北师大版数学九年级上册1.3 正方形的性质与判定

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1.3《正方形的性质与判定第2课时》北师大版数学九年级上册教学课件

满足怎样条件的矩形是正方形？
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
合作探究活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的一__组__邻__边__相_等__时，【猜想2】当矩形的_对__角__线__互__相__垂__直___时，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
又∵ AC=BD，
A
∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=
∠COD=∠AOD=90°.
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都
是等腰直角三角形.
B
∴∠BAD=90°.
∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
D O
C
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形.
A
D
E
B
C
F
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
典型例题
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
复习回顾观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有哪些性质呢？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
复习回顾观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有哪些性质呢？
➢ 正方形的四个角都是直角，四条边相等. ➢ 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.

北师大版九年级数学上册第1章1

三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：正方形的性质和判定方法，以及它们在实际问题中的应用。
难点：对正方形性质的深入理解和判定方法的灵活运用，特别是在解决综合几何问题时能准确识别和应用正方形的性质。
2.重点：通过探索活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
难点：将直观的几何直觉转化为严密的逻辑推理，并在论证过程中准确使用几何语言。
6.预习任务：
布置下一节课的预习任务，要求学生提前了解正方形与其他几何图形的关系，为后续学习打下基础。
注意事项：
1.作业难度要适中，既要考虑到学生的实际水平，又要具有一定的挑战性，以激发学生的学习兴趣。
2.作业量要适宜，避免过多导致学生负担过重，影响学习效果。
3.作业布置要注重差异化，针对不同学生的学习需求，设计不同难度的题目，使每个学生都能在作业中找到适合自己的挑战。
1.结合学生已有的知识经验，激发他们的学习兴趣，引导他们主动参与正方形性质和判定方法的探究过程。
2.注重培养学生的空间想象力，通过丰富的教学手段和实例，帮助学生建立正方形与其他图形之间的联系。
3.针对学生个体差异，因材施教，关注几何推理能力和问题解决能力的培养，提高学生的几何素养。
4.强化几何语言的训练，使学生在描述、讨论、证明正方形性质的过程中，提高准确运用几何术语的能力。
3.重点：激发学生的学习兴趣，形成积极主动探索的学习态度。
难点：针对不同学生的学习特点，设计个性化的教学活动，以促进每个学生的全面发展。
（二）教学设想
1.引入环节：
利用生活实例或有趣的几何问题，如建筑设计中的正方形元素，引出正方形的学习，激发学生的好奇心和学习欲望。
2.探索环节：
设计一系列由浅入深的探索活动，如观察正方形的模型，引导学生发现正方形的性质。通过小组合作，让学生讨论并尝试证明这些性质，以培养学生的合作能力和推理能力。

新北师大版初中数学九年级上册第1章特殊平行四边形《第3课正方形的性质与判定》

满足什么条件的菱形是正方形？定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF．理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章特殊平行四边形

北师大版九年级数学上册(教案)：1.3正方形的性质与判定-

然而，我也发现了一些问题。在实践活动过程中，部分学生操作不够熟练，对直尺和圆规的使用不够熟悉。在今后的教学中，我需要加强学生对基本作图工具的掌握，提高他们的实际操作能力。
在学生小组讨论环节，有些学生发言不够积极，可能是因为他们对讨论主题不够熟悉或者缺乏自信。为了解决这个问题，我会在接下来的教学中，多给予这部分学生关注和鼓励，提高他们的自信心，培养他们的团队协作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“正方形的性质与判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过哪些物体的形状是正方形？”（举例说明，如桌面、瓷砖等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正方形的性质与判定的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如对角线互相垂直平分且相等的证明，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题，如如何用直尺和圆规作一个正方形。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规在纸上作一个正方形，演示正方形的基本原理。
3.增强学生的空间观念：通过研究正方形的性质与判定，使学生更好地理解平面与空间的关系，形成良好的空间观念。
4.培养学生的团队协作意识：在小组合作探究活动中，培养学生与他人合作、交流、分享的学习习惯，提高团队协作能力。
5.培养学生的创新意识：鼓励学生在探索正方形性质与判定的过程中，积极思考、提出新问题、寻找新方法，激发学生的创新意识。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定(第一课时)教学设计

在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，教师应注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。在本章节学习正方形的性质与判定前，学生已经掌握了矩形、菱形的基本性质和判定方法，这为学习正方形打下了良好的基础。然而，正方形作为一种特殊的矩形和菱形，其性质和判定方法具有一定的特殊性，学生在理解上可能存在一定难度。此外，学生在解决实际问题时，可能会遇到将理论知识与实际情境相结合的挑战。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
1.充分调动学生的已有知识经验，引导他们发现正方形与矩形、菱形的联系与区别，降低学习难度。
2.注重培养学生的空间想象力，通过实际操作、观察和思考，提高学生对正方形性质的理解。
3.针对学生个体差异，给予个性化指导，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
4.创设丰富的教学情境，激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极思考、主动探究，提高解决问题的能力。
注意事项：
1.作业量适中，难度由浅入深，以培养学生的自信心和挑战意识。
2.鼓励学生独立完成作业，培养其自主学习能力。
3.注重作业反馈，及时发现并纠正学生的错误，提高学生的学习效果。
4.针对不同学生的个体差异，适当调整作业难度和类型，使每位学生都能在作业中收获成长。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：正方形的定义、性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.难点：正方形性质的理解与运用，特别是正方形与矩形、菱形性质的异同；正方形判定方法的灵活运用。
（二）教学设想

1.3正方形的性质与判定教案2022-2023学年北师大版数学九年级上册

五、教学反思
在本次《1.3正方形的性质与判定》的教学过程中，我注意到了几个值得反思的地方。首先，我发现学生们对于正方形的性质和判定方法的理解程度参差不齐。有的同学能够迅速掌握，但也有一些同学在理解上存在困难。这让我意识到，在讲解基本概念时，需要更加细致、生动，尽量用生活中的实例来帮助他们理解和记忆。
在学生小组讨论环节，我注意到他们在分享成果时，有时候表达不够清晰、逻辑性不强。这提醒我在今后的教学中，要加强对学生表达能力的培养，让他们学会如何条理清晰地表达自己的观点和思考。
最后，总结回顾环节，虽然我鼓励学生提问，但仍有部分同学可能因为害羞或其他原因，没有提出自己的疑问。为了更好地了解学生的学习情况，我应该在课后主动与他们交流，了解他们在学习过程中遇到的问题，及时给予解答和指导。
2.逻辑推理：学会运用定义、定理进行正方形的判定，培养学生严密的逻辑推理能力。
3.数学建模：利用正方形的性质解决实际问题，提高学生建立数学模型、解决问题的能力。
4.空间观念理解。
5.数学抽象：理解正方形面积和周长的计算公式，提高学生的数学抽象思维能力。
1.3正方形的性质与判定教案2022-2023学年北师大版数学九年级上册
一、教学内容
《1.3正方形的性质与判定》，选自2022-2023学年北师大版数学九年级上册，主要包括以下内容：正方形的定义及基本性质；正方形的判定方法；正方形中特殊的角与线段；正方形的面积与周长计算；以及正方形在实际问题中的应用。具体教学内容如下：
举例：给出一些平面设计、建筑设计中的问题，如计算正方形房间地板的面积，或计算正方形园林中道路的长度，让学生运用正方形的性质和计算公式进行解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《1.3正方形的性质与判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过哪些物体的形状是正方形？”（如桌子、窗户等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正方形的性质与判定的奥秘。

北师大版九年级数学上册正方形的性质与判定第2课时课件

123456
第2课时正方形的判定
知识梳理课时学业质量评价
2. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下列条
件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是( A )
A. AC ＝ BD
B. AC ⊥ BD
C. AD ＝ AB
D. AC 平分∠ DAB
第2题图
1234性质与判定（第2课时）
回顾复习
正方形的判定定理： 1. 对角线相等的菱形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 有一组邻边相等的矩形是正方形.
典例精讲
例1 已知：如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
E
F
A
图2 C
探究新知
2. 如图3，E，F分别为AB，AC的中点，在AC的下方找一点D，作CD和AD的中点G，H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？B
EF∥HG EH∥FG
3. 四边形EFGH的形状有什么特征？
四边形EFGH是平行四边形.
E
F
C
AH G
D 图3
探究新知
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
C. ②③
D. ②④
第3题图
123456
第2课时正方形的判定
知识梳理课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，若 AC ＝ BD ，请你添加一个条件 AC ⊥ BD (答案不唯一) ，使四边形 ABCD 是正方形.(填一个即可)

1.3 正方形的性质与判定初中数学北师大版九上授课课件

求证:AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO. A
D
分析：因为正方形具有矩形和菱形的所
O
有性质,所以结论易证. 证明：∵四边形ABCD是正方形,
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.
∴AC=BD , AC⊥BD, AO=CO,BO=DO.
性质应用
例1：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，
再由一个直角，得出是矩形；
最后由一组邻边相等可得正方形；
450 C F
有一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形
做一做
顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A H
A
H
E
DE
A
H
D
D
G
E
G
B F
GB C
F
C
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正方形？
想一想：正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形正方形菱形平行四边形
归纳正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
又∵CE=CF,
∴△BCE≌△DCF.
B
∴BE=DF.
D E
C
F
(2)延长BE交DE于点M. ∵△BCE≌△DCF, ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°, ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.

1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册

答图
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ；（1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方向旋转90°，得到△ ABF '，则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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北师大版九年级上册 1.3正方形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

1.3正方形的性质和判定【正方形的性质】1．正方形的定义一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.温馨提示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形②既是矩形又是菱形的四边形是正方形③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2.正方形的性质（1）具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等；两组对角相等；对角线相互平分.（2）具有矩形的一切性质:四个角都是直角；对角线相等.（3）具有菱形的一切性质:四条边相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）边：对边平行，四条边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴 . 又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.正方形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC = OB = OD．正方形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD= ∠ODA=45°．正方形中的全等三角形：全等的等腰直角三角形有：点拨：有关正方形问题可转化为等腰直角三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质；②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质；③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

【练习】1.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．第1题第3题第5题第7题2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )A．10° B．12.5° C．15° D．20°4.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．8.如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．8题9题第10题9．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．10．，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，11．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【正方形的判定】1. 正方形的判定定理(1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法); (2)矩形+一组邻边相等; (3)矩形+对角线互相垂直; (4)菱形+一个角为直角；(5)菱形+对角线相等。

北师大版数学九年级上册正方形的性质与判定(第1课时正方形的性质》课件(共26张)

(1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心___A__点，按顺时针方向旋转__9_0__ 度得到；
(3)若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
解：(1)由SAS证明△ADE≌△ABF；
(3)由勾股定理得AE＝10，
由(1)得AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
进而证∠EAF＝90°，
北师大版数学九年级上册
第一章特殊的平行四边形
1.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质
学习目标
1．掌握正方形握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题．
回顾旧知
1．菱形的四条边都_相__等___，菱形的对角线_互__相__垂__直___ ． 2．矩形的四个角都是_直__角___ ，矩形的对角线_相__等__．_ 3．有一组邻边相等的平行四边形叫_菱__形___；有一个角是直角的平行四边形叫做_矩__形___．
5．议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？
答：如图：正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是
特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
知识模块二正方形的性质应用
解： ∵四边形ABEF、BCMN为正方形，∴AB＝
BE＝EF，BC＝BN，∠FEB＝∠EBC＝90°，∵AB
＝2BC，∴BE＝2BN，∴EN＝NB＝BC，∴在
△FEN和△EBC中
，
∴△FEN≌△EBC(SAS)，∴FN＝EC.
6.如图，并排摆放两个正方形ABCD和 FEBG，其中正方形FEBG的边长为3cm，则图中阴影部分的面积是多少？

北师大版九年级数学上册第1章第3节正方形性质与判定(共18张PPT)

D
C
D
C
F●
N P●
N
A M B E A MB
E
如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD
求证：四边形ABCD是正方形。
A
D
O
B
C
练一练
1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF 于H。求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG 证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90°
∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2
又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠
∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF ∴∠MFD＝45°
3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在
ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝
探究三: 假设正方形OEFG继续旋转时， AM 与
探究四B：N之如间图的，关有系两是个否大还小成不立等？的两个正方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，假设阴影局部的面积为8，那么小正方形的边长为多少？
∴∠CEA＝∠ABG
思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O 又是另一个正方形OEFG的一个顶点，假设正方形 OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.

1.3正方形的性质与判定+练习 2023—2024学年北师大版数学九年级上册++

1.3 正方形的性质与判定一、单选题 1．下列说法错误的是（）A ．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B ．每组邻边都相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．四个角都相等的四边形是矩形2.如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是（）A ．75°B ．60°C ．54°D ．67.5°3. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形ABCD 和正方形EFGH ，每个直角三角形纸片的两条直角边长之比为1：2，若正方形EFGH 的面积为5，则正方形ABCD 的面积为( )A.2√3+4B. 12C. 4√5D. 9 4．如图，正方形OABC ，顶点A 在x 轴上，32OA =，将正方形OABC 绕原点O 逆时针旋转105︒至正方形OA B C '''的位置，则点B '的坐标为（）A ．()3,3-B ．()3,33-C ．()33,3-D ．332,622⎛⎫- ⎪⎝⎭5．如图，棱长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB 的中点P 出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点C '处的最短路径是（）A ．13B ．23C ．25D ．426.如图,在四边形ABCD 中,点O 是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是( )A.AC=BD,AB ∥CD,AB=CDB.AD ∥BC,∠BAD=∠BCDC.AO=CO,BO=DO,AB=BCD.AO=BO=CO=DO,AC ⊥BD7定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC 中，点A(0,2)，点C(2,0)，则互异二次函数y =(x −m)2−m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是( )A. 4，−1B. 5−√172，−1 C. 4，0 D. 5+√172，−1二、填空题1．如图，P 为AB 上任意一点，分别以AP PB 、为边在AB 同侧作正方形APCD 、正方形PBEF ，设CBE α∠= ，则AFP ∠为________2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，45∠=︒，P为ABAED的中点，当点E运动时，线段PE的最大值为．3．如图，正方形ABCD的面积为8cm2，且其对角线相交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积为cm2．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且1AF=，P是对角线AC上一动点，则PE PF+的最小值是．三、解答题1．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；（2）求证：AE＝BE+DG．2．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF 交AB于G，连接DG．（1）求证：∠EDG＝45°．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．（3）当BE：EC＝时，DE＝DG．3．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝3√2，求AG，MN的长．4.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图①,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,中点四边形EFGH是;(2)如图②,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明).5．如图，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，F为AB上一点，且FG BE⊥交CD于点G，(1)求证：FG BE=；(2)若点E为AD中点，FG垂直平分BE，求DGCG的值．。

北师大版九年级数学13正方形的性质与判定教案

教案：北师大版九年级数学13正方形的性质与判定一、教学内容本堂课的教学内容为正方形的性质与判定。

学生通过本节课的学习，将了解正方形的定义和特征，并能够利用正方形的性质判断给定的图形是否为正方形。

二、教学目标1.知识目标：了解正方形的定义和特征，能够应用正方形的性质判断图形是否为正方形。

2.技能目标：培养学生观察并归纳总结的能力，以及运用已学知识判断问题的能力。

3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生解决问题的自信心。

三、教学重难点1.教学重点：正方形的定义和特征，以及判断给定图形是否为正方形的方法。

2.教学难点：帮助学生归纳总结正方形的特征，理解并应用正方形的性质进行判断。

四、教学准备1.教师准备：教材、黑板、白板笔、图形卡片。

2.学生准备：准备纸和笔。

五、教学过程Step 1 自由探究1.教师出示一些较为复杂的图形，并让学生观察和讨论，看是否能够找出其中的正方形。

2.学生观察并尝试寻找，教师帮助引导学生观察正方形的特征，如四条边相等且四个角都是直角等。

3.学生将可能的正方形标出来，并与同桌讨论。

4.教师随机选择一组学生发言，让他们将找到的正方形标出来，并说明自己的观察。

Step 2 归纳总结1.教师引导学生回顾所找到的正方形图形，并将其特征进行总结，强调正方形的定义：四边相等，四个角都是直角。

2.教师将正方形的定义写在黑板上，学生将其抄写在笔记本上。

3.学生自主提问并与同桌讨论：只有边相等和角为直角，是否就能判断为正方形？4.教师引导学生思考，并通过举例说明：对角线相等，是否能判断为正方形？引导学生进行思考和讨论，并总结规律。

Step 3 知识点讲解1.教师讲解正方形的性质：正方形的对角线相等，并通过示意图进行说明。

2.学生通过观察和讨论，将正方形的对角线相等这一性质归纳总结，并记录在笔记本上。

Step 4 练习巩固1.教师出示一些图形，让学生根据正方形的性质判断其是否为正方形。

2.学生分组进行讨论，并将判断结果写在纸上。

北师大版九上数学1.3正方形的性质与判定知识点精讲

知识点总结
正方形
正方形是本章最后一个特殊的四边形，它既是特殊平行四边形，又是特殊的菱形，也是特殊的矩形，下面，让我们一起来学习正方形正方形的概念
正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形
从定义可以看出，正方形也是从平行四边形进化来的，一组邻边相等，说明它也是菱形，有一个角是直角，说明它也是矩形，所以，同时满足菱形和矩形要求的四边形，就是正方形
正方形的性质
如上述对正方形定义的解读，正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质
性质1：正方形的四个角都是直角，四条边相等
性质2：正方形的对角线相等且相互垂直平分
性质3：既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有4条
几种四边形之间的性质关系
正方形的判定
同矩形和菱形的判定一样，正方形的判定需要先证明四边形是矩形或菱形，再进一步证明正方形
几种四边形之间的判定关系
知识链接
1.有一个角是直角的菱形是正方形。

2.对角线互相垂直的平行四边形是矩形。

3.四边相等的四边形是菱形。

典例分析。