高三数学临门一脚试卷(理)

理科数学试卷A 型 第 1 页（共 18 页）绝密★启用前 试卷类型：A湖北省武昌实验中学2015届高考适应性考试理 科 数 学2015.5.31本试卷共6页，共22题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z满足z =i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是 AB． C ．12 D ．12- 2．下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意R x ∈，02≤-x x ”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件理科数学试卷A 型 第 2 页（共 18 页）3．设，则“”是“恒成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．为了得到函数的图像，可以将函数的图像A ．向右平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向左平移5．若实数满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 A ．1-B ．1C ．2-D ． 26．高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为 A ．13B ．23C ．12D ．167．已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为，则该锥体的俯视图可以是8．某科研所共有职工人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是2x )6x π-2≥理科数学试卷A 型 第 3 页（共 18 页）A ．年龄数据的中位数是，众数是B ．年龄数据的中位数和众数一定相等C ．年龄数据的平均数D ．年龄数据的平均数一定大于中位数 9．设、分别为双曲线C ：，的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足，则该双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．10. 设函数cx bx x x f 33)(23++=有两个极值点21,x x ,且[]0,11-∈x ,[]2,12∈x ,则A.21)(101-≤≤-x fB.0)(211≤≤-x fC.27)(01≤≤x f D.10)(271≤≤x f二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题） 11．如图所示，若输入的为，那么输出的结果是 . 12．已知矩形中，，，点是上任意一点，则的取值范围是 .13．设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若[]()2,f f x ≤，则实数a 的取值范围是 .)C +P120︒1=)理科数学试卷A 型 第 4 页（共 18 页）14．]2,0[∈x 时，2,2)(2≥+-=x x x x f 时，42)(-=x x f ，且)(x f y =为奇函数，若)()(x f a x f >+有解，则a 的取值范围是 .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选，是按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，ABC ∆为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．若,6,5AB AC AE BD ===，则线段CF 的长为 .16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为51x at y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），圆C的极坐标方程为)4πρθ=-．若圆C 关于直线l 对称，则a 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知,4π=A ，b ,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+=.（Ⅰ）求证：2π=-C B ；（Ⅱ）若2=a ,求△ABC 的面积.理科数学试卷A 型 第 5 页（共 18 页）18．（本小题满分12分）若数列的前项和为，对任意正整数，都有，记．（Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．19．（本小题满分12分）某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动，组织部分学生干 部在几个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查．活动结束后， 团委会对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知 道或不知道）”的调查结果统计如下表：表中所调查的居民年龄在[10,20），[20,30），[30,40）的人数成等差数列．（Ⅰ）求上表中的m ，n 值，若从年龄在[20,30）的居民中随机选取两人，求这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率；（Ⅱ）在被调查的居民中，若从年龄在[10,20），[20,30）的居民中各随机选取2人参加消防知识讲座，记选中的4人中不知道灭火器使用方法的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．564n T <n *∈N T {c ()()22121n n n c n b +=+-}n b 2a 112log n n b a =612n n S a =-n S n }n a理科数学试卷A 型 第 6 页（共 18 页）20．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点分别为的中点，且，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的取值范围．21.（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q 。

当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的 面积。

22．（本小题满分14分）已知函数.)(),1(ln )(x e x g x a x x f =--= （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当0≠a 时，过原点分别作曲线)(x f y =和)(x g y =的切线21,l l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：ee a e e 112-<<-； （Ⅲ）设)()1()(x g x f x h ++=，当1)(,0≥≥x h x 时，求实数a 的取值范围．(0,)6παP BC AC PCD //MN AD =1AB ==,BC ,M N ⊥PA -DB参考答案1．D【解析】理科数学试卷A型第 7 页（共 18 页）理科数学试卷A 型 第 8 页（共 18 页）试题分析：复数z =i i i i i i 21234232)31)(31()31(2+=+=-+-=,所以z 的共轭复数的虚部是12-． 考点：复数的运算及共轭复数概念． 2．B 【解析】试题分析：A ，命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是“若a b <，则22am bm <”当0=m 时不成立，所以是真命题，A 错；B 对；C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”至少有一个是假命题，所以C 是假命题；D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，所以答案为B ． 考点：命题真假的判断． 3．C 【解析】 试题分析：因为，若，则恒成立；若恒成立，即恒成立.设则或解得，“”是“恒成立”的充分必要条件，选.考点：充要条件. 4．D 【解析】 试题分析：，所以将的图象向左平移可得的图象.考点：三角函数图象的变换. 5．A 【解析】试题分析：由题画出可行域可知，当目标函数2z y x =-过直线与直线的交点时取得最小值，即(2,2m -y ++2x y ++cos(2y =6πsin 2y =cos(2sin(2)sin(2)sin 2()2636x x x ππππ=+-=+=+C (0(0)10f ⎧∆=≥⎪⎨⎪<⎩2-（-2）(),f x a =22x x -a x x +≥≥0x >1a ≥理科数学试卷A 型 第 9 页（共 18 页）考点：简单的线性规划6．A 【解析】试题分析：4人站成一排，其中甲乙相邻的情况有：（甲乙丙丁）、（甲乙丁丙）、（丙甲乙丁）、（丁甲乙丙）（丙丁甲乙）、（丁丙甲乙）（乙甲丙丁）、（乙甲丁丙）（丙乙丁甲）、（丁乙甲丙）（丙丁乙甲）、（丁丙乙甲）共12种，其中甲丙相邻的只有（丙甲乙丁）、（丁丙甲乙）、（乙甲丙丁）、（丁乙甲丙）共四种，所以所求的概率31124==． 考点：古典概型概率的求法． 7．C 【解析】试题分析：由正视图得：该锥体的高是，因为该锥体的体积为，所以该锥体的底面面积是．A 项的正方形的面积是，B 项的圆的面积是，C 项的三角形的面积是，D 项的三角形的面积是，故选C ．考点：1.三视图；2.几何体的表面积. 8．C 【解析】 试题分析：由表可知 ，解得，所以，选.考点：1.平均数；2.中位数、众数. 9．A 【解析】试题分析：以21F F 为直径的圆方程222c y x =+，与渐近线x aby =相交()00,y x N ，根1341232)(5381040341242)20x +⨯+⨯<<⨯+⨯+⨯+⨯3213S h ===21m =-⇒=-理科数学试卷A 型 第 10 页（共 18 页）据对称性得()00,y x M --，⎪⎩⎪⎨⎧=+=∴2202000c y x x a b y ，解得()b a N ,，()b a M --, 又()0,a A - ，120=∠MAN ，224b a AN +=，2b AM =，cb a MN 24422=+=，由余弦定理得()022*******cos 4244b b a b b a c ⋅+-++=，整理得2273a c =，因此离心率321==a c e ，故答案为A. 考点：1、双曲线的简单几何性质；2、余弦定理的应用. 10．11．试题分析：当时，；当时，；当时，；……；当时，；当时，终止循环，输出12．【解析】 试题分析：以点为坐标中心，为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系，则所以的直线方程为，故设点的坐标为则(1,22),(1,2),(0,22),BP x x PA x x PC x x =--=--=-- (,2),[0,1],x x x ∈P 2y x BD (1,0),B(1,2),C(0,2),A y DC x D A D 5[5,]8-10(110)123...10552S ⨯+=++++==1123...10++++1044312S =+2k =理科数学试卷A 型 第 11 页（共 18 页），因为所以，考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积；3.二次函数的图象和性质. 13.(14. a>-2, 0a ≠ 15．38【解析】试题分析：由题意得ABC EAB AC AB ACB EAB ∠=∠∴=∠=∠,, ,所以BE AC BC AE //,//所以，四边形ACBE 是平行四边形，BD AC //∴所以,,~FBCFBD AC DFB AFC =∴∆∆又因为,6,5AB AC AE BD ===所以CFCF -=654,解得38=CF ．考点：与圆有关的比例线段16．2 【解析】试题分析：由已知直线l 的参数方程为51x aty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），可得直线l 的方程为05=-++a ay x ，由圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-得θρθρρsin 2cos 22+=，2)1()1(,0222222=-+-=--+∴y x y x y x 即，圆心2),1,1(=r C ，因为圆C 关于直线l 对称，所以直线l 过圆心，所以051=-++a a ，解得2=a ．考点：把参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程及圆的对称性．17．解:(1)证明:由 sin()sin()44b Cc B a ππ+-+=及正弦定理得:sin sin()sin sin()sin 44B C C B A ππ+-+=,5C [5,].8⎛⎫BP ⋅PA +P ∈- ⎪⎝⎭ [0,1],x ∈2C (12,24),C (1,22)(12,24)5(231)x x x x x x x x ⎛⎫PA +P=--BP⋅PA +P =--⋅--=-+ ⎪⎝⎭理科数学试卷A 型 第 12 页（共 18 页）即sin ()sin ()22222B C C C B B +-+=整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4B C π<< 所以2B C π-=(2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ==,又,4A a π==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8a B a Cbc A A ππ====, 所以三角形ABC的面积1521s n s insin 22888824b c Aπππ===== 18．（1）；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）解：由得：解得 1分由得：解得 3分（2）解：由 ①当时，有 ② 4分①－②得： 5分∴数列是首项，公比的等比数列 6分∴ 7分12111111842n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14q ={}n 114n n a a -=1112n n S a --=-2n ≥n 232=()12212a a a +=-2212a =-118a =11612a a =-1112a -21n b n =+211,832a =理科数学试卷A 型 第 13 页（共 18 页）∴ 8分（3）证明：由（2）有 10分12分13分14分19.试题解析：（Ⅰ）由题15,152,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5m =，10n =．记选取的两人至少有一人知道灭火器使用方法为事件A ，4分（Ⅱ）随机变量ξ的所有可能值为0，1，2，3．10分2115116264⎛⎫<+= ⎪⎝⎭()222111111621n n ⎡⎤=+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()()()222222222111111111111632435112T n n n n ⎡⎤-+-+-++-++⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦()()()222211111622n n c n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦2111221log log 212n n n b a n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭理科数学试卷A 型 第 14 页（共 18 页）考点：1、统计基础；2、古典概型；3、随机变量的分布列及期望.20． 试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接， 因为点分别为的中点，所以四边形为平行四边形，则 又平面，平面所以平面.（Ⅱ）解法1：连接，因为，点分别为的中点，则又平面，则 所以即为二面角的平面角 又，所以 平面，则平面平面 过点在平面内作于，则平面． 连接，于是就是直线与平面所成的角，即=．在中，；在中，，．，，．0sin AMH <∠10sin θ<<πα<2sin sin AMH ∠=sin α=AHC 2sin AH AMH =∠AHM △αP BC ACH ∠C PBC H PM ⊥A AM ⊥PAM ⊥M =BC A -PMA BC ⊥ABCD ⊥BC ⊥1AC ==BP //⊆PCD ⊆///MN CQ CQNM 1////,NQ AD CM NQ AD CM ==,PA N CQ Q理科数学试卷A 型 第 15 页（共 18 页）又，．即二面角取值范围为． 解法2：连接，因为，点分别为的中点，则又平面，则所以即为二面角的平面角，设为 以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，，，．设平面的一个法向量为，则由．得可取，又，于是，，，．又，．即二面角取值范围为．考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.20sin 2AMH <∠<1sin 2θ<∴π6α<∵sin CA CA αθ===·n (010)CA =-，，2(11)tan θ=，，n 012tan 2x y x z -+=⎧⎪⎨+-⎪⎩，00BC PM ==··n n ()x y z =，，n P BC (110)BC =-，，1102AM ⎛⎫= ⎪⎭，，112tan 22PM =-，，(000)(100)000tan 2A B C P θ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，，，，，，，，，z y x A B AC AP ，，θPMA ∠M BC ⊥ABCD ⊥PA AM BC ⊥BC M 1AB AC ==PM π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，BC A --π04ϕ<<π0ϕ<<理科数学试卷A 型 第 16 页（共 18 页）21.试题解析：（1）由已知得：，2c =，所以又由，解得（2）椭圆方程化为2236x y +=. 设T 点的坐标为，则直线TF 的斜率.当时，直线PQ 的斜率，直线PQ 的方程是2x my =- 当时，直线PQ 的方程是，也符合2x my =-的形式.将2x my =-代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 其判别式.设，则.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ 的面积.22．试题解析：（1）依题意，函数的定义域为，对求导，得．①若，对一切有，函数的单调递增区间是．('x >a ≤(f '(0,(f 122|||43OPTQ S OF y y m ⋅-==+112243x m y y mm ⎧⎪⎪⎨⎪+==⎪+⎩12)x y OP 112222,433y x x m m -=+=++P 0∆=m PQ k TF (-b =2a c a理科数学试卷A 型 第 17 页（共 18 页）②若，当时，；当时，．所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和后，整理得．令，则22111)('xx x x x m -=-=，在上单调递减，在上单调递增． 若，因为，，所以，而在上单调递减，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）．综上可知，．（3），．1()1x h x e a x '=+-+()(1)()ln(1)x h x f x g x x ax e =++=+-+110a x e =-=e =)0e =(1,)+∞211e e a e e --<<(,1)x ∈1(1)0m e =-<1120e e e =-+->1(0,1)∈(1,)+∞(0,1)m 11ln 10x x e -+-=1111ln 10x x e -+-=a 1y 111ln (1)x a x --1111x ax e -111111()y k f x a x e x '==-==11(,x y ()y f x =11y k x x e =211k e 12x k e =2e 21x =22222)x y g e x ===22x e =2,)y 2k x 2l 1(,)a +∞(0,)a (f x 0<1(,)a ∈+∞()x '>1(0,)a 0a >理科数学试卷A 型 第 18 页（共 18 页）①当时，因为，所以，在上递增，恒成立，符合题意．②当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得． 所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数的取值范围是．(0)0=0(0,)x ∈+∞20a -<[()x '2221(1)1()0(1)(1)x x x e x e x x +-'=-=≥++>(0)1h =)0,+∞11()12011x h x e a x a a x x '=+-≥++-≥-≥++1x e x ≥+2a ≤(],2-∞a 1≥0)(0)1h <=0(,)x +∞0(0,)x ()h x。