第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理精品文档
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实数集一、引言实数集是数学中的一个重要概念，也是我们日常生活中经常使用的数集。
实数集是包含了所有实数的集合，它在数学的各个分支中都发挥着重要的作用。
在本文中，我们将介绍实数集的定义、性质、表示法以及常见的实数集。
二、实数集的定义实数集是由所有实数组成的集合。
实数是指可以用有理数的极限表示的数。
简单来说，实数是包括整数、分数、无限小数在内的所有数。
实数集用符号R来表示。
三、实数集的性质1. 实数集是无穷的：实数集没有上界和下界，它是一个无限的数集。
2. 实数集是有序的：实数可以根据大小进行比较，因此实数集具有顺序结构。
3. 实数集是稠密的：实数集中的任意两个数之间都存在无数个其他实数。
换句话说，实数集中任意两个不相等的数之间都存在有理数和无理数。
4. 实数集是完备的：任意一个实数集合如果满足了确界性质，那么它就是一个实数集。
四、实数集的表示法实数集可以用不同的表示方法来表达。
1. 枚举法：将实数集中的所有元素一一列举出来。
2. 极限表示法：使用极限来表示实数。
3. 区间表示法：用区间表示实数集，包括开区间、闭区间、半开区间等。
4. 不等式表示法：通过不等式来表示实数集。
五、常见的实数集1. 自然数与整数集：自然数包括0、1、2、3、4……，整数集包括负整数、0和正整数。
2. 有理数集：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正有理数、负有理数和零。
3. 无理数集：无理数是不能用两个整数的比值表示的数，包括无限不循环小数和根号下非完全平方数等。
4. 实数集：包括有理数集和无理数集中的所有数。
六、实数集的应用实数集在数学的各个分支中都有广泛的应用。
1. 实数集在代数中的应用：实数集可以用来进行数的运算和方程的求解。
2. 实数集在几何中的应用：实数集可以用来表示线段、面积、体积等几何概念。
3. 实数集在数学分析中的应用：实数集是数学分析的基础，它在极限、连续性、收敛等概念的定义和证明中发挥着重要作用。
数集确界原理
数集确界原理数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。
在数学分析中，确界原理是指对于有上（下）界的非空实数集合必存在最小（大）上（下）确界。
这一原理在实际问题中有着重要的意义，下面我们将深入探讨数集确界原理及其应用。
首先，我们来了解一下数集的上确界和下确界。
对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M，那么M就是A的上确界，记作supA。
类似地，如果存在一个实数m，使得对于A中的任意元素x，都有x≥m，那么m就是A的下确界，记作infA。
上确界和下确界是数学分析中非常重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。
数集确界原理指出，对于有上（下）界的非空实数集合，必存在最小（大）上（下）确界。
这一原理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，对于某种商品的价格集合，我们可以通过确界原理得到最低价和最高价，这对于市场分析和决策具有重要意义。
在工程学中，对于某种材料的强度集合，我们可以通过确界原理得到最小强度和最大强度，这对于设计和生产具有重要意义。
在物理学中，对于某种物理量的测量结果集合，我们可以通过确界原理得到最小值和最大值，这对于实验结果的分析具有重要意义。
除了在实际问题中的应用，数集确界原理在数学分析中也有着重要的理论意义。
它为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过确界原理，我们可以证明实数集合的某些性质，例如实数集合的稠密性、实数集合的有界性等。
这些性质对于实数集合的理论研究和应用具有重要意义。
总之，数集确界原理是数学分析中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用，并且为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过对数集确界原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解和运用实数集合的性质，为实际问题的分析和解决提供重要的理论支持。
希望本文对读者对数集确界原理有所帮助，谢谢阅读。
确界原理的证明
确界原理的证明确界原理是指在一定条件下，一个有上界的非空实数集必有上确界。
这一原理在数学分析中具有重要的地位，对于实数的性质有着深远的影响。
下面，我们将从数学的角度出发，对确界原理进行证明。
首先，我们来定义一下确界的概念。
对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M成立，那么M就是A的上界。
而A的上确界，是指A的上界中最小的那个实数，即如果存在一个实数M，对于A中的任意元素x，都有x≤M成立，并且对于任意小于M的正实数ε，都存在A中的元素a，使得M-ε<a≤M成立，那么M就是A的上确界。
接下来，我们将证明确界原理。
假设A是一个非空的实数集合，且A有上界。
我们需要证明A有上确界。
首先，我们来证明A的上确界存在。
由于A有上界，所以A的上界的集合非空。
我们可以定义B为A的上界的集合，即B={x∈R|对于A中的任意元素a，都有a≤x成立}。
由于B非空且有上界，根据实数的完备性公理，B必有上确界，我们将其记为M。
接下来，我们需要证明M是A的上确界。
首先，对于A中的任意元素a，都有a≤M成立，因此M是A的上界。
其次，对于任意小于M的正实数ε，我们需要证明存在A中的元素a，使得M-ε<a≤M成立。
假设不存在这样的元素a，即对于任意M-ε<a≤M，都有a不属于A。
这意味着M-ε是A的上界，但这与M是A的上确界相矛盾。
因此，存在A中的元素a，使得M-ε<a≤M成立。
综上所述，我们证明了A的上确界存在，并且M是A的上确界。
因此，确界原理得证。
通过以上证明，我们可以得出结论，在一定条件下，一个有上界的非空实数集必有上确界。
确界原理在实数的性质中具有重要的地位，对于数学分析有着深远的影响。
这一原理的证明，不仅在理论上具有重要意义，也为实际问题的解决提供了重要的数学工具。
在数学分析中，确界原理的应用十分广泛，例如在实数序列的收敛性证明、连续函数的最值存在性证明等方面都有着重要的作用。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。
简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。
有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（包括正整数、零、负整数）和分数（包括有限小数和无限循环小数），都属于有理数。
比如5、0、－3 、1/2 、0333 等等。
而无理数，则是那些无限不循环小数。
比较典型的无理数有圆周率π（约等于 31415926）、根号 2（约等于 14142135）等等。
二、实数的性质1、实数的有序性实数是可以按照大小顺序排列的。
对于任意两个实数 a 和 b，要么a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必有且仅有一种成立。
2、实数的稠密性在任意两个不同的实数之间，总是存在着无数个其他的实数。
这意味着实数在数轴上是密密麻麻分布的，没有任何空隙。
3、实数的运算性质实数具有加、减、乘、除（除数不为 0）四则运算的封闭性。
也就是说，两个实数进行四则运算，其结果仍然是实数。
例如：3 ＋ 5 ＝ 8，5 2 ＝ 3，3 × 4 ＝ 12，6 ÷ 2 ＝ 3 。
而且，实数的运算还满足交换律、结合律和分配律。
交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a ，a × b ＝ b × a 。
结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) ，（a × b) × c ＝ a ×（b ×c) 。
分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c 。
三、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都对应着一个实数。
例如，实数 5 可以用数轴上距离原点 5 个单位长度且在正方向上的点来表示；实数－3 则可以用数轴上距离原点 3 个单位长度且在负方向上的点来表示。
四、实数的分类1、按符号分类实数可以分为正实数、零和负实数。
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
固有
x0 y0 sup A sup B sup A sup B 1 sup A sup B 1 sup A sup B
结论得证
实数的连续性进一步解释
确界存在定理,通常称为实数系的连续性定 理. 实数的连续性指实数域中每一个点都与 坐标轴上点唯一对应. 假设实数的全体不能 布满整个数轴, 而有空隙. 则空隙左边的数 集合没有上确界, 而右边的数集没有下确界 ,与上确界下确界存在定理矛盾.
称为E的下确界，记为inf E
Supremum (上确界)，Infimum (下确界)
例1.
inf N * 1
1 也可以 E , inf x 0 , sup x 1 n n n
inf( 0,1) 0, sup( 0,1) 1 ① 确界可以 E
§6
实数的连续性:
上确界下确界存在定理
一、定义：
定义： 设Ｅ是非空有上界集合， 若满足 Ⅰ x E，有x Ⅱ 是上界
0, 存在x E，使x 最小 上界
——小一点不再是上界
称为E的上确界，记为 sup E
同样： 设Ｅ是非空有下界集合，若 满足 Ⅰ x E , x 最大下界 Ⅱ 0, y E，使y
sup xn sup yn 对数列xn , yn , xn yn则 inf xn inf yn
证明：⑴ inf( X Y ) inf X inf Y
x X , x inf X x y inf X inf Y y Y , y inf Y
sup x n sup yn ,
(sup x n 是x n 最小上界)
实数系的连续性
设数集 S 有上界，记U为 S 的上界全体所组成的集合，则显 然U不可能有最大数，下面将证明：U一定有最小数。 设U的最小数为 β ，就称 β 为数集 S 的上确界，即最小上界, 记为 β = sup S 。 上确界 β 满足下述两个性质： 1. β 是数集 S 的上界： ∀ x ∈ S ，有 x ≤ β ； 2.任何小于 β 的数不是数集 S 的上界： ∀ε > 0 ， ∃ x ∈ S ,使得 x > β −ε 。
若数集 S 有下界，记L为 S 的下界全体所组成的集合，则显 然L不可能有最小数，同样可以证明：L一定有最大数。 设L的最大数为 α ，就称 α 为数集 S 的下确界，即最大下界, 记为
α = inf S 。
下确界 α 满足下述两个性质： 1. α 是数集 S 的下界： ∀ x ∈ S ，有 x ≥ α ； 2. 任何大于 α 的数不是数集 S 的下界： ∀ε > 0 ， ∃ x ∈ S ，使 得x <α +ε 。
1+ β ∈ [ 0, 1 ) 。但是 β ′ > β ，这就与 β 是集合 B 的最大数发生矛 2 盾。所以集合 B 没有最大数。
β′ =
上确界与下确界 设 S 是一个非空数集，如果 ∃M ∈ R ，使得 ∀ x ∈ S ，有 x ≤ M ， 则称 M 是 S 的一个上界；如果 ∃m ∈ R ，使得 ∀ x ∈ S ，有 x ≥ m ,则 称 m 是 S 的一个下界。
关于数集的上（下）确界有下述的唯一性定理： 定理2.1.2 非空有界数集的上（下）确界是唯一的。
确界存在定理反映了实数系连续性这一基本性质：假若实数 全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数 集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。 “空隙” ， 它就不具备实数集合 R 所 有理数集合 Q 在数轴上有 具有的“确界存在定理”，也就是说：Q 内有上（下）界的集合 T 未必在 Q 内有它的上（下）确界。
实数基本定理与函数的连续性
§1.3 实数基本定理与函数的连续性一、主要知识点和方法1、实数基本定理闭区间套定理：设{[,]}n n a b 是一列闭区间，满足11[,][,]n n n n a b a b ++⊂及0n n b a -→，则存在唯一的[,]n n a b ξ∈(1,2,)n = 。
确界定理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
聚点定理：有界无限点集必有聚点。
致密性定理：有界点列必有收敛子列。
有限覆盖定理：设H 是由一族开区间所成的集合，若H 覆盖了闭区间[a ,b ]，则存在H 的有限子集H 0，使得H 0也能够覆盖[a ,b ]。
单调有界定理：单调递增（减）有上（下）界的数列一定收敛。
柯西收敛准则：{}0,,n n m x N n m N x x εε⇔∀>∃>>-<收敛当时。
（当{}n x 满足柯西准则条件时，也称{}n x 为柯西列）以上七个定理称为实数基本定理，它们是相互等价的。
2、连续函数概念 （1）连续与间断设)(x f 在点a 的一个邻域内有定义，若lim ()()x af x f a →=，则称)(x f 在点a 连续。
“εδ-”定义：若0,0εδ∀>∃>，当x a δ-<时()()f x f a ε-<。
则称)(x f 在点a 连续。
若(0)lim ()()x af a f x f a -→-==，则称)(x f 在点a 左连续。
若(0)lim ()()x af a f x f a +→+==，则称)(x f 在点a 右连续。
)(x f 在点a 连续意味着下面三个条件同时成立：ⅰ）(0),(0)f a f a +-都存在；ⅱ）(0)(0)f a f a +=-； ⅲ）(0)()(0)f a f a f a +==-。
若（ⅰ）（ⅱ）成立，而（ⅲ）不成立，则称a 为)(x f 的可去间断点；若（ⅰ）成立，而（ⅱ）不成立，则称a 为)(x f 的的第一类间断点；若（ⅰ）不成立，则称a 为)(x f 的第二类间断点。
实数连续性
教案实数系的连续性——实数系的基本定理1． 教学内容利用实数的无限小数表示，证明非空有界的实数集合必有上确界与下确界，即最小上界与最大下界。
2． 指导思想（1） Newton , Leibniz 建立微积分以来，它在解决实际问题上的正确性与在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家，不少人对微积分理论产生过怀疑，直到Cauchy , Weierstrass 建立了极限论的严格基础，人类科学史上最辉煌的成就之一——微积分理论的大厦才得以牢固建立。
作为极限论的出发点，实数系的基本定理——实数系的连续性，在数学分析课程中占有重要的地位。
（2） 实数系的基本定理有多种表达方式：Dedkind 切割定理，确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass 定理，Cauchy 收敛原理和Cantor 定理。
这些定理是等价的，其中每一个都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。
（3） 传统的教材常采用Dedkind 切割定理作为实数系连续性定理，并由此出发导出极限论的全部理论。
但由于Dedkind 切割定理过分抽象，对大学一年级学生来说难以接受，而将实数连续性作为一个公理加以承认又使人感到极限理论不够完备。
我们则采用对学生来说非常熟悉的实数的无限小数表示方法，直观而简明地证明了确界存在定理，既使得学生容易掌握，又使得本书的极限理论得以完备化。
（4） 通过本节的教学， 要求使学生了解人类对数的认识的发展历史；对实数系的连续性不仅能从几何上理解，还能从分析上掌握如何加以证明；并认识正是由于实数系的连续性，才使它成为整个数学分析课程的“活动舞台”。
3． 教学安排（1） 讲述人类对数的认识的发展历史：自然数⇒整数⇒有理数⇒实数。
讲解促使这一发展历史的原因和例子。
指出整数系具有离散性, 有理数系具有稠密性, 对于实数系，让学生先从几何上理解它的连续性：实数布满整个数轴而无“空隙”。
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
证明：
x A , y B， x su p A , y su p B， 有 xy su p A su p B
因 此 sup AB sup A sup B
0, 1, x 0 A , x 0 sup A 0, 1, y 0 B , y 0 sup B
在 [ a N , b N ]中必有 E 中点 x N , 使得
( lim a n )
n
xN aN
sup E
aN
●
xN
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bN
确界原理 注１：
单调有界原理
设 证明： a n 单调增，有上界，
则 a n 有上确界 sup a n a 且 an a
2
2
'
x y inf X inf Y
inf( X Y ) inf X inf Y
⑵ 显然有
inf X sup X , inf Y sup Y
inf X sup Y inf( X Y ) inf X inf Y sup X inf Y
3, x Q , E2
,
E1
x 0 x
x
3 x , x Q ， 3， 因 此 有 理 数
集 合 E 1的 上 界 为
3， E 2 集 合 的 下 确 界 为
集合确界定理不存在.
0, a N , 使 a N a
n N时
an a N a an a an a
lim a n a sup a n
n
第6节-实数的连续性：上确界下确界存在定理市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
因此 sup AB sup A sup B
0,
1,
x0
A,
x0
sup
A
sup
A
sup
B
1
0,
1,
y0Leabharlann B,y0sup
B
sup
A
sup
B
1
故有
x0 y0 sup A sup A sup B 1 sup B sup A sup B 1
sup Asup B
结论得证
二、确界存在定理
I1 I2 I3 ,
|
In
|
x
2n1
0.
此区间套特点：
每个[an , bn ]中必含有E中点, bn右边无E中点.
由区间套定理，
|
In,
n1
其中
lim
n
an
lim
n
bn
.
下证 sup E
Ⅰ.
x E,必有x
bn ,
x
lim
n
bn
.
上界
Ⅱ.
由于
lim
n
an
0,N N* ,
使aN , 根据区间特点,
② inf( X Y ) inf X supY sup( X Y )
③
对数列xn,yn, xn
yn则sinufpxxnn
sup yn inf yn
例3 设集合A，B是数轴上位于原点右方旳非空有界数集，记
AB xy x A,y B ， sup AB sup A sup B
证明： x A,y B，x sup A,y sup B， 有xy sup A sup B
定理1: 非空有上界旳数集必有上确界;
实数的连续性公理证明确界存在定理
实数的连续性公理证明确界存在定理第一篇：实数的连续性公理证明确界存在定理实数的连续性公理证明确界存在定理定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。
小于或等于上类B中的每一个实数。
定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。
定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r 包含在所有的区间套里，即。
定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。
定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。
定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给 >0，存在N，当n>N，m>N时，有。
定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。
上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。
下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界。
令B是全体上界组成的集合，即B=，而A=RB,则A|B是实数的一个分划。
事实上，由有上界知B 不空。
又单调上升，故，即A不空。
由A=RB知A、B不漏。
又，则，使，即A、B不乱。
故A|B是实数的一个分划。
根据实数基本定理，存在唯一的使得对任意，任意，有。
下证。
事实上，对，由于，知，使得。
又单调上升。
故当n>N时，有。
注意到，便有。
故当n>N时有，于是。
这就证明了。
若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限。
设极限为r，则。
定理二证完。
定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。
设数集X非空，且有上界。
则，使得对，有。
又R是全序集，对，与有且只有一个成立。
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
I1 I2 I3 ,
|
In
|
x
2n1
0.
此区间套特点：
每个[an ,bn ]中必含有E中点,bn右边无E中点.
由区间套定理，
|
In,
n1
其中
lim
n
an
lim
n
bn
.
下证 sup E
Ⅰ.
x E,必有x
bn ,
x
lim
n
bn
.
上界
Ⅱ.
由于
lim
n
an
0,N N* ,
使aN , 根据区间特点,
称为E的下确界，记为sup E
扩充：如果Ｅ没有上界，则记 sup E
例1.
inf N * 1
inf(0,1) 0,sup(0,1) 1
xn
n1 ,
infxn 0,supxn 1
结论：1。集合的确界可以属于这个集合也 可以不属于该集合
2.上确界与最大元的关系：
E中有最大元—即为上确界
§6实数的连续性
——上确界下确界存在定理
一、确界的定义
定义6.1： 设Ｅ是非空有下界集合， 若 满足
（1） x E, x （2） 0,y E，使y
称为E的下确界，记为inf E
扩充：如果Ｅ没有下界，则记 inf E
定义6.1： 设Ｅ是非空有上界集合， 若 满足
（1） x E, x （2） 0,y E，使y
lim n
an
a
sup{an }.
思考问题１
假设集合E有上界，并存在一个子列xn E，
满足
lim
n
xn
，则为集合E有上确界；
实数六大定理证明
实数六大定理证明这六大定理分别为：确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理，还有一个柯西收敛准则。
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。
7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立。
引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。
在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。
扩展资料实数系的公理系统设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b 的和与积，满足：1、（交换律）对任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。
2、（结合律）对任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3、（分配律）对任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。
4、（单位元）存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。
5、（逆元）对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使a+(-a)=0。
a·a^(-1)=1。
实数连续性循环证明及相互证明
关于实数连续性的基本定理以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证∞→n limn x =r 。
事实上，对n N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。
确界原理内容
确界原理内容
确界原理是数学中的一个重要概念，它指的是在实数集中，任何一个有上界的集合都有一个上确界。
这个原理是由德国数学家魏尔斯特拉斯提出的，它为我们提供了一个判断一个集合的上确界存在的方法。
在实数集中，如果我们有一个集合，它有一个上界，那么我们可以找到一个数，它小于或等于集合中的每一个元素，并且大于或等于集合的上界。
这个数就是集合的上确界。
例如，在实数集中，如果我们有一个集合{1, 3, 5, 7, ...}，它是一个有上界的集合，因为它的上界是无穷大。
根据确界原理，我们可以找到一个数，它小于或等于集合中的每一个元素，并且大于或等于集合的上界。
这个数就是集合的上确界。
在这种情况下，集合的上确界是无穷大。
除了在实数集中，确界原理还可以应用于其他数学领域。
例如，在分析学中，我们可以使用确界原理来证明一些函数的极限存在。
总之，确界原理是一个重要的数学概念，它为我们提供了一个判断一个集合的上确界存在的方法，并且在许多数学领域中都有广泛的应用。
实数系的基本定理
a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。 设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理） 非空有上界的 数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是
2
， xm a
2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界， 取 0 1， 因为 xn 是基本数列， 所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n
关于实数连续性的6个基本定理的互证
bn
∈
B
单调下降有下界（例如 a1 ）并且 bn
−
an
= b1 − a1 2
(n
→
∞ ) .由单调有界定
理，知 ∃
r，使
lim
n→∞
an
=
r
.由
lim
n→∞
(bn
−
an )
=
0
有
lni→m∞[an
+
(bn
−
an )]
=
r
∵ {bn}是 A 的上界，∴ ∀x ∈ A ，有 x ≤ bn （n=1，2，……），
一、确界定理证明其他定理
1、确界定理证明单调有界定理
证 明 ： 设 {xn} 是 单 调 上 升 有 上 界 的 实 数 列 . 由 确 界 定 理 可 得 ， ∃ r ， 使 r=sup{xn} . ∴ ∀ n , 有 x n ≤ r ，并且 ∀ε > 0, ∃xN ,有xN > r − ε
∴∀n > N ,有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即| xn − r |< ε
是
A
的上界，记
a1
=
a, b1
=
b
，用
a1, b1
的中点
a1
+ b1 2
二等分 [a1,b1]
，如果
a1
+ b1 2
∈ B,则取a2
=
a1, b2
=
a1
+ b1 2
；如果 a1
+ b1 2
∈
A, 则取a2
=
a1
+ b1 2
, b2
=
b1
实数的连续性
n n
则由{an}单调递增, {bn}单调递减可知,对任意正整数n, anbn,即属于所有的闭区间.如果又有也属于{[an,bn]} 的每个闭区间,则对任意正整数n, an, bn,故对任意正 整数n,| - | bn –an,因此
( a n 1 , b n 1 ) ( a n , b n ), n 1, 2 ,
(2) 对任意正整数n,an<an+1<bn+1<bn, (3)
lim ( b n a n ) 0
n
则存在唯一的实数,使属于所有的闭区间,且
lim a n lim b n .
n
则 [a
n1
, bn ]
但定理中的唯一性不再成立.即 [ a n , b n ]
n1
是一个区间.如 { [
1 n
,1
1 n
]}
就是一个例子.
数学分析选讲
多媒体教学课件
四、Bolzano-Weiertrass定理
定义5 设S为任意实数集,为确定的实数,若的任何邻
区间覆盖,任取一个这样的小区间记作[a2,b2].又把[a2,b2]等
数学分析选讲
多媒体教学课件
分为两个小区间,至少有一个小区间不能用H中的有限个 开区间覆盖,任取一个这样的小区间记作[a3,b3]. 依此无限进行下去,得闭区间套{[an,bn]} ,使每个区间 [an,bn]不能用H中的有限个开区间覆盖.由区间套定理,存在 , 唯一的属于每个区间[an,bn].又[a,b] ,所以存在(,)H 使(,),从而存在>0,使U(,)(,),由闭区间套的性 质,存在正整数N,当n>N时, [an,bn]U(,),因此H的一个开 区间(,)就覆盖了[an,bn ].这与{[an,bn]}的构造矛盾.故可从
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固有
x0y0supAsupAsupB1supBsupAsupB1
supAsupB
结论得证
实数的连续性进一步解释
确界存在定理,通常称为实数系的连续性定 理. 实数的连续性指实数域中每一个点都与 坐标轴上点唯一对应. 假设实数的全体不能 布满整个数1轴. 设 , 而有空隙. 则空隙左边的数 集合没有上确界, 而右边的数集没有下确界 ,与上确界下确界存在定理矛盾.
lim lim 且n
(bnan)
n
rx 2n1
此区间套特点：
每 [ a n ,b n 个 ] 中E 必 中 b n 含 右 点 E 中 有 边 ， .
由区间套定理， In ,即 li有 a m nlib m n
n 1
n n
④ 往证 suEp
注２如果E没有上界或者下界，记 supE ,infE
思考问题１
假 设 集 合 E 有 上 界 ， 并 存 在 一 个 子 列 x n E ， 满 足 n li m x n ， 则 为 集 合 E 有 上 确 界 ；
思考问题２
假 设 集 合 E 有 下 界 ， 并 存 在 一 个 子 列 x n E ， 满 足 n li m x n， 则 为 集 合 E 有 下 确 界 .
② in X Y ) f i( X n sY f u sX p u Y )p(
③ 对数 x n ,yn 列 ,x nyn 则 s in u x x n n f p isn u y y n n fp
证明：⑴ in X Y f) (in X ifn Yf
a N x N bN
注１：确界原 理 单调有界原理
证明：设an单调增，有上界，
则 an 有上 su a 确 n pa界 且 ana
0 , a N ,使 a N a
nN时 a an n a aNa ana
lim anasuanp n
Ⅰ x E ,必 x b 有 n x lib m n (是)上
n
Ⅱ 0 , N N * ,使 a N ( li a n m ) n
在 [a N ,b N ] 中E 必 中 x N ,有 使 点得
xNaN
●
suE p
例 1 Q 是所有, 有理数集合, 定义集合
E 1x0x3,xQ,E2x 3x ,xQ，
集 合 E 1的 上 界 为3， E2集 合 的 下 确 界 为3， 因 此 有 理 数 集 合 确 界 定 理 不 存 在 .
② 上确界与最大元的关系：
E中有最大— 元即为上确界
——maxsLeabharlann pE中无最大— 元可以有上确界
二、确界的一些基本性质
X Y x y ： x X , y Y
① in X Y f) (in X ifn Yf su X Y p ) s (u X s p Y up in a f X )( a in Xf su a p X ) ( a su Xp
y x Y X ,,y x iin n Y X ff x y in X fin Yf
0,
yx'' YX,,yx''iinnYfX f22 x' y' inX f inYf
in X Y f ) ( in X ifn Yf
⑵ 显然 in X f s有 u X ,ip n Y s f u Yp in X fY ( ) in X fin Y f s in u X X fp s in u Y Yfp sX u sp Y u sp u X Y p ) (
⑶ 往 s证 u x n psu ynp
n N * ,x n y n su y n ,p su y n 是 p x n 上 . 界
suxn psuyn p , (su xn是 pxn最小 ) 上
三、确界原理
定理1
非空有上界的数集必有上确界. 非空有下界的数集必有下确界.
证明： 设 E非空有上界：
① 设r是E的一个上界
Ⅰ x E ,x
最大下界
Ⅱ 0 , y E ， y 使
称为E的下确界in， E f 记为
Supremum (上确界)，Infimum (下确界)
例1. inN f*1
in 1 n ,0 ,i1 ) nf x0 fn ( ,s 0,u s0 ,u 1 ) x p n p 1 ①1(也 确可 界 以 可E以 E
§6 实数的连续性: 上确界下确界存在定理
一、定义： 定义： 设Ｅ是非空有上界集合，若满足
Ⅰ xE ，x有 是上界
0 ,存 x E ， 在 x 使 最 上小 界
——小一点不再是上界
称为E的上确界， su记 E p 为
Ⅱ
同样： 设Ｅ是非空有下界集合，若满足
xE, 将 [x,r]记[为 a1,b1]
E （ x） r
② 将[a1,b1]二等:分
右 右边 边区 区E间 间 中 E中 没 有 点点 有 ，， [a取 2,取 b2为 ]； 左 [a2区 ,b2]间 . 为
③ 重复进行，得区间套：
[a1,b1][a2,b2][an,bn]
例题１ 设集合A，B是数轴上位于原点右方的非空有界数集，记
AB={xyx挝 A,y B}， 则 supA BsupA supB
证明： xA ,y B ， xsupA ,ysupB ， 有 xysupAsupB
因 此 s u p AB s u p As u p B
0,1,x0A,x0supAsupAsupB1 0,1,y0B,y0supBsupAsupB1