七年级数学下册(浙教版)作业课件A本：专题十一因式分解及应用

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浙教版数学七年级下册《用乘法公式分解因式》课件

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感悟新知
知识点一用平方差公式分解因式
思考我们知道(a+b)(a－b)=a2－b2，反过来，就有a2－b2＝(a+b)(a
－b)，应用这一事实，怎样把多项式16a2－1分解因式？
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感悟新知
知识点一用平方差公式分解因式
思考由平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2可得： a2－b2= (a+b)(a－b)；两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积；运用这个公式可以把具有平方差情势的多项式分解因式。
总结
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分析： (3)结果是加还是减由乘积项的符号确定，即乘积项的符号可以是“＋”也可以是“－”，而两个平方项的符号相同，否则就不是完全平方式，即也不能用完全平方公式进行因式分解；
(4)用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式。
归纳
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平方差公式法：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a2－b2＝(a＋b)(a－b)。
分析
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分析： (1)公式特点：公式的左边是一个二项式，都能写成平方情势且符号相反；公式的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个底数的和，另一个二项式是两个底数的差； (2)它是乘法公式中的平方差公式逆用的情势。
第四单元·因式分解
用乘法公式分解因式
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1 课堂讲授 2 课时流程
学习目标
用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式

浙教版七年级数学下册因式分解的应用

第九讲因式分解的应用思维导图重难点分析重点分析：因式分解的应用极其广泛，因式分解的实质是把和或差化成积的一种代数变换.应用因式分解解决数学问题或实际问题是一种常用的数学基本方法和运算技巧，对后续分式、一元二次方程等知识有很大帮助.本节中主要涉及数的计算、多项式除法、代数的求值或恒等变形以及解一些简单的二次方程等.难点分析：因式分解法解方程主要是将方程分解为“A·B=0”的形式，即“若A·B=0，则有A=0或B=0”.应用因式分解法解决数学问题或实际问题时要注意结合换元法、配方法、待定系数法等重要的数学方法.例题精析例1、计算：（1）［（m+n ）2-4（m-n ）2］÷（3n-m ）；（2）［（a-2b ）2-4（a-2b ）+4］÷（a-2b-2）.思路点拨：关键在于对被除式进行因式分解，分解后与除式之间的关系就显而易见.解题过程：（1）原式=（m+n+2m-2n ）（m+n-2m+2n ）÷（3n-m ）=（3m-n ）（3n-m ）÷（3n-m ）=3m-n.（2）原式=（a-2b-2）2÷（a-2b-2）=a-2b-2.方法归纳：我们现在所接触的多项式除以多项式都是利用因式分解来解决的，都是能整除的情况.易错误区：因式分解时，注意应用去括号或添括号法则时符号的变化.例2、解方程：（1）2x 2-3x=0；（2）x （2x-3）=4x-6；（3）16（x+1）2=25（x-2）2.思路点拨：借助因式分解来解一元二次方程，把所有项移到等式左边进行因式分解，再依据“如果若干个数之积为零，那么至少有一个数为零”这一性质求解.事实上就是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，达到降次的目的，实现从未知到已知的转化.解题过程：（1）∵2x 2-3x=0,∴x（2x-3）=0.∴x 1=0，x 2=23. （2）∵x（2x-3）=4x-6，∴x（2x-3）-2（2x-3）=0. ∴（x-2）（2x-3）=0.∴x 1=2，x 2=23. （3）∵16（x+1）2=25(x-2)2，∴16（x+1）2-25（x-2）2=0.∴（4x+4+5x-10）（4x+4-5x+10）=0.∴（9x-6）（14-x ）=0.∴x 1=23，x 2=14. 方法归纳：因式分解在解一元二次方程或一元高次方程中有很好的应用.对于第（3）题也可以直接用开平方的方法，这时会出现两种情况：4（x+1）=5（x-2）或4（x+1）=-5（x-2）.一般情况下，一元二次方程要有解就会有两个解，分别用x1和x2表示.易错误区：对于方程（3），不能简单地两边同时除以2x-3得到x=2，这样会造成没有考虑2x-3=0这一情况而导致漏根.例3、在学习中，小明发现：①32-12=9-1=8=1×8；②52-12=25-1=24=3×8；③112-12=121-1=120=15×8；④172-12=289-1=288=36×8，…于是小明猜想：当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数，你认为小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.思路点拨：用2k+1表示奇数，再对n2-1因式分解，分析因式分解结果中的因式，判断是不是8的倍数.解题过程：小明的猜想正确.理由：∵n为奇数，∴可设n=2k+1（k为自然数）.∴n2-1=（2k+1）2-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=（2k+2）×2k=4k（k+1）.∵k为自然数，∴k，k+1是两个相邻的自然数.∴k，k+1中必有一个是偶数，一个是奇数.∴k（k+1）必定是2的倍数.∴4k（k+1）必定是8的倍数.故当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数.方法归纳：本题考查了因式分解的应用，先猜想结论，再进行验证.数的奇偶性判断是本题的难点.易错误区：k与k+1是相邻的两个整数，必定是一奇一偶，所以4k（k+1）不仅仅是4的倍数还是8的倍数.例4、如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的小长方形，且m＞n.（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小长方形的面积为10，四个正方形的面积之和为58，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和.思路点拨：（1）据图由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据四个正方形的面积之和为58，以及每块小长方形的面积为10，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可.解题过程：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）.（2）依题意，得2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29.∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+2×10=49.∵m+n＞0，∴m+n=7.∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)=42.方法归纳：本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键.易错误区：解题时要注意（m+n）2=49时，m+n是49的平方根，结果有两个，但涉及实际问题，要将负的值舍去，要明确平方根与算术平方根的区别与联系.例5、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，我们就把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664等都是“和谐数”.（1）请你直接写出3个四位数的“和谐数”，猜想任意一个四位数的“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位数的“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，写出y与x之间的关系式（用x表示y).思路点拨：（1）根据“和谐数”的定义写出3个四位数的“和谐数”；设任意四位数的“和谐数”的形式为：abba（a，b为自然数），则这个四位数为a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，通过提取公因式可判断任意四位数的“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位数的“和谐数”为：x×102+y×10+x=101x+10y，由于1110101y x +=9x+y+112y x -，根据整数的整除性得到2x-y=0，于是可得y 与x 之间的关系式.解题过程：（1）四位数的“和谐数”：1221，1331，1111，6666.任意一个四位数的“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位数的“和谐数”的形式为：abba （a ，b 为自然数），则a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b.∵1001a+110b=11(91a+10b)， ∴四位数的“和谐数”abba 能被11整除.∴任意四位数的“和谐数”都可以被11整除.（2）设能被11整除的三位数的“和谐数”为：xyx ，则x×102+y×10+x=101x+10y，则1110101y x +=9x+y+112y x -. ∵1≤x≤4，101x+10y 能被11整除，∴2x -y=0.∴y=2x（1≤x≤4）.方法归纳：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.灵活利用整数的整除性.易错误区：一要注意十进制多位数的正确表示方法，二要注意x ，y 的取值.探究提升例、已知整数a ，b 满足6ab=9a-10b+16，求a+b 的值.思路点拨：运用因式分解法把原来的等式变形为（3a+5）（2b-3）=1，再根据两个整数的乘积是1，只有1×1和（-1）×（-1）两种情况，再进一步解方程组即可.解题过程：由6ab=9a-10b+16，得6ab-9a+10b-15=16-15.∴（3a+5）（2b-3）=1.∵3a+5，2b-3都为整数，∴⎩⎨⎧==+13-2b ,153a 或⎩⎨⎧==+-1.3-2b ,-153a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==2b ,34-a 或⎩⎨⎧==1.b ,-2a ∵a，b 为整数，∴⎩⎨⎧==1.b ,-2a 故a+b=-1. 方法归纳：因式分解法是解高次不定方程的重要方法，要注意本题的方法与因式分解解一元二次方程的方法的区别，解一元二次方程一般方程右边变为零，而解不定方程的右边只要为整数，然后分析整数的约数即可.易错误区：A·B=1且A 和B 均为整数，则有A=1，B=1或A=-1，B=-1，不要漏掉两个都是-1这种情况.专项训练走进重高1.【杭州】设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2-（a-b ）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0;②a@（b+c ）=a@b+a@c;③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2;④设a ，b 是长方形的长和宽，若长方形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大.其中正确的是（）.A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③2.数348-1能被30以内的两位数（偶数）整除，这个数是 .3.【遂宁】阅读下面的文字与例题.将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm ）+（an+bn ）=m （a+b ）+n （a+b ）=（a+b ）（m+n ）；（2）x 2-y 2-2y-1=x 2-（y 2+2y+1）=x 2-（y+1）2=（x+y+1）（x-y-1）.试用上述方法分解因式：a 2+2ab+ac+bc+b 2= .4.【杭州】设y=kx ，是否存在实数k ，使得代数式（x 2-y 2）（4x 2-y 2）+3x 2（4x 2-y 2）能化简为x 4？若能，请求出所有满足条件的k 的值；若不能，请说明理由.高分夺冠1.已知a 2（b+c ）=b 2（a+c ）=2015，且a ，b ，c 互不相等，则c 2（a+b ）-2014的值为（）. A.0 B.1 C.2015 D.-20152.x 2-3xy-4y 2-x+by-2能分解为两个关于x ，y 的一次式的乘积，则b= .3.求方程5x 2+5y 2+8xy+2y-2x+2=0的实数解.4.若x 为整数，则x （x+1）（x-1）（x+2）+1是一个整数的平方.请说明理由.5.已知正实数a ，b ，c 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++25,2bc a2c 18,2ab c2b 29,2ac b2a 求a+b+c 的值.。

因式分解的简单应用 PPT课件 2 浙教版

•
74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。
•
75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。
•
76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。
•
77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。
•
78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。
•
79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。
探索新知
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
因式分解
两个多项式相除
（未知）
换元
单项式的除法（已知）
运用因式分解进行多项式除
梳理知识法的步骤：1、因式分解
练习1．计算：
挑战自我
（ 3） x2x22
温馨提示
当方程两边有公因式时，切忌两边同时除以公因式，仍应按一般步骤解．
开动脑筋,试试吧!
例3 解下列方程：
(1) 3x3 48x (2) x3 4x 0
综合与应用
( 1 )若 a b c 0 ,求 ( a 2 b 2 ) ( a c c b ) 的值
，
x2
3.
梳理知识练习２．解下列方程：
用因式分解解方程的步骤：（ 1） x22x0
1、移项，使方程右边变形为零；
2、等式左边因式分解；（ 2） 4x2x12
3、转化为一元一次方程．
8765432198765432101987654320 8765432198765432101987654320

浙教版七年级下《因式分解》课件

1 1 7 ; 2 2 29 20.5 41 20.5 30 20.5
2
2
拓展提高：
1 2. 已知 2 x y , xy 2 3
求 2 x y x y 的值.
4
2
3
3
4
3. 如果 2 x mx n 可分解因式为
-3 ，n=_____ -2 (2 x 1)( x 2) 那么m ＝_____
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
不是因式分解
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 π R+ 2 π r= 2 π (R+r) 因式分解
.例1. 检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y－xy2=xy(x－y) 正确 (2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1) 不正确 (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2) 正确
2×3×5= 30 这是整数乘法运算， 30 =2×3×5是什么运算呢？（因数分解）
2×3×5
整数乘法
因数分解
30
你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？
整式的积
多项式
多项式
整式的积
(a+b)(a-b) =a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2 m(a+b) =am+bm
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2 =(a+b)2 am+bm =m(a+b)
如果2x² +mx-2可分解因式为 (2x+1)(x-2),求m的值

浙教版七年级数学下册全册教学精品课件

浙教版七年级数学下册全册教学精品课件一、教学内容1. 第1章实数1.1 有理数1.2 无理数1.3 实数的运算2. 第2章代数式2.1 代数式的概念2.2 代数式的运算2.3 代数式的化简3. 第3章方程与不等式3.1 方程的概念3.2 一元一次方程3.3 二元一次方程组3.4 不等式与不等式组4. 第4章函数4.1 函数的概念4.2 一次函数4.3 二次函数5. 第5章数据分析5.1 数据的收集与整理5.2 数据的描述5.3 概率初步二、教学目标1. 理解并掌握实数、代数式、方程与不等式、函数以及数据分析的基本概念和性质。

2. 能够运用所学的知识解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数据分析能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：实数、代数式的化简与运算方程与不等式的解法函数的性质及图像数据分析的方法2. 教学重点：实数的概念及其运算代数式的化简与运算方程与不等式的解法函数的性质与图像数据分析的方法与应用四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔、教学模型等。

2. 学具：教材、练习本、计算器、直尺、圆规等。

五、教学过程1. 导入新课：通过实践情景引入，激发学生的学习兴趣。

2. 例题讲解：精选典型例题，详细讲解解题思路和方法。

3. 随堂练习：设计有针对性的随堂练习，巩固所学知识。

4. 知识拓展：引导学生探索数学知识在实际生活中的应用。

六、板书设计1. 浙教版七年级数学下册全册教学精品课件2. 各章节及知识点3. 例题及解题步骤4. 课堂小结七、作业设计1. 作业题目：实数的运算与应用代数式的化简与运算方程与不等式的解法函数的性质与图像数据分析的方法与应用2. 答案：详细解答各题目，注明解题关键步骤。

八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：鼓励学生参加数学竞赛，提高解题能力。

组织数学实践活动，培养学生的实际操作能力。

推荐课外阅读资料，拓宽学生的知识视野。

重点和难点解析1. 教学内容的设置与安排2. 教学目标的制定3. 教学难点与重点的识别4. 教学过程的实践情景引入5. 例题讲解的详细程度6. 作业设计的针对性与答案的详细性7. 课后反思及拓展延伸的实际操作一、教学内容的设置与安排教学内容应紧密结合教材章节，涵盖所有知识点，同时要注重知识点之间的逻辑关系。

七年级数学下册下64《因式分解的简单应用》课件浙教

挑战自我
（ 3） x2x22
温馨提示
当方程两边有公因式时，切忌两边同时除以公因式，仍应按一般步骤解．
开动脑筋,试试吧!
例3 解下列方程：
(1) 3x3 48x (2) x3 4x 0
综合与应用
( 1 )若 a b c 0 ,求 ( a 2 b 2 ) ( a c c b ) 的值
答案（：1） a2（2）xy（ 3 ） ab2
1、想一想
合作学习
如果（）（
）＝0，
那么，你认为括号里面应该填怎样的数或式呢？
2、议一议
若改为
A2B2 0
A B 0
若 AB0，下面两个结论对吗？
错
（1） A 和 B 同时都为零，即 A0 且 B0 ；
（2） A 和 B 中至少有一个为零，即 A0 或 B0 。
６.4 因式分解的简单应用
1、因式分解的概念：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，
叫做因式分解.
2、因式分解的主要方法：
（１）提取公因式法：m am bmab
（２）公式法：
应用平方差公式： a 2 b 2 a b a b 应用完全平方公式： a 2 2 a b b 2 a b 2
将下列各式因式分解:
对
3、试一试你能用上面的结论解方程
2 x 3 2 x 3 0 吗？
二、运用因式分解解方程.
例2：解下列方程：
在探新知
（1） 2x2 x0
解：将原方程的左
边分解因式，得 x2x10
则 x0, 或 2x10
原方程的根是
x1
0，x2
1 2
.
只含有一个未知数的方程的解也叫做根。

2022年浙教初中数学七下《因式分解》PPT课件

3、一个多项式分解因式的结果
是 (b32)2 (b3)，那么这个多项式
是：
。
4、若 x2axb能分解为 (x6)(x7)，
试求 a , b 的值。
5、已知 1 x2 5 x1有一个因式
为
(1
x
6
1)
6
，则另一个因式
2
是：
。
6、一个多项式若能因式分解成两个因式
的积，则这个多项式被其中任一个因式除，
解 (2)x 2(y 1) 1 y (3)2 x 2 2 x 1 2 ( 4 )( x y ) 5 ( y x ) 3 ( 5 )( x 2 3 x ) 2 ( 3 x 1 ) 2
(6)(x2y2)24x2y2
( 7 ) 9 ( a b ) 2 1 ( a 2 2 b 2 ) 4 ( a b ) 2
19980
(5) 1999
2
1997
2
14、若 ab7，ba3 ，
求 a2 b2
7
15、若ab1 ， a b 2，求
1a3ba2b21ab3
2
2
2x y 12 16、不解方程组 x 2 y 11
求 (2xy)3 (2xy)2(x 3y)
的值。
17、若 (N200)32 98765432
22 (10 ) 4 q (1 p ) 2 n 1 2 ( p 1) 2 n (11 )ax ay bx by
运用公式法进行分解的多项式的特点：
（1）运用平方差公式分解的多项式是二项式，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反。
（2）运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。

浙教版数学七年级下册因式分解课件

因式分解与整式乘法的关系整式乘法
m(a+b+c)=ma+mb+mc
因式分解
因式分解和整式乘法是互逆关系
正确认识因式分解 (1)因式分解的对象必须是一个多项式. (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的情势. 一般有两种情势:①单项式×多项式;②多项式×多项式. (3)因式分解是一个恒等变形.
对于(x+1)(x+2)=x2+3x+2是整式乘法 ; 对于16-x2=(4+x)(4-x)是因式分解 . (填“整式乘法”或“因式分解”)
因式分解与整式乘法是互逆变形,可以用整式的乘法算出结果,再利用对应系数相等,求出未知系数的值.
因式分解的
因
概念
式
分
解
与整式乘法的区分
因式分解的简单应用
1.已知(x+1)(x-1)=x2-1,则将x2-1进行因式分解的结果
是 (x+1)(x-1)
.
2.[202X·瑞安期末] 下列各式从左到右的变形中,是因式分解
因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此可以用整式的乘法运算，来检验因式分解
例1 检验下列因式分解是否正确: (1) x²y-xy=xy (x-y) (2) 2x²-1=(2x+1)(2x-1) (3) x²+3x+2=(x+1)(x+2)
检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。
第四章因式分解
4.1 因式分解
1. 3×3×4=36 整数的乘法
2. 2×7×8=112 整数的乘法
36=3×3×4 因数分解
112=2×7×8 因数分解

七年级数学下册第4章因式分解4.1因式分解教学课件新版浙教版

x 4 ( x 2)( x 2)
x2 1 x(x 1) x
不是因式分解，为什么？
例Hale Waihona Puke . 检验下列因式分解是否正确：(1)x2y－xy2=xy(x－y) 正确 (2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1) 不正确 (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2) 正确
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？多
勤能补拙，学有成就！
2021/11/7
8
教学课件
数学七年级下册浙教版
第4章因式分解
4.1 因式分解
计算：
2×3×5= 30 这是整数乘法运算，
30 =2×3×5是什么运算呢？（因数分解）
整数乘法
2×3×5 因数分解 30
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
注意：因式分解是整式范围内的概念.
（1） a2 a a(a 1)
是
项式
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3） 4x2 4x 1 (2x 1)2
不是几
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1 不是
个整
（5） x2 1 x(x 1 )
不是式
x （6） 18a3bc 3a2b6ac
不是
的积
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