郑州市八校2020-2021学年高二上学期期中联考数学(理)
2019-2020学年河南省郑州市八校高二(上)期中数学试卷(理科)(PDF版 含答案)
有 x2 x 1 0 ，推理对．
故选： A ．
5．已知在 ABC 中内角 ABC 的对边分别为 ab 边 c 上的高为 ab cos C ，ab 2 2 ，则角 C 的 c
一项是符合题目要求的． 1．已知 a 0 ， 1 b 0 ，则有 ( )
A． ab2 ab a
B． a ab ab2
【解答】解： a 0 ， 1 b 0 ，
C． ab b ab2
0 b2 1 ， ab 0 ，
ab2 a ， ab2 ab ， ab a ，
【解答】解：对于选项 A ，由命题 p q 为假命题可知命题 p 和命题 p 至少有一个为假，命 题 p 、 q 均为假命题错误，所以选则 A 项．
对于 B 项，x 1 x2 3x 2 0 ，但是 x2 3x 2 0 x 1 故“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ” 的充分不必要条件，判断对．
C． ab b ab2
2．在 ABC 中， A 45 ， B 60 ， a 2 ，则 b 等于 ( )
D． ab ab2 a
A． 6
B． 2
C． 3
D． 2 6
3．设{an} 是公比为 q 的等比数列，则“ q 1”是“{an} 为递增数列”的 ( )
A．充分而不必要条件
数 a 的取值范围是 ( )
A．
(
，
3 2
][
3 2
，
)
C．
学2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题理
学2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题理考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教版必修2，选修2-1第一章、第二章．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若方程表示圆，则实数a的取值范围为A．B．C．D．3．下列说法中不正确的是A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥C．棱锥的侧面均为三角形D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形4．下列说法正确的是A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．若命题，，则，C．命题“若，则”的逆否命题为真命题D．“”是“”的必要不充分条件5．某双曲线的一条渐近方程为，且上焦点为，则该双曲线的方程是A．B．C．D．6．方程表示椭圆的充要条件是A．B．C．D．7．已知m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则8．某四棱台的三视图如图所示，则该棱台的体积为（）（棱台体积公式：）A．B．C．10 D．9．已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为A．B．C．D．10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若P为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点P有A．4个B．1个C．2个D．3个11．一束光线从点射出，经x轴上一点C反射后到达圆上一点B，则的最小值为A．B．C．D．12．已知双曲线的左，右焦点分别为，，双曲线的左支上有A，B两点使得．若的周长与的周长之比是，则双曲线的离心率是A．B．C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“，”的否定为__________．14．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________．15．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆和双曲线的离心率之和为_______．16．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD 为正方形，给出下列说法：①该八面体的体积为；②该八面体的外接球的表面积为8π；③E到平面ADF的距离为④EC与BF所成角为60°．其中正确的说法为__________．（填序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知p：对任意实数x都有恒成立，q：关于x的方程有实数根．若“”为真，“”为假，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）（1）求过点且与直线垂直的直线l的方程；（2）求过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．19．（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．（1）证明：平面PAC；（2）求异面直线与AP所成角的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB 的中点，求直线l的方程.21．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，M是棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.22．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点作相互垂直的两条直线，，直线与曲线C相交于A，B两点，直线与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.2020～2021学年高二第一学期期中联考•数学试题（文科）参考答案、提示及评分细则1．A 记“”的解集为集合B，则，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．2．B 方程化为标准方程为，有．故选B3．B 由旋转体的概念可知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体．故选B．4．C 命题“若，则”的否命题为“若，则”，A 错误；若命题，，则，，B错误；C选项原命题是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；“”是“”的充分不必要条件，D错误．故选C．5．D 设该双曲线的方程为，则，，所以该双曲线方程为．故选D．6．B 方程表示椭圆的充要条件是，解得：．故选B7．D 对于A，m与的关系不确定；对于B，n与的关系不确定；对于C，m与n的关系不确定，只有D选项正确．故选D．8．B 由三视图可知该几何体为正四棱台，上底面积，下底面积，所以棱台体积，故选B．9．D 由题可得，准线的方程为.由抛物线的定义可知，，．故选D．10．C 因为的内切圆的周长为所以，，又因为所以，所以符合条件的点P有两个，分别为椭圆的上下顶点．故选C．11．C 圆的圆心关于x轴的对称点为，则．故选C．12．D 设，则由得．由于，，所以，，则的周长为，的周长．根据题意得，得．又因为，所以，代入，可得．故选D．13．，因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定为“，”．14．易得，所以直线，之间的距离．15．法—：设，则由正六边形性质可得椭圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为点，由点Ⅰ在椭圆上可得，结合可得，∴椭圆离心率为，点在双曲线的渐近线上可得即∴双曲线的离心率为，所以.法二：由图可知双曲线N的渐近线方程为，易得，所以双曲线N的离心率，连结，，则，，易得，由椭圆M的定义可得，所以椭圆M的离心，所以.16．②④①八面体的体积为；②八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，易得外接球半径为表面积为；③取AD的中点G，连接EG，FG，EF，易得，平面EGF，过E作，交FG的延长线于H，又，，故平面ADF，解得，所以E到平面ADF的距离为；④因为，所以EC与BF所成角为，正确的说法为②④．17．解：若为真，则或，解得；若q为真，则，即．因为“”为真，“”为假，所以p与q一真一假．若为真，q为假，则；若q为真，p为假，则，综上可知，实数a的取值范围为18．解：（1）设l的方程为，代入得．∴直线l的方程为，（2）当直线l过原点时，直线l的方程是，即；当直线l不过原点时，设直线l的方程是，将点A坐标代入，得，解得，此时直线l的方程是．综上所述，所求直线l的方程是或．19．（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．连结PO，又因为P是的中点，所以．又因为平面PAC，平面PAC所以直线平面PAC．（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与AP所成的角．因为，且，所以．又，所以故异面直线与AP所成角的大小为．20．解：（1）由题意可知，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，由题意得两式相减，得，即，所以直线的斜率.因为点是线段的中点，所以，，所以所以直线的方程为，即．21．（1）证明：连接交于O，连接MO，易得O为，的中点.∵平面ABC，平面ABC，∴.又M为中点，，∴.同理可得.∴.连接MB，同理可得，\.又，，平面.∴平面ABB_1A_1，又平面，∴平面平面.（2）解：易得又由（1）平面平面，平面平面，平面.∴平面.∴即为与平面所成的角.在中，在中，.故与平面所成角的正弦值为.22．解：（1）设圆心，由题意，得，即，所以曲线C的方程为.（2）由题意可知，直线的斜率均存在，设直线的方程为，，联立方程组得，所以，因为点M是线段AB的中点，所以同理.将k换成得，当，即时所以直线MN的方程为即，所以直线MN恒过定点.当时，直线MN的方程为，也过点所以直线MN恒过定点.学2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题理考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教版必修2，选修2-1第一章、第二章．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若方程表示圆，则实数a的取值范围为A．B．C．D．3．下列说法中不正确的是A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥C．棱锥的侧面均为三角形D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形4．下列说法正确的是A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．若命题，，则，C．命题“若，则”的逆否命题为真命题D．“”是“”的必要不充分条件5．某双曲线的一条渐近方程为，且上焦点为，则该双曲线的方程是A．B．C．D．6．方程表示椭圆的充要条件是A．B．C．D．7．已知m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则8．某四棱台的三视图如图所示，则该棱台的体积为（）（棱台体积公式：）A．B．C．10 D．9．已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为A．B．C．D．10．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若P为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点P有A．4个B．1个C．2个D．3个11．一束光线从点射出，经x轴上一点C反射后到达圆上一点B，则的最小值为A．B．C．D．12．已知双曲线的左，右焦点分别为，，双曲线的左支上有A，B两点使得．若的周长与的周长之比是，则双曲线的离心率是A．B．C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“，”的否定为__________．14．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________．15．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆和双曲线的离心率之和为_______．16．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：①该八面体的体积为；②该八面体的外接球的表面积为8π；③E到平面ADF的距离为④EC与BF所成角为60°．其中正确的说法为__________．（填序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知p：对任意实数x都有恒成立，q：关于x的方程有实数根．若“”为真，“”为假，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）（1）求过点且与直线垂直的直线l的方程；（2）求过点且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．19．（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．（1）证明：平面PAC；（2）求异面直线与AP所成角的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程. 21．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，M是棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.22．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点作相互垂直的两条直线，，直线与曲线C相交于A，B两点，直线与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.2020～2021学年高二第一学期期中联考•数学试题（文科）参考答案、提示及评分细则1．A 记“”的解集为集合B，则，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．2．B 方程化为标准方程为，有．故选B3．B 由旋转体的概念可知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体．故选B．4．C 命题“若，则”的否命题为“若，则”，A错误；若命题，，则，，B错误；C选项原命题是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；“”是“”的充分不必要条件，D错误．故选C．5．D 设该双曲线的方程为，则，，所以该双曲线方程为．故选D．6．B 方程表示椭圆的充要条件是，解得：．故选B7．D 对于A，m与的关系不确定；对于B，n与的关系不确定；对于C，m与n的关系不确定，只有D选项正确．故选D．8．B 由三视图可知该几何体为正四棱台，上底面积，下底面积，所以棱台体积，故选B．9．D 由题可得，准线的方程为.由抛物线的定义可知，，．故选D．10．C 因为的内切圆的周长为所以，，又因为所以，所以符合条件的点P有两个，分别为椭圆的上下顶点．故选C．11．C 圆的圆心关于x轴的对称点为，则．故选C．12．D 设，则由得．由于，，所以，，则的周长为，的周长．根据题意得，得．又因为，所以，代入，可得．故选D．13．，因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定为“，”．14．易得，所以直线，之间的距离．15．法—：设，则由正六边形性质可得椭圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为点，由点Ⅰ在椭圆上可得，结合可得，∴椭圆离心率为，点在双曲线的渐近线上可得即∴双曲线的离心率为，所以.法二：由图可知双曲线N的渐近线方程为，易得，所以双曲线N的离心率，连结，，则，，易得，由椭圆M的定义可得，所以椭圆M的离心，所以.16．②④①八面体的体积为；②八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，易得外接球半径为表面积为；③取AD的中点G，连接EG，FG，EF，易得，平面EGF，过E作，交FG的延长线于H，又，，故平面ADF，解得，所以E到平面ADF的距离为；④因为，所以EC与BF所成角为，正确的说法为②④．17．解：若为真，则或，解得；若q为真，则，即．因为“”为真，“”为假，所以p与q一真一假．若为真，q为假，则；若q为真，p为假，则，综上可知，实数a的取值范围为18．解：（1）设l的方程为，代入得．∴直线l的方程为，（2）当直线l过原点时，直线l的方程是，即；当直线l不过原点时，设直线l的方程是，将点A坐标代入，得，解得，此时直线l的方程是．综上所述，所求直线l的方程是或．19．（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点．连结PO，又因为P是的中点，所以．又因为平面PAC，平面PAC所以直线平面PAC．（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与AP所成的角．因为，且，所以．又，所以故异面直线与AP所成角的大小为．20．解：（1）由题意可知，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，由题意得两式相减，得，即，所以直线的斜率.因为点是线段的中点，所以，，所以所以直线的方程为，即．21．（1）证明：连接交于O，连接MO，易得O为，的中点.∵平面ABC，平面ABC，∴.又M为中点，，∴.同理可得.∴.连接MB，同理可得，\.又，，平面.∴平面ABB_1A_1，又平面，∴平面平面.（2）解：易得又由（1）平面平面，平面平面，平面.∴平面.∴即为与平面所成的角.在中，在中，.故与平面所成角的正弦值为.22．解：（1）设圆心，由题意，得，即，所以曲线C的方程为.（2）由题意可知，直线的斜率均存在，设直线的方程为，，联立方程组得，所以，因为点M是线段AB的中点，所以同理.将k换成得，当，即时所以直线MN的方程为即，所以直线MN恒过定点.当时，直线MN的方程为，也过点所以直线MN恒过定点.。
2020-2021郑州市高二数学上期中试卷(含答案)
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表：
超过
不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ，
23．进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：
(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；
(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；
(3)甲同学发现，其物理考试成绩 (分)与班级平均分 (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.
参考数据: ， ， ， .
月份
1
2
3
4
5
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7
违法案件数
196
101
66
34
21
11
6
根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.
（1）根据散点图判断，用 与 哪一个更适宜作为违法案件数 关于月份 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果及表中所给数据，求 关于 的回归方程（保留两位有效数字），并预测第8个月该社区出现的违法案件数（取整数）.
20．正四面体的4个面上分别写着1、2、3、4，将3个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除的概率是_____________．
郑州外国语学校2020—2021学年高二上期期中考试数学(理科)答案
郑州外国语学校2020—2021学年高二上期期中考试理科数学参考答案一、选择题1-5 CBCCB 6-10 ADCBD二、填空题11. 40x y +-= 12.2560 13. ○2○3○4 14. 74,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭三、解答题15．解：∀x ∀⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，即m <2x x 2＋1＝2x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立， 当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ＝174，∀⎝⎛⎭⎫2x x 2＋1min ＝817， ∀由p 真得m <817.设t ＝2x ，则t ∀(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1， 由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2， 又t >0，所以由q 真得m <1.又“p ∀q ”为真，“p ∀q ”为假，∀p ，q 一真一假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥817，m <1或⎩⎪⎨⎪⎧m <817，m ≥1，解得817≤m <1.故所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫817，1. 16． 解：（1）由题意知，2214(1)(1)(1)a a a -=--，即2111(1)(1)(5)a a a +=-+，解得13a =，故21n a n =+，*n N ∈．（2）由1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++，得123...n n S a a a a =++++， 1111111(...)235572123n n =-+-++-++111()2323n =-+3(23)n n =+， 由13(23)7n n <+，解得9n <．故所求n 的最大值为8.17.)cos cos a B b A ac +=,根据正弦定理得：sin cos sin cos sin ,A B B A C +sin sin ,C C ∴=又因为sin 0,C ≠a ∴=,sin2sin ,2sin cos sin ,A A A A A =∴=因为sin 0,A ≠所以1cos 2A =, (),0,.3A A ππ∴∈=（2）由（1）知,.3a A π==由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-2227,7(),b c bc b c bc ∴=+-∴=-+因为2b c -=,所以74,bc =+所以 3.bc =设BC 边上的高为h .11sin 322ABC S bc A ∴==⨯=△12ABC S ah =△,12∴h ∴= 即BC18解：（1）设数列{}n a 的公差为d ()0d ≠， 由1a ，2a ，5a 成等比数列得2(1)1(14)d d +=⨯+，解得0d =（舍去）或2d =，则21n a n =-，因12b =，1213n n S S +=+，当1n =时，121213b b b +=+，解得213b =， 当2n ≥时，1312n n S S -+=，有()1123n n n n S S S S +--=-， 即123n n b b +=(2)n ≥又2123b b ≠， 则22,112,233n n n b n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）由（1）得22,1212,233n n n c n n -=⎧⎪=⎨-⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则32352232212213333333n n n n n T ----⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，两边乘以23，得221242522322121333333333n n n n n T ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减，得221142222212333333333n n n n T --⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 22122133152122333313n n n n T --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-⋅ ⎪⎝⎭-，112523333n n n T -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，整理得129(25)3n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，所以129(25)93n n T n -⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭得证.19.解：（1）在三角形AOB 中，由正弦定理：sin sin AB OBAOB BAO=∠∠，即sin sin AB OB αβ=，而2OA =，1OB =，所以sin sin AB αβ=， 由题意可得由余弦定理可得2222cos 41221cos 54cos ABOA OB OA OB ααα=+-⋅=+-⨯⨯=-，所以AB =1sin β=，所以sin β=； （2）∀AB AC =，∀2222cos(90)OC OA AC OA AC β=+-⋅⋅︒+454cos 2254cos sin ααβ=+-+⨯⨯-⋅94cos 4sin αα=-+942sin()9424πα=+-+所以34πα=时，OC 的最大值为221+．20.解：（∀）根据椭圆的定义，可得122AF AF a +=，122BF BF a +=， ∀1AF B △的周长为111122||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∀443a =，3a =，∀椭圆E 的方程为22213x y b +=，将231,P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入得22b =，所以椭圆的方程为22132x y +=．（∀）由（∀）可知22241c a b =-=，得2(1,0)F ，依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+，由221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，整理得()2223440my my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 不妨设10y >，20y <，211AF y y ====，同理222BF y y ==，所以22121111AF BF y y ⎫+==-⎪⎭223423m m +===⋅-+==即2222AF BF BF+=⋅，所以存在实数λ=2222AF BF AF BF λ+=⋅成立。
河南省郑州市八所省示范高中2020_2021学年高二数学上学期期中联考试题文
河南省郑州市八所省示范高中2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题 文考试时间：120分钟 分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。
考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡)。
在试题卷上作答无效。
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a A ＝60°，B ＝45°，则b 的长为D.2 2.命题“∃x 0∈(0，＋∞)，lnx 0＝x 0－1”的否定是A.∃x 0∈(0，＋∞)，lnx 0≠x 0－1B.∃x 0∉(0，＋∞)，lnx 0＝x 0－1C.∀x ∈(0，＋∞)，lnx ≠x －1D.∀x ∉(0，＋∞)，lnx ＝x －13.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为 A.53 B.103 C.56 D.1164.如果a ∈R ，且a 2＋a<0，那么a ，a 2，－a 的大小关系为 A.a 2>a>－a B.－a>a 2>a C.－a>a>a 2D.a 2>－a>a 5.已知实数m 、n 满足2m ＋n ＝2，其中m>0，n>0，则12m n+的最小值为 A.4 B.6 C.8 D.126.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝0，a 2＋c 2－b 2－ac ＝0，c ＝2，则a ＝12D.27.“m ＝－1”是“直线l 1：mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与直线l 2：3x ＋my ＋3＝0垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知变量x ，y 满足约束条件x y 103x y 10x y 10+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值为A.1B.2C.3D.4 9.下列结论正确的是 A.当x>0且x ≠1时，lgx ＋1lg x ≥2 B.x>0时，6－x －4x的最大值是22 2 D.当x ∈(0，π)时，sinx ＋4sin x的最小值为4 10.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若bcosC ＋ccosB ＝asinA ，则△ABC 的形状为.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定11.对于数列{a n }，定义H 0＝n 112na 2a 2a n-++⋅⋅⋅+为{a n }的“优值”。
河南省郑州市2020-2021学年下学期期中高二年级八校联考理科数学试题
【市级联考】河南省郑州市2020-2021学年下学期期中髙二年级八校联考理科数学试题学校: ____________ 姓名：_____________ 班级：______________ 考号： _____________一、单选题1.复数Z = X的虚部是()1+ /A. 1 E. 1 C. -i D. 一12.要证明√3 + √7 <2√5可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.归纳法D.类比法3.设函数/(X)在x = l处存在导数为2,则Ilm Z(I+ ^υ~zω =( ).ΔΛT°3ΔΛ2A. — E. 634.若函数y = x3 + log2x + e^v,则y'=14 1 -VA. -X + ------ + e4Xlll2 C. 3√ + -—-严XIn211C. D.-3 2).B. 1 4 1—X + ----------B. —x + ------ e4 XIn2D. 3十+丄一 +厂XllI25.由曲线y = e∖ y = w"以及x = 1所围成的图形的面积等于A. 2 E・2e-2 C. 2-- )・D. e + --26.二维空间中圆的一维测度(周长)l = 2πr.二维测度(面枳)S = πr观察发现4 Sxr) = I:三维空间中球的二维测度(表面积)S = 4πr2,三维测度(体积)V = -πP ,3观察发现y∖r) = S .则由四维空间中“超球”的三维测度V = SπP，猜想其四维测度W=( )・, 8 . 1 5」A. 24兀厂B. -πrC. -πrD. 2πr43 47.已知函数/(Λ) = OX-Iiir,若/(x)>l在区间(1,+s)内恒成立，则实数d的取值范围是( ).A. (-c<>,l)B. (-∞,1]C. (1,+s)D. [l,+∞)3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个•若以上四位老师中只有一位 老师猜对，则猜对者是()・A.甲 E •乙C •丙D. 丁9.己知α-lnb = O, c-d = l,则(a-c)2 +(b-d)2 的最小值是().A. 1 E. C. 2 D. 2√210. 设/W 是定义在R 上的奇函数，KZ(I) = O t 当X>O 时，有f (X) > xf ∖x)恒成立，则不等式h(χ)>o 的解集为().A. Y,0)U(0,1)B. (F-I)U(OJ)C. (-l,0)u(L+oo)D. (-l,0)U(0,l)11・函数y = 4cosx-ew的图象可能是()12.己知函数f(x) = xe x -e ∖函数g(x) = tnx-m (加＞0),若对任意的x 1 ∈[-2,2],总存在x 2 ∈[-2,2]使得f(x l )≈g(x 2)9则实数加的取值范围是()二、填空题13. F 2 2sin 2 -dx= __________JO2A. [-3e-∖∣]E. [e 2, + ∞) D ∙ [=, + s)14.定义运算 4 aιW b2=cιi b2一a2b l则函数/(X)= 1X -X3的图象在点∖a )处的切线方程是______ .15.观察下列各式：90401 = 3604 3Q4O5=122060505 = 302580803 = 6424根据规律，计算(5O7O4)-(7O4O5) = __________________ .16.已知函数f (X) = e3v^1, g(x) = →lιιx,若/W) = g("),则〃一加的最小值为_ •三、解答題17.己知复数Z = ^bi(beR)f且(l+3i)∙z为纯虚数.(1)求复数Z :(2)若血=右，求复数血以及模I外18.已知函数f(x) = x5+bx2+cx + d的图象过点P(0,2),且在点M(-1J(-1))处的切线方程为6x-y+7 = 0.(I)求/(-1)和广(―1)的值.(II)求函数/V)的解析式.19.在数列匕｝中，a l = -t %+1 = ,求①、①、①的值，由此猜想数列匕｝2 Qn +的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.20.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为X米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 +JF)X万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建"个桥墩，记余下工程的费用为)'万元.(I)试写出y关于X的函数关系式：(注意：(" + l)x=640)(II)需新建多少个桥墩才能使y最小？21.己知/(x) = Iax-— -(2 + a)Iii X (CI ≥ 0)X(I)当0 = 0时，求/'(X)的极值；(II)当d> O时，讨论/(Q的单调性(I)求实数α的值；(II)若keZ,且Rc丄巴对任意x〉l恒成立，求R的最大值.x-1参考答案1.D【解析】分析：化简复数z,写出它的虚部即可.详解:∙∙∙z的虎部是-1.故选D.点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设% = a + bi, 0 = C+di(a,b,c,dR), 则砒2 = (a + 勿)(c + JZ) = ac-bd + ^ad+bc)i,Z l a + bi (d + bi)(c-di) (CIC+ bd)+(bc-ad)iZ2 c + di (c + di)(c - di) c2+d22.B【解析】【分析】由题意结合所给的不等式逐一考查所给的方法是否合适即可，需要注意综合法与分析法的区别.【详解】因为要证明√3 + √7 <2√5,题中并没有相应的证明方法进行类比，故D不合理.而所给条件只有一个不等式，所以无法应用归纳法，故C不合理.因为不等式左右两端均人于0,所以将不等式两端同时平方后不等式仍然成立，得10 + 2√2T<20≈>√2TV 厉成立，属于从结论出发证明结论成立，为分析法.利用综合法证明题中的不等式显然需要用到分析法的逆过程，直接用综合法不合理•故选B.【点睛】本题主要考查分析法与综合法的区别，属于基础题•3.A【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可.反数,所以在用定积分求曲边形面枳时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.6.D【解析】因为IV = 2πr4 VV, = Sπr5 = V ,所以肘=2;FK，应选答案D・点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：VV = ∫Sπr i dr = -×Sπr4= 2πr4 ,应选答案D.47.D【详解】V∕(x) = αx -hιv, /(Λ)> 1 在(L÷oo)内恒成立，/. a > 1 +111A在(1, +S)内恒成立，设g(χ) = ∏∑ , Λχ∈(l, + oo )时，^(X) =-⅛<0,即g(x)在(l, + ∞)上是单调递X .v减的，∙∙∙g(x) vg(l) = l, ∙∙∙αni,即d的取值范围是［1, + 8),故选D∙点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由/'(x)>0,得函数单调递增，f∖χ)Vo得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为cι>h{x)或αv∕z(x)恒成立，即d>Λmax(X)或d<√7mm(x)即可，利用导数知识结合单调性求出∕g x(x)或∕7mm(x)即得解•8.C【解析】若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对, 则乙也猜对，故也不满足条件•而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为C.9.C【分析】设点(b,α)是曲线Ciy = Inx上的点，点(d, C)是直线Γ.y = x+1上的点；(° —c)'+(b —d)'可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方.然后将问题转化为求曲线C上一点到直线1距离的最小值的平方，直接对函数y = inx求导，令导数为零，可求出曲线C上到直线/距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式町求出最小距离，从而得出答案・【详解】设(O G)是曲线C.y = hιx±的点，(乩C)是直线∕zy = x + l±的点；(f∕-c)2+ (Z?-^)2可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方・对函数y = InX求导得F =丄，令Xy = b得x = l,所以，曲线C上一点到直线/上距离最小的点为(LO),该点到直线/的距离为J；；；］ =Q 因此’(α-c)2+(^-J)2的最小值为(√2)2 =2 .故选C.【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题・10.D【分析】由已知当X>0时，有/(x)>V,(x)恒成立，可判断函数g(χ) = ∙∆W 为减函数，由/(X)是定义在R上的奇函数，可得g (x)为(-P 0) U (0, +∞)上的偶函数，根据函数g (x)在(0, +8)上的单调性和奇偶性，结合g (x)的图象，解不等式即可【详解】设g(x)=lSΔ则£(x)的导数为g.(x)=O⅛±L∑1 •・•当x>o 时总有£ (X) < X Jrf (χ∖f(X)成立，即当x>0时，g z(x) <0, Λ当x>0时，函数g(χ) = u丄为减函数，又—力=上U = (W = g3,・•・函数名(X)为定义域上的偶函数又•・•—Xg(l) =半=0•••函数g(X)的图彖如图：数形结合可得XΛx 2∙g (x) >0Λg (x) >0 .*.0<x< 1 或-l<x<O 故选 D.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综 合题.11. A【分析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项. 【详解】解:当x>0时,y = 4cosx-e x,则 y =-4sinx-e x,Sin X >0,e x > 0 , y =-4SinX-e v <0 ,FI71兰3右XW y^+o° H -4<4smx≤4, £ >(2∙7)3>√I^>4,则 y = -4 SilI X - e x < 0 恒成立,即当x>0时，y=-^nx-e x < 0恒成立，则y = 4 cos X - e x 在(0,+a)上单调递减， 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题・若屮号12.B【分析】由题意，可得门刃在［-2,2］的值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数f(x) = e∖x-l)的导数为f∖x) = xe∖当x>0时，Γ(x)>O,则函数/(x)为单调递增；当XVo时，f(x)<O,则函数/(x)为单调递减，即当J V = O时，函数/(x)取得极小值，且为最小值—1，又由/(一2)= -3e~2J(2) = e2t可得函数/(x)在［—2,2］的值域［—10］,由函数g(x) = IIIX一m(ιn > 0)在［-2,2］递增，可得g (x)的值域［-3∕n, m］,由对于任意的x1∈ [-2,2],总存在x2∈ [-2,2],使得f (x i) = g(X2), “-3/77 ≤-l可得[-Le2]⊂[-3∕n√∕7],即为彳 ,,解得∕w≥e2,故选BUl ≥ L【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为/(x)在［-2,2］的值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题・【分析】被积函数利用二倍角的余弦降幕，然后求出被积函数的原函数，代入区间端点值后即门J得到结论•【详解】Jr πIX ξ兰兀・π π I∫2siιf —dX=COSX)dx = (x-SinX) IJ =y-SIn y = y ^∙O 2 O故答案为:p.【点睛】本题考查了定积分，解答此题的关键是把被积函数降幕，此题为基础题.14.6x-3y-5 = 0【分析】由题意先写出函数/(χ)的解析式，然后对/(x)求导，求出切线的斜率，进而可求出切线方程.【详解】所以切线方程为y-∣ = 2(x-l),整理得6x-3y-5 = O,故答案为6x-3y-5 = O【点睛】本题主要考查求函数在某点的切线方程，只需熟记导数的几何意义，函数在某点处的导数即为该点的切线斜率，属于基础题型.15.708【分析】分析各式找到规律即可求解【详解】根据规律可得，50704的最前两位是5×7 = 35,紧接着的两位是7x4 = 2&则5O704=3528,同理得7Q4Q5=2820,故(50704)—(70405) = 708故答案为708【点睛】本题考查合情推理，找到规律是关键，是基础题2+ hι316. -----3【分析】设f = /(〃» = g(")(r > 0)得到加,n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数, 求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论.【详解】设f = /(〃?) = g(")(r>0),则 m = 1 +^1IZ ,H = e ~3 .令∕?(f) = “一m = e 3 一 1 (f > 0),则 h ,(t) = e 3 »(1 \•••//(f)在(0,+S)上单调递增，且N - =0,∖ J・・・当0</<扌时，Λ,(r)<O,Λ(f)单调递减；当r>∣时，F(f)>0∕(/)单调递增.= h[~} =13丿故n-ιn 的最小值为土Q.3 口小…2 + ln3 故答杀为—^—.【点睛】 本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究 函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度・17.【分析】(1)将(l + 3z)∙z 表示为a + bi 的形式，结合纯虎数的定义即可求解；(2)将(1)的结果代入 Q =二一化简为cι + bi 的形式，结合复数的模长公式即可求解.2 + i【详解】⑴将Z = 3+bi 代入(l+3∕)∙z 得(1+引)∙z = (l + 3f ∙)(3 +仞)= 3-3b+(b+9)d,因为2 + lιι3 •••〃(/)(1 + 3Z)^为纯虚数,所以W 3_3b =0、 b + 解得b = l.所以复数2 = 3 + 1.7(1) z = 3 + ι; (2) ^3+ f _ (3 + Q(2-0 _7-z_ 7 /2 + l~ (2 + i)(2-i)~~Γ~5~5本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.18. (1) /(-1) = 1,/(-1) = 6; (2) f(x) = x 3-3x 2-3x+2【解析】分析：(1)利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可.(2)利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可.详解：(1) Vf(X)在点M ( - 1, f (・1))处的切线方程为6χ-y+7二0.故点(・1, f ( - 1))在切线6χ-y+7二0上，且切线斜率为6.得 f ( - 1)二 1 且 f' ( - 1) =6.(2) Vf (x)过点 P (0, 2)・•・d=2Vf (X)=χ3+bx"+cx+d∙a . f , (x) =3x 2+2bx+c 由 f' ( - 1) =6 得 3 - 2b+c=6又由 f ( - 1)二1,得-l÷b - c+d=l4=2联立方程! 3-2b+c=6k l≡-l+b"c+d d≡2故 f (x) =x 3 - 3x - - 3x+2点睛：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力・319・Cl n = ---- ,证明见解析•/7 + 5 Z⑵由⑴知z = 3+ι,所以^ =—=【点睛】【解析】3试题分析：利用递推式直接求。
河南省郑州市八校2022-学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
14.在 中， 是 的平分线， ，那么 ________.
【答案】
【解析】
设 中 边上的高为 ，
那么有 ，整理得 ．
设 ，
在 中分别由余弦定理得 ，
即 ，解得 ．
在 中由余弦定理得 ．
又 ，
∴ ．
答案：
点睛：
解答此题时首先根据三角形的面积公式得到三角形角平分线的性质，即三角形的角平分线分对边所成的两条线段与该角的两边对应成比例，利用此结论并结合余弦定理可得到三角形的为止边长，然后在根据要求解题即可．
因 为真，那么p真q真，所以
〔2〕由 得； ，又 ，
所以m＜x＜3m,
由 得 ，即 ；
设 ，
假设 的充分不必要条件
那么A是B 的真子集，所以 即
【点睛】此题主要考查不等式的解法和复合命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18.关于x的不等式
〔1〕假设不等式的解集是 ，求k的值；
【详解】本选择题可以逐一判断,显然对于A选项 为假命题可知p、q一假一真或者均为假命题,因此A的结论错误,选择A项即可．
对于B项, 可得 ,反之无法推出,所以“ 〞是“ 〞 充分不必要条件.
对于C项条件,结论否认且互换,正确.
特称命题的否认是全称命题 ,可知D判断正确．
应选：A.
【点睛】此题考查复合命题的真假判断问题,充要条件,命题的否认,全称命题以及特称命题的概念．
那么 ,解得 ．
故 ; ．
(2)因为 ,
所以 = ,
故 = ．
【点睛】此题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于根底题型．
2020-2021学年河南省郑州市八所省示范高中高二上学期11月期中联考数学(理)试卷参考答案
数学（理）参考答案
一．选择题
1.C2.C3.C4.C5.B6.B7.D8.D9.C10.B11.C12.B
13.614. 15. 16.
17.解： 由 ，解得 ，所以p： 5…………1分
又 ，
因为 ，解得 ，所以q： ．
当 时，q： ，…………3分
又 为真，p，q都为真，所以 …………5分
由 是 的充分不必要条件，即 ， ，
则有 ， ，
由 ： ，q： ，
所以 ，且等号不能同时成立，…………9分
即： …………10分
18.解： 设 的公比为q， ，由 ，得 ，即 ，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，即 ，即 ，……2分
解得 舍去 ， ，…………4分
不等式 可化为 ，
解得 ；
不等式的解集是 …………12分
21.解： 动员x户农民从事水果加工后，
要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，
则 ，
解得 …………4分
由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，
则 ， ，…………6分
化简得 ， ，…………8分
所以 ，
由于 ，
则 ，
所以 ，
，
得： ，
，
，
故 ．…………8分
设 ，
则： ，
当 ，2，3时， ，
当 时， ，
故 的最大值为1，
不等式 对一切正整数n恒成立，
只需 即可，
故 ，
解得 ，
所以m的取值范州市八所省示范高中高二上学期11月期中联考数学（理）试卷
由于 ，…………10分
河南省郑州市八校2020-2021学年高二第一学期期中联考数学(理)试题解析版
2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤D. 若0x >，则2020x >2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150B. 60或120C. 30D. 603. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y-最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 47. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈Cn a *n N ∈ D. 2n a n =，*n N ∈10. 给出下列结论： ①ABC 中，sin sin A B a b >⇔>；的②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,1⎛+ ⎝⎦B. 1,12⎡⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）的16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m > （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ； （2）若a =ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围； （2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加.工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤ D. 若0x >，则2020x >【答案】C 【解析】 【分析】把命题的条件和结论全否定可得到原命题的否命题 【详解】解：因为命题“若2020x >，则0x >”， 所以其否命题为“若2020x ≤，则0x ≤”，故选：C2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150 B. 60或120C. 30D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理列出 关系式，将a ，b ，sin B 的值代入求出sin A 的值，即可确定出A 的度数． 【详解】解：在ABC 中，1a =，b =120B =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，得：1sin 1sin 2a B A b ===， a b <，A B ∴<，则30A =︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，根据c 的范围，可得1c c >，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】不等式可变形为：1()()0x c x c -->，因为1c >，所以1c c>，所以不等式解集为1{x x c<或}x c >，故选：C4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理可知60A =，再利用边角互化，以及条件证明b c =，从而判断ABC 的形状.【详解】根据余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==，因为0180A <<， 所以60A =，根据正弦定理可知22sin sin sin B C A bc a =⇔=， 所以()222220b c a bc bc b c +=+=⇔-=，所以b c =， 则ABC 的形状是等边三角形. 故选：C5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据，可得145,,S S S 的值，即可求得15,a a 的值，根据{}n a 为等比数列，代入公式，即可求得q 的值，根据题中数据，可得0q <，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得111S a ==-，451355,816S S ==-，所以55455138116816a S S =-=--=-， 因为{}n a 为等比数列，所以451a a q ，即481(1)16q -=-⋅，解得32q =±， 又因为110S =-<，41308S =>，所以0q <，所以32q =-， 所以3341327(1)()28a a q ==-⋅-=，故选：B6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数2z x y =-中，z 的几何意义，通过直线平移即可得到z 的最大值．【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩对应的平面区域如图：设2z x y =-，得122z y x =-， 平移直线122z y x =-，当直线122z y x =-， 经过点A 时，直线的在y 轴上的截距最小，此时z 最大，由2x x y =-⎧⎨=⎩，解得(2,2)A --，此时z 的最大值为2222z =-+⨯=， 则2x y -的最大值为：2． 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误； 对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误； 对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法． 8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1b a 则10ab a -<，当0a >时，有1ab <；当0a <，由1ab >； 即由1b a ，不能推出1ab <；反之，由1ab <，也不能推出10ab a -<，即不能推出1b a； 综上，“1b a”是“1ab <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈C. n a =，*n N ∈D. 2n a n =，*n N ∈【答案】C 【解析】 【分析】首先观察得到2211n n a a --=，利用等差数列求通项公式.【详解】由条件可知22211a a -=，22321a a -=， (22)11n n a a --=()2n ≥，∴数列{}2n a 是公差为1，首项为1的等差数列，2n a n ∴=，2n n a n a ∴=⇒=*n N ∈.故选：C10. 给出下列结论：①在ABC 中，sin sin A B a b >⇔>； ②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对于①，在ABC 中，由正弦定理可知有sin :sin :A B a b =，由此可判断；对于②，举反例可判断即可；对于③，利用递增数列的定义可求得k 的取值范围；对于④，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，进而可判断三角形的形状【详解】解：对于①，由正弦定理得，2sin sin a b R A B ==，所以sin ,sin 22a b A B R R==， 因为sin sin A B >，所以22a bR R>，所以a b >，反之也成立，所以①正确； 对于②，常数列0是等差数列，但不是等比数列，所以②错误； 对于③，若{}n a 为递增数列，则10n n a a +->，即221(1)(1)1(1)0n n a a n k n n kn +-=+-++--+>，化简得1210n n a a n k +-=-+>，得21k n <+恒成立， 因为n ∈+N ，所以3k <，所以③错误；对于④，由正弦定理可知，由sin :sin :sin 3:5:7A B C =，得::3:5:7a b c =，设3,5,7a m b m c m ===，则222222925491cos 022352a b c m m m C ab m m +-+-===-<⨯⨯，所以角C 为钝角，所以三角形为钝角三角形，所以④错误， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查数列的单调性，等比数列和等差数列的定义等知识，解题的关键是对所涉及的基本概念和知识要熟悉，属于中档题11. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,12⎛+ ⎝⎦B. 1,122⎡+⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和基本不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再化简sin cos B B +，再利用三角函数的取值范围. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列， ∴2b ac =，∴22221cos 222a cb ac ac B acac +--==，当且仅当a c =取等号，∴0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴124B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查余弦定理和基本不等式，考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项. 【详解】①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确；④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可得数列的通项公式12n n a n +=，进而解12n n+＝712可得n 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，数列32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅…中，其通项公式12n n a n+=，令12n n+＝712，解得6n =，即712是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】 【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）【解析】 【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．【详解】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知sin CE EAC ∠＝sin AC AEC ∠，∴AC sin45°＝20（米），∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝，∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为46＝23（米/秒）．故答案为：23．【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决． 16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．【答案】43+ 【解析】 【分析】先根据条件消掉b ，将14b a =代入原式得18141aa a +--，并用“1”代换法，最后应用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 因此1211a b+--＝121114aa+--， ＝18141a a a +--， ＝12(41)2141a a a -++--， ＝122141a a ++--， ＝12224144a a ⎛⎫++⎪--⎝⎭， ＝()()2124144234144a a a a ⎛⎫⎡⎤+-+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭， ＝2442(41)12234144a a a a --⎡⎤++++⎢⎥--⎣⎦，的(223≥+＝4+3， 当且仅当a“＝”，所以1211a b +--的最小值为43+，故答案为：43+【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<， 又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可. （2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）. 因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=， 解得12q =或13q =-（舍）， 又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6， 故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长．【答案】（1）A 3π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsin2Aπ-=sinAsinB ，化简得到答案.（2）根据面积公式得到bc ＝6，利用余弦定理得到b +c ＝5，得到周长.【详解】（1）2B C bsin asinB +=，∴由正弦定理可得sinBsin 2Aπ-=sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cos 2A =sinA ，即cos 2A =2sin 2A cos 2A，∵2A ∈（0，2π），cos 2A ≠0，∴sin 122A =，∴26A π=，可得A 3π=．（2）a =A 3π=，△ABC 12=bcsinA =bc ，解得bc ＝6， ∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣18，∴解得b +c ＝5，∴△ABC 的周长为5．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R . 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤ 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32， 所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.【答案】（1）0175x <≤；（2）11【解析】【分析】（1）求得从事水果种植农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）. 由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题. 22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）是，22n n a -=；（2）32n n nT -=；（3）2m ≥+或2m ≤-【解析】【分析】（1）由题分析可得12n n a a -=，即得数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列，再写出数列的通项得解； 的（2）求出1682n n n c -=，再利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）设323282n n n n n d T n --=⋅=，求出n d 的最大值即得解. 【详解】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． 则122n n S a +=①， 当1n =时，11122S a +=， 解得112a =． 当2n ≥时，11122n n S a --+=②， ①-②得122n n n a a a -=-， 整理得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列． 所以121222n n n a --=⋅=， 故22n n a -=．（2）由于22n n a -=，所以2242n n b log a n =-=-， 由于n n n b c a =， 则24216822n n nn n c ---==， 所以1280168222n n n T -=+++①， 2311801682222n n n T +-=+++②， ①-②得：23111111684822222n n n n T +-⎛⎫=-++⋯+- ⎪⎝⎭，21111116822481212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⋅--， 42nn =， 故32n n nT -=．（3）设32328328822n n n n n n n n d T n n ---=⋅=⋅=， 则：()1113123253222n n n n n n n n d d ++++----=-=， 当1n =，2，3时，112d =，21d =，378d =， 当1n >时，15302n n +-<， 故n d 的最大值为1， 不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立， 只需21114m m --≥即可， 故2480m m --≥，解得2m ≥+2m ≤-所以m的取值范围是2m ≥+或2m ≤-【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法.要根据数列的通项的特征灵活选用.。
河南省郑州市八校新学年高二数学上学期期中联考试题理(含解析)
河南省郑州市八校高二数学上学期期中联考试题 理（含解析）A. 充分而不必要条件 C.充分必要条件4.下列有关命题的说法中错误的是（ A. 若为假命题,则p 、q 均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“若，则“的逆否命题为：“若 D. 对于命题p ：,使得,则：，均有 5. 已知在△ ABC 中内角ABC 勺对边分别为C. D. a = 2,则b 等于（）B. D.”是“为递增数列”的 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ）,则”ab 边c 上的高为，ab =2,则角C 的大小（）D.）D. 1b 、c ，/ A=60°, b =4,若此三B. 或 D. 8. 在等差数列｛a n ｝中，8 > 0, 32012+32013> 0, a 2012a 2013< 0,则使S n > 0成立的最大自然数n 是（） 10. 在厶 ABC 中, A 为锐角，lg b +lg （） =lgsin A =- lg ，贝U △ ABC 为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形11. 已知数列｛a n ｝满足，S 是数列｛a n ｝的前n 项和，若 S°17+n =1010，且a 1?m > 0，则的最小值为（ ）A. 2B.C.D.12. 若正数x , y 满足x +2y +4=4xy ，且不等式（x +2y ） a 2+2a +2xy -34>0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C.二、 填空题（本大题共 4小题，共20.0分）13. 设数列｛a n ｝满足a 1=1，且a n+1-a n =n +1 （ n € N ），则数列｛｝的前10项的和为 ____ 14. 在厶 ABC 中，已知 b =1, c =2, AD 是/ A 的平分线，A[=，则/ C = _____ . 15. 设不等式组表示的平面区域为Q 1,平面区域 Q 2与Q 1关于直线2x +y =0对称，对于任意的C €Q 1, D€Q 2,则| CD 的最小值为 __________ .16. 在厶ABC 中, / AC 昏60°,BC> 2 ,AC=AB1,当厶ABC 的周长最短时，BC 的长是 ____ 三、 解答题（本大题共 6小题，共70.0分）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分） 1. 已知 a v 0, -1 v b v 0,则有（ ）A. B. 2.在厶ABC 中，/ A = 45°,/ B= 60°, A. C. 3.设是公比为q 的等比数列，则“ .IA. B. C. 6. 若x , y 满足x +1w y < x ,贝U y -2x 的最大值是（ A.B. 2C.7.已知在△ ABC 中，内角A 、B C 所对的边分别为a 、 角形有且只有一个，则 a 的取值范围是（）A. B.A.4025B.40249.已知函数，若数列｛a n ｝满足a n =f (n ) 都有(mn )( a m -a n )> 0,那么实数A. B.C. 4023D. 4022 （n € N +）且对任意的两个正整数m n （m^ n ） a 的取值范围是（）C. D. D.17.设p：实数x 满足x2-4ax+3a2v 0, q：实数x 满足| x-3| v 1.(1)若a=1，且p A q为真，求实数x的取值范围；(2)若a> 0且「p是「q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式kx2-2x+6k v0 (k丰0)1 )若不等式的解集是{x|x v -3 或x> -2} ，求k 的值；(2) 若不等式的解集是R,求k的取值范围;(3) 若不等式的解集为？，求k的取值范围.19.在厶ABC中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，若a, b, c成等差数列，△ ABC 的周长为15，且c2=a2+b2+ab.(I)求厶ABC的面积；(H)设ABC的重心，求CG勺长.20.已知等差数列｛a n｝与公比为正数的等比数列｛t n｝满足b1=2a1=2, a2+b3=10, a s+b2=7.(1)求｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2)若，求数列｛c n｝的前n项和S.21.郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似的为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界ABA[=4万米，BO6万米, C占2万米.(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD勺面积及线段AC的长；(2)因地理条件的限制，边界AD DC不能变更，而边界AB BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点P,使得棚户区改造的新建筑用地APCD勺面积最大，并求最大值.22.各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和为S,且满足•各项均为正数的等比数列｛b n ｝满足b i=a i, b3=a2.(1)求证｛a n｝为等差数列并求数列｛a n｝、｛b n｝的通项公式；(2)若C n= ( 3n-2 )?b n，数列｛C n｝的前n 项和T,.①求T n；②若对任意n》2, n€ N*，均有恒成立，求实数m的取值范围.答案和解析1. 【答案】D【解析】解：••• a v 0, -1 v b v 0,2••• 0v b v 1, ab>0,2 2•ab > a, ab v ab, ab> a,•ab> ab2> a,故选：D．根据不等式的性质,逐一分析四个答案的真假,可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了不等式的基本性质,难度不大,属于基础题．2. 【答案】A【解析】解：由正弦定理可得,• ===故选A由正弦定理可得,,代入可求本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题3. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,考查等比数列的函数性质,属于基础题．根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：设数列的首项为,若为递增数列,则对恒成立,即或,所以由为递增数列,由为递增数列,故“q>1”是“ {a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D．4. 【答案】A【解析】解：对于选项A,由命题p A q为假命题可知命题p和命题p至少有一个为假，命题p、q均为假命题错误，所以选择A项.对于B 项，x=1? X2-3X+2=0，但是X2-3X+2=0^> x=1 故“ x=1” 是“ x2-3x+2=0” 的充分不必要条件,判断对.对于C项，由逆否命题的概念可知C项中的命题是真命题，判断对，对于D项，有特称命题的否定是全称命题可知选项D中的命题的否命题是？p：? x€ R 均有X2+X+1>0,推理对.故选：A.本选择题可以逐一判断，显然对于A选项p A q为假命题可知p、q —假一真或者均为假命题，因此A的结论错误，选择A项即可.对于B项，X=1?X2-3X+2=0,反之无法推出，所以“ X=1”是“ X2-3X+2=0”的充分不必要条件.对于C项条件，结论否定且互换，正确•特称命题的否定是全称命题，由？x€ R,使得X2+X+1 v 0对应的全称命题是：？x € R 均有x2+x+1>0,可知D判断正确.本题考查复合命题的真假判断问题，充要条件，命题的否定，全称命题以及特称命题的概念.5. 【答案】A【解析】解：由题意，根据三角形的面积公式，可得：ab sin C=c?,解得sin C=cos C,即tan C=1,又0v C<n,可得C=.故选：A.根据三角形的面积公式，解得sin C=cos C，即tan C=1,即可求解C的大小；本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，合理选择正、余弦定理求解，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6. 【答案】A【解析】解：作出实数x, y满足不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)令z=-2 x+y，贝U y=2x+z，由图可知当直线y=2x过点A (2, 2)时，z最大，即-2 x+y取最大值为-4+2=-2 ,故选：A.作出x, y满足的可行域，利用z的几何意义即可解答.本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用结合数形结合是解决本题的关键.属于基础题.7. 【答案】C【解析】解：•••在△ ABC中，/ A=60°, b=4,•••由正弦定理可得b sin A=4X =6;故选：c.根据题意求出c sin A=6，然后数形结合可得a的范围.本题考查正弦定理的应用，考查三角形解得情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.8. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，当等差数列中有奇数项时，前n项和等于中间项乘以项数，属于基础题.由题意可得a2012 > 0 , a2013< 0 ,再根据S4024= =2012 ( a2012 + a2013 ) > 0，而So25=4O25a2O13< 0 , 由此可得S>0成立的最大自然数n的值.【解答】解：•.•等差数列｛a n｝，首项a i>0, 82012+82013〉0, 8201282013V 0,•I 82012 > 0 , 82013V 0 .(假设82012V 0 V 82013,则d> 0，而81 > 0，可得82012=81+2011d> 0,矛盾，故不可能.)再根据S i024==2012 (82012+82013 ) > 0,而$025=402582013V 0 ,因此使前n项和S>0成立的最大自然数n为4024.故选B.9. 【答案】C【解析】解：T对任意的两个正整数m n (n)都有(mn)( 8n-8n)> 0,•••数列｛8n｝是递增数列，又••• f (x)=,8n=f ( n)( n € N),•1V 8V 3 且f ( 7)V f (8)2--7 (3- 8) -3 V 8解得8V -9，或8>2故实数8的取值范围是(2, 3) 故选C.由函数f (x)=，数列8n满足8n=f (n) (n€ N),且对任意的两个正整数m n (m5 n)都有(mn)( 8m-8n)> 0,我们得函数f (x)=为增函数，根据分段函数的性质，我们得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得8> 1,且3-8> 0,且f ( 7 )V f (8),由此构造一个关于参数8的不等式组，解不等式组即可得到结论.本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n€ N时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且 f (7)V f (8),从而构造出关于变量8 的不等式是解答本题的关键．10. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则，得到=sin A=，结合A为锐角得到再利用余弦定理表示a2的式子，化简整理得a=b,由此得到厶ABC为以c为斜边的等腰直角三角形.本题给出含有对数的三角形的边角关系式，判断三角形的形状，着重考查了对数的运算法则和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于基础题．【解答】解：T lg b+lg () =lgsin A=-lg , A为锐角，/• =sin A=,艮卩c=K A=,根据余弦定理，得2 2 2 2 2 2a =b +c -2 bc cos=b +2 b -2 b x b x= b ,••• a=b=c，可得△ ABC是以c为斜边的等腰直角三角形.故选：D11. 【答案】A【解析】【分析】本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘 1 法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题.由S2oi7-a i= (a2+a3)+ (a4+a5)+…+ (酝代+阪仃)，结合余弦函数值求和，再由S2oi7+m=1O1O, 可得a i+m=2，由a i?mt>0,可得a i>0, rm>0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值.【解答】解：数列{a n} 满足,得a2+a3=3cos n= -3 ,a4+a5=5cos2 n =5,a6+a7=7cos3 n= -7 ,…，a2016+a2°17=2017cos1008 冗=2017,则S2017-a1=( a2+a3) +( a4+a5) +… +( a2016+a2017)=-3+5-7+9-…+2017=1008,又S2017+m=1010，所以a1+m=2，由a1?m> 0，可得a1> 0，m> 0，则=( a1+m)()=(2++)>( 2+2) =2,当且仅当a1=m=1 时，取得最小值2，故选A.12. 【答案】C【解析】解：T正实数x, y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy-4 ,2•不等式(x+2y) a +2a+2xy- 34 >0 恒成立，即(4xy-4 ) a2+2a+2xy-34>0 恒成立，22变形可得2xy(2a2+1)>4a2-2a+34 恒成立,即xy >恒成立，T x>0, y >0,「. x+2y >2,• 4xy=x+2y+4> 4+2，即2 () 2-?-2>0,解不等式可得》，或w -(舍负)可得xy>2,要使xy》恒成立，只需2》恒成立，化简可得2a2+a-15>0,即(a+3)( 2a-5 )>0,解得a w -3 或a>, 故答案为：(-R, -3] U [, +R).故选：C．原不等式恒成立可化为xy>恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy>2,故只需2》恒成立，解关于a 的不等式可得．本题考查基本不等式的应用, 涉及恒成立问题, 变形并求出需要的最小值是解决问题的关键,属中档题．13. 【答案】【解析】【分析】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题．数列｛a n｝满足a i=1，且a n+i-a n=n+1 (n€ N),禾U用“累加求和”可得a n=.再利用“裂项求和”即可得出.【解答】解：T数列｛a n｝满足a i=1，且a n+i-a n=n+1 (n€ N),••当n时，a n= (a n- a n-i) + …+ (a2- a i) + a i=n+…+2+i = .当n=i 时,上式也成立,•a n=.• =2.•数列｛｝的前n项的和$=•数列｛｝的前i0 项的和为.故答案为：.i4. 【答案】90°【解析】解：因为AD是/ A的平分线，所以=,不妨设BD=2x, CD=x,结合已知得cos / BAD cos / CAD在厶ABD中由余弦定理得BD=AB+AD^2 ABAO ios / BAD即：4X2=4+-2X COS/ BAD …①在厶ACC中，由余弦定理可得CD=AC+AD-2AC?AC cos / CAD即：x2=i+-2X cos/ BAD•②①-②X 2,可得：2x2=2-=，解得：x2=.在厶ADC则，cosC===0./ C=90°.故答案为：90°.根据角平线的性质，可设BD=2X,C DX，然后结合余弦定理列方程解X,然后利用余弦定理求解C 即可.本题考查了解三角形的有关知识和方法， 解题的关键是角平分线的性质以及利用两个角相等结合余弦定理列出方程求解. 15. 【答案】点到直线的距离公式求得答案. 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题. 16. 【答案】2【解析】解：设 A, B , C 所对的边a , b , c , 根据余弦定理可得 a 2+b 2- c 2=2ab cos C=ab ,将b =c +1代入上式，可得 a +2c +1=ac +a , 化简可得c =,所以△ ABC 的周长 L =a +b +c =a +2c +1 =a +1+2?设 a -2= t (t > 0),贝U a =t +2, 可得 L =t +3+2?=3t ++9> 2+9=9+6 当且仅当3t = ,即t =,此时a =2+时， 可得周长的最小值为 9+6. BC 的长是2+. 故答案为：2+. 设A,B, C 所对的边a , b, c ,根据余弦定理可得 a 2+b 2- c 2=ab ,以及b =c +1可得c ,再利用均值不等式即可求出答案.本题考查余弦定理和均值不等式的应用，以及化简变形、运算能力，属于中档题. 17. 【答案】解：(1 )由 x 2-4 ax +3a 2< 0 得(x -3 a )( x - a )< 0当a =1时，1 < x < 3,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x < 3. 由 | x -3| < 1,得-1 < x -3 < 1,得 2< x < 4 即q 为真时实数x 的取值范围是2< x < 4, 若p A q 为真，则p 真且q 真， •••实数x 的取值范围是2< x < 3. (2)由 x -4 ax +3a < 0 得(x -3 a )( x - a )< 0,则Q 冲的点B 与 | AB 的最小值等于 故答案为：. 由题意作出可行域， 到直线 Q i 内的点A 的距离的最小值为 2X =.2x +y =0的距离最小，A 到直线2x +y =0的距离的2倍.数形结合得到的平面区域是Q i 内到直线2x +y =0距离最小的点，由若「p是「q的充分不必要条件，则「p?「4，且「q?「p,设A={x|「p} , B={x|「q}，贝U A?B, 又A={ x|「p}={ x| x w a 或x >3 a}, B={x|「q}={ x| x>4 或x< 2},则O v a w2,且3a>4•••实数a的取值范围是.【解析】(1 )若a=1，根据p A q为真，则p, q同时为真，即可求实数x的取值范围；(2)根据」p是」q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围.本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力．18. 【答案】解：(1 )•••不等式kx2-2x+6k v 0的解集是{x|x v -3或x > -2}，•k v 0，且-3和-2是方程kx2-2x+6k=0的实数根，由根与系数的关系，得( -3) +(-2) =，•k=- ；( 2)不等式的解集是R，2•△ =4-24k2v 0，且k v 0，解得k v -，(3)不等式的解集为？，得△ =4-24 k2w 0,且k>0，解得k>．【解析】( 1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出k 的值；2(2)跟你就题意△ =4-24 k v 0，且k v 0，解得即可，(3)根据题意，得Awo 且k>0，由此求出k的取值范围本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的问题，是综合性题目．19. 【答案】解：(I)设a=x，b=x+d，c=x+2d，由，△ABC的周长为15，可得：x+d=5, 222•c =a +b +ab，•( x+2d) 2=x2+( x+d) 2+x( x+d)，将d=5-x 代入到上式中，解得：x=3，d=2，•a=3，b=5，c=7，•由余弦定理可得：cos C==-，•••由C€( 0,n)，可得C=,• S A AB(=ab sin C==(H)延长CG交AB于F点，贝U F为AB的中点，• =( +)，.•.2= ( +) 2= (2+2+2?) =[3 2+52+2X ]=,•CF=，•CG=CF=．【解析】本题主要考查了数列，余弦定理以及平面向量在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(I)设a=x, b=x+d, c=x+2d,由厶ABC的周长为15,可得：x+d=5,进而由c2=a2+b2+ab, 可得x=3, d=2,解得a=3, b=5, c=7,由余弦定理可得cos C=-,结合范围C€( 0, n) 可得C的值，根据三角形面积公式即可计算得解.(H)延长CG交AB于F点，则F为AB的中点，由=(+),可求CF的值，利用重心的性质可求CG=CF=．20. 【答案】解（1）由题意a1=1，b2=2．设公差为d,公比为q,则，解得．故a n=a1+（n-1 ）d=n；．（2）因为,所以=,故=．【解析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论,进一步利用裂项相消法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用, 裂项相消法在数列求和中的应用, 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．21. 【答案】解：（1 ）•••四边形ABC呐接于圆，•••/ ABC/ ADC180。
河南省八市重点高中2020—2021学年高二上学期12月联合考试数学(理)答案
高二数学（理科）答案与解析1．【答案】C 【命题意图】本题考查正余定理解三角形，意在考查学生对基础知识的掌握情况.是基础题.【解析】依题意，cos 2C =，所以1sin 2C =，由正弦定理可得，sin sin 2b C Bc ==，又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B = .故选C.2．【答案】D 【命题意图】本题考查不等式的性质，主要考查学生对不等式之间关系的判断，属于基础题.【解析】因为a b >，当0c =时，A 不成立，因为11b a a b ab--=，虽然有a b >，但是ab 的正负无法确定，故B 错误；当0a <时，C 错误；D 选项，3322()()0a b a b a ab b -=-++>，故选D.3．【答案】A 【命题意图】本题主要考查充分必要条件的判断以及空间中的位置关系.考查学生逻辑推理和空间想象等核心素养.是中档题.【解析】根据面面垂直的判定定理，可知因为//l α，必存在l α'⊂且//l l '，由l β⊥可推出αβ⊥，反之，若,//l αβα⊥，则l 与β的位置关系不确定，所以“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件.故选A.4．【答案】C 【命题意图】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的基本运算能力.是中档题.【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的的渐近线方程为y x =，所以a b =，又焦距为4，所以224a b +=，解得a b ==，所以2y =，所以抛物线的准线方程是4x =-，故选C.5．【答案】C 【命题意图】本题考查等差数列的基本运算，考查学生对等差数列基本量之间关系的掌握程度.是基础题.【解析】因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1252=15a a S ⋅=⎧⎨⎩，即111525()()152a a a a d =⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解之得1114a a ==-或，当11a =，所以1d =，解得44a =；当14a =-时，72d =，此时4132a =.故选C.6．【答案】D【命题意图】本题考查四种命题以及命题的真假性判定.意在考查学生的逻辑推理素养，是中档题.【解析】A ．命题命题“若ln ln 0a b +=，则1a b ⋅=”的逆命题为“若1a b ⋅=，则ln ln 0a b +=，是假命题；B ．因为1a >时，01a >-，所以该命题是假命题在故B 错；C ．,A B 是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 不是互斥事件”．故C 错.D ．由椭圆的定义，可知命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题是真命题，故选D.【命题意图】本题考查等比数列的性质，意在考查学生对性质的灵活运用.是中档题.【解析】因为数列{}n a 为正项等比数列，因为2918a a ⋅=，所以295618a a a a ⋅=⋅=，而251625262562log log log log log ()3a a a a a a -=+=⋅=-，故选A.8．【答案】C【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查了学生的数形结合思想和逻辑推理能力.是中档题.【解析】由约束条件20,20,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图：由目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，当直线322zy x =-经过图中(2,4)时，z 最小，所以min 6z =-.故选C.9．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的数学抽象和数学运算素养.属于较难题.【解析】由题意可得，该椭圆的半焦距c =，取椭圆的右焦点)1F 以及PF 中点E ，连接1PF ，如图，因为OP OF ==，所以5cos 5∠=PFO ，所以||1,||2==EF OE ，所以14PF =，2FP =，所以126a PF PF =+=，即3a =，所以2224b a c =-=，所以椭圆方程为22194x y +=.故选B.10．【答案】B 【命题意图】本题考查基本不等式，意在考查学生对基本不等式的灵活运用，是中等题.【解析】∵m ，0n >，2m n +=，所以11111()()1311m n m n m n +=+++++∴1114(11)(23133n m m n +=+++≥+=+，当且仅当11n m m n +=+，即32m =，12n =时取等号，故111m n ++的最小值43.故选B.【命题意图】本题考查含参数的一元二次不等式，意在考查学生的分类讨论和函数思想的应用，属于中等题.【解析】因为一元二次不等式220x mx +->的解集为{|21}x x x <->或，所以21m -=-+，即1m =，所以不等式220x x m -++<即2210x x -++<，所以不等式220x x m -++<的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞ .故选D.12．【答案】A 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，意在考查学生的数学抽象和数学运算能力，属于难题.【解析】根据抛物线的定义可知AF AC =，由于AC 垂直抛物线的准线，所以//AC x 轴，所以AFx CAF ∠=∠.设200,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则0,,,022p p C y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设D 是CF 的中点，则00,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线AD 的方程为()0002020202y y y y x y p--=--，即002y p y x y =+.由00222y p y x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得22202004y p x px y -+=，其判别式222020404y p p y ∆=-⨯⨯=，所以直线AD 与抛物线相切，故直线AD 与直线AT 重合，点E 与点D 重合，由于D 是CF 的中点，所以AD CF ⊥，也即AT CF ⊥，命题（2）成立.根据等腰三角形的性质可知2CAF TAF ∠=∠，所以AT 平分FAC ∠，命题（1）成立.进而可得ACE TFE ≅ ，综上所述，正确的命题个数为3个.故选A.13．【答案】224n n +--【命题意图】本题考查数列求和以及分组求和.属于基础题.【解析】依题意112221nn n a +=+++=- ，则231221212124n n n S n ++=-+-++-=-- ．14．【答案】6+【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力.【解析】由正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，又cos cos 2a C c A a +=得到sinAcos sin cos 2sin C C A A +=，即sin()2sin A C A+=在ABC ∆中，A B C π++=,所以sin 2sin 1B A =≤,故角A 最大即6A π=.此时sin 1B =，即2B π=，ABC ∆为直角三角形，2a =，所以4b =，32=c，所以三角形的周长为6+.15．【答案】1)+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的数学运算和数学抽象等核心素养，属于难题.【解析】依题意，可得四边形12F AF B 为平行四边形，1AF x ⊥轴，所以2BF x ⊥轴,将横坐标c 带入双曲线方程，可得22221c y a b -=，得2=±by a，则2(,)b B c a ，所以222212tan 22b BF c a a F F c acα-===，又12tan (0,1)BF F ∠∈，即22012c a ac -<<，整理得2220c a ac --<，两边同时除以2a ，得2210c c a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即2210e e --<，又∵1e >，解得11e <<+.16．【答案】(【命题意图】本题考查不等式思想，可以利用线性规划，三角换元和基本不等式来解决，同时也考查学生的数形结合思想,属于较难问题.【解析】由题意知2224x y +=，令2x y z +=,即122zy x =-+，而2224(0)+=>x y y 表示的是椭圆在x 轴上方部分，所以当直线122zy x =-+经过(0)时，2x y +最小，所以最小值为，由于0>y ，所以2x y +>，当直线122zy x =-+与2224x y +=在第一象限相切时，2x y +取得最大值，联立方程组2212224z y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，可得22940424z z x x -+-=，由0= ，可得z =±，所以2x y +的最大值为所以2x y +的取值范围为(.17．【命题意图】本题考查全称命题和特称命题以及命题的否定，充分必要条件等,是基础题.【解析】（1）对于命题p ：对任意[1,)x ∈+∞，不等式2350x m m -++-<恒成立，因为函数253y x m m =-+-+在[1,)x ∈+∞上单调递减，所以有1x =时，2max430ym m =-+<，.........................................................................................................2分解之得(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，...........................................................................................................................4分所以p 为假命题时，实数m 的取值范围[1,4]m ∈-...........................................................................................5分（2）依题意，对任意的[]2,1x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立，即二次函数2223y x mx m =--+在[]2,1x ∈-上的最小值大于0即可，..................................................................................................................7分当2≤-m 时，44230+-+>m m ，解得∈∅m ；当1≥m 时，12230--+>m m ，解得1>m ；当21-<<m 时，222320-+->m m m ，解之得∈∅m ，综上可得，解之得1>m ，....................................................................................................................................9分而p 为真时(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.................................................................................................................10分18．【命题意图】本题考查一元二次不等式，主要考查三个二次之间的关系以及分类讨论等思想，是中等题.【解析】（1）不等式232ax bx x ++<的解集为(,1)(3,)-∞-+∞ 即方程2(2)30ax b x +-+=的两根为121,3x x =-=.....................................................................................2分由韦达定理得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，.....................................................................................................................4分解之得，1,4a b =-=...........................................................................................................................................6分（2）由（1）可知，令2()23f x x x =-++，对称轴方程为1x =，所以()f x 在[,1]x m ∈上单调递增，.....................................................................................................................9分所以当x m =时，2()231f x m m =-++≥，即22201m m m ⎧--≤⎨<⎩，所以[1m ∈-......................................................12分19．【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算能力.是中等题.【解析】（1）因为2222a c b a b a+-=+，所以222a b c ab +-=-，............................................................2分所以1cos 2C =-，即23C π=..............................................................................................................................5分另解：因为2222a c b a b a +-=+，所以222222a c b a bac c+-+=，即2cos 2c B a b =+，由正弦定理得：2sin cos 2sin sin C B A B =+，...........................................................................................................................2分所以2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，故1cos 2C =-，故23C π=．............................................................................................................................................................5分（2）因为ABC的面积为4，所以16si 4n 2ab C =，即132462ab ⨯=，故ab =，............................................................................................................................................................8分由余弦定理可得222222212cos 2()2=+-=+--=+c a b ab C a b a b所以222222224a c a a b a b +=+++=++≥=，........................................10分b ==此时1a =.............................................................................................12分20．【命题意图】本题考查数列的综合应用，主要考查数列求通项，数列求和，错位相减法思想等，是中等题.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由2433S a a -=，即2423S S S -=，又21n n n a a a --=，可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，......................................................................................................3分解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，*N n ∈...........................................................................................6分（2）由题意知：422nn n b a ⋅+=，即()1221144n n n n a b n --⎛⎫==- ⎪⎝⎭，.........................................................8分所以1211111(2((1)()444n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ，所以()2311111214444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，..................................................................................10分两式相减得12131111()()()(1)(44444n n n T n -=+++-- ，所以1111()3144(1)(14414n n n T n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=---11111((1)(3344n n n -=-⨯--11111(3344n n --=-+，.............11分所以14311()994n n n T -+=-⨯所以数列{}n b 的前n 项和14311()994n n n T -+=-⨯...........................................................................................12分21．【命题意图】本题考查基本不等式和不等式的证明，意在考向学生的逻辑推理能力，属于较难题.【解析】（1）因为a ，b ，c 为正数，且22a b c ++=，可得11111(2)2a b c a b b c a b b c+=+++++++............................................................................................3分1(11)22b c a b a b b c++=+++≥++，...........................................................................................................................5分当且仅当b c a ba b b c++=++时取等号.........................................................................................................................6分（2）()()2222222221122222++=+++++≥++a b c a b c a b c ab bc ac ................................................8分当且仅当19===a b c 时等号成立.()()1122222ab bc ac ab bc ab ac bc ac ++=+++++(12222≥+==............................................................10分当且仅当19===a b c 时等号成立.所以222a b c ++≥.当且仅当19===a b c 时等号成立......................................................................12分22．【命题意图】本题考查椭圆的集合性质，直线与椭圆的位置关系，意在考查数学抽象，直观想象和数学运算等核心素养，属于难题.【解析】（1）依题意，设椭圆的长半轴长为a ，直线2c x =被抛物线()22:2 0C y px p =>截得的弦长为且2pc =.所以224pp =⨯，解得p =.所以c =........................................................................3分又因为2a b =，∴2,1a b ==所以椭圆1C 的方程为2214x y +=，.....................................................................................................................5分（2）设(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2OP OA OB λμ-=，得122x x x λμ=+，122y y y λμ=+∵点,,P A B 在椭圆2214x y +=上，∴所以221144x y +=，222244x y +=，2244x y +=........................................................................................7分故222212124(2)4(2)x y x x y y λμλμ+=+++22222211221212(4)4(4)4(4)4x y x y x x y y λμλμ=+++++=.设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率，由题意知，121214OA OB y y k k x x ⋅==-因此121240x x y y +=,所以2241λμ+=............................................................................................................9分所以Q 点是椭圆上22114μλ+=上的点，.又,0)2M ，点N 满足2112MN F F =，所以(,0)2N -.........................................................................11分所以,M N 恰为椭圆22114μλ+=的左、右焦点，由椭圆的定义，2QM NQ +=为定值......................12分。
2021-2022学年河南省郑州市十校高二上学期期中联考数学理试题 word版
郑州市十校2021-2022学年高二上学期期中联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式2120x x +-<的解集为（ ）A ．(,4)(3,)-∞-+∞B ．(,3)(4,)-∞-+∞C ．(4,3)-D ．(3,4)- 2. 在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +-=（*N ∈n ），则25a 的值为（ ） A ．50 B ．49 C ．89 D ．993.已知0x >，则函数xx y 9+=的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．34. 已知数列{}n a 是等差数列，57918a a a ++=，则其前13项的和是（ ）A ．45B ．56C ．65D ．785. 关于x 的不等式0<-b ax 的解集是),2(+∞，则关于x 的不等式0)3)((<-+x b ax 的解集是（ ）A ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞B ．)3,2(-C ．)3,2(D ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ 6. 如果0<<b a ，那么下列不等式一定成立的是（ ）A ．b a 11<B ．2b ab <C ．22bc ac <D ．22b ab a >>7. 若对任意的实数x ，不等式210kx kx -+>恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(0,4)B ．[)0,4C ．(0,)+∞D ．[)0,+∞8. ABC ∆中，2,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =（ ）A.3B. 3±C. 3-D. 39.在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是( ) A ．3 B. 932 C. 332D ．3 310. 设0x >，0y >是9x 与3y 的等比中项，则xy 的最大值为（ ）A ．321 B ．161 C ．81D ．41 11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，*121(N )n n S S n +=-∈，则8a =（ ）A ．32B ．256C ．128D ．6412. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 3.14]4-=-，[3.14]3=．已知数列{}n a 满足：11a =，11n n a a n +=++（*N ∈n ），则122022111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为14．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2b c a +=, 3sin 5sin A B = 则角C =15.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S = 16.已知,a b 为正实数，且3a b ab ++=，则2a b +的最小值为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020-2021学年河南省名校联盟高二上学期期中(理科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年河南省名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{y|y＝log2（x2﹣2x+5）}，B＝N*，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{1}2．（5分）sin34°sin64°﹣cos34°sin206°的值为（）A．B．C．D．13．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（≈3.1429）、密率（≈3.1416），这6个数据的中位数（精确到万分位）与极差分别为（）A．3.1429，0.0615B．3.1523，0.0615C．3.1498，0.0484D．3.1547，0.04844．（5分）已知sin（+α）＝，0＜α＜π，则tanα＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）已知a＞0，b＞0，（2a）b＝16，则a+2b的最小值为（）A．2B．2C．4D．46．（5分）已知f（x）＝4x+m，f（1+log2）＝3，则m的值为（）A．B．C．1D．27．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x2+y2+2x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．16D．188．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）A．2+（3+）πB．2+（）πC．2+（）πD．（）π9．（5分）运行如图的程序框图，则输出k的值为（）A．6B．5C．4D．310．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝60°，则异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若S ＝a cos B+b cos A，cos2A+sin A﹣＝0，角A为锐角，c＝2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．C．6πD．12．（5分）已知函数f（x）＝2tan（ωx+φ）（0＜ω＜10，|φ|＜），f（0）＝，（，0）为f（x）图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①φ＝；②ω＝2；③函数f（x）在区间（，）上单调递增；④函数f（x）的最小正周期为，则上述说法正确的序号为（）A．①④B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（共4小题）13．（5分）已知非零向量＝（m，2m），＝（﹣1，1），⊥（﹣），则实数m＝．14．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx，且f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，则当x∈[0，]时，f（x）的最小值为．15．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，＝，则＝．16．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，cos∠BAC＝，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b cos A＝2c cos C ﹣a cos B．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC⊥平面AA1B1B，且AC＝2，点E为A1C1的中点，O为BA1与AB1的交点．（Ⅰ）证明：BA1⊥平面AB1C；（Ⅱ）若∠ABB1＝60°，求三棱锥E﹣B1AC的体积．19．（12分）已知正项数列{a n}满足a n2﹣na n﹣2n2＝0，数列{（a n﹣1）•2n+a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n．20．（12分）甲、乙两人进行比赛，现有两组图形，第一组为一个正方形及其外接圆和内切圆，第二组为一个正方体及其外接球和内切球，甲在第一组图形内部任取一点，则此点在正方形与其外接圆之间得3分，此点在内切圆与正方形之间得2分，此点在内切圆内部得1分，乙在第二组图形内部任取一点，则此点在正方体与其外接球之间得3分，此点在内切球与正方体之间得2分，此点在内切球内部得1分．（Ⅰ）分别求出甲得3分的概率和乙得3分的概率；（Ⅱ）预估在这种规则下，甲、乙两人谁的得分多．21．（12分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n＝n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，最高点的坐标为（1，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间；（Ⅲ）若存在x∈[﹣，3]，对任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）﹣m2+2am+≤0恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{y|y＝log2（x2﹣2x+5）}，B＝N*，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{1}解：∵集合A＝{y|y＝log2（x2﹣2x+5）}＝{y|y＝log2[（x﹣1）2+4]}＝{y|y≥log24}＝{y|y ≥2}，B＝N*，∴∁R A＝{y|y＜2}，∴（∁R A）∩B＝{1}．故选：D．2．（5分）sin34°sin64°﹣cos34°sin206°的值为（）A．B．C．D．1解：sin34°sin64°﹣cos34°sin206°＝sin34°cos26°+cos34°sin26°＝sin（34°+26°）＝sin60°＝．故选：C．3．（5分）新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（≈3.1429）、密率（≈3.1416），这6个数据的中位数（精确到万分位）与极差分别为（）A．3.1429，0.0615B．3.1523，0.0615C．3.1498，0.0484D．3.1547，0.0484解：因为≈3.1429，≈3.1416，所以这6个数据的中位数是＝3.15225≈3.1523，极差为3.2031﹣3.1416＝0.0615．故选：B．4．（5分）已知sin（+α）＝，0＜α＜π，则tanα＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：因为sin（+α）＝，所以cosα＝，又因为0＜α＜π，所以α为第二象限角，所以sinα＝，可得tanα＝﹣．故选：A．5．（5分）已知a＞0，b＞0，（2a）b＝16，则a+2b的最小值为（）A．2B．2C．4D．4解：a＞0，b＞0，（2a）b＝16，∴2ab＝24，∴ab＝4，∴a+2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b时取等号，故a+2b的最小值为4，故选：D．6．（5分）已知f（x）＝4x+m，f（1+log2）＝3，则m的值为（）A．B．C．1D．2解：∵f（x）＝4x+m，∴f（1+log2）＝+m＝4×+m＝3，解得m＝．故选：B．7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x2+y2+2x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．16D．18解：约束条件的可行域如图：z＝x2+y2+2x﹣2y＝（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，则z+2表示可行域内的点到P（﹣1，1）距离的平方，联立，可得点A的坐标（2，﹣2），故z+2的最大值为|PA|2＝32+（﹣3）2＝18．所以z＝x2+y2+2x﹣2y的最大值为：16．故选：C．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）A．2+（3+）πB．2+（）πC．2+（）πD．（）π解：由三视图还原原几何体，可知该几何体是半个圆锥和四分之一个球的综合题，其中圆锥的底面半径为1，球的半径为1，圆锥的高为2，则圆锥的母线长为l＝，则该几何体的表面积为S＝．故选：B．9．（5分）运行如图的程序框图，则输出k的值为（）A．6B．5C．4D．3解：模拟程序的运行，可得第一次循环，a＝，k＝2，b＝；第二次循环，a＝，k＝3，b＝；第三次循环，a＝，k＝4，b＝；第四次循环，a＝，k＝5，b＝；第五次循环，a＝，k＝6，b＝，此时不满足b＞，故退出循环，输出k的值为6．故选：A．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝1，∠ACB＝60°，则异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成如图所示的直四棱柱ACBD﹣A1C1B1D1，连接AD1，D1C1，由题意知∠D1AC1或其补角为异面直线B1C与AC1所成角，在△A1D1C1中，由余弦定理得：DC1＝＝，∵D1A＝，C1A＝，∴cos∠D1AC1＝＝，∴异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为．故选：C．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若S ＝a cos B+b cos A，cos2A+sin A﹣＝0，角A为锐角，c＝2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．C．6πD．解：因为S＝a cos B+b cos A，所以ab sin C＝a cos B+b cos A，由正弦定理可得sin Ab sin C＝sin A cos B+sin B cos A＝sin C，可得b sin A＝2，因为cos2A+sin A﹣＝﹣2sin2A+sin A＝0，所以18sin2A﹣9sin A﹣2＝0，解得sin A＝（A为锐角，负值舍去），所以cos A＝，b＝3，所以a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+20﹣2×＝9，解得a＝3，设△ABC的外接圆的半径为r，则，即＝2r，解得r＝，所以所求的△ABC的外接圆的面积为πr2＝．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝2tan（ωx+φ）（0＜ω＜10，|φ|＜），f（0）＝，（，0）为f（x）图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①φ＝；②ω＝2；③函数f（x）在区间（，）上单调递增；④函数f（x）的最小正周期为，则上述说法正确的序号为（）A．①④B．③④C．①②④D．①③④解：f（x）＝2tan（ωx+φ）（0＜ω＜10，|φ|＜），由f（0）＝，得2tanφ＝，即tanφ＝，结合|φ|＜，解得φ＝，故①正确；（，0）为f（x）图象的一个对称中心，故，k∈Z，解得ω＝6k﹣2，k∈Z，又0＜ω＜10，∴ω＝4，故②错误；当x∈（，）时，4x+∈（π，），故函数f（x）在区间（，）上单调递增，故③正确；∵ω＝4，∴f（x）的最小正周期T＝，故④正确．∴正确的序号为①③④．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知非零向量＝（m，2m），＝（﹣1，1），⊥（﹣），则实数m＝．解：∵非零向量＝（m，2m），＝（﹣1，1），⊥（﹣），∴•（﹣）＝﹣＝5m2﹣（﹣m+2m）＝5m2﹣m＝0，则实数m＝，或m＝0（舍去），故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx，且f（x）图象的相邻对称轴之间的距离为，则当x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣2．解：f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣＝2sin（2ωx﹣）﹣．由题意可知f（x）的最小正周期为2×＝，所以＝，即ω＝2，所以f（x）＝2sin（4x﹣）﹣．当x∈[0，]，4x﹣∈[﹣，]，所以2sin（4x﹣）∈[﹣，2]，所以f（x）＝2sin（4x﹣）﹣∈[﹣2，2﹣]，所以x）的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，＝，则＝．解：根据等差数列的性质，若数列{a n}为等差数列，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12也成等差数列，又因为：＝，则令S4＝k，S8＝3k，则S8﹣S4＝2k，S12﹣S8＝3k，S16﹣S12＝4k，可得：S12＝6k，S16＝10k，所以＝．故答案为：．16．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，cos∠BAC＝，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为4：29．解：由题意，设BC＝6，AB＝8，AC＝10，则△ABC的内切圆的半径为，所以要使此三棱柱有内切球，则此三棱柱的高AA1＝4，得内切球的半径r＝2，取AC的中点D，A1C1的中点D1，则DD1的中点M为外接球的球心，则外接球的半径R＝，因此，三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为4πr2：4πR2＝4：29，即三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为4：29．故答案为：4：29．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b cos A＝2c cos C ﹣a cos B．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos C，所以sin（A+B）＝2sin C cos C，所以sin C＝2sin C cos C，又因为sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）因为c＝2，所以由余弦定理可得22＝a2+b2﹣2ab×，即a2+b2﹣ab﹣4＝0，又b＝2a，解得a＝，b＝，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC⊥平面AA1B1B，且AC＝2，点E为A1C1的中点，O为BA1与AB1的交点．（Ⅰ）证明：BA1⊥平面AB1C；（Ⅱ）若∠ABB1＝60°，求三棱锥E﹣B1AC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面AA1B1B是边长为2的菱形，∴A1B⊥AB1，∵AC⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴AC⊥A1B，∵AB1∩AC＝A，∴BA1⊥平面AB1C；解：（Ⅱ）∵∠ABB1＝60°，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，∴△ABB1为等边三角形，则AB1＝2，，如图，连接CA1，∵A1C1∥AC，∴＝．∴三棱锥E﹣B1AC的体积为．19．（12分）已知正项数列{a n}满足a n2﹣na n﹣2n2＝0，数列{（a n﹣1）•2n+a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n．解：（Ⅰ）由a n2﹣na n﹣2n2＝0得（a n﹣2n）（a n+n）＝0，又a n＞0，∴a n＝2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：（a n﹣1）•2n+a n＝（2n﹣1）•2n+2n，∴S n＝[1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]+2（1+2+3+…+n）＝[1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]+2×，令x＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n，则2x＝1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，两式相减得：﹣x＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2×﹣（2n ﹣1）•2n+1，整理得：x＝（2n﹣3）•2n+1+6，∴S n＝（2n﹣3）•2n+1+6+n2+n．20．（12分）甲、乙两人进行比赛，现有两组图形，第一组为一个正方形及其外接圆和内切圆，第二组为一个正方体及其外接球和内切球，甲在第一组图形内部任取一点，则此点在正方形与其外接圆之间得3分，此点在内切圆与正方形之间得2分，此点在内切圆内部得1分，乙在第二组图形内部任取一点，则此点在正方体与其外接球之间得3分，此点在内切球与正方体之间得2分，此点在内切球内部得1分．（Ⅰ）分别求出甲得3分的概率和乙得3分的概率；（Ⅱ）预估在这种规则下，甲、乙两人谁的得分多．解：（Ⅰ）假设第一组图形中正方形的边长为2，则正方形的外接圆的半径为＝，所以正方形的面积为4，其外接圆的面积为2π，则甲得3分的概率为＝1﹣，假设第二组图形中正方体的棱长为2，则正方体的外接球的半径为＝，乙得3分的概率为＝1﹣，（Ⅱ）甲得1分的概率为＝，甲得2分的概率为＝，所以甲的平均得分为1×+3×（1﹣）＝，乙得1分的概率为＝，甲得2分的概率为＝，所以乙的平均得分为1×+2×+3×（1﹣）＝﹣+3﹣，（）﹣（﹣+3﹣）＝﹣﹣＜0，因此预估乙的得分多．21．（12分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n＝n2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．解：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+a n＝n2可得：a1+a2+a3+…+a n﹣1＝（n﹣1）2，n≥2，两式相减得：a n＝2n﹣1，又当n＝1时，a1＝1也适合上式，∴a n＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b n＝（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1（+），当n为奇数时，T n＝（1+）﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝1+≤（当n＝1时取“＝“）；当n为偶数时，T n＝（1+）﹣（+）+…﹣（+）＝1﹣＜1，∴T n≤，∴数列{b n}的前n项和T n的最大值为．22．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，最高点的坐标为（1，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间；（Ⅲ）若存在x∈[﹣，3]，对任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）﹣m2+2am+≤0恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可得A＝1，＝8，即ω＝，将（1，1）代入f（x）＝A sin（x+φ），可得sin（+φ）＝1，所以φ＝+2kπ，k∈Z，因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝sin（x+）．（Ⅱ）根据题意可得g（x）＝﹣sin（x+），令t＝x+，则t∈[﹣，]，令≤x≤，所以≤x+≤，则≤x≤2π，所以函数g（x）在[﹣π，2π]上的单调递增区间为[，2π]．（Ⅲ）因为f（x）﹣m2+2am+≤0，所以f（x）≤m2﹣2am﹣，因为x，所以f（x）∈[﹣，1]，由题意可知﹣≤m2﹣2am﹣，所以2ma﹣m2+3≤0，可视为以a为自变量的不等式M（a）≤0，所以，解得，解得m≥3，或m≤﹣3，则m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．。