7.3空间向量配套习题

7.3空间向量配套习题
【感悟高考真题】
（1）（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，
AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,1
2
），N（
1
2
,0,0），S（1,
1
2
,0）.……
4分
（Ⅰ）
111
(1,1,),(,,0)
222
CM SN
=-=--
,
因为
11
00
22
CM SN
∙=-++=
，
所以CM⊥SN ……6分
（Ⅱ）
1
(,1,0)
2
NC=-
,
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则10,2
210.2x y z x x y ⎧-+=⎪⎪=⎨
⎪-+=⎪⎩令，得a=(2,1,-2). ……9分
因为cos ,2a SN =
=
所以SN 与片面CMN 所成角为45°。

……12分
（2）（2010北京理数）（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC,EF ∥
CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。

证明：（I ） 设AC 与BD 交与点G 。

因为EF//AG ，且EF=1，AG=1
2AC=1.
所以四边形AGEF 为平行四边形. 所以AF//平面EG ，
因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF//平面BDE.
（II ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面 相互垂直，且CE ⊥AC ， 所以CE ⊥平面ABCD.
如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C-
xyz .
则C （0，0，0），A
0），B （0
0）.
所以(,1)22CF =
，(0,BE =
，()DE = .
所以0110CF BE =-+= ,1010CF DE =-++=
所以CF BE ⊥,CF DE ⊥. 所以CF ⊥BDE.
(III) 由（II
）知，(22CF = 是平面BDE 的一个法向量.
设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =,则0n BA = ，0n BE =
.
即(,,)0
(,,)0x y z x y z ==⎧⎨⎩
所以0,x =
且,z = 令1,y =
则z =
所以n =.
从而
cos ,||||n CF n CF n CF 〈〉=
=。

因为二面角A BE D --为锐角，
所以二面角A BE D --的大小为6π
.
【考点精题精练】
一、选择题
1．正方体1111ABCD A BC D -中，1A B 与平面11BB D D 所成角的大小为…………………………（ D ）
A ．90
B ．60
C ．45
D ．30
2
．
两
异
面
直
线
所
成
角
的
范
围
是…………………………………………………………………………（ C ） A ．0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．0,
2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
3．已知向量(2,2,2)a =
，则向量a 的单位方向向量一定是
（ D ）A
． B
．(
C ．(1,1,1)(1,1,1)---或
D ．(
(,333333
--或 4．已知,a b 分别是两条直线12,l l 的方向向量，(2,1,2),
(6,3,a b =--=--
，则
（ A ）
A ．12//l l
B ．12l l 与相交
C ．12l l 与异面
D ．12l l ⊥
5．若12,n n 分别是平面,αβ的法向量且αβ⊥，1(1,2,)n x = ，2(,1,)n x x x =+
，则x 的
值为
( B )
A ．1或2
B ．－1或－2
C ．－1
D ．－2
6．已知直线1l 的方向向量为1(1,0,1)a =- ，直线2l 的方向向量为2(1,1,0)a =-
，则12l l 与的
夹角为（C ） A ．
2π B ．6π C ．3
π D ．23π
7．已知A （1，0，1），B （0，1，1），C （1，1，0），则平面ABC 的一个单位法向量可以是 （ D ） A ．（1，1，1） B ．（－1，－1，－1）
C ．(
333- D ．(,333
--- 8. 在空间直角坐标系中点P （1，3，－5）关于
对称的点的坐标是（ C ）
A ．（－1，3，－5）
B ．（1，－3，5）
C ．（1，3，5）
D ．（－1，－3，5）
9. 已知空间直角坐标系中且
，则B 点坐标为（ ）
A 、（9,1,4）
B 、（9,－1，－4）
C 、（8,－1，－4）
D 、（8,1,4）
10. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 为D 1C 1上的点，且D 1M:MC 1=3:1，则CM 和平面AB 1D 1所成角的大小是θ，则sin θ等于 （ ）
A．B．C．D．
11. 在直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1
和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取范围为（）
A．B．C．D．
解析：建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则
（），，，（）.所以
，.因为，所以，由此推出
. 又，，从而
有
12. 正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF与底面ABC 所成角的余弦为（ C ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13. 已知点A(-2, 3, 4), 在y 轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B 的坐标为__(0, ___．
14. 在空间直角坐标系中, 点P 的坐标为(1, ),过点P 作yOz 平面的垂线PQ, 则垂足
Q 的坐标是_(0,
) ___．
15. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等
于
3
π
.
16. 如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直）中，四边形ABCD 是边
长为1的菱形，E 为的中点，F 为
的中点，则异面直线AC 与
所成的角
的大小为 0
90 ．
三、解答题
17．（全国二19）（本小题满分12分）
如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
解法一：
依题设知2AB =，1CE =．
（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．
由三垂线定理知，1BD AC ⊥． ···························································································· 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，
由于
1AA AC
FC CE
== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1
AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．
于是1
AC EF ⊥． 1AC 与平面
BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1
AC ⊥平面BED ． ······································································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，
故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ·
····································································· 8分
EF
CE CF CG EF ⨯=
=
EG ==． 13EG EF =
，13EF FD GH DE ⨯=⨯=
又1
AC ==
11AG AC CG =-=
．
11tan A G
A HG HG
∠=
= 所以二面角1A DE B --
的大小为 ······························································· 12分
解法二：
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．
依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．
A
B C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1 F
H G
(021)(220)DE DB == ，，，，，，
1
1(224)(204)AC DA =--=
，，，，，． ······················································································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =
， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DB DE D = ，
所以1AC ⊥平面DBE ． ········································································································ 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则
DE ⊥ n ，1DA ⊥ n ．
故20y z +=，240x z +=．
令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ··································································· 9分
1
AC
，n 等于二面角1A DE B --的平面角，
42
14
=
=
． 所以二面角1A DE B --
的大小为arccos
42
． ······························································ 12分 18. 如图，
，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 上的射影为B 1. 已知AB=2，AA 1=1，BB 1=
，求：
（Ⅰ）直线AB 分别与平面
所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A 1—AB —B 1的大小. 解法一：（I ）如图，连接A 1B ，AB 1.
∵⊥，∩=l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1⊥，BB1⊥a.
则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与和所成的角.
Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，
∴sin∠BAB1=∴∠BAB1=45°
Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，
∴sin∠ABA1=∴∠ABA1=30°.
故AB与平面，，所成的角分别是45°，30°.
（II）∵BB1⊥，∴平面ABB1⊥.在平面内过A1
作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作
EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=.
∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴
在Rt△AA1B中，由AA1·A1B=A1F·AB得
A1F=∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=，
∴二面角A1—AB—B1的大小为arcsin .
解法二：（I）同解法一.
（II）如图，建立坐标系，则A1（0，0，0），
A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）.
在AB上取一点F（x , y, z），则存在t∈R，使得，即(x, y, z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t, 1－t).
要使
即(t, t, 1－t)·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t=,
∴点F的坐标为
设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，），
∴二面角A1—AB—B1的大小为arccos.。