工程力学 11 第11章 超静定结构 缺三弯矩方程
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《工程力学》第 11 章 压杆的稳定性
工程力学电子教案
压杆的稳定性
6
F u
π EI (2l )
2
2
z
F x
Fcr
根据上图所示偏心距e为不同时的 F –d 图线可以推想： 若将实际压杆看作初始偏心距 e为零的理想中心压杆，则其F－d 关系应如下图(a)、(b)所示。 当F＜Fu时杆的直线状态的 平衡是稳定的（不可能弯曲）；
l
y
(a) 理想中心压杆
F cr EI
z 2
n
F cr EI
z
d
令
F cr EI
z
k
, 则有
2 2 n + k n k d
工程力学电子教案
压杆的稳定性
11
得挠曲线方程
n= A sin kx + B cos kx + d
由边界条件
x=0, n = 0 x=0, n′ = 0 得 则 A=0 ，B= －d
l
π E
2
l
2
——— (3)
式中l =ml/i，为压杆的柔度，亦称长细比。 将式(3)代入(1)式，则有
s cr
π E (ml / i )
2 2
2
π E
2
l
2
sp
或改写为
l
π E sp
工程力学电子教案
工程力学-超静定结构
2KN
2KN
0.5m
2、GH平行于EF，并且GH、EF垂直于圆轴的轴线。 圆轴、GH、EF处于水平。已知：圆轴的直径为D1 ＝100毫米，GH、EF的直径为D2＝20毫米，材料 相同。G＝0.4E，M＝7KNｍ。求轴内的最大剪应 力。
M
2m
H
1m
1m G
E
2m F
3、直角拐ABC的直径为D＝20毫米，CD杆的横截面 面积为A＝6.5㎜2，二者采用同种材料制成。弹性 模量E＝200GPａ，剪变模量G＝80 GPａ。CD杆 的线胀系数α=12.5×10-6，温度下降50º。求出直 角拐的危险点的应力状态。
（3）、去掉多余约束代之以反力 ，得到相当系统。
A
D
FN
FN
FN
F
B
C
FN
E
（4）、设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为
CDl
D
FN 23 3EI
（5）、用能量法求 wC
l FN l EA
x FN
xF
M1(x)Fx 0x2
M 2(x)F (x 2 ) F N x 0x2
A
D
F
B
C
E
单位力作用下的内力方程：
二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度EI为常量）
1、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形 不计。求CD杆的受力。
工程力学第十一章 组合变形
工程力学第十一章 组合变形.ppt
11.1 组合变形的概念
一、组合变形基本概念
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种基本 变形，当几种基本变形所对应的应力属同一量级时，不 能忽略，这类构件的变形称为——组合变形(combined deformation)。
压弯组合变形:同时发生轴向压缩与弯曲
烟囱
双向偏心拉伸（压缩）
1.外力分析 2.内力分析
3.应力计算
D A
C B
2、中性轴方程
令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标
D A
C B
例11-5 图示不等截面与等截面柱，P=350kN，试分别 求出两柱内的绝对值最大正应力。
解：两柱均为压应力
图（Fra Baidu bibliotek） 图（2）
FN
选择题
图示正方形截面直柱，受纵向力P的压缩作用。则当P力 作用点由A点移至B点时柱内最大压力的比值有四种答案： （Ａ）１:２ （Ｂ）２:５ （Ｃ）４:７ （Ｄ）５:２
解：（1）外力分析
（2）内力分析
（3）应力分析 B左截面压应力最大
查表并考虑轴力的影响：
二、偏心拉伸（压缩）
偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用 线与直杆的轴线平行但不重合的情况。
单向偏心拉伸（压缩）
单向偏心压缩时,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力 ,而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是 拉应力,也可能是压应力。
11.1 组合变形的概念
一、组合变形基本概念
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种基本 变形，当几种基本变形所对应的应力属同一量级时，不 能忽略，这类构件的变形称为——组合变形(combined deformation)。
压弯组合变形:同时发生轴向压缩与弯曲
烟囱
双向偏心拉伸（压缩）
1.外力分析 2.内力分析
3.应力计算
D A
C B
2、中性轴方程
令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标
D A
C B
例11-5 图示不等截面与等截面柱，P=350kN，试分别 求出两柱内的绝对值最大正应力。
解：两柱均为压应力
图（Fra Baidu bibliotek） 图（2）
FN
选择题
图示正方形截面直柱，受纵向力P的压缩作用。则当P力 作用点由A点移至B点时柱内最大压力的比值有四种答案： （Ａ）１:２ （Ｂ）２:５ （Ｃ）４:７ （Ｄ）５:２
解：（1）外力分析
（2）内力分析
（3）应力分析 B左截面压应力最大
查表并考虑轴力的影响：
二、偏心拉伸（压缩）
偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用 线与直杆的轴线平行但不重合的情况。
单向偏心拉伸（压缩）
单向偏心压缩时,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力 ,而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是 拉应力,也可能是压应力。
工程力学 超静定结构
3、分析方法
（1）力法:以未知力为基本未知量的求解方法; （2）位移法:以未知位移为基本未知量的求解方法。
2013-3-23 5
二、力法的求解过程
1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3·代 · · 替多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统 的“相当系统”; 2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力; 4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形。
超静定结构
2013-3-23
1
§10-1 力法的基本概念 一、概述
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构, 统称为静不定结构或系统,也称为超静定结构或系统。
在超静定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束 称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束 反力,多余约束的数目为结构的超静定次数。
B
l
1
X1 1
Fl
（3）列协调方程
A
l
11 X1 1F 0
1 1 2 4l 3 11 [ l l l l l l ] EI 2 3 3EI
1F
2013-3-23
1 1 2 Fl 3 [ Fl l ] EI 2 2 EI
3F X1 8
2013-3-23
工程力学 第11章：梁的变形
§11–1 概述
§11–2 梁的挠曲线近似微分方程
§11–3 积分法计算弯曲变形
§11–4 叠加法计算弯曲变形
§11–5 梁的刚度条件
§11–6 简单超静定梁的解法
武昌理工学院 工程力
§11–1 概述
工程中的弯曲变形
武昌理工学院 工程力
P x y
梁在平面弯曲时，其轴 线弯成一平面曲线，称为梁
3
24 EI
3 3
q 1 3 l 2 ql ql ( l l ) ; 2 3 2 24 24
B
ql
3
24 EI
EIy C
4 3 5 ql q 1 l 4 l l 3 ql l [ ( ) ( ) ] ; yC 384 EI 2 12 2 6 2 24 2
武昌理工学院 工程力
48 EI
y C y Cm y CP Pl
3
12 EI
=
=
=
m=Pl A
EI C l/2
B Am
l/2
ml 3 EI
Pl
2
3 EI
, y Cm
ml
2
16 EI
Pl
3
16 EI
+
+
+
P
A EI C l/2 B AP l/2 武昌理工学院 工程力
§11–2 梁的挠曲线近似微分方程
§11–3 积分法计算弯曲变形
§11–4 叠加法计算弯曲变形
§11–5 梁的刚度条件
§11–6 简单超静定梁的解法
武昌理工学院 工程力
§11–1 概述
工程中的弯曲变形
武昌理工学院 工程力
P x y
梁在平面弯曲时，其轴 线弯成一平面曲线，称为梁
3
24 EI
3 3
q 1 3 l 2 ql ql ( l l ) ; 2 3 2 24 24
B
ql
3
24 EI
EIy C
4 3 5 ql q 1 l 4 l l 3 ql l [ ( ) ( ) ] ; yC 384 EI 2 12 2 6 2 24 2
武昌理工学院 工程力
48 EI
y C y Cm y CP Pl
3
12 EI
=
=
=
m=Pl A
EI C l/2
B Am
l/2
ml 3 EI
Pl
2
3 EI
, y Cm
ml
2
16 EI
Pl
3
16 EI
+
+
+
P
A EI C l/2 B AP l/2 武昌理工学院 工程力
工程力学-位移法计算超静定结构
也等于层数 3
结点转角的 数目：3个
独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1
9
§11-4 位移法典型方程
Δ2
F1 Δ2
Δ1
Δ1
F1=0 F2=0
Δ1
Δ1
F2
位移法
基本体系
F1=0
k11D1 k12D2 F1P 0
F2=0
k21D1 k22D2 F2P 0
•F11、F21(k11、k21) ── 基本体系在Δ1(=1)单独作
11
28 30 16
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
30 i
M图
Δ1 30
2i
48kN
i
4m
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
Baidu NhomakorabeaF1
Δ1
48kN
当F1=0
基本体系
(kN.m) 4m
2m 2m
20 15kFN1/mP 36
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
4i k11 Δ1=1 i
+ F1P=－16 20
MP
2i k11 =8i
M1
l
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X1=1
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M图
ql 2
m
结点转角的 数目：3个
独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1
9
§11-4 位移法典型方程
Δ2
F1 Δ2
Δ1
Δ1
F1=0 F2=0
Δ1
Δ1
F2
位移法
基本体系
F1=0
k11D1 k12D2 F1P 0
F2=0
k21D1 k22D2 F2P 0
•F11、F21(k11、k21) ── 基本体系在Δ1(=1)单独作
11
28 30 16
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
30 i
M图
Δ1 30
2i
48kN
i
4m
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
Baidu NhomakorabeaF1
Δ1
48kN
当F1=0
基本体系
(kN.m) 4m
2m 2m
20 15kFN1/mP 36
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
4i k11 Δ1=1 i
+ F1P=－16 20
MP
2i k11 =8i
M1
l
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X1=1
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M图
ql 2
m
工程力学—简单超静定问题
杆件的变形 简单超静定问题
一 、基本要求
1．熟练掌握拉（压）杆变形计算
2．熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件 3．掌握积分法求梁的弯曲变形
4．熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算
5．理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法 6．了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算
二、 内容提要
1．拉（压）杆的轴向变形、胡克定律
拉（压）杆的轴向变形为l ∆,l l l -=∆1,式中l 、1l 分别为变形前、后杆的长度。
当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即
EA
l
F l N ⋅=
∆ （4.1） 图 4.1
式中，EA 称为杆件的抗拉（压）刚度。显然，轴力F N 为正时，△l 为正，即伸长变形；轴力F N 为负时，△l 为负，即缩短变形。
公式（4.1）的适用条件：
（1） 材料在线弹性范围，即p σσ≤；
（2） 在长度l 内，F N ，E ，A 均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应
分段计算变形，然后求代数和得总变形。即
∑
==∆n
i i
i i N A E l F l i 1
（4.2）
当F N ，A 沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为 ()()⎰=
∆l
N x EA dx
x F l 0 （4.3）
2．拉压超静定问题
定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。
超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。
工程力学11弯曲变形-精选
最大挠度及最大转角
max(L)
PL2 2EI
9
fmax
f
(L)
PL3 3EI
9
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
例2 解：建立坐标系并写出弯矩方程 a
P
P(xa) (0xa)
M (x) 0
(axL)
L
x
f 写出微分方程的积分并积分
EfI 0 P(ax)
fC1 P 1L E 6 2aIP 32 E a3 IP 3 2a E 2L I5.1 1 90 6m
校核刚度
f m ax L
f L
fm a 5 .x 1 1 9 6 m 0 f 1 5 m 0
m a0 x .4 2 1 3 4 0 0 .001
B
F1al F2l2 3EI 16EI
由这一转角引起的C点挠度为
wC1aBF 31E a2lI1F2a6E2lI
BC悬臂梁在集中载荷作用下的挠度为：
C点实际挠度为：
wC2
F1 a 3 3EI
w w C w 1 C 2 F 3 1 E a 2 l 1 F I 2 a E 2 6 l F 3 1 I E a 3 F I 1 a 3 2 E l a I1 F 2 a E 2 6 lI
18
梁的刚度校核
工程力学：11第十一章 简单的超静定问题
(b) 根据基本静定系计算各反力在该点的位移代数 和并让其等于实际位移值，得到该点的位移方程；
© 将物理方程带入该点的位移方程，从而得到有 约束反力表示的补充方程；
4、联立上述方程，从而解得该点约束反力。
11-1 拉压超静定问题
❖ 拉压超静定问题实例
已知l1＝l2＝l， E1＝E2＝E， A1=A2=A， l3 ，E3，A3 求P作用下结构各杆件的轴力
解： 平衡方程：
Fx 0 Fy 0
FN1 FN 2
FN1 cos FN 2 cos FN3 F 0
物理方程：
l1
FN1l1 EA
l3
FN 3l3 E3 A3
几何关系： l1 l3 cos
补充方程
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
联立求解后得
FN1
FN 2
2 cos
F
E3 A3 E A c os2
F
FN 3
1
2
EA E3 A3 cos3
11-2 装配应力、温度应力
一、装配应力 二、温度应力
11-3 扭转超静定问题
11-4 简单超静定 梁
未知反力的数目多于平衡方程的 数目，仅由静力平衡方程不能求 解的梁，称为超静定梁
例:已知q、l,求A、B支座反力。
解除B 处约束， 代之以约束反力
© 将物理方程带入该点的位移方程，从而得到有 约束反力表示的补充方程；
4、联立上述方程，从而解得该点约束反力。
11-1 拉压超静定问题
❖ 拉压超静定问题实例
已知l1＝l2＝l， E1＝E2＝E， A1=A2=A， l3 ，E3，A3 求P作用下结构各杆件的轴力
解： 平衡方程：
Fx 0 Fy 0
FN1 FN 2
FN1 cos FN 2 cos FN3 F 0
物理方程：
l1
FN1l1 EA
l3
FN 3l3 E3 A3
几何关系： l1 l3 cos
补充方程
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
联立求解后得
FN1
FN 2
2 cos
F
E3 A3 E A c os2
F
FN 3
1
2
EA E3 A3 cos3
11-2 装配应力、温度应力
一、装配应力 二、温度应力
11-3 扭转超静定问题
11-4 简单超静定 梁
未知反力的数目多于平衡方程的 数目，仅由静力平衡方程不能求 解的梁，称为超静定梁
例:已知q、l,求A、B支座反力。
解除B 处约束， 代之以约束反力
工程力学-简单的超静定问题
FN1
FN2
FN3
图10.7
Fy 0, FN1 FN2 FN3 0
（a）
M B 0, FN1 a FN3 a 0 （b）
工程力学
第十章 简单超静定问题
第二步，进行变形分析，列写变形协调方程。各杆 变形如图10.6b所示，由此可以列出变形协调方程：
l1 l2
（c）
第三步，第三步，根据变形与轴力的关系，列写物
11qa4 Fa3 FNa3 FNl 24EI 4EI EI EA
第二步，画出各杆件的变形图，建立各杆件变形之间的变 形协调方程。该结构是对称的，且受力也是作用在结构的 对称轴上，因此结构的变形也是对称的。这时节点A只能在 竖直方向有一个位移，设A点移动到了 点。根据对称性，1 杆的变形与3杆的变形是相同的，只需要找出1杆（或3杆） 与2杆变形之间的关系。设1杆的变形为伸长，且伸长量
程为：
wBq wBF wBN l
(a)
工程力学
力与变形之间物理关系为：
wBq
11qa4 24 EI
wBF
Fa 3 4EI
wBN
FN a 3 EI
l FN l EA
第十章 简单超静定问题
(b) (c) (d) (e)
工程力学
第十章 简单超静定问题
将物理关系式（b）、（c）、（d）、（e）代入变 形协调方程（a），可得补充方程：
工程力学(天津大学)第11章答案
第十一章 梁弯曲时的变形
习 题
11−1 用积分法求下列简支梁A 、B 截面的转角和跨中截面C 点的挠度。
解：（a ）取坐标系如图所示。弯矩方程为：x
l
M M e
=
挠曲线近似微分方程为：x
l
M y EI e
-=''
积分一次和两次分别得：C
x
l M
y EI e +-=
'2
2， （a ）
D
Cx x
l
M
EIy e
++-
=3
6 (b)
边界条件为：x =0时，y =0，x =l 时，y =0， 代入（a ）、(b)式，得：0
,6
==D l M C
e
梁的转角和挠度方程式分别为：
)
6
2(12
l M x
l
M
EI
y e e
+
-=
'，)6
6(13
lx M x
l
M
EI
y
e
e
+
-
=
所以：EI
l
M y l EI
M
θEI
l M θe C e
B e A 16,3,
62
=
-
==
（b ）取坐标系如图所示。 AC 段弯矩方程为：)
2
0(11l x x l
M M e
≤
≤=
BC
段弯
矩
方程为
：
)2
(22l x l M
x l
M M e
e
≤≤-=
两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：
(a)
(b)
习题11−1图
x
AC 段：11x l
M y EI e
-
=
''
12
11
2C x l M
y EI e
+-='， （a ） 1113
11
6D x C x l
M
EIy
e
++-
= (b)
BC 段：e
e
M
x l
M y EI +-
=''22
22
22
2C M
x l M
y EI e
e
++-='， （c ）
2
2223
22
6D x C x M x l
M
EIy
e e
+++-
= (d)
边界条件为：x 1=0时，y 1=0，x 2=l 时，y 2=0， 变形连续条件为：21
工程力学 (杨云芳) 课件 第11章 静定结构的内力和位移
Y
B
A MA NA q
B MB NB
分段叠加法的理论依据：MB M
B
YA
M 假定：在外荷载作用下，结构
构件材料均处于线弹性阶段。
图中：OA段即为线弹性阶段 MB MA AB段为非线性弹性阶段
M
A
q
YB
MB
MA
O
YA
+
M
YB
M M
MA
MB
M M M
4kN· m
4kN
8kN· m
如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个
几何不变部分，称它为基本部分；而CE部分就需要依靠基本部分AC才能保 证它的几何不变性，相对于AC 部分来说就称它为附属部分。
A
C E A E C
C
E
A
（a）
（b）
（c）
二、分析多跨静定梁的一般步骤
对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将支座C 的支反 力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座 C 的反力反向 加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图， 将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
11.2
单跨静定梁
轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的
第十一 章合变形(工程力学)
z
FN A
z
FzF/Wy y
z
FyF/Wz y
y
FN
(a)
z
My
(b)
Mz
(c)
D2
D1 y
max F F z F F yF min A Wy WZ
强度条件
max [ ]
例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽, 使截面面积 为原来截面面积的一半。 求:开槽后立柱的最大压应力是原来不开槽的几倍。
Px 产生拉伸变形
1.外力分析
A B Py
Px
φx P
力P Px P cos
Py P sin
——轴向力 ——横向力
∴轴向拉伸和平面弯曲的组合
y
2.内力分析
A
x
1
B
Py Px +
N Px P cos M Py (l x ) P sin (l x)
N M max c max A下 max A W [ c ]
例1 悬臂吊车如图所示。横梁用 20a 工字钢制成。 其抗弯模量为 Wz = 237cm3 , 横截面面积为 A=35.5cm2 ， 总荷载 F= 34kN , 横梁材料的许用应力为 []=125MPa。 C 求: 校核横梁 AB 的强度。 解：(1) 分析 AB 的受力情况 mA 0
FN A
z
FzF/Wy y
z
FyF/Wz y
y
FN
(a)
z
My
(b)
Mz
(c)
D2
D1 y
max F F z F F yF min A Wy WZ
强度条件
max [ ]
例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽, 使截面面积 为原来截面面积的一半。 求:开槽后立柱的最大压应力是原来不开槽的几倍。
Px 产生拉伸变形
1.外力分析
A B Py
Px
φx P
力P Px P cos
Py P sin
——轴向力 ——横向力
∴轴向拉伸和平面弯曲的组合
y
2.内力分析
A
x
1
B
Py Px +
N Px P cos M Py (l x ) P sin (l x)
N M max c max A下 max A W [ c ]
例1 悬臂吊车如图所示。横梁用 20a 工字钢制成。 其抗弯模量为 Wz = 237cm3 , 横截面面积为 A=35.5cm2 ， 总荷载 F= 34kN , 横梁材料的许用应力为 []=125MPa。 C 求: 校核横梁 AB 的强度。 解：(1) 分析 AB 的受力情况 mA 0
工程力学—第十一章弯曲应力
Iz d 4 64 d 3 Wz d 2 d 2 32
h
z y z b
Wz
D 3
32
(1 )
4
d D
可查型钢表或用组合法求
第二节 对称弯曲正应力
[例1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm 的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
30 kN· m
Ｄ
L
M
D13 (1 0.6 4 ) 7.9 10 4 32 D1 210 mm
第二节 对称弯曲正应力
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 4 A实
D1 (1 2 )
2
4
D2
210 2 (1 0.6 2 ) 200 2
0.7
由此可见，载荷相同、 max相等的条件下， 采用空心轴节省材料。
第二节 对称弯曲正应力
h
b
最大弯曲正应力
max
M My max M Iz I z ymax W z
bh I Z 12
3
z y d z y D d
惯性矩
矩形截面
实心圆截面 I Z
d
4
z
64
4
d 空心圆截面 I D 1 4 Z D 64 型钢 可查型钢表或用组合法求
h
z y z b
Wz
D 3
32
(1 )
4
d D
可查型钢表或用组合法求
第二节 对称弯曲正应力
[例1] 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm 的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
30 kN· m
Ｄ
L
M
D13 (1 0.6 4 ) 7.9 10 4 32 D1 210 mm
第二节 对称弯曲正应力
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 4 A实
D1 (1 2 )
2
4
D2
210 2 (1 0.6 2 ) 200 2
0.7
由此可见，载荷相同、 max相等的条件下， 采用空心轴节省材料。
第二节 对称弯曲正应力
h
b
最大弯曲正应力
max
M My max M Iz I z ymax W z
bh I Z 12
3
z y d z y D d
惯性矩
矩形截面
实心圆截面 I Z
d
4
z
64
4
d 空心圆截面 I D 1 4 Z D 64 型钢 可查型钢表或用组合法求
工程力学课第11章 弯曲变形
l l
M ( x) FA x F ( x a)
Fa (l x) l
(d)
由(a)、(c)两式可知，左、右两梁段的剪力 图各为一条平行于x轴的直线。由(b)、(d) 两式可知，左、右两段的弯矩图各为一条斜 直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图 如图11.10(b)和图11.10(c)所示。 由图可见，在 b a 的情况下，AC段梁任一 Fb F 图11.10 横截面上的剪力值为最大， S,max ；而集 l Fab 中荷载作用处横截面上的弯矩为最大， ；在集中荷载作用 M max l 处左、右两侧截面上的剪力值不相等。
FS ( x) FA qx
ql qx 2 x qlx qx2 M ( x) FA x qx 2 2 2
(0 ≤ x ≤ l ) (0 ≤ x ≤ l )
由上式可知，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为抛物线。仿照例题 11.2中的绘图过程，即可绘出剪力图和弯矩图(如图11.9(b)和 图11.9(c)所示)。斜直线确定线上两点，而抛物线需要确定三个 点以上。
可得 (a) 内力 FS称为截面的剪力。另外，由于 FA与 FS 构成一力偶，因而，可 断定m—m上一定存在一个与其平衡的内力偶，其力偶矩为M，对 m—m截面的形心取矩，建立平衡方程 MC 0 ，M FA x 0 可得 M FA x (b) 内力偶矩M，称为截面的弯矩。由此可以确定，梁弯曲时截面内力 有两项——剪力和弯矩。 根据作用与反作用原理，如取右段为研究对象，用相同的方法也可 以求得m—m截面上的内力。但要注意，其数值与式(a)、(b)相 等，方向和转向却与其相反(如图11.4(c)所示)。
M ( x) FA x F ( x a)
Fa (l x) l
(d)
由(a)、(c)两式可知，左、右两梁段的剪力 图各为一条平行于x轴的直线。由(b)、(d) 两式可知，左、右两段的弯矩图各为一条斜 直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图 如图11.10(b)和图11.10(c)所示。 由图可见，在 b a 的情况下，AC段梁任一 Fb F 图11.10 横截面上的剪力值为最大， S,max ；而集 l Fab 中荷载作用处横截面上的弯矩为最大， ；在集中荷载作用 M max l 处左、右两侧截面上的剪力值不相等。
FS ( x) FA qx
ql qx 2 x qlx qx2 M ( x) FA x qx 2 2 2
(0 ≤ x ≤ l ) (0 ≤ x ≤ l )
由上式可知，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为抛物线。仿照例题 11.2中的绘图过程，即可绘出剪力图和弯矩图(如图11.9(b)和 图11.9(c)所示)。斜直线确定线上两点，而抛物线需要确定三个 点以上。
可得 (a) 内力 FS称为截面的剪力。另外，由于 FA与 FS 构成一力偶，因而，可 断定m—m上一定存在一个与其平衡的内力偶，其力偶矩为M，对 m—m截面的形心取矩，建立平衡方程 MC 0 ，M FA x 0 可得 M FA x (b) 内力偶矩M，称为截面的弯矩。由此可以确定，梁弯曲时截面内力 有两项——剪力和弯矩。 根据作用与反作用原理，如取右段为研究对象，用相同的方法也可 以求得m—m截面上的内力。但要注意，其数值与式(a)、(b)相 等，方向和转向却与其相反(如图11.4(c)所示)。
工程力学第十一章
M1 FQ1
FA
FB
26kN
F
0 26 2 5 FQ1 0 FQ1 16kN 5 M A ( F ) 0 2 5 2 FQ1 5 M1 0 M1 105kN m
y
[3] 选择 II-II 截面右侧为研究 对象计算弯矩剪力
q=2kN/m
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪 力弯矩图错在 什么地方？（时 间3分钟）
（计算数值是否正确 不考虑）
2.变形特点：
直杆的轴线在变形后变为曲线。
平面弯曲
F
q(x) M
梁轴线
FA
FB
纵向对称面
梁弯曲后，它的轴线变成了曲线。如果弯曲变形发
生在外力作用平面内（形成平面曲线），则这种弯曲称
为平面弯曲。
本章只讨论：外力在同一平面内，变形也在此平面
内的情况，也就是说只讨论平面弯曲问题。 （平面弯曲是工程中最常见的情况）
一、基本原理
如图所示简支梁受到载荷的作用： 建立坐标系
y
F1
F2
x
取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正
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变形协调条件： B点的 挠度为
Δ1 X1 Δ1F 0
1X1表示由于X1作用在静定基上时,X1作用 B 点沿X1方向的位
移.
1F表示荷载 F (广义力) 作用在静定基上时,X1作用 B点沿X1
方向的位移.
1F 1X1 0
A
求解这两个量
1F
由于F已知，故用莫尔积分易求
B
F
1F 由F引起B处(1处)沿X1位移
1F —在基本静定系上,由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向
外载荷为平面力系，则 为三次外静不定静
为空间力系，则 为六次外静不定
三、超静定次数的判定
（2）内力超静定次数的判定:
一个平面封闭框架受力为平 面结构时，为三次内力超静 定;为空间受力结构，则为6次 超静定。
平面桁架的内力超静定次数
=未知力的个数-二倍的节点数.
静定系
基本系中增加 了一约束杆， 因而为一次超 静定
用车床加工细长轴时，经常 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 减少其变形。卡盘和辅助支撑 构成超静定系统。
第十一章 静不定结构
§11-1 静不定结构概述 §11-2 用力法解静不定结构 §11-3 对称及反对称性质的应用
11-1 静不定结构概述
一、静不定结构
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内
力的结构,统称为静不定结构或系统,也称为超静
例题11-1 如图所示,车削工件安有尾顶针的简化模型,梁EI 为常数,试求支座反力.
A
F
A
F
（1）去掉多余约束代之 约束反力,得基本静定系
B
把 B 支座作为多余约束
X1
B AB 悬臂梁为基本静定系
X1 为多余反力
（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件
A
F
1F
A
B
X1
B
1X1
1F 由F引起B处(1处)沿X1位移 1X1由X1引起B处(1处)沿X1位移
C 外力超静定问题
F
第三类:在结构外部
和内部均存在多余约束,
即支反力和内力是静不 定的,也称联合静不定结 A
B
构.
内力超静定问题
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
三、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
A
B
C
l Mc
1F
M c
EI
1 EI
Fa a 2
(l
a) 3
Fa 3 6EI
Fa 2l 2EI
11X 1 1F 0 A
Q=1 B
求解
积分法
11
11
AB：
11 由X1引起B处(1处)沿X1位移
M (x) Q(l x) (l x)
M (x) F (l x) (l x)
F 1
定结构或系统.
在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必 须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力
称为多余约束反力,多余约束的数目为结构的静 不定次数.
二、静不定问题分类
B
A
第一类:仅在结构外部存在多余
约束,即支反力是静不定的,可称为
F
外力静不定系统;
第二类:仅在结构内部存在多余 约束,即内力是静不定的,可称为内力 静不定系统;
BC：M 2 (x) 0
M 2 (x) (l x)
A
1F
C
B
aF
l
1F 由F引起B处(1处)沿X1位移
F 1
A
C
B
1F
1 EI
a
M
(x)M
( x )dx
Fa 3
Fa 2l
0
6EI 2EI
11X 1 1F 0
求解 1F 图乘法
A
1F
B
C
aF
l
M Fa
a/3
F 1 M
Mc l a/3
l
l
l3 3EI
l
Mc
X1
1F
11
Fa2 a 3l
6EI
二、力法正则方程
上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式
11 X 1 Δ1F 0
变形协调方程的标准形式,即所谓的力法正则方程. X1— 多余未知量；
11— 在基本静定系上, X1取单位值时引起的在X1作用点X1 方
向的位移;
相当系统——在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系 统称为静不定问题的相当系统。
B
A
F
B
A
F
B
A
F
C
超静定结构
C
基本静定系
C
相当系统
五、分析方法
1.力法:以未知力为基本未知量的求解方法; •在求解静不定结构时，一般先解除多余约束，代之以多 余约束力，得到静定基。 •再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。
三、超静定次数的判定
（3）混合静不定系统的静不 定次数： 先判断外静不定次数， 后判断内静不定次数， 二者之和为结构静不定次数。
四、 静定基和相当系统
静定基——解除静不定结构的某些约束后得到静定结构， 称为原静不定结构的基本静定系（简称）。静定基的选择 可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。
11 静不定结构
工程中的超静定结构
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
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辅助支撑
跟 刀 架
顶 尖
在铣床上洗削工件时，为 防止工件的移动并减小其变形 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成系统
2.位移法: 以未知位移为基本未知量的求解方法.
§11-2 用力法解静不定结构
一、力法的求解过程
1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3···代替 多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的 “相当系统”; 2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力; 4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.
无需写出
A
用求解1F 时的单位载荷即可
B C
11
1 EI
l
M (x)M (x)dx
1
0
EI
l M 2 (x)dx l 3
0
3EI
11X 1 1F 0
求解 11
图乘法
Q=1
无需画图
用求解1F
时的单位载荷即可 ——自乘
M
A
B
11
l
l/3
F 1 M
A
B
C
11
M c
EI
1 EI
l l 2
2l 3
A
X1
Q=1
B
11
A
B
1X1
1
X
由X1引起B处(1处)沿X1位移
1
11
由X1方向单位力引起B处(1处) 沿X1位移
小变形范围内
X1 1
1X1
11
在B处施加单位力Q=1
代入有
11X 1 1F 0
正则方程
11X 1 1F 0
求解 1F 积分法
AC： M1(x) F(a x) M1(x) (l x)