华师版七年级上册数学第四章第6节角(第4课时)

互为余角
对应图形
1
互为补角
2 1
2
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 ° 性 质
同角或等角的 余角相等。 同角或等角的 补角相等。
检测
1. 判断： ①一个角的余角一定是锐角（ √ ）
②一个角的补角一定是钝角（
╳
）
③若∠1+∠2+∠3=90°，那么∠1、∠2、 ∠3互为余角（ ╳ ）
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60
o
80o
100o 120o 150o
170o
我来试一试：
∠α
5° 32°
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
45° 77°
62°23′
x
练习
北 东 西
D
西
北
40 °
B
东
O
南
60 °
A
O
C 南
60 °
A
如图，OA表示北偏东32°方向线， OB 表示南偏东43°方向线，则∠AOB等于 ——— —。
A看B的方向是北偏东30°，那么B 看A的方向是（ ）
（A）南偏东60°（B）南偏西60°
北 （C）南偏东30° （D）南偏西30° 北
B
1 2 A
4 倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。 根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°)
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与 ∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2 与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1 4 3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
一、填空
1、70°的余角是
20° ，补角是
110 °
。
2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补 角是 180°- ∠ 。
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ）
∠的补角是（180 °—∠ ）
例1
若一个角的补角等于它的余角的
3
3
4
∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，如果 ∠1=∠3，那么， ∠2和∠4相等吗？ 为什么？
•补角性质：
同角或等角的补角相等。
•余角性质：
同角或等角的余角相等。
A
1 O 2
D
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 ° 则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 （同角的余角相等)
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补 互补定义) .( 若∠1和∠2互补, ° 则∠1 + ∠2 =180.( 互补定义 ) 若∠3 + ∠4 =90 °, 则 ∠3和∠4互余 互余定义) .( 若∠3和∠4互余, ° 则 ∠3 + ∠4 =90.( 互余定义)
2
3 1
3
互为余角
如果两个角的和等于90°（直 角）， ，那么这两个角叫做互 为余角，其中一个角是另一个 角的余角。
互为余角
如果 两个角 的和是一个 直角，那么这两个 角叫做 互为余角，其中一个角是另一个角的 余角。
互为补角
如果 两个角的和是一个 平角，那么这两个 角叫做 互为补角，其中一个角是 另一个角 的 补角。
2
1
2
1
互为余角 如果两个角的和等于 90°（直角），那么这说 两个角互为余角，简称互余， 其中一个角是另一个角的余 角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50
o
60o
40
o
80
o
4
3
4
3
4 互为补角 如果两个角的和等于 180°（平角），那么这说 两个角互为补角，简称互补， 其中一个角是另一个角的补 角。 3
东
东
小明从点A出发向北偏西50°方 向走了3米，到达点B，小林从点A出 发向南偏西40°方向走了4米，试画 图确定出A、B、C三点的位置（用1 厘米表示3米），并从图上求出B点到 C点的实际距离。 北
B 500
西
400 A 东
C
南
C
A
O
B
互为补角
如果两个角的和等于180°（平 角），那么这两个角叫做互为补角， 其中一个角是另一个角的补角。
∠1+∠2=180°
21
等角的余角相等
2
1
等角的补角相等．
质
探索研究 如图，已知AOB是一直线，OC是 ∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角，图 中哪些角互余？哪些角互补？哪些角 相等？ C D
E
4
3
1
2
O
A
B
A
B
C
如图，E、F是直线DG上两点
D E F G
∠BEF = ∠BFE
∠AED = ∠CFG = 90 °
2. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30线AB上的一点， OD平分∠AOB， ∠COE = 90 ° 则∠BOC = ∠DOE ， ∠COD = ∠AOE 。
A
O
B
4.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之 间的关系？并试着说明理由？
所以∠2=∠4。
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与 ∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么 ∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
D B 4 E 3 2 1 O
A
C
找出图中相等的角并说明理由。
你知道方位角吗？
西北 北 东北
西
东
西南
南
东南
如图，ＯＡ是表示北偏东３０ 方向的一 条射线，仿照 这条射线，画出表示下列方向 的角：
（１）南偏东２５
60° 西 25° 南
300
０
北
０
A
（２）北偏西６０
０
东
如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在南
偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南偏 西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C 和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮 B、货轮C和海岛D的射线。
2
1
4
3
补角性质：
等角的补角相等
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如 果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2 1 3 4
解：∠2与∠4相等。
这里， 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 我们用到 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 了“等量 减等量， 又因为∠1=∠3， 差相等”。
1
2
3
4
余角性质：
等角的余角相等
A
1 O 2
D
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 ° 则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 （等角的余角相等)
互 余
数量 关系 对 应 图 形 性
互
补
∠1+∠2=90°