2013高考数学专题闯关教学课件：概率、随机变量及其分布列(共49张PPT)

为__________．
解析： (1)圆心 C 到 l 的距离为
|－ 25|
2
4 ＋3 (2)如图 l′∥ l，且 O 到 l′的距离为 3， sin∠ ODE 3 ＝ ＝ ， 所以∠ ODE＝60° ， 从而∠ BOD＝ 60° ， 2 2 3 1 点 A 应在劣弧 BD 上，所以满足条件的概率为 . 6 3
(2)“ m 为奇数”的概率和“ m 为偶数”的概率不 相等． 因为 m 为奇数的概率为 P(m＝ 3)＋P(m＝ 5)＋P(m 2 2 2 3 ＝ 7)＝ ＋ ＋ ＝ . 16 16 16 8 3 5 m 为偶数的概率为 1－ ＝ ，这两个概率值不相 8 8 等．
相互独立事件、独立重复试 验的概率
区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，
例3
某市公租房的房源位于 A 、 B 、 C 三个片
且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求
该市的任4位申请人中： (1) 没有人申请A片区房源的概率； (2) 每个片区的房源都有人申请的概率．
4 1 【解】 ( )法一：所有可能的申请方式有 3 种，
而“没有人申请 A 片区房源”的申请方式有 24 种． 记“没有人申请 A 片区房源”为事件 A，则 24 16 P(A) ＝ 4＝ . 3 81
(2)所有可能的申请方式有 34 种， 而“每个片区的
3 房源都有人申请”的申请方式有 C2 A 4 3种．
记“每个片区的房源都有人申请”为事件 B，从 而有 P(B)
2 3 C 4A3 4 ＝ 4 ＝ .
3
9
【归纳拓展】
(1) 求复杂事件的概率，要正确
分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几 个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个
－
n
k＝ 0
称这样的随机变量 ξ 服从参数 n 和 p 的二项分布， 记为 ξ～ B(n，p)．
3．离散型随机变量的期望与方差
若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ x1 P p1 x2 „ p2 „ xn pn „ „
则称 E(ξ) ＝ x1p1 ＋ x2p2 ＋„＋ xnpn ＋„为 ξ 的数
学期望，简称期望．
量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品．现用两种新配方 (分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值， 得到下面试验结果．
(1)分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质
品率； (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位： 元 )与其质量指标值 t 的关系式为 － 2， t<94， y＝2，94≤ t<102， 4， t≥102. 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X(单位：元 )，求 X 的分布列及数学期望．(以试 验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产 品的质量指标值落入相应组的概率)
法二： 设对每位申请人的观察为一次试验， 这是 4 次独立重复试验． 1 记“申请 A 片区房源”为事件 A，则 P(A) ＝ . 3 由独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计 算公式知， 没有人申请 A 片区房源的概率为 P4(0) ＝ C0 4
1 0· 2 4＝16. 3 3 81
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部
结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有 时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区 域．
变式训练1
＋3y＝25.
已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x
(1)圆C的圆心到直线l的距离为__________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率
概率、随机变量及其分布列
主干知识整合
1．几种事件的概率 (1)古典概型的概率 m A所含的基本事件数 P(A)＝ ＝ . n 基本事件的总数 (2)几何概型的概率 P(A)＝ 构成事件 A的区域长度面积或体积 . 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
(3)互斥事件有一个发生的概率 P(A∪ B)＝ P(A)＋P(B)． (4)条件概率 P AB P(B|A)＝ . P A (5)相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝ P(A)P(B)．
例1
1 C. 2
2 D. 3
【解析】
这是一道几何概型的概率问题，点 Q
1 · |AB|· |AD | S△ ABE 2 取自△ ABE 内部的概率为 ＝ ＝ |AD| S矩形 ABCD |AB|· 1 .故选 C. 2 【答案】
C
【归纳拓展】
(1) 当试验的结果构成的区域为
长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑 使用几何概型求解．
(2)用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值
落入区间 [90， 94)， [94， 102) ， [102， 110]的频 率分别为 0.04， 0.54， 0.42， 因此 P(X＝－ 2)＝0.04， P(X＝ 2)＝ 0.54， P(X＝4)＝ 0.42， 即 X 的分布列为
X P
P(A)＝P2＋P3＝0.49＋0.24＝0.73，
P(B)＝0.8×0.8×0.2×3＋0.8×0.8×0.8＝
0.896.
故P(B)>P(A)，即该人选择每次在乙袋中取球得
分超过1分的概率大于该人选择先在甲袋中取一
球，以后均在乙袋中取球得分超过1分的概率．
离散型随机变量及分布列
例4 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质
(2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 ξ 是一 个随机变量，其所有可能取的值为 0,1,2,3，„， n， k k n－ k 并且 P(ξ＝k)＝ Cnp q (其中 k＝0,1,2，„，n，q＝1 － p)．
k n k 显然 P(ξ＝k)≥ 0(k＝ 0,1,2，„， n)， Ck p ＝1. n q
解：(1)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙． 2 1 1 ∴甲获第一的概率为 × ＝ . 3 4 6 1 4 丙获第二，则丙胜乙，其概率为 1－ ＝ . 5 5 1 4 2 ∴甲获第一名且丙获第二名的概率为 × ＝ . 6 5 15
(2)ξ 可能取的值为 0、 3、 6. 2 1 甲两场比赛皆输的概率为 P(ξ＝0)＝ (1－ )(1－ ) 3 4 1 ＝ . 4 2 1 1 甲两场只胜一场的概率为 P(ξ＝3)＝ × (1－ )＋ 3 4 4 2 7 × (1－ )＝ . 3 12 2 1 1 甲两场皆胜的概率为 P(ξ＝6)＝ × ＝ . 3 4 6
(6)独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为
k k n－ k Pn(k)＝ Cnp (1－p) ， k＝ 0,1,2，„， n.
2．常见的离散型随机变量的分布
(1)两点分布
分布列为(其中0＜p＜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
ξ P
0 1－ p
1 p
【解】 (1)由试验结果知，用 A 配方生产的产品 22＋ 8 中优质品的频率为 ＝ 0.3，所以用 A 配方生 100 产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的 32＋ 10 频率为 ＝ 0.42，所以用 B 配方生产的产品 100 的优质品率的估计值为 0.42.
变式训练2
有两枚大小相同、质地均匀的正四
面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字
1,2,3,5. 同时投掷这两枚玩具一次，记 m 为两个
朝下的面上的数字之和． (1)求事件“m不小于6”的概率； (2)“m为奇数”的概率与“m为偶数”的概率 是否相等？并给出说明．
解：因为玩具的质地是均匀的，所以玩具各面朝 下的可能性相等， 出现的可能情况有： (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,5)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)， (3,1)， (3,2)， (3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共 16 种． (1)事件“ m 不小于 6”包含(1,5)， (2,5)，(3,5)， (3,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共 8 个基本事件， 8 1 所以 P(m≥ 6)＝ ＝ . 16 2
－2 0.04
2 0.54
4 0.42
X 的 数 学 期 望 E(X) ＝ － 2× 0.04 ＋ 2×0.54 ＋ 4×0.42＝ 2.68.
【归纳拓展】
(1) 求离散型随机变量的分布列
的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示 的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，
求出概率．
(2)求随机变量的均值和方差的关键是正确求出 随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布( 或两点分布)，则可直接使用公式求解．
(1)求q的值；
(2)试比较此人选择每次都在乙袋中取球得分超
过1分与选择上述方式取球得分超过1分的概率
的大小．
解 ： (1) 依 题 意 ， 得 (1 － q)×0.8×0.2 ＋ (1 － q)×0.2×0.8＝0.24，解之，得q＝0.25. (2)设此人按题中方式取球结束后得n分的概率为 Pn. P2 ＝ 0.25×(1 － 0.8)×(1 － 0.8) ＋ (1 － 0.25)×0.8×0.8＝0.49， P3＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24. 若用A表示事件“该人选择先在甲袋中取一球， 以后均在乙袋中取球得分超过1分”，用B表示 事件“该人选择都在乙袋中取球，得分超过1分 ”，则
4 2 1 16 P(C)＝ ( ) × ＝ . 5 5 125 所以， 取球次数不超过 3 次的概率是 P(A＋ B＋ C) 1 4 16 61 ＝ P(A)＋ P(B)＋ P(C)＝ ＋ ＋ ＝ . 5 25 125 125 61 即取球次数不超过 3 次的概率是 . 125