3、2、3 直线与平面的夹角

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课件2：3.2.3直线与平面的夹角

知 AC 为平面 BB1D1D 的一个法向量，设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ.
则 sin θ＝| AP·AC |＝ | AP|| AC |
2· 22＋m2＝
2 2＋m2.
cos θ＝ 1－sin2θ＝ 2＋m m2，
依题意 m2＝3 2，
解得 m＝13，
故当 m＝13时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为
[一点通] 求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式 cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．
3．PA、PB、PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为
2＝ 6
36.
∴cos θ＝
1－sin2θ＝
1－69＝
3 3.
即 AD 与平面 BMD1N 所成角的余弦值为 33.
6.如图，在棱长为1的正方体ABCD— A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点， CP＝m，试确定m，使直线AP与平面 BDD1B1所成角的正切值为3 2.
解：建立如图所示的空间直角坐标系．则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1， m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)， D1(0，0，1)，所以 BD＝(－1，－1，0)，BB1 ＝(0，0， 1)， AP＝(－1，1，m)， AC ＝(－1，1，0)，又由 AC ·BD＝0， AC ·BB1 ＝0，
设向量 AB 在平面α内的射影为 AB ，且直线AB与平面α的夹角为θ，则〈 AB ， AB 〉＝θ，| AB | ＝ | AB|cos θ ．

直线与平面夹角的公式

直线与平面夹角的公式直线与平面夹角是几何学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍直线与平面夹角的定义、性质以及计算公式。

一、直线与平面夹角的定义直线与平面夹角是指一个直线与平面之间的夹角。

具体来说，如果一条直线与一个平面相交，那么直线与平面之间的夹角就是这条直线与平面的法线之间的夹角。

法线是指垂直于平面的直线，也就是与平面上所有点的切线都垂直的直线。

因此，直线与平面夹角的定义可以简单地表示为：直线与平面之间的夹角等于这条直线与平面的法线之间的夹角。

二、直线与平面夹角的性质1. 直线与平面夹角的大小范围为0到90度之间。

2. 直线与平面夹角的大小与这条直线在平面上的位置有关。

如果直线与平面的交点在平面内部，那么夹角的大小为锐角；如果直线与平面的交点在平面上，那么夹角的大小为直角；如果直线与平面的交点在平面外部，那么夹角的大小为钝角。

3. 直线与平面夹角的大小与平面的倾斜程度有关。

如果平面与直线的夹角越小，那么夹角的大小就越小；如果平面与直线的夹角越大，那么夹角的大小就越大。

三、直线与平面夹角的计算公式直线与平面夹角的计算公式可以通过向量叉积来推导。

具体来说，设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则直线与平面的夹角θ可以表示为：θ = arccos (a·n / |a||n|)其中，a·n表示向量a和向量n的点积，|a|和|n|分别表示向量a和向量n的模长。

另外，如果直线的方向向量已知，平面的法向量也已知，但是两者不一定垂直，那么可以先求出平面上的一条切线，然后再计算切线与直线之间的夹角。

切线的方向向量可以通过向量叉积来计算，即： t = a × n其中，×表示向量叉积。

然后，再求出切线与直线之间的夹角，就可以得到直线与平面的夹角了。

四、应用举例1. 计算直线与平面夹角假设有一条直线L，其方向向量为a = (1, 2, 3)，并且与平面P相交，平面P的法向量为n = (2, 3, 4)。

第3章3.23.2.3直线与平面的夹角

栏目导航
1．直线和平面所成的角
4
90° 0° 射影
栏目导航
5
思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为π2－〈s，n〉.
栏目导航
2．最小角定理
6
cos θ= cos θ1﹒cos θ2
射影
最小的角
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7
1．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则
1
第三章空间向量与立体几何
3．2 空间向量在立体几何中的应用 3．2.3 直线与平面的夹角
栏目导航
2
学习目标
核心素养
1.理解斜线和平面所成的角的定
义，体会夹角定义的唯一性、合理通过空间线面角提升学生的数
性. 学运算、逻辑推理素养.
2.会求直线与平面的夹角．(重点、
难点)
栏目导航
3
自主预习探新知
ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，则直线 A1B 与平面 BDE 所成的角为( )
π
π
A.6
B.3
π
5π
C.2
D. 6
11
栏目导航
12
B [以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， E0，1，12，
AC＝AB·sin 60°＝2a× 23＝ 3a，
所以 PC＝ 3a2＋4a2＝ 7a，设∠ACP＝θ，
则 AE＝AC·sin θ＝AC×APCP
＝
3a×
2a ＝2 7a

空间中直线与平面的夹角

空间中直线与平面的夹角在三维几何中，我们经常会涉及到直线与平面之间的夹角问题。

直线与平面的夹角是指直线与平面的交角，它是我们研究空间几何学中的一个重要概念。

下面将从定义、求解方法以及几个实际应用方面来详细讨论空间中直线与平面的夹角。

一、夹角的定义在空间中，我们可以将直线与平面的夹角定义为直线上任意一点到平面上的一个垂线与平面的交角。

这个交角的大小与直线与平面的相对位置有关。

二、求解直线与平面夹角的方法1. 垂线法求解夹角的一种基本方法是使用垂线法。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面的方程；（2）求解直线方程与平面方程的交点；（3）在交点处作直线与平面的垂线；（4）求解垂线与平面的交角，即为所求夹角。

2. 向量法另一种求解夹角的方法是使用向量法。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面的法向量；（2）计算直线和平面法向量的内积；（3）利用内积的性质，求解夹角的余弦值；（4）通过反余弦函数求得夹角的度数。

三、实际应用直线与平面的夹角在实际问题中有着广泛的应用。

以下将介绍几个实际应用的例子。

1. 光的反射与折射在光学中，直线与平面的夹角对于描述光的反射与折射现象非常重要。

根据折射定律，当光线从空气中斜射入玻璃等介质时，光线与介质界面的夹角决定了光线的折射方向。

利用夹角的求解方法可以计算光线在介质中的传播路径。

2. 直线运动与平面路径在物理学中，直线与平面的夹角也可以用于描述直线运动与平面路径的关系。

当一个物体沿着直线运动的同时在平面上投影，则直线与平面的夹角可以表示运动轨迹的倾斜程度。

例如，在斜面上滑动的物体，可以通过测量斜面的倾角来计算物体在斜面上的运动速度和加速度。

3. 空间向量的投影在线性代数中，空间向量的投影是一个重要的概念。

直线与平面的夹角可以用来计算空间向量在平面上的投影长度。

这在计算机图形学、机械设计等领域中有着广泛的应用。

综上所述，空间中直线与平面夹角是一个重要的几何概念，通过垂线法和向量法可以求解夹角的大小。

空间解析几何中的直线与平面的夹角公式

空间解析几何中的直线与平面的夹角公式在空间解析几何中，直线与平面的夹角是一个重要的概念。

它可以帮助我们描述直线与平面之间的关系，并在实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍空间解析几何中直线与平面的夹角公式，包括其推导过程和应用方法。

一、直线与平面的夹角定义及性质首先，我们来定义直线与平面的夹角。

给定一条直线 l 和一个平面α，直线 l 与平面α 的夹角定义为直线上某一点到平面的距离最短的线段与平面的夹角。

直线与平面的夹角具有以下性质：1. 不同位置的点到平面的距离最短的线段与平面的夹角相等；2. 直线与平面的夹角等于其余直线与平面中该点的连线与平面的夹角的最小值。

二、直线与平面的夹角公式的推导为了求解直线与平面的夹角，我们需要首先推导出夹角的计算公式。

下面，我们通过几何推导的方法来得到直线与平面的夹角公式。

假设直线 l 的方程为：l: (x-x1)/m = (y-y1)/n = (z-z1)/p平面α 的方程为：α: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0其中，(x1, y1, z1) 是直线上的一点，(x0, y0, z0) 是平面上的一点，A、B、C 是平面的法向量的分量。

将直线和平面的方程联立，我们可以得到：A[(x-x1)/m] + B[(y-y1)/n] + C[(z-z1)/p] = 0化简后，得到：Ax + By + Cz = D其中，D = Ax1 + By1 + Cz1。

因此，直线 l 与平面α 的夹角公式可以表示为：cos(θ) = |Ax0 + By0 + Cz0 - D| / (A² + B² + C²)^(1/2)其中，θ 表示直线与平面的夹角。

三、直线与平面的夹角公式的应用直线与平面的夹角公式在解决空间解析几何问题中起到了重要的作用。

下面，我们将介绍几个典型的应用场景。

1. 直线与平面的垂直关系判定当直线与平面的夹角为 90 度时，称直线与平面垂直。

高中数学人教B版选修2-1第三章 3.2.3 直线与平面的夹角课件(共18张PPT)

0o , 90o
2. 求直线和平面所成角的方法
(1)几何法
（2）向量法
作业
分别用几何法和向量的方法计算下题如图已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=4，PA=3，
求直线AD与平面PCD所成角的正弦值
P
A B
D C
你
谢谢
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著
求:AB与平面PCB所成角的正弦值。
P
A
B
C
夹角计算
二、斜线与平面所成的角的计算（向量法）
夹角计算
二、斜线与平面所成的角的计算（向量法）
斜线与平面所成交为θ，设此斜线的方向向量为a 平面的法向量为n则
sinθ cosa,n
a•n an

直线与平面的夹角

直线与平面的夹角直线与平面是几何学中的两个基本概念，它们之间的夹角是研究二者关系的重要内容之一。

本文将从不同角度探讨直线与平面的夹角，包括夹角的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。

一、夹角的定义与性质夹角是指由两条直线或者由一条直线和一个平面所形成的角度。

在几何学中，夹角的度量单位通常采用弧度制。

夹角的定义具体如下：定义1：直线与平面的夹角是两者之间的最小的正向的角，这个角是由直线在相交点上方和平面上方所划分的。

根据这个定义，我们可以得到夹角的一些基本性质：性质1：夹角的度数大小不受直线或平面的方向而改变。

性质2：夹角的度数范围为0到180度（或0到π弧度）。

性质3：如果两条直线平行于同一个平面，那么它们与该平面的夹角为零。

二、计算计算直线与平面的夹角可以借助向量的概念来进行，具体步骤如下：步骤1：设定一条直线L和一个平面P，并选择直线L上的一个点A以及平面P上的一个点B。

步骤2：从点A到平面P作垂线，垂足为C。

步骤3：将向量AC和向量BC分别标记为向量a和向量b。

步骤4：计算向量a和向量b的夹角，即夹角的余弦值。

步骤5：夹角的度数可以通过反余弦函数来表示，即夹角的度数为arccos(cosine)，其中cosine是步骤4中计算得到的夹角余弦值。

需要注意的是，在计算夹角时，我们需要确保向量a和向量b之间的夹角范围在0到π之间，以便得到直线与平面的最小夹角。

三、直线与平面夹角的应用直线与平面的夹角在几何学和物理学中有着广泛的应用。

以下列举几个相关的应用例子：例子1：光的反射与折射当光线从一个介质进入另一个介质时，会发生折射和反射现象。

直线与平面的夹角可以帮助我们计算光线在介质之间的折射角和反射角，从而理解和预测光的传播路径。

例子2：建筑和工程设计在建筑和工程设计中，直线与平面的夹角可以帮助工程师确定建筑物的结构和材料的选择。

例如，太阳光的入射角可以影响建筑物的采光和能量效率。

例子3：航天与导航航天器和导航系统通常会使用直线与平面的夹角来确定飞行轨迹和导航目标。

直线与平面的夹角关系

直线与平面的夹角关系直线与平面的夹角关系是几何学中一个重要的概念，它描述了直线与平面之间的相对位置和角度关系。

在本文中，我们将探讨直线与平面的夹角定义、性质以及应用。

一、直线与平面的夹角定义直线与平面的夹角定义为直线与平面在其交点处形成的角。

夹角通常用Greek字母“θ”表示。

二、直线与平面夹角的性质1. 夹角是与平面中的两个相交的直线有关的。

2. 夹角的取值范围在0°到180°之间。

3. 如果直线与平面垂直相交，则夹角为90°，也称为直角。

4. 如果直线与平面平行，则夹角为0°，也称为零角。

5. 两个相对平面之间的夹角是它们所在的共同直线和彼此正交的直线之间的夹角。

6. 夹角的大小不受直线或平面的长度或位置的影响，只取决于它们的相对位置。

三、直线与平面夹角的应用直线与平面的夹角关系在实际生活和工程中有广泛的应用，下面介绍几个典型的应用场景：1. 物体在斜面上的运动当一个物体沿着斜面下滑时，斜面与水平方向的夹角决定了物体受到的重力分量和斜面法向量方向的夹角，从而影响物体的滑动速度和加速度。

2. 光线的反射与折射光线在与镜面或介质边界相交时会发生反射和折射。

反射和折射的角度取决于入射光线与镜面或介质边界的夹角。

3. 航空航天工程在航空航天工程中，飞机和导弹的起飞和降落、空中操纵以及导航都与直线与平面的夹角有关。

例如，起飞和降落过程中飞机与地面跑道的夹角决定了飞机的升力和阻力大小。

4. 地理测量学地理测量学中的地图投影原理和图形的放大缩小都与直线与平面的夹角有关。

投影时，地球表面上的曲线被转化为平面图上的直线或曲线。

四、总结直线与平面的夹角关系涉及几何学中的基本概念和原理。

通过了解夹角的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用于实际问题中。

在日常生活和科学工程中，直线与平面的夹角关系有着广泛的应用，它们帮助我们解释和理解物体的行为和光线的传播。

对于几何学和应用数学的学习和研究，直线与平面夹角关系是不可或缺的基础知识。

高中数学人教B版选修2-1 第三章3.2.3 直线与平面的夹角(共18张PPT)

棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，3 在线段BC上
是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?
若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
z P
A
D x
By E
C
解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分
别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，
设Bu u Eu r =m，则 A ( u 0 u , u r 0 ,0 ) ,P ( 0 ,0 , 1 ) ,D u ( u u r 3 ,0 ,0 ) ,E ( m , 1 ,0 ) , A P ( 0 , 0 , 1 ) , D P ( 3 , r0 , 1 ) , D E ( m 3 , 1 , 0 )
u u u r A D (0,8,0),
|sin||AD 3 •n |
|AD||n|
A1 B1 M
A
D1
NN C 1
Dy
|01•80| 3 34, 8• 1212(4)2 34
xB
C
3
A D 与平面 A N M 所成角的正弦值是 3 34 34
【练习1】
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四
3 10
角的余弦值为____1 _0____ . 3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是____4__5_0___
【课后作业】
1、如图，已知：直角梯形OABC 中，OA∥BC,∠AOC=90°， SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1， OA=2。求： (1)异面直线SA和OB所成的角的余 A 弦值 (2)OS与面SAB所成角的余弦值 x (3)二面角B－AS－O的余弦值

直线与平面的夹角

直线与平面的夹角直线与平面的夹角是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。

本文将对直线与平面的夹角进行详细的介绍。

一、直线与平面的定义直线是由无数相互平行的点组成的，它没有长度和宽度，只有方向。

平面是由无数相互平行的直线组成的，它有无限大的长度和宽度，没有厚度。

直线与平面的夹角，指的是直线与平面之间的夹角。

夹角的大小可以通过两条直线的夹角来衡量。

二、直线与平面的基本关系直线与平面的相对位置有三种情况：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行。

1. 直线在平面上：当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面上。

例如，过点A(1, 2, 3)且方向向量为向量a(2, -1, 1)的直线在平面Ax+By+Cz+D=0上。

由于向量a与平面的法向量(1, -2, -3)相垂直，所以直线在平面上。

2. 直线与平面相交：当直线上有一点同时在平面上时，直线与平面相交。

Ax+By+Cz+D=0相交。

将点A代入平面方程可得A的坐标满足方程，因此直线与平面相交。

3. 直线与平面平行：当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面平行。

例如，过点A(1, 2, 3)且方向向量为向量a(2, -1, 1)的直线与平面4x-2y+2z+5=0平行。

由于向量a与平面的法向量(2, -1, 1)平行，直线与平面平行。

三、直线与平面的夹角计算直线与平面的夹角可以通过点乘运算和向量的模长计算得到。

点乘运算可以求得两个向量之间的夹角。

设P为直线上的一点，n为平面的法向量，则向量PN垂直于平面。

设向量a为直线的方向向量，则夹角的余弦可以通过向量的点乘运算得到：cosθ = (n·a) / (|n|·|a|)其中，θ为直线与平面的夹角，(n·a)为点乘运算结果，|n|和|a|为向量的模长。

四、示例计算现在，我们通过一个实际例子来计算直线与平面的夹角。

2y+2z+5=0的夹角。

3.2.3直线与平面的夹角

3.2.3 直线与平面的夹角一．新课讲授1、直线与平面的夹角范围(1)直线与平面垂直度；(2)直线与平面平行或线在面内度； (3)直线与平面斜交时范围 .2、平面的法向量n 与斜线所成的锐角的余角与平面为平面所成的角，即_______=_________3、斜线AB 与平面α所成的角θ，斜线段AB 在平面α内的射影''A B 的长为__________4、（斜立平）公式： = ________.二．方法归纳1、几何法：步骤（1）找线面角（2）计算解三角形2、向量法：若直线AB 与平面α所成的角为θ，平面α的法向量为n ，直线与向量n 所成的角为ϕ，则2πθϕ+=，利用向量的夹角公式求出cos ϕ=_____________,再根据sin θ=_________________求出θ.3、利用斜立平公式求解。

三．典例分析 1、正三棱柱111ABC A BC -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABBA 所成的角。

2、如图所示，在直三棱柱111ABO A BO -中，14,4,3OO OA OB ===，90oAOB ∠=,D 是线段11A B 的中点，P 是侧棱1BB 上的一点，若,OP BD ⊥求OP 与底面ABO 所成角的正弦值。

3、已知正四面体ABCD ，求AD 与平面ABC 所成角的余弦值。

四、当堂检测1、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（）A 、4B 、4C 、2D 、22、正四棱锥S —ABCD ，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是（）A 、300B 、450C 、600D 、7503、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（）A 、3B 、5 C 、5D 、54、正三棱锥S —ABC 中，D 为AB 中点，且SD 与BC 所成的角为450，则SD 与底面所成角的正弦值为（）A 、2B 、13 C D 5、长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点．（1）求证：E 、F 、D 、B 共面；（2）求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角．。

直线与平面夹角的公式

直线与平面夹角的公式直线与平面是几何学中的两个基本概念，它们在许多数学问题和实际应用中都扮演着重要的角色。

其中，直线与平面的夹角是一个重要的概念，它可以帮助我们理解许多几何形状和空间结构的特性。

在本文中，我们将讨论直线与平面夹角的公式及其应用。

一、直线与平面的夹角定义在三维空间中，我们可以将一条直线看作是一条无限延伸的线段，而平面则是一个无限延伸的平面。

当一条直线与一个平面相交时，它们形成的夹角被称为直线与平面的夹角。

直线与平面夹角的大小可以用角度或弧度来表示，其中角度是以度为单位的，弧度则是以弧长为单位的。

二、直线与平面夹角的公式在三维空间中，我们可以通过向量的概念来计算直线与平面的夹角。

具体来说，我们可以将直线和平面分别表示为它们的法向量和方向向量，然后使用向量的点积公式计算它们之间的夹角。

具体公式如下：cosθ = (a·n) / (|a|·|n|)其中，a表示直线的方向向量，n表示平面的法向量，|a|和|n|分别表示它们的模长，·表示向量的点积，θ表示直线与平面的夹角。

需要注意的是，由于cosθ的值在-1到1之间，因此直线与平面的夹角的范围是0到π/2弧度或0到90度。

当cosθ等于1时，直线与平面的夹角为0度，表示它们在同一平面内；当cosθ等于-1时，直线与平面的夹角为90度，表示它们相互垂直。

三、直线与平面夹角的应用直线与平面夹角的公式在许多数学问题和实际应用中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 三维图形的投影在三维图形中，我们常常需要将它们投影到一个平面上，以便更好地观察它们的形状和特性。

在进行投影时，我们需要知道图形与投影平面之间的夹角，以便正确地计算它们在投影平面上的大小和位置。

2. 光线的反射和折射当光线遇到一个平面时，它可能会发生反射或折射。

在这种情况下，我们需要知道光线与平面之间的夹角，以便正确地计算反射或折射角度。

3. 三角测量在三角测量中，我们常常需要测量两个物体之间的距离和角度。

教学设计4：3.2.3直线与平面的夹角

3.2.3直线与平面的夹角教学目标1．知识与技能掌握直线和平面所成的角．能够求直线和平面所成的角．2．过程与方法通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力．3．情感态度与价值观培养学生辩证的看待事物，体会事物在一定条件下可以相互转化．教学重点：直线和平面所成的角．教学难点：求直线和平面所成的角．教学过程问题导入如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为90°．如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0°．平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？我们先研究如何计算平面的斜线与该平面内任一条直线的夹角.如图所示，已知OA 是平面α的斜线段，O 是斜足，线段AB 垂直于α，B 为垂足，则直线OB 是斜线OA 在平面α内的正射影．设OM 是α内通过点O 的任一条直线，OA 与OB 所成的角为θ1，OB 与OM 所成的角为θ2，OA 与OM 所成的角为θ，下面我们用向量的运算来研究 θ1，θ2之间的关系.在直线OM 上取单位向量m ，则BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ，即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0. 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BA⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·m = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m + BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ，因此OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ，即|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos θ =|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |· cos θ 2， 2cos cos OB OA θθ= 又因为 1cos OBOA θ= ，所以cos θ= cos θ1 cos θ2在上述公式中，因0≤cos θ2≤1，所以cos θ≤cos θ1.因为θ1和θ都是锐角，所以θ1≤θ.由此我们得到斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）.如图，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在平面α内的射影A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且直线AB 与平面α夹角为θ，易证| A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos θ.引例 ∠BAC 在平面α内，过该角的顶点A 引平面α的斜线AP ，且使∠P AB= ∠P AC ，求证斜线AP 在平面α内的射影平分∠BAC 及其对顶角（如图）.证明：如图，设点P 在α内的射影为点M ，则AM 为AP 在平面α内的射影.沿射影AB ，AC 的方向分别取单位向量i ，j ，则由PM ⊥平面α，得MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥i ， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥j ，而MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·i =0， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·j =0，因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·i =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·i ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·j =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·j ，即|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠P AB=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | cos ∠BAM ,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠P AC=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | cos ∠CAM . 比较以上两式，因为cos ∠P AB=cos ∠P AC ，所以cos ∠BAM=cos ∠CAM.因此∠BAM=∠CAM.即直线AM 平分∠BAC 及其对顶角.课堂检测1．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为 ( )A. 13B. 223C. 22D. 23 【答案】A2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 【答案】A【解析】设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12. ∴θ＝30°.3．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．以上均错【答案】B4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为( )A. 24B. 23C. 63D. 32 【答案】 C【解析】建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B →＝(0,1，－1)，A 1D →＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B →＝1－1＝0，AC 1→·A 1D →＝1－1＝0.∴AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为63.课堂小结1．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与平面所成的角为θ, 则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n ||a|·|n |.。

直线与平面夹角的公式

直线与平面夹角的公式直线和平面是几何学中的基础概念，它们的相互作用在现实生活中也随处可见。

在计算机图形学、建筑设计、机械工程等领域中，直线和平面的夹角计算是一项重要的基础工作。

本文将详细介绍直线与平面夹角的公式及其应用。

一、直线与平面的基本概念直线是由无数个点组成的，这些点在同一条直线上，没有起点和终点之分。

平面是由无数个直线组成的，这些直线在同一平面内，没有起点和终点之分。

直线和平面是几何学中的基本概念，在现实生活中也随处可见。

例如，在建筑设计中，门窗的安装需要考虑直线和平面的相互作用。

二、直线与平面的夹角定义直线与平面的夹角是指直线与平面之间的夹角。

夹角的大小通常用度数或弧度表示。

在三维空间中，直线和平面之间有以下三种相对位置：（1）直线与平面相交，夹角为锐角或钝角。

（2）直线与平面平行，夹角为零。

（3）直线在平面内，夹角为零。

三、直线与平面夹角的公式1. 直线与平面的夹角公式设直线L的方向向量为a，平面P的法向量为n，则直线与平面的夹角θ的余弦值等于直线方向向量a与平面法向量n的点积除以它们的模长之积，即：cos θ = a·n / |a||n|其中，|a|表示向量a的模长，|n|表示向量n的模长，a·n表示向量a和n的点积，即a1n1+a2n2+a3n3。

2. 平面与平面的夹角公式设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，则平面与平面的夹角θ的余弦值等于平面法向量n1和n2的点积除以它们的模长之积，即：cos θ = n1·n2 / |n1||n2|其中，|n1|表示向量n1的模长，|n2|表示向量n2的模长，n1·n2表示向量n1和n2的点积，即n1·n2=n1x*n2x+n1y*n2y+n1z*n2z。

四、直线与平面夹角的应用1. 计算物体表面法向量在三维图形学中，物体的表面法向量是计算机图形渲染的重要参数之一。

通过计算物体表面上每个点处的法向量，可以实现光照模拟、阴影计算等效果。

直线与平面夹角的公式

直线与平面夹角的公式在数学中，直线和平面是我们研究的基本几何概念。

直线是由无数个点组成的，而平面则是由无数个直线组成的。

它们之间的关系非常密切，因此我们需要研究它们之间的夹角。

在本文中，我们将介绍直线与平面夹角的公式及其应用。

一、直线与平面的夹角在几何学中，直线与平面的夹角是指直线与平面之间最小的夹角，也就是直线与平面的最小夹角。

直线与平面的夹角可以分为两种情况：直线在平面内或直线与平面相交。

1. 直线在平面内的夹角当直线在平面内时，它与平面的夹角为0度。

因为直线和平面在这种情况下是完全重合的。

2. 直线与平面相交的夹角当直线与平面相交时，它们之间的夹角可以通过计算得到。

我们可以用向量的概念来表示直线和平面。

设直线的方向向量为$vec{a}$，平面的法向量为 $vec{n}$，则直线与平面的夹角$theta$ 可以表示为：$$costheta=frac{|vec{a}cdotvec{n}|}{|vec{a}|cdot|vec{n}|}$$ 其中，$|vec{a}|$ 和 $|vec{n}|$ 分别表示向量 $vec{a}$ 和$vec{n}$ 的模长，$vec{a}cdotvec{n}$ 表示向量 $vec{a}$ 和$vec{n}$ 的点积。

二、应用1. 直线与平面的夹角的应用直线与平面的夹角是几何学和物理学中的重要概念。

在机械加工和建筑设计中，直线与平面的夹角是非常重要的。

例如，在机械加工中，我们需要知道刀具和工件之间的夹角，以便正确地进行加工。

在建筑设计中，我们需要知道墙面和地面之间的夹角，以便正确地进行装修。

2. 直线与平面的夹角的计算在实际应用中，我们通常需要计算直线与平面的夹角。

下面我们通过一个例子来说明如何计算直线与平面的夹角。

例如，设一直线的方向向量为 $vec{a}=(1,2,3)$，平面的法向量为 $vec{n}=(4,5,6)$，则直线与平面的夹角 $theta$ 可以表示为：$$costheta=frac{|vec{a}cdotvec{n}|}{|vec{a}|cdot|vec{n}|}=f rac{|(1,2,3)cdot(4,5,6)|}{sqrt{1^2+2^2+3^2}cdotsqrt{4^2+5^2+6^2}}=frac{32}{sqrt{14}cdotsqrt{77}}$$因此，直线与平面的夹角 $theta$ 等于$arccosfrac{32}{sqrt{14}cdotsqrt{77}}$。

3、2、3 直线与平面的夹角

课件2：3.2.3直线与平面的夹角

直线与平面夹角的公式

第3章3.23.2.3直线与平面的夹角

空间中直线与平面的夹角

空间解析几何中的直线与平面的夹角公式

高中数学人教B版选修2-1第三章 3.2.3 直线与平面的夹角 课件(共18张PPT)

直线与平面的夹角

直线与平面的夹角关系

高中数学人教B版选修2-1 第三章3.2.3 直线与平面的夹角(共18张PPT)

直线与平面的夹角

3.2.3直线与平面的夹角

直线与平面夹角的公式

教学设计4：3.2.3直线与平面的夹角

直线与平面夹角的公式

直线与平面夹角的公式

高中数学人教B版选修2-1第三章 3.2.3 直线与平面的夹角课件(共18张PPT)