高中数学必修四北师大版正余弦函数的图像性质学案

合集下载

高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质教案北师大版必修4

1.6 余弦函数的图像与性质整体设计教学分析1.上两节刚刚学习了正弦函数的图像与性质,对于本节的学习,有两个内容:一是余弦函数的图像,二是余弦函数的性质.我们可以完全类比正弦函数,只是作余弦函数图像时可通过平移的方法得到,这也是类比思想、数形结合思想、图像变换思想方法的应用.2.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么我们就会完全清楚它在整个定义域内的性质.教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类函数性质具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.3.余弦函数性质的难点,在于函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易;单调性只要求由图像观察,不要求证明.而余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过类比正弦函数图像的作图方法,会用几何法画出余弦函数的图像;通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦函数的图像.2.观察函数y=cosx,x∈［0,2π］的图像上,哪些点起着关键作用,并会用关键点画出函数y=cosx在x∈［0,2π］上的简图.3.通过类比、知识迁移的学习方法,提高探究新知的能力,并通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的对比,理解两种函数的区别及内在联系.重点难点教学重点:会通过平移得到余弦函数的图像,并会用五点法画出余弦函数的图像;余弦函数的性质.教学难点:结合图像,余弦函数性质的灵活运用是本节的一个难点.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图像,你能类比正弦函数图像的作法作出余弦函数的图像吗？从学生画图像、观察图像入手,由此展开余弦函数性质的探究.思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质,y＝cosx是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①你能类比作正弦函数图像的方法,用几何方法画出余弦函数的图像吗？②你能类比正弦函数性质的学习得到函数y=cosx,x∈［0,2π］的性质吗？③比较正弦函数、余弦函数的图像与性质,你能发现它们都有哪些不同？活动:先让学生充分思考、交流后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他按自己的思路继续探究;对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须掌握的基本功.因此在研究余弦函数图像与性质时,教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的.因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势. 由诱导公式y=cosx=cos(-x)=sin ［2π-(-x)］=sin(2π+x)可知,y=cosx 的图像就是函数y=sin(2π+x)的图像.从而,余弦函数y=cosx 的图像可以通过将正弦曲线y=sinx 向左平移2π个单位长度得到(如图1所示).图1也可以利用描点法作出余弦函数的图像(如图2所示).余弦函数y=cosx(x∈R )的图像叫作余弦曲线.图2教师引导学生类比正弦函数的性质学习,让学生观察余弦函数的图像,从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究.可完全放给学生自己探究,教师仅是适时地给予引导.学生很容易得出余弦函数y ＝cosx,x∈R 具有以下主要性质: (1)定义域余弦函数的定义域是R. (2)值域余弦函数的值域是［-1,1］. (3)周期性余弦函数是周期函数,它的最小正周期是2π.由于余弦函数具有周期性,为了研究问题方便,我们可以选取任意一个x 值,讨论余弦函数在区间［x,x+2π］上的性质,然后拓展到整个定义域(-∞,+∞)上. (4)最大值与最小值当x=2k π(k∈Z )时,余弦函数取得最大值1;当x=(2k+1)π(k∈Z )时,余弦函数取得最小值-1. (5)单调性我们选取长度为2π的区间［-π,π］.可以看出,当x 由-π增大到0时,cosx 的值由-1增大到1,当x 由0增大到π时,cosx 的值由1减小到-1.因此,余弦函数在区间［-π,0］上递增,在区间［0,π］上递减. 由余弦函数的周期性可知,余弦函数在每一个区间［(2k-1)π,2k π］(k∈Z )上都是递增的,在每一个区间［2k π,(2k+1)π］(k∈Z )上都是递减的.所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间. (6)奇偶性余弦函数的图像关于y 轴对称,即cos(-x)=cosx.∴余弦函数是偶函数.这个变化情况可从下表及图像中直观地显示出来,教师可引导学生画图并列出下表:图3类比正弦函数性质的探究,学生可能通过图像已经看出来了,在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴,如余弦曲线还关于直线x ＝0,x ＝π等多条直线对称,余弦曲线还关于点(2π,0)等多个点对称,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,以开阔学生的视野.探究余弦函数的性质后,学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番,这种习惯很好.比较最能澄清问题的本质属性,比较是最好的学习方法. 当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图像中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线.所以它们的定义域相同,都为R .值域也相同,都是［-1,1］.最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y 轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是2π.它们的图像都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图像上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴.但是由于y 轴的位置不同,对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现.也是由于y 轴的位置改变,使增、减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变.由此可以看出,图像的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响. 讨论结果:①—③略. 应用示例例1 画出函数y=cosx-1,x∈R 的简图,并根据图像讨论函数的性质.活动:这是课本上紧接着余弦性质后的一道例题,目的是通过这道例题直接巩固所学的余弦函数的图像与性质.课堂上可放手让学生自己去求,教师适时地指导、点拨、纠错.并提示-1对余弦函数的图像与性质的影响.让学生进一步熟悉“五点法”作图,领悟图像作法的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”作图易学却难掌握,学生需练扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:按五个关键点列表,描点画出图像(如图4所示).图4的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会更加令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例余弦后,学生从图像上就可以一目了然地说出函数的性质了.这也让学生从中体会到了数形结合的好处.例2 利用三角函数的单调性,比较cos(-523π)与cos(-417π)的大小.活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的大小比较,这很好,充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高.本例是余弦,只需将角化为同一个单调区间,然后根据单调性比较大小即可.课堂上仍是让学生自己独立地去操作,教师点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.解:cos(-523π)=cos 523π=cos 53π,cos(-417π)=cos(417π)=cos 4π.因为0＜4π＜53π＜π,且函数y=cosx,x∈［0,π］是减函数,所以cos4π＞cos53π,即cos(-523π)＜cos(-417π).点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化为同一个单调区间.其次要注意首先大致的判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos4π＞0,cos53π＜0,显然大小立判. 例3 求函数y=cos(21x-6π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间. 活动:教师引导学生探究,可以利用余弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师引导学生的思考方向:把21x-6π看成z,问题就转化为求y ＝cosz 的单调区间问题,而这就简单多了,教师应点出,这里用的是换元的思想方法. 解:令z=21x-6π.函数y=cosz 的单调递增区间是［-π+2k π,2k π］.由-π+2k π≤21x-6π≤2k π,得-35π+4k π≤x≤3π+4k π,k ∈Z .取k=0,得-35π≤x≤3π,而［-35π,3π］［-2π,2π］,因此,函数y=cos(21x-6π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-35π,3π］.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用余弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化. 4.求函数y ＝x cos 的定义域.活动:学生探究操作,寻找解题方向,教师提醒学生充分利用函数图像.并根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等. 解:由cosx≥0得-2π＋2k π≤x≤2π＋2k π(k ∈Z ).∴原函数的定义域为［-2π＋2k π,2π＋2k π］(k ∈Z ).点评:本例虽然短小,学生却易出错,本例实际上是解三角不等式,应根据余弦曲线探究适合题目要求的条件,然后解之.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用余弦函数曲线写出解集.变式训练函数y ＝1+cosx 的图像( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x ＝2π对称答案:B例 5 (2007山东临沂一模,17(1))在给定的直角坐标系(如图5)中,作出函数f(x)=2cos(2x+4π)在区间［0,π］上的图像.图5解:列表取点如下:描点连线作出函数f(x)＝2cos(2x+4)在区间［0,π］上的图像如图6.图6点评:本题按说难度不大,但学生得分率却不高,画图是学生较薄弱的环节. 知能训练课本练习1-4. 课堂小结1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识？学习了哪些数学思想方法？这节课我们研究了余弦函数的图像与性质.通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的的比较,加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了本节课所学的余弦函数的图像的画法及性质的理解,将我们所学内容很快地就纳入了已有的知识系统.2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业课本习题1—5 3、4、5、6.设计感想1.本节教案设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习幂、指数、对数函数后,对函数性质有了较深的认识.这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.2.在学完余弦函数性质后,应着重引导学生比较正、余弦函数的性质的异同,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识;让学生在同一坐标系中画出正弦、余弦函数的图像,在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是是本节课主要强调的数学思想.3.学习正、余弦函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如cos(α+2π)＝cos α这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了它表明余弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.备课资料备用习题1.函数y=cosx,x ∈［-6π,2π］的值域是 ( )A.［0,1］B.［-1,1］C.［0,23］ D.［-21,1］ 2.(2007山东临沂)对于函数y=f(x)=⎩⎨⎧<≥,cos sin ,cos ,cos sin ,sin x x x x x x 下列命题中正确的是( )A.该函数的值域是［-1,1］B.当且仅当x=2k π+2π(k ∈Z )时,函数取得最大值1C.该函数是以π为最小正周期的周期函数D.当且仅当2k π+π＜x ＜2k π+23π(k ∈Z )时,f(x)＜0 3.(2005山东潍坊)已知-6π≤x＜3π,cosx=11+-m m ,则m 的取值范围是( ) A.m ＜-1 B.3＜m≤7+43 C.m ＞3 D.3＜m ＜7+43或m ＜-14.(2004天津,12)定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为( ) A.-21 B.21C.-23D.23 5.(2006广东珠海)已知函数y=2cosx(0≤x≤1 000π)的图像与直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是__________________. 6.(2005上海,10)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈［0,2π］的图像与直线y=k 有且只有两个不同的交点,则k 的取值范围是______________.7.根据余弦函数的图像,求满足cos2x≥21的x 的集合. 参考答案:1.A 画出y=cosx,x ∈［-6π,12π］的图像,从而得出y ∈［0,1］,故选A.2.D 画图像可知,值域为［-22,1］,x=2k π或x=2k π+2π时取最大值,T=2π,故选D. 3.C 由-6π≤x＜3π,21＜cosx≤1,∴21＜11+-m m ≤1.∴m＞3.故选C. 4.D 由f(x)的周期为π知,f(35π)=f(32π)=f(-3π).由f(x)是偶函数知f(-3π)=f(3π).又当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx, ∴f(3π)=sin3π=23. 故选D. 5.2 000π 由图像知y=2cosx 在［0,2π］上与直线y=2围成封闭图形的面积是2π×2=4π ∵1 000π÷2π=500,∴在0≤x≤1 000π上所围成的封闭图形的面积S=4π×500=2 000π. 6.1＜k ＜3f(x)=sinx+2|sinx|=⎩⎨⎧∈-∈),2,(,sin ],,0[,sin 3πππx x x x 则k 的取值范围是1＜k ＜3.7.解:由余弦函数的图像与性质知-3π+2k π≤2x≤3π+2k π(k ∈Z ), 即-6π+k π≤x≤6π+k π(k ∈Z ).∴满足函数cos2x≥21的x 的集合是{x|-6π+k π≤x≤6π+k π}(k ∈Z ).。

(北师大版)高中数学必修四：1.6《余弦函数的图像与性质》教案(2)

§6余弦函数的图像与性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】在上一次课中，我们知道正弦函数y ＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。

那么，对于余弦函数y ＝cosx 的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？【探究新知】1．余弦函数y ＝cosx 的图像由诱导公式有：与正弦函数关系 ∵y＝cosx ＝cos(－x)＝sin[2π－(－x)]＝sin(x ＋2π) 结论：（1）y ＝与函数y ＝sin(x ＋2π的图象相同（2）将y ＝sinx 的图象向左平移2π即得y ＝cosx 的图象（3）也同样可用五点法作图：y ＝的五个点关键是(0,1) (2π-1) (23π,0)（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝的图像与 y ＝cosx2．余弦函数y ＝cosx 的性质观察上图可以得到余弦函数y ＝cosx 有以下性质：（1）定义域：y=cosx 的定义域为R（2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）－1(3)最值：对于y ＝cosx 当且仅当x ＝时 y max ＝1 当且仅当时x ＝＋π时 y min ＝－1 当-2π2π 时 y=cosx>0 当2π23π 时 y=cosx<0(4)周期性：y ＝cosx 的最小正周期为(5)奇偶性cos(－x)(6)单调性增区间为[（2k －1）π， 2k π]（k∈Z），其值从－1增至1；减区间为[2k π，（2k ＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】1．例题讲评例1．请画出函数y ＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数的性质。

解：（略，见教材P31-32）2．课堂练习二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

1.6余弦函数的图像与性质教案-2020-2021学年高中北师大版数学必修四

余弦函数的图像与性质教案（1）能利用五点作图法和平移正弦函数图像作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（2）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（3）能区别正、余弦函数之间的关系；（4）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

基础知识知识点一：1．余弦函数y ＝cosx 的图像方法一：由诱导公式有：与正弦函数关系 ∵y ＝cosx ＝cos(－x)＝sin[2π－(－x)]＝sin(x ＋2π) 结论：（1）y ＝cosx, x ∈R 与函数y ＝sin(x ＋2π) x ∈R 的图象相同（2）将y ＝sinx 的图象向左平移2π即得y ＝cosx 的图象方法二：五点法作图：y ＝cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0)(2π,1)y类似地，由于终边相同的三角函数性质y＝cosx x∈[2kπ,2(k+1)π] k∈Z,k≠0的图像与y＝cosx x∈[0,2π] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）即的余弦曲线.例1.用“五点法”作出y=1+cos x(0≤x≤2π)的简图.五点法作图方法技巧：知识点二：余弦函数y＝cosx的性质x16yo--2345---1πx观察上图可以得到余弦函数y ＝cosx 有以下性质：（1）定义域：y=cosx 的定义域为R（2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性） (3)最值：1︒对于y ＝cosx 当且仅当x ＝2k π,k ∈Z 时 y max ＝1 当且仅当时x ＝2k π＋π, k ∈Z 时 y min ＝－1 2︒当2k π-2π<x<2k π+2π(k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+2π<x<2k π+23π(k ∈Z)时 y=cosx<0 (4)周期性：y ＝cosx 的最小正周期为2π(5)奇偶性cos(－x)＝cosx (x ∈R) y ＝cosx (x ∈R)是偶函数(6)单调性增区间为[（2k －1）π， 2kπ]（k ∈Z ），其值从－1增至1；减区间为[2kπ，（2k ＋1）π]（k ∈Z ），其值从1减至－1. （7）对称性①对称轴方程为x=k π(k ∈Z).②对称中心的坐标为(2π+k π,0)(k ∈Z). 例1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y=cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条.( ) (2)余弦函数y=cos x 的图像是轴对称图形，也是中心对称图形.( ) (3)在区间［0，2π］上，函数y=cos x 仅在x=0时取得最大值1.( )能力提升提升一：余弦函数的图像作法及应用例1.试用“五点法”画出函数y=1-cos x ，)2,0[π∈x 的图像，并解答下列问题：（1）求函数的值域；（2）当x 取何值时，函数取得最大值.（3）求当12≤y ≤23时x 的集合．提升二：余弦函数的定义域与值域例1. 求下列函数的定义域（1）y ＝x cos （2） f (x )＝lg cos x ＋25－x 2 解析：（1）由cosx≥0得-2π＋2kπ≤x≤2π＋2kπ(k ∈Z ). ∴原函数的定义域为［-2π＋2kπ,2π＋2kπ］(k ∈Z ).（2）由题意，x满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x >025－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5cos x >0，作出y ＝cos x 的图像．结合图像可得：x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤32π，5. 例2. 求下列函数的值域（1））π，π24(,1cos 2-∈-=x x y ； (2)y ＝－cos 2x ＋cosx(3)y ＝2－sin x 2＋sin x .解：（1）]1,1-(y ∈ (2)y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. (3)y ＝4－2＋sin x 2＋sin x ＝42＋sin x－1.∵－1≤sin x ≤1，∴1≤2＋sin x ≤3， ∴13≤12＋sin x ≤1， ∴43≤42＋sin x≤4，∴13≤42＋sin x －1≤3，即13≤y ≤3. ∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：①sin x ，cos x 的有界性；②sin x ，cos x 的单调性；③化为sin x ＝f (y )或cos x ＝f (y ) 利用|f (y )|≤1来确定；④通过换元转化为二次函数．提升三：余弦函数的奇偶性及应用例2.(1)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值为( C )A.0B.C.2πD.π (2)函数f(x)=sin(2x+23π)的奇偶性为_________. (3)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)= sin 2x+cos x ，求f(x). (1)选C.(2)因为3sin(2x )sin[(2x )]22ππ+=π++=-sin(2x+ )=-cos 2x ，所以f(-x)=-cos(-2x) =-cos 2x=f(x),即f(x)为偶函数. 答案：偶函数(3)因为函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以f(0)=-f(0)，f(0)=0,当x ＜0时，-x ＞0,所以f(x)=-f(-x)=-［sin 2(-x)+cos(-x)］ =sin 2x-cos x ，所以()sin 2x cos x, x 0f x 0, x 0sin 2x cos x, x 0.-⎧⎪==⎨⎪+⎩＜，，＞【方法技巧】余弦函数奇偶性常用结论(1)因为余弦函数是偶函数，所以cos x=cos ｜x ｜.(2)若)(x f =cos(x+φ)是奇函数；则0)0(=f ，即当φ=k π+2π(k ∈Z)；若)(x f =sin(x+φ)是偶函数，则图像关于y 轴对称，即当0=x 时，)(x f 取得最值；则φ=k π+2π(k ∈Z)；提升四：余弦函数的单调性与最值例3.(1)函数）π（4cos -x 的增区间是________（2）比较cos(-523π)与cos(-417π)的大小.(3)－sin 46°与cos 221°；（4）求函数y=1cos 4-3cos 2+x x 的最大值和最小值.解析：(1)Z k k k ∈++-],24243[πππ，π（2）cos(-523π)=cos 523π=cos 53π,cos(-417π)=cos(417π)=cos 4π.因为0＜4π＜53π＜π,且函数y=cosx,x ∈［0,π］是减函数,所以cos4π＞cos 53π,即cos(-523π)＜cos(-417π).(3)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°， cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°. ∵180°>139°>136°>0°，∴cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°.(4)令t=cos x ，则-1≤t ≤1,问题转化为求函数y=3t2-4t+1 (-1≤t ≤1)的最大值和最小值.因为221y 3(t ),1t 1,33=---≤≤所以函数在[-1,23]上是减少的，在[ 23 ,1]上是增加的，当t= 时,y 有最小值;当t=-1时,y 有最大值，所以ymax=3+4+1=8.2min 2211y 3().3333=--=-所以函数的最大值为8，最小值为-31. 提升五：余弦函数值域的应用例.已知函数y=a-bcos x 的最大值为23 ，最小值为- 21，求函数y=-2sin bx 的最值及周期.。

数学北师大版高中必修4余弦函数的图像和性质学案

余弦函数的图像和性质学案
学习目标
1. 理解并掌握余弦函数的图象和性质，会用“五点法”画出余弦函数的简图．
2. 通过教学，使学生进一步掌握数形结合研究函数的方法．
课前导学
1.用五点法作正弦函数图象的点是、、、、。

五点法作余弦函数图象的点是、、、、。

2.正弦函数y=sinx 的图像
课堂探究
1.余弦函数的图像的画法
图像变换法：由y=sinx 的图像怎么变换可得到y=cosx 的图像？
诱导公式⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=2sin cos πx x 对你有什么启示？
2．余弦函数的图像（余弦曲线）
3余弦函数的性质函数 y=sinx
y=cosx
定义域值域最值
单调性奇偶性周期
对称轴
合作探究
1. 观察余弦曲线，写出满足2
1
cos ≥
x 的x 的区间
2.画出下列函数的简图，根据图像讨论函数的性质
()1cos 1+=x y (x ∈R) ()2cos 2+-=x y (x ∈R)
函数 y=cosx+1 (x ∈R)
y=-cosx+2 (x ∈R)
定义域值域最值
单调性奇偶性周期
对称轴
3.球下列函数的定义域
（1）x
y cos 11
-= (2)x y cos -=
：判断下列函数的奇偶性.4
()2cos 1+=x y ()x x y cos sin 2=
小结：1.“五点法”作图．
2. 余弦函数的图象．
3. 余弦函数的性质．。

高中数学必修4北师大版余弦函数的图像与性质学案2

§6 余弦函数的图像与性质问题导学1．余弦函数的图像及应用活动与探究1画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．活动与探究2利用余弦函数的图像解不等式cos x ≥12．迁移与应用函数y ＝1＋cos x 的图像( )．A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称(1)作函数y ＝a cos x ＋b 的图像的步骤．(2)利用函数的图像解不等式时，要准确作出函数的图像，找出一个周期内与x 轴交点的横坐标是关键．2．余弦函数的定义域活动与探究3求下列函数的定义域．(1)y ＝11＋cos x；(2)y ＝log 312－cos x ．迁移与应用1．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为__________． 2．求函数的定义域： y ＝32－cos x ．含余弦函数的复合函数的定义域的求法：(1)利用常见函数定义域的限制条件列出不等式(组)；(2)利用余弦函数的图像或单位圆解有关余弦不等式，写出解集； (3)注意正确写出余弦值对应的特殊角． 3．余弦函数的值域(最值) 活动与探究4已知x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， (1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3(1－cos 2x )－4cos x ＋4的最大值、最小值．迁移与应用1．函数y ＝e cos x 的值域是______．2．求函数y ＝－cos 2x ＋cos x ＋2的最大值及相应的x 的值．(1)求形如y ＝a cos x ＋b 的三角函数的最值时，既要注意x 的限定范围，又要注意a 的正、负对最值的影响．(2)形如y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (a ≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题．4．余弦函数单调性的应用活动与探究5(1)比较cos ⎝⎛⎭⎫－23π5与cos ⎝⎛⎭⎫－17π4的大小； (2)求y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调区间．迁移与应用求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的单调递减区间．(1)比较余弦值大小的常用方法是首先利用诱导公式化简到同一单调区间上，再利用单调性比较大小；(2)求函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的关键是把ωx ＋φ看成一个整体．然后利用余弦函数的单调区间建立不等式，解出x ．注意当ω＜0时，要先利用诱导公式化负为正．5．余弦函数的奇偶性与周期性活动与探究6判断函数f (x )＝cos(2π－x )－x 3sin x 的奇偶性．活动与探究7求函数y ＝12cos 2x ，x ∈R 的周期．迁移与应用1．下列函数中，以π为周期的偶函数是( )． A ．y ＝sin|x | B ．y ＝|cos x |C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝sin 2x ＋cos x ，求f (x )的解析式．1．求函数的最小正周期的基本方法：(1)若能直接用某些结论，则用其结论即可；若不能直接用，可对其解析式进行等价变形后，再使用结论；(2)一般地，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期为T ＝2π|ω|．2．函数奇偶性的应用：(1)画关于原点对称的区间上的图像．(2)判断函数的单调性(或比较函数值的大小)． (3)求函数的解析式．当堂检测1．函数y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π3的值域是( )． A ．[－1,1] B ．⎣⎡⎦⎤12，1 C ．⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[－1,0] 2．函数y ＝－23cos x ，x ∈[0,2π]，其单调性是( )．A ．在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2，⎣⎡⎦⎤3π2，2π上是减函数 C ．在[π，2π]上是增函数，在[0，π]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤0，π2，⎣⎡⎦⎤3π2，2π上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是减函数 3．函数y ＝－x cos x 的部分图像是图中的( )．4．(1)比较大小：cos ⎝⎛⎭⎫－π18__________cos π10； (2)函数y ＝2cos x ＋1的定义域是__________．5．已知函数y ＝a －b cos x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值．课前预习导学【预习导引】1．(1)向左平移π2个 (2)余弦曲线预习交流1 (0,1)、⎝⎛⎭⎫π2，0、(π，－1)、⎝⎛⎭⎫3π2，0、(2π，1) 预习交流2 左 2π 2．R [－1,1] 2k π 1(2k ＋1)π －1 2π [2k π－π，2k π] [2k π，2k π＋π] 偶 yx ＝k π (k π＋π2，0)(k ∈Z )预习交流3 提示：(1)定义域都是R ，值域都是[－1,1]，也称正弦、余弦函数的有界性． (2)最小正周期都是2π.(3)图像形状相同，只是在坐标系中位置不同．预习交流4 (1)B(2)⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )(3)＞＜课堂合作探究【问题导学】画法二：先用五点法画y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像，再作它关于x 轴的对称图形，即得到y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图像．活动与探究2 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .迁移与应用 B 解析：y ＝1＋cos x 的图像由y ＝cos x 的图像向上平移1个单位得到，又因为y ＝cos x 的图像关于y 轴对称，故y ＝1＋cos x 的图像也关于y 轴对称．活动与探究3 解：(1)要使函数有意义，需满足1＋cos x ≠0， ∴cos x ≠－1.∴x ≠2k π＋π，k ∈Z . 故所求函数的定义域为 {x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，需满足12－cos x ＞0，∴12－cos x ＞0，cos x ＜12. ∴2k π＋π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z .故所求函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z .迁移与应用 1.⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )2．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 活动与探究4 解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，作出函数y ＝cos x 的图像(图像略)，从图像上可知当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝2π3时，y min ＝cos 2π3＝－12，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1. (2)设t ＝cos x ，由(1)知，t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1.。

高一数学北师大版必修4《1.6余弦函数的图像与性质》教案

[答案](－π，0]
[解析]∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π<a≤0时，满足已知条件，∴a∈(－π，0]．
8．比较大小：cos ________cos(－ π)．
[答案]>
[解析]cos ＝cos ＝－cos π，cos ＝cos ＝－cos ，由y＝cosx在[0，π]上是单调递减的，所以cos π<cos ，所以cos >cos .
解：(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，
cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.
∵180°>139°>136°>0°，
∴cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°.
(2)cos ＝cos π＝cos ＝cos π，
cos ＝cos π＝cos ＝cos .
∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是 .
(2)y＝＝－1.
∵－1≤sinx≤1，∴1≤2＋sinx≤3，
∴ ≤ ≤1，
∴ ≤ ≤4，
∴ ≤ －1≤3，即 ≤y≤3.
∴函数y＝的值域为 .
规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
①sinx，cosx的有界性；②sinx，cosx的单调性；③化为sinx＝f(y)或cosx＝f(y)
2．函数f(x)＝－xcosx的部分图像是()
[答案]D
[解析]由f(x)＝－xcosx是奇函数，可排除A，C.令x＝，则f( )＝－ cos ＝－ <0.故答案选D.
二、填空题
3．若cosx＝，且x∈R，则m的取值范围是________．
[答案](－∞，－3]∪

高中数学必修四(北师大版)第一章学案正、余弦函数的图像和性质的应用

412【导学案】正、余弦函数的图像和性质的应用
【学习目标】
1、学习利用正、余弦函数的图像和性质解决一些简单应用；
2、比较单位圆和图像法研究三角函数的性质时各自的特点；
3、进一步熟悉正、余弦函数的最值、单调性、奇偶性、图像的对称性的应用；
【学习重点】正、余弦函数的图像和性质的简单应用
【学习难点】运用函数观点和数形结合思想研究函数性质
【学习过程】一、预习自学（把握基础）
（温习课本第18页、28页、31页、32页关于正、余弦函数的图像和性质的内容，解决下列内容）
1、角α终边和单位圆交于点P（u,v）时，sinα= ;cosα= ；
若P(x,y)是角α终边上一点，则sinα= ; cosα= ；
2、描点法画余弦曲线时的五个关键点是：
；
描点法画余弦曲线时的五个关键点是：
；
3、说说正、余弦函数的性质有哪些相同点和不同点？（画出表格比较）
二、合作探究（巩固深化，发展思维）
例1．书第24页A组第6题
例2.书第24页B组第4题
例3、书第35页B组第1题
三、达标检测（相信自我，收获成功）
1、函数y=2cosx,
3
,
22
x
ππ
⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
的增区间为；减区间
为。

2、书第35页B组第2题（分cosx＜0和cosx≥0两种情况化简解析式后画出图像）（1）该函数图像为：
（2）定义域为；值域为；x= 时，函数最大值为；最小正周期为；奇偶性为；
(3)该函数图像的对称性是；增区间为；
减区间为。

（4）函数在上的图像与直线y=-1的交点个数是。

四、学习体会
我的疑惑：。

高中数学必修4教案1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。

教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标。

北师大版高中数学必修四正弦、余弦函数的性质学案(1)

《§1.4.2 正弦、余弦函数的性质（第二课时）》学案学习目标：会求简单的正弦、余弦型函数的最值，以及函数取到最大、最小值时x 的取值集合。

学习重难点：求正弦、余弦型函数的最值及相应的x 值。

【知识链接】正弦、余弦函数的图象及其周期性、奇偶性。

【重难点探究】观察正弦、余弦曲线，填空：1、函数x y sin =的最大值是，此时，=x ；函数x y sin =的最小值是，此时，=x 。

2、函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>的最大值是 __，此时，+x ωϕ= ；函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>的最小值是，此时，+x ωϕ= 。

3、函数cos y x =的最大值是__________，此时，=x __________________；函数cos y x =的最小值是__________，此时，=x __________________。

4、函数cos()(0)y A x A ωϕ=+>的最大值是________，此时，+x ωϕ=________________；函数cos()(0)y A x A ωϕ=+>的最小值是________，此时，+x ωϕ=________________。

【例题解析】例：求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大值、最小值时的自变量x 的集合。

（1）R x x y ∈+=,1cos （2）R x x y ∈=,2sin （3）3sin ,y x x R =∈【巩固训练】1、下列各等式能否成立？为什么？（1）2cos 3x = （2）2sin 0.5x =2、函数x y sin 1-=的最大值为（）A 、1B 、0C 、2D 、－13、求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大值、最小值时的自变量x 的集合。

（1）sin 2,y x x R =-∈ （2）cos3,y x x R =∈ （3）1sin(2),26y x x R π=+∈【归纳总结】。

1.6余弦函数的图像与性质教案高中数学必修四北师大版

§6余弦函数的图像与性质6．1余弦函数的图像6．2余弦函数的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握余弦函数的性质．(2)能正确使用“五点法”“几何法”“图像变换法”画出余弦函数的简图．2．过程与方法通过图像的做法，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．●重点难点重点：五点法作出余弦函数的图像，并理解图像性质．难点：余弦函数的对称性．(教师用书独具)●教学建议关于余弦函数y＝cos x的性质，教科书写得比较简明，这是因为学生已经有了研究正弦函数y＝sin x性质的经验．对于余弦函数的性质很容易理解，讲课时，让学生观察余弦线或余弦曲线，逐一说出余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值以及何时取得最大值和最小值，奇偶性，单调区间．其中单调区间不必死记硬背，只要观察[0,2π]上的图像，可知[0，π]是余弦函数的一个减区间，[π，2π]是余弦函数的一个增区间，然后根据余弦函数的周期为2π的整数倍，就可得到一般结果．●教学流程创设情境：如何由正弦函数的图像得到余弦函数的图像？⇒引导学生利用图像变换法和五点法得到余弦函数的图像．⇒对比正弦函数的性质让学生结合图像得到余弦函数的性质．⇒通过例1及互动探究，使学生掌握与余弦函数有关的图像的画法．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握余弦型函数定义域的求法．⇒通过例3例4及变式训练，使学生掌握与余弦函数有关的函数单调性应用及值域的求法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．如何由y ＝sin x 的图像得到y ＝sin(x ＋π2)＝cos x 的图像呢？【提示】 y ＝sin x 图像向左平移π2个单位即得y ＝cos x 的图像．余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位长度得到．如图是余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像，叫作余弦曲线．图1－6－1用五点法可以作出正弦函数的图像，利用这个方法作出余弦函数的图像吗？五个关键点是什么？【提示】能．五个关键点分别为(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(32π，0)，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y＝cos x，x∈R的简图(如图)．图1－6－2研究正弦函数y＝sin x的性质时，主要研究了它的哪些性质？类比正弦函数的性质，能得到余弦函数y＝cos x的性质吗？【提示】主要研究了y＝sin x的定义域、值域、周期、单调性、对称轴、对称中心等．可以类比得到y＝cos x的性质．对于函数y ＝3＋2cos x(1)用五点法作出此函数的简图．(2)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合并分别写出最大值、最小值； (3)讨论此函数的单调性．【思路探究】由五点法画简图，根据图像求最值及讨论单调性．【自主解答】 (1)按五个关键点列表如下，描点画出图像(如图)．(2)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时， y max ＝3＋2＝5；当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1. (3)y ＝3＋2cos x 的增减区间就是y ＝cos x 的增减区间．所以当x ∈[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2cos x 也是减少的．1．本题(3)讨论单调性的关键是把y ＝3＋2cos x 的单调性转化为cos x 的单调性． 2．作函数y ＝a cos x ＋b 的图像的步骤：(1)列表：由x ＝0，π2，π，3π2，2π时，cos x ＝1,0，－1，0,1，求出y 值；(2)描点：在同一坐标系中描五个关键点； (3)连线：用平滑曲线．将本例中的函数改为y＝2cos x，画出简图，并观察其图像与例中函数图像的关系．【解】按五个关键点列表如下：由图像可知，曲线y＝3＋2cos x可看作是曲线y＝2cos x向上平移3个单位得到的.求下列函数的定义域：(1)y＝2cos x－2；(2)y＝1－2cos x＋lg(2sin x－1)．【思路探究】解题流程写出满足条件的三角不等式(组)解三角不等式(组)利用图像写出不等式。

高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

1.6 余弦函数图像与性质1．余弦函数图像(1)余弦函数y ＝cos x 图像可以通过将正弦曲线y ＝sinx __________单位长度得到．(2)余弦函数y ＝cos x (x ∈R )图像叫作________．图像如下：预习交流1类比学习正弦函数图像方法，观察上图，在[0,2π]上画余弦函数y ＝cos x 图像五个关键点分别是什么？预习交流2要得到y ＝cos x ，x ∈[－2π，0]图像，只需将y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像向________平移________个单位．2．余弦函数性质预习交流3正弦函数与余弦函数图像与性质有哪些联系？预习交流4(1)使cos x＝1－m有意义m取值范围是( )．A．m≥0B．0≤m≤2C．－1＜m＜1 D．m＜－1或m＞1(2)函数y＝－2cos x定义域是______．(3)比拟大小：cos 27°______cos 63°；cos 215°______cos 230°.答案：1．(1)向左平移π2个(2)余弦曲线预习交流1：提示：用五点法作余弦函数图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0、(π，－1)、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0、(2π，1)．预习交流2：左 2π 2．R [－1,1] 2k π 1 (2k ＋1)π －1 2π [2k π－π，2k π] [2k π，2k π＋π] 偶 y x ＝k π预习交流3：提示：(1)定义域都是R ，值域都是[－1,1]，也称正弦、余弦函数有界性．(2)最小正周期都是2π.(3)图像形状一样，只是在坐标系中位置不同． (4)sin 2x ＋cos 2x ＝1.预习交流4：(1)B (2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) (3)＞＜1．余弦函数图像及应用画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]简图．思路分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用五个点，然后描点连线．利用余弦函数图像解不等式cos x ≥12.函数y ＝1＋cos x 图像( )． A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称(1)作函数y ＝a cos x ＋b 图像步骤．(2)利用函数图像解不等式时，要准确作出函数图像，找出一个周期内与x 轴交点横坐标是关键．2．余弦函数定义域求以下函数定义域．(1)y ＝11＋cos x；(2)y ＝log 312－cos x . 思路分析：按照求函数定义域方法进展即可．求以下函数定义域： (1)y ＝32－cos x ；(2)y ＝log 12(2cos x －2)．前面学习求函数定义域方法对余弦函数仍然适用．在此特别强调，要充分利用余弦函数图像或单位圆解有关余弦不等式，准确写出解集．3．余弦函数值域(最值)x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3， (1)求函数y ＝cos x 值域；(2)求函数y ＝－3(1－cos 2x )－4cos x ＋4最大值、最小值．思路分析：(1)函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3上是先增后减函数，求其值域可利用函数图像．(2)可用换元法，转化为求二次函数最大值、最小值问题．1．函数y ＝e cos x 值域是______．2．求函数y ＝－cos 2x ＋cos x ＋2最大值及相应x 值．(1)求形如y ＝a cos x ＋b 三角函数最值时，既要注意x限定范围，又要注意a 正、负对最值影响．(2)形如y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (a ≠0)三角函数最值问题常利用二次函数思想转化成在给定区间[m ，n ]上求二次函数最值问题，解答时依然采用数形结合思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见“轴变区间定〞，或“轴定区间变〞问题．4．余弦函数单调性应用(1)比拟cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π4大小； (2)求y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4单调区间．思路分析：(1)利用诱导公式化简，结合同一区间上函数单调性比拟大小；(2)把2x ＋π4看作一个整体，利用y ＝cos x 单调性求解．求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －π4单调递减区间．(1)比拟余弦值大小常用方法是首先利用诱导公式化简到同一单调区间上，再利用单调性比拟大小；(2)求函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间关键是把ωx ＋φ看成一个整体．然后利用余弦函数单调区间建立不等式，解出x .注意当ω＜0时，要先利用诱导公式化负为正．5．余弦函数奇偶性判断以下函数奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋34x . 思路分析：根据函数奇偶性定义作出判断，注意诱导公式应用．1．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋3π2图像( )． A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π4对称2．函数y ＝f (x )是定义在R 上奇函数，当x ＞0时，f (x )＝sin 2x ＋cos x ，求f (x )解析式．1.有关函数奇偶性结论：(1)奇函数图像关于原点成中心对称图形；偶函数图像关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0. 对于偶函数，任意属于定义域x 都有f (|x |)＝f (x )． 2．函数奇偶性应用：(1)画关于原点对称区间上图像．(2)判断函数单调性(或比拟函数值大小)． (3)求函数解析式．答案：活动与探究1：解：画法一：按五个关键点列表：画法二：先用五点法画y =cos x ，x ∈[0,2π]图像，再作它关于x 轴对称图形，即得到y =-cos x ，x ∈[0,2π]图像．活动与探究2：解：在同一坐标系中，作出y ＝cos x 与y ＝12图像如下图．由图可知，不等式cos x ≥12解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 迁移与应用：B 解析：y ＝1＋cos x 图像由y ＝cos x 图像向上平移1个单位得到，又因为y ＝cos x 图像关于y 轴对称，故y ＝1＋cos x 图像也关于y 轴对称．活动与探究3：解：(1)要使函数有意义，需满足1＋cos x ≠0， ∴cos x ≠－1.∴x ≠2k π＋π，k ∈Z .故所求函数定义域为{x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，需满足12－cos x ＞0， ∴12－cos x ＞0，cos x ＜12. ∴2k π＋π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z .故所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪2k π＋π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . 迁移与应用：解：(1)要使函数有意义，那么有32－cos x ≥0，∴cos x ≤32.∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .故所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . (2)要使函数有意义，那么有2cos x －2＞0， ∴cos x ＞22，故所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π4，k ∈Z . 活动与探究4：解：(1)∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，2π3，作出函数y ＝cos x 图像(图像略)，从图像上可知当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝2π3时，y min ＝cos 2π3＝－12，∴函数值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1. (2)设t ＝cos x ，由(1)知，t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1. ∴y ＝－3(1－t 2)－4t ＋4＝3t 2－4t ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫t －232－13.根据二次函数图像，可知当t ＝23，即cos x ＝23时，y min ＝－13.当t ＝－12，即cos x ＝－12时，y max ＝154.迁移与应用：1.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 解析：∵cos x ∈[－1,1]，∴e cosx∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e . 2．解：y ＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 2x －cos x ＋14＋94 ＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos x －122＋94.∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时，y max ＝94.活动与探究5：解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4，而π＞3π5＞π4＞0，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 3π5＜cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π5＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π4. (2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )，∴函数递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )．由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，∴函数递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．迁移与应用：解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z .∴单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．活动与探究6：解：(1)函数定义域为R .∵f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． (2)函数定义域为R .f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋34x ＝cos 34x .∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34x ＝cos 3x 4＝f (x )，∴f (x )为偶函数．迁移与应用：1.C 解析：由题意知f (x )＝－4cos 2x 为偶函数，所以该函数图像关于y 轴对称．2．解：∵y ＝f (x )是定义在R 上奇函数， ∴f (0)＝0.设x ＜0，那么－x ＞0.∴f (－x )＝sin(－2x )＋cos(－x )＝－sin 2x ＋cos x . 又f (－x )＝－f (x )，∴x ＜0时，f (x )＝sin 2x －cos x .从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x ＋cos x 0sin 2x －cos x(x >0)，(x ＝0)，(x <0).1．函数y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0≤x ≤π3值域是( )． A ．[－1,1]B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，12 D ．[－1,0]2．函数y ＝－23cos x ，x ∈[0,2π]，其单调性是( )．A ．在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数B ．在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，3π2上是增函数，在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3π2，2π上是减函数 C ．在[π，2π]上是增函数，在[0，π]上是减函数D ．在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3π2，2π上是增函数，在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，3π2上是减函数 3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x ＋π2奇偶性是( )． A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数，又是偶函数 4．(1)比拟大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π18__________cos π10； (2)函数y ＝2cos x ＋1定义域是__________．5．画出函数y ＝－3cos x ＋2简图，根据图像讨论函数性质．答案：1．B 解析：∵函数y ＝cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上是减函数，∴函数值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos π3，cos 0，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1. 2．A 解析：由于当x ∈[0,2π]时，函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y ＝－23cos x 在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．3．A 解析：函数定义域为R ，且y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x ＋π2＝sin 12x ，故所给函数是奇函数．4．(1)＞ (2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π18＝cos π18，∵0＜π18＜π10＜π，又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos π18＞cos π10，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π18＞cos π10. (2)由2cos x ＋1≥0，得cos x ≥－12， ∴2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴所求定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )． 5．解：按五个关键点列表、描点画出图像如下：函数y。

正余弦函数图像及其性质-学案9

教师姓名学生姓名年级高一上课时间学科数学课题名称正余弦函数图像及其性质一．知识梳理： 1.正余弦函数的图像(1)正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点),(y x P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线. (2)用单位圆中的正弦线作正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象（几何法）：(3)用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π然后将这五点大致连线，画出正弦函数的图像。

(4)正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：正余弦函数图像及其性质第2页把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。

2.余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：3.函数性南函数 sin y x =cos y x =定义域 RR值域 []1,1-[]1,1-有界性有界函数sin 1x ≤有界函数cos 1x ≤奇偶性奇函数偶函数对称性对称轴方程：2x k ππ=+对称中心：(),0k π对称轴方程：x k π=对称中心：,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭周期性周期函数(2)T π=周期函数(2)T π= 单调性单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦单调减区间单调增区间[]2,2k k πππ-32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 单调减区间[]2,2()k k k Z πππ+∈最值性max min 2,(),122,(),12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-max min 2,(),12,(),1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-二、例题讲解：1. 基础梳理1：图像简单应用例1.画出函数1π3sin()24y x =-在[0,2]π上的图象，并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称轴等相关结论答案：例2.定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x xf x x x x≤⎧=⎨>⎩，根据函数的图像与性质填空：(1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值；(3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，()0f x >答案：(1) 2[1,]2-;(2) 2,4x k k Z ππ=+∈; (3) 2π; (4) 22()2k x k k Z πππ<<+∈ 例3.求下列函数的定义域与值域（1）x y 2sin 21= （2）x y cos 2-=答案：定义域为R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121-，定义域为)(,23222z k k x k ∈+≤≤+ππππ，值域为0,2⎡⎤⎣⎦.第4页例4.求下列函数的最大值，以及取得最大值时的x 值（1） y=sinx+cosx （2）y=asinx+b答案：（1）（分析：这个函数不是sinx 或cosx 型函数，而是asinx+bcosx 型） ∴y=sinx+cosx=2sin(4π+x )≤2，当224πππ+=+k x 时取“=”，即当x=2k π4π+时，y max =2 （2）显然|sinx|≤1，∴|asinx|≤|a| 即asinx≤|a| ∴asinx+b≤|a|+b；当a>0时，asinx+b≤a+b 当sinx=1即x=2k π+2π时取“=” ∴此时，当x=2k π+2π时，y max =a+b 当a<0时，∴当x=2k π+23π时，y max =-a+b （以上K ∈Z ）2. 基础梳理2：函数性质例5.判断函数sin()2y x π=-的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.答案：sin()=cos 2y x x π=--，为偶函数，单调递增区间为[]2,2()k k k Z πππ+∈，单调递减区间为[]2,2()k k k Z πππ-∈.例6.设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M m +等于（）A ．32B ．－32C ．－34 D ．－2 答案：D例7.判断下列函数的奇偶性（1）1sin cos ()1sin cos x xf x x x+-=++ （2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+答案：（1）非奇非偶（2）既是奇函数又是偶函数例8.（1）函数3sin(2)3y x π=+的对称轴方程是（2）若函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于3x π=对称，则a =答案：（1）1212x k ππ=+，（2）33a =-例9.设()sin (0)53k f x x k π⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭（1）求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．（2）求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值m ．答案：（1）55,318k x k Z ππ=+∈，55(,0),39k k Z ππ-∈ （2）32k =3. 难点分析1：函数复合与最值例10.求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么. （1） y=sin(3x+4π)-1 (2)y=sin 2x-4sinx+5 (3) y=xxcos 3cos 3+-答案：(1) x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0 (2)当x=2k π-2πk ∈Z 时y max =10 (3) 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2例11.求下列函数的值域（1）sin 3cos ,,62y x x x ππ⎡⎫=-∈-⎪⎢⎣⎭ （2）2cos sin ,,44y x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦（3）1cos 3cos x y x -=+答案：（1）[)2,1y ∈-（2）125,24y ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦（3）(,3][1,)-∞-∞第6页例12.已知函数()23sin sin cos f x x x x =+⋅，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值．答案： 31π3()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）. 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,.当π2π233x -=，即π2x =时，()f x 的最大值为3；当π3π232x -=，即11π12x =时，()f x 的最小值为312-+。

1.5 余弦函数的图像与性质4 学案高中数学必修4(北师大版)

§6 余弦函数的图像与性质
一、学习目标
1.会用“平移法”和“五点法”画余弦函数的图像
2.掌握余弦函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等性质及其应用
3.通过利用类比正弦函数性质研究余弦函数的学习过程，体会类比的思想方法。

二、预习导学
三、自主测试
1.画出函数2cos 1y x =- 的简图。

5.函数y= - cos x x R ∈，
最小正周期为 ----------，是 --------函数。

四、典型例题
例1求下列函数的定义域。

1
11cos x
-（）y=
（2）y =
例2.求下列函数的单调递增区间。

(1)- 2cos y x = 2y=cos x （）2
例3.已知2
x [,]33
ππ∈-
（1）求函数y=cosx 的值域
（2）求函数2cos 2cos 3y x x =-- 的最大值与最小值。

五、达标训练
求函数4sin y a bx =-的最大值．
六、拓展延伸
七、探究创新。

高中数学 110余弦函数图象与性质教学案北师大版必修4 学案

年级高一
学科数学
课题
余弦函数图象与性质
授课时间
撰写人
学习重点
正弦函数y=c像性质的应用。
学习目标
①掌握余弦函数图象的性质，并能结合图像加以理解；
②会求余弦函数定义域、值域、最值、单调区间、周期，会判断一些函数的奇偶性。
教学过程
一自主学习
（2）
2、判断下列函数的奇偶性
（1）y=cosx+2；
（2）y=cosxsinx.
3、求函数的最小正周期
4、求函数的单调区间
5、求函数的单调区间
四课后反思
五课后巩固练习
的集合
(1) (2)
(1) (2)
1.函数叫余弦函数，从图像上看正弦函数的定义域是值域是
2．余弦函数的性质
函数
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性
增
减
最值
对称性
二师生互动
例1五点作图法画下列函数在图像
1． 2。
例2求下列函数的定义域与值域
1. 2。
（1）（2）
(1)
(2)
(3)
三巩固练习
1求下列函数的最值
（1）y=－9cosx+1；

高中数学必修四正弦、余弦函数的图象教案北师大版Word版

正弦、余弦函数的图象1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象.(重点)3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质.(重点、难点)[基础·初探]教材整理正弦曲线、余弦曲线阅读教材P 26～P 28图1-3-3以上的部分，完成下列问题． 1．正弦曲线、余弦曲线正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线．图1-3-32．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．3．正弦、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( )(2)y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同．( ) (3)余弦曲线向右平移π2个单位得到正弦曲线．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[小组合作型](1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]． (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]． (3)y ＝－1－cos x ，x ∈[0,2π]．【精彩点拨】先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．【自主解答】 (1)列表如下：图(1)(2)列表如下：图(2)(3)列表：图(3)1．“五点法”中的五点即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节．[再练一题]1.用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象.【解】按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连接起来．【精彩点拨】作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解．【自主解答】首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立，所以12＜sin x ≤32的解集为利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为：(1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集； (3)把此解集推广到整个定义域上去.[再练一题] 2．求函数y ＝log 21sin x －1的定义域．【解】为使函数有意义，需满足正弦函数图象如图所示，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤2k π＋π6，k ∈Z∪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z. [探究共研型]【提示】先画出y ＝sin x 的图象，然后将其x 轴下方的对称到x 轴的上方(x 轴上方的保持不变)即可得到y ＝|sin x |的图象，如图．探究2 方程|sin x |＝a ，a ∈R 在[0,2π]上有几解？【提示】当a ＜0时，方程|sin x |＝a 无解；当a ＝0时，方程|sin x |有三解；当0＜a ＜1时，方程|sin x |＝a 有四解；当a ＝1时，方程|sin x |＝a 有两解；当a ＞1时，方程|sin x |＝a 无解．在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．【精彩点拨】作图―→看图―→交点个数―→sin x ＝lg x 解的个数【自主解答】建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题.[再练一题]3．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．【解】 f (x )＝{ 3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π＜x ≤2π的图象如图所示，故由图象知1＜k ＜3.。

正弦函数余弦函数的图象与性质教案

正弦函数与余弦函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义及其在直角坐标系中的图象。

2. 掌握正弦函数和余弦函数的性质，包括周期性、对称性、奇偶性等。

3. 能够运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。

二、教学内容：1. 正弦函数和余弦函数的定义及图象。

2. 正弦函数和余弦函数的周期性及其应用。

3. 正弦函数和余弦函数的对称性及其应用。

4. 正弦函数和余弦函数的奇偶性及其应用。

5. 正弦函数和余弦函数的性质在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：正弦函数和余弦函数的图象与性质。

2. 难点：正弦函数和余弦函数性质的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦函数和余弦函数的定义、图象和性质。

2. 利用多媒体展示正弦函数和余弦函数的图象，增强学生的直观感受。

3. 运用例题解析，引导学生运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。

4. 开展小组讨论，促进学生对正弦函数和余弦函数性质的理解和应用。

五、教学过程：1. 引入：通过实例引入正弦函数和余弦函数的图象和性质。

2. 讲解：讲解正弦函数和余弦函数的定义、图象和性质。

3. 演示：利用多媒体展示正弦函数和余弦函数的图象，引导学生观察和分析。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固正弦函数和余弦函数的性质。

5. 应用：运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。

7. 作业：布置作业，巩固所学内容。

六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对正弦函数和余弦函数定义、图象和性质的理解程度。

2. 练习题：评估学生运用正弦函数和余弦函数性质解决实际问题的能力。

3. 小组讨论：评估学生在团队合作中提出观点、分析问题和解决问题的能力。

七、教学反馈与调整：1. 根据学生的课堂表现和作业完成情况，了解学生对正弦函数和余弦函数图象与性质的掌握程度。

2. 针对学生的薄弱环节，进行有针对性的辅导和讲解。

3. 调整教学方法和进度，确保学生能够扎实掌握正弦函数和余弦函数的图象与性质。