高中数学等差数列基础练习

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2020年高中数学必修5 等差数列基础复习(含答案)

A．100
B．99
C．98
D．97
6.在等差数列{an}中，已知 a3＋a8=10，则 3a5＋a7=( )
A．10
B．18
C．20
D．28
7.设{an}是公差不为 0 的等差数列，且 a24＋a25=a26＋a27，则该数列的前 10 项和 S10=( )
A．－10
B．－5
C．0
D．5
8.设等差数列{an}的公差为 d，且 a1a2=35,2a4－a6=7，则 d=( )
31.在等差数列{an}中，a10=18，前 5 项的和 S5=-15， (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．
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32.已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35，求 k 的值．
22.数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为 4 的等差数列．若 an=bn，则 n 的值为________．
23.已知 a，b，c 成等差数列，那么二次函数 y=ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴的交点有______ 个．
24.设{an}是等差数列，且 a1=3，a2＋a5=36，则{an}的通项公式为________．
A．138
B．135
C．95
D．23
17.数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3=-24，a18＋a19＋a20=78，则此数列的前 20 项和等于( )
A．160
B．180
C．200
D．220
18.在等差数列{an}中，S10=120，那么 a1＋a10 的值是( )

高中数学等差数列,等比数列基础题

2017年04月08日高中数学一．选择题（共21小题）1．在等差数列{a n}，若a3=16，a9=80，则a6等于（）A．13 B．15 C．17 D．482．已知等差数列{a n}满足a1=1，a n+2﹣a n=6，则a11等于（）A．31 B．32 C．61 D．623．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=6，则3a2+a16的值为（）A．24 B．18 C．16 D．124．已知正项等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，若a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，则a10=（）A．21 B．22 C．23 D．245．在等差数列{a n}中，若a3=9，a6=15，则a12等于（）A．3 B．12 C．27 D．366．已知等差数量{a n}前5项和为35，a5=11，则a4=（）A．9 B．10 C．12 D．137．若公差为2的等差数列{a n}的前9项和为81，则a9=（）A．1 B．9 C．17 D．198．已知数列{a n}是等差数列，a3+a13=20，a2=﹣2，则a15=（）A．20 B．24 C．28 D．349．在等差数列{a n}中，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则a6=（）A．8 B．6 C．4 D．310．数列{a n}满足a1=0，﹣=1（n≥2，n∈N*），则a2017=（）A．B．C．D．11．若数列{a n}中，a n=43﹣3n，则S n最大值n=（）A．13 B．14 C．15 D．14或1512．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．213．在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．13214．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．14715．已知等差数列{a n}满足：a2=2，S n﹣S n﹣3=54（n＞3），S n=100，则n=（）A．7 B．8 C．9 D．1016．等差数列{a n}中，若a3=6，a6=3，则a9等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．117．在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．12618．在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是（）A．32 B．39 C．46 D．7819．等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．620．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=55，则a3+a8=（）A．5 B．C．10 D．1121．已知{a n}是等差数列，且公差d≠0，S n为其前n项和，且S5=S6，则S11=（）A．0 B．1 C．6 D．11二．解答题（共9小题）27．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，已知a5=9，S7=49．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n•2n，求数列{b n}的前n项和．28．已知在等差数列{a n}中，a2=4，a5+a6=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求b1+b2+…+b10．2017年04月08日597459648的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2017•红桥区模拟）在等差数列{a n}，若a3=16，a9=80，则a6等于（）A．13 B．15 C．17 D．48【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3=16，a9=80，得2a6=a3+a9=16+80=96，∴a6=48．故选：D．2．（2017•许昌二模）已知等差数列{a n}满足a1=1，a n+2﹣a n=6，则a11等于（）A．31 B．32 C．61 D．62【解答】解：∵等差数列{a n}满足a1=1，a n+2﹣a n=6，∴a3=6+1=7，a5=6+7=13，a7=6+13=19，a9=6+19=25，a11=6+25=31．故选：A．3．（2017•抚州模拟）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=6，则3a2+a16的值为（）A．24 B．18 C．16 D．12【解答】解：∵a3+a8=6，∴3a2+a16=2a2+a2+a16=2a2+2a9=2（a3+a8）=12．故选：D．4．（2017•九江二模）已知正项等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，若a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，则a10=（）A．21 B．22 C．23 D．24【解答】解：设公差为d，a3=+2d由a1+a2+a3=15，即3a2=15，∴a2=5，∴a1=5﹣d，a3=5+d又a1+2，a2+5，a3+13成等比数列，可得：（a2+5）2=（a1+2）（a3+13）∴100=（7﹣d）（18+d）解得：d=2或d=﹣13∵等差数列{a n}是正项数列∴d=﹣13（舍去）．∴a1=3．a n=a1+（n﹣1）d．∴a10=21故选A5．（2017•西青区模拟）在等差数列{a n}中，若a3=9，a6=15，则a12等于（）A．3 B．12 C．27 D．36【解答】解：在等差数列{a n}中，a3，a6，a9，a12构成等差数列，设新数列构成为d，则d=a6﹣a3=15﹣9=6，∴a12=a3+3d=9+3×6=27．故选：C．6．（2017•马鞍山一模）已知等差数量{a n}前5项和为35，a5=11，则a4=（）A．9 B．10 C．12 D．13【解答】解：设等差数列的首项为a1，∵a5=11，S5=35，∴，解得：a1=3．∴d=．∴a4=a1+3d=3+3×2=9．故选：A．7．（2017•福建模拟）若公差为2的等差数列{a n}的前9项和为81，则a9=（）A．1 B．9 C．17 D．19【解答】解：∵公差为2的等差数列{a n}的前9项和为81，∴，解得a1=1，∴a9=1+（9﹣1）×2=17．故选：C．8．（2017•安徽模拟）已知数列{a n}是等差数列，a3+a13=20，a2=﹣2，则a15=（）A．20 B．24 C．28 D．34【解答】解：∵a3+a13=2a8=20，∴a8=10，又a2=﹣2，∴d=2，得a15=a2+13d=24．故选：B．9．（2017•太原一模）在等差数列{a n}中，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则a6=（）A．8 B．6 C．4 D．3【解答】解：∵等差数列{a n}中，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+10d）=36+3（a1+7d+a1+9d）=36，∴12a1+60d=12（a1+5d）=36，∴a6=a1+5d=3．故选：D．10．（2017•贵阳一模）数列{a n}满足a1=0，﹣=1（n≥2，n∈N*），则a2017=（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=0，﹣=1（n≥2，n∈N*），∴=1，∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）=n，∴，解得a2017=．故选：C．11．（2017•宝清县校级一模）若数列{a n}中，a n=43﹣3n，则S n最大值n=（）A．13 B．14 C．15 D．14或15【解答】解：∵数列{a n}中，a n=43﹣3n，∴a1=40，∴S n=是关于n的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n=，又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故S n取得最大值时，n=14．故选B．12．（2017•南关区校级模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．13．（2017•衡阳一模）在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【解答】解：在等差数列{a n}中，a9=a12+3，∴，解a1+5d=6，∴数列{a n}的前11项和S11=（a1+a11）=11（a1+5d）=11×6=66．故选：C．14．（2017•葫芦岛一模）一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【解答】解：等差数列{a n}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．15．（2017•南关区校级模拟）已知等差数列{a n}满足：a2=2，S n﹣S n﹣3=54（n＞3），S n=100，则n=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵等差数列{a n}满足：a2=2，S n﹣S n﹣3=54（n＞3），S n=100，∴a n+a n﹣1+a n﹣2=54（n＞3），又数列{a n}为等差数列，∴3a n=54（n≥2），﹣1=18．（n≥2），∴a n﹣1又a2=2，S n=100，∴S n===100，∴n=10．故选：D．16．（2017•河北区模拟）等差数列{a n}中，若a3=6，a6=3，则a9等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：等差数列{a n}中，∵a3=6，a6=3，∴，解得a1=8，d=﹣1，∴a9=a1+8d=8﹣8=0．故选：C．17．（2017•永州二模）在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．21 B．35 C．63 D．126【解答】解：∵在等差数列{a n}中，2a7=a9+7，∴2（a1+6d）=a1+8d+7，∴a1+4d=a5=7，∴数列{a n}的前9项和S9==63．故选：C．18．（2017•抚顺一模）在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是（）A．32 B．39 C．46 D．78【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+a11=6，∴其前13项的和：S13==．故选：B．19．（2017•大庆二模）等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n 项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故选：C．20．（2017•广安模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=55，则a3+a8=（）A．5 B．C．10 D．11【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=55，∴S10===5（a3+a8）=55，解得a3+a8=11．故选：D．21．（2017•贵阳一模）已知{a n}是等差数列，且公差d≠0，S n为其前n项和，且S5=S6，则S11=（）A．0 B．1 C．6 D．11【解答】解：∵{a n}是等差数列，且公差d≠0，S n为其前n项和，且S5=S6，∴a6=S6﹣S5=0，∴S11=（a1+a11）=11a6=0．故选：A．二．解答题（共9小题）22．（2016春•惠安县校级期末）已知数列{a n}是首项为1，且公差不为0的等差数列，而等比数列{b n}的前3项分别是a1，a2，a6．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）如果b1+b2+b3+…+b n=5，求正整数n的值．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，…（1分）∵a1，a2，a6成等比数列，∴，…（2分）∴（1+d）2=1×（1+5d），由d≠0，解得d=3，…（5分）∴a n=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．…（6分）（2）∵等比数列{b n}的前3项分别是a1，a2，a6．∴数列{b n}的首项b1=a1=1，公比为q==4，…（7分）由b1+b2+b3+…+b n=5，得：b1+b2+b3+…+b n==5，解得n=2．…（11分）∴正整数n的值是2．…（12分）23．（2016春•郫县期末）已知数列{a n}是一个等差数列（1）a1=1，a4=7，求通项公式a n及前n项和S n；（2）设S7=14，求a3+a5．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则，∴；（2）∵，∴a1+a7=4，由等差数列的性质，得a3+a5=a1+a7=4．24．（2016秋•伊宁市校级期末）已知等比数列{a n}，a1=2，a4=16（1）求数列{a n}的通项公式．（2）求S10的值．【解答】解：（1）由题意，{a n}是等比数列{a n}，设公比为q，∵a1=2，a4=16，即a4=a1•q3=16，解得：q=2，通项公式a n=a1•q n﹣1=2n．（2）根据等比数列的前n项和S n=则S10=．25．（2016秋•桂林期末）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2，S7=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2an，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=n﹣1．（2）由（1）可得b n=2n﹣1，∴{b n}为以1为首项，以2为公比的等比数列，∴T n==2n﹣1．26．（2016春•扬州期末）已知等差数列{a n}中，a3=8，a6=17．（1）求a1，d；（2）设b n=a n+2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由可解得：a1=2，d=3．（2）由（1）可得a n=3n﹣1，所以，所以27．（2016秋•珠海期末）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，已知a5=9，S7=49．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n•2n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S7=7（a1+a7）=49，得：a4=7，又∵a5=9，∴公差d=2，a1=1，∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1 （n∈N+），（2）b n=a n•2n=（2n﹣1）•2n，令数列{b n}的前n项和为T n，T n=1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）•2n…①2 T n=1×22+3×23++…+（2n﹣5）×2n﹣1+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1…②﹣T n=2+2（22+23++…+2n﹣1+•2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=2+2n+2﹣8﹣+（2n﹣1）•2n+1；∴T n=（2n﹣3）2n+1+6．28．（2016秋•月湖区校级期中）已知在等差数列{a n}中，a2=4，a5+a6=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求b1+b2+…+b10．【解答】解：（1）∵由题意可知，解得a1=3，d=1，∴a n=n+2；（2）∵，∴．29．（2016秋•延川县校级期中）已知等差数列{a n}的前n项和，（1）求此数列的通项公式；（2）求S n的最小值．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，设其首相为a1，公差为d，等差数列{a n}的前n项和，∴a1=S1=1﹣10=﹣9，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣10n）﹣[（n﹣1）2﹣10（n﹣1）]=2n﹣11．n=1时，2n﹣11=﹣9=a1，∴a n=2n﹣11．（2）∵等差数列{a n}的前n项和：=（n﹣5）2﹣25，∴当n=5时，S n取最小值S5=﹣25．30．（2016春•仙居县校级期中）设等差数列{a n}的前n项和公式是S n=5n2+3n，求（1）a1，a2，a3；（2）{a n}的通项公式．【解答】解：解：（1）由S n=5n2+3n，得a1=S1=8，，=54﹣26=28；（2）当n≥2时，=10n﹣2．验证a1=8适合上式，∴a n=10n﹣2．。

高中数学等差数列练习题

一、等差数列选择题1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（） A ．2B ．43C ．4D ．4-2．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米3．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a nb n =+，则2121S T 的值为（）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．494．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（） A ．8B ．13C ．26D ．1625．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（） A ．29B ．38C ．40D ．587．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．278B ．52C ．3D ．48．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2B ．4C ．8D ．169．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（） A ．8B ．4C ．12D ．1610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．24011．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（） A ．24B ．39C ．104D ．5212．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S13．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12B ．20C ．40D ．100 14．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（） A ．9B ．5C ．1D ．5915．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（） A ．18B ．19C ．20D ．2116．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m na a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 17．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩18．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 19．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．420．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列22．题目文件丢失！23．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >24．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4B ．－2C ．0D ．225．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=26．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-27．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <28．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（） A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅29．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列30．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 2．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 3．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 4．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=，故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.5．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ．【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-，所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤，当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确．又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．6．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 7．A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=，所以11298a d a d +=+，即1a d =-，所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选：A 8．A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解．【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =，即项数是8，故选：A. 10．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 11．D 【分析】根据等差数列的性质计算求解．【详解】由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，74a =，∴11313713()13134522a a S a +===⨯=．故选：D ． 12．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭，所以20S 最大. 故选：B. 13．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 14．B由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B 15．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 16．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误；对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 17．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 18．C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 19．B 【分析】由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n n n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-，由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=，整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解.二、多选题21．ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ．【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4，∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=， ∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---， ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题22．无23．BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-，当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.24．AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 25．BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.26．AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD. 27．AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 28．ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断． 29．AD 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 30．AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.。

高中数学-等差数列的性质练习

高中数学-等差数列的性质练习[A 基础达标]1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．10 6解析：选B.因为数列{a n }为等差数列，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15. 2．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：选A.由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，即3a 5＝9，所以a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．3．已知{a n }，{b n }是两个等差数列，其中a 1＝3，b 1＝－3，且a 20－b 20＝6，那么a 10－b 10的值为( )A ．－6B ．6C ．0D ．10 解析：选B.由于{a n }，{b n }都是等差数列，所以{a n －b n }也是等差数列，而a 1－b 1＝6，a 20－b 20＝6，所以{a n －b n }是常数列，故a 10－b 10＝6.故选B.4．已知{a n }是公差为正数的等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13的值为( )A ．105B ．120C ．90D ．75解析：选A.由a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝5，所以a 1＋a 3＝10.又a 1a 2a 3＝80，所以a 1a 3＝16，所以a 1＝2，a 3＝8或a 1＝8，a 3＝2.又等差数列{a n }的公差为正数，所以{a n }是递增数列，所以a 1＝2，a 3＝8，所以等差数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝5－2＝3，所以a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝105.5．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 等于( )A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q )D ．p ＋q 2解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d .因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d ，因为p ≠q ，所以d ＝－1.故a p ＋q ＝a p ＋[(p ＋q )－p ]d ＝q ＋(－1)q ＝0.6．在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，则a m ＝________．解析：因为m －n ，m ，m ＋n 成等差数列，又因为{a n }是等差数列，所以a m －n ，a m ，a m ＋n 成等差数列，所以a m ＝A ＋B 2. 答案：A ＋B 27．在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝________．解析：在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，所以a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 10)＋(a 2＋a 9)＋(a 3＋a 8)＋(a 4＋a 7)＋(a 5＋a 6)＝5(a 5＋a 6)＝20，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝20.答案：208．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________．解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 29．首项为a 1，公差d 为正整数的等差数列{a n }满足下列两个条件：(1)a 3＋a 5＋a 7＝93；(2)满足a n >100的n 的最小值是15，试求公差d 和首项a 1的值．解：因为a 3＋a 5＋a 7＝93，所以3a 5＝93，所以a 5＝31，所以a n ＝a 5＋(n －5)d >100，所以n >69d＋5. 因为n 的最小值是15，所以14≤69d＋5<15，所以6910<d ≤723，又d 为正整数，所以d ＝7，a 1＝a 5－4d ＝3.10．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．解：首项是8，公差是3的等差数列的通项公式为a n ＝3n ＋5；首项是12，公差是4的等差数列的通项公式为b m ＝4m ＋8.根据公共项的意义，就是两项相等，令a n ＝b m ，即n ＝4m 3＋1，该方程有正整数解时，m ＝3k ，k 为正整数，令k ＝1，得m ＝3，则n ＝5，因此这两个数列有最小的公共项为20，分别是第一个数列的第5项，第二个数列的第3项．[B 能力提升]11．已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…；{b n }：3，7，11，…，都有100项，则它们的公共项的个数为( )A ．20B ．23C ．25D ．27解析：选C.在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4，所以b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，所以n ＝4m 3－1.因为m ，n ∈N ＋，所以m ＝3k (k ∈N ＋)．又⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1000<n ≤100，所以0<m ≤75，所以0<3k ≤75，所以0<k ≤25，所以k ＝1，2，3，…，25，所以这两个数列共有25个公共项．故选C.12．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，那么称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中，c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________．解析：因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19.又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.答案：1913．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{b n }，试求出数列{b n }的通项公式．解：(1)设等差数列的公差为d .因为a 1＋a 2＋a 3＝12.所以a 2＝4，因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2，所以a n＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故a n＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.所以数列{b n}是以4为首项，4为公差的等差数列．所以b n＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故b n＝4n.14．(选做题)某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)解：设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a1，a2，…，a10，利润分别为b1，b2，…，b10，则{a n}，{b n}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，所以a n＝60－3(n－1)＝－3n＋63，b n＝8＋2(n－1)＝2n＋6，所以利润f(n)＝a n b n＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864.显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．。

【精品提分练习】高中数学达标练习：第1章 §22.1 第1课时等差数列的概念及通项公式

[A 基础达标]1．下列命题：①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；②数列a ，a －1，a －2，a －3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成a n ＝kn ＋b 的形式(k ，b 为常数)；④数列{2n ＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③④D ．③④解析：选C.②③④正确，①中公差为－2.2．已知{a n }是等差数列，a 1与a 2的等差中项为1，a 2与a 3的等差中项为2，则公差d ＝( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：选C.因为{a n }是等差数列，a 1与a 2的等差中项为1，a 2与a 3的等差中项为2，所以a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，两式相减得a 3－a 1＝2d ＝4－2，解得d ＝1.3．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{da n }是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为d 2的等差数列D ．公差为4d 的等差数列解析：选C.由于da n －da n －1＝d (a n －a n －1)＝d 2(n ≥2，n ∈N ＋)，故选C.4．若一个等差数列的首项a 1＝1，末项a n ＝41(n ≥3)，且公差为整数，则项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B.由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，解得d ＝40n －1.又d 为整数，n ≥3，则n ＝3，5，6，9，11，21，41，共7个．故选B.5．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d ＞825B ．d ＜825 C.875＜d ＜325 D ．875＜d ≤325解析：选D.设{a n }的通项公式为a n ＝125＋(n －1)d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 10＞1，a 9≤1，即⎩⎨⎧125＋9d ＞1，125＋8d ≤1，解得875＜d ≤325. 6．已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝15，2a 6＝a 3＋7，且a k ＝13，则k ＝____________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .所以a 4＋a 7＋a 10＝15，即a 1＋6d ＝5，①2a 6＝a 3＋7，即a 1＋8d ＝7，②联立解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a n ＝n －2，又因为a k ＝13，令k －2＝13.所以k ＝15.答案：157．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________．解析：由题意1a 3＋1，1a 5＋1，1a 7＋1成等差数列，所以2×1a 5＋1＝12＋1＋11＋1，解得a 5＝75. 答案：758．已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)的图像与x 轴的交点有________个．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，又Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0，所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．答案：1或29．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．解：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1（a 1＋d ）＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .10．已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)确定． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 2 017. 解：(1)证明：因为x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N ＋)，所以1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1，所以1x n －1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N ＋)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列． (2)由第一问知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53. 所以1x 2 017＝2 017＋53＝2 0223. 所以x 2 017＝32 022. [B 能力提升]11．(2018·“江淮十校”联考)古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金( )A.3726斤 B ．4924斤 C ．2斤 D ．8326斤解析：选D.由题意可知等差数列{a n }中⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝4a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝44a 1＋30d ＝3，解得d ＝－778，所以a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 2＋a 3)＋9d ＝8326.故选D. 12．首项为－24的等差数列{a n }，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是________．解析：设等差数列的公差为d ，则通项公式a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3，即公差的取值范围是⎝⎛⎦⎤83，3.答案：⎝⎛⎦⎤83，313．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1.(1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n )，求{b n }的通项公式．解：(1)证明：(a n ＋1－2n ＋1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关)，故数列{a n －2n }为等差数列，且公差d ＝1.(2)由第一问可知，a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1，故a n ＝2n ＋n －1，所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n )＝2n .14．(选做题)若数列{b n }对于n ∈N ＋，都有b n ＋2－b n ＝d (d 为常数)，则称数列{b n }是公差为d的准等差数列．例如c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数4n ＋9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足：a 1＝a ，对于n ∈N ＋，都有a n ＋a n ＋1＝2n .(1)求证：数列{a n }为准等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N ＋)，①所以a n ＋1＋a n ＋2＝2(n ＋1)，②②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N ＋)，所以数列{a n }是公差为2的准等差数列．(2)因为a 1＝a ，a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N ＋)，所以a 1＋a 2＝2×1，即a 2＝2－a .因为a 1，a 3，a 5，…是以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以2－a 为首项，2为公差的等差数列，所以当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋⎝⎛⎭⎫n 2－1×2＝n －a ，当n 为奇数时，a n ＝a ＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1×2＝n ＋a －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数n －a ，n 为偶数.。

28 高中数学等差等比数列证明专题训练

专题28高中数学等差等比数列证明专题训练【方法总结】1．等差数列的四个判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．2．等比数列的四个判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．提醒：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．【高考真题】1．(2022·全国甲理文) 记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n＋n ＝2a n ＋1． (1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．【题型突破】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26．(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }为等差数列． 2．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．3．在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ． 4．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3n ＋1＋3(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n 3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝a n n －a n 3n ，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，求T n ． 7．(2021·全国乙)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n＝2． (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．8．(2014·全国Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12S n －1＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n )λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．10．若数列{b n }对于任意的n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列．如数列c n ，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n ＋9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n ．(1)求证：{a n }是准等差数列；(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20．11．已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n － 1．(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． 13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式． 14．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等比数列．15．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，设b n ＝a 2n －1． (1)求b 2，b 3，并证明b n ＋1＝2b n ＋2；(2)①证明：数列{b n ＋2}为等比数列；②若a 2k ，a 2k ＋1,9＋a 2k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．16．(2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4．(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式．17．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n． (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数．(1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n项和为T n ，且满足12n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ； (2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．20．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数)．(1)试探究数列{a n＋λ}是不是等比数列，并求a n；(2)当λ＝1时，求数列{n(a n＋λ)}的前n项和T n．。

高中数学选择性必修一(人教版)《等差数列习题》

5.1等差数列的概念及通项公式1．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3－2n，则它的公差为() A．2 B.3C．－2 D.－32．等差数列{a n}中，a1＝13，a2＋a5＝4，a n＝33，则n等于()A．50 B.49 C．48 D.473．已知在等差数列{a n}中，a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝8，则a9－14a3＝()A．8 B.6C．4 D.34．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差是()A．－2 B.－3C．－4 D.－56．已知数列{a n}满足a n－1＋a n＋1＝2a n(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.7．已知b是a，c的等差中项，且a＞b＞c，若lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，a＋b＋c＝15，则a的值为________．1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5＝( ) A ．5 B.6 C ．8D.92．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B.8 C ．10D.143．已知数列{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B.－22C.12D.324．在等差数列{a n }中，a 2 016＝log 27，a 2 022＝log 2 17，则a 2 019＝( )A ．0 B.7 C ．1D.495．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( )A ．10 B.15 C ．20D.406．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．7．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 8．在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在数列{a n }中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________．9．已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，试求数列{b n }的通项公式．1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．2 B.3 C ．6D.72．数列{a n }为等差数列，满足a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝10，则数列{a n }的前21项和等于( )A.212B.21 C ．42D.843．已知一个等差数列共n 项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( )A ．24 B.26 C ．25D.284．(2020·云南玉溪第一中学月考)数列{a n }的首项a 1＝1，对于任意m ，n ∈N *，有a n ＋m＝a n ＋3m ，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．121 B.25 C ．31D.355．已知S n 是公差d 不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且S 3＝S 8，S 7＝S k (k ≠7)，则k 的值为( )A ．3 B.4 C ．5D.66．(2020·福州一中高二月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝22，S 5＝100，则S 10＝________.7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.8．已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 5S 6＋15＝0.若S 5＝5，则S n ＝________.9．已知等差数列{}a n 中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．5.4等差数列前n 项和的性质及应用1．一个等差数列共有10项，其奇数项之和是252，偶数项之和是15，则它的首项与公差分别是( )A ．12，12B ．12，1C ．1，12D ．12，22．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( ) A ．36 B.18 C ．72D.93．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和S n ′，如果S nS n ′＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，则a 11b 11的值是( ) A.74 B.32 C.43D.78714．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，设S 12＝λS 8，则λ＝( ) A.13 B.12 C ．2D.35．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B.S 16 C ．S 15或S 16D.S 176．(2020·深圳中学月考)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 取到最大值的n ＝________.7．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10，a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝70，则数列{a n }的前16项和等于________．8．在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则满足S n ＜0的n 的最大值为________． 9．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n . (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求S n 的最小值及对应的n 值．。

苏教版必修5高中数学2.2.1《等差数列的概念及通项公式》练习题

苏教版必修5高中数学2.2.1《等差数列的概念及通项公式》练习题2．2.1 等差数列的概念及通项公式1．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差．2．如果数列{an}是公差为d的等差数列，则a2＝a1＋d；a3＝a2＋d＝a1＋2d． 3．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．4．等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d＝a2＋(n－2)d＝a3＋(n－3)d，因此等差数列的通项公式又可以推广到an＝am＋(n－m)d(n＞m)．5．由an＝am＋(n－m)d，得d＝连线的斜率．6．如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A可以用a，b表示为A＝an－am，则d就是坐标平面内两点A(n，an)，B(m，am)n－ma＋b2，A称为a，b 的等差中项．7．如果数列{an}的通项公式an＝a・n＋b，则该数列是公差为a的等差数列． 8．等差数列的性质．若{an}是等差数列，公差为d，则：(1)an，an－1，…，a2，a1亦构成等差数列，公差为－d； (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…(m∈N)也构成等差数列，公差为md；(3)λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…(λ，μ是常数)也构成等差数列，公差为λd； (4)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N)是等差数列通项公式的推广，它揭示了等差数列中任意两项之间的关系，还可变形为d＝***an－am； n－m(5)若m，n，k，l∈N，且m＋n＝k＋l，则am＋an＝ak＋al，即序号之和相等，则它们项的和相等，例如：a1＋an＝a2＋an－1＝… ?基础巩固一、选择题1．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(B)A．1 B．2 C．3 D．4a1＋a5解析：由等差中项的性质知a3＝＝5，又a4＝7，∴公差d＝a4－a3＝7－5＝2.22．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则(A)A．a＝2，b＝5 B．a＝－2，b＝5 C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝－5解析：考查项数与d之间关系．3．首项为－20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(C)A．d＞ B．d≤ C.＜d≤ D.≤d＜?a10＞0，??－20＋9d＞0，20?5即?即＜d≤.2??a9≤0，??－20＋8d≤0，92209522095220952解析：由题意知?4．已知a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax＋2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(D)A．1个 B．0个 C．2个 D．1个或2个解析：∵Δ＝(2b)－4ac＝(a＋c)－4ac，∴Δ＝(a－c)≥0.∴A与x轴的交点至少有1个．故选D.5．(2021・重庆卷)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(B)222A．5 B．8 C．10 D．14解析：设出等差数列的公差求解或利用等差数列的性质求解．方法一设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.方法二由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8. 二、填空题6．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________．解析：根据等差数列的性质，a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝37. ∴原式＝37＋37＝74. 答案：747．(2021・广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．解析：由a3＋a8＝10得a1＋2d＋a1＋7d＝10，即2a1＋9d＝10， 3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2（2a1＋9d）＝20.答案：208．在等差数列{an}中，a3＝50，a5＝30，则a7＝________．解析：2a5＝a3＋a7，∴a7＝2a5－a3＝2×30－50＝10. 答案：10 三、解答题9．在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7. (1)求a9；(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．解析：(1)设首项为a1，公差为d，则2a1＋5d＝12， a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2，∴a9＝a4＋5d＝7＋5×2＝17.(2)由(1)知，an＝2n－1，由101＜an＜1 000知 101＜2n－1＜1 000， 1 001∴51＜n＜. 2∴共有项数为500－51＝449.111110．已知数列{an}中，a1＝，＝＋，求an.2an＋1an3111?1?111n＋5解析：由＝＋知??是首项为2，公差为的等差数列，∴＝2＋(n－1)×＝. an＋1an3?an?3an33∴an＝3*(n∈N)． n＋5?能力升级一、选择题11．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(B)A．0 B．3 C．8 D．11解析：由b3＝－2和b10＝12得b1＝－6，d＝2，∴bn＝2n－8，即an＋1－an＝2n－8，由叠加法得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(a8－a7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.∴a8＝a1＝3.12．等差数列{an}中，前三项依次为：151，，，则a101等于(D) x＋16xx*12A．50 B．13 332C．24 D．83解析：由11511＋＝2×解得x＝2，故知等差数列{an}的首项为，公差d＝，故a101x＋1x6x31211262＝a1＋100d＝＋100×＝＝8. 3123313．已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则等于(B)11A. B. 4211C．－ D．－24解析：设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝＝－2，故知－4－（－1）－5＋1＝－1，b2＝4－12a2－a1b2a2－a11＝. b22二、填空题14．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________． 21－714解析：∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列，其公差为＝＝7.22∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35. 答案：3515．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a2－4，则an＝________．解析：利用等差数列的通项公式求解．设等差数列公差为d，则由a3＝a2－4，得1＋2d＝(1＋d)－4，∴d＝4.∴d＝±2.由于该数列为递增数列，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N)．答案：2n－1(n∈N) 三、解答题16．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列{an}的通项公式．解析：由题设条件可得*2222??a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，? ?（a1＋d）（a1＋3d）（a1＋5d）＝45，???a1＝－1，??d＝2??a1＝11，??d＝－2.解得?或?*∴数列{an}的通项公式为an＝2n－3或an＝13－2n，n∈N. 17．已知111222，，是等差数列，求证：a，b，c是等差数列． b＋cc＋aa＋b112＋＝， b＋ca＋bc ＋a证明：由已知条件，得∴2b＋a＋c2＝. （b＋c）（a＋b）c＋a∴(2b＋a＋c)(a＋c)＝2(b＋c)(a＋b)．∴a＋c＝2b，即a，b，c是等差数列．222222感谢您的阅读，祝您生活愉快。

等差数列练习题(有答案)百度文库

一、等差数列选择题1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（） A ．2B ．43C ．4D ．4-2．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 3．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝24．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（） A ．160B ．180C ．200D ．2206．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11B ．12C ．23D ．247．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（） A ．177B ．83 C ．143D ．1039．题目文件丢失！10．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10B ．9C ．8D ．711．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（）A ．60B ．120C ．160D ．24012．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸13．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．4514．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（） A ．48B ．60C ．72D ．2415．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12B ．20C ．40D ．10016．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（）A ．7B ．9C ．21D ．4217．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<18．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+D ．1111p q m nS S S S +>+ 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（） A ．51B ．57C ．54D ．7220．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（） A ．32B ．7059C ．7159D ．85二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >23．题目文件丢失！24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1226．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <28．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2230．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 2．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 3．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 4．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 5．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 6．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 7．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 8．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =.故选：D 【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =，（3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =.9．无10．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ．【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 11．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==，解得88a =，所以()11515815151581202a a S a +===⨯=．故选：B 12．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和．【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-，则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）．故选：D ． 13．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加d 尺，由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=，解得45d =．故该女子织布每天增加45尺．故选：D 14．A 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A 15．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 16．C【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==，所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =，所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.17．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 18．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误；对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 19．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 20．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-，∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-，故选：C ．二、多选题21．ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 22．ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.23．无24．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=，故选：BC 25．ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-，对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 26．BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n-是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2na 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题. 27．AC 【分析】将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥，所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零，故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 28．AD 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题 29．AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 30．ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．。

高三等差数列练习题及答案解析

高三等差数列练习题及答案解析在高中数学的学习过程中，等差数列是一个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将提供一些高三等差数列练习题并给出详细的答案解析。

希望这些题目能够帮助学生们更好地理解和掌握等差数列的性质和运算规律。

练习题一：已知等差数列的首项为a，公差为d。

若第7项等于2a+5d，第10项等于8a+11d，则求该等差数列的首项和公差。

解析：设该等差数列的首项为a，公差为d。

根据已知条件，我们可以列出以下方程组：a + 6d = 2a + 5d --(1)a + 9d = 8a + 11d --(2)我们先来解第一个方程：将方程(1)化简，得到：d = a --(3)然后，我们将方程(3)代入方程(2)，得到：a + 9(a) = 8a + 11(a)10a = 18a由此可知，a = 0。

将a代入方程(3)，得到：d = 0所以该等差数列的首项为0，公差也为0。

练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若前m项和为Sm，其中m < n，则求从第m+1项到第n项的和。

解析：设从第m+1项到第n项的和为Sn'，则根据等差数列的性质，有：Sn' = Sn - Sm练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都乘以-1后得到新的数列，求新数列的前n项和。

解析：设新数列的前n项和为S'n。

根据等差数列的性质，有：S'n = -Sn练习题四：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都平方后得到新的数列，求新数列的前n项和。

设新数列的前n项和为S''n。

根据等差数列的性质，有：S''n = a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+(n-1)d)^2我们可以利用平方公式将每一项展开，然后进行简化，得到：S''n = (n/6)(2a^2 + (n-1)d^2 + 4ad(n-1) + 2d^2(n-1)(2n-1))练习题五：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

人教A版高中数学选择性必修第二册4.2等差数列经典例题及配套练习题

4.2 等差数列4.2.1等差数列的概念例1（1）已知等差数列*a n+的通项公式为a n=5−2n，求*a n+的公差和首项；（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由a n−a n;1=d即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.解：（1）当n⩾2时，由*a n+的通项公式a n=5−2n，可得a n;1=5−2(n−1)=7−2n.于是d=a n−a n;1=(5−2n)−(7−2n)=−2.把n=1代入通项公式a n=5−2n，得a1=5−2×1=3.所以，*a n+的公差为−2，首项为3.（2）由已知条件，得d=5−8=−3.把a1=8，d=−3代入a n=a1+(n−1)d，得a n=8−3(n−1)=11−3n.把n=20代入上式，得a20=11−3×20=−49.所以，这个数列的第20项是−49.例2 −401是不是等差数列−5，−9，−13，……的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看−401是否能使这个方程有正整数解.解：由a1=−5，d=−9−(−5)=−4，得这个数列的通项公式为a n=−5−4(n−1)=−4n−1.令−4n−1=−401，解这个关于n的方程，得n=100.所以，−401是这个数列的项，是第100项.练习1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差．（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111；（3）1，－2，3，－4，5，－6；（4）1，1112，56，34，23，712，12．【答案】（1）是等差数列，公差为−13；（2）不是等差数列；（3）不是等差数列；（4）是等差数列，公差为−112.【分析】根据等差数列的定义对（1）、（2）、（3）、（4）逐个分析即可求解.【详解】解：（1）由82−95=69−82=56−69=43−56=30−43=−13，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数−13，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为−13；（2）通过观察可知，1.1−1=0.1，1.11−1.1=0.01，⋯该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（3）通过观察可知，−2−1=−3，3−(−2)=5，⋯该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（4）由1112−1=56−1112=34−56=23−34=712−23=12−712=−112，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数−112，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为−112.2．求下列各组数的等差中项：（1）647和895；（2）−1213和2435.【答案】（1）771；（2）9215.【分析】由等差中项的定义直接求解即可.【详解】（1）设647和895的等差中项为a，则a=647:8952=771，故647和895的等差中项为771；（2）设−1213和2435的等差中项为b，则b=;1213:24352=9215，故−1213和2435的等差中项为9215.3．已知在等差数列*a n+中，a4+a8=20，a7=12．求a4．【答案】a4=6【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式性质知a4+a8=2a6，求得a6=10，进而求得公差d，即可得解.【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列*a n+中，a 4+a 8=2a 6=20，∴a 6=10∴d =a 7−a 6=12−10=2 ∴a 4=a 7−3d =12−6=64．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列．【答案】10.5，14，17.5【分析】利用等差数列通项公式能求出插入的这3个数．【详解】解：∵在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列， ∴ {a 1=7a 5=a 1+4d =21 ，解得d =3.5， ∴a 2=7+3.5=10.5， a 3=7+2×3.5=14， a 4=7+3×3.5=17.5，∴插入的这3个数为10.5，14，17.5．例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d （d 为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d 的取值范围.分析：这台设备使用n 年后的价值构成一个数列*a n +.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用*a n +的通项公式列不等式求解.解：设使用n 年后，这台设备的价值为a n 万元，则可得数列*a n +.由已知条件，得 a n =a n;1−d(n ⩾2).由于d 是与n 无关的常数，所以数列*a n +是一个公差为−d 的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以a 1=220−d ，于是 a n =a 1+(n −1)(−d)=220−nd . 根据题意，得{a 10⩾11,a 11<11,即{220−10d ⩾11,220−11d <11,解这个不等式组，得19<d⩽20.9.所以，d的取值范围为19<d⩽20.9.例4已知等差数列*a n+的首项a1=2，公差d=8，在*a n+中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列*b n+.（1）求数列*b n+的通项公式.（2）b29是不是数列*a n+的项？若是，它是*a n+的第几项？若不是，说明理由.分析：（1）*a n+是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为*b n+中的项，就可以利用等差数列的定义得出*b n+的通项公式；（2）设*a n+中的第n项是*b n+中的第c n项，根据条件可以求出n 与c n的关系式，由此即可判断b29是否为*a n+的项.解：（1）设数列*b n+的公差为d′.由题意可知，b1=a1，b5=a2，于是b5−b1=a2−a1=8.因为b5−b1=4d′，所以4d′=8，所以d′=2.所以b n=2+(n−1)×2=2n.所以，数列*b n+的通项公式是b n=2n.（2）数列*a n+的各项依次是数列*b n+的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列*c n+，则c n=4n−3.令4n−3=29，解得n=8.所以，b29是数列*a n+的第8项.例5 已知数列*a n+是等差数列，p，q，s，t∈N∗，且p+q=s+t.求证a p+a q=a s+a t. 分析：只要根据等差数列的定义写出a p，a q，a s，a t，再利用已知条件即可得证.证明：设数列*a n+的公差为d，则a p=a1+(p−1)d，a q=a1+(q−1)d，a s=a1+(s−1)d，a t=a1+(t−1)d.所以a p+a q=2a1+(p+q−2)d，a s+a t=2a1+(s+t−2)d.因为p+q=s+t，所以a p+a q=a s+a t.练习5．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用a n表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？【答案】a n=2n+13；a10=33【分析】可将每排座位数看成等差数列，列出通项公式.【详解】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项a1=15，d=2，则a n=15+(n−1)×2=2n+13，a10=2×10+13=33.综上可知，a n=2n+13，第10排的座位数a10=33个.6．画出数列a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率. 【答案】图象见解析，−3【分析】由递推关系a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6，求出a n(1≤n≤6)值，然后再作出图象，在根据斜率公式即可求出通过图象上所有点的直线的斜率.【详解】根据递推关系a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6，可知a1=18,a2=15,a3=12,a4= 9,a5=6,a6=3，作出数列a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6的图象，如下图所示：通过图象上所有点的直线的斜率a6;a16;1=3;185=−3.7．在等差数列*a n+中，a n=m，a m=n，且n≠m，求a m;n．【答案】2n【分析】利用等差数列的通项公式，解出a1、d，代入a m;n即可. 【详解】设等差数列*a n+的公差为d则{a n=a1+(n−1)d=ma m=a1+(m−1)d=n ⇒{a1=m+n−1d=−1所以a m;n=a1+(m−n−1)d=m+n−1−m+n+1=2n8．已知数列*a n+，*b n+都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列*c n+满足c n=a n+2b n．（1）数列*c n+是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．（2）若*a n+，*b n+的公差都等于2，a1=b1=1，求数列*c n+的通项公式．【答案】（1）数列*c n+是等差数列，证明见解析；（2）c n=6n−3.【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.【详解】（1）数列*c n+是等差数列，证明：因为数列*a n+，*b n+都是等差数列，公差分别为d1，d2，所以a n=a1+(n−1)d1,b n=b1+(n−1)d2，又因为c n=a n+2b n=(a1+2b1)+(n−1)(d1+2d2)，故c n:1−c n=,(a1+2b1)+n(d1+2d2)-−,(a1+2b1)+(n−1)(d1+2d2)-=d1+2d2，而c1=a1+2b1，所以数列*c n+是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列.（2）由（1）知：数列*c n+是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列，而c1=a1+2b1=3，d1+2d2=6，所以c n=3+6(n−1)=6n−3.9．已知一个无穷等差数列*a n+的首项为a1，公差为d．（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？【答案】（1）是等差数列，首项为a1+md，公差为d；（2）是等差数列，首项为首项为a1，公差为2d；（3）是等差数列，首项为a1+6d，公差为7d；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.【分析】（1）由题意可知，新的数列为：a m:1, a m:2, a m:3,⋯，可知新等差数列的首项及公差；（2）由题意可知，新的数列为：a1, a3, a5,⋯,a2n:1,⋯，可知新等差数列的首项及公差；（3）由题意可知，新的数列为：a7, a14, a21,⋯,a7n,⋯，可知新等差数列的首项及公差，进而得到猜想.【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列*a n+的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为：a m:1, a m:2, a m:3,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a m:1=a1+md，公差为d.（2）由题意可知，取出无穷等差数列*a n+中的所有奇数项，组成一个新的数列为：a1, a3, a5,⋯,a2n:1,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a1，公差为2d.（3）由题意可知，取出无穷等差数列*a n+中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为：a7, a14, a21,⋯,a7n,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a7=a1+6d，公差为a14−a7=7d. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.4.2.2等差数列的前n项和公式例6 已知数列*a n+是等差数列.（1）若a1=7，a50=101，求S50；（2）若a1=2，a2=52，求S10；（3）若a1=12，d=−16，S n=−5，求n.分析：对于（1），可以直接利用公式S n=n(a1:a n)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式S n=na1+n(n;1)2d求和；（3）已知公式S n=na1+n(n;1)2d中的a1，d和S n，解方程即可求得n.解：（1）因为a1=7，a50=101，根据公式S n=n(a1:a n)2，可得S50=50×(7:101)2=2700.（2）因为a1=2，a2=52，所以d=12.根据公式S n=na1+n(n;1)2d，可得S10=10×2+10×(10;1)2×12=852.（3）把a1=12，d=−16，S n=−5代入S n=na1+n(n;1)2d，得−5=12n+n(n;1)2×.−16/.整理，得n2−7n−60=0.解得n=12，或n=−5（舍去）.所以n=12.例7已知一个等差数列*a n+前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d.解：由题意，知S10=310，S20=1240.。

高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题(含答案解析)

高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题（含答案解析）一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d a 1＋4d24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．]2．设公比为q (q >0)的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23B [S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2 ，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0 ，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1 (舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1，故选B ．]3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝a 1＋2a 3，a 4＝1，则S 4＝( )A ．78B ．158C ．14D ．15D [由S 2＝a 1＋2a 3，得a 1＋a 2＝a 1＋2a 3，即a 2＝2a 3，又{a n }为等比数列，所以公比q ＝a 3a 2＝12，又a 4＝a 1q 3＝a 18＝1，所以a 1＝8.S 4＝a 11－q 41－q＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.故选D ．]4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0,a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]5．(2018·衡水模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [在等比数列中，因为S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，所以a m ＝S m －S m －1＝－11－5＝－16，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝32.则公比q ＝a m ＋1a m＝32－16＝－2，因为S m ＝－11，所以a 1[12m ]1＋2＝－11，①又a m ＋1＝a 1(－2)m ＝32，② 两式联立解得m ＝5，a 1＝－1.] 6．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1B [a na 2n ＝a 1n －1da 12n －1d ＝a 1－d ＋nda 1－d ＋2nd，若a 1＝d ，则a na 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.] 7．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为( )A ．9B ．27C ．54D ．72B [根据等比数列的基本性质有a 2a 10＝a 26＝6a 6，a 6＝6，所以b 4＋b 6＝a 6＝6，所以S 9＝9b 1＋b 92＝9b 4＋b 62＝27.]8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{a n }中，a 2＝8,16a 24＝a 1a 5，则数列{a n }的前n 项积T n 中的最大值为( )A ．T 3B ．T 4C ．T 5D ．T 6A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则16a 24＝a 1a 5＝a 2a 4＝8a 4，a 4＝12，q 2＝a 4a 2＝116，又q ＞0，则q ＝14，a n ＝a 2q n －2＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＝27－2n ，则T n ＝a 1a 2…a n ＝25＋3＋…＋(7－2n )＝2n (6－n )，当n ＝3时，n (6－n )取得最大值9，此时T n 最大，即(T n )max ＝T 3，故选A ．]二、填空题9．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为________．2 [根据等比中项有a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，化简得a 1＝－4d ，S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d 2a 1＋7d ＝－2d －d＝2.] 10．已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为________．10或11 [由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)，两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b2a＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n 取10或11时，a n 取最小值．]11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________． 16 [S 10＝10a 1＋a 102＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．]12．已知函数{a n }满足a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3，且a 1＝1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1的前20项和为________．780 [由a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3得2a n ＋3a n ＋1＝1a n ＋1＋1，即1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以12为首项，2为公差的等差数列，则1a n ＋1＝2n －32，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]三、解答题13．(2018·德阳二诊)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1 . (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n . [解] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n －1， ∴2na n a n ＋1＝2n2n －12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1，∴T n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1.14．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3；当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9；当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21. (2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n＋3＝(a1＋3)×2n－1，a n＝3(2n－1)(n∈N*)．。

高中数列基础试题及答案

高中数列基础试题及答案一、选择题1. 已知数列\( \{a_n\} \)的前几项为1, 2, 3, ..., 则该数列的第10项是多少？A. 10B. 11C. 12D. 132. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。

A. 17B. 14B. 13D. 12二、填空题3. 若数列\( \{a_n\} \)是等比数列，首项为2，公比为3，求第5项的值。

4. 已知数列\( \{b_n\} \)的通项公式为\( b_n = 2^n - 1 \)，求第8项的值。

三、解答题5. 已知数列\( \{c_n\} \)的前几项为1, 4, 9, 16, ..., 请找出该数列的通项公式，并求出第10项的值。

6. 一个等差数列的前5项之和为40，首项为2，求公差。

答案一、选择题1. 答案：A. 10解析：这是一个等差数列，首项\( a_1 = 1 \)，公差\( d = 1 \)，根据等差数列的通项公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，代入n=10得\( a_{10} = 1 + 9 = 10 \)。

2. 答案：A. 17解析：根据等差数列的通项公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，代入n=5，\( a_1 = 2 \)，\( d = 3 \)得\( a_5 = 2 + 4 \times 3 = 14 \)，但选项中没有14，因此需要检查题目是否有误。

二、填空题3. 答案：162解析：等比数列的通项公式为\( a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \)，代入n=5，\( a_1 = 2 \)，\( r = 3 \)得\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)。

4. 答案：255解析：根据通项公式\( b_n = 2^n - 1 \)，代入n=8得\( b_8 =2^8 - 1 = 256 - 1 = 255 \)。

三、解答题5. 解答：该数列的通项公式为\( c_n = n^2 \)。

高中数学等差数列练习题

一、等差数列选择题1．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（） A ．1B ．2C ．3D ．43．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 4．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（） A ．160B ．180C ．200D ．2205．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（）A ．350B ．351C ．674D ．6756．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（）A ．89B ．910C ．1011D ．11127．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2B ．4C ．8D ．168．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布9．题目文件丢失！10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15B ．20C ．25D ．3011．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 12．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55 13．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（）A ．9B ．12C ．15D ．1814．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（） A ．21B ．15C ．10D ．615．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（）A ．7B ．9C ．21D ．4216．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<17．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36B ．48C ．56D ．7218．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（） A ．51B ．57C ．54D ．7219．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（） A ．32B ．92C ．2D ．920．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（）A ．10B ．145C ．300D ．320二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=22．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列23．题目文件丢失！24．题目文件丢失！25．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝026．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（） A ．15B ．25C ．45D ．6527．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列28．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-30．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 2．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 3．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 4．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 5．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.6．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ，则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 7．A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max 22nn n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 8．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D.9．无10．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 11．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=，故选：C . 12．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 13．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6，所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=，故选：A 14．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=，故选：C. 15．C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==，所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =，所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.16．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 17．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=，所以5312a =，即54a =，所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 18．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 19．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--，所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 20．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

高中数学等差数列概念精选练习题(附解析)

高中数学等差数列概念精选练习题（附解析）一、选择题1．下列数列中，不是等差数列的是()A ．1，4，7，10B ．lg2,lg4,lg8,lg16C ．54322,2,2,2D ．10，8，6，4，22．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是()A ．{}2n a B ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n a D ．{}na 3．已知下列各数列，其中为等差数列的个数为()①4，5，6，7，8，…②3，0，-3，0，-6，…③0，0，0，0，…④1234,,,,10101010…A ．1B ．2C ．3D ．44．(2020·全国课时练习)已知数列{}n a ，c 为常数，那么下列说法正确的是()A ．若{}n a 是等差数列时，不一定是等差数列B ．若{}n a 不是等差数列时，一定不是等差数列C ．若是等差数列时，{}n a 一定是等差数列D ．若不是等差数列时，{}n a 一定不是等差数列5．下列说法正确是()A ．常数列一定是等比数列B ．常数列一定是等差数列C ．等比数列一定不是摆动数列D ．等差数列可能是摆动数列6．设a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列，则()A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列C ．D ．2a ，2b ，2c 依次成等比数列7．下列叙述正确的是()A ．1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．0,1,0,1,⋅⋅⋅是常数列C ．数列0,1,2,3,⋅⋅⋅的通项n a n=D ．数列{}21n +是递增数列8．已知数列{}n a 满足10a >，对一切n ∈+N ，112n n a a +=，则数列{}n a 是()A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定9．若数列{}n a 的通项公式为5n a n =-+，则此数列是()A ．公差为-1的等差数列B ．公差为5的等差数列C ．首项为5的等差数列D ．公差为n 的等差数列10．由1a =4，3d =确定的等差数列{}n a ，当a n =28时，序号n 等于()A ．9B ．10C ．11D ．1211．(2020·南宁)在单调递增的等差数列{}n a 中，若31a =，2434a a =，则1a =()A ．1-B ．12-C ．0D ．1212．等差数列{}n a 中，37158a a a ++=，83a =，则9a =()A ．2B ．5C ．11D ．1313．在数列{}n a 中，1a =2，12n n a a +-=，则51a 的值为()A ．96B ．98C ．100D ．10214．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是()A ．31n -B ．32n +C ．32n -D ．31n +15．在等差数列{a n }中，若31a =-，公差d=2，则a 7=()A ．7B ．9C ．11D ．1316．已知等差数列{}n a 满足212730a a +=，则{}n a 中一定为零的项是()A ．3a B ．4a C ．5a D ．6a 17．已知等差数列{}n a 中1464,10a a a =+=那么24a a +=()A ．17B ．9C ．10D ．2418．已知数列{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==，则公差d =()A ．B ．4C ．8D ．1619．等差数列10,3,7,2--⋅⋅⋅的第1n +项是()A ．72n -B ．()712n -+C ．712n -+D ．()712n --20．已知a =，b =a,b 的等差中项为()A B CD ．21．已知数列{}n a 为等差数列，若2533a a a +=，且4a 与72a 的等差中项为6，则5a =()A ．0B ．1C ．2D ．322．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件23．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是()A ．d >3B ．d 72<C ．3≤d 72<D ．3<d 72≤24．已知数列{}n a 为等差数列，则下面不一定成立的是()A ．若21a a >，则31a a >B ．若21a a >，则32a a >C ．若31a a >，则21a a >D ．若21a a >，则121a a a +>25．在等差数列{}n a 中，已知15915a a a ++=,则46a a +=()A ．10B ．11C ．12D ．1326．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ，A ，C 成等差数列，且cos cos b a C ac A =+，则ABC 外接圆的面积为()A ．3πB ．23πC ．πD ．43π27．已知等差数列{}n a 的公差d 为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d 等于()A ．-4B ．-3C ．-2D ．-128．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋156n(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是()A ．a 12B ．a 13C ．a 12或a 13D ．不存在29．在等差数列{}n a 中,3645a a a +=+,且2a 不大于1,则8a 的取值范围为()A ．(],9-∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞D ．()9,+∞30．等差数列{}n a 中，公差0d ≠，当()1n n *>∈N 时，下列关系式正确的是()A ．112n na a a a +>B ．112n na a a a +<C ．112n n a a a a +=D ．112n na a a a +≥二、填空题31．已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则9a b +的最小值为_________.32．在等差数列{} n a 中，若288a a +=，则()2375a a a +-=___________．33．已知一等差数列{}n a 中依次的三项为5,34,65a a a -----，则a =______.34．若21m -，m ，21m +成等差数列，则m =______.35．已知()lg 72x -，()lg 45x -，()lg 1x +成等差数列，则log x=______．36．已知(1，3)，(3，-1)是等差数列{}n a 图像上的两点，若5是p ，q 的等差中项，则p q a a +的值为______。

新课改高中数学等差数列经典试题

等差数列练习（1）1．数列7,77,777,7777…的一个通项公式是______________________。

2．若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．4．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a=___________.5．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ ( )（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）196.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）A ．63B ．45C ．36D ．277．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（）A.5B.4C. 3D.28.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（）（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 188.成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。

9.已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a10．已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设nb n ac =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（）A ．55B ．70C ．85D ．10011. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。

高中数学等差数列专项练习(含答案)

等差数列专项练习1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8﹣S 2=30，则S 10=（） A ．40 B ．45 C ．50 D ．55 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，3813a a +=且735S =，则7a =（）A ．11B ．10C ．9D ．83．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若角,,A B C 成等差数列，边,,a b c 成等比数列，则sin sin A C ⋅的值为A ．34 B．12 D ．144．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若327a a =-，则4S 的值为 A ．15 B ．14 C ．13 D ．125．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（） A ．14 B ．21 C ．28 D ．356．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝（） A ．5 B ．8 C ．10 D ．147．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为 A ．5- B ．5 C ．52-D ．529．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（）（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）26010．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111a =-，376a a +=-，当n S 取最小值时，n =（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．811．已知两个等差数到{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且n n T S =137+-n n ，则55b a=（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．113．已知等差数列}{n a 的前n 项和为10532,20,5,a S a a S n 则-=-=+等于（） A 、－90 B 、－27 C 、－25 D 、0 14．已知{a n }为等差数列，1a +3a =2，则2a 等于（）A ．－1B ．1C ．3D ．715．设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }前8项的和为 A 、128 B 、80 C 、64 D 、5616．在等差数列{}n a 中，已知 69131620a a a a +++=，则S 21等于（） A ．100 B ．105 C ．200 D ．017．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则59b b =（）A ．16B ．8C ．4D ．218．在等差数列{}n a 中，已知5716a a +=，则该数列前11项和为11S =（） A ．176 B ．143 C ．88 D ．58 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（） A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．10110020．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =（） A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 21．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a += A ．100 B ．40 C ．20 D ．12 22．已知等差数列{}n a 中，15123456a a a a a a a +=++++=，则 A．．．30 D ．15 23．在等差数列{}n a 中，621129+=a a ，则数列{n a }的前11项和11S 等于（） A ．24 B ． 48 C ．66 D ．132 24．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则3a =（） A ．325 B ．2 C．．53225．已知{}n a 是等差数列，1017a =，其前10项的和1080S =，则其公差d =（） A ．1- B ．2- C ． 2 D ．126．设等差数列}{n a 和等比数列}{n b 首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a a （） A ．24 B ．25 C ．26 D ．2727．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若316,4S a ==，则5S 等于（） A ．2- B ．0 C ．5 D ．1028．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，832S =，则10S 等于（）A ．18B ．24C ．60D ．9029．在等差数列{a n }中，有a 6+a 7+a 8=12，则此数列的前13项之和为（） A ．24 B ．39 C ．52 D ．10430．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3426235a a a +-=，则7S 等于（） A ．28 B ．21 C ．14 D ．7。

等差数列的通项公式和前n项和

等差数列的通项公式和前n 项和★ 基础训练：1 等差数列{}n a 中，239,7a a ==，则公差d=2 等差数列{}n a 中，3527,6a a a ==+，则6a =3 100是不是数列2,9,16，……的项？如果是，是第几项？4 等差数列{}n a 中，若1591317117a a a a a -+-+=，则315a a +=5 等差数列{}n a 中，15601058,20,a a a ===6 已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数。

7 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a ==，则公差d= 8 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11,a a ==则7S = ★ 例题精讲：例1 若{}n a 为等差数列，15608,20a a ==，求75a 。

例2 已知数列{}n a 满足1144,4,(1)n n a a n a -==->，记12n n b a =-。

（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式。

例3 已知等差数列{}n a 中，14724615,45a a a a a a ++==，求此数列的通项公式。

例4 成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这四个数。

例5 已知下面几个数列{}n a 额前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式：（1）223n S n n =-；（2）32n n S =-例6 已知等差数列{}n a 中，（1）131,,1522n a d S ==-=-，求n 及n a （2）11,512,1022,n n a a S ==-=-求d ；（3）524,S =求24a a +。

★ 巩固练习：1 已知等差数列{}n a 的通项公式32n a n =-，则它的公差d=2 已知等差数列{}n a 中，首项14,a =公差2d =-，则通项公式n a =3 已知数列{}n a 中，111,1n n a a a +==+，则2009a =4 已知a b ==a ，b 的等差中项为 5 在—1与7之间插入3个数a ，b ，c ，使得这5个数成等差数列，求这5个数。

高中数学数列基础练习及参考答案

高中数学数列基础练习及参考答案一、填空题1. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求第10项。

解：首项 a1 = 5，公差 d = 3，要求第10项 an，可以使用等差数列通项公式 an = a1 + (n-1)d。

将已知的数值代入：an = 5 + (10-1)3 = 5 + 9 × 3 = 5 + 27 = 32。

2. 某等差数列的前四项依次是4, 7, 10, 13，求公差。

解：已知数列的前四项分别为4, 7, 10, 13，设公差为d。

根据等差数列的性质，第2项减去第1项等于公差，第3项减去第2项仍然等于公差，以此类推。

则可得到以下方程组：7 - 4 = d10 - 7 = d13 - 10 = d解以上方程组可得公差 d = 3。

3. 某等差数列的前四项和为30，公差为2，求首项。

解：已知数列的前四项和为30，公差为2，设首项为a1。

根据等差数列的性质，可得到以下方程：(1/2)[2a1 + 3(2a1+2)] = 30化简得：[2an + 3an + 6] = 60整理得：5an = 54则 an = 10.8因为 a1 = 10.8 - 3(2) = 4.8，所以首项为4.8。

二、选择题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，求第6项的值。

A. 8B. 11C. 13D. 15解：根据等差数列通项公式，第6项 an = a1 + (n-1)d = 3 + (6-1)2 =3 + 5 × 2 = 3 + 10 = 13。

所以选项 C. 13 正确。

2. 若等差数列的公差为-4，前五项的和为10，求该等差数列的首项。

A. -5B. -4C. -2D. 1解：设等差数列的首项为 a1，则根据等差数列和的公式，前五项和为：S5 = (5/2)[2a1 + 4d] = 10化简得：a1 + 2d = 2代入公差d为-4，得到 a1 - 8 = 2整理得：a1 = 10所以选项 D. 1 正确。

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