(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
高考数学二级结论快速解题：专题15 圆锥曲线的中点弦问题(原卷版)
专题15圆锥曲线的中点弦问题一、结论1.在椭圆C :22221(0)x y a b a b中:(特别提醒此题结论适用x 型椭圆)(1)如图①所示,若直线(0)y kx k 与椭圆C 交于A ,B 两点,过A ,B 两点作椭圆的切线l ,l ,有l l ,设其斜率为0k ,则202bk k a.(2)如图②所示,若直线(0)y kx k 与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为椭圆上异于A ,B 的点,若直线PA ,PB 的斜率存在,且分别为1k ,2k ,则2122b k k a.(3)如图③所示,若直线(0,0)y kx b k m 与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为弦AB 的中点,设直线PO 的斜率为0k ,则202b k k a.2.在双曲线C :22221(0,0)x y a b a b中,类比上述结论有:(特别提醒此题结论适用x 型双曲线)(1)202b k k a .(2)2122b k k a .(3)202b k k a.3.在抛物线C ：22(0)y px p 中类比1（3）的结论有00(0)pk y y.特别提醒：圆锥曲线的中点弦问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以通过联立+韦达定理求解.二、典型例题1．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为22124x y ，斜率为k的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（）A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若直线方程为22y x ，则ABC ．若直线方程为1y x ，则点M 坐标为1433，D ．若点M 坐标为 1,1，则直线方程为230x y ；【答案】D 【详解】不妨设,A B 坐标为 1122,,,x y x y ，则2211124x y ,2222124x y ，两式作差可得：121212122y y y y x x x x ，设 00,M x y ，则002y k x .对A ：02AB OM y k k k x，故直线,AB OM 不垂直，则A 错误；对B ：若直线方程为22y x ，联立椭圆方程2224x y ，可得：2680x x ，解得1240,3x x ，故1222,3y y ，则AB，故B 错误；对C ：若直线方程为y =x +1，故可得12y x ，即002y x ，又001y x ，解得0012,33x y ，即12,33M，故C 错误；此题对C 另解，直接利用二级结论，由于本题椭圆方程为22124x y ，是y 型椭圆，所以：202422a k k b ，故可得0012y x ，即002y x ，又001y x ，解得0012,33x y ，即12,33M，故C 错误；对D ：若点M 坐标为 1,1,则121k ，则2AB k ，又AB 过点 1,1，则直线AB 的方程为 121y x ，即230x y ，故D 正确.故选：D .【反思】本题考察椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，再使用二级结论时，注意先判断椭圆是x 型还是y 型，再利用结论求解.2．（2021·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知椭圆 2222:10x y E a b a b的右焦点F 与抛物线212y x 的焦点重合，过点F 的直线交E 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为 1,1 ，则E 的方程为（）A ．2214536x yB ．2213627x yC ．2212718x yD ．221189x y【答案】D 【详解】解：设 11,A x y 、 22,B x y ，若AB x 轴，则A 、B 关于x 轴对称，不合乎题意，将A 、B 的坐标代入椭圆方程得22112222222211x y a b x y a b ，两式相减得22221212220x x y y a b ，可得12121222120x x y y y y a x x b，因为线段AB 的中点坐标为 1,1 ，所以，122x x ，122y y ，因为抛物线212y x 的焦点为 3,0，所以 3,0F ，又直线AB 过点 3,0F ，因此1212101132AB y y k x x，所以，2221202a b，整理得222a b，又3c 218a ，29b ，因此，椭圆E 的方程为221189x y ，故选：D.另解：设 11,A x y 、 22,B x y ，若AB x 轴，则A 、B 关于x 轴对称，不合乎题意，因为抛物线212y x 的焦点为 3,0，所以 3,0F ，所以3c ，设线段AB 的中点坐标为 1,1M ，利用二级结论2222220(1)131OM ABOM FM b b b k k k k a a a 2212b a ，又因为229a b ，解得218a ，29b ，因此，椭圆E 的方程为221189x y，故选：D.【反思】在圆锥曲线中，涉及到中点弦问题，小题中，常用点差法，也可以直接使用二级结论，但是在解答题中，不建议直接使用二级结论，即使使用点差法，也需检验答案是否符合题意，否则，最后还是需要联立直线与圆锥曲线，再求解.3．（2021·湖北·高二阶段练习）已知斜率为1的直线与双曲线 2222:10,0x y C a b a b相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2CD ．3【答案】A 【详解】设 11,A x y 、 22,B x y 、 00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ，两式相减得2222121222x x y y a b ，所以2121221212y y x x b x x a y y ．因为1202x x x ，1202y y y ，所以21202120y y b x x x a y ．因为12121ABy y k x x ，002 OP y k x ，所以2212b a ，故222b a ，故ce a．故选：A.另解：直接利用双曲线中的二级结论，2222222202221223b b k k b a c a a e e a a.【反思】注意使用二级结论的公式，一定要先判断，第一判断曲线是椭圆，还是双曲线，还是抛物线，第二判断圆锥曲线是x 型，还是y 型，第三，根据判断选择合适的二级结论，代入计算.4．（四川省蓉城名校联盟2021-2022学年高二上学期期末联考理科数学试题）已知抛物线 220x py p ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）A ．3y B ．32yC ．3x D ．32x【答案】B【详解】解：根据题意，设 1122,,,A x y B x y ，所以2112x py ①，2222x py ②，所以，① ②得： 1212122x x x x p y y ，即1212122AB y y x x k x x p，因为直线AB 的斜率为1，线段AB 的中点的横坐标为3，所以121212312AB y y x x k x x p p，即3p ，所以抛物线26x y ，准线方程为32y .故选：B【反思】在抛物线C ：22(0)y px p 中类比1（3）的结论有00(0)pk y y，注意到本题的抛物线方程是 220x py p ，此时中点弦二级结论有0x k p，直接代入313p p，小题都可以用二级结论直接求解，但是注意先判断适用条件.5．（2021·江西·南昌市新建区第一中学高二期末（理））已知斜率为(0)k k 的直线l 与抛物线2:4C y x 交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM 的面积等于3，则k （）A ．14B ．13C ．12D．3【答案】B 【详解】由抛物线2:4C y x 知：焦点 1,0F 设 112200,,,,,,A x yB x y M x y 因为M 是线段AB 的中点，所以01201222x x x y y y将2114y x 和2224y x 两式相减可得： 2212124y y x x ，即121202y y k x x y∵000k y ∴00113,62OFM S y y ,022163k y.故选：B另解：因为抛物线方程2:4C y x ，设AB 的中点00(,)M x y ，由中点弦二级结论，可知：00(0)p k y y代入：02k y ，另焦点 1,0F ，因为面积3OFM S ，可知00113,62OFM S y y ，再代入0213k k y.【反思】中点弦，最典型的方法就是点差法，在判断条件满足二级结论时，可直接使用二级结论.6．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点)2在椭圆上．(1)经过点M （1，12）作一直线1l 交椭圆于AB 两点，若点M 为线段AB 的中点，求直线1l 的斜率；【答案】(1)12；.(1)解：由题设椭圆的方程为222+1,4x y b因为椭圆经过点(1,2，所以213+1,1,44b b 所以椭圆的方程为22+14x y .设1122(,),(,)A x y B x y ，所以22112222+44+44x y x y ，所以12121212()()4()()=0x x x x y y y y ，由题得12x x ，所以12121212()4()=0y y x x y y x x ，所以1212241=0y y x x，所以1241=0,=2AB AB k k ，所以直线1l 的斜率为12 ,经检验1l 的斜率等于12复合题意.【反思】在圆锥曲线中，涉及中点弦常用点差法，注意使用点差法，最后需检验，特别是多个答案时，更应该检验，最后保留下符合题意的答案。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
高考数学专题复习圆锥曲线中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题, 是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题； (2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)求弦中点的坐标问题.其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法 及中央对称变换法等.一、求中点弦所在直线方程问题在的直线方程. 解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)22 _ _ 2(4k1)x8( 2k k)x又设直线与椭圆的交点为 A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么x 1,x 2是方程的两个根,于是8(2k 2 k)x 1 x2—TT~2一"一,4k 1 2又M 为AB 的中点,所以 工一9 4^2一s 2 ,2 4k 1-1解得k-, 2故所求直线方程为 x 2y 4 0.2 2x y 例2过椭圆—— —1上一点P (-8, 0)作直线交椭圆于 Q 点,求PQ 中点的轨迹万 6436x 2例1过椭圆一 16 2y-1 内一点 M (2, 41)引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所,代入椭圆方程并整理得: _ 2 一4(2k 1)16 0解法二：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, 所以 x 1 x 2 4 , y 1 y 2 2,22又A 、B 两点在椭圆上,那么 x 1 4 y l.... 1 . (2)222两式相减得(x 1 x 2 ) 4( y 1 y 2 )所以Li- X21,即x 〔 x 2 4( y 〔 y 2) 2故所求直线方程为 x 2y 4 0. 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 那么另一个交点为 B(4- x ,2 y ), 由于A 、B 两点在椭圆上,所以有(4两式相减得x 2y 4 0, 由于过A 、B 的直线只有一条, 故所求直线方程为 x 2y 4 0.、求弦中点的轨迹方程问题 %), B (x 2,y 2), M (2, 1)为 AB 的中点,22_16 , x 2 4 y 2 16 ,0 ,k1kAB八,2A( x , y ),由于中点为M (2, 1),22x 24y 216 2-2x)24(2 y)2 16程.解法一：设弦PQ中点M ( x, y),弦端点P ( Xi, yi) , Q ( X2, y2),2 2那么有9X1216y12576,两式相减得9(x12 x22)9X2 16y2 576三、弦中点的坐标问题例3求直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1, y1), B(x2, y2),其中点y x 1P(x0,y o),由题意得2,y 4x消去y 得(x 1)2 4x,即x2 6x 1 0 ,所以x.六3, y. x. 1 2,即中点坐标为(3,2).解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于人(为」),B(x2,y2),其中点P(x0,y0),由题意得"24",两式相减得y22 y： 4(x2 x1),y2 4x2所以(y2 y1)(y2 y1)416(y：2、y2 ) 0,又由于x1 x2 2x, y1 y22y,所以9 2x(x1x2) 16 2y(y1 y2) 0,y1y29x 工所以—————,而k PQx1x216y化简可得9x2 72x 16y2 0 (x 8).解法二：设弦中点M(x,y) , Q ( x1, y1),由x W 2y, x1 8 y1 广八八-一,y 工可得x1 2x 8 ,2 22 又由于Q在椭圆上,所以卫64 1 ,即4(x“ 36 64 鱼136所以PQ中点M的轨迹方程为(x 4)16x 8).所以y i y 24,即y o 2 , X 0 y 0 1 3,即中点坐标为〔3,2〕.上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些根本解法.下面我们 看一个结论 2 2弓।理 设A 、B 是二次曲线C ：A X Cy D X Ey F弦AB 的中点,那么 0上的两点,p 〔X0,y0〕为 kAB E 0) 2 设 A (X I ,V I )、B (X 2, y 2)贝u Axi 2 AX 22Cy i 2Cy 2 D X I Ey i F 0……(i) DX 2 Ey 2 F ⑴(2)得 A(X i .2A X 0 (x i X 2 ) X 2)(X i X 2) C(y i y 2)(y i v2 D(X i X 2) 2) E(y i V2) 0 . (2AX 0 D)(x i •• 2Cy 0 〔说明：当A2A X 0 酝B D E ) 2推论i 设圆X 2X 0 D 2y 0 k AB 推论2b \X--- -• ----------k AB 设点 2Cy o (y i y 2)D(X 1 X 2) X 2) (2Cy ° E)(y i y ?) .X i X 2y i y X i X 2 时,上面的结论就是过二次曲线 〔假设点设椭圆a2・a y0.〔注：对丫？血2・a V .〕推论3 设双曲线bi?及 2 ■ E(y i y 2) 2AX 0 2Cy ° E 即 k AB2AX 0 D 2C V ^~~ED X Ey F 0的弦 P 在圆上时,那么过点 2匕b 2a< b C 上的点P 〔X0,y .〕的切线斜率公式, AB 的中点为 p 〔X0,y0〕〔y .0〕,那么 k P 的切线斜率2X 0 D2y .E为) i的弦AB也成立.假设点2y b 2a y 0.〔假设点p 在双曲线上,的中点为P〔X0,y.〕y 00),那么P 在椭圆上, 那么过点P 的切线斜率为i的弦AB 的中点为那么过 P 点的切线斜率为2推论4设抛物线y2Px 的弦AB 的中点为P 〔x0,y0〕〔k 卫〕P 在抛物线上,那么过点 P 的切线斜率为y0P (x 0 , y 0 ) y 00)那么y.bl?a 2 ■a V .)k AB0)那么P y0.(假我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题,下面举例说明.例1、求椭圆252L 116 斜率为3的弦的中点轨迹方程.解：设P (x,V)是所求轨迹上的任一点,那么有c 16 cx3 — ?一25 y,故所示的轨迹方程为( 16x+75y=075,2412x；1)…,,一2例2、椭圆a2y 1(a b 0),A、2 ,2a bB是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线l2 ,2a bP(x0,0),求证:证实：设AB的中点为T(x i,y i),由题设可知AB与x轴不垂直,,y i 0b2 a2 aQy i --- Z-■''.•.l的方程为：2ax1 ~ 1T2a b2 ,2a b -.l±AB2 土?〞(xb x1• . | x1 | ab2a2例3、抛物线C: y x ,直线在关于l对称的两点,k的取值范围是什么?解：设中点为C上两点A、P(x0 , y0 )(k AB 12y0令y=02*?t(x.x1)2a-2""ab-?x01l:y k(x 1) 1,要使抛物线C上存B两点关于l对称,AB的0)1k2 k(x0 1)•• P在抛物线内_ 2(k 2)( k1,1k24y0. PC1 kl y°k(x°J 1 1 I、P( ,- k)2 k 21) 1,k3» 0,4k与抛物线有关的弦的中点的问题〔1〕中点弦问题：y =3+ 1与/+_/+分-了= 1交于两点,且这两点关于直缥+ y = 0对称,那么笳+5 = 7〔上题麻烦了.是圆不用中点法〕争两交点是〔工1,乃、〔电1?都满足二i■太曲线方程.?〔1〕•㈡〕有〔局一/〕3 +/〕+〔＞[-M〕C X1+⑷土中.「占〕-〔＞-以〕=.小同时除出一々〕有区+引+33〔乃+打〕〞一"建二0」〔占一修〕〔七一刍〕空生就是直线的斜率E 〔西十两〕,乃〕就是交点中点坐标的两倍,由关于另〔占-%〕直线对称,所以逐=-1,且交点的中点就是两直线交点为〔」,当,所以, 2 2占十勺二1 j【十乃二1,所以又有1+ 〔1〕+匕・31〕=.得到g/p例1由点〔2,0〕向抛物线y2 4x弓|弦,求弦的中点的轨迹方程.分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系.解法1:利用点差法. 2 2设漏点为A〔x i,yj , B〔x2,y2〕,那么y i 4x i, y4x2,2 2 ., 、两式相减得y2y1 4〔 x2x1〕, ①①式两边同时除以x2 x1,得〔y2 y i〕 y—y1 4, ②x2x1设弦的中点坐标为〔x, y〕,那么x1 x2 2x, y1 y2 2y, ③又点〔x, y〕和点〔2,0〕在直线AB上,所以有」一 y 2y1. ④瓯'+短+㈣-乃= 1.〕*、婚+W+6电-打二1⑵2 x2x1y i y 22 2一代入(i)得 y 2 2(x 2)k2 2故得所求弦中点的轨迹万程是y 2(x 2)在抛物线y 4x 内部的局部.评注：(i )求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式,此题所给 (x, y)与条件的内在联系,列关于 x, y 的关系式,进而求出轨迹的方程.(2)弦中点轨迹问题与中点的关系,要学会推导,并能运用.将③、④代入②得2y y 4, x 22整理得y 2(x 2).故得中点的轨迹方程是 y 2 2(x 2)在抛物线y 2 4x 内部的局部. 解法2:设弦AB 所在直线的方程为y k(x 2),由方程组y k(x 2)4x消去x 并整理得ky 2 4y 8k 0, (3)(x i , y i )、 B (x 2,y 2)、 '\ ' (x, y),对于方程(3),由根与系数的关系,有y i V2 2出的两种方法,都是找动点 设抛物线y 22 Px (0)的弦 AB ,A (x i ,y i ) ,B(x 2,y 2),弦 AB 的中点 C (x o ,y 0),2,y i 那么有 2 y 22px i2 Px 2⑴(2)(i) — ( 2)2y i 2y 22p(x i x 2),.y i y 2x i x 22P y i y 2将 y i y 2y 1y 2q _yi 72,代入上式,并整理得x i x 2k AB—,这就是弦的斜率 y .例2抛物线y22x ,过点Q(2,i)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点轨迹方程.解：如图,设弦AB的中点为A、B、M点坐标分别为(x［,y i),2 -(x,y),根据题意设有y i2x 1 ,①2 -公y2 2x 2 ,② x 1 x 2 2x , ③ y iy 2 2y,④ rd,⑤x 1 x 2 x 2y i y 2i x 1 x 2, -------- -,x i X2y2-i 2 7 ⑥代入⑤得,y 丫*2,即(丫3)x -o2y 2 2x ,利用根与系数的关系,求出弦中点的轨迹方程.专题：直线与抛物线的位置关系及中点弦问题(1)位置关系：Q 直线/：, =必+皿用=0) r 抛物线y 2 = 2px(p>0)联立解CJ tky~ -2/?y + 2^ = 0 @假设k 二 (L 直战与抛物战的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点:假设k HU , △真线与抛物线相交,有阴个交点；A = 0n 亢浅与抛物浅相切,有一个交点；宜线与抛物线相离,无交点二(2)相交弦长：宜城与圆世曲线相交的茂长公式设直线圆锥曲线才Fi.r4)=O .它HI 的交点为Pi (xi»yi)- Pj 口?而,[Fix. v) = 0 且由1 ,Ti 消去了得到那苏十H.r+p=0『mHO), △=/ 一4川p*[,二心 + H设马・力3 那么弦长公式为；那么I AE 匕J1 +/那么 +//一4而/ 假设联立消去不得y 的一元二次方程：町/十fry + f/ = 0(m * 0)S 小阳,为yJ 『Ml AB 1= j + Jjbi +y 万 一4%力 {3)典洌分析：④代入①—②得,2 y(y iy 2) 2(x 1评注：此题还有其他解答方法,如设AB 的方程为y k(x 2) i ,将方程代入例1抛物线的方程为y2=4x,直线1过定点斜率为k,k为柯值时,直线1与抛物线y 2 = 4x ：只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点？解：由题意,设直绷的方程为y-l = Ar(x+2)由方程组e；：：：(x+2)ffl ky2 - 4y + 4 (2k +1) - O (1)(1)当k = O时,由方程(1)得y = l将y = 1 代入y2 = 4x,得x =这时直线,与抛物线只有V个公共点g ,1)(2)当kHO时,方程⑴的判别式为©A = T6 冲+"I)⑴当A = 0时,即2k2 + k・l = 0,解得k = ・l,或k =；于是当k=-l,或k=T时,方程(1)只有一个解,从而方程组只有一个解.此时直线1与抛物线有一个交点.(2)当A>0时即2尸+J <0,解得—1<上< —2于是当时,方程⑴有两个解,从而方程组有两个解.此时直线1与抛物线有两个交点.(3)当A <0时,即+解得k<-l或幺>-于是当k<-l或k>不时,方程(1)没有肝,从而方程组没有解.此时直线I与制物线没有交点.绿上所述：当・l<k<g且k*0时,直缭口抛物线有网个交点；当k7或或k・0时,直蝴抛物线有一个交点;2当k<-l或k>:时,直缭口抛物线没有交点.例2、抛物线C：J=4x,设直线与抛物线两交点为A、B,且线段AB中点为M 〔2, 1〕,求直线/的方程.解由即意可知,亘线1斜率一定存在,故可设庆〔勺,?〕,13@2,%〕〔乂1工乂2〕,Mx l + x2 = 4,y1+y2 = 2曲[曰=4% =2!L^=_1_=2 gp k = 2I月=4七3一出乂+»2 2止匕由f直线/的方程为y-l = 2〔x-2〕,艮P2x-y-3 = 0由y - 4x 消x彳号y2・2y-6 = 0 n△ > 02x-y-3 = 0所以直线/的方程为y・l = 2〔x-2〕RU2x・y・3 = 0说明：中点弦问鹿的常见解决方法,点差法例3抛物线的顶点在原点,焦点在x釉的正半轴上,百线y = -4x + ]被抛物线所截得的弦AB的中点的纵坐标为- 2 .〔I〕求抛物线的方程：〔2〕是否存在异于原点的定点H,使得过〃的动直线与抛物线相交于A Q两点,且以PQ为直径的圆过原点？解〔1〕：由条件可设抛物线方程为：r =2px〔p>o〕联立直线y = -4x+l化简得：2y2+〃y - 〃 =〔〕设43],必〕,8〔/2,丫2〕那么?+〕'2 =-^ = -4.,./? = 8抛物纹方程为：y 2 =]6工〔2〕设存在满足条件的定点内.设动直线方程为〕& + 0〕联立抛物线方程化简得:02-16丁 + 161=0设.〔再,必〕,..2,/2〕那么有用/ + 丫.2 =〔〕即：b = -16k 故动电线方程为丁=6-164 = Z:〔x-16〕,恒过定点〔16. 0〕当直线斜率不存在时,设宜线方程为/ = %,易触得% = 16.粽匕存在异于原点的定止〃(16, 1J)满足条件0例4直线『过定点人43且与‘抛物线.：5'22#(2>0)交］子,Q两点,假设以PQ 为直径的阿枇过原点..求尸的伍解：可设直线/的方程为f = my+4代入« =2『工得y L-2/JW1V-8/J = 0»设代百,X )◎0,%)•那么九力=—8/,斯与=?- * =竽匕=16+2P 2p 4p由题总如,OPLOQ. Wl OP OQ = 0即丹马+耳为= 16 —8p = 0; p 二2此时,抛物线的方程为f = 4K.例5在抛物战y? = 64十上求一点,使到电战4K十3y+46 = 0的距嘉最短,并求出最短距瓦解；设与百线4#+ 3y +用=0平行且与楠制相切的直建方程为：x-y + m = 0联立化筒群/ +48v-48w = 0 L)由A = 0解得旧=-12,故切线方程为：4工+ 3, —12 = 0代人双曲线方程解得f 9-24 )最短师离d = 2例6求直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y1), B(x2,y2),其中点y x 1P(x0,y0),由题意得2,y 4x消去y 得(x 1)2 4x,即x2 6x 1 0,所以x.3, y0 x. 1 2,即中点坐标为(3,2).解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y) , B(x2,y2),其中点2P(x0,y0),由题意得y124x1,两式相减得\2 y： 43x1), y2 4x2所以(y2 y1)(y2 y1)4,所以y〔y2 4,即y0 2 , x0y 1 3,即中点坐标为(3,2).。
圆锥曲线中点弦专题篇
圆锥曲线专题04 中点弦问题一、用点差法求斜率及常用公式在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常用点差法求斜率，关于点差法求斜率的方法，证明过程如下：直线y km b =+与椭圆2222:1x y C a b+=交于A,B 两点，00(x ,y )M 是弦AB 的中点，求直线AB 的斜率。
【解析】设1122A(x ,y ),B(x ,y )，点A,B 在椭圆上，所以221122x y 1a b +=…………………………………….①222222x y 1a b+=…………………………………….②①-②得：2222121222x x y y 0a b --+= 2121221212(x x )(x x )(y y )(y y )a b -+=--+220220y ..x AB AB OM b b k k k a a=-⇒=-这是一个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，因为方法过程简单但是繁琐，在小题里面可以直接利用结论来求出相关的斜率，常用结论如下：1、斜率为k 的直线l 交椭圆22221x y a b +=于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 的中点为00(x ,y )M ，则22.OMb k k a =-，焦点在y 轴上时有22.OM a k k b=-2、斜率为k 的直线l 交双曲线22221x y a b -=于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 中点为00(x ,y )M ，则22.OMb k k a =，焦点在y 轴上时有22.OM a k k b= 3、斜率为k 的直线l 交抛物线22y px =于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 中点为00(x ,y )M ，则0.OM p k k x =例1：已知双曲线2213x y -=的右焦点是抛物线22(p 0)y px =>的焦点，直线y km b =+与抛物线相交于A,B 两个不同的点，点(2,2)M 是AB 的中点，则AOB ∆的面积是（ ）A B C D例2：如图，椭圆22214x y a +=的焦点为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于点M,N ，交y 轴于点H ，若1F ，H 是线段的三等分点，则2F MN ∆的周长为_______.【解析】2F MN ∆的周长等于4a ，直线MN 斜率必定存在，设其为k ，则:y k(x c)MN =+可得H(0,ck)，1F H 中点坐标为(,)22c ckP -所以2K 2op ckk c ==--根据中点弦结论可知22K .K MN op b a=-则,(0,)b bc k H a a =，因为H 是1F N 的中点，可得2N(c,)bc a将N 点代入椭圆方程中整理可得225a c =，结合b=2解得25a = 故2F MN ∆的周长为二、利用导数法求解中点弦问题探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中又有两个量，能不能减少未知量的个数，利用中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：例：过点(2,1)A 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点12,P P ，若点A 恰好是弦12P P 的中点，求直线l 的方程。
关于圆锥曲线的中点弦问题_图文
一、求中点弦所在直线方程问题
一、求中点弦所在直线方程问题
二、求弦中点的轨迹方程问题
二、求弦中点的轨迹方程问题
三、弦中点的坐标问题
三、弦中点的坐标问题
如果，你觉得以上解答还不够简单的话，
那……
请记住几个重要结论：
一、求中点弦所在直线方程问题
பைடு நூலகம்
二、求弦中点的轨迹方程问题
三、弦中点的坐标问题
关于圆锥曲线的中点弦问题_图文.ppt
关于圆锥曲线的中点弦问题
• 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几 何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题 。这类问题一般有以下三种类型：
• （1）求中点弦所在直线方程问题； • （2）求弦中点的轨迹方程问题； • （3）求弦中点的坐标问题。
• 其解法有代点相减法（点差法）、设而不求法、 参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
(完整)点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。
专题46圆锥曲线中与中点相关的问题
1专题46圆锥曲线中与中点相关的问题知识必备直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，一般有以下三中类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题. 常见结论如下： （1）椭圆x 2a 2y 2b 2=1，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有k OM ⋅k AB =b 2a 2（注意此处a ，b 只和位置相关，与大小无关）.（2）双曲线x 2a 2y 2b 2=1，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有k OM ⋅k AB =b 2a 2（注意此处a ，b 只和位置相关，与前后无关）.（3）抛物线y 2=2px ，直线y =kx m 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 中点，O 为直角坐标系原点，则有y M ⋅k AB =p.典型例题考点一弦中点的应用【例题1】直线y =x 1被椭圆x 24y 22=1所截得弦的中点坐标为（ ）A (23，53) B (43，73) C (23，13) D (43，13)【例题2】若椭圆x 236y 29=1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________【例题3】椭圆4x 29y 2=144内有一点P (3，2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为________ 【例题4】已知椭圆x 2a 2y 2b 2=1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x y 5=0，弦的中点坐标是M (4，1)，则椭圆的离心率是________【例题5】椭圆ax 2by 2=1(a >0，b >0，a ≠b )与直线y =12x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为√32，则ab 的值为________【例题6】若直线y =kx 2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |=__________【例题7】已知椭圆E：x 2a2y2b 2=1(a>b >0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆于A ，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为（）A x248y216=1B x236y212=1C x224y28=1D x212y24=1【例题8】双曲线x2y 23=1上两点A，B关于直线y=x1对称，则直线AB方程为（）A y=x B y=x1C y=x1D y=x12【例题9】已知椭圆x 22y2=1上上在在相两两点关于直线y=x t上对称，则实数t上的值值围是是________【例题10】如图，已知椭圆x 22y2=1的左焦点为F，O坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B上两点，线段AB上的垂直平分线与x上轴交于点G上，则点G上横坐标的值值围是为________【例题11】已知双曲线C：x 2a2y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为13上的直线交双曲线于A，B上两点，线段AB上的垂直平分线恰过点F2上，则该双曲线的离心率为（）A√6B√5C√62D√52【例题12】已知椭圆G：x 2a2y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，右焦点为(2√2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交与A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2).（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积.【例题13】已知椭圆E：x 2a2y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c（1）求椭圆E的离心率；（2）如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2=52的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.23【例题14】已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在x 铀上，过点(2，0)的直线交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的最大值为（ ） A√66 B12C√22D 14。
圆锥曲线中点弦问题
圆锥曲线中点弦问题
点弦问题在微积分领域中是重要的一项研究，它涉及坐标几何、微积分和数学分析学。
本
文旨在深入研究圆锥曲线上的点弦问题。
圆锥曲线是二维坐标系中最重要的曲线，它的几何形状是圆锥面截面形式的曲线，其形状
随其参数的变化而变化。
点弦问题可以理解为寻找并定义由固定的一系列点组成的半弦曲线，具体点的位置和形状
受其中的点的影响。
如果在一个圆锥曲线上，这些点按一定的规则排列，半弦曲线的形状
和位置就可以推导出来，这就是所谓的“点弦问题”，也可以称为“半弦曲线构造问题”。
在解决圆锥曲线上点弦问题时，首先讨论的是构成曲线的点的位置，其次是参数的估计和
形状的推算。
采用曲面的本地坐标系，将点坐标改写成相对曲面的相对点，通过微分几何
计算求解曲线等价参数。
在定义曲线形状之前，要求由曲面本身和控制点确定的曲线，该
曲线必须能与控制点重合，同时满足曲线的连续条件。
最后，圆锥曲线上点弦问题的解决可以采用数值解法，有效地计算构成曲线的点，根据不
同的输入参数得到不同的曲线结果。
总之，研究圆锥曲线上的点弦问题是十分重要的，它不仅涉及坐标几何、微积分和数学分
析学，而且还可以有助于深入了解圆锥曲线上的数学知识。
研究者需要运用有关的数学理
论和实践技术来解决这一问题，从而使其在教学和科学研究方面都得到正确地解释和应用。
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=⋅。
证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，上式减下式得02222122221=-+-b y y a x x ，∴2222212221a b x x y y -=--，∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆12222=+bx a y (0>>b a )上两点A 、B ，线段AB 中点为)(00y x P ，，则有22ba k k OPAB -=⋅。
3、双曲线的用点差法同理，可得220220()AB AB OP x b b k k k a y a=⋅⋅=二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点)(11y x A ，、)(22y x B ，，中点坐标为)(00y x P ，代入抛物线方程，2112=y px ，2222=y px ，将两式相减，可得()()()1212122-+=-y y y y p x x ，整理可得：12121202-===-+AB y y p pk x x y y y三、点差法在圆锥曲线中的结论AB AB M AB AB M AB AB AB AB b e x a y k k k x ab e b e x a y k k k x a y b e pk y pk y x k px k p222002222220222011-y 1111⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪⎪=-⇔⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩gg gg 焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下题型一中点弦所在直线的斜率与方程【例1】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】59140x y +-=【解析】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆22195x y +=上，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212095x x y y --+=，可得2212221259y y x x -=--，即()()()()1212121259y y y y x x x x -+=--+，所以直线AB 的斜率为121259AB y y k x x -==--，因此，这条弦所在直线的方程为()5119y x -=--，即59140x y +-=.故答案为：59140x y +-=.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（）A．12B．14C．1D．4【答案】C【解析】由题意可得2c e a ==，整理可得a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+，则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+．故选：C 【变式1-2】已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A．1D．2【答案】A【解析】设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -=两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1；故选：A．【变式1-3】过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（）A．250x y +-=B．210x y --=C．250x y +-=D．230x y --=【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-，因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=，故选：D.【变式1-4】已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214yx +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（）A．14-B．4-C．12-D．2-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=.两式相减得：()22222112104x y x y -+=-，()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=，即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B【变式1-5】椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率为3，直线20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______．【答案】43-【解析】因为椭圆()222210x y a b a b +=>>所以3c e a ==，所以2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQ y y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =-，故答案为：43-【变式1-6】已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（）A．43-B．43C．34-D．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，故选：C ．题型二求圆锥曲线的方程问题【例2】过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（）A．22195x y +=B．2215x y +=C．22162x y +=D．221106x y +=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-，又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，而12121ABy y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯，所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.【变式2-1】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程.【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--，∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.【变式2-2】已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A．2214536x y +=B．2213627x y +=C．2212718x y +=D．221189x y +=【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，则223224251m mn =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=.故选：D.【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；【答案】24y x=【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.【变式2-4】设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______.【答案】14【解析】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p-+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.题型三求圆锥曲线的离心率问题【例3】过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（）A．22B．3C．12D．13【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，121212AB y y k x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率2c e a ==【变式3-1】已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-，又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a -⨯=-，所以2212b a =，所以ce a======2212c a=.故答案为：2.【变式3-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =.【变式3-3】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．【答案】2【解析】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1，所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a=，所以C的离心率2e ==.故答案为：2【变式3-4】已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为()A．43B．2C．2【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+-解得:2b a =∴c e a ===题型四弦中点的坐标问题【例4】已知直线:1l y x =+，椭圆22:13xC y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的坐标为（）A．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知，22113y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2230x x +=，则9810∆=-=>，32A B x x +=-，所以A 、B 两点中点的横坐标为：13()24A B x x +=-，所以中点的纵坐标为：31144-=，即线段AB 的中点的坐标为31()44-，.故选：B【变式4-1】求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤
思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。
(完整版)圆锥曲线的中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一 般有以下三种类型：(1) 求中点弦所在直线方程问题； (2) 求弦中点的轨迹方程问题；(3) 求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题2 2例1、过椭圆 L 厶 1内一点M(2, 1)弓I 一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在的直线方程。
16 4解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：2 2 2 2(4k1)x8(2k k)x 4(2k 1) 16 0又设直线与椭圆的交点为 A( x-i , y 1) , B ( x 2, y 2),则x 1, x 2是方程的两个根，于是 8(2k 2 k)2 , 4k 1两式相减得x 2y 4 由于过A 、B 的直线只有 故所求直线方程为 x2y 40。
二、求弦中点的轨迹方程问题2 2例2、过椭圆 — L 1上一点P (-8 , 0)作直线交椭圆于64 36解法一：设弦 PQ 中点 M( x, y )，弦端点 P ( x 1, y 1), Q( x 2, y 2),2 2 则有9笃励打576 , 9x 216y 2 576X 1 x 2又M 为AB 的中点，所以x 1 x 2 2 24(2k k)4k 2 1故所求直线方程为 x 2y 4 0。
解法二：设直线与椭圆的交点为A*, yj , B ( X 2,y 2), M(2,所以x 1x 2 4 ,y 1y 2又A 、B 两点在椭圆上， 则X 124y 1216 , 2 2X 2 4y 216,两式相减得(x 「2 X2)4(y 12 )0 ,所以也一y2X 1X 2-，即2 k AB1 4( y 1 y 2)2，x 2y 4A(x ,y)，由于中点为M(2, 1),则另一个交点为 B(4- X ,2 y )， 因为A B 两点在椭圆上, 所以有 (42Xx)2 4y 2 4(2 16 y)2 16 0，Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
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第二章
圆锥曲线与方程
y－1＝2(x－1)， 由 2 y2 消去 y 得，2x2－4x＋3＝0， x － 2 ＝1， Δ＝－8<0. 这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不 存在．
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x 2 例2.设 双 曲 线 : 2 y 1a 0与 C a 直 线l : x y 1相 交 于 两 个 不 同 的 点 B A,
2
（1） 求 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 ； C e
5 （2） 若 直 线与y轴 的 交 点 为 ， 且PA l P PB y 12 求a的 值 P
A
O
x B
x 2 例2.设双曲线C : 2 y 1a 0与 a 直线l : x y 1相交于两个不同的点 , B A （）求双曲线C的离心率e的取值范围； 1
y P A
O
2
(1 a ) x 2a x 2a 0
2 2 2 2
x B
1 a 2 0 4a 4 8a 2 (1 a 2 ) 0 0 a 2且a 1 e 1
2பைடு நூலகம்
1
6
且e 2
5 （ ）若直线l与y轴的交点为P，且PA PB 2 12 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P (0,1) 求a的值 5 PA PB y 12 5 P ( x1 , y1 1) ( x2 , y2 1) 12 5
符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的 左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90°.
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第二章
秒杀题型09 圆锥曲线中的中点弦(原卷版)
秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题：注：方程：221mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆；②当0,>n m 且n m =时，表示圆； ③当n m ,异号时，表示双曲线。
秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：221mx ny +=交于两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ，Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩;22112222 1 (1)1 (2)mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y mk k k x n=-=中中。
(作为公式记住，在小题中直接用。
) 题型一：求值 ：〖母题1〗已知椭圆221164x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程.1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，,则E 的方程为 ( )A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -=D.22154x y -= 3.(高考题)已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ,B 在第一象限,23||=AB .（1）求点B 的坐标;（2）若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点,且线段EF 的中点坐标为)1,4(,求a 的值.4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆)0(9:222>=+m m y x C ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点B A ,,线段AB 的中点为M .（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点⎪⎭⎫⎝⎛m m ,3,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的 斜率,若不能,说明理由.5.(高考题)已知椭圆C 的焦点分别为1(F -和2F ,长轴长为6,设直线2y x =+交椭圆C 于 ,A B 两点,求线段AB 的中点坐标.6.(高考题)设椭圆C :()222210x y a b a b +=>>过点()0,4,离心率为35．（1）求C 的方程； （2）求过点()3,0且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标.7.(2013年全国高考试题新课标卷II)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M:22221x y a b+=(0>>b a )右焦点的直线03=-+y x 交M 于A,B 两点,且P 为AB 的中点,OP 的斜率为12. （1）求M 的方程；（2）C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值。
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中点弦问题专题练习•选择题（共8小题）1已知椭圆盏+专二1，以及椭圆内一点 P （4, 2）,则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ A • _12A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）C • 2x+y+4=0D . 2x+y - 4=0x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率,2 25•若椭圆 盏亡二L 的弦中点（4, 2），则此弦所在直线的斜率是（二•填空题（共9小题）2 ?9•过椭圆专+才二1内一点M （2, 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 __2 210 •已知点（1, 1）是椭圆.某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：—_ _2 211.椭圆4x +9y =144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_一直线方程为 ___________________ •2 •已知A (1, 2)为椭圆 A • x+2y+4=03 • AB 是椭圆2 2a b2 2孚+$二1内一点，则以4 LbB • x+2y - 4=0（a > b > 0）的任意一条与 AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为（ ） A • e -1 B • 1-e 4•椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ A • 3x+2y - 12=0 B • 2x+3y - 12=0C • e 2- 1D • 1 - e 24x+9y - 144=0)D • 9x+4y - 144=02B •.:C •.:;D •：■22 25A • 6. 2 2已知椭圆七+勺二1的一条弦所在直线方程是a bx - y+3=0，弦的中点坐标是（-2, 1）,则椭圆的离心率是（7 •直线y=x+1被椭圆 A • x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（B •(―丄))丄)(-8. M （1, 1）为中点的弦所在的直线方程为（4x - 3y - 3=0B • x - 4y+3=0C • 4x+y - 5=0 x+4y - 5=0以椭圆12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P (3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点, =1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为k AB ?k OM 为定值.),直线l 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时, 弦中点的轨迹方程.26.已知椭圆 卡+¥製二1 .(1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2) 过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程; (3) 过点P ()且被P 点平分的弦所在的直线方程.2 2那么这弦所在直线的方程为13.过椭圆 14•设AB 是椭圆 —.的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点, O 为坐标原点，贝U k AB ?k OM =P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为18. 19. 20. 21 . 直线y=x+2解答题(共被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是13小题)求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0, 5迈)且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为 -的椭圆方程.2 2已知M (4, 2)是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程. 2 2已知一直线与椭圆 4x +9y =36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M(1, 1),求直线AB 的方程.已知椭圆 2⑹厂1,求以点P ( 2，-门为中点的弦AB 所在的直线方程.已知椭圆与双曲线 2x 2 - 2y 2=1共焦点，且过(.：•') 22.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.2 223.直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.P (2, - 1). (1 )求 m 的值；(2)24. AB 是椭圆2 2--''中不平行于对称轴的一条弦,b 2M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，求证:M (1, 1)为中点的弦所在直线方程为17. 25.已知椭圆C :2 229. (2010?永春县一模)过椭圆 *」-内一点M ( 1, 1)的弦AB .16 4(1) 若点M 恰为弦AB 的中点，求直线 AB 的方程； (2) 求过点M 的弦的中点的轨迹方程.30. 已知椭圆C 方程为 -丁 ―直线一-二与椭圆C 交于A 、B 两点， 点 P I--(1) 求弦AB 中点M 的轨迹方程；(2) 设直线PA 、PB 斜率分别为k 1、k 2,求证：k 1+k 2为定值.27.已知椭圆. (1)求过点P ［丄，丄)且被点P 平分的弦所在直线的方程；2 2 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；过点A (2，1)引直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 (2)(3) BC 中点的轨迹方程. 28.已知某椭圆的焦点是 F 1( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为 椭圆上不同的两点 A (x i , y i )、C ( x 2, y )满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程；(n )求弦AC 中点的横坐标. B,且|F 1B|+|F 2B|=10 ,参考答案与试题解析•选择题(共8小题)A • _12考点： 椭圆的简单性质•专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程• 分析： 利用中点坐标公式、斜率计算公式、点差法”即可得出•解答： 解：设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),斜率为k .代入得 寻碍二Q ，解得k = - * 故选A •考点：直线的一般式方程. 专题：计算题•分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案• 解答：解：设直线的方程为 y - 2=k (x - 1),联立直线与椭圆的方程代入可得： (4+k 2) x 2+2k ( 2 - k ) x+k 2- 4k - 12=0因为A 为椭圆的弦的中点，2k (k- 2)所以.•二解得k= - 2,4十所以直线的方程为 2x+y - 4=0 • 故选D •点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题•2014 年 1 月 pa 叩an71104的高中数学组卷-七) (牛+辽)ty j36g2 2二；「两式相减得2 21•已知椭圆「以及椭圆内一点 P (4, 2),则以P 为中点的弦所在直线的斜率为(点评:熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、 点差法堤解题的关键.2•已知A (1, 2)为椭圆2 2^~-1内一点，则以4 16A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为(A • x+2y+4=0B • x+2y - 4=0C • 2x+y+4=0D • 2x+y - 4=0又 X 1+x 2=8, y 1+y 2=4,，二1 (a > b >0)的任意一条与x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率， M 为所以：X 1+X 2=-3. AB 是椭圆AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为( A . e -C . e 2- 1D . 1 - e 2考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的简单性质. 综合题.设出弦AB 所在的直线方程，与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得y 1+y 2的表达式，进而根据点 M 为AB 的中点，表示出 M 的横坐标和纵坐标，求得直线 0M 的斜率,进而代入k AB ?k OM 中求得结果.解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线b 2x 2+a 2 (kx+c )i22斗j l 国b2- a 2b 2=0，即 (b 2+k 2a 2)消去y 得x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0点评:所以，M 点的横坐标为:M r (x1+x2)=所以:b. 2b 2)=一 2a本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.2 24.椭圆4x +9y =144内有一点P (3, 2)过点P 的弦恰好以 A . 3x+2y - 12=0B . 2x+3y - 12=0C . P 为中点，那么这弦所在直线的方程为()4x+9y - 144=0D . 9x+4y - 144=0 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程.利用平方差法：设弦的端点为A (X 1, y 1)，B ( X 2,y 2),代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及又：y 仁kx i +c所以：Kom=A 2k AB ?k OM =k x (-=e 2- 1斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程. 解答： 解：设弦的端点为 A (X 1 , y i ) , B ( X 2, y 2), 则 X 1+x 2=6， y 1+y 2=4，把A 、B 坐标代入椭圆方程得，仆］乂+9比2二⑷，旳％¥『二⑷， 2-y 2 ) =0，即 4 (X 1+X 2) (X i - x 2) +9 ( y l +y 2) (y i - y 2) =0 ,所以这弦所在直线方程为： y - 2= -2( x - 3),即2x+3y - 12=0.3故选B .点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.2 ?字+三厂二1的弦中点(4, 2)，则此弦所在直线的斜率是(36 9考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率. 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设此弦所在直线与椭圆相交于点 A (x i , y i ), B ( x 2 , y 2).利用中点坐标公式和点差法”即可得出.解答： 解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2).2 26.已知椭圆 &七二1的一条弦所在直线方程是 x -y+3=0，弦的中点坐标是(-2, 1),则椭圆的离心率是()a b1B..:C ..:;D.：■22 2 5考点：椭圆的简单性质. 专题：计算题.分析：设出以M 为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a , b的关系式，从而求得椭圆的离心率.解答：解：显然M (- 2, 1 )在椭圆内，设直线与椭圆的交点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2),两式相减得，4+9r=，即 kAB =-=5.若椭圆 A . 2B . - 2C .3D . _丄2点评:代入上式可得 9 4 k hie ；备甘e 解得故选D .本题考查了椭圆的标准方程及其性质、L(厂+巾)*36 1 ' gk AB =中点坐标公式和点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题.则 ，两式相减得，：厂=0.b 2 (xi + K 7 )整理得：k= ---- ------------------------ =1,s 2(yC又弦的中点坐标是(-2, 1),故选B .点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题.本题解 题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法, 研究弦中点问题时经常采用此方法7.直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是( )A .弓哼B .(-訂C 飞弋考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论. 解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，得x 2+2 (x+1 ) 2=42/• 3x +4x - 2=0弦的中点横坐标是x=gx ( -纟)=-*、,£R-T 1代入直线方程中，得 丫=丄3、2 1•弦的中点是(-1,二 故选B .点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.8以椭圆'咅"点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程为(16A . 4x - 3y - 3=0B . x - 4y+3=0C . 4x+y - 5=0D . x+4y - 5=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的关系. 计算题. 设直线方程为 y -仁k ( x - 1),代入椭圆匚+亠二1化简，根据16 4x i +x 2=- g 冷 - /) 4k 2+l=2，求出斜则椭圆的离心率是=1 ,率k 的值，即得所求的直线方程.解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y -仁k ( x - 1),代入椭圆 疋牛£二1化简可得£斗(kx-k+1)匕，16 4 116 4丄2 2 2 2 (4k +1) x+8 ( k - k ) x+4k - 8k - 12.亠亦亠r/白_S (k — k?)•••由题意可得 X 1+X 2=■=2, ••• k=-二，4k 2+l ，4，故 直线方程为 y -仁-2 ( x - 1),即x+4y - 5=0,4故选D .点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率， 是解题的关键.二.填空题(共9小题)2 29.过椭圆 —亠内一点M( 2,0)引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是.'+—打=：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题.分析：设出N , A , B 的坐标，将A , B 的坐标代入椭圆方程，结合弦AB 过点M (2, 0),弦AB 的中点N ,求出AB 的斜率，从而可得方程，化简即可. 解答： 解：设 N (x , y ) , A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),贝①-②，可得:故答案为:N 为AB 的中点，求出 AB 的斜率，再利用动5一4KK1 ■动弦 AB 过点M 当M 、N 不重合时，有ky9y当M 、N 重合时，即M 是A 、B 中点，M (2, 0)适合方程(只一 1)①，(2, 0),弦AB 的中点2=',（m 唱）（「I ） 22二 1 ,则N 的轨迹方程为 (£一1〕女23点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法.考点：直线与圆锥曲线的关系. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设以A (1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (x i , y i ) ,F (X 2, y 2), A (1, 1)为EF 中点，x i +x 2=2, y i +y 2=2, 利用点差法能够求出以 A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程.解答：解：设以A ( 1, 1 )为中点椭圆的弦与椭圆交于E ( X 1, y 1 ),F (x 2, y 2),••• A (1, 1 )为 EF 中点， ••• x 1+x 2=2 , y 1+y 2=2 ,2 2把E (x1 , y 1), F (x 2 , y 2)分别代入椭圆■二1 ,4 2两式相减,可得(X 1+x 2) (x 1 - x 2) +2 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 , • 2 (x 1-x 2) +4 (y 1 - y 2) =0 ,•••以A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 1=-丄(x - 1),乙整理，得 x+2y - 3=0. 故答案为：x+2y - 3=0.点评：本题考查以A (1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.2 2311.椭圆4x +9y =144内有一点P (3 , 2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_,直线方程为 2x+3y -12=0.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：平方差法：设弦端点为 A (X 1 , y 1) , B (x 2 , y 2),代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可 得斜率；根据点斜式可得直线方程.解答： 解：设弦端点为 A ( X 1 , y 1) , B ( x 2 , y 2),贝X 1+x 2=6, y 1+y 2=4,4巧 2+gyJ 二L 嗣①，分2 2-^9y 22=144②，①—②得，疋］'-只 2’ ) +9(旳‘-咒‘)=0 ,即 4 (x 1+x 2) (x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 ,「1、二4〔巧 + Mg ) 4X6 __ 2Z1 "_ 9(旳+匕)-9心.3)所以,即10.已知点(1，1)是椭圆「某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为:x+2y — 3=0所以弦所在直线方程为：y - 2= -2 (x - 3),即2x+3y - 12=0.3故答案为：-二；2x+3y - 12=0 .3点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P( 3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y 二12=0考点： 直线与圆锥曲线的关系.专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设以P( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E( X 1,y 1), F (x 2, y 2) , p ( 3, 2)为EF 中点，x 1+x 2=6, y 1+y 2=4,利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.解答： 解：设以P ( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (X 1, y 1) ,F (x 2 , y 2),••• P (3 , 2)为 EF 中点，X 1 +x 2=6, y 1+y 2=4,2 2把 E (X 1, y 1), F (x 2, y 2)分别代入椭圆 4x +9y =144 ,2+9yi Z =L44良2，4x 2J +9y 2 =1444 (x 1+x 2) ( x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0, ••• 24 (x 1 - x 2) +36 (y 1- y 2) =0,•••以P (3, 2 )为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 2=-弓(x -3),整理，得 2x+3y - 12=0 . 故答案为：2x+3y - 12=0 .点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理 运用.2 213.过椭圆勺亍1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为考点： 椭圆的应用；轨迹方程. 专题： 计算题.分析：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1), (x 2. y 2),诸弦中点坐标为(x ,y ).弦所在直线斜率为k ,把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.解答：解：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1)(x 2. y 2),诸弦中点坐标为(X ,y ).弦所在直线斜率为k2 2 竺+31 g 4丄两式相减得； —(X 1+x 2) (x 1 - X 2) + 云(y 1+y 2) ( y 1 - y 2) =02 :,2 24x +9y - 4x=0=0,即仝一一本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.2 2—r I — 亠内的点 M (i , i )为中点的弦所在直线方程为 _x+4y — 5=0lb 4考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 设点M ( i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ),B (x 2, y 2).利用 点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出.解答： 解：设点M (i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A ( x i , y i ),B (x 2, y 2).2 2(纠 + yJ G i 一叩1(2+y 2)( x 2 -164相减得22x/9+2y A 2/4 (x — i ) =0 7 一 '2 24x +9y — 4x=0整理得诸弦中点的轨迹方程： 故答案为4x 2+9y 2 — 4x=0点评： 本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题•考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.二1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ?k OM = -丄_ 2~考点： 专题： 分析：椭圆的应用. 计算题. 设 M (a ,b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2),易知 k OM=—，再由点差法可知k AB =a」，由此可求出 k AB ?k OM =2b解答:—JJ解：设 M (a , b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2), •/ M 为 AB 的中点，• x i +x 2=2a , y i +y 2=2b .把A 、B 代入椭圆①—②得(X 1+X 2)( X 1 - X 2)x 12+2y 12=2 ①x 32+2y 23=2 ② +2 (y i +y 2) (y i — y 2) =0,••• 2a (x i — x 2) +4b (y i — y i )=0, S ■?.答案:_b1 2• k AB ?k OM =-—:点评:15.以椭圆,代入上式得又•/14.设AB 是椭圆-- ------ =二，由此能求出以点 P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程.2解答:整理，得 故答案为： 本题主要考查椭圆标准方程， 简单几何性质，直线与椭圆的位置关系. 考查运算求解能力，推理论证能力.解 题时要认真审题，注意点差法的合理运用.2，2—^=0故所求的直线方程为 ，解得 k AB =-「-—：,化为 x+4y - 5=0 •故答案为x+4y - 5=0 •点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和 点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为 x - 2y+4=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题. 设以点P (- 2, 1)为中点的弦所在的直线与椭圆(X2, y 2),由点 P (- 2,1)是线段AB 的中点，知，把 A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)代入椭圆2 2x +4y =16，由点差法得到k= 解：设以点P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线与椭圆+ - 16 4=1 交于 A (X 1, y 1), B (x 2, y 2),•••点P (- 2, 1)是线段AB 的中点,山5二22 2把 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2)代入椭圆 x +4y =16,巧2十4卩/二16 ① 七铃4卩2‘=1&②①—② 得(x 1+x 2) (x 1 - x 2) +4 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) • - 4 (x 1 - x 2) +8 (y 1 - y 2) =0,=0,k=•••以点P (-2, 1)为中点的弦所在的直线方程为 点评:x - 2y+4=0 • x - 2y+4=0 •16 •在椭圆 =1 交于 A (X I ，y 1)，B17•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是（-皀，2）.—3 3 —考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系. 专题：计算题.分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标. 解答： 解：将直线y=x+2代入椭圆x 2+2y 2=4，消元可得3X 2+8X +4=0/• x= - 2 或 x=-—3 -2 --•••中点横坐标是 ---------- =-一，代入直线方程可得中点纵坐标为-+2=,2 3 33•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是 （-彳，—）33故答案为：:二二3 3点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标.三.解答题（共13小题）18.求以坐标轴为对称轴，一焦点为 5逅）且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为g 的椭圆方程.本题给出焦点在 y 轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着 重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题.2 219. 已知M （4, 2）是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程.考点： 专题： 分析：椭圆的标准方程.计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题. 由题意，设椭圆方程为2 2厘一+」二1，与直线y=3x - 2消去y 得关于x 的 a 2 b £元二次方程.利用根与系数的关解答:系结合中点坐标公式， 得X 1+x 2=12泌a 21-9b 2=1,再由椭圆的c=H :,得a 2- b 2=50,两式联解得a 2=75, b 2=25 ,从而得到所求椭圆的方程.解：T 椭圆一个焦点为•椭圆是焦点在y 轴的椭圆，设方程为将椭圆方程与直线 y=3x - 2消去y ,得 设直线y=3x - 2与椭圆交点为 A （X 1,2 2, I (a >b > 0)a b(a 2+9b 2) x 2- 12b 2x+4b 2- a 2b 2=0 y 1), B (x 2, y 2)• X 1+X 2=12以a 2'r ：•打)2=50…②一 2 — . 2=1…①又■/ a 2 - b 2=( •①②联解，得a 2=75 , b 2=25因此，所求椭圆的方程为:2 275+25 = 1点评:1.16 Q考点： 直线与圆相交的性质. 专题： 计算题. 分析：设直线l 的方程为y -2=k (x - 4)，代入椭圆的方程化简，由X 1+X 2=E" 一止*=8解得k 值，即得直线1l+4k 2的方程.解答： 解：由题意得，斜率存在，设为k ,则直线l 的方程为y - 2=k (x - 4),即kx - y+2 - 4k=0, 代入椭圆的方程化简得：(1+4k 2) x 2+ (16k - 32k 2) x+64k 2 - 64k - 20=0,32k 2-L6kR 曰1--x1+x2==8，解得：k=l+4k 22则直线l 的方程为x+2y - 8=0 .点评： 本题考查了直线与圆相交的性质，一兀二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到(1+4k 2) x 2+ (16k-32k 2) x+64k 2- 64k - 20=0，是解题的关键.20. 已知一直线与椭圆 4x 2+9y 2=36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M (1, 1),求直线AB 的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：综合题.分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB 的中点坐标为 M (1 , 1),求出斜率，即可求得直线AB 的方程.解答：解：设通过点 M (1,1)的直线方程为y=k (x - 1) +1，代入椭圆方程，整理得(9k 2+4) x 2+18k (1 - k ) x+9 (1 - k ) 2 - 36=0 设A 、B 的横坐标分别为X 1、x 2，则I'，22 (9以+4) 解之得k=q故AB 方程为：二二:■:| -,即所求的方程为 4x+9y - 13=0.点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解.，求以点P (2,- 1)为中点的弦AB 所在的直线方程.考点： 直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题.分析： 先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出X 1+X 2，进而求得弦所在的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程.解答：解：设弦AB 所在的直线方程为 y - (- 1) =k (x - 2),即y=kx - 2k - 1.、 2,消去 y 得 x +4 ( kx - 2k - 1)整理得(1+4k 2) x 2- 8k (2k+1) x+4 (2k+1) 2 - 16=0 (1)21.已知椭圆 22- 16=0 ,443因为P (2,- 1为弦AB 中点,代入方程(1)，验证△> 0，合题意.所以弦AB 所在直线的方程为吒K-么即x-2y-4=0.点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系.在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程, 利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的.22. 已知椭圆与双曲线 2x 2- 2y 2=l 共焦点，且过( 「・')(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.椭圆的标准方程；轨迹方程. 计算题.(1) 求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点( .：，0)代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程. (2)设斜率为2的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),把y=2x+b 代入椭圆的方程， y= - — x ，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b 值，即4得轨迹方程中自变量 x 的范围.I-- --------------- 2••• W —F — I"艮卩汇=2, •••椭圆方程为-^"4- y'=1 . / / 一 1 乙的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),则1x .4令厶=0, 64b 2- 36 (2b 2- 2) =0,即b=出，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为 y=2x 出所以平行弦得中点轨迹方程为：y= -- x (-倉本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中 自变量x 的范围，是解题的易错点.8b2bd •2 29x +8xb+2b - 2=0 , • x i +x 2= 2)，所以有g+辺业倔+1)l+4k 2所以屮贰即强⑵+；) 1£ 1+41〃汕解得哙考点： 专题： 分析：利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为 解答:解：(1 )依题意得，将双曲线方程标准化为•/椭圆与双曲线共焦点，•设椭圆方程为/ 2y=2x+b 且=1 得， 即x= -两式消掉9 9即当 x= ±时斜率为2的直线与椭圆相切. (2)依题意，设斜率为 2点评:所以：x i +x 2=-2 223. 直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为P (2, - 1). (1 )求m 的值；(2) 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式. 计算题；压轴题. (1)先把直线方程与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 x i +x 2的表达式，进而根据其中点的坐标求 得m . (2)把(1)中求得椭圆方程与直线方程联立消去 y ,进而根据韦达定理求得X 1x 2的值，进而求得出|AB| 的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案.2mx 1+x 2= =4，贝y m=4• I X 1X 2=0坐标原点0到直线x - 2y - 4=0的距离为•三角形ABC 的面积为-^|AB| X d=4本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推 理的能力.k AB ?k OM 为定值.考点： 专题： 分析：解答:解：(1):-x - 2y - 4=0工^16消去 y ,整理得(卫+1) x 2- 2mx+4m - 16=04(2)由(1)知.K - 2y~ 4=0x，消去点评:24. AB 是椭圆2 2■ - ''中不平行于对称轴的一条弦,,I/M 是AB 的中点，0是椭圆的中心,求证:考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的应用. 证明题.设出直线方程，与椭圆方程联立消去y ，根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得表达式，进而根据点M 为AB 的中点，表示出M 的横坐标和纵坐标，求得直线OM 的斜率，进而代入 中求得结果为定值，原式得证.证明：设直线为：y=kx+c2 2 x 丄F n 飞百1 la b2- a 2b 2=0，即(b 2+k 2a 2) x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0联立椭圆和直线2 2 2b x +a (kx+c )消去y 得 y i +y 2 的k AB ?k OM ••• |AB■： I I ■=2'=0 .2盖(疋 —乂)(y 2 - y i ) (X - 1) = (X 2- X 1) (y - 2).再由点差法知 ---------------- T 一—1U2 29x +16y - 9x - 32y=0 .解答： 解：设弦中点为 M (x , y ),父点为A(X 1, y 1), B (x 2, y 2).当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线.16所以，M 点的横坐标为：M x =— ( X 1+X 2)=-又：y i = kx i +cy 2=kx 2+c点评：本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.),直线I 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.b 2 b.. ?\ = a 2kk AB ?k OM =k >所以 y i +y 2=k (X 1+X 2)+2c=(y"y2)=所以:25.已知椭圆C :，由此可得:(y 2-y 1) (X - 1) = (X 2-X 1) (y -2),①又 X 1+X 2=2X , y 1+y 2=2y ,由①② 可得：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0,③考点：轨迹方程.专题：综合题.分析：设弦中点为M ( x, y),父点为A (X1, y1) , B ( x2, y2).当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线.故=0 .2 当点M 与点P 重合时，点M 坐标为(1, 2)适合方程③， •••弦中点的轨迹方程为：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0 .点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用.26•已知椭圆专心.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程;⑶过点且被P 点平分的弦所在的直线方程•(门设弦的两端点分别为M(X 1, y i ), N (X 2, y 2),中点为R (x , y )，则K /十J 二2，K,十『二2，9- 代入式①，得所求的轨迹方程为 x+4y=0 (椭圆内部分).(2)可设直线方程为 y -仁k (x - 2) (k 用，否则与椭圆相切)， 设两交点分别为(X 3, y 3), (x 4, y 4),考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题. 专题： 综合题. 解答:2的平行弦的中点轨迹方程.(2)设直线方程为y -( x - 2),设两交点分别为(X 3, y 3), (X 4, y 4),则一 /】交于 E (X 5 , y 5) , F (X 6 , y 6),由 P■w知 X 5+X 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F ( X 6 , y 6)代入与:| -丄.二)且被P 点平分的弦所在的直线方程.解：(1 )设弦的两端点分别为 M (X 1 , y 1 ) , N (X 2 , y 2)的中点为R(X, y ),a®一)是EF 的中点,-,由此能求出过分析:者由此能求出斜率为两式相减得=0,由此能求出I 被截(3)设过点P (寺寺的直线与两式相减并整理可得2将显然X 3孜4 （两点不重合），（%+%）5 - ％；1 二口£ I |* 3令中点坐标为（x ，y ），•过点P （£, g ）且被P 点平分的弦所在的直线方程： y 一 £二—£ （蓋_ +）,即 2x+4y - 3=0 .点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题•解题时要认真审题，注意点差法的合理运用.27. 已知椭圆-y+y 2=l .（1）求过点Pg ）且被点P 平分的弦所在直线的方程；（2） 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3） 过点A （2, 1 ）弓|直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 BC 中点的轨迹方程.考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题.则2，两式相减得=0, 故 x+2y?k=x+2y 」_=0,即所求轨迹方程为 x 2+2y 2- 2x - 2y=0 （夹在椭圆内的部分）（3）设过点p （g 2 ••• P （&•丄）是EF 的中点,2- 二）的直线与—— .：■].交于 E （X 5，y 5），F （X 6, y 6），• •• x 5+x 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F (x 6, y 6)代入与72x5 +2y 5 =2 o 2'z6 +肘呂=2(x 5+x 6) (x 5- x 6) +2 (y 5+y 6) (y 5 - y 6) =0 ,(X5 - x 6) +2 (y 5 - y 6) =0,则 x+2y?4又（x , y ）在直线上，所以显然综合题. (1) 设出两个交点坐标，禾U 用两点在椭圆上，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式 方程即可.(2) 同(1)类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再让斜 率等于2，化简，即可得斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程.点的轨迹方程.解：(1 )设过点P (丄・丄)且被点P 平分的弦与椭圆交与 A (x i , y 1), B (x 2, y 2)点,2 2,y 2_yl-x2 _ x 12亿+卩］)(2)设斜率为2的平行弦的中点坐标为(x , y ),1)引的直线斜率不存在时，方程为 x=2，与椭圆无交点2 2x - 2x+2y - 2y=0 .则根据中点弦的斜率公式，有-亠2(3)当过点A (2, 1)弓I 的直线斜率存在时，设方程为 y -仁k (x - 2),得(2+k 2) /+2 (1 -代入椭圆方程，消22k ) kx+4k - 4k=0Zk (2k- 1)-2H1,y 1+y 2=■.y ,设弦BC 中点坐标为(x ,专题： 分析：(3)设出直线BC 方程，用参数k 表示K ] 4]辺y 】+珂2 ，2，再利用中点坐标公式，消去k ，即可得弦BC 中解答:2-4 Cy 2)J ②即，弦AB 的斜率为「1•方程为y -二=「( x -V - 1. s ：__2 (y-1)J x-2-①，整理得 x 2- 2x+2y 2- 2y=0又•/ k= 当过点A (2,•••所求弦BC 中点的轨迹方程为点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题.28.已知某椭圆的焦点是 □( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F 1B|+|F 2B|=1O ,椭圆上不同的两点 A (X 1, y i )、c ( x 2, y 2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程； (n )求弦AC 中点的横坐标.考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：(1)根据椭圆定义结合已知条件，得 |F i B|+|F 2B|=10=2a 可得a=5.由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方 程；(2)由点B (4, y B )在椭圆上，禾U 用椭圆方程算出 y B —.再根据圆锥曲线统一定义，算出|F 2A|、|F 2C|15|关于它们的横坐标 X I 、X 2的式子，由|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列建立关系式算出X 1+X 2=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC 中点的横坐标. 解答： 解：(1)由椭圆定义及条件，可得 2a=|F i B|+|F 2B|=10，得 a=5.又••• c=4, • b=|,-=3.因此可得该椭圆方程为2 2fe +V =1。