成考数学教案第10讲解三角形

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解三角形教案

解三角形教案教案标题：解三角形教案教案概述：本教案旨在通过系统的学习和实践活动，帮助学生掌握解直角三角形和一般三角形的基本方法和技巧。

通过引导学生观察和分析三角形的不同特征，以及应用所学的解三角形理论求解实际问题，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学目标：1. 了解直角三角形和一般三角形的定义和性质；2. 掌握解直角三角形和一般三角形的三边关系、三角函数等基本方法；3. 能够应用所学知识解决与三角形相关的实际问题；4. 培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

教学内容与步骤：一、复习与导入（5分钟）1. 复习直角三角形的定义和性质，并通过问题激发学生对解直角三角形的兴趣；2. 导入一般三角形的概念和基本知识，引导学生思考为什么需要解一般三角形。

二、解直角三角形（15分钟）1. 引导学生观察和分析直角三角形的特征，解释三边之间的关系；2. 讲解正弦、余弦和正切的定义与性质，并通过具体的例子演示解题方法；3. 指导学生进行相关的练习和实践活动，巩固解直角三角形的方法和技巧。

三、解一般三角形（25分钟）1. 讲解解一般三角形的方法和思路，包括正弦定理和余弦定理的应用；2. 引导学生观察和分析一般三角形的特征，解释三边之间的关系；3. 指导学生通过具体的例题，逐步掌握解一般三角形的步骤和技巧；4. 给予学生足够的锻炼和实践机会，提供不同难度的问题，培养学生解决实际问题的能力。

四、综合实践与拓展（15分钟）1. 引导学生应用所学的解三角形理论，解决与三角形相关的实际问题；2. 组织小组活动，让学生在团队中合作解决复杂的三角形问题；3. 鼓励学生思考和探索其他解三角形的方法和技巧，进行拓展学习。

五、总结与评价（5分钟）1. 总结解三角形的基本方法和技巧；2. 提醒学生要善于观察和分析问题，灵活运用所学的知识；3. 进行学生的自评和互评，为进一步提高提供建议。

教学资源：1. 教科书和教案提供的例题和练习题；2. 动态三角形模型或示意图；3. 计算器、尺规等教学工具。

(2021年整理)解三角形教案

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高一数学必修5第一章解三角形教学设计三明九中林晴岚（一)课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上.通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

(二）教学内容及课时安排建议1。

1正弦定理和余弦定理（约4课时） 1。

2应用举例（约4课时）（三）课时具体安排如下：课题： §1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标：知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

高考数学学业水平合格考试总复习第10章三角函数(教师用书)教案-人教版高三全册数学教案

第10章三角函数考纲展示考情汇总备考指导(1)任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.本章的重点是三角函数的定义、图象和性质，难点是三角恒等变换与三角函数图象、性质的综合应用，学习时熟练掌握三角函数的图象和性质是前提条件，熟练掌握和应用三角函数公式，三角恒等变换的方法与技巧是保障.(2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x2017年1月T82018年1月T122018年1月T172019年1月T162020年1月T6⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.三角函数的定义1．任意角和弧度制(1)角的概念及分类：角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形．按旋转方向可分为正角、负角、零角；按终边落在平面直角坐标系中的位置，可分为象限角、轴线角．(2)终边相同角的表示：凡是与角α终边相同的角，都可以表示成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，特例：终边在x 轴上的角的集合为{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．(3)弧长和扇形的面积公式：在弧度制下，扇形的弧长公式为l ＝αr ，扇形的面积公式为S ＝12lr ＝12αr 2，其中α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角的弧度数．2．任意角的三角函数的定义利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数，设P (x ，y )是角α的终边上任意一点(与原点不重合)，记r ＝|OP |＝x 2＋y 2，那么sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．[学考真题对练]1．(2017·1月某某学考)角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，以下等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53D ．tan α＝－52D [∵r ＝x 2＋y 2＝52＋－22＝3，sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.∴A，B ，C 正确，D 错误．tan α＝y x ＝－25＝－255.] 2．(2020·1月某某学考)假设sin α>0，且cos α<0，那么角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由sin α>0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos α<0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角．应选B ．]3．(2019·1月某某学考)角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (4，－3)，那么cos α＝.45[r ＝42＋－32＝5，cos α＝x r ＝45.]角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)，那么sin α＝y r，cos α＝x r.当α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．1．(2018·某某市学考模拟题)角β的终边经过点P (1，－2)，那么sin β＝( ) A ．－2 B ．－12C ．－255D ．55C [∵角β的终边经过点P (1，－2)，∴x ＝1，y ＝－2，|OP |＝5，因此根据三角函数的定义可得sin β＝－25＝－255，应选C ．]2．(2019·某某学考模拟题)角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，那么tan α等于( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34D [根据三角函数的定义，知tan α＝y x ＝－34.]3．(2019·揭阳市学考模拟题)设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，那么2sin α＋cosα的值为( )A ．25 B ．25或－25 C ．－25D ．与a 有关C [∵a <0，∴r ＝－4a2＋ 3a2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝y r ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.]4．(2019·某某高一期中)点P (tan α，cos α)在第三象限，那么角α的终边在第象限．二 [因为点P (tan α，cos α)在第三象限，那么tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限．]5．(2018·揭阳高一月考)角α的终边经过点P (m ，22)，sin α＝223且α为第二象限．(1)求m 的值；(2)假设tan β＝2，求sin αcos β＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β的值．[解] (1)由三角函数定义可知sin α＝223＝22m 2＋8，解得m ＝±1，∵α为第二象限角，∴m ＝－1.(2)由(1)知tan α＝－22，sin αcos β＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β＝－sin αcos β＋3cos αsin βcos αcos β＋3sin αsin β＝－tan α＋3tan β1＋3tan αtan β＝－－22＋321＋－22×32＝211.三角函数的基本关系与诱导公式 [基础知识填充]1．同角三角函数的基本关系式2．三角函数的诱导公式利用三角函数的定义，可以得到诱导公式，即α＋k2π(k ∈Z )与α之间函数值的关系，主要有六组常用的诱导公式：公式一：sin(α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Z ， cos(α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z ， tan(α＋k ·π)＝tan α，k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. [学考真题对练](2018·1月某某学考)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝23，且0<θ<π，那么tan θ＝.52 [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ＝23，且0<θ<π， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53， ∴tan θ＝sin θcos θ＝53×32＝52.](1)将负角的三角函数化为正角的三角函数． (2)将正角的三角函数化为0～2π的角的三角函数． (3)最后化为锐角的三角函数． 2．求同角三角函数值的一般步骤(1)根据三角函数值的符号，确定角所在的象限； (2)对角所在的象限进行分类讨论； (3)利用两个基本公式求出其余三角函数值；(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出某三角函数值．[最新模拟快练]1．(2018·揭阳高一月考)sin 600°的值是( ) A ．12 B ．32C ．－32D ．－12C [sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°) ＝－sin 120°＝－32.] 2．(2019·某某高二期末)sin α＝14，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( ) A ．14 B ．－14C ．154D ．－154B [cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－14.]3．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．22B [∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.]4．(2019·蛇口市学考模拟题)假设sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，那么cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A ．－23aB ．－32aC ．23a D ．32a B [由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．(2019·某某市学考模拟题)tan θ＝2，那么sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B ．54C ．－34D ．45D[sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.] 6．(2018·揭阳高一月考)函数y ＝sin 2x －cos x 的值域为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 [y ＝sin 2x －cos x ＝1－cos 2x －cos x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.] 三角函数的图象和性质 [基础知识填充]三角函数的图象与性质解析式 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 RR{x |x ∈R 且x ≠k π＋x2，k ∈Z }值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎢⎡2k π－π2，⎦⎥⎤2k π＋π2(k ∈Z )上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 (k ∈Z )上递减在[2k π－π，2k π](k ∈Z ) 上递增，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减在开区间⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1无对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z ) 对称轴：对称中心： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) 对称轴：对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0(k ∈Z )对称轴：x ＝k π＋π2，(k ∈Z )x ＝k π，(k ∈Z )无[学考真题对练](2018·1月某某学考)函数f (x )＝4sin x cos x ，那么f (x )的最大值和最小正周期分别为( )A ．2和πB ．4和πC ．2和2πD ．4和2πA [∵f (x )＝2sin 2x ，∴f (x )max ＝2，最小正周期为T ＝2π2＝π，应选A ．]三角函数性质的解法(1)奇偶性的判断方法：由正、余弦函数的奇偶性可判断出y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期为2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．(4)求三角函数的最值(值域)：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求最值(值域)．1．(2019·某某学考模拟题)函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，可知f (x )是奇函数．] 2．(2019·某某学考模拟题)以下函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2D ．y ＝|sin 2x |C [y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2.]3．(2019·某某高一期中检测)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.]4．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数A [y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，应选A ．]5．(2018·江门市学考模拟题)函数f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈ZB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈ZD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈ZC [f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间：2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z .选C ．]6．(2018·揭阳高一月考)下面结论正确的是( ) A ．sin 400°>sin 50° B ．sin 220°<sin 310° C ．cos 130°>cos 220°D ．cos(－40°)<cos 310°C [A 中sin 400°＝sin 40°<sin 50°；B 中sin 220°＝－sin 40°，sin 310°＝－sin 50°，由于sin 50°>sin 40°，所以sin 220°>sin 310°；C 中cos 220°＝cos 140°<cos 130°；D 中cos(－40°)＝cos 40°，cos 310°＝cos 50°，由于cos 50°<cos 40°，所以cos(－40°)>cos 310°，应选C ．]7．(2019·某某高二月考)假设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ是偶函数，那么φ＝.π2＋k π，k ∈Z [由诱导公式得假设f (x )是偶函数，那么φ＝π2＋k π，k ∈Z .]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 [基础知识填充]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象主要有以下两种方法： ①用“五点法〞作图：用“五点法〞作y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点的纵坐标，描点、连线后得出图象．②用“图象变换法〞作图：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩〞与“先伸缩后平移〞．(ⅰ)先平移后伸缩：y ＝sin x 的图象――――――――――→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(ⅱ)先伸缩后平移：y ＝sin x 的图象横坐标变成原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin ωx 的图象――――――――――――→向左φ ＞0或向右φ ＜0平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中各参数的物理意义：[最新模拟快练]1．(2019·某某高一月考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度D [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴需要将y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．]2．(2019·某某市学考模拟题)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数D [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．]3．(2019·某某市学考模拟题)以下函数中，图象的一部分如下图的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D [由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．]4．(2019·某某市学考模拟题)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么以下结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．]5．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，那么ω＝.π2 [由两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝222－22，∴T＝4，∴ω＝π2.]6．(2018·某某市高一期中)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(其中φ为常数，|φ|<π2)的部分图象如下图，那么φ＝.π3 [由2×π3＋φ＝π得φ＝π3.] 7．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如下图坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4. (2)列表并描点画出图象：x －π2 －3π8 －π8 π83π8 π2 2x －π4 －5π4－π－π2π23π4y 2 1 1－2 1 1＋22故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象是8．(2018·某某市高一期末)实验室某一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24]．(1)某某验室这一天上午10点的温度；(2)当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低． [解] (1)依题意f (t )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24] 实验室这一天上午10点，即t ＝10时，f (10) ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12×10－π3＝4sin π2＝4，所以上午10点时，温度为4 ℃.(2)因为0≤t ≤24，所以－π3≤π12t －π3≤5π3，令θ＝π12t －π3，即－π3≤θ≤5π3，所以y ＝4sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3故当θ＝3π2时，即t ＝22时，y 取得最小值，y min ＝4sin3π2＝－4 故当t ＝22时，这一天中实验室的温度最低．三角函数图象变换的两种方法的注意点三角函数图象变换的方法一先平移后伸缩和方法二先伸缩后平移需要注意以下两点：。

解三角形(教案)精

教学过程一、复习预习1．内角和定理；2．正弦定理；3．余弦定理；二、知识讲解考点1 内角和定理：在△ABC 中，A B C π++=；()sin sin A B C +=；()cos cos A B C +=-面积公式:111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ===；在三角形中大边对大角，反之亦然.考点2 正弦定理在一个三角形中，各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：2sin sin sin a b c R A B C=== (解三角形的重要工具) 形式二：2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩(边角转化的重要工具)形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=考点3 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具)2222cos c a b ab C =+-形式二：222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222cos 2a b c C ab +-=三、例题精析【例1】【题干】在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=，1sin 3A =，则a = .【解析】正弦定理的直接应用【答案】：3【题干】在△ABC 中，已知a =3，b =2，B=45°，求A 、C 和c .【解析】：正弦定理的应用【答案】∵B=45°＜90°且a sinB ＜b ＜a ，∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b Ba sin =245sin 3︒ =23，则A 为60°或120°. ①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°， c=B Cb sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+. ②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°， c=B Cb sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-. 故在△ABC 中，A=60°，C=75°，c=226+或A=120°，C=15°， c =226-【题干】设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.解题思路：本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力【解析】：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a . （Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ， ∴8152415sin sin ===c C a A ∵c a <，∴C A <，故A 为锐角，∴7cos 8A ===∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-【例4】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且32b +32c -32ab c .(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.【解析】：（Ⅰ）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc +-==，又0A π<<，故1sin 3A =. （Ⅱ）原式=2sin sin 441cos 2A A A πππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-22sin sin 442sin A A Aππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=222sin A A A A A⎫+⎪⎪⎝⎭⎝⎭= 222sin cos 72sin 2A A A -==-.【例5】在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cosC 2c-a =cos B b．（I ）求sin sin C A的值；（II ）若cosB=14，∆ABC 的周长为5，求b 的长。

高三数学解三角形教学设计

高三数学解三角形教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高三学生进行解三角形的教学。

解三角形是高中数学的重要内容，涉及正弦定理、余弦定理及三角形面积计算等知识点。

通过本节课的学习，学生将掌握解三角形的常用方法和技巧，提高解决实际问题的能力，并为后续学习几何、三角函数等知识打下坚实基础。

2、教学对象本教学设计的对象为高三学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了初等函数、三角函数、几何等基本知识。

然而，在解三角形方面，学生可能存在以下问题：对正弦定理、余弦定理理解不深刻，运用不熟练；在解决实际问题时，不能灵活运用所学知识。

因此，本教学设计将针对这些问题，采取有效的教学策略，帮助学生提高解题能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握正弦定理、余弦定理及其推导过程，能够准确运用定理解决三角形相关问题；（2）掌握三角形面积的计算方法，能够灵活运用求解实际问题；（3）学会运用解三角形的方法解决几何问题，如求角度、边长、周长、面积等；（4）提高逻辑推理、数学运算和问题分析能力，形成系统的解题思路。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等方式，引导学生发现并理解正弦定理、余弦定理；（2）采用问题驱动法，设置不同难度的练习题，让学生在实践中掌握解三角形的方法；（3）运用比较、归纳等方法，帮助学生总结解三角形的常用技巧和规律；（4）结合实际案例，培养学生将数学知识应用于解决现实问题的能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们的探究精神和创新意识；（2）通过解三角形的学习，让学生体会数学的实用性和美感，增强数学学习的自信心；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，养成独立思考、合作交流的良好习惯；（4）引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活等方面的广泛应用，树立正确的价值观；（5）培养学生面对困难时，勇于挑战、积极进取的精神风貌，形成健康的心理素质。

三、教学策略1、以退为进在教学过程中，采取“以退为进”的策略，即在教学初期适当降低难度，引导学生从简单的解三角形问题入手，逐步掌握基本的解题方法和技巧。

解三角形10教案北师大版必修5

A
教学过程
三．教学过程
1.
2例1．在ABC ∆中，已知45B ︒=，60C ︒=，1c =。

试求最长边的长度。

例2．在ABC ∆中，已知::2a b c =，试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的和。

例3．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于C 、D ，已知ABC ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于B 时，测得45CDB ︒∠=，75BCD ︒∠=三、巩固练习
1．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =试试判断此角形的形状并求出最小角。

2．在ABC ∆中，a,b,c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B b C a c
=+ （1）求角B 的大小；（2）若4b a c +=，求a 的值。

3．a,b,c 分别是ABC ∆的三边，若222a c b +=+，则角B 为-------度。

4．测一塔（底不可到达）的高度，测量者在远处向塔前进，在A处测得塔顶C的仰角40︒，再前进20米到B点，这时测得C的仰角为60︒，试求此塔的高度CD。

高三数学《解三角形》教学设计

《解三角形》教学设计崇明中学汤杰【教学目标】1、掌握正弦、余弦定理的内容，灵活运用正、余弦定理解三角形问题。

2、学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题，提升合情推理探索数学规律的数学思维能力。

3、在学习过程中激发学生学习兴趣，激发学生的探索精神。

【教学重点】正、余弦定理的灵活运用、解三角形中边角互化问题。

【教学难点】解三角形中的综合问题。

【教学过程】120，运用，学生课前完成，教师边角互化多向思维应用研究综合提升考点3、解三角形的实际问题研究例题2、如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。

一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C。

现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为min/50m。

在甲出发min2后,乙从A乘缆车到B,再从B匀速步行到C。

假设缆车匀速直线运动的速度为min/130m,山路AC长为m1260,经测量：1312cos=A,53cos=C。

1）求索道AB的长；2）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考点3例题教师引导学生审清题意，要求学生先独立思考，然后请学生讲解自己的想法与做法。

教师板书解答过程。

旨在通过本例题让学生学会建立数学模型解决实际问题，让学生在解决问题过程中体验学习数学的乐趣，与此同时也提升了学生的分析解题的能力。

课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？请让学生思考和总结，然后派代表回答。

及时进行总结，同时检查学生本节课的【教学设计说明】1、教材内容分析:解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。

所以通过本章学习，学生应该能够通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形，能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。

解三角形教案

解三角形教案教学目标：通过本教案的学习，学生将能够理解并运用几何知识中的三角形解题方法，提高解三角形的能力。

教学重点：掌握利用三角函数和解三角形定理求解三角形的方法。

教学难点：灵活应用解三角形公式求解复杂题目。

一、教学准备1. 教师准备示意图、计算器、黑板、粉笔等教具。

2. 学生准备纸和笔，用以记录和计算。

二、教学过程1. 导入教师可以通过一个简单的问题引出解三角形的方法，激发学生的兴趣和思考。

例如：“你们在生活中有没有遇到过无法直接测量的三角形？那么你们知道如何通过已知条件来求解这样的三角形吗？”引导学生思考、讨论，并概括出解三角形的重要性。

2. 讲解基本概念首先，教师需要向学生解释常见的三角形术语，例如边长、角度、高度、中线等，并确保学生对这些概念有清晰的理解。

3. 探索解三角形的方法教师可以提供一些实例让学生自行探索解三角形的方法。

例如：例一：已知三角形的两个角度，求第三个角度。

例二：已知三角形两边的长度及夹角，求第三边的长度。

教师可以提供示意图和提示，指导学生自行建立解题思路，并查找相关定理和公式。

4. 解释并运用三角函数在学生完成探索后，教师进行相关知识的系统讲解。

解释并举例介绍正弦定理、余弦定理和正切定理，并提醒学生在运用时需注意角度单位的转换。

5. 基于三角函数的解题方法教师可结合具体示例，教授学生如何根据已知条件使用三角函数来解决三角形问题。

教师可以提供一些具体的实例，详细解答并指导学生进行相关计算。

6. 进一步运用解三角形定理在学生熟练掌握基于三角函数的解题方法后，教师可以引入更复杂的题目，要求学生利用已学知识解决实际问题。

例如：解决三角形的面积、判断三角形是否存在等。

7. 综合练习教师布置一些综合性的练习题，要求学生应用所学知识解答。

通过练习，教师可以检测学生的掌握情况，并针对性地进行巩固和提高。

三、教学总结教师对本节课的重点知识进行总结，并提醒学生在课后继续进行相关题目的练习和巩固。

解三角形教案

解三角形一、教学目标1．运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题、三角形形状的判断。

2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

二、教学重难点教学重点：1. 正弦定理与余弦定理的应用。

2. 正弦定理、余弦定理的适用范围。

教学难点：1.利用正弦定理求解过程中一解、二解的情况。

2.选择适当的正弦、余弦定理、面积公式解三角形三、基础知识1.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === （其中R 为△ABC 的外接圆半径）变形公式：::sin :sin :sin a b c A B C =2.余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac Bc b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩变形公式：222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩3.三角形的面积公式：111,222111sin sin sin 222()2a b c a b c S ah bh ch h h h a b c S ab C bc A ac Ba b cS p ======++== 其中、、为、、边上的高（海伦公式）4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；（3）边与角关系：正弦定理 RCcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆的半径）；余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ；5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《10解三角形》

2bc
＝－， 2
C的正弦值．
3 ∴ A＝120°，∴ sin A＝ 2 ，
a
c
再根据正弦定理，有 sin A＝ sin C，
c
5 3 53
∴ sin C＝ asin A＝ 7× 2 ＝ 14 .
2. 命题方向：与面积有关的问题
[ 例 2] 在△ ABC中， A＝60°， b＝ 1，其面积为，则△ ABC外接圆的直径是 ________．
7．在△ ABC中，a，b，c 分别是∠
A，∠B，∠ C的对边长，
已知
a，b，c 成等比数列，
且
a2－ c2＝ ac－ bc，求∠
bsin A及 c
B
3
的值．
[ 解析 ] ∵ a，b， c 成等比数列， ∴ b2＝ac，又∵ a2－ c2＝ac－ bc，∴ b2＋ c2－ a2＝ bc.
在△ ABC中，由余弦定理得 b2＋ c2－a2 1
(1) 当 A＝60°时， C＝180°－ A－ B＝75°，
bsin C ∴ c＝ sin B＝
2sin75 ° sin45 °
＝
6＋ 2
2 .
(2) 当 A＝120°时， C＝180°－ A－ B＝15°，
bsin C 2sin15 ° 6－ 2 ∴ c＝ sin B＝ sin45 ° ＝ 2 .
a
13 2 39
2R＝ sin A＝
＝ 3
3.
2
2 39 即△ ABC外接圆的直径是 3 .
2 39 [ 答案 ]
3
跟踪练习 2 ： (2008 ·江苏 )满足条件 AB＝ 2，AC ＝ 2BC 的△ ABC 的面积的最大值为 ________．

解三角形(复习课)教学设计

解三角形（专题课）教课方案一、教材剖析本节课是高中数学课本必修 5 第一章《解三角形》，而在本章中，学生应当在已有的知识基础上，经过对随意三角形的边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数目关系，并认识到运用它们能够解决一些与丈量和几何计算有关的实质问题。

本章知识是初中解直角三角形的持续，经过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解随意三角形的完好实行。

能够从数目的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。

是中学很多半学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、分析几何、立体几何等。

二、学情剖析学生已经学习并掌握了随意角及随意角的三角函数，引诱公式、三角恒等变换、正余弦定理等有关的知识。

学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，特别是对正弦定理与余弦定理的娴熟运用。

经过解三角形的方法解决有关的实质问题，能够培育学生的数学应企图识，提高学生运用数学知识解决实质问题的能力，使学生渐渐形成数学的思想方式去解决问题、认识世界的意识。

三、教课目的知识与技术：指引学生正确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理睬进行简单的变形；指引学生经过察看，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实质问题。

过程与方法：指引学生经过察看，推导，比较，由特别到一半概括出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。

培育学生的创新意识，察看能力，总结概括的逻辑思想能力。

让学生经过学习能领会用向量作为数形联合的工具，将几何问题转变为代数问题的数学思想方法。

感情态度与价值观：面向全体学生，创建同等的教课气氛，进行高效讲堂教课，激情教育，经过学生之间，师生之间的沟通与议论、合作与评论，调换学生的主动性和踊跃性，让学生体验学习数学的的乐趣，感觉成功的愉悦，加强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。

四、教课重难点要点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。

解三角形教案

解三角形教案教案解三角形教学目标：1.理解并掌握解三角形的基本概念和方法；2.能够运用正弦定理和余弦定理解三角形；3.能够解决实际问题中的三角形问题。

教学内容：1.解三角形的基本概念；2.正弦定理和余弦定理；3.解三角形的应用。

教学步骤：一、导入（5分钟）1.引导学生回顾初中阶段学习的三角形知识，如三角形的性质、分类等；2.提问：在解决三角形问题时，我们通常需要知道哪些元素？这些元素之间有什么关系？二、解三角形的基本概念（10分钟）1.介绍解三角形的定义：已知三角形的某些元素（如边长、角度等），求解其余元素的过程；2.强调解三角形的关键：找到合适的定理或方法；3.举例说明解三角形在实际中的应用。

三、正弦定理和余弦定理（15分钟）1.正弦定理：a.介绍正弦定理的公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC；b.解释正弦定理的几何意义：任意三角形的任意两边与它们所对的角的正弦值的比相等；c.示例：已知三角形两边和其中一个角，求第三边或另一个角。

2.余弦定理：a.介绍余弦定理的公式：c^2=a^2+b^22abcosC；b.解释余弦定理的几何意义：任意三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们所夹角的余弦值的乘积的两倍；c.示例：已知三角形两边和它们所夹的角度，求第三边或另一个角。

四、解三角形的应用（10分钟）1.介绍解三角形在实际问题中的应用，如测量、导航等；2.分析实际问题中的三角形问题，引导学生运用正弦定理和余弦定理进行求解；3.示例：已知一个三角形的两边和一个角，求第三边或另一个角。

五、课堂练习（15分钟）1.设计练习题，让学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题；2.引导学生分析解题思路，总结解题方法；3.解答学生在练习中遇到的问题。

六、总结与拓展（5分钟）1.回顾本节课所学内容，强调解三角形的基本概念和关键定理；2.提问：在实际问题中，如何判断应该使用正弦定理还是余弦定理？3.拓展：介绍解三角形的其他方法，如海伦公式、正切定理等。

高二数学教案：解三角形

高二数学教案：解三角形解三角形小结本章主要讲的是正弦定理和余弦定理及其应用。

1、正弦定理的应用(1)应用正弦定理解三角形. 应用正弦定理解三角形有两类问题，一类是已知两角和另一边，求其他边和角，此种情况可先借助三角形内角和定理求出另一角，再利用正弦定理求各边，另一类是已知两边及其中一边的对角求其他边和角，解此类问题需借助三角形边角的大小关系确定解的情况。

(2)应用正弦定理判断三角形的形状，应用正弦定理判断三角形的形状有两种途径，一是化角为边，得到边的关系，副两边相等，三边相等，等，另外一种是化边为角得到角的关系，如二角相等，三角相等或角的大小等。

值得注意的是已知三角形的任意两边和其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不确定，可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数。

2、余弦定理的应用余弦定理有两方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边进而求出其余两角：二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角一. 选择题1.在△ABC中，一定成立的等式是 ( )A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA2.已知△ABC中，a=4，b=4 ，A=30，则B等于( )A.30B.30或150C.60D.60或1203.在△ABC中，若，则与的大小关系为( )A. B. C. D. 、的大小关系不能确定4.已知△ABC中，AB=6，A=30，B=120，则△ABC的面积为( )A.9B.18C.9D.185.在△ABC中，，那么△ABC一定是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形6..在△ABC中，已知a=x cm，b=2 cm，B=45，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是( )A.2C.x2D.x27.设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是 ( )A. a3B. a-1C. -108.在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC的值为( )A. B.- C. D.-9.在△ABC中，A=60，b=1，其面积为，则等于( )A.3B.C.D.10.在△ABC中，A为锐角，lgb+lg( )=lgsinA=-lg , 则△ABC 为 ( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形11、关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形12、在中，，则的面积为( )A、2B、3C、D、二、填空题13.在△ABC中，若AB= ，AC=5，且cosC= ，则BC=________.14、中，若b=2a , B=A+60,则A= .15.在△ABC中，C=60，a、b、c分别为A、B、.C的对边，则 =16. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、，则的取值范围是 .三. 解答题：17、在△ABC中，已知，c=1，，求a，A，C.18.在 ABC中，设，求A的值。

解三角形复习课教案.doc

解三角形复习1.能够应用正、余弦定理解三角形；教学目标 2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．重点难点重点：利用正弦定理余弦定理解三角形难点：边角关系的转化，三角恒等变换的运用。

【课前小测】1. 已知△ ABC 中， AB ＝6，∠ A＝ 30°，∠ B＝ 120 ，则△ ABC 的面积为（）. A． 9 B． 18 C．9 D．18 32.在△ ABC 中，若 c2 a 2 b2 ab ，则∠ C=（） .A ． 60°B． 90° C． 150° D． 120°3. 在ABC A．0 个中， a 80 ， b 100 ，A=30°，则 B 的解的个数是（B． 1 个C．2 个D．不确定的） .4. 在△ ABC 中，a 3 2，b 2 3 1 △ ABC_______， cosC ，则 S35. 在ABC 中，a、 b、 c 分别为A、B、 C 的对边，若 a 2b2c22bc sin A ，则 A=___ ____.【当堂练习】1. 已知A、B、 C为ABC 的三内角，且其对边分别为 a 、b、 c ，若cos B cos C sin B sin C 1 ．2 （1）求A；（2）若 a 2 3, b c 4 ，求 ABC 的面积．2. 在△ ABC 中，a, b, c分别为角 A、B、C 的对边， a2 c2 b 28bc，a =3 ，△ ABC 的面积为6，（1）求角 A 的正弦值；（ 2）求边 b、 c.5【课后作业】一、选择题：1、 ABC 中 ,a=1,b= 3 ,∠A=30°,则∠B等于（）A ．60°B． 60°或 120°C． 30°或 150°D． 120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A ．a=1,b=2 ,c=3 B． a=1,b= 2 ,∠A=30°C． a=1,b=2,∠A=100 °C． b=c=1, ∠ B=45 °3、在锐角三角形 ABC 中，有（）A ．cosA>sinB 且 cosB>sinA B． cosA<sinB 且 cosB<sinAC． cosA>sinB 且 cosB<sinA D． cosA<sinB 且 cosB>sinA4、若 (a+b+c)(b+c － a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么 ABC 是（）A ．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5、设 A 、 B、 C 为三角形的三内角 ,且方程 (sinB － sinA)x 2+(sinA － sinC)x +(sinC － sinB)=0 有等根，那么角 B（）A ．B>60 °B． B≥ 60°C． B<60°D．B ≤60°6、满足 A=45,c= 6 ,a=2 的△ ABC 的个数记为 m,则 a m的值为（）A ．4 B． 2 C． 1 D．不定7、如图： D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a, 从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是β ,α (α <β ),则AA点离地面的高度 AB 等于asin sin A ．B ． sin( )（）a sin sincos()asin cosa cos sin C ．)D ．)sin(cos(D C8、两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在 C 北偏东 30° ,B 在 C 南偏东 60° ,则 A,B 之间相距（）A ．a (km)B ．3 a(km)C ．2 a(km)D ．2a (km)二、填空题：79、A 为ABC 的一个内角 ,且 sinA+cosA=, 则 ABC 是 ______三角形 .1210、在ABC 中， A=60 ° , c:b=8:5, 内切圆的面积为 12π ,则外接圆的半径为 _____.11、在1 2 2 2ABC 中，若 S ABC =(a +b－c ),那么角∠ C=______.431 12、在ABC 中， a =5,b = 4,cos(A － B)=,则 cosC=_______.32三、解答题：13、在 ABC 中 ,求分别满足下列条件的三角形形状：① B=60 ° ,b 2=ac ； ② b 2tanA=a 2tanB ；③ sinC=sin A sin B④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2 +b 2)sin(A － B).cos A cos B解三角形一、 BDBBDAAC二、（ 9）钝角（ 10）143 （ 11）4（ 12） 138三、（ 13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理cos60a 2c 2 b 2a 2 c 2b 21a 2c 2 acac(a c)20 ，2ac2ac 2a c . 由 a=c 及 B=60 °可知△ ABC 为等边三角形 . ②由b 2 tan Aa 2 tan Bb 2 sin Acos Aa 2 sin Bsin B cos A b 2 sin 2 B sin Acos Asin B cos B, sin 2 A sin 2B, ∴ A=B 或 A+B=90 °，cos Bsin Acos Ba2sin2A∴△ ABC 为等腰△或 Rt △ . ③ sin Csin Asin B，由正弦定理： c(cos Acos B) ab, 再由余弦定理：cos A cos Ba 2b2 c2ca 2 c2b2 abc2bc2aca 2b 2(a b)(c 2a 22) 0, c 2a 2b 2,ABC 为Rt . ④由条件变形为sin( AB)bsin( AB) a 2 b 2sin( A B) sin( A B) a 2 , sin A cosB sin 2 Asin 2A sin 2B,A B或AB90.sin( A B) sin( AB)b2cos A sin B sin 2B∴△ ABC 是等腰△或 Rt △ .点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.（ 14 ）分析：A C 2B, B60,AC120再代入三角式解得A或C.解：A C 2B, 180B 2B, B 60 .AC 120 .∴由已知条件化为： 112 2. cos(120A) cos A 2 2cos Acos(120A)cos A cos(120A C,则 A 60, C 60.代入上式得： cos(60 )A), 设2cos(60 ) 2 2 cos(60) cos(60) .化简整理得 4 2 cos 2 2cos 32 0(2 cos2)(2 2 cos3) 0, cos2,即 cosAC2 . 注：本题有多种解法. 即可以从上222式中消去 B 、 C 求出 cosA ，也可以象本例的解法 .还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试.（15）分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞ 0 即可 .要证 α ，β 为正数，只要证明 αβ ＞ 0，α+β ＞ 0 即可.解：① 在钝角△ ABC中，b边最长.1 cos B 0且 b2 a 2 c 22ac cos B,( 2b) 2 4ac 2b 2 4ac2(a 2 c 2 2ac cosB ) 4ac 2(a c) 2 4ac cosB 0. （其中 2( a c )2 0且 4 ac cos B 0∴方程有两个不相等的实根. ②2b0,c0, ∴两实根α、β 都是正数.a a2b2b2③a=c 时， a , ( )2 a2 2 2 ( ) 2 4 4c a21a2(a 2 c2 2ac cos B) 4a 24 cos B, 1 cos B 0, 0 4 cos B 4,因此 0 | | 2 .a 2（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.解：①如图：所示. OB=OA tan 30 3(千米 )， OC 3 （千米）3则 BC OB 2 OC 2 2OB OC cos120 13 （千米）3船速 v 13 1039 （千米/小时）3260②由余弦定理得：cos OBC OB 2 BC 2 OC 2 5 13, sin EBO sin OBC2OB BC 261 (5 13)23 39,cos EBO 513, sin OEB sin[180 ( EBO 30 )]26 26 26sin( EBO 30 ) sin EBO cos30 cos EBO sin 30 13 .13再由正弦定理，得OE=1.5 （千米），BE 39(千米 ),BE5 （分钟）.6 v答：船的速度为 2 39 千米/小时；如果船的航速不变，它 5 分钟到达岛的正西方向，此时所在点 E 离岛 1.5 千米。

解三角形教案

解三角形教案解三角形教案导言：三角形是初中数学中的基础概念之一，也是几何学的重要内容之一。

在初中数学教学中，解三角形是一个重要的教学内容，对学生的几何直观能力和逻辑思维能力的培养具有重要意义。

本文将针对解三角形的教学进行一份教案设计，旨在帮助教师更好地组织教学，提高学生的学习效果。

一、教学目标1. 知识目标：掌握解三角形的基本概念和方法。

2. 能力目标：培养学生观察、分析和解决问题的能力。

3. 情感目标：培养学生对几何学的兴趣和学习动力。

二、教学重难点1. 重点：掌握解三角形的基本概念和方法。

2. 难点：运用解三角形的方法解决实际问题。

三、教学过程1. 导入：通过一个生活实例引入解三角形的概念，如测量房间的角度。

2. 概念讲解：介绍三角形的定义和基本性质，引导学生理解三角形的概念。

3. 解决简单问题：给出一些简单的三角形问题，如已知两边和夹角，求第三边的长度。

通过让学生观察、分析和解决问题，引导他们掌握解三角形的基本方法。

4. 引入解决实际问题：通过一个实际问题引入解决实际问题的方法，如求高楼上的观察角度。

5. 解决实际问题：给出一些实际问题，如求高楼上的观察角度、求航空飞行器的航线等。

通过让学生运用解三角形的方法解决实际问题，培养他们的观察、分析和解决问题的能力。

6. 拓展：引入解决复杂问题的方法，如解决不等腰三角形的问题。

7. 解决复杂问题：给出一些复杂的三角形问题，如求不等腰三角形的高、求不等腰三角形的面积等。

通过让学生运用解三角形的方法解决复杂问题，提高他们的解决问题的能力。

8. 总结归纳：对解三角形的基本概念和方法进行总结归纳，梳理学生的学习成果。

9. 课堂练习：布置一些课堂练习题，让学生巩固所学知识。

10. 作业布置：布置一些作业题，让学生在课后进一步巩固所学知识。

四、教学评价1. 教师评价：通过观察学生的学习情况、听取学生的回答和解决问题的过程，评价学生的学习情况和解题能力。

2. 自评互评：学生之间互相评价和自我评价，促进学生之间的交流和学习。

解三角形教案

教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间2012.2.1学科数学年级高三上课时间10:00-12:00课时计划2小时教学目标教学内容高考复习解三角形个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析教学重点、难点教学过程第四章解三角形第1讲正弦定理和余弦定理知识梳理1.内角和定理：在ABC∆中，A B C++=π；sin()A B+=sin C；cos()A B+=cos C-cos2A B+=sin2C2.面积公式:1sin2ABCS ab C∆==1sin2bc A=1sin2ca B3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：RCcBbAa2sinsinsin===(解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===CRcBRbARasin2sin2sin2(边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cosa b c bc A=+-2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+-形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=abc b a 2222-+★ 重难点突破 ★1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2.难点：根据已知条件,确定边角转换.3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题1: 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 22 4,a ,b == ，那么满足条件的ABC ∆ （）A 、有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。

【教师资格】高中数学《解三角形》教学设计

【教师资格】高中数学《解三角形》教学设计教师资格证考试高中数学《解三角形》教学设计一、教材地位与作用本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。

因此，正弦定理的知识非常重要。

二、学情分析作为高一学生，同学们已经掌握了基本的三角函数，特别是在一些特殊三角形中，而学生们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学目标分析：@中小学教师资格证考试知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

三、教法学法分析教法：采用探究式课堂教学@中小学教师资格证考试模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。

学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。

让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，动手尝试相结合，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，锲而不舍的求学精神。

四、教学过程(一)创设情境，布疑激趣“兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°，∠B=53°，AB长为1m，想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。

2010高三数学高考复习必备精品教案：解三角形

解三角形一．[课标要求]〔1〕通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；〔2〕能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二．[命题走向]对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。

今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。

题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题三．[要点精讲]1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

〔1〕三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

〔勾股定理〕〔2〕锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；〔3〕边角之间的关系：〔锐角三角函数定义〕 sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

〔1〕三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

〔2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===。

〔R 为外接圆半径〕〔3〕余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：〔1〕△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c 〔h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高〕；〔2〕△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；〔3〕△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；〔4〕△＝2R 2sin A sin B sin C 。

解三角形教案

解三角形教案教案标题：解三角形教学目标：1. 知识目标：掌握解三角形中常见的三角形类型以及相应的解法。

2. 技能目标：熟练运用三角形的解法，解决实际问题。

教学重点：熟练掌握解三角形的基本步骤和方法。

教学难点：能够灵活运用解三角形的方法解决实际问题。

教具准备：1. 教科书和课件。

2. 画板、彩色粉笔和三角板。

3. 实际问题解决例题。

教学过程：Step 1：引入新知识1. 引导学生回顾已学的三角形基本知识，如角的概念、等腰三角形和等边三角形等。

2. 提出问题：当我们只知道一个三角形的部分信息时，如何确定它的其他未知信息？3. 引导学生思考，激发解三角形的兴趣和动机。

Step 2：介绍解三角形的基本步骤和方法1. 介绍解直角三角形的方法：利用三角函数（正弦、余弦、正切）求解。

2. 介绍解一般三角形的方法：利用求解三边或三角形内角的方法。

Step 3：讲解解直角三角形的方法1. 讲解如何利用三角函数求解直角三角形的边长。

2. 给出求解直角三角形实例，演示解题方法和步骤。

3. 练习：让学生做几道练习题进行巩固和提高。

Step 4：讲解解一般三角形的方法1. 讲解如何利用三角函数和三角形内角的关系求解一般三角形的边长。

2. 给出求解一般三角形实例，演示解题方法和步骤。

3. 练习：让学生做几道练习题进行巩固和提高。

Step 5：解决实际问题1. 给出一些实际问题，要求学生用所学的解三角形的方法解决。

2. 学生分组讨论并给出解题步骤和答案。

3. 班级共同讨论，对解题过程和答案进行讲评，解释不清楚的地方。

Step 6：作业布置1. 布置相关的课后习题，以巩固所学知识。

2. 布置学生在实际生活中观察并收集与三角形相关的问题，并提出解决思路。

教学反思：通过本节课的学习，学生应该掌握了解三角形的基本方法和步骤，能够运用所学知识解决简单的实际问题。

在教学过程中，可以加入趣味性和互动性的教学活动，提高学生的学习兴趣和参与度。

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