湖北省荆门市高二数学下学期3月月考试题 理(扫描版,无答案)
湖北省荆州市高二下学期数学3月月考试卷
湖北省荆州市高二下学期数学3月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·温州期末) 五张分别标有1，2，3，4，5的纸牌排成一行，满足任意相邻两张纸牌上的数字之和不大于7的排法数有（）A . 12种B . 24种C . 36种D . 48种2. （2分）(2018·河北模拟) 的展开式中项的系数为（）A . -16B . 16C . 48D . -483. （2分） (2019高二下·吉林期中) 袋中有10个大小相同但编号不同的球，6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） C +C +…+C +…+C 的值为（）A . 22n﹣1﹣1B . 22n﹣1C . 2n﹣1D . 2n5. （2分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A . 140种B . 120种C . 35种D . 34种6. （2分）在（2x+a）5的展开式中，含x4项的系数等于160，则（ex+2x）dx等于（）A . e2+3B . e2+4C . e+1D . e+27. （2分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）A . 3B . 5C . 6D . 108. （2分） (2016高二下·南阳期末) 甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）在的展开式中，含的项的系数是（）A . 60B . 160C . 180D . 24010. （2分） (2019高二下·揭阳期末) 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好有2次抽到奇数的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二下·都昌期中) 若，则等于（）A . -4B . 4C . -64D . -6312. （2分） (2019高二下·大庆期末) 在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）（x+3）（2x﹣）5的展开式中常数项为________．14. （1分）(2017·杨浦模拟) 从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有________个．15. （1分）若随机变量η的分布列如下：η﹣2﹣10123P0.10.20.20.30.10.1则当P（η＜x）=0.8时，实数x的取值范围是________．16. （1分）若某学校要从5名男教师和3名女教师中选出3人作为上海世博会的首批参观学习者，则选出的参观学习者中男女教师均不少于1名共有________选法．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2019高二下·舒兰期中) 从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）18. （25分）已知：，设．（1）求n的值；（2）写出f（x）的展开式中所有的有理项；（3）求f（x）的展开式中系数最大的项．19. （5分） (2018高二下·长春开学考) 已知二项式的展开式.（1）求展开式中含项的系数；（2）如果第项和第项的二项式系数相等，求的值．20. （10分）(2017·昌平模拟) 从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．分组（米）频数频率[3.0，5.0）0.10[5.0，7.0）0.10[7.0，9.0）0.10[9.0，11.0）0.20[11.0，13.0）0.40[13.0，15.0）10合计 1.00（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．21. （10分）(2020·呼和浩特模拟) 检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，即将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，再对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 .（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点 .当时，根据和的期望值大小，讨论当取何值时，采用逐份检验方式好？（参考数据：，，，，， .）22. （10分）(2017·桂林模拟) 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：质量指标值m m＜185185≤m＜205m≥205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？（Ⅱ）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（III）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N（218，140}），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
2022年湖北省荆门市毛李中学高二数学理月考试题含解析
2022年湖北省荆门市毛李中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．﹣D．﹣2参考答案：D【考点】导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1?k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣?（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）2. 若直线ax+by=1与圆相交，则P（a,b）的位置上（）A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D.以上都有可能参考答案：B3. 已知满足，且，下列选项中一定成立的是()A. B. C. D.参考答案：B4. “AB>0”是“方程表示椭圆”的（）A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A5. 是定义在上的增函数,则不等式的解集是A． B. C. D.参考答案：D略6. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A． B． C． D．参考答案：D7. 设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为（）A. B. C. D.参考答案：B略8. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军。
若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立。
则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了3局的概率为( ) A.B. C. D.参考答案：B9. 两个分类变量X与Y有关系的可能性越大，随机变量K2的值（）A．越大B．越小C．不变D．可能越大也可能越小参考答案：A【考点】BN：独立性检验的基本思想．【分析】根据题意，由分类变量的随机变量K2的意义，分析可得答案．【解答】解：两个分类变量X与Y有关系的可能性越大，随机变量K2的值越大，故选：A．【点评】本题主要考查两个分类变量相关系数的性质与应用问题，关键理解随机变量K2的意义．10. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A.假设三个内角都不大于60°B.假设三个内角都大于60°C.假设三个内角至多有一个大于60°D.假设三个内角至多有两个大于60°参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若，则实数a的取值范围__________.参考答案：(－2,1)【分析】设，再求函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】设，因为，所以函数是奇函数，其函数图像为函数在R上单调递增，由题得，所以,所以,所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性及其应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12. 设θ为第二象限角，若，则sin θ+cos θ= ．参考答案：﹣考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系． 专题：压轴题；三角函数的求值．分析：已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin θ与cos θ的值，即可求出sin θ+cos θ的值．解答： 解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=﹣，而cos 2θ==，∵θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，则sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．13. 已知函数在处取得极值10，则______.参考答案：3014. 在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为 ．参考答案：15. 已知函数的一条对称轴为，则的值为_______．参考答案：【分析】根据对称轴为可得，结合的范围可求得结果.【详解】为函数的对称轴解得：又本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数性质求解解析式的问题，关键是能够采用整体对应的方式来进行求解. 16. 直线x ﹣y ﹣5=0被圆x 2+y 2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为 ．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为： =．所以弦长为：．故答案为：．17. 在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为__________．参考答案：因为，而，则，，故，。
湖北省荆门市钟祥市实验中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题
故选：ACD
【点睛】
熟练运用余弦三角函数的性质是解题关键，属于基础题.
11．BCD
【分析】
由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项 和 ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．
【详解】
故选：ACD．
【点睛】
本题考查了空间点线面位置关系，考查了转化思想、空间想象能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
13．
【分析】
由 结合已知条件可求得结果
【详解】
解：因为平面向量 与 的夹角为 ，且 ， 为单位向量，
所以
，
故答案为：
【点睛】
此题考查求向量的模，考查平面向量的数量积运算，属于基础题
湖北省荆门市钟祥市实验中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 在复平面上对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知集合 ， ，则 （）
B．到 年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额
C．城镇居民存款年底余额逐年下降
D． 年城乡居民存款年底余额增长率大约为
10．已知函数 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且直线 是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）
A．函数 的最小正周期为 B．
C．函数 在区间 上单调递增D．点 是函数 图象的一个对称中心
16．已知 是定义域为 的奇函数， 是 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是________．
湖北省高二下学期3月联考数学试题(解析版)
一、单选题1．一质点运动的位移方程为，当秒时，该质点的瞬时速度为（ ）()2216010m/s 2s t gt g =-=4t =A ． B ． C ． D ．20m/s 30m/s 40m/s 50m/s 【答案】A【分析】利用导数的概念即可求出结果.【详解】因为，所以当时，. 60s gt '=-4t =20m/s s '=故选：A.2．直线与平行，则（ ） 320ax y -+=()2210a x y ---==a A ．6 B ．C ．或3D ．36-2-【答案】A【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果. 【详解】已知直线与平行， 320ax y -+=()2210a x y ---=由，得.经验证，符合题意. ()322a a --=-6a =故选：A.3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ）()f x ()f x '()f xA ．和B ．C ．D ．1x 4x 2x 3x 5x 【答案】D【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项. 【详解】因为当，，所以单调递增；当时，，当()3,x x ∈-∞()0f x ¢>()f x ()35,x x x ∈()0f x '<时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极()5,x x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()35,x x ()5,x +∞()f x 小值点为. 5x 故选：D.4．已知等比数列满足，则（ ）{}n a 1352112nn a a a a -+++⋅⋅⋅+=-234a a a =A ．8B ．C ．D ．168-【答案】C【分析】利用等式数列前n 项和公式求出，，进而即可求出结果.22q =11a =-【详解】设等比数列的公比为，由， {}n a q ()211352121121nn n a q a a a a q-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+++⋅⋅⋅+==--解得，.22q =11a =-所以. ()332234318a a a a a q ===-故选：C.5．某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r （单位：40.1πr cm ）是瓶子的半径.已知每出售1mL 的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm ，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm【答案】A【分析】根据给定条件，借助球的体积公式求出每瓶液体材料的利润，再利用导数求解作答. 【详解】依题意，每瓶液体材料的利润，，34344()0.3π0.1)π0.1π(43f r r r r r =⨯-=-08r <≤则，令，得，当时，，当时，2()0.4π(3)f r r r =-'()0f r '=3r =(0,3)r ∈()0f r '>(3,8)r ∈()0f r '<，因此函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值， ()f r (0,3)(3,8]3r =()f r 所以当每瓶液体材料的利润最大时，. 3r =故选：A6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>2F 离为1，点在双曲线上，若的面积为（ ） P 12tan F PF ∠=12F PF △A ． BCD【答案】B【分析】根据点到该双曲线渐近线的距离为1，可以求出，利用双曲线定义和余弦定理可以2F 1b =得到，再根据，进而可以求出()121221cos 4PF PF F PF -∠=12tan F PF ∠=121cos 5F PF ∠=结果.【详解】因为点到该双曲线渐近线的距离为1，双曲线渐近线方程为， 2(,0)F c by x a=±.1b ==由， ()12222121212222cos PF PF a c PF PF PF PF F PF ⎧-=⎪⎨=+-∠⎪⎩可得.()2121221cos 44PF PF F PF b -∠==因为， 12tan F PF ∠=12sin F PF ∠=121cos 5F PF ∠=所以，1212251cos 2PFPF F PF ==-∠故的面积为12F PF △1212115sin 222PF PF F PF ∠=⨯=故选：B.7．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式()0,∞+()f x ()f x '()()0xf x f x '-<()20f =的解集为（ ）()()10x f x ->A ． B ． C ． D ．()0,2()1,2()0,1()2,+∞【答案】B 【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结()()f xg x x=()g x ()0,∞+()20f =果.【详解】设，则，因为，所以在上()()f x g x x=()()()2xf x f x g x x '-'=()()0xf x f x '-<()g x ()0,∞+单调递减.因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式()20f =()20g =02x <<()0f x >2x >()0f x <的解集为.()()10x f x ->()1,2故选：B.8．若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃{}n a i a 1i a +2i a +()()2210i i i i a a a a +++-->数列”，下列说法中正确的是（ ） A ．存在等差数列是“跳跃数列”{}n a B ．存在公比大于零的等比数列是“跳跃数列”{}n aC ．若等比数列是“跳跃数列”，则公比 {}n a ()1,0q ∈-D ．若数列满足，则为“跳跃数列” {}n a 121n n a a +=+{}n a 【答案】C【分析】由可判断A ；由可()()222120i i i i a a a a d +++--=-≤()()()()2222111i i i i i a a a a a q q q +++--=--+判断B ；解不等式可判断C ；由得()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+>121n n a a +=+，计算可判断D.243n n a a +=+()()221i i i i a a a a +++--【详解】若是等差数列，设公差为，则，所以不存在等差数{}n a d ()()222120i i i i a a a a d +++--=-≤列是“跳跃数列”，故A 错误；{}n a 若是等比数列，设公比为，则，当时，{}n a q ()()()()2222111i i i i i a a a a a q q q +++--=--+0q >，所以B 错误；()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+≤由，得，所以C 正确；()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+>()1,0q ∈-因为，所以，所以121n n a a +=+212143n n n a a a ++=+=+，故D 错误.()()()()()()()22214343213322610i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a a +++--=--+--=--+=-+≤故选：C.二、多选题9．已知函数的导函数为，则下列选项正确的有（ ） ()f x ()f x 'A ．若，则 ()()ln 21f x x =-()221f x x ='-B ．若()f x =()2535f x x -'=C ．若，则()cos sin x f x x =π24f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭D ．若，则 ()3xf x =()31ln 3f '=【答案】AC【分析】根据复合函数的导数公式判断选项A ，B ，C ；根据指数函数的求导公式判断选项D. 【详解】对于A ，令，，因为，，所以ln y μ=21x μ=-1y μ'=2μ'=()12221f x y x μμ'=⨯='⋅'=-，故A 正确；对于B ，因为，所以，故B 不正确；()53f x x ==()2353f x x ='对于C ，因为，所以，故C 正确；()()()22cos sin sin cos 1sin sin x x x x f x x x''=-'-=π24f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭对于D ，因为，所以，故D 不正确.()3ln3xf x ='()13ln3f '=故选：AC.10．如图，在四棱锥中，平面，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AB CD A π2ABC ∠=122AB PA CD ===，M 为PC 的中点，则（ ）BC =A ．直线AM 与BC 所成的角为π4B ．DM = C．直线AM 与平面 ADP D ．点M 到平面ADP 【答案】ACD【分析】过A 作，垂足为E ，以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一AE CD ⊥判断各个选项即可.【详解】过作，垂足为，则，A AE CD ⊥E 2DE =以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，A AE AB AP 则，，，，，，()0,2,0B ()2,0C ()2,0D -()002P ,,)M)AM =，.()BC = ()DM =对于A ，因为cos ,AM BC AM BC AM BC ⋅===所以直线AM 与BC 所成的角为，故A 正确. π4对于B B 不正确. =对于C ，设平面的法向量为，ADP (),,n x y z =因为，，()2,0AD =- ()0,0,2AP = 所以令.20,20,n AD y n AP z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩x)n = 设直线与平面所成的角为，则，AM ADP αsincos ,AM n AM n AM n α⋅====所以直线与平面C 正确. AM ADP 对于D ，设点到平面的距离为，则M ADPd AM n d n⋅=== 即点到平面D 正确. M ADP故选：ACD.11．已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对()ln 1f x x x =+()e xg x ax -=+()f x ()g x 称的点，则a 的取值可以是（ ） A ．2e B ． C ． D ．e 2+e 1+2e 【答案】ABD【分析】根据与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，可转化为与在()f x ()g x ()f x ()g x --上有两个交点，分离参数构造函数，求导讨论单调性求最值即可求解.(0,)+∞a 【详解】因为与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点， ()f x ()g x 所以方程有且仅有两解.()()0f x g x +-=由，得. ()()ln 1e 0xf xg x x x ax +-=++-=e 1ln x a x x+=+设，则与的图象有两个交点，()e 1ln x x x x ϕ+=+y a =()e 1ln xx x xϕ+=+因为，所以在上单调递减，在上单调递增，且两边趋向正无()()()21e 1x x x x ϕ-'+=()x ϕ()0,1()1,+∞穷，所以，故，所以. ()()min 1e 1x ϕϕ==+()1e 1a ϕ>=+()e 1,a ∞∈++故选：.ABD 12．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线与C 交于点，，则下列结论2:4C y x =()11,A x y ()22,B x y 正确的是（ ）A ．若，则直线AB 的斜率为1 124y y +=B ．若，则 124x x +=8AB =C ．的最小值为4AB D ．若直线AB 的斜率为1，则AF BF -=【答案】ACD【分析】利用点差法求直线AB 的斜率判断选项A ；根据焦点弦长公式求解判断选项B ；对于选项C ，D ，用直线的倾斜角为表示，进一步计算判断C ，D 选项.AB α,AF BF 【详解】对于A ，因为所以，，则. 2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩22121244y y x x -=-12x x ≠1212124y y x x y y -=-+因为，所以直线的斜率为，故A 正确.124y y +=AB 12121y yx x -=-对于B ，，故B 错误. 12122622p pAB AF BF x x x x =+=+++=++=对于C ，如图，过点作轴，垂足为，作垂直于准线的直线，垂足为.A AH x ⊥H 1AA 1A设直线的倾斜角为.，则，即AB α1cos AF AA p FH p AF α==+=+()1cos AF p α-=，同理可得.，当且仅当1cos pAF α=-1cos p BF α=+22244sin sin p AB AF BF αα=+==≥90α=︒时，等号成立，故C 正确.对于D ，因为直线的斜率为1，所以AB cos α=，故D 正确.1cos p AF BF α-=-故选：ACD.三、填空题13．已知数列满足，，则______. {}n a 11a =1n n a a n +=-4a =【答案】5-【分析】根据递推公式计算可得. 【详解】因为，， 11a =1n n a a n +=-所以，，， 211a a -=-232a a -=-433a a -=-累加可得，解得. 411236a a -=---=-45a =-故答案为：.5-14．函数的导函数为，若，则______.()f x ()f x '()()31e 03xf x x f x '=++()0f '=【答案】2【分析】可以求出导函数，代入可得．()()31e 03xf x x f x '=++0x =()0f '【详解】由，得，()()31e 03xf x x f x '=++()()2e 01x f x x f ''=++得. ()02f '=故答案为：2.15．已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是4320x y m ++=22:(3)(1)1C x y ++-=m __________.【答案】3（或，只需填写一个答案即可）4,5,6【分析】利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合直线与圆相交的条件即可求解. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径为， 22:(3)(1)1C x y ++-=C ()3,1C -1所以圆心到直线的距离为()3,1C -4320x y m ++=d因为直线与圆相交 4320x y m ++=22:(3)(1)1C x y ++-=所以，解得，2915m -<27m <<所以整数的所有可能取值为.m 3,4,5,6故答案为：3（或，只需填写一个答案即可）.4,5,6四、双空题16．现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点()f x '()f x ()f x ''()f x '()y f x =()(),x f x 处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，，则()()()()3221f x K f x =+'''()13e x f x -=()21g x x=1x =1K 2K ______；设余弦曲线的曲率为K ，则的最大值为______ 12K K =()cos h x x =2K 【答案】【分析】根据曲率的定义求得，，从而求得，求得的表达式，结合导数求得的最大1K 2K 12K K 2K 2K 值.【详解】因为，所以，，()13e x f x -=()13e x f x -='()13e x f x -=''所以，，所以.()13f '=()13f ''=()()()()()32133222133101911f K f -===⨯+'+''因为，所以，. ()21g x x =()32g x x -=-'()46g x x -=''所以，，所以，()21g '=-()16g ''=()3223266514K -==⨯+所以35212322310265K K ---⨯===⨯因为，所以，则， ()cos h x x =()sin h x x =-'()cos h x x =-''所以.()()2223322cos cos 1sin 2cos xxK x x ==+-令，则.[]2cos 0,1t x =∈()()232tK h t t ==-因为，所以在上单调递增，()()42202t h t t +=>-'()h t []0,1当，即时，有最大值，所以.1t =2cos 1x =2K ()11h =2max 1K =；1.五、解答题17．已知函数.()3223129f x x x x =--+(1)求曲线在处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)求在上的最值. ()f x []3,3-【答案】(1) 1280x y +-=(2)最小值为，最大值为16. 36-【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可得切线方程； （2）求出函数在上的所有极值和，通过比较即可得最值.()f x []3,3-()()3,3f f -【详解】（1）因为，所以.()3223129f x x x x =--+()26612f x x x '=--因为，，()112f '=-()14f =-所以所求切线方程为，即.()4121y x +=--1280x y +-=（2），令，得或.()()()26612621f x x x x x '=--=-+()0f x '==1x -2x =当时，，单调递增； [)3,1x ∈--()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()1,2x ∈-()0f x '<()f x 当时，，单调递增，(]2,3x ∈()0f x ¢>()f x 所以，当时，取极大值；当时，取极小值， =1x -()f x ()116f -=2x =()f x ()211f =-又因为，，()336f -=-()30f =所以在上的最小值为，最大值为16.()f x []3,3-36-18．如图1，在中，，，AD 是BC 上的高，沿AD 把折起，ABC A 60ABC ∠=︒90BAC ∠=︒ABD △使，如图2.=90BDC ∠︒(1)证明：.AB CD ⊥(2)设E ，F 分别为BC ，AC 的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. ADB DEF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，验证即可；0AB DC ⋅=（2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可得出答案. ADB DEF 【详解】（1）由题意可知，DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设，以为坐标原点，以，2DB =D DB，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， DC DA则，，，，.(0,0,A ()2,0,0B ()0,6,0C ()1,3,0E (F因为，(2,0,AB =- ()0,6,0DC =所以，故. (200600AB DC ⋅=⨯+⨯+-⨯= AB CD ⊥（2）设平面的法向量为，DEF (),,n x y z =因为，，()1,3,0DE=(DF = 所以令，得.30,30,n DE x y n DF y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩1y =(3,1,n =- 取平面的一个法向量为.ADB ()0,1,0m =设平面与平面所成的锐二面角为，则ADB DEF αcos m n m nα⋅=== 故平面与平面. ADB DEF 19．已知函数.()22e xf x x ax =--(1)若函数在R 上单调递减，求实数a 的取值范围；()f x (2)若过点可作三条直线与曲线相切，求实数a 的取值范围. ()1,1-()y f x =【答案】(1)证明见解析(2) 2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得在上恒成立，分离参数后即可求出结果；()0f x '≤R （2）设切点为，表示出切线方程，进而转化为的图象与直线()()00,x f x ()2212e xh x x x x =++-有三个交点，研究图像即可求出结果.y a =()h x 【详解】（1）因为在上单调递减，所以在上恒成立，()f x R ()0f x '≤R 因为，()22e xf x x a =--'所以，即.22e 0x x a --≤22e x a x ≥-令，则，()22e x g x x =-()()22e 21e x xg x =-=-'所以在上单调递增，在上单调递减， ()g x (),0∞-()0,∞+所以， ()()max 02g x g ==-故实数的取值范围是.a [)2,-+∞（2）设切点为，则， ()()00,x f x ()020002e x f x x ax =--()00022e x f x x a =--'所以切线方程为 ()()()00200002e 22e x x y x ax x a x x ---=---将点代入得，()1,1-()()()002000012e 22e 1x x x ax x a x ---=----整理得，02000212e 0x x x x a ++--=即关于的方程有三个不同根，x 2212e 0x x x x a ++--=等价于的图象与直线有三个交点.()2212e xh x x x x =++-y a =因为，()()()()()2121e 211e x xh x x x x =+-=+-'+所以在，上单调递减，在上单调递增. ()h x (),1-∞-()0,∞+()1,0-因为，， ()21eh -=()01h =所以实数的取值范围是.a 2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭20．设等差数列的公差为d ，前n 项和为，等比数列的公比为q .已知，，{}n a n S {}n b 11b a =29b =，.q d =10165S =(1)求，的通项公式 {}n a {}n b (2)当时，记，求数列的前n 项和. 1d >nn na cb ={}n c n T 【答案】(1)或 3,3n n n a n b =⎧⎨=⎩1477,6272.23nn nn a b -+⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)19231443n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知应用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，进而写出通项公式；（2）由题设有，应用错位相减法求Tn ．113n n c n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）由题意知，119,1045165a d a d =⎧⎨+=⎩解得或 13,3a d =⎧⎨=⎩127,22,3a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以或 3,3n n n a n b =⎧⎨=⎩1477,6272.23nn nn a b -+⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）因为，所以.1d >13133n n n n n a n c n b -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭因为，012111111233333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1231111112333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得121211111333333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11133131322313nn nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-故19231443n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭21．已知椭圆，四点，，，中恰有三()2222:10x y C a b a b+=>>(1P ()21,1P )3P ()4P 点在C 上. (1)求C 的方程；(2)若圆的切线l 与C 交于点A ，B ，证明为定值，并求出定值.2243x y +=OA B OB A ⋅【答案】(1)22142x y +=(2)【分析】(1)利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断在上，进C 3P 4P 2P 3P 1P C 而求出结果；(2)先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到l OA OB ⊥l ，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果.()22341m k =+OA OB ⊥【详解】（1）由，两点关于轴对称，可得经过，两点.3P 4P y C 3P 4P 与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上.2P 3PC 2P C 所以在上.1P C 则，解得，22211b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故的方程为.C 22142x y +=（2）当切线的斜率不存在时，得l :l x =当，. :l x=AB，则.0OA OB ⋅== OA OB⊥当时，同理可证. :l x =当切线的斜率存在时，设.l :l y kx m =+因为与圆相切， l 2243x y +=所以圆心到的距离为()0,0l d ==即，()22341m k =+联立得.22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214240k x kmx m +++-=设，，则，. ()11,A x y ()22,B x y 122412km x x k +=-+21222412m x x k -=+ ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()222222212441212k m k m m k k+-=-+++. 22243412k m k -+-=+由，得，则.()22341m k =+0OA OB ⋅= OA OB ⊥综上，若圆的切线与交于点A ，B ，则， 2243x y +=l C OA OB ⊥所以由等面积法可得OA OB d AB⋅==所以为定值，定值为OA B OB A ⋅【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．已知函数，.()22e xa f x x =0a ≠(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若恒成立，求实数a 的取值范围. ()ln ln x xf x a -≤【答案】(1)答案见解析(2). 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对进行求导，得，分类讨论和两种情况，利用导()f x ()()222e 21x a x f x x'-=0<a 0a >数研究函数的单调性，即可得出函数的单调性；()f x （2）根据题意，将原不等式转化为，令，即，根据ln 22e e xxax x a ≥()e xu x x =()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()x μ的单调性及函数值的正负得出恒成立，参变分离得，构造新函数，利用2ln x x a ≥2e x xa ≥()2ex x v x =导数研究的单调性和最值，从而得出实数a 的取值范围.()v x 【详解】（1）因为，，()22e xa f x x=()(),00,x ∈-∞⋃+∞所以. ()()222222e 214e 2e xx x a x a x a f x x x --='=当时，由，得，由，得，且，0a >()0f x ¢>12x >()0f x '<12x <0x ≠故的单调递增区间为，单调递减区间为，；()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),0∞-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，由，得，且，由，得， 0<a ()0f x ¢>12x <0x ≠()0f x '<12x >故的单调递增区间为，，单调递减区间为.()f x (),0∞-10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）易知，.0x >0a >由，可得， ()ln ln x xf x a -≤22e ln ln lnxx a x a a≥-=所以恒成立，即恒成立22e ln xx x x a a ≥ln 22e e ln x x ax x a≥设，则，()e xu x x =()()1e xu x x '=+当时，，当时，， 1x <-()0u x '<1x >-()0u x '>所以在上单调递减，在上单调递增. ()u x (),1-∞-()1,-+∞因为当时，，当时，，0x <()0u x <0x >()0u x >所以恒成立, 即恒成立,等价于恒成立，ln 22e e ln xxaxx a ≥()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2ln x x a ≥即对恒成立.2exxa ≥()0,x ∈+∞设，，则. ()2e x x v x =0x >()212ex xv x -'=当时，；当时，.10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0v x '>1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0v x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()v x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，所以，即的取值范围是.()max 1122e v x v ⎛⎫== ⎪⎝⎭12e a ≥a 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：对于含参不等式的恒成立问题，往往采用参变分离或构造含参函数两种方法，参变分离在使用时，一定保证能够分离出函数，可利用导数清晰的研究出其单调性；构造含参函数，利用导数研究其单调性时，一般导函数能够分解因式，再利用分类讨论，可得答案.。
高二数学下学期3月月考试题 理(扫描版,答案不全)(2021年整理)
案不全）
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答案不全）。
湖北省荆州市沙市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题含答案
2023—2024学年度下学期2022级3月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年3月21日一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“79k <<”是“22197x y k k +=--为椭圆方程”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】依题意有907097k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩,解得()()7,88,9k ∈⋃,故选B .2.已知抛物线的焦点坐标为()2,0，则抛物线的标准方程是（）A.28y x =-B.28y x =C.28x y =-D.28x y=【答案】B 【解析】【分析】利用抛物线的标准方程的相关知识即可得解.【详解】依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =>，由焦点坐标为()2,0，得22p=，即4p =，所以抛物线的标准方程为28y x =.故选：B.3.在等差数列{}n a 中，()()3456814164336a a a a a a a ++++++=，那么该数列的前14项和为（）A.20B.21C.42D.84【答案】B 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的过程为d ，利用基本量代换，求出1143a a +=，代入前n 项和公式即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的过程为d ，因为()()3456814164336a a a a a a a ++++++=，所以()()11111114336234571315d d d d d a a a d a d a a a +++++++++++++=，即13123a d +=，所以1143a a +=，所以()14141143=211422a a S +==⨯.故选：B4.设等比数列{}n a 满足12131,3a a a a +=--=-，则6S =（）A.63-B.21- C.21D.63【答案】B 【解析】【分析】设数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的通项公式及求和公式求解即可．【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，∵12131,3a a a a +=--=-，∴1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩，解得112a q =⎧⎨=-⎩，∴()61611a q S q-=-164213-==-，故选：B ．【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和，属于基础题．5.已知点D 在ABC 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正实数x ，y 满足3OD OC xOA yOB =--，则21x y+的最小值为（）A.1B.32+C.1+D.3+【答案】B【解析】【分析】根据空间四点共面的性质，结合基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为3OD OC xOA yOB =--，且,,,A B C D 四点共面，由空间四点共面的性质可知31x y --=，即2x y +=，又0,0x y >>，所以()211211213332222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝+ ⎝⎭⎝⎭当且仅当2y xx y=，即42x y =-=-时，等号成立，所以21x y +的最小值为32+.故选：B.6.若函数()5ln p x x x a =-有零点，则a 的取值范围是（）A.1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.1,5e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ D.1,5e ∞⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】通过导数求解函数()p x 的单调区间，得到其最小值，令最小值小于等于零进行求解即可.【详解】已知函数()5ln p x x x a =-，则()()45ln 1p x xx =+'，0x >，当150ex -<<时，()0p x '<；当15ex ->时，()0p x '>.()p x 在区间150,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在区间15e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以15min 1()e 05e p x p a -⎛⎫==--≤ ⎪⎝⎭，则15e a ≥-，又(),x p x →+∞→+∞，所以15ea ≥-.故选：C .7.已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩（ 2.718e =为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则αβ+=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】令()0f x =可求得其零点，即α的值，再利用导数可求得其极值点，即β的值，从而可得答案．【详解】解：39,0(),0x x x f x xe x ⎧-=⎨<⎩，当0x 时，()0f x =，即390x -=，解得2x =；当0x <时，()0x f x xe =<恒成立，()f x ∴的零点为2α=．又当0x 时，()39x f x =-为增函数，故在[0，)∞+上无极值点；当0x <时，()x f x xe =，()(1)x f x x e '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>，1x ∴=-时，()f x 取到极小值，即()f x 的极值点1β=-，211αβ∴+=-=．故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．8.直线20l x y -+=：经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，且与椭圆交于,A B 两点，若M为线段AB 中点，MF OM =，则椭圆的离心率为（）A.2B.12C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据MF OM =得到12OM l k k =-=-，结合点差法相关知识计算求得2214b a =，进而求得离心率.【详解】如图所示，因为MF OM =，所以MFO MOF =∠∠，所以12OM l k k =-=-，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，则2121221212x x y y b a y y x x +--⋅=+-，因为直线20l x y -+=：，M 为线段AB 中点，12OM k =-，所以121212y y x x -=-，01201212y y y x x x +==-+，代入上式得()22122b a -⋅-=，则2214b a =，所以椭圆的离心率2c e a ===.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分9.已知函数()sin f x x x =，则下列说法正确的有（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是周期函数C.在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 有且只有一个极值点D.过()0,0作y=()f x 的切线，有无数条【答案】AC 【解析】【分析】根据()f x 的解析式，分别其对称性，周期性，单调性以及切线方程作出分析.【详解】显然()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，A 正确；显然()f x 不是周期函数，B 错误；对于C ，'()sin cos f x x x x =+，令()()()''2co i ,s s n g x fx x xx x g =-=，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'()0g x <，则()f x '单调递减，又''π10,(π)π02f f ⎛⎫=>=-<⎪⎝⎭，故()0f x '=在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个解，C 正确;对于D ，设切点为(,())P t f t ，则切线方程为sin (sin cos )()y t t t t t x t -=+-，代入(0，0)，有2cos 0t t =，得t =0或ππ,2t k k =+∈Z ，若0=t ，则切线方程为0y =；若ππ,2t k k =+∈Z ，则切线方程为y x =±，故有且仅有3条切线，D 错误；故选：AC.10.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数1y x=的图象是双曲线，设其焦点为,M N ，若P 为其图象上任意一点，则（）A.y x =-是它的一条对称轴B.C.点()2,2是它的一个焦点D.PM PN -=【答案】ABD 【解析】【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及,a c 即可逐一判断求解.【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，容易知道y x =是实轴，y x =-是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程y x =与反比例函数表达式1y x=得实轴顶点()()1,1,1,1--，所以2a c ==，其中一个焦点坐标应为而不是()2,2，由双曲线定义可知2PM PN a -==故选：ABD.11.设函数()ln xe f x x=，则下列说法正确的是（）A.()f x 定义域是（0，+∞）B.x ∈（0，1）时，()f x 图象位于x 轴下方C.()f x 存在单调递增区间D.()f x 有且仅有两个极值点【答案】BC 【解析】【分析】根据0ln 0x x >⎧⎨≠⎩可得定义域，即可判断A ；通过当()0,1x ∈时，()0f x <可判断B ；【详解】由题意函数()ln xe f x x =满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以函数()ln xe f x x =的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以A 不正确；由()ln xe f x x=，当(0,1)x ∈时，ln 0x <，∴()0f x <，所以()f x 在(0,1)上的图象都在轴的下方，所以B 正确；∵()()21ln ln x e x x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=，设()1ln g x x x =-，()211.(0)g x x x x '=+>所以()0g x '>，函数()g x 单调增，()110g e e =->，()22120g e e=->，所以()0f x '>在定义域上有解，所以函数()f x 存在单调递增区间，所以C 是正确的；则函数()0f x '=只有一个根0x ，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D 不正确；故选：BC .【点睛】本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数()()()32211f x x f x f x '=-+-，则()()11lim2x f x f x∆→∆+-=∆______．【答案】5【解析】【分析】求出导函数，建立()1f 与()1f '的方程，求出()1f '，利用极限的运算及导数的定义求解即可.【详解】当1x =时，()()()1211f f f '=-+-，所以()()11112f f '=-，又()()()()()2216211621112f x x f x f x f x f ''''=-+-=-++-，则()()()11621112f f f '''=-++-，解得()101f '=，由定义可知，()()()()()Δ0Δ0Δ11Δ1111lim lim 152Δ2(Δ1)12x x f x f f x f f xx →→'+-+-===+-.故答案为：513.已知直线3y mx =+与圆C ：224x y +=交于A ，B 两点，写出满足“ABC 是等边三角形”的m 的一个值：______.【答案】（或，答案不唯一）【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系以及弦长公式求解.【详解】因为ABC 是等边三角形，所以2AB AC BC r ====，设圆心C 到直线3y mx =+的距离为d ，则根据弦长公式可得：AB r ==，解得：d =即d ==，解得m =.（或，答案不唯一）14.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E ∈平面11ABB A ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，1D E =_____________．【答案】##322【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设(2,,)E y z ，根据1D E CF ⊥，结合数量积运算，求得22z y =-，进而表示出EBC 的面积，结合面积有最小值即可求得,z y ，即可求得答案.【详解】以点D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则1(0,2,0),(2,2,0),(2,0,1),(0,0,2)C B F D ，设(2,,)E y z ，则()12,2,1,(2,,2)CF D E y z =-=-，因为1D E CF ⊥，故14220D E CF y z ⋅=-+-=，即22z y =-，由于BC ⊥平面11ABB A ，EB ⊂平面11ABB A ，故BC EB ⊥，所以EBC 的面积为222BE BC BE S BE ⋅⨯===，而BE ===故S =65y =时，25128y y -+取最小值，即S 最小，此时62,55y z ==，则1682,,55D E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1D E =，即1D E =，故答案为：【点睛】方法点睛：由于是在正方体中求解线段的长，因此可以建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积运算结合EBC 面积最小，求出参数，即E 点的坐标，从而解决问题.四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()ln f x x x =（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意()0,x ∞∈+，()232x mx f x -+-≥成立，求实数m 的最大值．【答案】（1）单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，极小值11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值（2）4【解析】【分析】（1）求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值；（2）对任意(]0,x ∈+∞，()232x mx f x -+-≥成立，即22ln 3x x x m x++≤恒成立，构造函数()()22ln 30x x x g x x x++=>，利用导数求出函数()g x 的最小值即可得解.【小问1详解】由()()ln 0f x x x x =>，得()1ln f x x '=+，令()0f x ¢>，得1e x >；令()0f x '<，得10e x <<，∴()f x 的单调增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()f x 在1e x =处有极小值11e ef ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值；【小问2详解】由()232x mx f x -+-≥及()ln f x x x =，得22ln 3x x x m x++≤恒成立，令()()22ln 30x x x g x x x++=>，则()2223x x g x x +-'=，由()01g x x '>⇒>，由()001g x x '<⇒<<，所以()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()()min 14g x g ==，因此4m ≤，所以m 的最大值是4．16.在三棱台111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，且1112A B AB =，D 为AB 的中点．（1）证明：平面1B DC ⊥平面11A ABB .（2）平面11A ABB 与平面11B BCC 的夹角能否为45 ？若能，求出1A A 的值；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）说明DC AB ⊥，再推出1A A CD ⊥，即可证明CD ⊥平面11A ABB ，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，设1AA λ=，求出相关点坐标，求出平面11A ABB 与平面11B BCC 的法向量，假设平面11A ABB 与平面11B BCC 的夹角能为45 ，根据空间角的向量求法可得方程，根据该方程解的情况，即可得出结论.【小问1详解】因为底面ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 的中点，故DC AB ⊥；又1A A ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ，故1A A CD ⊥，又11,,AB A A A AB A A =⊂ 平面11A ABB ，故CD ⊥平面11A ABB ，又CD ⊂平面1B DC ，故平面1B DC ⊥平面11A ABB ；【小问2详解】由已知可知1112A B AB =，11A B AB ∥，且D 为AB 的中点，则1111A B AD,A B AD ∥=，即四边形11AA B D 为平行四边形，故11AA B D ∥，由1A A ⊥底面ABC ，得1B D ⊥底面ABC ，因为,AB CD ⊂平面ABC ，所以11,B D AB B D CD ⊥⊥，以D 为坐标原点，以1,,DB DC DB 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设1AA λ=，则()()()()10,0,0,1,0,0,0,,0,0,D B C B λ，结合（1）可知平面11A ABB 的法向量可取为()0,1,0n =；设平面11B BCC 的一个法向量为(,,)m x y z =，而()()11,0,,1,BB BC λ=-=- ，故100m BB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z x λ-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令y λ=，则,m λ= ，假设平面11A ABB 与平面11B BCC 的夹角能为45 ，则|||cos ,|2||||m m m n n n ⋅〈〉==，即2230λ+=，此方程无解，假设不成立，即平面11A ABB 与平面11B BCC 的夹角不能为45 .17.已知椭圆方程()222210x y a b a b+=>>，左右焦点分别1F ，2F .离心率12e =，长轴长为4.（1）求椭圆方程.（2）若斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，与以1F ，2F 为直径的圆交于C ，D 两点.若AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）:1l y x =±【解析】【分析】（1）根据题意，设1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ，由椭圆的几何性质可得312a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解可得a 、c 的值，计算可得b 的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；（2）假设存在斜率为1的直线l ，设其方程为y x m =+，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系分析，用m表示AB =，计算可得m 的值，分析可得结论．【小问1详解】根据题意，设1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ，根据椭圆的几何性质可得2412a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a =，1c =，则2223b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】假设存在斜率为1的直线l ，那么可设为y x m =+，则由（1）知1F ，2F 的坐标分别为(1,0)-，(1,0)，可得以线段12F F 为直径的圆为221x y +=，圆心(0,0)到直线l的距离1d =<，得||m <，即22m <，则||CD ===联立22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22784120x mx m ++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2222(8)47(412)3364848(7)0m m m m ∆=-⨯-=-=->，得27m <，故22m <，1287m x x -+=，2124127m x x -=，12|||AB x x =-===，由AB =可得77解得212m =<，得1m =±．即存在符合条件的直线:1l y x =±．18.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数．当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地我们可以定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，()sin cos x x '=，()cos sin x x '=-，请写出()sh x ，()ch x 具有的类似的性质（不需要证明）；（2）当0x >时，()sh x ax >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求()()2ch cos f x x x x =--的最小值．【答案】18.()()()sh ch x x '=,()()()ch sh x x '=19.(],1-∞20.0【解析】【分析】（1）求导即可得结论;（2）构造函数()()sh F x x ax =-,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解;（3）多次求导最终判断函数()f x 单调在[)0,∞+内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值.【小问1详解】求导易知()()()sh ch x x '=,()()()ch sh x x '=.【小问2详解】构造函数()()sh F x x ax =-，[)0,x ∈+∞，由（1）可知()()ch F x x a ='-，①当1a ≤时，由()e e ch 12x x x a -+=≥=≥,可知，()0F x '≥，故()F x 单调递增，此时()()00F x F ≥=，故对任意0x >，()sh x ax >恒成立，满足题意；②当1a >时，令()()G x F x ='，[)0,x ∈+∞，则()()sh 0G x x ='≥，可知()G x 单调递增，由()010G a =-<与()()1ln 204G a a=>可知，存在唯一()()00,ln 2x a ∈，使得()00G x =，故当()00,x x ∈时，()()()00F x G x G x =<='，则()F x 在()00,x 内单调递减，故对任意()00,x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x ax <，矛盾；综上所述，实数a 的取值范围为(],1-∞．【小问3详解】()()2ch cos f x x x x =--，()()sh sin 2f x x x x =+-'，令()()g x f x ='，则()()ch cos 2g x x x =+-'；令()()h x g x ='，则()()sh sin h x x x -'=，当[)0,x ∈+∞时，由（2）可知，()sh x x ≥，则()()sh sin sin h x x x x x =≥-'-，令()sin u x x x =-，则()1cos 0u x x ='-≥，故()u x 在[)0,∞+内单调递增，则()()()00h x u x u ≥'≥=，故()h x 在[)0,∞+内单调递增，则()()()00g x h x h ≥'==，故()g x 在[)0,∞+内单调递增，则()()()00f x g x g ≥'==，故()f x 在[)0,∞+内单调递增，因为()()()()22ch cos ()ch cos f x x x x x x x f x -=-----=--=，即()f x 为偶函数，故()f x 在(],0-∞内单调递减，则()()min 00f x f ==，故当且仅当0x =时，()f x 取得最小值0．19.定义：对于任意大于零的自然数n ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为M 数列．（1）若等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且13b =-，918S =-，判断数列{}n b 是否是M 数列，并说明理由；（2）若各项为正数的等比数列{}n c 的前n 项和为n T ，且25112,16c c ==，证明：数列{}n T 是M 数列；（3）设数列{}n d 是各项均为正整数的M 数列，求证：1n n d d +≤．【答案】（1）{}n b 不是M 数列，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）确定数列{}n b 无上限即可得；（2）由等比数列的基本量法求出S n ，根据数列新定义证明即可；（3）用反证法，假设存在正整数k ，使得1k k d d +＞，由数列{}n d 是各项均为正整数，得11k k d d +≥+，即11k k d d +-≤，然后利用新定义归纳k m k d d m +-≤，这样由k d M ≤可得数列从某一项开始为负，与已知矛盾，从而证得结论．【小问1详解】由题意知199892736128S b d d ⨯=+=-+=-，故14d =，则()1133144n n b n -=-+-⨯=，故21132131244224n n n b n n b n b ++-+-++-===，但等差数列{}n b 为严格增数列，当n →+∞时，n b →+∞，所以{}n b 不是M 数列；【小问2详解】由212c =，则352311162c q q c ===，即12q =，有2112c c q ==，则11c =，即112n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，则12112254122112222222222n n n n n nn n T T T +++-++-+==-=-=+-<-，又11222n n T -=-<，即对任意大于零的自然数n ，满足条件212n n n T T T +++<，且2n T <，即数列{}n T 是M 数列；【小问3详解】假设存在正整数k 使得1k k d d +＞成立，由数列{}n d 的各项均为正整数，可得11k k d d +≥+，即11k k d d +-≤，因为212k k k d d d +++≤，所以()212212k k k k k k d d d d d d ++≤-≤---＝，由212k k k d d d ++≤-及1k k d d +＞得21112k k k k d d d d ++++<-=，故211k k d d ++≤-，因为2132k k k d d d ++++≤，所以()32111122123k k k k k k k d d d d d d d ++++++≤-≤---≤-＝，由此类推可得()*k m k d d m m +≤-∈N ，因为又存在M ，使k d M ≤，∴当m M >时，0k m k d d m +≤-<，这与数列{}n d 的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即任意大于零的自然数n ，都有1n n d d +≤成立.。
2023-2024学年湖北省新高考月考高二下学期3月月考数学质量检测模拟试题 (含解析)
2023-2024学年湖北省新高考联考高二下册3月联考数学模拟试题一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯，…的通项公式为（）A ．1(1)n a n n =-B ．1(1)2n n a n+-=C ．(1)(1)nn a n n -=-D ．(1)2nn a n-=2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(3,)(0)M m m >到其焦点F 的距离等于4，则直线MF 的倾斜角为（）A ．2πB ．6πC ．3πD ．4π3．定义在区间1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在区间(1,4)上单调递增B ．函数()f x 在区间(1,3)上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取得极大值D ．函数()f x 在0x =处取得极大值4．在等比数列{}n a 中，3a 、7a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，则5a =（）A ．2-或2B ．2-C ．D ．25．正方形的面积及周长都随着边长的变化而变化，则当正方形的边长为3cm 时，面积关于周长的瞬时变化率为（）A ．23B ．32C ．38D ．836．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1050S =，若直线()*11:3430N n n l x y a a n -++++-=∈与圆()2224:(1)025n n C x y a a -+=>相切，则15S =（）A ．90B ．70C ．120D ．1007．高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行123100++++ 的求和运算时，他这样算的：1100101+=，299101+=，…，5051101+=，共有50组，所以501015050⨯=，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120231a a =，试根据以上提示探求：若24()1f x x=+，则()()()122023f a f a f a +++= （）A ．2023B ．4046C ．2022D ．40448．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论错误．．的是（）A ．点1C 到直线CQ 的距离是63B ．122CQ AB AD AA =--+ C ．平面ECG 与平面1BC D 的夹角余弦值为13D ．异面直线CQ 与BD 二、多选题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9．下列求导运算正确的是（）A ．1(ln 7)7'=B ．()()222sin 2sin 2cos x x x x x x'⎡⎤+=++⎣⎦C ．222e e x x x x x '⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．1[ln(32)]32x x '+=+10．已知双曲线22:C px qy r -=，且p ，q ，r 依次成公比为2的等比数列，则（）A ．C 的实轴长为4B ．CC ．CD ．过焦点与C 相交所得弦长为4的直线有3条11．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若150S >，981a a <-，则下列结论正确的是（）A ．98a a >B ．当8n =时n S 最大C ．使0n S >的n 的最大值为16D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的最小项为第9项12．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，导函数为()f x '，满足()()(1)e xxf x f x x '-=-，（e 为自然对数的底数），且(1)0f =，则（）A ．3(2)2(3)f f <B ．(1)(2)(e)f f f >>C ．()f x 在2x =处取得极小值D ．()f x 无最大值三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知(0,0,0)O ，(2,2,2)A --，(1,4,6)B -，(,8,8)C x -，若O 、A 、B 、C 四点共面，则x =__________．14．已知定义在区间[0,]π上的函数()sin cos f x x x x =+，则()f x 的单调递增区间是__________．15．已知双曲线22221x y a b-=右焦点为)F，点P ，Q 在双曲线上，且关于原点O 对称．若PF QF ⊥，且PQF △的面积为4，则双曲线的离心率e =__________．16．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复n 次，可得到如图2所示的优美图形（图有多个正三角形），这个过程称之为迭代，也叫递推．在边长为3的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后递推得到如图3所示的图形（图中共有n 个正三角形），则图中至少__________个正三角形的面积之和超过91327．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD的中点．（1）证明：直线1BD ∥平面ACE ；（2）求直线1CD 与平面ACE 所成角的正弦值．18．（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，__________．请在①31520a a +=；②2a ，5a ，11a 成等比数列；③20230S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n b a =-，求数列{}2nn b ⋅的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题12分）已知函数32()61()f x x ax x a =+-+∈R ，且(1)6f '=-．（1）求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()()g x f x m =-在区间[2,4]-上有三个零点，求实数m 的取值范围．20．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，焦距为（1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，记直线OP ，OQ 的斜率分别为OP k ，OQ k ；线段PQ 的长度为||PQ ，已知OP k ，12PQ ，OQ k 依次成等比数列，求直线l 的方程．21．（本小题12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a =+．（1）证明：{}n a 是等差数列．（2）设数列1n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若满足不等式n T m <的正整数n 的个数为3，求m 的取值22．（本小题12分）已知函数()()ln 3()f x x a x x a a R =--+-∈（1）若0a =，求()f x 的极小值；（2）讨论函数()f x '的单调性；（3）当2a =时，()f x λ≤恒成立，求λ的最大整数值．2023年湖北省新高考协作体高二3月联考高二数学答案一、单选题1—4DCAD 5—8BCBA1．D【详解】解：数列11(1)2121--=⨯⨯，21(1)2222-=⨯⨯，31(1)2323--=⨯⨯，41(1)2424-=⨯⨯，……，所以第n 项为(1)2n n -，所以通项公式为(1)2nn a n-=，故A 、B 、C 错误，D 正确．2．C【详解】依题意可知||342p MF =+=，∴2p =，∴m =，MF k =，∴倾斜角3πθ=．3．A【详解】在区间(1,4)上()0f x '>，故函数()f x 在区间(1,4)上单调递增，故A 正确；在区间(1,3)上()0f x '>，故函数()f x 在区间(1,3)上单调递增，故B 错误；当(0,4)x ∈时，()0f x '>，可知函数()f x 在(0,4)上单调递增，故1x =不是函数()f x 的极值点，故C 错误；当1,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，故函数()f x 在0x =处取得极小值，故D 错误．4．D【详解】因为321()4413f x x x x =-+-，所以2()84x x x f '=-+．又因为3a 、7a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，即3a 、7a 是方程2840x x -+=的两根，则有374a a =，由{}n a 为等比数列可知：25374a a a ==，因为3780a a +=>，且374a a =，所以30a >，70a >，则有50a >，所以52a =．【详解】易得正方形的面积y 与周长x 的函数关系为2116y x =，求导得1()8y f x x '==，边长为3，即12x =，故3(12)2f '=．6．C【详解】圆C 的圆心为(1,0)，半径25n r a =，由直线与圆相切得11255n n n a a a -++=，即112n n n a a a -+=+，所以{}n a 为等差数列．在等差数列{}n a 中，5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，所以()105515102S S S S S -=+-，则152(5010)1050S ⨯-=+-，即15120S =．7．B【详解】120231a a ⋅=，∵函数24()1f x x=+，∴222214444()41111x f x f x x x x+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+，令()()()122023T f a f a f a =+++ ，则()()()202320231T f a f a f a =+++ ，∴()()()()()()120232202220231242023T f a f a f a f a f a f a =++++++=⨯ ，∴4046T =．8．A【详解】()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以选项B 正确；如图以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则1(0,1,0)B ，1(1,1,0)C -，1(1,0,0)D -，(0,1,1)Q -，(1,1,1)C --，1(1,2,1)QC =-- ，面ECG 的法向量为1(2,2,2)n =，面1BC D 的法向量为2(1,1,1)n =-- ，121cos ,3n n =所以选项C 正确；因为11(1,1,0)BD B D ==--，所以cos ,CQ BD ==tan ,CQ BD =D 正确．设173||QC CQ m CQ ⋅==- ，则点1C 到直线CQ的距离53d ===，所以选项A 错误．二、多选题9．BC 10．AC11．ABD12．AD9．BC【详解】对于A ，(ln 7)0'=，故A 错误；对于B ，()()()()22222sin 2sin 2(sin )2sin 2cos x x x x x x x x x x '⎡⎤'+=+++=++⎣⎦，故B 正确；对于C ，()()()22222e e 2e e e x x x x x x x x x x '''-⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，3[ln(32)]32x x '+=+，故D 错误．10．AC【详解】因为p ，q ，r 依次成公比为2的等比数列，所以2q p =，4rp=，即2q p =，4r p =．所以C 的方程可化为22142x y -=，则24a =，2422c =-=，即2a =，2c =A ，C 的实轴长为4，故A 正确；对于B ，离心率为62，故B 错误；对于C ，焦渐距为2b =，故C 正确；对于D ，交于同一支时弦长最小值为222b a=，交于两支时弦长最小值为24a =．因为对称性，所以有5条，故D 错误．11．ABD【详解】∵等差数列{}n a ，()151158151502S a a a =+=>，∴80a >，又∵981a a <-，∴980a a <-<，890a a +<，∴98a a >，A 正确；∵80a >，90a <，∴当8n ≤，0n a >，9n ≥，0n a <，所以当8n =时n S 最大，B 正确；∵890a a +<，∴()()16116891616022S a a a a =+=+<，150S >，使0n S >的n 的最大值为15，C 错误；分析n S ，n a 的符号变化情况，可得D 正确．12．AD【详解】设()()(0)f x g x x x =>，则22()()(1)e e ()x x xf x f x x g x x x x ''⎛⎫--'=== ⎪⎝⎭，可设e ()x g x c x =+，则(1)e 0g c =+=，解得e c =-，故e ()e xg x x=-，即()e e x f x x =-，令()0g x '>，则1x >，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，∴(2)(3)g g <，即(2)(3)23f f <，则3(2)2(3)f f <，A 正确；∵()e e xf x '=-，令()e e 0xf x '=->，解得1x >，则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴(1)(2)(e)f f f <<，()f x 在1x =处取得极小值，无最大值，B 、C 均错误，D 正确．三、填空题13．814．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭区间端点开闭均可1516．713．8【详解】∵(0,0,0)O ，(2,2,2)A --，(1,4,6)B -，(,8,8)C x -，∴(2,2,2)OA =-- ，(1,4,6)OB =- ，(,8,8)OC x =-，∵O 、A 、B 、C 四点共面，则有OC OA OB λμ=+ ，即2,824,826. x λμλμλμ=-+⎧⎪-=+⎨⎪=--⎩解得8x =．14．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭区间端点开闭均可【详解】对函数()sin cos f x x x x =+进行求导，()sin cos sin cos x x x x x x x f =+-='当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭．15因为双曲线的右焦点)F，c =，设其左焦点为1F ，因为PF QF ⊥，P ，Q 关于原点O对称，所以||2||PQ OF ==由PQF △的面积为4，所以1||||42S PF QF =⋅=，得||||8PF QF ⋅=，又222||||||20PF QF PQ +==，所以||2PF QF -=‖‖．又由双曲线的对称性可得1QF PF =，由双曲线的定义可得122PF PF a -==，所以1a =，故离心率e =16．7【详解】设第n 个正三角形的边长为n a ，面积为n b ，第1n +个正三角形的边长为1n a +，面积为1n b +，易得24n n b a =，由条件可知：13a =，14b =，又由图形可知：222112122cos 603333n n n n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22113n n a a +=，0n a >，所以113n n b b +=，所以{}n b是首项为14b =，公比为13的等比数列，{}n b 的前n 项和为2731183nn S ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由91327n S >，解得6n >，所以n 的最小值为7．四、解答题17．（1）证明见解析（2）36【解】（1）连接直线BD ，设直线BD 交直线AC 于点O ，连接EO ，如图，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 中点，又因为E 为1DD 的中点，所以1BD EO ∥，又因为EO ⊂平面ACE ，1BD ⊂/平面ACE ，所以直线1BD ∥平面ACE ．（2）根据题意，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则1(0,0,2)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,1)E ，故1(0,2,2)CD =-，(2,2,0)AC =- ，(2,0,1)AE =- ，设平面ACE 的法向量(,,)n x y z = ，则0AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，2z =，故(1,1,2)n =，设直线1CD 与平面ACE 所成角为θ，则1113sin cos ,6||CD n CD n CD n θ⋅==== ，所以直线1CD 与平面ACE所成角的正弦值为6．18．（1）1n a n =+（2）12(1)2n n T n +=+-【解】（1）11n n n S S a +=++，所以11n n n S S a +-=+，即11n n a a +=+，所以数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列．若选①：由31520a a +=，得1121420a d a d +++=，即122016a d =-，解得12a =．所以1(1)2(1)11n a a n d n n =+-=+-⨯=+，即数列{}n a 的通项公式为1n a n =+．若选②：由2a ，5a ，11a 成等比数列，得()()()2111410a d a d a d +=++，解得12a =，所以1(1)2(1)11n a a n d n n =+-=+-⨯=+．若选③：因为2011201920201902302S a d a d ⨯=+⨯=+=，解得12a =，所以1(1)2(1)11n a a n d n n =+-=+-⨯=+．（2）1n n b a n =-=，则22n n n b n ⋅=⋅，则1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，两式相减得：()23411212222222212n nn n n T n n ++--=+++++-⋅=-⋅- ，故12(1)2n n T n +=+-．19．（1）12210x y +-=（2）912m -≤<【解】（1）∵2()326f x x ax '=+-，∴(1)236f a '=-=-，解得：32a =-，∴323()612f x x x x =--+，则311(1)16122f =--+=-，∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：116(1)2y x +=--，即12210x y +-=．（2）由（1）知：323()612f x x x x =--+，则2()3363(2)(1)f x x x x x '=--=-+，∴当[2,1)(2,4]x ∈--⋃时，()0f x '>；当(1,2)x ∈-时，()0f x '<；∴()f x 在[2,1)--，(2,4]上单调递增，在(1,2)-上单调递减，又(2)1f -=-，9(1)2f -=，(2)9f =-，(4)17f =，∴max ()17f x =，min ()9f x =-，由()()0g x f x m =-=，有()m f x =，即函数y m =与()y f x =的图像有三个交点，由图像可得，m 的取值范围为912m -≤<．20．【解】（1）由题意可得322c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=．（2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-=．则()()222481420m m m∆=--=->，且1220x x m +=>，()212210x x m =->，得到m的范围为1m <<．则()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．弦长12||PQ x x =-==，()()22121221212121111542||2424OP OQ x x m x x m y y k k PQ m x x x x -++⎛⎫=====- ⎪⎝⎭，解得5m =±，∵m 的范围为1m<<5m =，故直线l 的方程为13525y x =-+，即5100x y +-=．21．（1）证明见解析（2）610,79⎛⎤ ⎥⎝⎦【解】（1）由()1n a =+可得()241n n S a =+，当2n ≥时，()21141n n S a --=+，两式相减可得()221142n n n n n a a a a a --=-+-，∴()22112n n n n a a a a ---=+，∵0n a >，∴12(2)n n a a n --=≥，又由11a =+可得11a =+，解得11a =，∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可得1(1)221n a n n =+-⨯=-，2[1(21)]2n n n S n +-==，所以2211111111111(21)(21)44144(21)(21)482121n n n S n a a n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫==+=+⋅=+- ⎪ ⎪-+-+--+⎝⎭⎝⎭，所以1111111111114834835482121n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-++⋅-+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111111111111483352121482148(21)8n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+⋅-+-++-=+⋅-=-+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 因为14y x =，18(21)y x =-+在(0,)+∞内单调递增，所以11148(21)8n T n n =-++，*N n ∈单调递增，因为367T =，4109T =，所以满足不等式n T m <的正整数n 的个数为3，m 的取值范围为610,79⎛⎤ ⎥⎝⎦．22．（1）4-（2）答案见解析（3）4-【解】（1）当0a =时，()ln 3f x x x x =--，()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 11ln x x f x +-'==，所以()f x 在区间(0,1)，()0f x '<，()f x 递减；在区间(1,)+∞，()0f x '>，()f x 递增．所以当1x =时，()f x 取得极小值(1)4f =-．（2）()()ln 3f x x a x x a =--+-的定义域为(0,)+∞，()ln 1ln x a a f x x x x x -'=+-=-．令()ln (0)a h x x x x =->，221()a x a h x x x x+'=+=，当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在(0,)+∞上递增．当0a <时，()h x 在区间(0,)a -，()0h x '<，()h x 即()f x '递减；在区间(,)a -+∞，()0h x '>，()h x 即()f x '递增．（3）当2a =时，()(2)ln 1f x x x x =---，2()ln f x x x'=-，由（2）知，()f x '在(0,)+∞上递增，(2)ln 210f '=-<，2(3)ln 303f '=->，所以存在0(2,3)x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =．()f x 在区间()00,x ，()0f x '<，()f x 递减；在区间()0,x +∞，()0f x '>，()f x 递增．所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，∵0(2,3)x ∈，∴004134,3x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()010,33f x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭．由()f x λ≤恒成立，得()0f x λ≤，故λ的最大整数值为4-．。
湖北省荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题(含答案)
荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则复数的虚部是（ ）A. B.2.“方程表示椭圆”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知等比数列中，，则公比（ ）A.-2B.2C.3D.2或-24.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A.B.C.D.5.记等差数列的前项和为，若，则（ ）A.64B.80C.96D.1206.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（）C.2D.37.下列不等式中，对任意的恒成立的是（）z ()1i 1i z +=+z 22143x y m m +=-+34m -<<{}n a 23468,16a a a a ==q =()f x ()()()()12210f f f f <<-'<'()()()()22110f f f f -<'<<'()()()()12120f f f f -<'<<'()()()()21120f f f f '-<<<'{}n a n n S 598115,7a a a a +=+=16S =O F 2:4C y x =P C 4PF =POF ()0,x ∞∈+A.B.C. D.8.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）9.下列命题正确的有（）A.已知函数在上可导，若，则B.C.已知函数，若，则D.设函数的导函数为，且，则10.设是公差为的等差数列，为其前项的和，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.均为的最大值11.双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左､右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ）A.若，则B.当反射光线过时，光由所经过的路程为7()e e 1xx ≥+sin x x>()21ln 12x x x +≥-11x x -≤+()e e xxf x -=-()()1ln 0f ax f x ++<()0,∞+a 2,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()1,∞-+2,e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭(),1∞--()f x R ()12f '=0(12)(1)lim2x f x f x∆∆∆®+-='2cos sin cos x x x x x x +⎛⎫=⎪⎝⎭()()ln 21f x x =+()01f x '=012x =()f x ()f x '()()232ln f x x xf x '=++()924f '=-{}n a d n S 910101112,S S S S S =<>0d >110a =149S S <1011,S S n S 12,F F 2F m P n 1F C 221916x y-=m n ⊥1216PF PF ⋅=n ()7,5Q 2F P Q →→C.反射光线所在直线的斜率为，则D.记点，直线与相切，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，__________.13.已知函数，则__________.14.已知抛物线的焦点为点，过点的直线交抛物线于点两点，交抛物线的准线于点，且，则__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）已知递增的等比数列和等差数列，满足是和的等差中项，且.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.16.（15分）在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且为的中点.（1）证明：平面平面.（2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由.17.（15分）已知椭圆方程，左右焦点分别.离心率，长轴长为4.（1）求椭圆方程.n k 40,3k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()1,0T PT C 212PF ={}n a n 5n =n a =()()()32211f x x f x f x =-+-'0(1)(1)lim2x f x f x∆∆∆®+-=22y px =F F l ,A B M ,MA AF MB BF λμ==λμ+={}n a {}n b 1423218,32,a a a a b +==1a 2a 333b a =-{}n a {}n b 11n n n c b b +={}n c n n S 111ABC A B C -1A A ⊥ABC ABC 111,2A B AB D =AB 1B DC ⊥11A ABB 11A ABB 11B BCC 45 1A A 22221(0)x y a b a b+=>>12,F F 12e =（2）若斜率为1的直线交椭圆于两点，与以为直径的圆交于两点.若，求直线的方程.18.（17分）已知函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若对任意，都有，求的取值范围；19､（17分）已知陏圆（常数），点为坐标原点.（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；（3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由.荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷答l ,A B 12,F F ,C D AB CD =l ()21ln 12f x x x ax =+-()11f '=-()f x ()0,x ∞∈+()210f x mx -+≤m 222:1x y aγ+=2a ≥()(),1,,1,A a B a O -P γOP mOA nOB =+m n +()()1122,,,M x y N x y γOM ON OA OB k k k k ⋅=⋅OMN案1.C2.A3.B4.C5.C6.B7.C8.D9.CD10.BCD11.BCD12.（答案不唯一）13.14.15.（1）由题意知，，解得，设等比数列的公比为，；由题意知，，则等差数列的公差，.（2），.16.（15分）（1）因为底面是边长为2的等边三角形，为的中点，故；又底面底面，故，又平面，故平面，又平面，故平面平面；（2）由已知可知，且为的中点，则，即四边形为平行四边形，故，由底面，得底面，因为平面，所以，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，结合（1）可知平面的法向量可取为；5n -50141423141832a a a a a a a a +=⎧⎪==⎨⎪<⎩14216a a =⎧⎨=⎩{}n a ,2q q ∴=2n n a ∴=122333,352a ab b a +===-={}n b 2d =()()2232221n b b n d n n ∴=+-=+-=-()()1111212122121n C n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭111111111111232352212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ABC D AB DC AB ⊥1A A ⊥,ABC CD ⊂ABC 1A A CD ⊥11,,AB A A A AB A A ⋂=⊂11A ABB CD ⊥11A ABB CD ⊂1B DC 1B DC ⊥11A ABB 11111,2A B AB A B =∥AB D AB 11A B ∥11,AD A B AD =11AA B D 1AA ∥1B D 1A A ⊥ABC 1B D ⊥ABC ,AB CD ⊂ABC 11,B D AB B D CD ⊥⊥D 1,,DB DC DB ,,x y z 1AA λ=()()()()10,0,0,1,0,0,,0,0,D B C B λ11A ABB ()0,1,0n =设平面的一个法向量为，而，故，即，令，则，假设平面与平面的夹角能为，则，即，此方程无解，假设不成立，即平面与平面的夹角不能为.17.（15分）（1）根据题意，设的坐标分别为，根据椭圆的几何性质可得，解得，则，故椭圆的方程为.（2）假设存在斜率为1的直线，那么可设为，则由（1）知的坐标分别为，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，则，联立得，设，则，得，故，11B BCC (),,m xy z =()()11,0,,BB BC λ=-=- 100m BB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00x z x λ-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩y λ=,m λ= 11A ABB 11B BCC 45 cos ,n m n m n m ⋅===2230λ+=11A ABB 11B BCC 45 12,F F ()(),0,,0c c -2412a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩2,1a c ==2223b a c =-=C 22143x y +=l y x m =+12,F F ()()1,0,1,0-12F F 221x y +=()0,0l 1d m <22m <CD ===22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22784120x mx m ++-=()()1122,,,A x y B x y ()()2222Δ(8)47412336484870m m m m=-⨯-=-=->27m<22m <21212841277m m x x x x --+==由可得解得，得.即存在符合条件的直线.18.（1）易知，所以，又，；（2）若对任意的，都有，即恒成立，即：恒成立，令，则，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减；时，有最大值，即的取值范围为；19.（1）由椭圆方程为，则离心率，又，所以；（2）由已知得，即，又点是椭圆上任意一点，则，化简可得，设，则2AB x=-===AB CD==212m=<1m=±:1l y x=±()ln1f x x ax=++'()11f a'=+()11f'=-()22,ln1a f x x x x∴=-∴=--()0,x∞∈+()210f x mx-+≤2ln20x x x mx--≤11ln22m x x≥-()11ln,022h x x x x=->()111222xh xx x-=-='01x<<()0h x'>()h x1x>()0h x'<()h x1x∴=()h x()111,22h m=-∴≥-m1,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭222:1xyaγ+=cea===2a≥e⎫∈⎪⎪⎭(),OP mOA nOB ma na m n=+=-+(),P ma na m n-+Pγ222()()1ma nam na-++=2212m n+=[),,0,2πm nθθθ==∈)[]πsin cos sin1,1;4m nθθθ⎛⎫+=+=+∈-⎪⎝⎭（3）方法一：由已知可得，即，平方可得，又在椭圆上，所以，所以，化简可得，所以，故的面积为定值；方法二：由已知，即，①当直线斜率不存在时，，则，又在椭圆上，则，所以此时②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线与椭圆，得，则，122121y y x x a⋅=-21212x x a y y =-224221212x x a y y =,M N γ2222222211221222221,1x a x x a x y y a a a a--=-==-=()()2222221212x x a x ax =--22212x x a +=cos ,OM ON =sin ,OM ON ==1sin ,2OMNS OM ON OM ON =⋅= 122112x y x y =-==2a ==OMN 122121y y x x a⋅=-21212x x a y y =-MN 1212,x x y y ==-22211x a y =M γ2222111221x a x y a a -=-=1x =1112;22OMN a S x y =⋅= MN MN y kx t =+2221x y a y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()2222221210a k x kta x a t +++-=()()()()2222222222Δ2411410,kta a k a t a a k t ⎡⎤=-+-=+->⎣⎦()2221212222212,11a t kta x x x x a k a k--+==++，则，即，到直线的距离，所以，所以的面积为定值.()()()2222212121212221t a ky y kx t kx t k x x kt x x ta k-=++=+++=-()2222222222111a t t a kaa k a k--=-⋅+-22221t a k=+2MN x=-====O MN d=122OMNaS MN d=⋅==OMN。
湖北省 高二数学下学期3月月考试卷(含解析)新人教A版
高二（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）32．（5分）（2008•重庆）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p据双曲线解：双曲线的左焦点坐标为：的准线方程为，所以3．（5分）一质点运动时位移与时间的关系式为s（t）=t2﹣t+6，作直线运动，则此物体在4的斜率为﹣=4x5．（5分）平面内有一长度为2的线段AB和一动点P满足|PA|+|PB|=6，则|PA|的取值范围6．（5分）（2010•丹东二模）已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈（0，），时，，时，7．（5分）函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示，则等于（），﹣+=故答案为：．22y=3⇔，sin=3=，]9．（5分）设1≤a≤b≤c≤d≤100，则的最小值为（）+最小，只需++≥≥2=2×=10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x∈[0，+∞）时f（x）=x3﹣2x2+x+a，则当a＜0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）求函数的最小值．利用分离常数把函数化为：…（，所以12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）= 6 ．13．（5分）已知P为抛物线y2=4x上的动点，过P分别作y轴与直线x﹣y+4=0的垂线，垂足分别为A，B，则PA+PB的最小值为．， PA+PB=++2﹣+2=2PB=﹣，∴PA+PB=﹣+2﹣+2y=故答案为：﹣14．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是a＞或a．．相切的直线的斜率是＞＞15．（5分）已知关于x方程cos2x﹣sinx+a=0，若0＜x≤程有解，则a取值范围是（﹣1，1]＜x≤得三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知命题p：关于x的方程有负根；命题q：不等式|x+1|+|2x﹣1|＜a的解集为φ．且“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．的方程，我们易得的取值范围为：，根⇔⇔＞且17．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为F1（0，﹣），F2（0，），且离心率．（I）求椭圆的方程；（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围．，由焦点可得2×）设椭圆方程为，，，所以所以椭圆的方程为；中点的横坐标为2×（﹣），②，或，＜﹣18．（12分）已知函数，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又，g（1）=0．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）是否存在实数m，使得命题p：f（m2﹣m）＜f（3m﹣4）和满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．）=1∴∴，+∞）上是减函数∴（解得的取值范围为：19．（12分）（2006•福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？时，汽车从甲地到乙地行驶了小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为20．（13分）（2008•东城区二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，两条准线间的距离为1，F1，F2是双曲线的左、右焦点．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k PM•k PN的值．轴上，且其一条渐近线方程为，可得方程组：在双曲线上，可得，将其坐标代入．，21．（14分）已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（﹣1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（，π），（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m﹣1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若x1、x2∈[﹣1，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≤4．+2bx+c∴）≤m＜2…（。
湖北省部分重点高中联考2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)
湖北省部分重点高中联考2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题足()()f x f x '<恒成立，若01a <<，则()30f ，()f a ，()1af 三者的大小关系为（）A ．()()()130af f a f >>B ．()()()301f f a af >>C ．()()()301f af f a >>D ．()()()301f a f af >>二、多选题三、填空题14．函数2sin sin2y x x =+在()0,π上的最大值为15．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，点的最小距离为.16．某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，按照乙、甲、丙先后顺序排列而不一定相邻，那么不同的安排数为四、解答题17．在()*413,2nx n n N x ⎛⎫-≥∈ ⎪⎝⎭的展开式中，第数列．(1)证明展开式中没有常数项；(2)若不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()()1e xf x x ax =--．(1)当e a =时，求函数在区间[]1,3-上的最大值与最小值；(2)若函数()f x 的两个极值点分别为1x ，()212x x x <，证明：121x x <．参考答案：16．34800【分析】根据给定条件分两类，再用分步乘法计数原理，排列，组合分类计算作答．【详解】第一种情况：甲、乙、丙中只选两人，有23C 种选法，再从余下安排到周一到周六有66A 种，因此，共有不同安排种数为：第二种情况：当甲、乙、丙三人都参加时，从余下乙丙三人全排列有33A 种方法，在种；由分类加法计数原理得：共有不同的安排数为故答案为：34800．17．(1)证明见解析(2)2214x 和764x【分析】（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出式的通式，令x 的次数为0计算即可；（2）求出使x 的次数为整数的r 【详解】（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得解得2n =（舍去）或7n =4712x x ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭的展开式的通式为有2022123202323202320232a a a a ++++=⋅ ，∵2023(1)x +二项展开式中2023202320232023C C r rr r a a --===，∴20222022202120200123202323202323202320232a a a a a a a a ++++=++++=⋅ .19．(1)()32694f x x x x =+++(2)15m <<【分析】（1）求出函数()f x 的导函数，由()f x 在=1x -时有极值0，则(1)0,(1)0f f '-=-=，两式联立可求常数a ，b 的值，检验所得a ，b 的值是否符合题意，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数k 的取值范围.【详解】（1）由()3223f x x ax bx a =+++可得()236f x x ax b '=++，因为()3223f x x ax bx a =+++在=1x -时有极值0，所以()()1010f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，当1a =，3b =时，()()22363310f x x x x '=++=+≥，函数()f x 在R 上单调递增，不满足在=1x -时有极值，故舍去，当2a =，9b =时满足题意，所以常数a ，b 的值分别为2a =，9b =，所以()32694f x x x x =+++．（2）由（1）可知()32695h x x x x m =++-+，()()()()2343313h x x x x x '=++=++，令()0h x '=，解得11x =-，23x =-，∴当3x <-或1x >-时，()0h x '>，当31x -<<-时，()0h x '<，∴()h x 的递增区间是(),3-∞-和()1,-+∞，单调递减区间为()3,1--，当3x =-时，()h x 有极大值m 5-+；当=1x -时，()h x 有极小值1m -，。
湖北省宜荆2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题含答案
2024年宜荆荆随恩高二3月联考高二数学试题（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年3月19日下午15：00-17：00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.已知等比数列{}n a 中，23468,16==a a a a ，则公比q =（）A.2-B.2C.3D.2或2-【答案】B 【解析】【分析】由2348a a a =，可得338a =，解得32a =，再由616a =可得3316a q = ，根据32a =求解即可.【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，2348a a a =，所以338a =，解得32a =，又因为616a =，即3316a q = ，解得2q =.故选：B.2.若两条平行直线()002x y m m +=>-与30x ny +-=之间的距离是m +n =（）A.5B.15- C.0D.1【答案】A 【解析】【分析】利用两直线平行可求出n 的值，利用平行线间的距离公式可求出m 的值，即可得出m n +的值.【详解】因为直线()002x y m m +=>-与30x ny +-=平行，则2n =-，=，解得7m =，故725m n +=-=.故选：A.3.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF 的面积为A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得.【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为=1x -,如图:过点P 作准线=1x -的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x =代入24y x =可得y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=112⨯=故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.4.如图，在三棱锥O ABC -中，设,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC == ，则MN = （）A.112263a b c +-B.112263a b c -+C.111263a b c -- D.111263a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.【详解】解：MN BN BM =- 1223BA BC =-，()()1223OA OB OC OB =---，112263OA OB OC =+-，112263a b c =+- ，故选：A5.若(),P x y 满足221x y +=，()1,2A ，()1,4B 则22PA PB +最小值是（）A.22610-B.2210-C.2410- D.2410-【答案】D 【解析】【分析】代入(),P x y 化简可得2224412PA PB x y +=--，再设cos x θ=，cos y θ=，根据辅助角公式求解即可.【详解】由题意，()()()()2222221214PA PB x y x y +=-+-+-+-22242122224412x x y y x y =-+-+=--.因为221x y +=，故可设cos x θ=，sin y θ=，则()()22244cos 3sin 24PA PB θθθϕ+=-+=-+，其中1tan 3ϕ=.故当()sin 1θϕ+=时22PA PB +取小值24-.故选：D6.下列不等式中，对任意()0,x ∈+∞的恒成立的是（）A.()e e 1xx ≥+ B.sin x x>C.()21ln 12x x x -≥+ D.1ln 1x x -≤+【答案】C 【解析】【分析】对于AB ，取1x =即可推翻，对于D ，取2e x =即可推翻，对于C ，构造函数()()()21ln 1,02x f x x x x =++>-，通过求导得其单调递增，进而有()()00f x f >=，由此即可判断.【详解】对于AB ，当1x =时，()e e 1xx ≥+即e 2e ≥不成立，sin x x >即sin11>不成立，AB 错误；对于C ，令()()()21ln 1,02x f x x x x =++>-，则()211011x f x x x x '=-+=>++，从而()f x 单调递增，所以()()00f x f >=，即对任意()0,x ∈+∞，()21ln 12x x x -≥+恒成立，C 正确；对于D ，取2e x =，则此时22e 1ln e 1e 1-==>+，D 错误.故选：C.7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，点M 在C 上，若使12MF F △为直角三角形的点M 有8个，则C 的离心率的范围是（）A.3,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.3232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.23,32⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】先根据12MF F △为直角三角形分三类讨论，利用椭圆的对称性可分析出以点1F 、2F 和M 为直角顶点的点M 的个数；再利用余弦定理及判断一元二次方程根的个数的方法得出a <；最后根据离心率的求法及椭圆离心率的范围即可求解.【详解】12MF F △为直角三角形，可分为以下三类讨论：以点1F 为直角顶点；以点2F 为直角顶点；以点M 为直角顶点.由椭圆的对称性可知：以点1F 为直角顶点的点M 有两个；以点2F 为直角顶点的点M 有两个，则要使12MF F △为直角三角形的点M 有8个，须使以点M 为直角顶点的直角三角形有4个.由椭圆的对称性可得在x 轴上方有两个点M 满足以点M 为直角顶点.则22212121212cos 02MF MF F F F MF MF MF +-∠==，即()()()222222222121211112222240MF MF F F MF a MF c MF a MF a c+-=+--=-⨯⨯+-=，所以()()222Δ224240a a c=-⨯-⨯⨯->，解得222ac <即a <，所以2c e a =>，又因为椭圆离心率1e <，所以12e <<.故选：C.8.已知函数()e exxf x -=-，若不等式()()1ln 0f ax f x ++<在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.()1,-+∞ C.2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.(),1-∞-【答案】D 【解析】【分析】判断函数()e exxf x -=-的奇偶性以及单调性，从而将不等式()()1ln 0f ax f x ++<在()0,∞+上恒成立，转化为1ln ax x +<-在()0,∞+上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.【详解】由于函数()e exxf x -=-，定义域为R ，满足()()ee xx f x f x --=-=-，得()f x 是奇函数，且在R 上为增函数.()()1ln 0f ax f x ++< 在()0,∞+上恒成立，()()()1ln ln f ax f x f x ∴+<-=-在()0,∞+上恒成立，1ln ax x ∴+<-在()0,∞+上恒成立，ln 1x a x+∴<-在()0,∞+上恒成立.令()()ln 1,0,x g x x x ∞+=-∈+，则()2ln xg x x='，当01x <<时，()0g x '<，故()g x 在()0,1上单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 在()1,∞+上单调递增，()()11,1g x g a ∴≥=-∴<-，即a 的取值范围为(),1∞--，故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性和奇偶性解不等式，再分离参数法借助导数求范围.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）9.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前项的和，且910S S <，101112S S S =>，则下列说法正确的是（）A.0d >B.110a = C.149S S < D.10S ，11S 均为n S 的最大值【答案】BCD 【解析】【分析】由题意首先得101091111101212110,0,0a S S a S S a S S =->=-==-<，结合已知可得0d <，进一步有121011120a a a a a >>>>=>> ，由此即可逐一判断每个选项.【详解】由题意101091111101212110,0,0a S S a S S a S S =->=-==-<，又{}n a 是公差为d 的等差数列，所以0d <，故A 错B 对；从而121011120a a a a a >>>>=>> ，所以10S ，11S 均为n S 的最大值，D 对；而1011121314111495550a a a a S a d S a d -=++++=+=<，所以149S S <，C 对.故选：BCD.10.有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.二面角P AB C --所成角的正弦值为23B.直线AE 与PB 所成的角为π2C.ABE 的周长最小值为4+D.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为63【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，作出辅助线，由三线合一以及二面角的定义、余弦定理即可验算；对于B ，证明PB ⊥面CDA 后，结合AE ⊂面CDA 即可判断；对于C ，把ACD 沿着CD 展开使得它与平面BDC 在同一个平面内，将问题转换为牛吃草问题，结合解三角形知识即可判断；对于D ，等价于验算正四面体内切球的半径.【详解】对于A ，如图所示，取AB 中点F ，连接,CF PF ，因为正四面体的四个面都是正三角形，所以由三线合一可知,CF AB PF AB ⊥⊥，4sin 60CF PF ==⨯= ，而面CBA ⋂面PBA BA =，从而二面角P AB C --所成角的平面角为CFP ∠，在CFP 中，4CF PF PC ===，由余弦定理有1cos3CFP ∠=，从而sin 3CFP ∠=，故A 错误；对于B ，如图所示，连接,,,AD CD BE AE ，由于D 为PB 中点，所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D CD AD ⋂=⊂面CDA ，所以PB ⊥面CDA ，又AE ⊂面CDA ，所以PB AE ⊥，故B 正确；对于C ，把ACD 沿着CD 展开使得它与平面BDC 在同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为（展开后的）AB 的长，由于23AD CD ==4AC =，2222223341cos 2322323CD AD ACADC CD AD +-+-∠==⋅⨯⨯，π1cos cos sin 23ADB ADC ADC ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，（展开后的AB 满足）(22222262cos 2322231633AB BD AD BD AD ADB ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，故展开后的166616133AB =+=+，ABE 的周长最小值为4613++，C 错误；对于D ，如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为内切球的半径R ，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON ⊥PM 于点N ，因为2,4AM AB ==，所以22224223BM AB AM =-=-=，同理23PM =则1333MF BM ==，故2263PF PM MF =-=，设OF ON R ==，故3OP PF OF R =-=-，因为~PNO PFM，所以ON OPFM PM=，3233R-=3R =，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：判断C 的关键是将原问题转换为牛吃草问题，由此即可顺利得解.11.已知()()()2ln 20220x x x f x ax x x ⎧-->⎪=⎨--+≤⎪⎩，其图像上能找到A 、B 两个不同点关于原点对称，则称A 、B 为函数()y f x =的一对“友好点”，下列说法正确的是（）A.()y f x =可能有三对“友好点”B.若01a <<，则()y f x =有两对“友好点”C.若()y f x =仅有一对“友好点”，则a<0D.当a<0时，对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=【答案】BD 【解析】【分析】不妨设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x+=有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论()y g x =的图象以及直线y a =的图象的交点个数情况即可逐一判断求解.【详解】若(),x y 和(),x y --互为友好点，不妨设0x >，则()2ln 2220x x ax x --+-++=，即2ln x xa x+=，令()2ln ,0x x g x x x +=>，则()()243112ln 12ln x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-+ ⎪--='⎝⎭=，令()12ln h x x x =--，则()210h x x=--<'，所以()h x 单调递减，注意到()h x 和()g x '同号，且()10h =，所以当01x <<时，()0h x >即()0g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，()0h x <即()0g x '<，()g x 单调递减，从而即可在同一平面直角坐标系中作出()y g x =的图象以及直线y a =的图象，如图所示，当1a >时，()y f x =不存在友好点，当1a =或0a ≤时，()y f x =仅存在一对友好点，当01a <<时，()y f x =存在两对友好点，从而()y f x =不可能有三对“友好点”，若()y f x =仅有一对“友好点”，则1a =或0a ≤，故AC 错，B 对，当a<0时，()y f x =仅存在一对友好点，即对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=，D 对.故选：BD.【点睛】关键点点睛：关键是将设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，由此即可通过数形结合顺利得解.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上､下底面边长分别为2和4，若侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角为45︒，则该正四棱台的体积为__________.【答案】2823【解析】【分析】作出辅助线，根据侧棱与底面所成角的大小求出台体的高，利用台体体积公式求出答案.【详解】如图，延长1111,,,AA BB CC DD 相交于点P ，连接11,AC A C ，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，则PO ⊥平面1111D C B A 于点1O ，且点1O 在11A C 上，其中11AC A C ==，过点1A 作1A F ⊥AC 于点F，则11OF AO ==，所以AF OA OF =-==因为侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角为45︒，所以145A AF ∠=︒，故1A F AF ==，则该正四棱台的体积为(2212433V =++=.故答案为：313.已知曲线1e e x y +=-在0x =的切线与曲线()ln y x m =+只有一个公共点，则实数m 的值为________；【答案】2e【解析】【分析】根据题意，利用导数的几何意义，求得曲线1e e x y +=-在0x =的切线方程为e y x =，结合直线e y x =与()ln y x m =+相切求得切点1(,1)eP m --，代入切线方程，即可求解.【详解】由函数1e e x y +=-，可得1e x y +'=，所以0|0x y ==且0|e x y ='=，所以曲线1e e x y +=-在0x =的切线方程为e y x =，由函数()ln y x m =+单调递增，且(),x m ∈-+∞，又1y x m'=+，结合对数型函数图象，要使得切线e y x =与()ln y x m =+只有一个公共点，则直线e y x =与()ln y x m =+相切，切点为00(,)P x y ，可得01e x m =+，解得01ex m =-，则01ln 1e y m m ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭，所以切点为1(,1)e P m --，将切点1(,1)eP m --代入直线e y x =，可得1e()1em -=-，解得2em =.故答案为：2e.14.通过双曲线的学习，我们知道函数1yx=的图象是“等轴双曲线”，其离心率为，经深入研究发现函数()0b y ax abx=+>的图象也是双曲线，且直线0x =和y ax =是它的渐近线，那么1y x =+的离心率是________．【答案】3【解析】【分析】由题意定义一般标准形式的双曲线的渐近线的夹角为AOB ∠，它使得双曲线的一支包含在AOB ∠内部，且令2AOB ∠θ=，则有tan baθ=，从而即可通过类比法求解.【详解】如图所示：对于标准的双曲线方程22221x y a b-=，在其对应的渐近线上各取一点（不同于原点）,A B ，我们定义渐近线的夹角为AOB ∠，它使得双曲线的一支包含在AOB ∠内部，且令2AOB ∠θ=，tan baθ=，对于1y x =+，我们知道其渐近线为33y x =和y 轴，从而可得其渐近线的夹角为πππ263-=，所以ππ33tan tan tan 263ba θ====，所以1y x =+的离心率是c e a ===.故答案为：3.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知圆C 的方程为：()()22224x y -+-=，直线l 的方程为：()10m x y m +--=，（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 相交，设直线l 与圆C 相交于A 、B ，求弦长AB 的最小值，及此时直线l 的方程；（3）圆C 的圆心C 与A 、B 构成三角形，求三角形ABC 面积的最大值．【答案】（1）0x y -=或20x y +-=（2）证明见解析，弦长AB 的最小值，此时20l x y -+=:（3）2【解析】【分析】（1）分别求解直线在,x y 轴上的截距，根据截距相等求解即可；（2）根据直线()10m x y m +--=过定点()1,1D 可判断直线与圆相交，再根据当直线l 与直线CD 垂直时弦长AB 最小求解即可；（3）由三角形的面积公式判断即可.【小问1详解】令0x =可得0y m --=，即y m =-，令0y =，易得此时1m ≠-，可得1mx m =+，依题意1mm m =-+，化简得()20m m +=，故0m =或2m =-.故直线l 的方程为：0x y -=或20x y +-=.【小问2详解】()10m x y m +--=即()10m x x y -+-=，故直线l 过定点()1,1D .因为()()2212124-+-<，故()1,1D 在圆C 内.故直线l 与圆C 相交.故当直线l 与直线CD 垂直时弦长AB 最小，此时()2,2C ，()1,1D ，故直线CD ==AB ==此时21121CD k -==-，111AB k -==-，故()11y x -=--，即20l x y -+=:.【小问3详解】依题意1sin 2sin 2ABC S AC BC ACB ACB =∠=∠ ，故当sin 1ACB ∠=，即ACB ∠为直角时ABC S 取最大值.由（2）可得当20l x y -+=:时,A B 坐标分别为()()0,2,2,0，此时ACB ∠为直角.故三角形ABC 面积的最大值为2.16.如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC AD ∥，36AD BC ==，22AB CD ==，BE AD ⊥于点E ．将ABE 沿着BE 折起，使A 到达P 的位置，如图2，连接PC ，PD ，得到四棱锥-P BCDE ，且PC CD ⊥．已知Q 是棱PD 上一点，且PB ∥平面CEQ ．（1）求PQQD的值；．（2）求二面角P CE Q --的余弦值．【答案】（1）12（2）63【解析】【分析】（1）连接BD 交CE 于点O ，连接OQ ，由线面平行的性质定理可得PB OQ ∥，从而可得答案.（2）利用线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面BCDE ，过点Q 作CD 的平行线交PC 于点M ，过点M 作PE 的平行线交EC 于点N ，连接QN ．证明EC ⊥平面MNQ ，利用二面角的定义找到平面角直接求解即可.【小问1详解】由题意等腰梯形ABCD中，AB CD ==，可知2,4AE ED ==，2BC =．如图，连接BD 交CE 于点O ，连接OQ．因为PB ∥平面CEQ ，PB ⊂平面PBD ，且平面PBD 平面CEQ OQ =，所以PB OQ ∥，则12PQ BO BC QD OD ED ===【小问2详解】在CDE中，CE =，CD =，4ED =，所以222DE CE CD =+，则CD CE ⊥．又因为CD PC ⊥，CE ，PC ⊂平面PCE ，CE PC C ⋂=，所以CD ⊥平面PCE ．因为PE ⊂平面PCE ，所以PE CD ⊥．因为PE BE ⊥，CD ，BE ⊂平面BCDE ，且CD ，BE 相交，所以PE ⊥平面BCDE ．过点Q 作CD 的平行线交PC 于点M ，过点M 作PE 的平行线交EC 于点N ，连接QN ．因为CD ⊥平面PCE ，所以QM ⊥平面PCE ，则MQ EC ⊥．又因为PE ⊥平面BCDE ，所以PE EC ⊥，则,MN EC MN MQ M ⊥⋂=，所以EC ⊥平面MNQ ，EC NQ ⊥．故∠MNQ 是二面角P CE Q --的平面角．因为13PQ PD =，所以133MQ CD ==，2433MN PE ==，3NQ ==，所以463cos 3263MN MNQ NQ ∠===，即二面角P CE Q --的余弦值为3．17.已知数列{}n a 的首项11a =，且满足132nn n a a ++=⨯，数列{}n b 的前n 项和n S 满足()2114n n S b =+，且0n b >．（1）求证：{}2nn a -是等比数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设()142nn n nn n c a b b+=-⋅⋅，求数列{}n c 的前19项和．【答案】（1）证明见详解（2）21n b n =-（3）4039-【解析】【分析】（1）由递推关系借助等比数列的定义进行证明；（2）利用当2n ≥时，1n n n b S S -=-，求出数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，可得通项公式；（3）由()1112121nn c n n ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法求和.【小问1详解】11123223322212222n n n n n nn n n n n n n nn n n n a a a a a a a a +++--+⨯--+⨯-⨯-+====-----所以{}2nn a -是以121a -=-为首项，1-为公比的等比数列.所以2(1)nnn a -=-；【小问2详解】当1n =时，()2111114b S b ==+，得11b =；当2n ≥时，()()2211111144n n n n n b S S b b --=-=+-+，整理得()()1120n n n n b b b b --+--=，因为0n b >，所以10n n b b -+≠，则120n n b b ---=，故数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，从而()12121n b n n =+-=-，所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-；【小问3详解】由()()()()()1441121121212121n n nn n n n n n c a b b n n n n +⎛⎫=-⋅=-⋅=-+ ⎪⋅-+-+⎝⎭，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1911111111113355735373739T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14013939=--=-.18.如图，已知A ，B 为抛物线E ：()220x py p =>上任意两点，抛物线E 在A ，B 处的切线交于点P ，点P 在直线1y =-上，且π2APB ∠=，动点Q 为抛物线E 在A ，B之间部分上的任意一点．（1）求抛物线E 的方程；（2）抛物线E 在Q 处的切线交PA ，PB 于M ，N 两点，试探究PMN 与ABQ 的面积之比是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由．【答案】（1）24x y=（2）PMN 与ABQ 的面积之比为定值12，理由见详解【解析】【分析】（1）设A 、B 的坐标分别为211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数求出斜率，得到切线方程，根据已知可得1212x x p =-和121x x p p⋅=-，从而解得p ，得解；（2）求出直线AB 方程，设点()00,Q x y 得MN 的方程，再求出弦AB ，MN 长，点Q ，P 分别到直线AB ，MN 距离即可计算作答.【小问1详解】抛物线方程为()220x py p =>，故212y x p=，所以x y p '=，设A 、B 的坐标分别为211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PA 的方程为：2111()2x x y x x p p =-+即2112x x y x p p=-，同理PB 的方程为：2222x x y x p p=-，联立PA ，PB 方程21122222x x y x p p x x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得1212,22P P x x x xx y p+==，因为点P 在直线1y =-上，所以1212x x p=-，又因为π2APB ∠=，即121x x p p ⋅=-，所以2p =，则抛物线E ：24x y =；【小问2详解】PMN 与ABQ 的面积之比为定值12，设点200,4x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由（1）知切线MN 的方程为：20024x x y x =-，又切线PA 的方程为：21124x x y x =-，切线PB 的方程为：22224x x y x =-，设点(,1)P m -，即有211124x x x -=-，222412x x x -=-，因此直线AB 的方程为：12my x =+，有12||AB x =-，点()00,Q x y 到直线AB的距离是2d =，则2201011242ABQmS x x x x =--+ ，由200211224224x y x x x y x x ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点M 的横坐标012M x x x +=，同理点N 的横坐标022N x x x +=，有||MN =，点(,1)P m -到直线MN的距离1d =，则12001142PMN m S x x x y =--+ ，所以1212S S =.【点睛】结论点睛：抛物线22(0)x py p =≠在点20(,2x x p处的切线斜率0x k p =；抛物线22(0)y px p =≠在点200(,)(0)2y y y p≠处的切线斜率0p k y =.19.已知函数()()1ln R f x a x x a x=--+∈（1）若函数()y f x =在[)3,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个不同的极值点12,x x ，其中12x x >，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若不等式()12f x kx <恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）03,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）()2,+∞（3）[)0,∞+【解析】【分析】（1）由题意()2110a f x x x'=+-≥在[)3,+∞上恒成立，即1a x x ≤+在[)3,+∞上恒成立，构造函数求不等式右边的最小值即可；（2）由题干的必要性得1a x x=+在()0,∞+上有两个零点，求得a 的范围，注意检验充分性是否成立即可；（3）原问题等价于()()22211111111ln 11ln 1k x f x x ax x x x x >=--=-+-恒成立，其中11x >，由此可构造函数，结合导数求解即可.【小问1详解】()()1ln R f x a x x a x =--+∈，()211a f x x x'=+-，因为函数()y f x =在[)3,+∞上单调递增，所以()2110a f x x x'=+-≥在[)3,+∞上恒成立，即1a x x ≤+在[)3,+∞上恒成立，令()1g x x x =+，则()211g x x'=-，当3x ≥时，()0g x '>，()g x 单调递增，从而()()min 1033g x g ==，所以103a ≤，即实数a 的取值范围为03,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；【小问2详解】()211af x x x'=+-，若函数()y f x =有两个不同的极值点12,x x ，必要性：则()0f x '=在()0,∞+上有两个零点，即1a x x=+在()0,∞+上有两个零点，由（1）可知()211g x x'=-，所以当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()min 12g x g ==，且当0,x x →→+∞时，都有()g x ∞→+，所以2a >，充分性：当2a >时，()222114102a x ax a f x x x x x -+-'=+-==⇒=或x =，且当0x <<x >()0f x ¢>，即此时()f x 单调递增，当22a a x -+<<时，有()0f x '<，即此时()f x 单调递减，即函数()y f x =有两个不同的极值点,22a a ，令21,22a a x x ==，由此可知充分性成立；综上所述，实数a 的取值范围是()2,+∞；【小问3详解】在（2）的条件下，有1211221112,1,0x x a x x x x x x +==+>=<<，所以1201x x <<<，所以()12f x kx <，等价于()()22211111111ln 11ln 1k x f x x ax x x x x >=--=-+-，令()()221ln 1,1m x x x x x =-+->，则()12ln m x x x x x'=--，令()12ln n x x x x x =--，则()212ln 1n x x x '=--，当1x >时，210,2ln 0x x -<-<，即()212ln 10n x x x '=--<，所以()n x 即()m x '单调递减，从而()()10m x m ''<=，所以()m x 单调递减，从而()()10m x m <=，所以实数k 的取值范围为[)0,∞+.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是恰当转换已知条件得()()221ln 1,1k m x x x x x >=-+->恒成立，由此即可顺利得解.。
湖北省重点高二下学期3月联合检测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ） 1310l y -+=2l 1l 2l A ． B ． C ． D ．150︒120︒60︒30︒【答案】B【分析】由题意得出直线的斜率，由直线与垂直可得进而求得的斜率，就可得1l 2l 1l 121l l k k ⋅=-2l k 到的倾斜角.2l【详解】∵直线与垂直， 11310,l l y k -+=∴=2l 1l，解得，121l l k k ∴⋅=-2l k =的倾斜角为. 2l ∴120︒故选：B.2．已知等差数列的前n 项和为，若，，则公差为（ ） {}n a n S 721S =25a =A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3【答案】B【分析】由前n 项和及等差中项的性质可得求得，进而求公差即可. 747S a =43a =【详解】由，则， 71274...721S a a a a =+++==43a =∴公差. 4212a a d -==-故选：B.3．抛物线的焦点坐标是（ ） 24y x =A ． B ．C ．D ．()0,1()1,010,16⎛⎫ ⎪⎝⎭1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标．【详解】将抛物线的化为标准方程为，，开口向上，焦点在轴的正半轴24y x =214x y =18p =y 上，所以焦点坐标为．10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：C ．4．函数的图像大致是（ ）()()22e xf x x x =-A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即()f x ()f x 可判断作答.【详解】由得，或，选项A ，C 不满足；()0f x =0x =2x =由求导得，当或，当()()22e xf x x x =-2()(2)e x f x x '=-x <x ()0f x '>x <<时，，()0f x '<于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极()f x (,∞-)+∞(()f x x =大值，在D 不满足，B 满足. x =故选：B5．已知圆O ：和点，若过点P 的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则2216x y +=(P 该数列公比的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．((]1,2((]0,2【答案】A【详解】圆半径，，则点P 在圆内，4r =OP r <则过点P 的弦长，[]2,8d éùêúÎ=êúëû故所求公比的取值范围是，即. æççè(故选：A6．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有（ ）A ．24B ．36C ．30D ．20【答案】C【分析】先涂“火、土”两个位置，再分类讨论“火”与“金”、“土”与“水”位置颜色是否相同，运算求解.【详解】设3种不同的颜色为，,,a b c 对于“火、土”两个位置有种不同的涂色方法，不妨设“火、土”两个位置分别为， 3×2=6a b 、1.若“金”位涂色为，则有：a ①若“水”位涂色为，则“木”位涂色为，共1种不同的涂色方法；bc ②若“水”位涂色为，则“木”位涂色为，共1种不同的涂色方法； c b 共2种涂色可能；2.若“金”位涂色为，则有：c ①若“水”位涂色为，则“木”位涂色为或，共2种不同的涂色方法； a b c ②若“水”位涂色为，则“木”位涂色为，共1种不同的涂色方法； b c 共3种涂色可能；综上所述：共种不同的涂色方法. ()62330⨯+=故选：C.7对任意，恒成立，则实数m 的取值范围是m ≥a ∈R ()0,b ∈+∞（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦⎛-∞ ⎝(-∞(],2-∞【答案】B【分析】将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意y x =()ln f x x =d m ≥义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m 的范围. ()f x【详解】设T 的几何意义是直线上的点与曲线T =y x =(,)P a a ()ln f x x=上的点的距离，(,ln )Q b b 将直线平移到与面线相切时，切点Q 到直线的距离最小． y x =()ln f x x =y x =而，令，则，可得， ()1f x x'=()0011f x x ='=01x =(1,0)Q 此时，Q 到直线y x==min ||PQ =所以 m ≤故选：B【点睛】关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且，结合导d d m ≥数的几何意义、点线距离公式求m 的范围.8．已知双曲线C ：的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左右两()222210,0x y a b a b-=>>2F 2F π6支分别交于A ，B 两点，若，则双曲线C 的离心率e 为（） 223AF BF =A B ．2C ．D 43【答案】D【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，分别在2BF m =112,32BF m a AF m a =+=-、中，利用余弦定理运算求解. 12F F B △12F F A △【详解】设左焦点为，连接，1F 11,AF BF 设，则， 122,2BF m F F c ==2112,3,32BF m a AF m AF m a =+==-∵，则有：2130BF F ∠=︒在中，由余弦定理， 12F F B △2221212212212cos BF BF F F BF F F BF F =+-∠即，整理得，()()2222222m a m c m c +=+-⨯)222m a b +=在中，由余弦定理， 12F F A △2221212212212cos AF AF F F AF F F AF F =+-∠即，()()()2223232232m a m c m c -=+-⨯⨯)2322m a b -=可得，))232ma ma +=-注意到，整理得，0m ≠26a a +=-c =故离心率c e a ===故选：D.二、多选题9．已知圆C ：，直线，则下列结论正确的是（ ） 224x y +=()()34330m x y m m ++-+=∈R A ．圆C 与曲线恰有三条公切线，则 22680x y x y m +--+=16m =B ．当时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 0m =C ．直线l 恒过第二象限D ．当时，l 上动点P 作圆C 的切线PA ，PB ，且A ，B 为切点，则AB 经过点13m =164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】对A ：结合两圆的位置关系分析运算；对B ：根据题意结合点到直线的距离分析运算；对C ：根据直线过定点运算求解；对D ：先根据两圆相交的性质求直线的方程，在根据直线过定AB 点运算求解.【详解】由题意可得：圆C 的圆心，半径，()0,0C 14r =对A ：曲线化简为， 22680x y x y m +--+=()()223425x y m -+-=-当，即时，不表示任何图形； 250m -<25m >当，即时，表示点；250m -=25m =()13,4C 当，即时，表示圆心，半径250m ->25m <()13,4C 2r =若圆与曲线恰有三条公切线， C 22680x y xy m +--+=则，解得，故A 正确； 252m <⎧=16m =对B ：当时，直线为， 0m =l 3430x y +-=所以圆心到直线的距离， (0,0)3430x y +-=13115d r ==<=-故圆上有四个点到直线的距离都等于1，故B 错误；C l 对C ：由直线：，整理得:，l (3)4330m x y m ++-+=()m ∈R (3)(343)0m x x y +++-=令，解得，303430x x y +=⎧⎨+-=⎩33x y =-⎧⎨=⎩即直线经过定点，故C 正确；l ()3,3-对D ：当时，直线的方程为， 13m =l 490x y ++=设点，且，(,94)P t t --()0,0C 则线段的中点PC 94,22t t M +⎛⎫- ⎪⎝⎭以线段为直径的圆的方程为， PC M 2229422t t x y +⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得，()22940x y tx t y +-++=∵圆的方程为，C 224x y +=则两圆的公共弦的方程为，整理得，()4940tx t y -++=(4)940y x t y -++=令，解得，40940y x y -=⎧⎨+=⎩16949x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即直线经过点，故D 正确.AB 164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：ACD.10．正四棱柱的底面边长为2，侧棱长是3，AB ，BC 的中点为M ，N ，过点，1111ABCD A B C D -1D M ，N 的平面记为，则下列说法中正确的是（ ） αA ．平面截得的截面面积为B ．α113B MNDD MND V V --=C ．BD ⊥平面 D ．二面角1ACD 1A MN D --【答案】BD【分析】建系，求平面的法向量.对A ：求平面上点满足的关系式，进而求平面与侧棱的交1MND α点，结合解三角形的知识求面积；对B ：分别求点到平面的距离，结合锥体的体积分析,B D 1MND判断；对C ：利用空间向量可得不与垂直，即可得结果；对D ：求平面的法向量，利1AD BD AMN 用空间向量求二面角.【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则D D xyz -， ()()()()()()()()112,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,00,0,3,2,1,0,1,2,0,2,2,3,A B C D D M N B 可得，()()11,1,0,2,1,3MN MD =-=--u u u r u u u u r设平面的法向量为，则， 1MND (),,n a b c = 10230n MN a b n MD a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 令，则，即.1c =1a b ==()1,1,1n =对A ：设平面上任一点，则，α(),,P x y z ()2,1,MP x y z =--u u u r可得，则，210n MP x y z ⋅=-+-+=r u u u r3x y z ++=令，则，即平面与侧棱的交点， 2,0x y ==1z =α1AA ()2,0,1E 令，则，即平面与侧棱的交点， 0,2x y ==1z =α1CC ()0,2,1F 故平面α与正四棱柱的截面为， 1111ABCD A B C D -1EMNFD 可得1111EM MN CF D E D F D M D N =======故，11△△EMD FND ≅对于，则， 1△EMD 22211111cos 22D E EM D M D EM D E EM +-∠==-⋅由，可得，则， ()10,πD EM ∠∈12π3D EM ∠=1sinD EM ∠=故的面积，1△EMD 11111sin 22△EMD S D M EM D EM =⨯⨯⨯∠=⨯=对于，则，且， 1MND A 2221111113cos 214D M D N MN MD N D M D N +-∠===⋅()10,πMD N ∠∈可得 1sin MD N∠==故的面积1MND A 111111sin 22△MNDS D M D NMD N =⨯⨯⨯∠==故平面截得的截面面积为A 错误； α112△E △MD MND S S +==对B ：∵，则点到平面的距离()0,1,0MB =u u u r B 1MND 1n MB d n ⋅===r u u u rr 又∵，则点到平面的距离， ()2,1,0DM =u u u u r D 1MND 2n DM n d ⋅===r u u u u rr 即，且三棱锥与三棱锥共底面， 213d d =1B MND -1D MND -故，B 正确；1113B MND D MND D MND V V V ---==对C ：由题意可得：，， ()12,0,3AD =- ()2,2,0DB =可得，则不与垂直， 122023040AD DB ⋅=-⨯+⨯+⨯=-≠u u u r u u u r1AD BD 故BD 与平面不垂直，C 错误；1ACD对D ：取平面的法向量，AMN ()0,0,1m = 可得 cos ,n m n m n m⋅===r u rr u r ru r 设二面角为，则1A MN D--π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ=可得sin θ=故二面角D 正确. 1A MN D --故选：BD.11．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为()2211221110x y a b a b +=>>1e ()2222222210,0x y a b a b -=>>2e ，两曲线有公共焦点，，P 是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是1F 2F 1260F PF ∠=︒（ ）A ．B ．22221122a b a b -=-22123b b =C ． D ．的最小值为221213144e e +=221222e e +2【答案】BCD【分析】根据椭圆与双曲线有公共焦点、椭圆与双曲线的定义、离心率、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，，()1,0F c -()2,0F c 由于椭圆与双曲线有公共焦点，所以，所以A 选项错误. 222221122a b a b c -=+=根据椭圆和双曲线的定义得：， 12212122PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩所以，112212,PF a a PF a a =+=-由余弦定理得,22212121202cos 6F F PF PF PF PF =+-⋅︒，()22222221212124223c a a a a a a =+--=+，B 选项正确.222222121233,3a c c a b b -=-=，C 选项正确. 2221222222123134144444a a c e e c c c+=+== 222222121222221212221233222222aa a a c ca a a e e a ++=+++=，22212212322222a a a a =++≥+=当且仅当时等号成立，D 选项正确.2244212122123,322a a a a a a ==故选：BCD 12．已知函数，是自然对数的底数，则（ ） ()ln xf x x=e A ．B ．11<π2π2ln 33ln π3ln 2>>C ．若，则D ．，且，则1221x xx x =212e x x +=()()12f x f x =12x x ≠12ln ln 2x x +>【答案】ABD【分析】对于A,B ，根据函数的单调性，即可判断； ()ln xf x x=对于C ，构造函数，判断其单调性，结合，即()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈1221ln ln =x x x x ，即可判断；()()12f x f x =对于D ，将展开整理得，然后采用分析()()12f x f x =12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-法的思想，推出，构造函数，求其最小值即可判断. 1121222(1)ln1x x x x x x ->+2(1)(1)ln u t t t t --=+【详解】对于A ，由题意得，则 ， ()ln x f x x =21ln ()xf x x -'=当 时，，递增 ，当 时，，递减， 0e x <<()0f x '>()f x e x >()0f x '<()f x 由于，所以，即， e 4<()4f f<ln42ln 2ln 2442==<，所以，故正确；2<ln ln11<11<<对于B ，由于，由于当 时，递减，故 ， 3π<e x >()f x (3)(π)f f >即，即， ln 3ln π,2πln3>23ln π3π>⨯π22ln 33ln π>因为 ， ln 2ln 4(2)(4)(π)24f f f ===<故，即， ln 2ln π,3πln2<32ln π2π<⨯2π3ln π3ln 2>综上，，故B 正确；π2π2ln 33ln π3ln 2>>对于C ，因为，即，即， 12122121ln ln x x x xx x x x ⇒==1221ln ln =x x x x 121122ln ln ,()()x x f x f x x x ==设 ，由于当 时，递增 ，当 时， 递减， ()()()(e )e ,0,e g t f t f t t =+--∈0e x <<()f x e x >()f x 故单调减函数，故，即，()(),0,e g t t ∈()(0)0g t g <=()(e )e f t f t +<-由于，不妨设， 则 ，即，故C 错误； 12()()f x f x =20e x <<122e x x <-212e x x +<对任意两个正实数，且，若，不妨设 ， 12,x x 12x x ≠()()12f x f x =210x x <<即，设，则， 1212ln ln x x x x =1212ln ln x x m x x ==1122ln ,ln x mx x mx ==则，，12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-1212ln ln x x m x x -=-分析法知：要证目标不等式只需212121212121222()ln ln e ln ln 2x x x x x x x x x x x m x -+>⇔+>⇔>-+>⇔， 112112112222l 2(1n )2()ln 1ln x x x xx x x x x x x x --->⇔>++⇔设 令 ，则， 211,x x t =>2(1)(1)ln u t t t t --=+2222(1)2(1)(1)0(1)(11)()t t t t t u t t t '+----=>++=即为单调增函数，故， 2((1)ln ,(11))t u t t t t -->+=()(1)0u t u >=即成立，故，所以，即，故D 正确， 1121222(1)ln1x x x x x x ->+212e x x >()212ln ln e x x >12ln ln 2x x +>故选：ABD【点睛】关键点点睛：A 、B 通过构造中间函数并研究单调性比较大小关系；C 、D 构造方程并应用对应函数，结合分析法及导数证明不等关系.三、填空题13．已知数列满足，则____________． {}n a 1112,1n na a a +==-2023a =【答案】2【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求.2023a 【详解】因为， 1112,1n n a a a +==-所以，，，，211112a a =-=32111a a =-=-43112a a =-=541112a a =-=所以数列是周期为3的数列，. {}n a 20233674112a a a ⨯+===故答案为：214．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应1AA 1BB 1CC 1DD 12的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．90︒1AB 1CD【答案】## 450.8【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线与所成角的余弦值.1AB 1CD 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以O 'O OO 'OC OB O OC ，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，OB OO'x y z则，，，，则，，(1,0,0)C (0,2,0)A 1(0,1,2)B 1(2,0,2)D 1(1,0,2)CD =1(0,1,2)AB =- 所以，1111114cos ,5CD AB CD AB CD AB <>===A 又因为异面直线所成角的范围为，π(0,]2故异面直线与所成角的余弦值为， 1AB 1CD 45故答案为：. 4515．三棱锥的顶点都在球O 的表面上，线段PC 是球的直径，，-P ABC 3AC BC ==AB =O 的表面积为______________． P ABC V -=【答案】52π【分析】根据解三角形的知识求以及外接圆的半径，在由体积可求三棱锥的高为ACB ∠-P ABC 4，结合球的性质可得OC =【详解】在中，设的外接圆的圆心为，半径为，ABC A ABC A 1O r 由余弦定理可得，22299271cos 22332AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===-⋅⨯⨯注意到，则，()0,πACB ∠∈2π3ACB ∠=由正弦定理可得，即，26sin AB r ACB ===∠3r =由题意可知：O 为的中点，连接，PC 1111,,,,OC O C O A O B OO 设三棱锥的高为，则三棱锥的体积，-P ABC h-PABC 113332V h =⨯⨯⨯=解得，4h =由O 为的中点，可得， PC 12OO =∵平面，平面， 1OO ⊥1O ACB 1O C ⊂1O ACB 故，11OOO C ⊥则OC===即球O O 的表面积.24π52πS ==故答案为：.52π16．已知不等式恒成立，则的最大值为__________.221e ln ln (0)2x kx x x k k -+≥+>k 【答案】2e 【分析】法一：利用同构得到，即，构造，，利用导函数求出其e x≥2e x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()e x g x x =0x >最小值，得到；2e k ≤法二：先代入求出，再构造函数，证明其必要性即可. 1x =2e k ≤【详解】法一：变形为，221e ln ln (0)2xkx x x k k-+≥+>())22e lne )lnxx +≥+构造，定义域为，2ln y x x =+()0,∞+则在上恒成立， 120y x x'=+>()0,∞+所以在单调递增，2ln y x x =+()0,∞+故，两边平方后变形得到，e x≥2e x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭构造，，()e xg x x=0x >则，当时，，当时，， ()()2e 1x x g x x -'=1x >()0g x '>01x <<()0g x '<故在处取得极小值，也是最小值，()e xg x x=1x =可知，故，mine e x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭2e k ≤的最大值为；k 2e 法二：中令得：，221e ln ln (0)2x kx x x k k -+≥+>1x =21e 1ln 2k k +≥+解得：，2e k ≤当时，只要证，， 2e k =222e e ln 1x x x x -+≥+0x >其中，显然成立，ln 1x x ≥+0x >以下是证明过程：构造，，()ln 1h x x x =--0x >，当时，，当时，， ()11h x x'=-1x >()0h x '>01x <<()0h x '<故在上单调递减，在上单调递增， ()ln 1h x x x =--01x <<1x >故，故，，()()10h x h ≥=ln 1x x ≥+0x >只要证，即，由于， 222e e 0x x -≥222e e x x ≥e 0,e 0x x >>故只要，e e x x ≥构造，，()e e xk x x =-0x >则，当时，，当时，，()e e xk x '=-1x >()0k x '>01x <<()0k x '<故在上单调递减，在上单调递增，()e e xk x x =-01x <<1x >故，故，， ()()10k x k ≥=e e x x ≥0x >综上：可得的最大值为. k 2e 故答案为：2e【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.四、解答题17．一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码． (1)若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种； (2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法． 【答案】(1)30 (2)70【分析】（1）有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个红球”，利用组合数运算求解； （2）有两种可能：“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，利用组合数运算求解； 【详解】（1）若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个红球”，故不同的取法有种.211554C C C 102030+=+=（2）若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，故不同的取法有种.21125454C C +C C 1045670=⨯+⨯=18．已知数列的前项的积记为，且满足. {}n a n n T 112n n na T a -=(1)证明：数列为等差数列；{}n T (2)设，求数列的前项和.()()111nnn n n b T T +-+={}nb n nS【答案】(1)证明见解析 (2)()11181212nn --+【分析】（1）将条件中的变为，然后整理即可证明；112n n na T a -=n a 1n n T T -（2）求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求和. {}nb 【详解】（1）当时，， 2n ≥11111122222n n n n n na TT a a T --==-=-，即， 1122n n T T -∴=-12n n T T --=又当时，，得，1n =11111112a T a a -==113T a ==数列是以3为首项，2为公差的等差数列；∴{}n T （2）由（1）得，21n T n =+则，()()()()()11111212342123n nn n b n n n n -+-⎛⎫==+ ⎪++++⎝⎭()()1111111111143557792123n nn S n n ⎡⎤∴=--++--+⋯+-+-⎢⎥++⎣⎦. ()()1111111432381212n nn n ⎡⎤=-+-=--⎢⎥++⎣⎦19．已知函数，.()xf x xe ax a =-+0a ≥(1)若，求的单调区间；1a =()f x (2)若关于x 的不等式恒成立，求实数a 的取值范围. ()ln f x a x ≥【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(),0∞-()0,∞+(2).20,e ⎡⎤⎣⎦【分析】（1）把代入函数解析式中得，对函数进行求导即可得到的单调1a =()1xf x xe x =-+()f x 区间.（2）恒成立等价于恒成立，令()ln f x a x ≥()ln 00xxe ax a a x x -+->≥，则.()()ln 0x h x xe ax a a x x =-+->()min 0h x ≥当时，符合题意，当时，对函数判断单调性，即可得到，即0a =0a >()h x ()min h x =2ln 0a a a -≥可求出答案.【详解】（1）当时，，1a =()1xf x xe x =-+则.()()'11xf x x e =+-当时，因为，且，(),0x ∈-∞11x +<01x e <<所以，()11xx e +<所以，单调递减.()()'110xf x x e =+-<()f x 当时，因为，且，()0,x ∈+∞11x +>e 1x >所以，()11xx e +>所以，单调递增.()()'110xf x x e =+->()f x 所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.1a =()f x (),0∞-()0,∞+（2）恒成立等价于恒成立，()ln f x a x ≥()ln 00xxe ax a a x x -+->≥令，()()ln 0xh x xe ax a a x x =-+->则.()min 0h x ≥①当时，在区间上恒成立，符合题意；0a =()xh x xe =>0()0,∞+②当时，， 0a >()()()()1'11xx x a a h x x e a x e x x x xe a x +⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭=+-=+-令，，即在上单调递增，()x g x xe a =-'()(1)x g x x e =+()g x ()0,∞+，则存在，使得，此时(0)0,()(1)0a a g a g a ae a a e =-<=-=->0(0,)x a ∈000()00xg x x e a =⇒-=，即，00x x e a =00ln ln x x a +=则当时，，单调递减；当时，，单调递增.()00,x x ∈()'0h x <()h x ()0,x x ∈+∞()'0h x >()h x 所以.()()()00000min ln 2ln xh x x e a x a h x a x a a ==-++=-令，得. ()min 0h x ≥2ln 0a a a -≥因为，所以.0a >20a e <≤综上，实数a 的取值范围为.20,e ⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性和隐零点问题，属于难题.20．如图，已知圆锥，是底面圆的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A ，B 的一-P ABC AB O点，．设二面角与二面角的大小分别为与．PA =P AC B --P BC A --αβ(1)求的值； 2211tan tan αβ+(2)若，求二面角的正弦值． tan βα=A PC B --【答案】(1)； 12【分析】(1) 连接,取AC ，BC 的中点M ，N ，连接PM ，OM ，PN ，ON ，由题意可得 PO ，，从而可得，代入数据计算即可；∠=PMO α∠=PNO β2222211tan tan OC AP OA αβ+=-(2)建立坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）解：连接，因为点P 为圆锥的顶点，所以⊥平面，PO PO ABC分别取AC ，BC 的中点M ，N ，连接PM ，OM ，PN ，ON ， 则在圆O 中，， OM AC ⊥由⊥平面，得PO ⊥AC ． PO ABC 又， PO OM O = 故AC ⊥平面PMO ，平面,PM ⊂PMO 所以AC ⊥PM ． 所以, ∠=PMO α同理，．∠=PNO β于是； 22222222111tan tan 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭OM ON OC OC OP OP OP AP OA αβ（2）解：因为，即，tan βα=OP OPON OM=所以，即， OM BC ∵， 222AC BC AB +=∴，．BC =2AC =在圆O 中，CA ⊥CB ，以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C -xyz ．则，，． ()0,0,0C ()2,0,0A ()0,B 又因为PO ⊥平面ABC ，所以OP ∥z 轴，从而．(P 则，，．()2,0,0CA =()0,CB = (CP = 设平面PAC 的法向量为，(),,m x y z = 则，即，00m CA m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x x =⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨取，，此时．y =0x=z =(0,m =设平面PBC 的法向量为，(),,n m n t = 则，即， 00n CB m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m ⎧=⎪⎨+=⎪⎩不妨取，则，，此时．m =0n =1t =-()1n =-所以cos ,m n m n m n⋅<>==⋅所以二面角A -PC -B．=21．已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直22132x y +=1F 2F 1F ,B D 2F 线交椭圆于两点，且，垂足为．,A C AC BD ⊥P （1）设点的坐标为，证明：；P 00(,)x y 2200132x y +<（2）求四边形的面积的最小值． ABCD 【答案】（1）证明见解析；（2）9625【分析】（1）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，1c =AC BD ⊥P 12F F 22001x y +=由此可证得结论；（2）分类讨论直线的斜率存在与否两种情况：当直线的斜率存在时，设直线的方程BD BD k BD 为，代入椭圆得，利用弦长公式结合韦达定理知(1)y k x =+2222(32)6360k x k x k +++-=的面积，再利用BD =||AC =ABCD 12S BD AC =⋅⋅基本不等式求得最小值，当直线的斜率不存在或斜率时，此时四边形的面积BD 0k =ABCD 4S =，即可求得最小值.【详解】（1）证明：椭圆，可知，22132x y +=223,2a b ==2321c =-=由，知点在以线段为直径的圆上，故AC BD ⊥00(,)P x y 12F F 22001x y +=所以222200001132222x y x y +≤+=<（2）①当直线的斜率存在且时，则直线的方程为，BD k 0k ≠BD (1)y k x =+联立，消去y 得，22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(32)6360k x k x k +++-=设,，则， 11(,)B x y 22(,)D xy 2122632k xx k +=-+21223632k x x k -=+由弦长公式得 12|BDx x=-==由，垂足为，知的斜率为，可知AC BD ⊥P AC 1k -||AC ==则四边形的面积 ABCD 22221124(1)22(32)(23)k S BD AC k k +=⋅⋅==++，当且仅当，即时，等号成立.2222224(1)9625(32)(23)4k k k +≥=⎡⎤+++⎣⎦223223k k +=+21k =②当直线的斜率不存在或斜率时，此时四边形的面积BD 0k =ABCD2211222422b S BD AC a b a=⋅⋅=⋅⋅==故四边形的面积的最小值为ABCD 9625【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．已知函数．()()e 21R xf x ax a =--∈(1)若恒成立，求实数a 的取值集合； ()0f x ≥(2)求证：对，都有． *N n ∀≥11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】(1)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)证明见解析【分析】（1）求导，利用分类讨论思想判断函数的单调性，根据函数的单调性，结合已知不等式进行求解即可；（2）先构造函数把转化为,再利用（1）中的结论构造不等式，结合不等式的1sin 1n k n +⎛⎫ ⎪+⎝⎭11n k n +⎛⎫⎪+⎝⎭性质和等比数列前项和公式进行证明即可.n 【详解】（1）由且，令， ()e 2xf x a '=-()00f =1(0)02f a ='⇒=当时，则，， 12a =()e 1x f x x =--()e 1x f x '=-当，有，即在上递增； ()0f x '>0x >()f x (0,)+∞当，有，即在上递减； ()0f x '<0x <()f x (,0)-∞所以，满足题设； ()(0)0f x f ≥=当时，，则，显然不合要求，舍去； 12a >()e 21e 1x x f x ax x =--<--0(0)e 010f <--=当时，则， 12a <()e 2xf x a '=-若时，即在R 上递增，故上，不合要求； 0a ≤()0f x '>()f x (,0)-∞()0f x <若时，令得：，令得：，且， 102a <<()0f x '>ln2x a >()e 20xf x a '=-<ln2x a <ln20a <则在上单调递减，在上单调递增，又， ()f x (),ln2a -∞()ln2,a +∞()00f =故当时，，不合题意，舍去； ()ln2,0x a ∈()0f x <综上：实数a 取值集合为．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）设且，则，在上单调递增， ()sin g x x x =-0x >()1cos 0g x x ='-≥()g x ,()0x ∈+∞所以．即在上恒成立，()()min 00g x g ==sin x x >,()0x ∈+∞所以，，，11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭*N k ∈*N n ∈则，1111111212sin sin sin 111111n n n n n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……故只需证明：即可， 111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…由（1）知，在恒成立，则，故，()e 10x f x x =-->(0,)+∞1e x x +<()()111e n n x x +++<令（，2，3，…，n ），则（，2，3，…，n ）， 11k x n +=+1k =11e 1e n k n k n ++⎛⎫< ⎪+⎝⎭1k =∴()()11112311e 1e 12311e e e ...e1111e e1en n n n n nn n n n n n n ++++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<++++=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()1111e e 1e e e 1e 1e 1n n n ++--==<---∴． 11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…【点睛】关键点点睛：构造函数结合（1）结论的应用，先用放缩法将的和转化为1sin 1n k n +⎛⎫⎪+⎝⎭的和，再应用结合等比数列前项和公式得证.11n k n +⎛⎫ ⎪+⎝⎭1e x x +≤n。
高二数学下册3月月考试题(有参考答案)
高二数学下册3月月考试题（有参考答案）高二数学（理科）月考测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1、复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.或2、且,则乘积等于()A．B．C．D．3、有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（）A.B.C.D.4、已知，则等于（）AB)—1C2D15、在长为12cm的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A.280种B.240种C.180种D.96种7、设为曲线:上的点且曲线C在点处的切线的倾斜角的取值范围为，则点的横坐标的取值范围()ABCD8、若为的各位数字之和，如则,记则（）A3B5C8D11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9、某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为。
10、已知，则=(最后结果)。
11、某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有种。
12关于二项式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当时，除以的余数是。
其中所有正确命题的序号是。
13、直线与曲线围成图形的面积为，则的值为。
14、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：。