433余角和补角

探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４ 相等吗？为什么？
1
2
3
4
余角性质：
同角（等角）的余角相等
A
D
1
O
2
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 °
则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2
因为∠1+ ∠BOD = 90 °
一、填空 1、70°的余角是 20° ，补角是 110 ° 。 2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补 角是 180°- ∠ 。
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ） ∠的补角是（180 °—∠ ）
注意点
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只 与他们的度数和有关，与位置无关。
Q A O D + B O D A O B = 9 0 o
D
A O D 与 B O D 互 余
Q A O C B O D
B BOCAOD
O
（等角的余角相等）
B O C ， A O D 都 是 A O C 的 余 角
如图∠AOC= ∠BOC=∠DOE=90°，则 图中与∠3互余的角是__∠__2,_∠__4__, 图中与∠4互余的角是__∠__3_,∠__1__, 图中有与∠3互补的角吗?_∠__B_O__D___.
说明它们相等的原因。
∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1 （同角的余角相等）
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，
则与∠AOC互余的角为 __B _O __C _和 __ __A _O _D _.
AC
解 ： Q A O C + B O C A O B = 9 0 o
A O C 与 B O C 互 余
O
●
东
射 线 OC 的 方 向 就 是 南 偏 西
10°，即货轮C所在的方向。
60°
射 线 OD 的 方 向 就 是 北 偏 西 45°，即海岛D所在的方向。
C ●10°
南
●A
归纳 如何表示乙地对甲地的方位角
北
观 测 点
甲地
乙地
被观测点
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
乙地对甲地的方位角
北
乙地
E
西 B
F
北 D 45° 45°
O
C南
射线OD OC OB OA H（2）西北方向:_射__线__O_E___
西南方向:_射__线__O_F____ 东
A
东南方向:_射__线__O_G____ G 东北方向:_射__线__O_H____
直线AB和直线CD互相垂直，所成四个角 均为直角
探究：方位角
北
北
B 500 A
西
东
400
C南
小结 反思
同角或等角的补角相等
1.余角和补角的性质
同角或等角的余角相等
2.方位角
方位角的表示 方位角的特征
顶点是观测点 一边是南(北)线,另一边是视线
3、A看B的方向是北偏东30°，那么B看A 的方向是（ ）
（A）南偏东60°（B）南偏西60°
（C）南偏东30° （D）南偏西30°北
北B
东
12
A
东
4.如图，下列说法中错误的是（ D ） A.OA的方向是北偏西22 ° B. OC的方向是南偏东60° C.OB的方向是西南方向。 D.OD的方向是北偏东60°
(3)若∠3 + ∠4 =90 °
则∠3和∠4互余.
( 互余定义 )
(4)若∠3和∠4互余,
则∠3 + ∠4 =90. °
( 互余定义 )
认真观察下面的图形，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？ C
∠A与∠B互余 ∠A
与∠2互余
21
∠1与∠B互余 ∠1
与∠2互余
A
DB
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？
根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
1 与 2 互 余 , 1 = ( 6 x 8 ) o , 2 ( 4 x 8 ) o ,
则 1 _ _ _ _ _ , 2 _ _ _ _ _ .
解 ： Q 1 与 2 互 余
如果两个角的和是一个直角 ，那么这两个 角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的 余角。
互为补角
如果两个角的和是一个平角 ，那么这两个 角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的 补角。
(1)若∠1 + ∠2 =180 °
则 ∠1和∠2互补.
( 互补定义 )
(2)若∠1和∠2互补,
则∠1 + ∠2 =1.80 ° ( 互补定义 )
视线
甲地
2. 把中心点和目的地用线连接起來
乙地对甲地的方位角
北
乙地
甲地
3.度量向北的射线和视线之间的角度
拓展应用
1.说出B在A的＿北偏＿东＿4＿00，那么A在B的＿南＿偏＿西4_0_°_.
北
北
西C
B
●
东
40° 400
D
南
B是观测点
西
●
东
A
A是被观测点
南
2、如图，OA表示北偏东32°方向线， OB表 示南偏东43°方向线，则∠AOB等于————。
北ABiblioteka 68° 450BD
60° 东 O 30°
C
5.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它
的北偏东500方向上有一艘船，同时从B地发现这
艘船在它的北偏东300方向，试在图中确定这艘
船的位置。
北
解：
C
东
500
300
A
B
则这艘船在点C处
小明从点A出发向北偏西50°方向走 了3米，到达点B，小林从点A出发向 南偏西40°方向走了4米，试画图确 定出A、B、C三点的位置（用1厘米 表示3米），并从图上求出B点到C点 的实际距离。
(6 x 8 ) (4 x 8 ) 9 0
x9
1 = 69+ 8= 62o
2= 498= 28o
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互 补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等 吗？为什么？
2
1
4
3
例2 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2
1
3
4
解：∠2与∠4相等。理由如下：
因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠1+ ∠2= 180°； ∠3 + ∠4 = 180° 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里， 我们用到 了“等量 减等量， 差相等”。
补角性质：
同角（等角）的补角相等
∠2+ ∠BOD = 90 °
所以∠1 = ∠2 （等角的余角相等)
互余
互补
两角间 1290o 1 2180o
的数量 关系
(190o2) (1180o2)
对应 图形
同角（等角）的 同角（等角）的
性质 余角相等
补角相等
例3、已知，点A,O,B在同一直线上，OE,OF 分别为∠AOC和∠BOC的角平分线，找图中互 余和互补的角。
2
1
2
1
2
1
互为余角 如果两个角的和等于
90°(直角），就说这两个 角互为余角，即其中每一 个角是另一个角的余角。
互余的角是否一定是锐角？
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
4 3
4
3
4
互为补角 如果两个角的和等于
180°（平角），就说这两 个角互为补角，即其中一个 角是另一个角的补角。
1.北偏东70°
A 2.南偏西25°
70°
西
东
O
B 25°南
准方 ，位 描角 述是 物以 体正 运北 动、 的正 方南 向方
向 为 基
例１ 如图，ＯＡ是表示北偏东３００方向的一条射线，仿照
这条射线，画出表示下列方向的角：
（１）南偏东２５０
（２）北偏西６００
北 A
60°300
西
东
25° 南
例2.如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东
60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即
北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.
仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛
D方向的射线.
画法：以O为顶点，表示正北
方向的射线为角的一边，画40° 的角，使它的另一边落在东与
●D
北
●B
北之间
45° 40°
解：射线OB的方向就是北偏 东 40° ， 即 客 轮 B 所 在 的 方 向 。西
DC
E
1
23 4
A
O
B
A
B
C
5 31 DE
如图，E、F是直线DG上两点
6 24
∠BEF = ∠BFE
F G ∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
A E F C F E ( 等 角 的 余 角 相 等 ) A E B C F B ( 等 角 的 余 角 相 等 ) B E D B F G ( 等 角 的 补 角 相 等 )