2017-2018年湖南省郴州市嘉禾一中、临武一中联考高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)

2017-2018学年湖南省郴州市嘉禾一中、临武一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊆B B．A∩B=∅C．A=B D．A⊇B2．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B3．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是（）A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0”B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0”C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠04．（5分）在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形5．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣46．（5分）由命题p：“函数y=是减函数”与q：“数列a、a2、a3…是等比数列”构成的复合命题，下列判断正确的是（）A．p或q为真，p且q为假，非p为真B．p或q为假，p且q为假，非p为真C．p或q为真，p且q为假，非p为假D．p或q为假，p且q为真，非p为真7．（5分）已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．8．（5分）如果方程=1表示椭圆，则m的取值范围是（）A．（3，4）且m B．（﹣∞，3）∪，（4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，3）9．（5分）与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5（）A．﹣16 B．16 C．31 D．3211．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分20分．）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．14．（5分）双曲线的渐进线方程是．15．（5分）已知x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为．16．（5分）下列命题中，正确命题的序号是．（把所有正确命题的序号都写上）①已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件；②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件；③“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的充要条件；④“平面向量的夹角是钝角”的充要条件是“”．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知在△ABC中，．（1）求sinB的值（2）求c．18．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项的和．19．（12分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒），平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为；（1）如果不限定车型，l=6.05，求最大车流量为多少辆/时；（2）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少辆/时．20．（12分）已知二次函数f（x）=mx2+nx+2（m＞0）（1）若不等式f（x）＜0的解集是（1，2），求m，n的值．（2）若n=m+2，解关于x的不等式f（x）≥0．21．（12分）已知命题p：∀x∈R，9x﹣3x﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+（2a+1）x+a2+2≤0，若p∨q为假命题，求实数a的取值范围．22．（12分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．2017-2018学年湖南省郴州市嘉禾一中、临武一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊆B B．A∩B=∅C．A=B D．A⊇B【解答】解：集合A中的不等式变形得：（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，即A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，∴A⊇B，故选：D．2．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：C．3．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是（）A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0”B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0”C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”，故选：D．4．（5分）在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形【解答】解：∵AB=c=5，BC=a=6，AC=b=8，∴B为最大角，∴由余弦定理得：cosB===﹣＜0，又B为三角形的内角，∴B为钝角，则△ABC的形状是钝角三角形．故选：C．5．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得：q=﹣2，a1=1．则a4=（﹣2）3=﹣8．故选：B．6．（5分）由命题p：“函数y=是减函数”与q：“数列a、a2、a3…是等比数列”构成的复合命题，下列判断正确的是（）A．p或q为真，p且q为假，非p为真B．p或q为假，p且q为假，非p为真C．p或q为真，p且q为假，非p为假D．p或q为假，p且q为真，非p为真【解答】解：命题p：“函数y=是减函数”为假命题，命题q：“数列a、a2、a3…是等比数列”为假命题，（a可能为0），故p或q为假，p且q为假，非p为真，故选：B．7．（5分）已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：由题设条件知：2×2b=2a+2c，∴2b=a+c，∴，整理，得3c2﹣5a2﹣2ac=0，∴3e2﹣2e﹣5=0．解得或e=﹣1（舍）．故选：D．8．（5分）如果方程=1表示椭圆，则m的取值范围是（）A．（3，4）且m B．（﹣∞，3）∪，（4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，3）【解答】解：根据题意，如果方程=1表示椭圆，则有，解可得3＜m＜4且m≠，则m的取值范围是（3，4）且m≠，故选：A．9．（5分）与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：B．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5（）A．﹣16 B．16 C．31 D．32【解答】解：当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，∴a1=1．当n＞1时，S n=2a n﹣1，∴S n﹣1=2a n﹣1﹣1，∴S n﹣S n=2a n﹣2a n﹣1，﹣1∴a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴=2，∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1，n∈N*．∴a5=25﹣1=16．故选：B．11．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．12．（5分）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则∵，则圆心坐标为（，0），半径为r=，∴|F1F|=3|FC|∵PQ=2QF，∴PF1∥QC，|PF1|=b∴|PF|=2a﹣b∵线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF∴b2+（2a﹣b）2=4c2∴b2+（2a﹣b）2=4（a2﹣b2）∴a=b，则=，∴e===，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分20分．）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．14．（5分）双曲线的渐进线方程是x±2y=0．【解答】解：由﹣=0，可得双曲线﹣=1的渐近线方程为x±2y=0．故答案为：x±2y=0．15．（5分）已知x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为18．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，则=（x+y）=10++≥10+2×2×=18，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：18．16．（5分）下列命题中，正确命题的序号是①②．（把所有正确命题的序号都写上）①已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件；②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件；③“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的充要条件；④“平面向量的夹角是钝角”的充要条件是“”．【解答】解：①已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“A⊆B”⇔“a=2，或a=3”则“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件，正确；②“ln（x+1）＜0”⇔“﹣1＜x＜0”，故“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件，正确；③“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax的最小正周期为π”⇔“a=±1”，故“函数f （x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件，故错误；④“”⇔“平面向量的夹角是钝角或平角”，故“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是“”，故错误．故答案为：①②．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知在△ABC中，．（1）求sinB的值（2）求c．【解答】解析（1）在△ABC中，，所以：，解得：，由正弦定理得，解得：．（2）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，解得c=﹣6，（舍去）或c=4．18．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项的和．【解答】解：（1）由题知，S n为数列{a n}的前n项和，a n＞0，则两式相减可得，整理可得，又a n＞0，则a n+a n＞0，+1﹣a n=2，则有a n+1当n=1时，，解得a1=3或a1=﹣1（舍去）则数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，则a n=3+2（n﹣1）=2n+1综上所述，结论是：数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；（2）由（1）得，a n=2n+1，则则数列{b n}的前n项的和为：∴b1+b2+…+b n=+…+==．综上所述，结论是：数列{b n}的前n项的和为．19．（12分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒），平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为；（1）如果不限定车型，l=6.05，求最大车流量为多少辆/时；（2）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少辆/时．【解答】解：（1）当l=6.05时，F===≤=1 900，当且仅当v=，即v=11时取“=”．∴最大车流量F为1 900辆/时；（2）当l=5时，F==≤=2 000．当且仅当v=，即v=10时取“=”．∴最大车流量比（1）中的最大车流量增加2 000﹣1 900=100辆/时．20．（12分）已知二次函数f（x）=mx2+nx+2（m＞0）（1）若不等式f（x）＜0的解集是（1，2），求m，n的值．（2）若n=m+2，解关于x的不等式f（x）≥0．【解答】解：（1）因为mx2+nx+2＜0的解集为（1，2），所以mx2+nx+2﹣0的两个解为1和2，所以，求得m=1，n=﹣3，（2）若n=m+2，不等式为即（mx+2）（x+1）≥0，①当m=2时，2（x+1）（x+1）≥0恒成立，解集为R②当0＜m＜2时，﹣＜﹣1，不等式为mx2+（m+2）x+2≥0的解集为（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）③当m＞2时，﹣＞﹣1，不等式为mx2+（m+2）x+2≥0的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）21．（12分）已知命题p：∀x∈R，9x﹣3x﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+（2a+1）x+a2+2≤0，若p∨q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若命题p：∀x∈R，9x﹣3x﹣a≥0为真，则a≤9x﹣3x=（3x﹣）2﹣恒成立，由3x=时，（3x﹣）2﹣取最小值﹣，所以若命题q：∃x∈R，x2+（2a+1）x+a2+2≤0为真命题，则x2+（2a+1）x+a2+2≤0有解，所以△=（2a+1）2﹣4（a2+2）≥0，所以又p∨q为假，所以p，q都为假，则有，解得：，即a的取值范围为（12分）22．（12分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．【解答】解：（1）由对称关系可知AB1=AB2，∵△AB1B2是面积为4的直角三角形，∴AB1=AB2=2，∴OB1=OA=2，∴A（0，2），F2（4，0），设椭圆方程为，则c==4，b=2，∴a=2，∴椭圆的标准方程为=1，离心率e===．（2）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴y1+y2=，y1y2=，∴x1x2=（my1﹣2）（my2﹣2）=，x1+x2=my1+my2﹣4=．∵=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=﹣，∵PB2⊥QB2，∴=0，即﹣=0，∴m=±2直线PQ的方程为x+2y+2=0或x﹣2y+2=0．。