ABC面积的取值范围为(.（ii ）AD 为BAC ∠的角平分线，120BAC ∠=，所以60BAD CAD ∠=∠=，180ADB ADC ∠+∠=，所以111sin sin sin 222ABCSbc A c AD BAD b AD CAD ==⨯∠+⨯∠，()AD b c =+，所以bc AD b c =+，所以()()224444545b c c b AB AC c b b bc c b c A bc b D bc bc c b c+++++===++++=52952≥=+⨯+=，当且仅当4b cc b=，即2c b =时等号成立.所以4AB ACAD+的最小值为9，故答案为：(；9.点评：关键点点睛：本题解题的关键点是利用面积相等可得bcAD b c =+，所求4AB AC AD+即可用,b c 表示，再利用基本不等式可求最值.14．已知直线:20l mx y +-=与圆22(1)()2x y m -+-=，若2m =，直线l 与圆相交于A ，B 两点，则||AB =__________，若直线l 与圆相切，则实数m =_________．2（1）利用直线与相交的弦长公式，求解；（2）利用圆心到直线的距离d r =，列式求解m 的值. 解：（1）当2m =时，直线:220l x y +-=，圆()()22122x y -+-=，圆心()1,2到直线220x y +-=的距离d ==AB ==；（2）若直线直线l 与圆相切，则圆心()1,m 到直线20mx y +-=的距离d ==得2410m m -+=,解得：2m =.2三、填空题15．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．答案：4根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 解：0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b ==22a b ==时，等号成立. 故答案为：4点评：本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.16．电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有____种.（用数字作答）答案：24不同的放映次序即为4个不同元素的全排列，故可得不同次序的总数. 解：不同的放映次序即为4个不同元素的全排列即为4424A =，故答案为：24. 17．ABC 中，(32)0AB AC BC +⋅=，且对于t R ∈，||BA tBC -最小值为6||5BC ，则BAC ∠=_____.答案：4π 利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，可得到22255b c a -=，化简2BA tBC -，并利用二次函数求最值，求出2BA tBC -的最小值，且使最小值等于23625a ，可得2285c a =，进而得出2295b a =，最后利用余弦定理即可得解. 解：设ABc =，BC a =，AC b =，()32AB AC BC +⋅()()32AB AC AC AB =+⋅-2223b c AC AB =-+⋅2223cos b c bc BAC =-+∠22222232b c a b c +-=-+()320AB AC BC +⋅=，∴222222302b c a b c +--+=，∴22255b c a -=，2BA tBC -2222cos c t a tac B =+-22222222a cbc t a t +-=+-⋅222245a t a t c =-+222224525a t c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∴BA tBC -的最小值为22425c a -， ∴2224362525c a a -=，解得2285c a =，∴2295b a =，22222298cos 22a a a b c a BAC bc +-+-∠===，02BAC π<∠<，∴4BAC π∠=.故答案为：4π. 点评：本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较大. 利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，得出三角形三边的关系是解题的关键.四、解答题18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2tan tan tan B bA B c=+.（1）求角A ；（2）若7a =，5b =，求ABC 的面积. 答案：（1）3π；（2）（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得12cosA =，结合()0πA ∈，，可得A 的值.（2）由已知利用余弦定理可得25240c c --=，解方程可得c 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解.解：1（）由2tan tan tan B b A B c=+及正弦定理可知：sin 2sin cos sin sin sin cos cos BB B A BC A B=+，所以()2sin cos cos sin cos sin sin B A B BB A BC ⋅⋅=+，所以2cos 1A =，即1cos 2A =，又()0πA ∈，，所以3A π=. 2（）由余弦定理2222a b c bccosA =+-，得249255c c =+-，所以25240c c --=，所以8(3c c ==-舍去)，从而1135810322ABC S bcsinA ==⨯⨯⨯=△. 19．在三棱台ABC DEF -中，2,60AB BC DE DAB EBA ∠∠====，平面ABED ⊥平面,.ABC BC BE ⊥（1）求证：平面ABED ⊥平面BCFE ；（2）求直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）4214. （1）过E 作EH AB ⊥于H ，由面面垂直得EH ⊥平面ABC ，从而有EH BC ⊥，再结合已知,BC BE ⊥可得线面垂直后得线线垂直；（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，设2AB =，得出各点坐标，求出平面ABF 的法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值．解：解：（1）过E 作EH AB ⊥于H ，因为面ABED ⊥面ABC ，面ABED ⋂面ABC BC =，所以EH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以EH BC ⊥，又,BC BE ⊥BE EH E =，,BE EH ⊂平面ABED ，所以BC ⊥面ABED ，又BC ⊂平面BCFE 所以平面ABED ⊥平面;BCFE（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，则,,D E F 分别是,,PA PB PC 的中点，PAB △是正三角形，设2AB =，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，()()()13330,1,3,0,2,0,2,0,0,1,,,0,,22P A C F D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()131,1,0,0,2,0,1,,2DF BA BF ⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭设平面ABF 的法向量为,,,nx y z由00n AB n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，有01302y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令2z =得()3,0,2n =-. 42sin ||||n DF n DF θ⋅∴==⋅∣．点评：方法点睛：本题考查证明面面垂直，求直线与平面所成的角．求线面角的常用方法（1）定义法，作出直线在平面内的射影（主要过直线上一点作平面的垂线），由直线与射影的夹角得出直线与平面所成的角（注意证明），然后解三角形得结论；（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值得线面角的正弦值．20．设{}n a 是等比数列，公比大于0，{}n b 是等差数列，()*n N ∈.已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足121c c ==，11,33,3k k n kk n c a n +⎧<<=⎨=⎩，其中k *∈N （i ）求数列(){}331n n b c -的通项公式；（ii ）若()()()*12n na n N n n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T ，求()3*31n n i i i T b c n N =+∈∑.答案：（Ⅰ）12nna ，nb n =；（Ⅱ）（i ）1363n n -⨯-；（ii ）133186492332102nn n n nn i i i T b c n +=+-⨯+=+++∑. （Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d ，进而根据已知条件计算得2q，1d =，故12n na ，nb n =；（Ⅱ）根据题意得111,332,3k k n k kn c n +-⎧<<=⎨=⎩，()()33311n n n n b c b a -=-1363n n -=⨯-，进而得()()()()11222121221n n n n na n n n n n n n --⨯==-++++++，再根据裂项求和得3321322n n T n =-+，()()()3333111111n n n ni iiiiiiii i i i b c b c b b c b=====-+=-+∑∑∑∑()333111i i nnii i b c b ===-+∑∑()()()()311131631313336316132nn n n n ni i i i i -==⨯-⨯-+⨯=⨯-+=-+--∑∑1269323102n n n++-⨯=+，故133186492332102nn n n nn i i i T b c n +=+-⨯+=+++∑.解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q.由11a =，322a a =+，可得220q q --=.因为0q >，可得2q ，故12n na设等差数列{}n b 的公差为d ，由43s a b b =+，可得134b d +=. 由5462a b b =+，可得131316b d +=，从而11b =，1d =，故n b n =.所以数列{}n a 的通项公式为12n n a ，数列{}n b 的通项公式为n b n =.（Ⅱ）（i ）111,332,3k k n k kn c n +-⎧<<=⎨=⎩， ()()33311n n n n b c b a -=-()11321363n n n n --=-=⨯-（ii ）()()()()11222121221n n n n na n n n n n n n --⨯==-++++++.3313214284223243543231n n n T n n -=-+-+-++-++ 3321322n n T n =-+()()()3333111111n n n ni iiiiiiii i i i b c b c b b c b =====-+=-+∑∑∑∑()333111i i nni i i b c b ===-+∑∑()()()()311131631313336316132nn n n nni i i i i -==⨯-⨯-+⨯=⨯-+=-+--∑∑ ()()()1236133113369323522102n n n n n n n+⨯-⨯-+⨯+-⨯=-+=+（注：写成333331111n nni in ni iii i i i b c b b b c=====-+∑∑∑∑()()()121333133166932321316102nnn n n n n++⨯⨯-⨯-+-⨯=-+=+--亦可.） 133186492332102nn n n nn i i i T b c n +=+-⨯+=+++∑. 点评：本题第二问题解题的关键在于根据题意得()()()3333111111nnnni iiiiiiii i i i b c b c b b c b=====-+=-+∑∑∑∑()333111i i nnii i b c b ===-+∑∑()3111363nni ii i i -===⨯-+∑∑1269323102n n n++-⨯=+，考查运算求解能力，是中档题. 21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线，两条切线交于点P.（1）若P 的坐标为(1,4)-，求直线的斜率；（2）若P 始终不在椭圆2241x y +=的内部（不包括边界），求ABP ∆外接圆面积的最小值. 答案：（1）12（2）π. （1）设:2p AB x my =+，与抛物线方程联立，得到122y y pm +=，212y y p =-，分别求在点,A B 处的切线方程，并且切线的交点，利用()14P -,，求解参数和直线的斜率；（2）由（1）可知212121p k k y y ==-，得到AP BP ⊥，并表示ABP △外接圆的半径，并且,2p P pm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆得到2221p p m +≥，综合求得ABP △外接圆的半径的最小值. 解：（1）记11(,)A x y ，22(,)B x y ，设:2p AB x my =+，由222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得方程2220y pmy p --=，由韦达定理可知122y y pm +=，212y y p =-，设抛物线在A 处的切线()11x t y y x =-+，由()2112y px x t y y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩可得2112220y pty pty px -+-=，故22114880p t pty px ∆=-+=即 2221120p t pty y -+=，故1y t p=，故111:()p PA y y x x y -=-，同理222:()p PB y y x x y -=-，联立解得,2p P pm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合题意解得2m =，4p =，故112AB k m ==. （2）由（1）知两条切线的斜率之积为212121p k k y y ==-，即AP BP ⊥，则ABP △的外接圆半径即为1212AB y y =-=又由题意知224()12p pm ⎛⎫⋅-+≥ ⎪⎝⎭，即2221p p m +≥，可知1所以外接圆的半径最小值为1，故外接圆的最小面积为π.点评：本题考查直线与圆锥曲线，切线，外接圆的综合问题，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型，第二问的关键是推理得到AP BP ⊥，再表示半径后问题迎刃而解. 22．已知函数()ln 2mf x x =+ （1）若1()()0,sin 2h x f x x παα⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭，()h x 在[2,)x ∈+∞上为增函数，求α的取值范围；（2）若() 2mg x x =，对任意(1,)x ∈+∞，()f x 的图像总在()g x 图像的下方，求实数m 的取值范围. 答案：（1）[,)62ππ；（2）2m ≥. （1）利用导数的正负与函数单调性的关系将问题转为1sin x α在[2x ∈，)+∞上恒成立，求出1y x=的最值，得到1sin 2α，求解三角不等式即可；（2）将问题转化为022m m lnx x +-<在(1,)x ∈+∞上恒成立，构造函数()22m m M x lnx x =+-，(1,)x ∈+∞，分0m ，2m ，02m <<三种情况进行研究，利用导数研究函数的单调性逐一求解即可．解：解：（1）∵()ln 2m f x x =+得()1ln 2sin m h x x x α=++ ∴2211sin 1()sin sin x h x x x x ααα-='=-∵()h x 在[2,)x ∈+∞上为增函数 ∴sin 10x α-≥在[2,)x ∈+∞上恒成立即1sin xα≥在[2,)x ∈+∞上恒成立 ∴1sin 2又∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴[,)62ππα∈ （2）∵对任意()1,x ∈+∞，()f x 的图像总在()g x 图像的下方∴ln 22m mx x +<在()1,x ∈+∞上恒成立. 即ln 022m mx x +-<在()1,x ∈+∞上恒成立.设()ln 22m m M x x x =+-，()1,x ∈+∞，则()12mM x x '=-①当0m ≤时，()1,x ∈+∞，∵()0M x '>∴()M x 在()1,x ∈+∞单调递增 ∴()()10M x M >=∴0m ≤不合题意. ②当2m ≥即201m<≤时， ∵2()02m x m M x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-<在()1,x ∈+∞上恒成立， ∴()M x 在()1,x ∈+∞上单调递减，有()()10M x M <=，∴2m ≥满足题意. ③若02m <<即21m>时，由()0M x '>，可得21x m <<，由()0M x '<，可得2x m >， ∴()M x 在21,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴()210M M m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，与()0M x ≤恒成立矛盾 ∴02m <<不合题意.综上所述，实数的取值范围是2m ≥.点评：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (6)

2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题6学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=A.⌀B.SC.TD.Z2．复数z满足2-3i3+2i·z-3i=2,则|z|=A.2B.3C.√5D.√133．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=lnx(x>1)的图象上的动点，该图像在点P处的切线l交x轴于点M.过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是A.1e2B.e2+12eC.34√e4√eD.14．已知集合M={x|y=lg1−xx}，N={y|y=x2+2x+3}，则(C R M)∩NA.{x|0＜x＜1}B.{x|x＞1}C.{x|x≥2}D.{x|1＜x＜2} 5．已知x=2是函数f(x)=x3−3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为A.15B.16C.17D.186．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有A.60种 B.120种 C.240种 D.480种7．如图为某四棱锥的三视图,则其长为√6的侧棱与长为2的底边所成的角的正切值为A.2B.1C.√63D.√58．执行如图所示的程序框图,当输出的值为1时,输入的x值是A.±1B.1或√3C.-√3或1D.-1或√39．已知数列{a n}满足a n+1=a n-2,且S n是{a n}的前n项和.若S6=0,则a3=A.0B.-1C.1D.310．已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2D.当∠PBA最大时,|PB|=3√211．将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2cos2x的图象,那么φ可以取的值为A.π2B.π3C.π4D.π612．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知函数f (x )=sin(ωx -π6)(ω>0)在[0,π]上有且仅有3个零点,则函数f (x )在[0,π]上存在个极小值点,实数ω的取值范围是 .(第一空2分,第二空3分) 14．对一个边长互不相等的三角形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为P(3),则 (1)P(3)= .(2)设a n =n ×2P(3)+n -6,则数列{a n }的前n 项和S n = .15．已知a ,b ,c 为三条不同的直线,且a ⊂平面M ,b ⊂平面N ,M ∩N =c ,给出下列四个命题: ①若a 与b 是异面直线,则c 至少与a ,b 中的一条相交; ②若a 不垂直于c ,则a 与b 一定不垂直; ③若a ∥b ,则必有a ∥c ;④若a ⊥b ,a ⊥c ,则必有M ⊥N .其中正确的命题的个数是 .16．已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,左、右顶点分别为A ,B ,过点A 且斜率为√33的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,且M⃗⃗ ·M ⃗⃗ =0,则该双曲线的离心率是 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ,B ,C 的对边,且满足(b -c )2=a 2-bc .(1)求角A 的大小;(2)若a =3,sin C =2sin B ,求△ABC 的面积.18．(本题12分)如图所示为一个半圆柱,E 为半圆弧CD 上一点,CD =√5.(1)若AD =2√5,求四棱锥E -ABCD 的体积的最大值.(2)有三个条件:①4DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②异面直线AD 与BE 所成角的正弦值为23;③sin∠EAB sin∠EBA=√62. 请你从中选择两个作为条件,求直线AD 与平面EAB 所成角的余弦值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19．(本题12分)随着运动APP 和手环的普及和应用,在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象,“日行一万步,健康一辈子”的观念广泛流传.小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共500人)的走路步数,并整理成下表:(1)请估算这一天小王朋友圈中所有好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).(2)若用A 表示事件“走路步数少于平均步数”,试估计事件A 发生的概率.(3)若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”,小王朋友圈中年龄在40岁以上的中老年共有300人,其中“健步达人”恰有150人,请填写下面2×2列联表.根据列联表判断,有多大把握认为“健步达人”与年龄有关?附:K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).20．(本题12分)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,且经过点(√2,√22).(1)求椭圆Γ的方程.(2)是否存在经过点(0,2)的直线l 与椭圆Γ相交于不同的两点M ,N ,使得M ,N 与y 轴上的一点P 连线后组成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.21．(本题12分)已知函数f(x)=2x 2-aln x.(1)若函数f(x)的图象恒过定点M,且f '(x)的图象也过点M,求a 的值; (2)判定函数f(x)极值点的个数;(3)试问:对某个实数m,方程f(x)=m-cos 2x 在(0,+∞)上是否存在三个不相等的实根?若存在,请求出实数a 的范围;若不存在,请说明理由.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。