95学年度国中数学竞试数学(一)试题

1995年全国初中数学联合竞赛试题及解答

OM 为△CDG 的中位线，所以 OM 1 CG 1 (CE GE) 1 (CE DF)
2
2
2
所以
N

2S△OAB

AB OM

AB
1 (CE 2

DF )

1 2
AB CE

1 2
AB DF
|
S△CAB
S△DAB
|
M
C
O G
F
A
M EB
D
6．设实数 a ， b 满足不等式 || a | (a b) || a | a b || ，则（
第一试
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1．已知 a 355 ， b 444 ， c 533 ，则有（）
A. a b c
B. c b a
C. c a b
【答】C.
c 53 11 12511 24311 35 11 a 25611 44 11 b ．
N 2S△OAB ，则（
）
A． M N .
B． M N .
C． M N .
D． M ， N 的大小关系不确定.
【答】 B. 分别过点 C、O、D 作 AB 的垂线 CE、OM、DF，垂足分别为 E、M、F，连接 DM 并
延长交 CE 于点 G.. 易证△FMD≌△EMG，则 DF＝GE
2
，n
2
2

n
2
2
，2

1
．
6
A
D
F
C
G

1995年全国初中数学竞赛试题

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点对称为整点，试在二次函数的图象上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

1995年全国初中数学联赛参考答案及详解第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。

选C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

1995年全国初中数学联赛试题

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有6个小题，每一个小题都给出了以（A ）、（B ）、（C ）、（D ）为代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。

1．已知553=a ，444=b ，335=c 则有（）（A ）c b a << ；（B ） a b c << ；（C ）b a c <<；（D ）b c a << 2．方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（）（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4 3．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（）（A ）10≤≤m ；（B ）43≥m ；（C ）143≤<m ；（D ）143≤≤m 4．如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）（A ）62π （B ）63π （C ）64π （D ）65π5．AB 是圆O 的一条弦，CD 是圆O 的直径，且与弦AB 相交，记OAB DAB CAB S N S S M ∆∆∆=-=2.||，则（）（A ）N M >；（B ）M=N ；（C ）N M < （D ）M ，N 的大小关系不确定6．设实数a ，b 满足不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-（）（A ）0>a 且0>b （B ）0<a 且0>b（C ）0>a 且0<b （D ）0<a 且0<b二、填空题1．在12，22，33，…，952 这95个数中，十位数字为奇数的数共有________个。

2．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。

1995年全国初中数学联赛试题

年全国初中数学联赛试卷第一试一、选择题本题共有个小题，每一个小题都给出了以（）、（）、（）、（）为代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。

．已知553=a ，444=b ，335=c 则有（）（）c b a << ；（） a b c << ；（）b a c <<；（）b c a <<．方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（）（）；（）；（）；（）．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是（）（）10≤≤m ；（）43≥m ；（）143≤<m ；（）143≤≤m ．如果边长顺次为，，和的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）（）π （）π （）π （）π ．是圆的一条弦，是圆的直径，且与弦相交，记OAB DAB CAB S N S S M ∆∆∆=-=2.||，则（）（）N M >；（）；（）N M < （），的大小关系不确定．设实数，满足不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-（）（）0>a 且0>b （）0<a 且0>b（）0>a 且0<b （）0<a 且0<b二、填空题1．在，，，…，这个数中，十位数字为奇数的数共有个。

2．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于。

3．设x 为正实数，则涵数xx x y 12+-=的最小值是。

4．以线段为直径作一个半圆，圆心为，是半圆周上的点，·，则∠。

第二试一、已知∠∠°，点在上，，过，，三点的圆交于（如图）。

求证：为△的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点。

1995数学一答案

所以
dx
0
1
x
f ( x) f ( y)dy
1 2 A . 2
四、(本题共 2 小题，每小题 6 分，满分 12 分) (1) 计算曲面积分

zdS ，其中为锥面 z x 2 y 2 在柱体 x2 y 2 2x 内的部分.
z 2 z 2 ) ( ) d 2d . x y
0 ) 0 是 F ( x) 在 x 0 处可导的 (3) 设 f ( x) 可导，F ( x) f ( x)(1 sin x ) ，则 f(
(A) 充分必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (4) 设 u n (1) n ln(1

(B) 充分条件但非必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (C) (B) (D)

1
2
cos
……6 分
五、(本题满分 7 分) 设曲线 L 位于 xoy 平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点记为 A.已知 MA = OA ，且 L 过点 ( , ) ，求 L 的方程. 解：设点 M 的坐标为 ( x, y ) ，则切线 MA 的方程为 Y y y( X x) . 令 X 0 ，则 Y y xy ' ，故点 A 的坐标为 (0, y xy ') . 由 MA OA ，有 y xy ' ( x 0) ( y y xy ') . 即 2 yy '
0
t
1
(0,0)
2 xydx Q( x, y )dy [12 c( y )]dy t c( y )dy .
0 0
t
……6 分

1995年全国高中数学联赛试题及解答

1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13且a 1>0，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( ) (A )S 10 (B )S 11 (C )S 20 (D ) S 212．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数Z 19951 ，Z 19952 ，…，Z 199520 所对应的不同的点的个数是( )(A )4 (B )5 (C )10 (D )203．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A )1个 (B )2个 (C )50个 (D )100个4．已知方程|x －2n |=k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1(C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是 (A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1 (B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1 (C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1 (D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin16．设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与P A ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1PS(A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值(C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1．设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|= ．2．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为．3．用[x ]表示不大于实数x 的最大整数，方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是． 4．直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧y ≤3x ，y ≥x3， x +y ≤100的整点个数是．5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是．6．设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是．第二试一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．二、(25分) 求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。

1995年全国初级中学数学联赛试题及规范标准答案(修正版)

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a ＝355，b ＝444，c ＝533，则有［］ A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b2．方程组6323xy yz xz yz +=⎧⎨-=⎩的正整数解的组数是［］A ．1B ．2C ．3D ．43．如果方程(x －1)(x 2－2x －m )＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是［］A ．0≤m ≤1B ．m ≥34C ． 34＜m ≤1D ． 34≤m ≤14．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［］A ．62πB ．63πC ．64πD ．65π5．设AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的直径，且与弦AB 相交，记M ＝｜S △ABC －S △ABD ｜，N ＝2 S △OAB ，则［］A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．M 、N 的大小关系不确定GABCDEF6．设实数a 、b 满足不等式｜｜a ｜－(a ＋b )｜＜｜a －|a ＋b ｜｜，则［］ A ．a ＞0且b ＞0 B ．a ＜0且b ＞0 C ．a ＞0且b ＜0 D ．a ＜0且b ＜0二、填空题1．在12，22，32……，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有______个。

2．已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值等于______．3．设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是______．4．以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆周上的点，且OC 2＝AC ·BC ，则∠CAB ＝______．第二试一、已知∠ACE ＝∠CDE ＝90°，点B 在CE 上，CA ＝CB ＝CD ，经过A 、C 、D 三点的圆交AB 于F （如图）交CB 于G求证：F 为△CDE 的内心二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点为整点，试在二次函数2510109x xy=-+的图像上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由。

1995年全国考研数学一真题

1 3 1 (5) 设三阶方阵 A 、 B 满足关系式： A BA 6 A BA ,且 A 0 0
______________.
二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设有直线 L :
x 3 y 2 z 1 0, 及平面 : 4 x 2 y z 3 0 ,则直线 L 2 x y 10 z 3 0
( )
a23
1 0 0 P2 0 1 0 ,则必有 1 0 1
(A) AP 1P 2 B (C) P 1P 2A B 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.) (B) AP2 P 1 B (D) P2 P 1A B
(1) 设 u f ( x , y , z ), ( x , e , z ) 0, y sin x ,其中 f 、都具有一阶连续偏导数,且
zdS ,其中为锥面 z

x 2 y 2 在柱体 x 2 y 2 2x 内的部分.
(2) 将函数 f ( x ) x 1(0 x 2) 展开成周期为 4 的余弦级数.
第 3 页共 16 页
五、(本题满分 7 分) 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内, L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交,交点记为 A .已知 MA OA ,且 L 过点
1995 年全国硕士研究生入学统一考试真题卷
数学(一)试题
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) lim(1 3 x) sin x ______________.
x 0 2
(2)
d 0 x cos t 2 dt ______________. 2 x dx

1995第十二届全国各地九年制义务教育初三数学竞赛试题及参考答案解析

1995第十二届全国九年级义务教育初中中考数学联赛第一试一、选择题1.已知553a =,444b =,335c =,则有( ) A.a b c << B.c b a << C.c a b <<D.a c b <<2.方程组6323xy yz xz yz +=⎧⎨+=⎩的正整数解的组数是( )A.1B.2C.3D.43.如果方程2(1)(2)0x x x m ---=的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m 的取值范围是( )A.01m ≤≤B.34m ≥ C.314m <≤ D.314m ≤≤4.如果边长顺次为25,39,52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为( ) A.62π B.63π C.64π D.65π5.设AB 是O e 的一条弦,CD 是O e 的直径,且与弦AB 相交,记||CAB DAB M S S =-△△,2OAB N S =△,则( )A.M N >B.M N =C.M N <D.M ,N 的大小关系不确定6.设实数a ,b 满足不等式|||()|||||a a b a a b -+<-+,则( ) A.0a >且0b > B.0a <且0b > C.0a >且0b < D.0a <且0b <二、填空题1.在21,22,23,…,295这95个数中,十位数字为奇数的数共有_______个.2.已知a 是方程2104x x +-=的根,则354321a a a a a -+--的值等于_______. 3.设x 为正实数,则函数21y x x x=-+的最小值是_________.4.以线段AB 为直径作一个半圆,圆心为O ,C 是半圆周上的点,且2OC AC BC =⋅,则CAB ∠=________.第二试一、已知90ACE CDE ∠=∠=︒,点B 在CE 上,CA CB CD ==,经A ,C ,D 三点的圆交AB 于F (如图1),求证F 为CDF △的内心.二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点,试在二次函数2910105x x y =-+的图像上找出满足||y x ≤的所有整点()x y ，,并说明理由. 三、试证:每个大于6的自然数n ,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和.1995第十二届全国九年级义务教育初中中考数学联赛GFED B CA解答第一试一、选择题1.C【解析】很明显a b c ，，的具体值我们是无法算出来的,但是它们的指数有共同的因子11,当我们提取它们的共同因子后就很容易进行比较大小了:()113115125c ==()111152433a <==()111142564b <==.故选C.【点评】这类指数幂的比较大小问题,通常是化为同底然后比较指数,或化为同指然后比较底数,本题是化为同指数.2.B【解析】这类方程是熟知的,先由第二个方程确定1z =,进而可求出两个解:()()22112031，，，，，.也可以不解方程组26323xy y x y⎧+=⎨+=⎩，① 直接判断:因为x y ≠(否则不是正整数),故方程组①或无解或有两个解,对照选择支,故选B.【点评】这是一个典型的求不定方程的整数解问题,观察到23是质数可以得出z 值,x y ，得解也就不难得出.3.B 【解析】显然,方程的一个根为1,另两根之和为1221x x +=>.三根能作为一个三角形的三边,当且仅当121x x -<又121x x -=<,有0441m -<≤. 解得314m <≤. 但作为选择题,只须取34m =代入,得方程的根为31122，，,不能组成三角形,故包括34的A,B,D 均可否定,选C.【点评】利用已知条件求一元二次方程的系数范围在联赛中经常出现,这种问题要考虑得全面,尤其是不要忘了考虑判别式非负.4.D 【解析】四个选择表明,圆的周长存在且唯一,从而直径也存在且唯一.又由 22AB AD +222560=+()2225512=++22513=+()2223413=+⨯223952=+图 1ACBD22BC CD +.故可取65BD =为直径,得同长为65π,选D.【点评】这道题的方法比较明显从给出的四边形的边长可推出BD 为直径,具体的证明要利用余弦定理.5.B【解析】此题的得分率最高,但并不表明此题最容易,因为有些考生的理由是错误的.比如有的考生取AB 为直径,则0M N ==,于是就选B 其实,这只能排除A,C 不能排除D.不失一般性,设CE ED ≥,在CE 上取CF ED =,则有OF OE =,且2ACE ADE AEF AOE S S S S -==△△△△.同理,2BCE BDE BQE S S S -=△△△.相加,得2ABC DAB OAB S S S -=△△△,即M N =.选B. 若过C D O ，，分别作AB 的垂线(图2),CE AB DF AB OL AB ⊥，⊥，⊥,垂足分别为E F L ，，.连CF DE ，，可得梯形CEDF .又由垂径分弦定理,知L 是EF 的中点.根据课本上做过的一道作业:梯形对角线中的连线平行底边,并且等于两底差的一半,有2CE DF OL -=.两边乘以12AB ,可得2ABC DAB DAB S S S -=△△△,即M N =.选B. 【点评】这是一道很容易猜出结果的题目,但是严格的推导并不容易,本题可以作为大题进行练习.6.B【解析】取12a b =-=，可否定A,C,D,选B 一般地,对已知不等式平方,有()a a b a a b +>+.显然()0a a b +>(若等于0,则与上式矛盾),有a b aa b a+>+. 两边都只能取1或1-,故只有11>-,即有0a <且0a b +>,从而0b a >->.选B.【点评】这种绝对值的题目直接解比较繁琐,利用排除法是比较可行的方法.二、填空题1.19【解析】本题虽然以计算为载体,但首先要有试验观察的能力.经计算2221210L ，，，,知十位数字为奇数的只有22416636==，.然后,对两位数10a b +,有()()2210205a b a a b b +=++.其十位数字为2b 的十位数字加上一个偶数,故两位数的平方中,只有4b =或6时,其十位数字才会为奇数,问题转化为,在1,2,…,95中个位数出现了几次4或6,有29119⨯+=.【点评】这道题一上来不容易发现突破口,可以先看看前十个个数,发现了一定规律再进行分析比较容易得到结果.2.20【解析】这类问题一般都先化简后代值,直接把a 代入将导致复杂的计算.由已知,有214a a +=, ①原式()()()()2221111a a a a a a -++=-+()()222211142014a a a a +++===⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 图 2OL FED C BA同学们在这道题上的错误主要是化简的方向不明确,最后又不会将2a a +作为整体代入.这里关键是整体代入,抓住这一点,计算可以灵活.由①有3214a a a +=， ②54314a a a += ③由②-①,得()3114a a a -=- ④由③-②并将④代入,得()()54323111416a a a a a a a +--=-=-. ⑤于是,原式()()32111611612014116a a a a -⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭-. 3.1【解析】这个题目是将二次函数2y x x =-与反比例函数1y x=作叠加,前面已经说过要求极值一般情况下是要配方的,这里出现了1x ,可以联想到公式212x x +-=,这样我们进行两次配方可得:()()22211111y x x x x =-++-=-++. 因而1x =时,y 有最小值1.【点评】这个题目是将二次函数2y x x =-与反比例函数1y x=作叠加,要求大家在掌握二次函数求最值的基础上,综合灵活的运用.4.15︒【解析】由21122ABC S AC BC OC =⋅=△, 2122sin 2ABC AOC S S OC AOC ==⋅∠△△,得1sin 2AOC ∠=.当30AOC ∠=︒时,()118030752CAB ∠=︒-︒=︒；当150AOC ∠=︒时,()1180150152CAB ∠=︒-︒=︒.【点评】面积法是平面几何题中很常用的方法,本题用面积法就很简单.第二试一、【解析】首先指出,本题有IM0295-(1989年)的背景,该题是:在直角ABC △中,斜边BC 上的高,过ABD △的内心与ACD △的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ,ABC △和AKL △的面积分别记为S 和T .求证2S T ≥.G 图 3ACB D EF图 4LK DC B A在这个题目的证明中,要用到AK AL AD ==.2004年的初中联赛题相当于反过来,先给出AK AL AD ==(斜边上的高),再求证KL 通过ABD ADC ，△△的内心(图4). 证法1:如图5,连DF ,则由已知,有1452CDF CAB CDE ∠=∠=︒=∠,故DF 为CDE ∠的平分线.连BD CF ，，由CD CB =,知145452FBD CBD CDB FDB ∠=∠-︒=∠-︒=∠,得FB FD =,即F 到B D ，和距离相等,F 在线段BD 的垂直平分线上,从而也在等腰三角形CBD 的顶角平分线上,CF 是ECD∠的平分线.由于F 是CDE △上两条角平分线的交点,因而就是CDE △的内心.证法2:同证法1,得出459045CDF FDE ∠=︒=︒-︒=∠之后,由于ABC FDE ∠=∠,故有B E D F ，，，四点共圆.连EF ,在证得FBD FDB ∠=∠之后, 立即有FED FBD FDB FEB ∠=∠=∠=∠,即EF 是CED ∠的平分线.本来,点E 的信息很少,证EF 为角平分线应该是比较难的,但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E 上来了,因而证法2并不比证法1复杂.由以上证明可知,F 是DCB △的外心.1452CDF CAB CDE ∠=∠=︒=∠,知DF 是CDE ∠的平分线,故F 为CDE △的内心.证法3:如图6,只证CF 为DCE ∠的平分线.由1451AGC ADC CAD CAB ∠=∠=∠=∠+∠=︒+∠, 得12∠=∠.从而DCF GCF ∠=∠,得CF 为DCE ∠的平分线.证法4:首先DF 是CDE ∠的平分线,故CDE △的外心I 在直线DF 上. 现以CA 为y 轴、CB 为x 轴建立坐标系,并记CA CB CD d ===,则直线AB 是一次函数 y x d =-+ ①的图像(图7).若记内心I 的坐标为11()x y ，,则11x y CH IH CH HB CB d +=+=+==满足①,即I 在直线AB 上,但I 在DF 上,故I 是AB 与DF 的交点.由交点的惟一性知I 就是F ,从而证得F 为Rt CDE △的内心.不可延长ED 交O ⊙于P ,利用CP 为直径来证.【点评】本题的证法很多,但思路主要有两个:其一,连FC FD FE ，，,然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F 作三边的垂线,然后证明其中两条垂线段相等.二、【解析】解法1:已知即21810x x x -+≤,有21810x x x -+≤.当0x ≥时,有211180x x -+≤,得29x ≤≤,代入二次函数,得合乎条件的4个整点:()()()()22437699，，，，，，，；当0x <时,有29180x x ++≤,得63x --≤≤,代入二次函数,得合乎条件的2个整点:()()6633--，，，.F EDB C A 图 5G G 图 6A CB D EF 图 7解法2:由()11810x x y -+=为整数,知x 关于模10的余数只能为2(或8-)、7(或3-)、9(或1-).对0x ≥,取24791214x =L ，，，，，，顺次代入,得()()()()22437699，，，，，，，,且当9x >时,由2211149111499010141024y x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-->--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,知y x >-,再无满足y x ≤的解.对0x <,取1x =-,368---L ，，，顺次代入,得()33-，,()66-，,且当6x <-时,由21991024y x x ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2199601044⎡⎤⎛⎫>-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,知y x >-,再无满足y x ≤的解.故一共有6个整点,图示略.解法3:先找满足条件y x =的整点()x y ，,即分别解方程 211180x x -+=, ① 29180x x ++=, ②可得()()()()22996633--，，，，，，，.再找满足y x <的整点()x y ，,这时29x <<或63x -<<-, 依次检验得()()4376，，，.故共有6个整点.【点评】这道题的思路比较明显,就是分情况讨论,求出这个绝对值不等式的解集,再求出整点即可.三、【解析】直观上可以这样看,当6n >时,在2,3,…,2n -中,必有一个数A 与n 互质()22A n -≤≤,记2B n A =-≥,有n A B =+.此时,A 与B 必互质,否则A 与B 有公约数1d >,根据n A B =+则d 也是n 的约数,从而A 与n 有大于1的公约数,与A n ，互质矛盾.但是,对于初中生来说,这个A 的存在性有点抽象,下面分情况,把它具体打出来.⑴ 当n 为奇数时,有()22n n =+-,或4122n n n -+=+. ⑵ 当n 为偶数,但不是4的倍数时,有1422n n n -+=+. 由6n >知412n ->,且42n -,42n -均为奇数,44441222n n n -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，.⑶ 当n 为偶数,且又是4的倍数时,有2222n n n -+=+, 由6n >知212n ->,且222n n n -+，均为奇数,22221222n n n -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，. 【点评】本题用到了构造法,这是这种问题最常用的证明方法,在二试的题目中很容易出现.。

2024年全国高中数学联赛(一试)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.·1·。

1995年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

1995年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。

选C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

2．讲解：这类方程是熟知的。

先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。

1995年全国初中数学联赛试题

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有6个小题，每一个小题都给出了以（A ）、（B ）、（C ）、（D ）为代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。

1．已知553=a ，444=b ，335=c 则有（）（A ）c b a << ；（B ） a b c << ；（C ）b a c <<；（D ）b c a << 2．方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（）（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4 3．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（）（A ）10≤≤m ；（B ）43≥m ；（C ）143≤<m ；（D ）143≤≤m 4．如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）（A ）62π （B ）63π （C ）64π （D ）65π5．AB 是圆O 的一条弦，CD 是圆O 的直径，且与弦AB 相交，记OAB DAB CAB S N S S M ∆∆∆=-=2.||，则（）（A ）N M >；（B ）M=N ；（C ）N M < （D ）M ，N 的大小关系不确定6．设实数a ，b 满足不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-（）（A ）0>a 且0>b （B ）0<a 且0>b（C ）0>a 且0<b （D ）0<a 且0<b二、填空题1．在12，22，33，…，952 这95个数中，十位数字为奇数的数共有________个。

2．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。

1995年全国初中数学联赛精彩试题及问题详解(修正版)

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355，b＝444，c＝533，则有［］A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b2．方程组6323xy yzxz yz+=⎧⎨-=⎩的正整数解的组数是［］A．1 B．2C．3D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是［］A．0≤m≤1 B．m≥34C．34＜m≤1 D．34≤m≤14．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［］A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△ABC －S△ABD｜，N＝2 S△OAB，则［］A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则［］A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0 二、填空题1．在12，22，32……，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有______个。

2．已知a是方程210 4x x+-=的根，则354321aa a a a-+--的值等于______．3．设x为正实数，则函数21y x xx=-+的最小值是______．4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．G A BC DEF第二试一、已知∠ACE ＝∠CDE ＝90°，点B 在CE 上，CA ＝CB ＝CD ，经过A 、C 、D 三点的圆交AB 于F （如图）交CB 于G 求证：F 为△CDE 的内心二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点为整点，试在二次函数2510109x x y =-+的图像上找出满足y ≤|x |的所有整点（x ，y ），并说明理由。

1995年全国高中数学联赛试题及解答

1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13且a 1>0，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( ) (A )S 10 (B )S 11 (C )S 20 (D ) S 212．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数Z 19951 ，Z 19952 ，…，Z 199520 所对应的不同的点的个数是( )(A )4 (B )5 (C )10 (D )203．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A )1个 (B )2个 (C )50个 (D )100个4．已知方程|x －2n |=k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1(C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是 (A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1 (B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1 (C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1 (D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin16．设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与P A ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1PS(A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值(C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1．设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|= ．2．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为．3．用[x ]表示不大于实数x 的最大整数，方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是． 4．直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧y ≤3x ，y ≥x3， x +y ≤100的整点个数是．5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是．6．设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是．第二试一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．二、(25分) 求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。