工程力学 11 第11章 超静定结构 缺三弯矩方程
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《建筑力学》11章静定结构的内力分析
图11-15
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如图11-16所示去掉零杆后结构变得更简单， 可使计算简化
图11-16
3）几种特殊结点 使用结点法时，熟悉如图11-17所示的几种特殊结点，可使计算简化，对题解 有益处： ① L型结点。不在一直线上的两杆结点，当结点不受外力时，两杆均为零杆， 如图11-17 (a)所示。若其中一杆与外力F共线，则此杆内力与外力F相等， 另 一杆为零杆，如图11-17 (d)所示。 ② T型结点。两杆在同一直线上的三杆结点，当结点不受外力时，第三杆为零 杆，如图11-17 (b)所示。若外力F与第三杆共线，则第三杆内力等于外力F， 如图11-17 (e)所示。 ③ X型结点。四杆结点两两共线，如图11-17 (c)所示，当结点不受外力时， 则共线的两杆内力相等且符号相同。 ④ K型线点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在该直线同侧且与直 线夹角相等，如图11-17 (f)所示，当结点不受外力时，则非共线的两杆内力大 小相等但符号相反。 以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。 （4）结点法计算桁架的内力 结点法是指以截取的结点为研究对象，根据外力和杆件内力组成的平面汇 交力系平衡方程计算杆件内力的方法。 实际计算时，可以先从未知力不超过两个的结点计算，求出未知杆的内力后， 再以这些内力为已知条件依次进行相邻结点的计算。
图11-13
4．桁架的分类 ． （1） 按照桁架的外形分类 ① 平行弦桁架，如图11-14(a)所示； ② 折线形桁架， 如图11-14 (b)所示； ③ 三角形桁架， 如图11-14 (c)所示； ④ 梯形桁架，如图11-14 (d)所示； ⑤ 抛物线形桁架，如图11-14(e)所示。 （2）按照桁架的几何组成分类 2 ① 简单桁架：以一个基本铰结三角形为基础，依次增加二元体而组成的无 多余约束的几何不变体系，如图11-14(a)、(d)、(e)所示。 ② 联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体系组成规则组成的桁架，如图 11-14(c)、(f)所示。 ③ 复杂桁架：不属于前两类的桁架即为复杂桁架，如图11-14(b)所示。
材料力学_超静定结构
B1
1
B
C1 No
C
a
IAm1 ag2e
A
a
l
e
C1
C'
3
B1
1
C1
A1
2
l1 = l2
B C
A
l C1
3
l3 e
C''
（1）变形几何方程为 Δl1 Δl3 Δe
（2）物理方程
Δl1
FN1l1 EA
Δl3
FN3l E3 A3
FN1
B'
（3）补充方程
FN3l Δe FN1l
E3 A3
EA
FN3 C' FN2 A'
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
三、工程中的超静定结构（ Statically indeterminate structure in engineering）
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
A
（3）补充方程
l ΔT
l
FRB l EA
（4）温度内力
FRA A
FRB EA l ΔT
由此得温度应力
T
FRB A
l E ΔT
B
lT B'
lF
B
B'FRB
§2-3 简单超静定梁的解法—变形比较法
求解超静定梁的步骤
q
(procedure for solving a statically
工程力学公式总结
工程力学公式总结工程力学公式总结一课程说明《工程力学》（1）、（2）是广播电视大学开放教育“水利水电工程专业”学生必修的技术基础课。
它包含理论力学（静力学部分）、材料力学和结构力学三部分内容。
它以高等数学、线性代数为基础，通过本课程的学习，培养学生具有初步对工程问题的简化能力，一定的分析与计算能力，是学习有关后继课程和从事专业技术工作的基础。
本课程课内学时70，试验学时4。
通过本课程的学习，使学生掌握物体的受力分析、平衡条件及熟练掌握平衡方程的应用；掌握基本构件的强度、刚度和稳定性问题的分析和计算；掌握平面杆件结构内力和位移的计算方法。
本课程的文字教材选用李前程、安学敏编著的《建筑力学》，由中国建筑工业出版社出版；并配有6讲电视课。
本课程按两学期开设，2000春开设《工程力学》（1）。
本学期的学习内容为该教材的前十章，并辅以“应用力学仿真试验”课件完成试验。
本学期课程的教学基本要求：1、掌握刚体平衡方程的应用。
2、掌握基本构件的强度、刚度和稳定性问题的分析。
3、了解杆件结构的基本组成规则。
4、掌握静定结构的内力和位移的计算方法二、基本内容、要求及学习要点第一章绪论（一）基本内容及要求1．结构与构件（1）理解结构的概念；（2）了解结构按其几何特征的三种分类。
2．刚体、变形体及其基本假设（1）了解建筑力学中物体的概念；（2）掌握在建筑力学中将物体抽象化为两种计算模型，以及刚体、理想变形固体的概念及其主要区别。
（3）掌握弹性变形与塑性变形的概念。
3．杆件变形的基本形式（1）掌握轴向变形或压缩、剪切、扭转、弯曲四种基本变形的变形特点。
4．建筑力学的任务和内容（1）了解建筑力学的任务、目的，结构正常工作必须满足的要求；（2）掌握强度、刚度、稳定性的概念；（3）了解建筑力学的内容。
5．荷载的分类（1）掌握荷载的概念；（2）了解按荷载作用范围的分类及分布荷载、集中荷载的概念；（3）了解按荷载作用时间的分类及恒荷载、活荷载的概念；（4）了解按荷载作用性质的分类及静荷载、动荷载的概念及动荷载作用的基本特点。
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
工程力学-超静定结构
P
P
4 多余约束
静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；
5 多余约束反力
与多余约束相对应的反力；
6 超静定系统的特点：
P
P ①、提高构件的强度和刚度。 ②、各部分的内力分配与其各部分的刚度比相关。 ③、可以产生装配应力和温度应力。
7 超静定问题分类
第一类： 在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的; 外力超静定系统。
二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度EI为常量）
1、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形 不计。求CD杆的受力。
2a P
D
a
C
2、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的 2.5倍。C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。
a
P
C
a
K
3、、求B处支反力
a
P
B
a
4、求B支反力
M=Pa
2a
P
B
ห้องสมุดไป่ตู้
2a
5、求B支反力
M1( x) 0
x 1.0
M2(x) x
积分得到：
1 .0w CE 10 2 IFx22xF N x2dx
1.0w CE 1IF8 324 2FN8 3
1.0wc(F 3E FN)I84EFI A
B
D
F C
E
（6）、回代到协调方程中，得到：
8(FFN)4F8FNFNl 3EI EI 3EI EA
a C
D
a
2a
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。
P
4 多余约束
静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；
5 多余约束反力
与多余约束相对应的反力；
6 超静定系统的特点：
P
P ①、提高构件的强度和刚度。 ②、各部分的内力分配与其各部分的刚度比相关。 ③、可以产生装配应力和温度应力。
7 超静定问题分类
第一类： 在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的; 外力超静定系统。
二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度EI为常量）
1、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形 不计。求CD杆的受力。
2a P
D
a
C
2、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的 2.5倍。C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。
a
P
C
a
K
3、、求B处支反力
a
P
B
a
4、求B支反力
M=Pa
2a
P
B
ห้องสมุดไป่ตู้
2a
5、求B支反力
M1( x) 0
x 1.0
M2(x) x
积分得到：
1 .0w CE 10 2 IFx22xF N x2dx
1.0w CE 1IF8 324 2FN8 3
1.0wc(F 3E FN)I84EFI A
B
D
F C
E
（6）、回代到协调方程中，得到：
8(FFN)4F8FNFNl 3EI EI 3EI EA
a C
D
a
2a
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。
第三版工程力学(大连理工出版社)第9-11章知识点以及知识复习框图
第三版工程力学（大连理工大学出版社）第九—十一章知识点总结 教材主编：邹建奇、李妍、周显波第九—十一章知识复习框架第九章 拉伸与压缩变形一、轴力及轴力图1. 概念：杆件以轴向伸长或缩短为主要变形形式，称为轴向拉伸或轴向压缩，以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉（压）杆。
2. 计算内力的方法：截面法。
其步骤如下：（1）假想沿所求内力的截面将构件分为两部分；（2）取其中任一部分为研究对象；（3）列平衡方程，求解内力。
3. 轴力图要求：（1）按比例画图；（2）突变出用竖线相连；（3）标记+、-；（4）打细实线。
例题详见教材156页【例9-1】二、拉压杆的应力1. 总应力可分为正应力（σ）与切应力（τ）。
符号判断：正应力 拉+压-，切应力 顺+逆-。
2. 单位组:N 、m 、Pa ；N 、mm 、mPa 。
3. 拉（压）杆正应力公式：AF N =σ；最大正应力：A F N max ,max =σ 三、拉压杆的相对变形1. 胡克定律：EAl F l N =∆。
2. 当压杆有两个以上的外力作用时，画出轴力图，分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形：ii Ni EA l F l )(∑=∆ 3. 相对变形：l l ∆=ε（ε——纵向线应变）；dd ∆='ε（ε'——横向线应变）。
胡克定律的另一种表达式：E σε=4.泊松比：εεμ'=，无量纲。
四、材料拉压的相关性质1. 低碳钢拉伸时的力学性质:（1）弹性阶段（图2-4中的Oa 阶段）；（2）屈服阶段（图2-4中的bc 阶段）；（3）强化阶段（图2-4中的ce 阶段）；（4）缩颈阶段（图2-4中的ef 阶段）。
2. 图2-4中：比例极限:p σ、弹性极限:e σ、屈服极限:s σ、强度极限:b σ。
其中衡量材料的两个重要指标为：屈服极限与强度极限。
3. 铸铁拉伸时仅有强度极限b σ4. 铸铁：抗压>抗剪>抗拉。
《建筑力学》11章静定结构的内力分析
总结词
应力的定义与分类
详细描述
应力是指物体在单位面积上所承受的内力，是描述物体受力状态的重要物理量。根据不同的分类标准，应力可以 分为不同的类型，如正应力和剪应力，拉应力和压应力等。
静定结构的应力分布规律
总结词
静定结构的应力分布规律
详细描述
静定结构是指在不受外力或外力平衡的条件下，其内部应力分布规律与边界条件无关的结构。静定结 构的应力分布规律主要取决于结构的几何形状和材料性质，可以通过理论分析和实验测试来研究。
详细描述：位移法适用于求解静定结构和超静定结构的 内力，特别是当结构的刚度矩阵难以直接求解时。
单位荷载法
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总结词：基本概念
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详细描述：单位荷载法是在结构上施加单位荷载，通过计 算单位荷载下的内力和位移来分析结构性能的方法。
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总结词：应用范围
《建筑力学》11章 静定结构的内力分析
目录
• 静定结构概述 • 静定结构的内力分析方法 • 静定结构的内力计算 • 静定结构的位移计算 • 静定结构的应力分析
01
静定结构概述
静定结构的定义
静定结构的定义
静定结构是指在结构分析中，未知的内力和反力个数相等的结构，也就是说， 静定结构的自均布荷载作用下，其跨中 截面弯矩为最大，且最大弯矩为 ql^2/4，其中q为均布荷载，l为梁 的跨度。
悬臂梁的内力计算
悬臂梁在固定端截面处弯矩为最大， 且最大弯矩为ql^2/3，其中q为均 布荷载，l为梁的跨度。
静定拱的内力计算
圆拱的内力计算
圆拱在均布荷载作用下，其跨中截面 弯矩为最大，且最大弯矩为ql^2/8， 其中q为均布荷载，l为拱的跨度。
应力的定义与分类
详细描述
应力是指物体在单位面积上所承受的内力，是描述物体受力状态的重要物理量。根据不同的分类标准，应力可以 分为不同的类型，如正应力和剪应力，拉应力和压应力等。
静定结构的应力分布规律
总结词
静定结构的应力分布规律
详细描述
静定结构是指在不受外力或外力平衡的条件下，其内部应力分布规律与边界条件无关的结构。静定结 构的应力分布规律主要取决于结构的几何形状和材料性质，可以通过理论分析和实验测试来研究。
详细描述：位移法适用于求解静定结构和超静定结构的 内力，特别是当结构的刚度矩阵难以直接求解时。
单位荷载法
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总结词：基本概念
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详细描述：单位荷载法是在结构上施加单位荷载，通过计 算单位荷载下的内力和位移来分析结构性能的方法。
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总结词：应用范围
《建筑力学》11章 静定结构的内力分析
目录
• 静定结构概述 • 静定结构的内力分析方法 • 静定结构的内力计算 • 静定结构的位移计算 • 静定结构的应力分析
01
静定结构概述
静定结构的定义
静定结构的定义
静定结构是指在结构分析中，未知的内力和反力个数相等的结构，也就是说， 静定结构的自均布荷载作用下，其跨中 截面弯矩为最大，且最大弯矩为 ql^2/4，其中q为均布荷载，l为梁 的跨度。
悬臂梁的内力计算
悬臂梁在固定端截面处弯矩为最大， 且最大弯矩为ql^2/3，其中q为均 布荷载，l为梁的跨度。
静定拱的内力计算
圆拱的内力计算
圆拱在均布荷载作用下，其跨中截面 弯矩为最大，且最大弯矩为ql^2/8， 其中q为均布荷载，l为拱的跨度。
建筑力学第十一章静定结构的内力分析ppt课件
11.1.1 结 构 计 算 简 图
11.1 概述
2）杆件的简化
在计算简图中，用轴线表示杆件，忽略截面形状 和尺寸。
11.1.1 结 构 计 算 简 图
11.1 概述
3）节点的简化
铰结点
杆件连接汇交点叫结点。
铰结点的特征是汇交于结点的各杆可绕结点自由转
动，但不能相对移动，铰结点能传递力不能传递力偶，不 能产生杆端弯矩，只能产生杆端轴力和剪力。
建筑力学
第11章 静定结构的内力分析
11.1 概述 11.2 多跨静定梁 11.3 静定平面刚架 11.4 三铰拱
第11章 静定结构的内力分析
11.5 静定平面桁架 11.6 组合结构的计算 11.7 静定结构的一般特性
第11章 静定结构的内力分析
学习目标 （1）熟悉各种静定结构对应的内力。 （2）掌握多跨静定梁、刚架、拱、桁架及组合结构的内力分析方法
F NK F S 0K sin KH coKs
轴力的符号规定以压力为正.
K 在图示坐标系中左半拱取
正，右半拱取负。
11.4.2 三 铰 拱 支 座 反 力 和 内 力
11.4 三铰拱
3.三铰拱的受力特征
与相应的简支梁相比，三铰拱与梁竖向 反力相等，且与拱轴形状和拱高无关， 只取决于荷载的大小和位置。 在竖向荷载作用下，梁无水平推力，而 拱有水平推力，且水平推力与拱高成反 比。 拱的截面弯矩比简支梁小，故拱的截面 尺寸可比简支梁的小，所以说拱比简支 梁更经济实惠，能跨越更大跨度。
平 面
以绘在杆件的任一侧，但必须注明正负号。
钢
杆端内力的两个角标：第一个表示内力所属截面， 架
第二个表示该截面所属杆的另一端.
的 内
工程力学：11第十一章 简单的超静定问题
第十一章
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
❖ 静定问题：其约束力或构件内力可通过静力平衡方 程求解的问题
❖ 超静定问题：仅凭静力学平衡方程不能求解的问题 ❖ “多余约束”：在超静定问题中多于维持平衡所需
的约束，如支座、杆件等 ❖ 超静定次数：未知力超过平衡方程的数目（个数） ❖ 变形几何相容方程：根据多余约束处的几何相容条
件建立的构件变形关系。
超静定梁 基本静定系
静定梁 约束反力比平衡方程数多1
C点的变形状况： wC=0
❖ 超静定问题的解法
1、选定多余约束，解除多余约束，根据约束状况代 以约束反力，得到基本静定系。
2、建立平衡方程
3、由几何相容条件，建立补充方程。
(a) 确定被解除约束点的实际位移（角位移、线位 移）；
(b) 根据基本静定系计算各反力在该点的位移代数 和并让其等于实际位移值，得到该点的位移方程；
© 将物理方程带入该点的位移方程，从而得到有 约束反力表示的补充方程；
4、联立上述方程，从而解得该点约束反力。
11-1 拉压超静定问题
❖ 拉压超静定问题实例
已知l1＝l2＝l， E1＝E2＝E， A1=A2=A， l3 ，E3，A3 求P作用下结构各杆件的轴力
F
FN 3
1
2
EA E3 A3 cos3
11-2 装配应力、温度应力
一、装配应力 二、温度应力
11-3 扭转超静定问题
11-4 简单超静定 梁
未知反力的数目多于平衡方程的 数目，仅由静力平衡方程不能求 解的梁，称为超静定梁
例:已知q、l,求A、B支座反力。
解除B 处约束， 代之以约束反力
RB
存在变形协调条件
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
❖ 静定问题：其约束力或构件内力可通过静力平衡方 程求解的问题
❖ 超静定问题：仅凭静力学平衡方程不能求解的问题 ❖ “多余约束”：在超静定问题中多于维持平衡所需
的约束，如支座、杆件等 ❖ 超静定次数：未知力超过平衡方程的数目（个数） ❖ 变形几何相容方程：根据多余约束处的几何相容条
件建立的构件变形关系。
超静定梁 基本静定系
静定梁 约束反力比平衡方程数多1
C点的变形状况： wC=0
❖ 超静定问题的解法
1、选定多余约束，解除多余约束，根据约束状况代 以约束反力，得到基本静定系。
2、建立平衡方程
3、由几何相容条件，建立补充方程。
(a) 确定被解除约束点的实际位移（角位移、线位 移）；
(b) 根据基本静定系计算各反力在该点的位移代数 和并让其等于实际位移值，得到该点的位移方程；
© 将物理方程带入该点的位移方程，从而得到有 约束反力表示的补充方程；
4、联立上述方程，从而解得该点约束反力。
11-1 拉压超静定问题
❖ 拉压超静定问题实例
已知l1＝l2＝l， E1＝E2＝E， A1=A2=A， l3 ，E3，A3 求P作用下结构各杆件的轴力
F
FN 3
1
2
EA E3 A3 cos3
11-2 装配应力、温度应力
一、装配应力 二、温度应力
11-3 扭转超静定问题
11-4 简单超静定 梁
未知反力的数目多于平衡方程的 数目，仅由静力平衡方程不能求 解的梁，称为超静定梁
例:已知q、l,求A、B支座反力。
解除B 处约束， 代之以约束反力
RB
存在变形协调条件
工程力学知到章节答案智慧树2023年西安铁路职业技术学院
工程力学知到章节测试答案智慧树2023年最新西安铁路职业技术学院第一章测试1.利用悬挂法找物体的重心，所利用的是静力学公理中的（）参考答案:二力平衡公理2.运动员脚蹬地的力和地撑脚的力为作用力与反作用力，它们作用线（），指向（），大小（），作用在（）上。
答案为（）参考答案:共线相反相等两个物体3.用一个（）代替一个（）的过程称之为力的合成。
答案为（）参考答案:力力系4.光滑接触面约束的约束力作用在与研究对象的接触处，沿接触面的（），（）研究对象。
答案为（）参考答案:公法线指向5.常见的一种力的模型，是将力矢量的起点或终于置于一点上，称为（）。
参考答案:集中力6.集中力的三要素是大小、（）和作用点。
参考答案:方向7.物块放在桌面上保持平衡。
物块与桌面间的作用关系符合（）公理。
参考答案:作用与反作用8.按照被连接杆件的位移特点、受力特点，平面杆系结构的实际支座可简化为（）模型。
参考答案:固定铰支座;可动铰支座;固定端支座9.画受力图的步骤是（）参考答案:取隔离体、画主动力、画约束力10.两个或多个物体按一定方式连接的系统称为()。
在物体系内，物体间相互的作用力称为（）。
答案为（）参考答案:物体系、内力第二章测试1.根据平面汇交力系的平衡方程，一个物体处于平衡状态，那么它所承受的汇交力系的合力必为（）。
参考答案:2.平面汇交力系的平衡方程数目有（）个。
参考答案:23.平面内力对点之矩的力臂指的是力矩中心到（）的距离。
参考答案:作用线4.平面力偶系的平衡方程有（）个。
参考答案:15.在同一平面内，力偶对刚体的作用效应的大小取决于（）。
参考答案:力偶矩6.在刚体的A点处有作用力F，点O为刚体上任意一点，该点到力作用线的距离为d，如果将力F从A点平移到O点，那么需附加一个力偶，其力偶矩为（）。
参考答案:±Fd7.平面一般力系的平衡方程可求解（）个未知数。
参考答案:38.对于平面一般力系的平衡方程，无论用基本形式、二力矩式还是三力矩式，对于一个刚体，都只能是（）个独立的方程解（）个未知数。
材料力学-力法求解超静定结构
外超静定系统：支座反力不能全 由平衡方程求出
内超静定系统：支座反力可由平 衡方程求出，但杆件的内力却不
能全由平衡方程求出；
简单的超静定结构
1 超静定系统的几个基本概念
求解超静定系统的基本方法，是解除多余约束， 代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协 调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定 系统的静定基本系统。
在求解超静定结构时，一般先解除多余约束， 代之以多余约束力，得到基本静定系。再根 据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调 条件为基本方程的方法，称为力法。
a
A
A
C
l
F
A
C
B 1F
B F
F 01 单击此处添加标题
X1
02 单击此处添加标题
A
C
B
1X1
1 1 F 1 X0
MP图
M10图
材料力学Ⅰ电子教案
补充：力法求解超静定结构
11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a 3 3 EI
1P
1 EI
qa 2
3
a
qa 4 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱI
由 11 X 1 1P 0
得
X1
3qa 8
X B 0,
YB
3qa 8
X A 0,
YA
11qa 8
,
M
A
qa 2 8
正对称载荷：绕对称轴对折 后，结构在对称轴两边的载 荷的作用点和作用方向将重 合，而且每对力数值相等。
反对称载荷：绕对称轴对 折后，结构在对称轴两边 的载荷的数值相等，作用 点重合而作用方向相反。
内超静定系统：支座反力可由平 衡方程求出，但杆件的内力却不
能全由平衡方程求出；
简单的超静定结构
1 超静定系统的几个基本概念
求解超静定系统的基本方法，是解除多余约束， 代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协 调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定 系统的静定基本系统。
在求解超静定结构时，一般先解除多余约束， 代之以多余约束力，得到基本静定系。再根 据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调 条件为基本方程的方法，称为力法。
a
A
A
C
l
F
A
C
B 1F
B F
F 01 单击此处添加标题
X1
02 单击此处添加标题
A
C
B
1X1
1 1 F 1 X0
MP图
M10图
材料力学Ⅰ电子教案
补充：力法求解超静定结构
11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a 3 3 EI
1P
1 EI
qa 2
3
a
qa 4 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱI
由 11 X 1 1P 0
得
X1
3qa 8
X B 0,
YB
3qa 8
X A 0,
YA
11qa 8
,
M
A
qa 2 8
正对称载荷：绕对称轴对折 后，结构在对称轴两边的载 荷的作用点和作用方向将重 合，而且每对力数值相等。
反对称载荷：绕对称轴对 折后，结构在对称轴两边 的载荷的数值相等，作用 点重合而作用方向相反。
结构力学 超静定结构总论PPT课件
M1图 MP图
4 例题 已知：EI=常数。
求：连续梁内力。
力法求解： 11X1 1P 0
11
5l 8EI
1P
ql 3 16EI
X1
1P
11
ql2 10
M M1X1 MP
M图
第5页/共63页
位移法求解：
基本结构
M1图 MP图
3i k11 24 i 7
ql 2 ql 2 8 14 F1P
是两种荷载引起的最大弯矩相等。
第38页/共63页
（3）刚架荷载的连续化
■因为荷载的影响主要反映在固端弯矩上，等效的原则 是两种荷载引起的固端弯矩相等。
第39页/共63页
（4）弹性地基梁反力 的离散化
（5）支撑于桩基和浮筒上 的梁的连续化
第40页/共63页
§12-5 支座简图与弹性支撑概 念弹性支撑概念的应用
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
对超静定结构分析作一综合性的回顾，并作一些补充 第一、对计算方法加以比较和引申。
将力法中静定的基本结构引申到超静定的基本结构； 将位移法中的简单单元引申到复杂单元、子结构。
第二、补充混合型解法——分区混合法。 第三、对超静定结构的力学特征加以归纳和总结 第四、对结构计算简图作进一步讨论 第五、对剪切变形对超静定结构的影响作进一步讨论 第六、补充连续梁最不利荷载分布和内力包络图。
k111 F1P 0
k11
45i 7
F1P
3ql 2 56
1 F1P k11 ql2 120i
M M11 MP
M图
第6页/共63页
§12-2 分区混合法
1分区混合的基本未知量
和基本体系
超静定结构内力计算不错讲义.pptx
余未六知力、引超起静。 定结构的位移计算
超静定结构的力法计算的基本思想是利用静定的基本体系来计算多余未知力， 基本体系的内力、变形与原来超静定结构完全相同。因此，在求解超静定结构的位移
时，仍可以借助于基本体系，把已求出的多余力当作主动力来看待，采用前面的静定
结构求位移的方法即可以求出基本体系的位移，该位移也就是原来超静定结构中相应
X1
3EI l2
(
a) l
(3) 求内力。原超静定结构内力与基本体系相同，而支座移动在基本体系(静定结
构)中不引起内力，所以最后弯矩为：
M＝ M i X i
i
第15页/共52页
力法
原结构的弯矩图如图6.13(e)所示。 由此可以看出，计算超静定结构由于支座移动引起的内力时，其力法方程右端 项应等于原结构相应处的位移，而自由项为基本结构由于支座移动产生的与多余未知 力相应的位移。该两项可直接由基本结构中变形关系求出。结构的最后内力全部由多
力法
下面结合具体例子说明力法的运用。 【例6.2】 用力法计算如图6.10(a)所示的刚架，各杆的EI 相等且为常数，绘制内力图。
图6.10 超静定刚架
解 (1) 由几何组成分析知，该结构是二次超静定结构，去掉处的两个多余约束， 得到基本结构，如图6.10(b)所示。
第10页/共52页
力法
(2) 由已知点的位移条件，列出力法的典型方程：
第5页/共52页
力法
△1 ＝0 ，
△2＝0
图6.9 力法解二次超静定刚架
第6页/共52页
力法
设各单位未知力X1=1、X2=1 和荷载分别作用于基本结构上，A点沿X1 方向的位 移分别为δ11、 δ12、 △1P ；沿X2 方向的位移分别为δ21、 δ22、 △2P (如图6.9(c)、(d)、 (e))所示。根据叠加原理，上述位移条件可表示为：
超静定结构的力法计算的基本思想是利用静定的基本体系来计算多余未知力， 基本体系的内力、变形与原来超静定结构完全相同。因此，在求解超静定结构的位移
时，仍可以借助于基本体系，把已求出的多余力当作主动力来看待，采用前面的静定
结构求位移的方法即可以求出基本体系的位移，该位移也就是原来超静定结构中相应
X1
3EI l2
(
a) l
(3) 求内力。原超静定结构内力与基本体系相同，而支座移动在基本体系(静定结
构)中不引起内力，所以最后弯矩为：
M＝ M i X i
i
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力法
原结构的弯矩图如图6.13(e)所示。 由此可以看出，计算超静定结构由于支座移动引起的内力时，其力法方程右端 项应等于原结构相应处的位移，而自由项为基本结构由于支座移动产生的与多余未知 力相应的位移。该两项可直接由基本结构中变形关系求出。结构的最后内力全部由多
力法
下面结合具体例子说明力法的运用。 【例6.2】 用力法计算如图6.10(a)所示的刚架，各杆的EI 相等且为常数，绘制内力图。
图6.10 超静定刚架
解 (1) 由几何组成分析知，该结构是二次超静定结构，去掉处的两个多余约束， 得到基本结构，如图6.10(b)所示。
第10页/共52页
力法
(2) 由已知点的位移条件，列出力法的典型方程：
第5页/共52页
力法
△1 ＝0 ，
△2＝0
图6.9 力法解二次超静定刚架
第6页/共52页
力法
设各单位未知力X1=1、X2=1 和荷载分别作用于基本结构上，A点沿X1 方向的位 移分别为δ11、 δ12、 △1P ；沿X2 方向的位移分别为δ21、 δ22、 △2P (如图6.9(c)、(d)、 (e))所示。根据叠加原理，上述位移条件可表示为：
工程力学第十一章
第十一章 弯曲内力
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 受弯杆件的简化 §11-3 剪力和弯矩 §11-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §11-5 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
11-1 弯曲的概念和实例
一. 关于弯曲的概念
梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
1.受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。
若梁上某点作用一向 下（上）的集中力，则在 F 剪力图上该点的极左侧截 面到极右侧截面发生向下 （上）的突变，剪力突变 的大小等于该集中力的大 小。
例 11-5
作以下简支梁的剪力和弯矩图。
解：约束力
M FA FB l1 l2
FA 剪力FQ FB FA x1 弯矩FQ FB x2
化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）
dx 3．集中力矩 M――往往是梁上安装附属构件所引起的。
三. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
11-3 剪力和弯矩
一.概念
仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量 例 11-1 确定悬臂梁m-m处的内力
m A l1 m F
l
B
MA FAx
FAy
F 0 F 0 F F 0 F F F 0 M ( F ) 0 M Fl 0 M
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪 力弯矩图错在 什么地方？（时 间3分钟）
§11-1 弯曲的概念和实例 §11-2 受弯杆件的简化 §11-3 剪力和弯矩 §11-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §11-5 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
11-1 弯曲的概念和实例
一. 关于弯曲的概念
梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
1.受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。
若梁上某点作用一向 下（上）的集中力，则在 F 剪力图上该点的极左侧截 面到极右侧截面发生向下 （上）的突变，剪力突变 的大小等于该集中力的大 小。
例 11-5
作以下简支梁的剪力和弯矩图。
解：约束力
M FA FB l1 l2
FA 剪力FQ FB FA x1 弯矩FQ FB x2
化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）
dx 3．集中力矩 M――往往是梁上安装附属构件所引起的。
三. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
11-3 剪力和弯矩
一.概念
仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量 例 11-1 确定悬臂梁m-m处的内力
m A l1 m F
l
B
MA FAx
FAy
F 0 F 0 F F 0 F F F 0 M ( F ) 0 M Fl 0 M
FQ ( x) FQ 常数 FQ 0 FQ 0 FQ 0
M ( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
FQ 2 FQ1 q( x)dx
2 1
2 M 2 M1 1 FQ ( x)dx
讨论: 下面的剪 力弯矩图错在 什么地方？（时 间3分钟）
超静定
FR A
FR B
P 3
max
FN,CD A
2P (压) 3A
FR A
A
PP CD
FR B
B
FN
P 3
-
P 3
x
2P 3
解超静定问题的步骤：
1 用约束反力代替多余约束，得到“静定”结构 2 寻找变形协调关系(关键! ! !) （几何关系） 3 利用虎克定律建立力与变形之间的关系（物理
关系）得补充方程 4 与平衡方程联立，解出全部的未知反力（平衡
超静定次数(degree of statically indeterminate problem)—— 未知力个数与独立平衡方程数之差
多余约束(redundant constrain)——保持结构的平衡与几何不 变而言多余的约束
Ⅲ 超静定问题的求解方法
A
F=16kN C
l/2
EI
l
B
wB 0
FB
FΝ 2
FΝ 3
l3
l1
l2
(a)
FΝ1
FΝ 2
FΝ 3
l1
l2
l3
(b)
FΝ1
FΝ 2
FΝ3 0
FΝ1 FΝ2 0
FΝ 3
l3
l1
l2
l3 0 l1
l2 0
(c)
(d)
判断上述变形图哪些是有可能的？
O
O
O
AO
a
a
l
C
O
OB
P
FΝ1
FΝ 2
FΝ 3
l3
对(a)图
l1
l2
1 平衡方程
(a)
Fy 0, FN1 FN2 FN3 P 0
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三、超静定次数的判定
（3）混合静不定系统的静不 定次数： 先判断外静不定次数， 后判断内静不定次数， 二者之和为结构静不定次数。
四、 静定基和相当系统
静定基——解除静不定结构的某些约束后得到静定结构， 称为原静不定结构的基本静定系（简称）。静定基的选择 可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。
用车床加工细长轴时，经常 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 减少其变形。卡盘和辅助支撑 构成超静定系统。
第十一章 静不定结构
§11-1 静不定结构概述 §11-2 用力法解静不定结构 §11-3 对称及反对称性质的应用
11-1 静不定结构概述
一、静不定结构
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内
力的结构,统称为静不定结构或系统,也称为超静
2.位移法: 以未知位移为基本未知量的求解方法.
§11-2 用力法解静不定结构
一、力法的求解过程
1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3···代替 多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的 “相当系统”; 2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力; 4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.
11 静不定结构
工程中的超静定结构
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
辅助支撑
跟 刀 架
顶 尖
在铣床上洗削工件时，为 防止工件的移动并减小其变形 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成系统
C 外力超静定问题
F
第三类:在结构外部
和内部均存在多余约束,
即支反力和内力是静不 定的,也称联合静不定结 A
B
构.
内力超静定问题
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
三、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
例题11-1 如图所示,车削工件安有尾顶针的简化模型,梁EI 为常数,试求支座反力.
A
F
A
F
（1）去掉多余约束代之 约束反力,得基本静定系
B
把 B 支座作为多余约束
X1
B AB 悬臂梁为基本静定系
X1 为多余反力
（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件
A
F
1F
A
B
X1
B
1X1
1F 由F引起B处(1处)沿X1位移 1X1由X1引起B处(1处)沿X1位移
A
X1
Q=1
B
11
A
B
1X1
1
X
由X1引起B处(1处)沿X1位移
1
11
由X1方向单位力引起B处(1处) 沿X1位移
小变形范围内
X1 1
1X1
11
在B处施加单位力Q=1
代入有
11X 1 1F 0
正则方程
11X 1 1F 0
求解 1F 积分法
AC： M1(x) F(a x) M1(x) (l x)
定结构或系统.
在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必 须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力
称为多余约束反力,多余约束的数目为结构的静 不定次数.
二、静不定问题分类
B
A
第一类:仅在结构外部存在多余
约束,即支反力是静不定的,可称为
F
外力静不定系统;
第二类:仅在结构内部存在多余 约束,即内力是静不定的,可称为内力 静不定系统;
相当系统——在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系 统称为静不定问题的相当系统。
B
A
F
B
A
F
B
A
F
C
超静定结构
C
基本静定系
C
相当系统
五、分析方法
1.力法:以未知力为基本未知量的求解方法; •在求解静不定结构时，一般先解除多余约束，代之以多 余约束力，得到静定基。 •再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。
A
B
C
l Mc
1F
M c
EI
1 EI
Fa a 2
(l
a) 3
Fa 3 6EI
Fa 2l 2EI
11X 1 1F 0 A
Q=1 B
求解
积分法
11
11
AB：
11 由X1引起B处(1处)沿X1位移
M (x) Q(l x) (l x)
M (x) F (l x) (l x)
F 1
外载荷为平面力系，则 为三次外静不定静
为空间力系，则 为六次外静不定
三、超静定次数的判定
（2）内力超静定次数的判定:
一个平面封闭框架受力为平 面结构时，为三次内力超静 定;为空间受力结构，则为6次 超静定。
平面桁架的内力超静定次数
=未知力的个数-二倍的节点数.
静定系
基本系中增加 了一约束杆， 因而为一次超 静定
1F —在基本静定系上,由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向
变形协调条件： B点的 挠度为
Δ1 X1 Δ1F 0
1X1表示由于X1作用在静定基上时,X1作用 B 点沿X1方向的位
移.
1F表示荷载 F (广义力) 作用在静定基上时,X1作用 B点沿X1
方向的位移.
1F 1X1 0
A
求解这两个量
1F
由于F已知，故用莫尔积分易求
B
F
1F 由F引起B处(1处)沿X1位移
BC：M 2 (x) 0
M 2 (x) (l x)
A
1F
C
B
aF
l
1F 由F引起B处(1处)沿X1位移
F 1
A
C
B
1F
1 EI
a
M
(x)M
( x )dx
Fa 3
Fa 2l
0
6EI 2EI
11X 1 1F 0
求解 1F 图乘法
A
1F
B
C
aF
l
M Fa
a/3
F 1 M
Mc l a/3
l
l
无需写出
A
用求解1F 时的单位载荷即可
B C
11
1 EI
l
M (x)M (x)dx
1
0
EI
l M 2 (x)dx l 3
0
3EI
11X 1 1F 0
求解 11
图乘法
Q=1
无需画图
用求解1F
时的单位载荷即可 ——自乘
M
A
B
11
l
l/3
F 1 M
A
B
C
11ห้องสมุดไป่ตู้
M c
EI
1 EI
l l 2
2l 3
l3 3EI
l
Mc
X1
1F
11
Fa2 a 3l
6EI
二、力法正则方程
上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式
11 X 1 Δ1F 0
变形协调方程的标准形式,即所谓的力法正则方程. X1— 多余未知量；
11— 在基本静定系上, X1取单位值时引起的在X1作用点X1 方
向的位移;