高一数学竞赛试题

水寨中学2010-2011学年高一级数学竞赛试题
本试卷满分100分；考试用时90分钟
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{0,1,2,3,5},{1,2,4,6},A B ==则集合A
B =（ ）
A ．{0,1,2,3,4}
B ．{1,2,3,4}
C ．{1,2}
D ．{0} 2．若AB =（2，4），AC =（1，3），则BC =（ ）
A ．)1,1(
B ．)1,1(--
C ．)7,3(
D ．)7,3(-- 3. 在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.无法判定4．已知{}n a 是等差数列，6720a a +=，7828a a +=，则该数列前13项和13S 等于（ ）
A.132
B.156
C.110
D.100
5.若数据123,,,,n x x x x 的平均数x =5，方差22σ=，则数据12331,31,31,
,31n x x x x ++++的平均数为（ ），方差为（ ）
A.5, 16
B.16, 18
C.15, 7
D.16, 2
6.要得到函数y=sinx 的图象，只需将函数y=cos(x-
6
π
)的图象( ) A. 向左平移3π个单位. B. 向右平移3π
个单位.
C ．向左6π平移个单位. D. 向右平移6
π
个单位.
7．若,x y 满足条件2
22x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[]4,5
B ．[]2,5
C ．[]4,6
D ．[]2,6 8.已知y =f (x )的定义域为(－2，2)，既是奇函数又是减函数，且f (a －2)+f (8－a 2)<0， 则a 的取值范围是（ ）
A ．
，3) B ．(3
， C ．
(4) D ．(－2，3)
二、填空题：本大题共4小题，每个小题4分，共16分。

9．在右图一个算法的流程图中（图中x N +∈），若当输入x 的值为10时， 输出的结果为 10．函数2()1
x
f x x =
-的值域是 11. 函数)3
(sin 12π
+
-=x y 的最小正周期是
12．将长度为1的线段随机折成三段，则三段能构成三角形的概率是_________
三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

13．（本小题满分12分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）。

已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数最多？有多少件？ （3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
14. (本小题满分10分）已知函数)1(log )(),1(log )(x x g x x f a a -=+=(1)a >．
（1）求函数()()()F x f x g x =-的定义域； （2）判断()()()F x f x g x =-的奇偶性，并说明理由； （3）求使()()()0F x f x g x =->成立的x 的集合.
15.（本小题满分10分）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,,a b c 且2a =，
3cos 5
B =
． (1) 若4b =，求sin A 的值；(2) 若△ABC 的面积4ABC S ∆=，求,b c 的值． 16．（本小题满分12分）已知{}n b 是等差数列，145,1103211=+⋅⋅⋅+++=b b b b b 。

（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设{}n a 的通项1
log (1)(1)n a n
a a
b =+
>，n S 是{}n a 前n 项的和，试比较n S 与1log 3
1
+n a b 的大小，并证明你的结论。

水寨中学2010-2011学年高一级数学竞赛答题卷
题目
一 选择题 二 填空题
13
14
15
16
总分
得分
1 2 3 4 5 6 7 8
（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）
9． 10． 11． 12．
三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（12分）
班别： 学号： 姓名：
……O ……密……O ……封……O ……线……O ……密……O ……封……O ……线……O ……密……O ……封……O ……线……O
……O ……密……
O ……封……
O ……线……
O ……密……
O ……封……
O ……线……
O ……密……
O ……封……
O ……线……O
水寨中学2010-2011学年高一级数学竞赛参考答案
（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）
9. 1 ； 10.()
(){},22,;-∞+∞≠或y y 2 11. π； 12.
14
三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13. 解：（1）依题意知第三组的的频率为41
2346415
=+++++，又因为第三组的频数为
12，∴本次活动的参评作品数为
605
112
=（件） …………………4分 （2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有
181
464326
60=+++++⨯
（件）。

…………………8分 （3）第四组的获奖率是,9
5
1810=第六组上交的作品数量为
31
464321
60=+++++⨯（件）。

∴第六组的获奖率为96
32=，显然第六组的获奖率较高。

…………………12分
14.(1)解：()()()log (1)log (1)a a F x f x g x x x =-=+-- 若要函数有意义，
则 10
10
x x +>⎧⎨
->⎩ 即11x -<<，所以所求函数定义域为{}11x x -<< ………3分
（2）解:在定义域内对任意x 都有()()()log (1)log (1)a a F x f x g x x x -=---=-+-+
[]log (1)log (1)()a a x x F x =-+--=- ，所以()()()F x f x g x =-是奇函数……6分
（3）解:()()0f x g x ->即log (1)log (1)0a a x x +--> , log (1)log (1)a a x x +>-
因为1a >时,所以原不等式等价于10
1011x x x x +>⎧⎪
->⎨⎪+>-⎩
解得: 01x << …………9分
所以原不等式的解集为{01}x x << …………………10分
15.解：(1) ∵cosB=
3
5>0，且0<B<π， ∴
4
5=. …………………2分
由正弦定理得a b
sinA sinB
=
， …………………3分 42asinB 25sinA b 45⨯
===. …………………5分 (2) ∵S △ABC =1
2
acsinB=4， …………………7分
∴14
2c 425
⨯⨯⨯=， ∴c=5. …………………9分
由余弦定理得b 2=a 2+c 2－2accosB ，
∴b =
==
…………………10分 16．解：（1）由已知可得11
1
1045145b b d =⎧⎨+=⎩ ……………………2分
解得3d = …………………4分 所以1(1)332n b n n =+-⋅=- ……………………5分 （2）
131
log (1)log 3232
n a a
n a n n -=+
=-- 258(31)
log 147(32)
n a
n S n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅- ……………………7分
又
11
log log 3
a n a
b +=
…………………8分 11log log 3
n a n a
S b +∴-=
…………………9分
设n T
=
11n n T T +===>
所以n T 是单调递增的，故有11n T T ≥=
> …………………………11分 因为1a >，11log log log 103n a n a n a S b T +-=>=，即11
log 3
n a n S b +>
…12分。