福建省福州八中2016届高三上学期第二次质量检测考试数学(理)试卷

福州八中2015—2016学年高三毕业班第二次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分 2015.10.8一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共12小题，每小试题5分，共60分） 1．已知全集U=R ，集合{}{}3|021,|log 0x A x B x x =<<=>，则()U A C B ⋂= A ．{}|1x x > B ．{}|0x x >C ．{}|01x x <<D ．{}|0x x <2． 错误！未找到引用源。

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成立的（ ）条件. A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3．已知命题p ：函数21()sin 2f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称.则下列命题是真命题的是 A ．q p ∧ B ．q p ∨ C ．)()(q p ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝ 4．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线30x y -=上，则3sin()2cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ++----等于A ．32-B ．32C ．33,24- D ．32± 5．60,,,,=∠∆A C B A c b a ABC 的对边且分别为角中，已知,若ABC S ∆=，且2sinB =，则ABC ∆的周长等于 A ．5 B.12D.5+6．若椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的面积为ab π，则=⎰A ．4πB ．8πCD7．函数x x x y sin cos +=的图象大致为8．设点P 是函数1)y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是A ．2,3πθπ⎛⎤∈⎥⎝⎦ B ．3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ C ．2,23ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．,32ππθ⎛⎤∈⎥⎝⎦9．已知)sin()(ϕω+=x x f (),0R ωϕπ∈<<，满足)2()(π+-=x f x f ，21)0(=f ，0)0(<'f ，则)cos(2)(ϕω+=x xg 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为A ．-3B ．3C 1-D ．110．定义在区间[0,1]上的函数()f x 的图象如图所示，以0(0))A f （，、1(1))B f （，、())x f x C （，为顶点的∆ABC 的面积记为函数()S x ,则函数()S x 的导函数()S x '的大致图象为11．已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，A 、B 、C 分别是函数图像与x 轴交点、图像的最高点、图像的最低点．若()0f =，且288AB BC π⋅=-uu u r uu u r ．则()f x 的解析式为A ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x R ∈满足：对任意0a >，都存在．．x X ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，下列四个集合：①,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭，②{}0x x ≠，③1,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，④整数集Z ．其中以0为聚点的集合有（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）13．若316tan =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则tan ⎪⎭⎫⎝⎛+απ232= ___________ . 14．若函数()2x f x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.15．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式()1xxe f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为___________.16．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．三、解答题：（6小题，共70分） 17．（本小题10分）已知函数)()21(15),212(3)2(1)(R x x x x x x x x f ∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<--=（Ⅰ）求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）已知R m ∈，命题:p 关于x 的不等式22)(2-+≥m m x f 对任意R x ∈恒成立；命题:q 函数xm y )1(2-=是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．18．（本小题12分）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中a R ∈，(,)22ππθ∈-.（Ⅰ）当4a πθ==时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值与最小值；（Ⅱ）若()0,()12f f ππ==，求a ，θ的值．19．（本小题12分）已知函数()22ln 2x f x x a e=-+（其中R a ∈）．当x e =时，函数()f x 有极大值12．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）任取1x ，22,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，证明：()()123f x f x -<．20．（本小题12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 满足：,23cos sin sin cos cos =++B C A C A 且a 、b 、c 成等比数列， （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2,tan 2tan tan ==+a BbC c A a ，判断三角形形状.21．（本小题12分）已知函数()f x ax =（a R ∈）.（Ⅰ）若函数()f x 图象上的点都在不等式组1010x x y +≥⎧⎨--≤⎩表示的平面区域内，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数422()()(1)1h x x f x x bx ⎡=++++⎣在(0,)+∞上有零点，求22a b +的最小值.22．（本小题12分）设函数()()()bx x x a x f +++=1ln 12，其中1->x ，曲线()x f y =过点()1,12+--e e e ，且在点()0,0处的切线方程为0=y ．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）证明：当0≥x 时，()2x x f ≥；（Ⅲ）若当0≥x 时，()2mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围．福州八中2015—2016学年高三毕业班第二次质量检查数学(理)试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共12小题，每小试题5分，共60分） 1. D2. A3. B4. B5. A6. D7. C8. C9. A10.D11. A12. B 二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分） 13. 34-14. (22ln 2,)-+∞【解析】考查x y e =和2y x a =+的交点情况，由于直线2y x a =+的方向确定，画出图象易知，当直线2y x a =+和x y e =相切时，仅有一个公共点，这时切点是(ln 2,2)，切线方程是222ln 2y x =+-，将直线222ln 2y x =+-向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点.15．()0,+∞16.()π222+．三、解答题：（6小题，共70分） 17.【解析】（本小题10分）（Ⅰ）结合图象，知函数)(x f 在2-=x 处取得最小值1； （Ⅱ）由（Ⅰ）得1222≤-+m m ，解得13≤≤-m ∴命题13:≤≤-m p ……………………3分对于命题q ，函数xm y )1(2-=是增函数，则,112>-m 则22>m∴命题q ：2-<m 或2>m ……………………6分 由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假可知有以下两种情形：若p 真q 假，则22;13≤≤-≤≤-m m，解得：12≤≤-m ；…………8分若p 假q真，则2,2;1,3>-<>-<m m m m ，解得：3-<m 或2>m故实数m 的取值范围是：3-<m ，或12≤≤-m ，或2>m .…………10分18.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）当4a πθ==时，())sin 42sin cos f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-= 因为[]0,x π∈，从而3,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，………………4分故()f x 在[]0,π，最小值为－1……………………6分 （Ⅱ）由()021ff ππ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()2cos 12sin 02sin sin 1a a a θθθθ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩………………8分 又,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭知cos 0θ≠解得16a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩．………………12分考点：()()sin f x A x ωϕ=+的综合应用19.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）由题知221()ln 22e f e e a e =-+=，解得0a =…2分（Ⅱ）由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，又22'2221()()()x e x e x e x f x x e e x e x-+-=-==……………………4分 由2()()0e x e x e x +->得0x e <<；2()()0e x e x e x+-<得x e >； 故函数()f x 单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞…………………………7分（Ⅲ）因为22()ln 2x f x x e=-，由（1）知函数()f x 的单调减区间为(,)e +∞，故()f x 在2[,]e e 上单调递减，∴2max 211()()ln 1222e f x f e e e ==-=-=；…………………………8分4222min 2()()ln 222e e f x f e e e ==-=-； ……………………9分∴max min ()()f x f x -=2213(2)222e e ---=max min ()()f x f x ∴-2332e -=<①………………11分依题意任取212,[,]x x e e ∈，欲证明12()()3f x f x -<，只需要证明max min ()()f x f x -3<，由①可知此式成立，所以原命题得证．………………12分考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求最值；3.利用导数证明不等式． 20.【解析】（Ⅰ）∵,23cos sin sin cos cos =++B C A C A ∴32sin sin ,2A C =………………2分 又∵22sin sin sin b ac B A C =⇒=………………4分∴232sin 2B =而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大故B 为锐角，所以060B =…………………………6分（Ⅱ）由B b C c A a tan 2tan tan =+，则BBb C Cc A A a sin cos 2sin cos sin cos =+，……8分所以1cos 2cos cos ==+B C A ， 又因为32π=+C A 所以3π==C A ………………………………10分 所以，三角形ABC 是等边三角形.………………12分考点：1.三角函数基本公式；2.同角间三角函数关系；3.正弦定理解三角形 21.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）由题意可知，()f x ax =+1x ≥-在[1,)-+∞上恒成立，…………2分令t =，则0t ≥，代入得22(1)2a t t t -+≥-在[0,)+∞上恒成立，即(1)(1)(2)(1)a t t t t +-≥-+，即(1)2a t t -≥-对0t ≥恒成立，即(1)20a t a -+-≥在[0,)+∞上恒成立，………………………………4分此时，只需10a -≥且20a -≥，所以有12a ≤≤.……………………6分（Ⅱ）（II）依题意：422()()(1)10h x x f x x bx ⎡=++++=⎣在(0,)+∞上有解，即2210a x ax b x x ++++=，令1t x x=+，则2t ≥，代入得方程220t at b ++-=在[2,)+∞上有解，………………………………8分设2()2g t t at b =++-（2t ≥），当22a->，即4a <-时，只需2480a b ∆=-+≥，22a b +的几何意义就是表示点(,)a b 到原点(0,0)距离的平方，在此条件下，有2216a b +≥；………………10分当22a-≤，即4a -≤时，只需(2)0g ≤，即22220a b ++-≤，即220a b ++≤，22a b +的几何意义就是表示点(,)a b 到原点(0,0)距离的平方，在此条件下，有2245a b +≥. 所以，22a b +的最小值为45.……………………12分22.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）()()()()b x a x x a x f +++++=11ln 12'，()00'=+=∴b a f ，()()()11122+-=-+=-e e a e b ae e f 12+-=e e ， 1=∴a ，1-=b ……2分（Ⅱ）()()()x x x x f -++=1ln 12，设()()()221ln 1x x x x x g --++=，()0≥x ，则()()()x x x x g -++=1ln 12'，()()()011ln 2''>++=x x g ，…………4分()x g '∴在[)+∞,0上单调递增，()()00''=≥∴g x g ，()x g ∴在[)+∞,0上单调递增， ()()00=≥∴g x g ．2()f x x ∴≥．………………6分（Ⅲ）设()()()221ln 1mx x x x x h --++=，()()()21ln 12h x x x x mx '∴=+++-，由（Ⅱ）中知，，()mx x x h 23'-≥∴，………………8分①当02-3≥m ，即23≤m 时，()0'≥x h ，()x h ∴在[)+∞,0单调递增，()()00=≥∴h x h ，成立．………………10分②当023<-m ，即23>m 时，()()()()x m x x x h 211ln 12'-+++=，()()m x x h 231ln 2"-++=，令()0"=x h ，得0123-20>-= m ex ，高三数学（理）第二次质量检查试卷答案 第3页 共4页当[)0,0x x ∈时，()()00''=<h x h ，()x h ∴在[)0,0x 上单调递减，()()00=<∴h x h ，不成立．综上，23≤m ．………………12分考点：（1）导数的运算及其几何意义；（2）利用导数求函数的最值及分类讨论思想的应用；（3）构造函数的应用，注意小步设问寻找解决问题的突破口。