(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题

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高考数学二级结论快速解题：专题15 圆锥曲线的中点弦问题(原卷版)

专题15圆锥曲线的中点弦问题

一、结论

1.在椭圆C :22

221(0)x y a b a b

中:(特别提醒此题结论适用x 型椭圆)

(1)如图①所示,若直线(0)y kx k 与椭圆C 交于A ,B 两点,过A ,B 两点作椭圆的切线

l ,l ,有l l ,设其斜率为0k ,则2

02b

k k a

(2)如图②所示,若直线(0)y kx k 与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为椭圆上异于A ,B 的点,若

直线PA ,PB 的斜率存在,且分别为1k ,2k ,则2

122b k k a

(3)如图③所示,若直线(0,0)y kx b k m 与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为弦AB 的中点,

设直线PO 的斜率为0k ,则2

02b k k a

2.在双曲线C :22

221(0,0)x y a b a b

中,类比上述结论有:(特别提醒此题结论适用x 型双

曲线)

(1)2

02b k k a .

(2)2

122b k k a .

(3)2

02b k k a

3.在抛物线C ：22(0)y px p 中类比1（3）的结论有00

(0)p

k y y

.特别提醒：圆锥曲线的中点弦问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以通过联立+韦达定理求解.

二、典型例题

1．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为22

124

x y ，斜率为k

的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（

）

A ．直线A

B 与OM 垂直；

B ．若直线方程为22y x ，则AB

圆锥曲线中点弦高考专题

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题

例1 过椭圆14

=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

016)12(4)2(8)14(2

=--+--+k x k k x k

又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （2

2,y x ），则2

1,x x 是方程的两个根，于是

2(82

1+-=+k k k x x ，又M 为AB 的中点，所以21

2(422

221=+-=+k k k x x ，

解得2

1-=k ，故所求直线方程为042=-+y x 。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(1

,y x )，B

（2

,y x ），M （2，1）为AB 的中点，

所以42

=+x x ，22

=+y y ，

又A 、B 两点在椭圆上，则16

=+y

x ，

1642

=+y x ，

两式相减得0)(4)(2

=-+-y y x x ，

所以21

)(42

121

21-=++-=--y y x x x x y y

，即2

1-=AB

k ，故所求直线方程为042=-+y x 。

中点弦问题(基础知识)

圆锥曲线的中点弦问题

一：圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；

②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；

③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。

注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！

1、以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。例2、已知双曲线12

2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

2、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

例4、已知椭圆125

752

2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为

1，求椭圆的方程。 ∴所求椭圆的方程是125

752

2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例6、已知椭圆13

2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

高中圆锥曲线的中点弦问题(含解析)

1.在椭圆E:x2

a2+y2

=1(a>b>0)中:

(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线

l,l',有l∥l',设其斜率为k

0,则k

·k=-b2

(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线

PA,PB的斜率存在,且分别为k

1,k

,则k

·k

=-b2

(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,

设直线PO的斜率为k

0,则k

·k=-b2

2.在双曲线E:x2

a2-y2

=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:

(1)k

0·k=b2

. (2)k

·k

=b2

. (3)k

·k=b2

b,故

OM 交于A、

设弦AB 的中点为M ，过M 作1MM l ⊥于1M ，则1112MM AA BB =+，设抛物线的焦点为F ，则

AF BF AB +≥，即118AA BB AF BF +=+≥(当且仅当A ，B ，F 三点共线时等号成立)，

所以11128AA BB MM +=≥，解得14MM ≥，即弦AB 的中点到x 轴的最短距离为：413-=，

所以点M 的纵坐标为()0,3x ，()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1F ，2114x y =，2

224x y =，

∴所以直线AB 的斜率0121212031

420

x y y x x k x x x -+-=

===--，∴02x =±，此时1k =±，

圆锥曲线中点弦问题

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；

（2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题

例1 过椭圆14

162

2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k

又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是

4)2(82221+-=+k k k x x ，又M 为AB 的中点，所以21

4)2(422221=+-=+k k k x x ，解得2

1-=k ，故所求直线方程为042=-+y x 。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点，所以421=+x x ，221=+y y ，

又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642

222=+y x ，

两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，所以

21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即2

1-=AB k ，故所求直线方程为042=-+y x 。

圆锥曲线中点弦典型例题及解析

04
中点弦问题的变式和拓展
与焦点相关的问题
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与焦点相关的性质和定理，需要利用焦点性质和圆锥曲线的定义来解决。
详细描述
在解决与焦点相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的焦点性质和定义，结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
与切线相关的问题
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时，中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
椭圆的中点弦问题
总结词
几何意义和代数运算
VS
详细描述
解决椭圆的中点弦问题需要理解几何意义，将问题转化为代数运算。通过设出中点坐标和斜率，利用中点公式和斜率公式，将问题转化为关于中点和斜率的方程。然后通过代数运算，如消元、化简等，求解得到中点弦的方程。

(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题

中点弦问题专题练习

一．选择题（共8小题）

1．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）

A．B．C．2D．﹣2

2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）

A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0

3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为

AB的中点，则K AB•K OM的值为（）

A．e﹣1 B．1﹣e C．e2﹣1 D．1﹣e2

4．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）

A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0

5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）

A．2B．﹣2 C．D．

6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．

7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）

A．

（）B．

（﹣，）

C．

（，﹣）

D．

（﹣，）

8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）

A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0

二．填空题（共9小题）

9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________．10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________．

圆锥曲线中的中点弦问题

（泌阳第二高级中学河南泌阳463700）

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是高考的一个热点问题，也是解析几何的主要内容之一。在近几年的高考试题中时有出现。以下三个结论在解决相关问题时能有效简化解题过程，节省做题时间。我们通过练习体会一下。

1. 三个结论

结论1：在椭圆x2m+y2n=1（m>0，n>0，m≠n）中，弦AB以点M（x0，y0 ）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=-nm

结论2：在双曲线x2m-y2n=1 （m>0，n>0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=nm

结论3：在抛物线y2=2px（p >0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率是kAB =py0

2. 说明（1）上述结论均只考虑直线斜率存在的情形，做解答题时仍需分类讨论，关注斜率不存在的情形.（2）上述结论均可利用点差法进行证明，（3）.利用结论2求弦所在的直线方程时，应注意验证。

3. 结论的应用

类型1：求与中点有关的圆锥曲线的标准方程问题

例1（2013年高考数学全国新课标卷I理科第10题）

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（3，0），过F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标是M（1，-1），则椭圆方程是（）

A.x245+y236=1

B.x227+y218=1

C.x236+y227=1

D.x218+y29=1

高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？

答：

一·中点弦问题

1.中点弦问题是圆锥曲线中一类典型的问题，是高考命题的热点。

2.中点弦问题即可以考查小题，也可以作为大题出现，常常涉及求直线方程、求直线斜率、求曲线方程、求曲线离心率等知识点。

3.下面以椭圆为例，处理中点弦问题常常有以下三种方法：韦达定理、点差法和椭圆的垂径定理。

二·典例剖析

三·失误提醒

1.值得说明的是，以上各种方法皆体现了“设而不求”的数学思想。另外，法3其实是法2的结论的变形。

2.在选择、填空题中，三种方法皆可，不过采用椭圆的垂径定理更为快捷。但是在解答题中，最好使用韦达定理或者点差法，避免因过程不严密而失分。

以上。

(完整)点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题

点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN

的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN -=⋅.

证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,122

222222

1221 b y a x b

y a x )2()1(-，得.02

122

1=-+-b y y a x x .22

12121212a

b x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=

.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦

MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2

00a b x y k MN =

⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,122

圆锥曲线中中点弦求斜率问题(共12张PPT)

(x1 x 2 )(x1 x 2 ) a2 2 (y1 y2 )(y1 y2 ) b y0 b2 b2 k AB . 2 k AB .kOM 2 x0 a a
中点弦问题
（1）点差法求斜率及常用公式
这是一个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，因为方法过程简单但是繁琐，在小题里面可以直接利用结论来求出相关的斜率，常用结论如下：
（2）利用导数法求解中点弦问题
因此我们可以得到以下结论：椭圆 C :
x y 1 上点 A( x0 , y0 ) 处的切线方程为 16 9
2
2
中点弦问题
x0 x y0 x 2 1 2 a b
所以上面的结论可以直接用来写出椭圆的切线方程，当然先用导数求得斜率，再用
点斜式写出切线方程也可以，只不过没有上面的结论简洁直接，但是这跟用导数法求
（）
A.4 3
B.3 13
C. 14
D.2 3
解析：双曲线和抛物线共焦点可得 p=4，抛物线的方程为 y 2 8x ，点 M (2, 2) 是 AB 的中点，根据中点弦公式可得 k AB .kOM
p 2 ，所以 kAB 2 xM
又因为 M (2, 2) 在直线上，可得 m 2 所以直线方程为 y 2 x 2 接下来按照常规思路解得 AB 2 15, d

圆锥曲线中点弦问题教案

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题

例1 过椭圆14

内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

二、求弦中点的轨迹方程问题

例2 过椭圆

136

上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。

三、弦中点的坐标问题

例3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。

上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论

引理设A 、B 是二次曲线C ：02

2=++++F Ey Dx Cy

Ax 上的两点，P ),(00y x 为弦AB 的中点，则

)

02(220

0≠+++-

=E Cy

D Ax k AB 。

设A ),(11y x 、B ),(22y x 则0112

1=++++F Ey Dx Cy Ax ……（1） 02222

2=++++F Ey Dx Cy

Ax (2)

)2()1(-得0)()())(())((212121212121=-+-+-++-+y y E x x D y y y y C x x x x A

∴0)()()(2)(22121210210=-+-+-+-y y E x x D y y Cy x x Ax

专题03 圆锥曲线中的中点弦问题(解析版)

专题03 圆锥曲线中的中点弦问题

一、单选题

1．已知椭圆22

134

x y +=的弦被点(1,1)平分，那么这条弦所在的直线方程为（）

A ．4370x y +-=

B ．4370x y --=

C ．3410x y +-=

D ．3410x y --=

【答案】A 【分析】

设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解. 【详解】

设这条弦与椭圆22

134

x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y ，

由(1,1)在椭圆内，

由中点坐标公式知122x x +=，122y y +=，

把()11,P x y ，()22,Q x y 代入22

134

x y +=，

可得22

112

221,34

1,3

4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ， ①-①可得()()1212860x x y y -+-=，

12124

y y k x x -∴=

=--，

∴这条弦所在的直线方程为()4

113

y x -=-

-，即为4370x y +-=.

则所求直线方程为4370x y +-=. 故选：A

2．已知椭圆22

:143

x y C +=，过点()11

P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（） A ．3- B ．1

C ．34

D ．43

【答案】C 【分析】

设出,A B 的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解. 【详解】

设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，

(完整版)圆锥曲线的中点弦问题

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

(1) 求中点弦所在直线方程问题； (2) 求弦中点的轨迹方程问题；

(3) 求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题

2 2

例1、过椭圆 L 厶 1内一点M(2, 1)弓I 一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在的直线方程。

16 4

解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

2 2 2 2

(4k

1)x

8(2k k)x 4(2k 1) 16 0

又设直线与椭圆的交点为 A( x-i , y 1) , B ( x 2, y 2),则x 1, x 2是方程的两个根，于是 8(2k 2 k)

2 , 4k 1

两式相减得x 2y 4 由于过A 、B 的直线只有故所求直线方程为 x

2y 4

0。

二、求弦中点的轨迹方程问题

2 2

例2、过椭圆 — L 1上一点P (-8 , 0)作直线交椭圆于

64 36

解法一：设弦 PQ 中点 M( x, y )，弦端点 P ( x 1, y 1), Q( x 2, y 2),

2 2 则有

9笃励打576 , 9x 216

y 2 576

X 1 x 2

又M 为AB 的中点，所以

x 1 x 2 2 2

4(2k k)

4k 2 1

故所求直线方程为 x 2y 4 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为

A*, yj , B ( X 2,y 2), M(2,

圆锥曲线中点弦问题(点差法) - 精讲

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题；

（2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题

例1、过椭圆14

162

2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

二、求弦中点的轨迹方程问题

例2、过椭圆136

642

2=+y x 上一点A （-8，0）作直线交椭圆于P 、Q 两点，求PQ 中点的轨迹方程。

例3、已知双曲线122

=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

例4、已知椭圆125

752

2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

三、弦中点的坐标问题

例5 求直线1-=x y 被抛物线x y 42

=截得线段的中点坐标。

例6、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

四、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例7、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为2

1，求椭圆的方程。

五、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例8、已知椭圆13

2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”

专题复习：利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”

【知识要点】

已知直线与圆锥曲线交于,A B 两点，点00(,)P x y 为弦AB 的中点，由点差法可得出以下公式：

1. 椭圆：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b += 2020

AB x b k a y =-⋅

(2)焦点y 在轴上：22221y x a b += 20

AB x a k b y =-⋅

2. 双曲线：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b -= 20

AB x b k a y =⋅

(2)焦点y 在轴上：22221y x a b -= 20

AB x a k b y =⋅

3. 抛物线: (1)焦点x 在轴上：2

y mx = 02AB m

k y =

(2)焦点y 在轴上：2

x my = 0

2AB m k x =

【例题分析】

类型1：已知曲线及弦的中点,求直线

【例1】已知直线l 与椭圆22

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x y +=交于过点,A B 两点，若线段AB 的中点恰好为点(21)P ，，则直线l 的方程为 .

【实战演练】(2009新课标全国卷)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(1,0)F ，直线l 与

抛物线C 相交于,A B 两点，若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为 .

类型2：已知直线及弦的中点，求曲线

【例2】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为2

，则此双曲线的方程为 .

【实战演练1】(2014江西高考)过点(1,1)M 作斜率为1