新人教版九年级数学上册二十一章韦达定理与根与系数的关系专项练习题
最新人教版九年级数学上册第二十一章 《一元二次方程的根与系数的关系》课后训练
*22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系练习1．若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1，x 2，则1211x x +的值为( )． A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13- 2．一元二次方程x 2＋kx －3＝0的一个根是x ＝1，则另一个根是( )．A ．3B ．－1C ．－3D ．－23．如果关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋4m 2＝0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为( )．A ．12-B ．12C ．12±D ．324．以3，－1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是( )．A ．3x 2－2x ＋3＝0B ．3x 2＋2x －3＝0C ．3x 2－6x －9＝0D ．3x 2＋6x －9＝05．若关于x 的一元二次方程x 2＋(m 2－9)x ＋m －1＝0的两个实数根互为相反数，则m 的值是__________．6．若α，β是方程x 2－2x －2 016＝0的两个实数根，则α2＋3αβ＋β2＝__________.7．已知x 1，x 2为方程x 2＋3x ＋1＝0的两实根，则x 13＋8x 2＋20＝__________.8．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x －k 2＝0(k 为常数)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设x 1，x 2为方程的两个实数根，且x 1＋2x 2＝14，试求出方程的两个实数根和k 的值．9．若实数x 1，x 2满足x 12－3x 1＋1＝0，x 22－3x 2＋1＝0，求2112x x x x +的值． 10．如图所示，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于点O ，且OA ，OB 分别是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的根，求m 的值．参考答案1. 答案：B2. 解析：设方程的另一个根为x 1，由x 1·1＝－3，得x 1＝－3.答案：C3．答案：A4. 答案：C5. 答案：－36. 答案：－2 0127. 解析：由x 1，x 2是方程x 2＋3x ＋1＝0的两实数根，则x 1＋x 2＝－3，x 12＋3x 1＋1＝0，即x 12＝－3x 1－1.所以x 13＋8x 2＋20＝x 12·x 1＋8x 2＋20＝(－3x 1－1)x 1＋8x 2＋20＝－3x 12－x 1＋8x 2＋20＝9x 1＋3－x 1＋8x 2＋20＝8x 1＋8x 2＋23＝－24＋23＝－1.答案：－18. 解：(1)b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－k 2)＝36＋4k 2＞0，因此方程有两个不相等的实数根．(2)x 1＋x 2＝61b a --=-＝6， 又x 1＋2x 2＝14，解方程组12126,214,x x x x +=⎧⎨+=⎩ 解得122,8.x x =-⎧⎨=⎩ (方法1)将x 1＝－2代入原方程，得(－2)2－6×(－2)－k 2＝0，解得k ＝±4. (方法2)将x 1和x 2代入x 1x 2＝c a， 得－2×8＝21k -，解得k ＝±4. 9. 解：(1)当x 1≠x 2时，x 1，x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，有x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1. 故2221211212x x x x x x x x ++= 2211212()2x x x x x x +-= 232171-⨯==. (2)当x 1＝x 2时，原式＝1＋1＝2.∴原式的值是7或2.10.分析：将直角三角形中的勾股定理完全平方式的基本变形以及一元二次方程根与系数的关系结合起来求解．解：OA，OB是方程的两个实数根，故OA＋OB＝1－2m,OA·OB＝m2＋3.在菱形ABCD中，OA2＋OB2＝AB2，(OA＋OB)2－2OA·OB＝AB2，即(1－2m)2－2(m2＋3)＝25，化简得m2－2m－15＝0.解得m1＝5，m2＝－3.而方程有两实数根，b2－4ac＝(2m－1)2－4(m2＋3)≥0.m≤11 4 .而m＝5不合题意，舍去．所以m＝－3.。
人教版 九年级上册数学 第21章 一元二次方程 之韦达定理培优练习(含答案)
人教版 九年级上册数学 第21章 一元二次方程之韦达定理培优练习（含答案）1. 已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是2，那么m n+= ．2. 已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ．3. 当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4. 对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则：223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5. 设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．6. 已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 7. 已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．8. 已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x a x a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．9. 如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4 CD10. 已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．2511. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 12. 设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．1113. 设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 14. 设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩15. 设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数16. 如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ） A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或17. 已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．18. 已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．19. 如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．20. 已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．21. 已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．DBAC22. 若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．23. 设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．24. 设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．25. 已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．参考答案1．3 2．23．-2 m ＞2 0＜m ≤1834．100134016-5．0 6．857．58．638-． 9．D 10．C 11．B 12．B 13．C 14．C 15．A 16．A17．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0．18．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =419．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 20．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ ∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩21．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）．22.4447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 23．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．24．（1）m ． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 25．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．3、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么=⋅21x x ．4、已知1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 5、设1x 、2x 是方程03422=-+x x 的两个根，则=++)1)(1(21x x ．6、若方程03422=--x x 的两根为βα、，则=+-22ββ2a a ．7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ．8、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为1x 和2x ，且221-=+x x ，则=m ，()=+⋅2121x x x x 。
9、若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则=k ．10、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么=k 。
11、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则=m 。
12、已知方程022=+-mx x 的两根互为相反数，则=m 。
13、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。
14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。
若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。
15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为 0 和 －1，则=q p : 。
16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x2-3x，m=0，当_______________ 时，方程有两个正数根；当m ____________ 时，方程有一个正根，一个负根；当m ___________ 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程2x2 - 3x -1 = 0的两根为x-i、x2，则x< x2 = __________ .3、如果X i，X2是方程x2-5x ■ 6 = 0的两个根，那么X i・X2 = _______________ .4、已知x i，X2是方程X2+6X+3=0的两实数根，则竺+殂的值为____________ .x1 x25、设x-i、x2是方程2x2，4x-3=0 的两个根，贝U (x-i 1)(x2 1) = _______ .& 若方程 2X2-4X-3=0 的两根为：•、一：，则a2-2ap，/ = ___________ .17、已知x1> x2是关于x的方程(a -1)x2 x a20的两个实数根，且为+ x2= 一，则3% X2 _______ .8、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2，且为• x2 - -2，贝U m =____ ，占■ x2 MX?二__________ 。
9、若方程2x2 -5x • k = 0的两根之比是2: 3,则k二_________ .10、如果关于x的方程x2 6x ^0的两根差为2,那么k二________________ 。
11、___________________________________________________________ 已知方程2x2，mx-4=0两根的绝对值相等，则m = __________________________________________ 。
12、__________________________________________________________ 已知方程x2-mx ■ 2=0的两根互为相反数，则m = ________________________________________ 。
根与系数的关系(韦达定理)练习题 (2)
一元二次方程根与系数的关系练习题一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=02．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=03．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．124．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．35．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣16．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣27．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m28．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．1759．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．810．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．201111．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．012．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．201013．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣414．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013二．填空题（共5小题）15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=_________．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是_________．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为_________．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为_________．三．解答题（共11小题）20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m 的值．21．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．28．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．解答：解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程无根；故本选项错误；C、∵x1+x2=1；故本选项错误；D、∵x1+x2=2；故本选项正确；故选D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求解即可．解答：解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α?β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选：B．点评：此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1?x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1?x2=﹣2代（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．故选A．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：由a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根据问题的需要，灵活变形．解答：解：把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=﹣3．∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1?x2=．6．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：由两根之和的值建立关于a的方程，求出a的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积．解答：解；由题意知x1+x2=a=4a﹣3，∴a=1，∴x1x2=﹣2a=﹣2．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误．7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2考点：根与系数的关系．分析：设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系，整理即可得到正确的答案；解答：解：∵方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍，∴设一根为a，则另一根为3a，由根与系数的关系，得：a?3a=n，a+3a=﹣m，整理得：3m2=16n，故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大．8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．175考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0①，又由韦达定理知a?b=7②；所以，根据①②来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可．解答：解：∵a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，∴a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0，∴a2+ma+7﹣5a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+7﹣5b=0，即b2+mb+7=5b；又由韦达定理，知a?b=7；∴（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25a?b=25×7=175．故选D．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．解答：解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；故选D．点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由于m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果解答：解：∵m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，∴m2+m=2011，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．0考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算．解答：解：由题意有x12+x1﹣3=0，x22+x2﹣3=0，即x12=3﹣x1，x22=3﹣x2，所以x13﹣4x22+19=x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19=3x1﹣=3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=﹣1，所以原式=4×（﹣1）+4=0．故选D．点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简．求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3﹣x1，x22=3﹣x2．12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则代数式（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：首先根据方程的解的定义，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，则有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解．解答：解：∵m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．故选C．点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的定义，将x1、x2分别代入原方程，求得x12=﹣x1+1、x22=﹣x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=﹣1；最后将其代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，∴x12+x1﹣1=0，即x12=﹣x1+1；x22+x2﹣1=0，即x22=﹣x2+1；又根据韦达定理知x1?x2=﹣1∴（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）=﹣2x1?（﹣2x2）=4x1?x2=﹣4；故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，∴m2﹣m﹣2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知，m+n=1，∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）15．（2014?广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2﹣x1x2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m2﹣m+﹣）+2=3（m﹣）2+；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．16．（2013?江阴市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=﹣5．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1?x2的值，再整体代入即可求解．解答：解：根据根与系数的关系可得，x1?x2=﹣1，x1+x2=﹣23．则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=﹣2﹣3=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1?x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是1．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值．解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a2﹣2a+2．x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2a）2﹣2（a2﹣2a+2）=2a2+4a﹣4=2．解a2+2a﹣3=0，得a1=﹣3，a2=1．又方程有两实数根，△≥0即（2a）2﹣4（a2﹣2a+2）≥0．解得a≥1．∴a=﹣3舍去．∴a=1．点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为﹣．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系可知，两根之和等于﹣，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出a，b和c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值．解答：解：由2x2+3x﹣1=0，得到：a=2，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=9+8=17＞0，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和x2，则x1+x2=﹣；由x2﹣5x+7=0，找出a=1，b=﹣5，c=7，∵b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，∴此方程没有实数根．综上，两方程所有的实数根的和为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为﹣4．考点：根与系数的关系．分析：由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．解答：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，∴m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，∴mn﹣（m+n）+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．三．解答题（共11小题）20．（2004?重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．解答：解：由判别式大于零，得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3，m2=1．∵m2=1＞，故舍去．∴m=﹣3．点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用．21．（1998?内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和．即可确定m的取值情况．解答：解：设原方程的两根为x1、x2，则有：，∴．又∵，∴m2﹣20=29，解得m=±7，∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=（±7）2﹣40=9＞0∴存在实数±7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决．容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式△．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？考点：根与系数的关系．分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入上面两个式子，消去x1和x2，整理得：4k2﹣k=0，解得k=0或k=，当k=0时，显然不合题意，当k=时，其判别式△=1≥0，所以当k=时，方程两根之比为1：3．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程，注意检验是否满足判别式大于0．23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可．解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程：（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=25，整理可得：m2﹣3m﹣4=0，解得m=4或m=﹣1，当m=4或m=﹣1一元二次方程的判别式都大于0，但当m=﹣1时，ab=﹣8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），所以m=4．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于m的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．解答：解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令y=，则y==（2k﹣1）2﹣2（1+k2）=2k2﹣4k﹣1=2（k﹣1）2﹣3，其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=﹣7＜0，所以没有满足△≥0的k的值，所以该题目无解．点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，可求出x1+x2，x1?x2的值，再结合x1﹣x2=2，可求出k的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定k的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣（2k﹣1），x1?x2==﹣2k，又∵x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=22，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，∴（2k+1）2=4，∴k1=，k2=﹣，又∵△=（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根，∴（2k+1）2＞0，∴k≠﹣，∴k1=，k2=﹣．点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（x1﹣1）（x2﹣1）=，即x1x2﹣（x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2﹣（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．解答：解：∵x1+x2=k，x1x2=k（k+4），∵（x1﹣1）（x2﹣1）=，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=，∴k（k+4）﹣k+1=，解得k=±3，当k=3时，方程为x2﹣3x+=0，△=9﹣21＜0，不合题意舍去；当k=﹣3时，方程为x2+3x﹣=0，△=9+3＞0，符合题意．故所求k的值为﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0．27．（2011?南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．专题：代数综合题；压轴题．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）解得k≤0．故K的取值范（4分）围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1（5分）x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．（7分）∵k为整数，∴k的值为﹣1和0．（8分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．28．（2012?怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．解答：解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，∴△=4a2﹣4（a﹣6）?a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，解得，a=24＞0；∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a ﹣6=1，∴a=12，9，8，7；∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．29．（2010?东莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．解答：解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程组，解得，∴m=x1?x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．30．（2005?福州）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．解答：解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．∴△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）=﹣4﹣8m．当﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣时．方程有两个实数根．（2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3．又∵m≤﹣，且m为整数．∴m的值为﹣2，﹣1．点评：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0，b2﹣4ac≥0），根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2=．。
初三上学期一元二次方程韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
a a2015 年暑假初二升初三专项-----韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ，如果方程有两个实数根 x , x ，那么12bcx + x = - , x x = 1 2 1 2 说明：定理成立的条件 ∆ ≥ 0练习题一、填空：1、如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 (a ≠ 0) 的两根为 x ， x ，那么 x + x =，1 212x x =.1 22、如果方程 x 2 + px + q = 0 的两根为 x ， x ，那么 x + x = ， x x =.1 212123、方程 2 x 2 - 3x - 1 = 0 的两根为 x ， x ，那么 x + x =， x x =.1 212124、如果一元二次方程 x 2 + mx + n = 0 的两根互为相反数，那么 m =；如果两根互为倒数，那么 n =.5 方程 x 2 + mx + (n - 1) = 0 的两个根是 2 和－4，那么 m = ， n =.6、以 x ， x 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是.1 27、以 3 + 1 ， 3 - 1 为根的一元二次方程是.8、若两数和为 3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以 3 + 2 和 3 - 2 为根的一元二次方程是.10、若两数和为 4，两数积为 3，则这两数分别为.11、已知方程 2 x 2 + 3x - 4 = 0 的两根为 x ， x ，那么 x 2 + x 2 =.1 21212、若方程 x 2 - 6 x + m = 0 的一个根是 3 - 2 ，则另一根是， m 的值是.13、若方程 x 2 - (k - 1) x - k - 1 = 0 的两根互为相反数，则 k =，若两根互为倒数，则k =.14、如果是关于 x 的方程 x 2 + mx + n = 0 的根是 - 2 和 3 ，那么 x 2 + mx + n 在实数范围内可分解为.二、已知方程 x 2 - 3x - 2 = 0 的两根为 x 、 x ，且 x > x ,求下列各式的值:1212xx=（3(B)2(B)－62(D)－（1）x2+x2=；（2）1121+1x2=；（3）(x-x)2==；（4）(x+1)(x+1)=.1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p＝０有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）－8（D）－42、已知方程x2+2x-1=0的两根是x，x，那么x2x+x x1212122+1=（）(A)－7(B)3(C)7(D)－33、已知方程2x2-x-3=0的两根为x，x，那么1211x+12）(A)－113(C)3(D)－34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A）x2+2x-3=0（B）x2-2x+3=0（C）x2-2x-3=0（D）x2+2x+3=05、若方程4x2+(a2-3a-10)x+4a=0的两根互为相反数，则a的值是（(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或26、若方程2x2-3x-4=0的两根是x，x，那么(x+1)(x+1)的值是（1212））(A)－1(C)152 7、分别以方程x2-2x-1=0两根的平方为根的方程是（）（A）y2+6y+1=0（B）y2-6y+1=0（C）y2-6y-1=0（D）y2+6y-1=0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是－5，求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m=0的两根之差的平方是7，求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.2x )成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请 26、关于 x 的方程 3x 2(4m的值.2 1)x m (m 2) 0 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求 m7、已知方程 x 2 2x 3m =0 ，若两根之差为－4，求 m 的值.8、已知 x ,x 是一元二次方程 4kx 2 4kx k 1 0 的两个实数根．1 2(1) 是否存在实数 k ，使 (2x 1您说明理由．x )(x2 123(2) 求使x1x2x 2 x12 的值为整数的实数 k 的整数值．。
一元二次方程[韦达定理、根和系数的关系练习+答案]
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WORD 格式 .可编辑韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x23x m0 ，当时，方程有两个正数根；当 m时，方程有一个正根，一个负根；当 m时，方程有一个根为 0。
2、已知一元二次方程2x23x 1 0 的两根为 x1、 x2，则 x1x2．3、如果 x1， x2是方程x25x 6 0 的两个根，那么 x1x2．4、已知x1，x2是方程x26x 3 0 的两实数根，则x2x1的值为 ______．x1x25、设x1、x2是方程2x24x 3 0 的两个根，则 ( x1 1)( x2 1)．24x 30 的两根为、，则 a 22．6、若方程2x2aββ7、已知 x1、x2是关于x的方程(a 1) x2x a 2 1 0 的两个实数根，且x1＋x2＝1，则x1x2＝．38、已知关于x的一元二次方程mx24x60 的两根为 x1和 x2，且 x1 x2 2 ，则 m， x1 x2x1 x2。
9、若方程2 x25x k0 的两根之比是2：3，则k．10、如果关于x的方程x26x k0 的两根差为2，那么k。
11、已知方程2x2mx40 两根的绝对值相等，则 m。
12、已知方程x2mx20的两根互为相反数，则 m。
13、已知关于x的一元二次方程(a21)x 2(a 1)x10 两根互为倒数，则 a。
14、已知关于x的一元二次方程x22(m 1)x m20 。
若方程的两根互为倒数，则 m；若方程两根之和与两根积互为相反数，则 m。
15、一元二次方程px 2qx r0(p0) 的两根为和－，则p: q。
116、已知方程3x2x 1 0 ，要使方程两根的平方和为13，那么常数项应改为。
917、已知方程x24x2m0 的一个根比另一个根小4，则；； m。
WORD 格式 .可编辑19、已知关于x的方程x23mx2(m 1)0 的两根为 x1、x2，且113，则 m。
x1x2420、若方程x24x m0 与 x2x2m0 有一个根相同，则 m。
一元二次方程韦达定理根与系数的关系练习答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根； 当m 时，方程有一个根为0。
2、一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，那么=+21x x ．3、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么=⋅21x x ．4、1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，那么2112x x x x +的值为______． 5、设1x 、2x 是方程03422=-+x x 的两个根，那么=++)1)(1(21x x ． 6、假设方程03422=--x x 的两根为βα、，那么=+-22ββ2a a ．7、1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，那么21x x ⋅＝ ．8、关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为1x 和2x ，且221-=+x x ，那么=m ，()=+⋅2121x x x x 。
9、假设方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，那么=k ． 10、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么=k 。
11、方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，那么=m 。
12、方程022=+-mx x 的两根互为相反数，那么=m 。
13、关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，那么=a 。
14、关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。
假设方程的两根互为倒数，那么=m；假设方程两根之和与两根积互为相反数，那么=m 。
15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为 0 和 －1，那么=q p : 。
16、方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0），如果方程有两个实数根x,x,那么12说明：定理成立的条件A>0练习题一、填空：1、如果一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，那么x+x=1212xx=.122、如果方程x2+px+q=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212123、方程2x2-3x-1=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212124、如果一元二次方程x2+mx+n二0的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数,5方程x2+mx+（n-1）=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.6、以x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是127、以<3+1,v3-1为根的一元二次方程是.8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.9、以3+迈和3-迈为根的一元二次方程是.10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.11、已知方程2x2+3x-4二0的两根为x,x，那么x2+x2=.121212、若方程x2-6x+m=0的一个根是3-j2,则另一根是,m的值是.13、若方程x2-（k-1）x-k-1=0的两根互为相反数，则k=，若两根互为倒数，贝Uk=.14、如果是关于x的万程x2+mx+n=0的根是-詔2和J3，那么x2+mx+n在实数范围内可分解为.二已知方程x2—3x—2—0的两根为x，且>x,求下列各式的值:1212(1 )x2+x2=；(2)11+= 12x x12(3 )(x一x)2—=；(4)(x+1)(x+1)=. 1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）—8（D）—42、已知方程x2+2x—1=0的两根是x,x，那么x2x+xx2+1—()12(A)－7 (B)3 (C)7 (D)—33、已知方程2x2—x—3—0的两根为x,x12 那么丄+丄=（）xx12（B）1(C)3 (D)4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元次方程是(A)x2+2x—3—0 (B)x2—2x+3—0(C)x2—2x—3—0 (D)x2+2x+3—05、若方程4x2+（a2—3a-10）x+4a—0的两根互为相反数, 则a的值是（(A)5或—2 (B)5 (C)—2 (D)—5或26、若方程2x2—3x—4—0的两根是x,x，那么(x+1)(x1211(C)2 +1）的值是（(B)—6 （D）-27、分别以方程x2—2x—1=0两根的平方为根的方程是（C)y2—6y—1—0(D)y2+6y一1—0(A)y2+6y+1—0 (B)y2一6y+1—0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是一5,求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4二0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m二0的两根之差的平方是7,求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.6、关于x的方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.7、已知方程x2-2x+3m=0，若两根之差为一4,求m的值.8、已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1二0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)二-一成立？若存在，求出k的值；若不存在，请12122您说明理由.⑵求使九+•-2的值为整数的实数k的整数值.xx21韦达定理；肘于一元二次方程ax 3+^+^0^*0）.如果方程有两个窝雜根环E ・那么丙+Aj=__，片％=-aa说明：定理成立的条件也±0练习题iK 如果一元二次方程o?+址+G =0S 古叭的两根为工厂旳，那么心+勺工_£2、如果方程工"卡戸工+《弓0的两根为為’x ±,那么百*0=_1&孔=―I①方程2+—H 工一1"的两根为f 那么斗+斗巧匸士一-涉如果一元二次方稈十+淞E+丹土0的两根互丸相反数.那么rn=PJ 如果两根互为倒数.那么祥=_...护趕++楓子厲-120的两个根是2和一4、那么m=2."-7.以.旺，观为根的一元二次方程（二抿项系数为O 是代宀七入九沁、 以舲+1,再-1为银的一元…祢方稈是％-2怡喘池可T,斑nl 若两数和为趴踽数积为-4,则这两敢分别為壬TA 曲_口？馭齢血利3-迈再根的一元二次方程是上也如壬 kd@若两数和为4,两数厂-门，瓦这两数分别为」和占II 、已期方穆2d+3工一4=U 的茁郴为“，j 心，那虫工；于工；@若方理宀钳+协=0的一卡根2近.耻I -根是丄坐_，用的值鬼J_.售琥d 塑），若方程讹-1）—七-1=0的两覘耳知皈数“则"_L ・若两根互为倒数，则"竺.严炭贅关于”的方程一F+酥+姑=0的根是-近和更、邯么F+吟严右険数范川內出分解为（世环Q 【環也）,答案: 根与系数的关系（韦达定理） —、填空:9、g已知方jix3-jj-2=o的两根为卧小且7筍亠“求下列各貳的值：⑶匚―可『==；⑷佃+1)(工严1)=—.—■三、选择题；@关于x的方程2Sp=0有-牛正根，一个负根・则p的值是(ja>)(A)0(B)正数(C)-8<D)~42、已知方程x z+2i-l=0的两根是冲x2.削么彳珀卡旺帀'42(B(A)-7(B)3{(：)了(D)-3氛已知方程空疋-工-3"的两根为书.%那么丄+丄=©A〉円x i”电(A)-|(B)+(C)3(D)-3瑾®'下测方理中，两个实数根之和为2的一元二次方程是(匚)(A)x5+2x~3=0CB)j2-2x+3=Q免钮1(C)F-2—3=0(D)J2+2x+3=O形若方程4?+(/—加―】哄+硼二0的弊互曲相反数，则"的帶1是〔C> tA)5或一2(B)5(C)-2(□)-5或26.若方程"-脈-斗=G的两根是鬲』补那么詬+i〕g+D的值是(C)(A)—扌(B)-6(C)|(D)殆@为别以方程工―2—1-0两根杓平方为根的方程是(B)%■<缜二工■,儿仏二-I矗=了求曲的值， 呼1+孙：一尊1%H 屈Qn 山械一小-.叙知九十*二A M 叩 [7k +Jk^-旳Ml 二^|.二-S*L yt-卒gd -上(韭华,“対s 站叮，也么、叔4y网二7盘亠丨m H 料r 寻]二w(K.+ViJ-4>«=74—f 二切=』石-J ，仃工X-$%占=f£tQ7•迩己知X ］，号是一元二祝方程4fac s -4^+A+1=0的两个实数根.3⑴是否存程实数帚便俗I--qH 咼-2即=-二成立？若存在，求出A 的直；若平存也 请您说明理由.d 二協’必f ““二W£*■J ■号虫S”⑵求使A +2__2的值为整数的实坡丘的鰹数学.X?斗m 的值.>tKi ，T 十41曰- 丁-仆（厲T ）（器叶1":Pz 「匕—I@己知方程x 1-2x+^m=0・若两根之差为Q 求朋的值一I"创冷一缈5左&乜乔戚宜癸£a 4窗巳*试2T%亠fr~i.^'*-??d -1—◎二讥“埠£ 厶二-耳“$£.心f-7Z+■/A0关于工的方程如'-（4用*」找十粗佃+2］二0的两实数根之和等于两实数很的倒数和，求。
根与系数的关系韦达定理练习题
方程思想．
分析:
利用一元二次方程的根与系数的关系x１＋x2＝﹣ 对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．
解答:
解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；
B、∵△=4﹣8=﹣4<０,所以本方程无根；故本选项错误;
Ｃ、∵x1＋x2=1；故本选项错误；
Ｄ、∵x1+x2＝2；故本选项正确;
故选D.
点评:
x2﹣2x＋2=0
C．
x2﹣x﹣2=0
Ｄ.
２x2﹣4x＋1=０
2．小明和小华解同一个一元二次方程时,小明看错一次项系数,解得两根为2，﹣３，而小华看错常数项,解错两根为﹣２，5,那么原方程为（）
A.
ｘ2﹣3x+６=0
Ｂ．
x2﹣3x﹣６＝０
C.
ｘ2+3x﹣6＝0
D.
x2＋3x+6=０
3.(20１1•锦江区模拟）若方程x2﹣３x﹣２＝0的两实根为x１、ｘ2,则(x1+2)(x2＋2）的值为（)
本题考查了一元二次方程根与系数的关系.解答该题时,需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的.
根与系数的关系(韦达定理)练习题
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一元二次方程根与系数的关系练习题
一．选择题(共14小题)
１．下列一元二次方程中,两根之和为2的是(）
A.
ｘ２﹣x+2=0
B．
18.一元二次方程２x2+3x﹣1=0和x２﹣5ｘ＋7=０所有实数根的和为_________．
人教版九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版)
人教版九年级数学上册第21 章*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．一元二次方程x2－2x＋b＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2为(C)A．－2 B．b C．2 D．－b2．若一元二次方程x2－4x－3＝0的两根是m，n，则下列说法正确的是(D) A．m＋n＝－4，mn＝3 B．m＋n＝－4，mn＝－3C．m＋n＝4，mn＝3 D．m＋n＝4，mn＝－33．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．44．已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为2和3，则b，c的值分别为(D) A．5，6 B．－5，－6 C．5，－6 D．－5，65.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为(A)A．m＝－2 B．m＝3 C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝26．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为(C) A．1 B．－3 C．3 D．47．若一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个实数根分别是a，b，则一次函数y＝abx＋a＋b的图象一定不经过(D)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根为x1，x2，则x21＋3x2＋x1x2－2的值是(D) A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题9．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)4x 2＋1＝7x ，x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝14； (2)3x 2－1＝0，x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－13． 10．设x 1，x 2是一元二次方程x 2－x －1＝0的两根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝0．11．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是m ＞12． 12.已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2． 13．已知关于x 的方程x 2－(2k 2－3)x ＋k ＋7＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＝5－x 2，则k 的值为－2．三、解答题14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 21＋x 22； (2)1x 1＋1x 2. 解：(1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11. (2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3. 15．若关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两个根互为倒数，求a 的值． 解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．由根与系数的关系，得a 2＝1．解得a ＝±1．当a ＝1时，原方程化为x 2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a ＝1．所以a ＝－1．16．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)由题意，得Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0，解得a ＜3.∵a 为正整数，∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2，∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16.解得a 1＝－1，a 2＝6.∵a ＜3，∴a ＝－1.17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个实数根α，β.(1)求m 的取值范围；(2)若1α＋1β＝－1，求m 的值． 解：(1)由题意知，(2m ＋3)2－4×1×m 2≥0，解得m ≥－34. (2)由根与系数的关系，得α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.∵1α＋1β＝－1，∴α＋βαβ＝－1. ∴－（2m ＋3）m 2＝－1.变形得m 2－2m －3＝0，解得m 1＝－1，m 2＝3.经检验，m 1＝－1和m 2＝3是原分式方程的解．由(1)知m ≥－34，∴m 1＝－1应舍去． ∴m 的值为3.18．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝19，求m 的值；(2)已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)根据题意，得x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5. (x 1－1)(x 2－1)＝19整理，得x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝19.把x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5代入x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝19，得 m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝19.整理，得m 2－2m －15＝0.解得m 1＝－3，m 2＝5.∵由Δ＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)≥0，得m ≥2，∴m 1＝－3不合题意，应舍去．∴m 的值为5.(2)若等腰△ABC 的腰长为7，把x ＝7代入方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0，得 49－14(m ＋1)＋m 2＋5＝0，解得m 1＝4，m 2＝10.若m＝4，则原方程为x2－10x＋21＝0，解得x1＝7，x2＝3.△ABC三边为7，7，3(符合题意)．若m＝10，则原方程为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15.△ABC三边为7，7，15(不合题意，舍去)．若等腰△ABC的底边长为7，则Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝8m－16＝0，解得m＝2.原方程为x2－6x＋9＝0.解得x1＝x2＝3.△ABC三边为3，3，7(不合题意，舍去)．综上可知：△ABC三边为7，7，3，周长为7＋7＋3＝17，即这个三角形的周长为17.。
人教版九年级数学上册经典考卷带参考答案和解析 第21章 一元二次方程韦达定理 测考卷带参考答案和解析
人教版九年级数学上册经典考卷带参考答案和解析第21章一元二次方程韦达定理测考卷带参考答案和解析选择题如果关于x的方程有实数根α、β，那么α+β的取值范围是( )A. α+β≥1B. α＋β≤1C. α＋β≥D. α＋β≤【答案】A【解析】试题解析：∵a=1，b=-2（1-k），c=k2，∴△=b2-4ac=[-2（1-k）]2-4×1×k2≥0，∴k≤，∵a+β=2（1-k）=2-2k，而k≤，∴α+β≥1．故选A．选择题若关于x的方程4x2?（2k2+k?6）x+4k?1=0的两根互为相反数，则k的值为（）A. B. ?2 C. ?2或 D. 2或【答案】B【解析】根据题意得2k2+k?6=0，解得k=?2或，当k=时,原方程变形为4x2+5=0，△=0?4×4×5 ）2?3，因a≥2，所以当a=2时，（m?1）2+（n?1）2有最小值，即（m?1）2+（n?1）2的最小值=4（a?）2-3=4（2?）2?3=6，故选A．选择题小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，?3，而小华看错常数项，解错两根为?2，5，那么原方程为（）A. x2?3x+6=0B. x2?3x?6=0C. x2+3x?6=0D. x2+3x+6=0【答案】B【解析】试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，?3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为?2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，可得：α?β=?6，α+β=?3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2?3x?6=0，故选：B．选择题已知α、β是方程2x2?3x?1=0的两个实数根，则（α?2）（β?2）的值是（）A. B. C. 3 D.【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，由α、β是方程2x2?3x?1=0的两个实数根，可得α+β=，αβ=?，再由式子求得（α?2）（β?2）=αβ?2（α+β）+4=??2×+4=．故选：A选择题关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实数根分别为x1,x2且x1+x2>0,x1x2>0，则m的取值范围是(? )A. m≤B. m≤且m≠0C. m ，解之得，m，，.，.，-②得.故选A.选择题已知实数a，b分别满足a2－6a+4=0，b2－6b+4=0，且a≠b，则的值是（）A. 7B. －7C. 11D. －11【答案】A【解析】根据已知两等式得到a与b为方程x2-6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．解：根据题意得：a与b为方程x2-6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，则原式===7．故选A．“点睛”此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．选择题y=x+1是关于x的一次函数,则一元二次方程kx2+2x+1=0根的情况为（）A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根【答案】A【解析】∵y=x+1是关于x的一次函数,，.∴方程没有实数根；故选A.填空题若方程x2?kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k 的值是______．【答案】5【解析】试题分析：设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则由方程x2?kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，得a+b=?k，a+5+b+5=k，所以10?k=k，解得k=5．故答案为：5．填空题设α，β是一元二次方程x2+3x?7=0的两个根，则α2+4α+β=______．【答案】4【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，以及一元二次方程的解，由α，β是一元二次方程x2+3x?7=0的两个根，可求出α+β=?3，α2+3α?7=0，即α2+3α=7，然后代入可求解为：α2+4α+β=α2+3α+α+β=7?3=4，故答案为：4．填空题设x1，x2是一元二次方程x2+5x?3=0的两根，且2x1（x22+6x2?3）+a=4，则a=______．【答案】10【解析】试题分析：根据一元二次方程的解，由x2是一元二次方程x2+5x?3=0的根，代入可得x22+5x2?3=0，即x22+5x2=3，然后根据题意2x1（x22+6x2?3）+a=4，可得2x1?x2+a=4，再根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，由x1，x2是一元二次方程x2+5x?3=0的两根，求得x1x2=?3，即2×（?3）+a=4，解方程得a=10．填空题若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2?（m+2）x+2m+4=0的两个根，则m=__．【答案】6或7【解析】①当底为6时，m=-2舍去，m=6;②当腰为6时，m=7.故答案是：6或7.填空题关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有实数根α、β，且α2＋β2＝17，则m的值是______.【答案】-4【解析】一元二次方程x2-3x+m=0有实数根，可得△=b2-4ac=9-4m ≥0，解得m≤．根据根与系数的可得，所以α2＋β2=，解得m=-4.解答题如果方程的两个根的平方和等于7，求k的值。
人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 根与系数的关系 专练
人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程 根与系数的关系 专练一．根与系数的关系--对称代数式求值1. 设m,n 是一元二次方程2x 2-6x+1=0的两根，则2m 2+2n 2=______.2. 设m,n 是一元二次方程x 2-6x+2=0的两根，则m 2+n 2=______.3. 已知方程x 2−x −3=0的两根为x 1、x 2，那么x 12x 2+x 1x 22=( )4. 已知关于x 的方程x 2+8x+5=0的两根为x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22=______.5. 已知关于x 的方程2x 2+5x-4=0的两根为x 1、x 2，则6x 12x 2+6x 1x 22=______.二．已知方程的各项系数求两根的和与积1. 方程x 2-6x-5=0的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2=______2. 方程6x+5x 2=(2x+3)2-7的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2=______3. 方程3x 2−2x −2=0的两根为x 1、x 2，那么x 1⋅x 2=______4. 方程13-(2−x)2=3x+20-2x 2的两根为x 1、x 2，那么x 1⋅x 2=______5. 方程x 2−x −3=0的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2=（ ），x 1x 2=（ ）三．根与系数的关系--非对称代数式求值1. 已知关于x 的方程x 2-3x+1=0的两根为m 、n ，则m 2-3m+mn 的值为______.2. 已知关于x 的方程x 2-x-5=0的两根为m 、n ，则m 2+mn+n+1的值为______.3.已知关于x 的方程2x 2+x-4=0的两根为m 、n ，则2m 2+m+mn 的值为______.4.已知关于x 的方程5x 2+7x-10=0的两根为m 、n ，则5m 2+7m-mn 的值为______.5. 已知关于x 的方程x 2-7x+4=0的两根为m 、n ，则m 2-8m-n-13的值为______.6. 已知方程x 2−x −3=0的两根为x 1、x 2，那么x 12+x 2=( ).四．已知两根的关系式的值建立一次方程求待定系数的值1.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+mx −3=0的两根，且满足x 1+x 2−x 1x 2=1，那么m 的值为（ ）2.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+2x+m-2=0有两个实数根x 1,x 2，若x 1，x 2满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值为______3.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣bx ﹣11=0的两根，且满足x 1+x 2+x 1x 2=﹣1，那么b 的值为______4.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（b ﹣1）x ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣x 1x 2 =0，那么b 的值为______5.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+2x ﹣m ﹣2=0的两根，若x 1，x 2满足x 1+x 2=x 1x 2+1，则m 的值为______五．已知一元二次方程的一根求另一根1.已知关于x 的一元二次方程x 2−3x+m=0有一根是1．则另一根为（ ）2.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+m=0有一根是1．则另一根为______3.如果3是方程x 2+2nx-6=0的一根，则另一根为______4.如果3是方程5x 2+bx-30=0的一根，则另一根为______5.如果−1是方程2x 2+3nx-8=0的一根，则另一根为______6.如果-5是方程3x 2-2bx-15=0的一根，则另一根为______7.已知关于x 的一元二次方程nx 2-6nx+15=0（n≠0）有一根是2．则另一根为______8.已知关于x 的一元二次方程2nx 2-14nx-13=0（n≠0）有一根是−1．则另一根为______六．利用根与系数的关系构造一元二次方程1.下列一元二次方程中两根分别是-9和5的是（ ）2.已知一元二次方程的两根分别为2和5，则这个一元二次方程是 （ ）3.已知一元二次方程的两根分别为﹣1和﹣4，则这个一元二次方程是 （ ）4.已知一个二次项系数为2的一元二次方程的两根分别为21和5，则这个一元二次方程是______.（写作一般形式）5.已知一个二次项系数为3的一元二次方程的两根分别为37和﹣3，则这个一元二次方程是______.（写作一般形式）6.已知一个二次项系数为4的一元二次方程的两根分别为−25和23，则这个一元二次方程是______.（写作一般形式） 七．已知两根的关系式的值建立二次方程求待定系数的值1.若关于x 的方程x 2+(m 2−4)x −1=0的两根互为相反数，则m 的值是 （ ）2.若关于x 的方程x 2+(a −1)x+a 2=0的两根互为倒数，则a=( )3.若关于x 的方程x 2+2x −m 2+8=0 的两根互为负倒数，则m 的值是______.4.若关于x 的方程x 2−(2−m −m 2)x −3m=0的两根互为相反数，则m 的值是______.5.若关于x 的方程x 2−(3m −10)x −m=0有两个实数根x 1,x 2，且11x +21x =m ，则m 的值是____. 6.若关于x 的方程x 2+3x+2m=0有两个实数根x 1,x 2，且11x +21x =−6m ，则m 的值是______. 八．根据一元二次方程字母系数的符号确定根的符号1. 已知p<0,q<0，则关于x 的方程x 2+px+q=0的根的情况是：2. 已知p>0,q<0，则关于x 的方程x 2-px+q=0的根的情况是：3.已知p ＜0,q ＞0，则关于x 的方程2x 2+3px-q=0的根的情况是：4.已知p ＞1,q<1，则关于x 的方程x 2-(p-1)x+q-1=0的根的情况是：5.已知p ＞3,q ＞3，则关于x 的方程x 2-（p-3）x-q+3=0的根的情况是：6. 若ab ＜0，ac ＜0，则关于x 的一元二次方程ax 2-bx+c=0的根的情况是：7. 若ab ＞0，ac ＜0，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况是：九．一元二次方程的根--求含字母参数的二元方程1.已知m ，n 是关于x 的方程x 2−mx+n=0的两根，则n=( )2. 已知m ，n 为关于x 的方程x 2+nx-3m=0的两个根，且m≠0，则m= ______.3.已知b 、c 为关于x 的方程x 2+bx+c=0的两个根，且c≠0，则b= ______,c= ______.4. 已知m ，n 为关于x 的方程x 2-2mx+n=0的两个根，且n≠0，则n=______.5.已知m+1、n 为关于x 的方程2x 2+mx+3n=0的两个根，且n≠0，则m=______,n=______.十．一元二次方程根的范围确定字母系数的取值范围1. 已知关于x 的方程x 2+kx-3+k=0的两根同号，则k 的取值范围是______2. 已知关于x 的方程x 2−x+2k −3=0的两根异号，则k 的取值范围是( )3.已知关于x 的方程21x 2﹣2（1﹣k ）x+2k ﹣3=0的两根异号，则k 的取值范围是______． 4. 已知关于x 的方程x 2-2kx+k ﹣2=0，有一个根大于-2，另一个根小于-2，则k 的取值范围是______ 5. 已知关于x 的方程x 2+kx+2k ﹣6=0，有一个根大于2，另一个根小于2，则k 的取值范围是______6. 已知关于x 的方程21x 2-kx-k ﹣3=0，有一个根大于1，另一个根小于1，则k 的取值范围是______。
九年级数学上册《第二十一章 一元二次方程根与系数的关系》同步练习及答案-人教版
第 1 页 共 3 页 九年级数学上册《第二十一章 一元二次方程根与系数的关系》同步练习及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列关于x 的方程中，两实数根之和为3的是（ ）A ．232x x +=B ．2340x x -+=C ．234x x -=D ．2230x x --=2．设方程220x x +-=的两个根为1x 与2x ，则12x x =（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-3．若方程2310x x -+=的两个实数根为a ，b ，则baa b +的值为（ ）A ．﹣9B ．9C ．﹣7D ．74．若12,x x 是方程2320230x x --=的两个实数根，则代数式21122x x x -+的值等于（ ）A ．2029B ．2028C ．2027D ．20265．若关于x 的一元二次方程220x x m ++=的一个实数根为2，则另一实数根和m 的值分别为（ ）A ．-4，-8B ．-4，8C ．4，-8D ．4，86．关于x 的一元二次方程22x x m -+=，下列说法正确的是（ ）A ．当0m >时，此方程有两个不相等的实数根B ．当0m <时，此方程没有实数根C ．当0m =时，此方程有两个相等的实数根D ．此方程根的情况与m 的值无关7．方程26150x x --=的两个根的和为（ ）A ．6B ．6-C ．15-D ．158．1x 和2x 是方程2560x x -+=的两实数根，则代数式()()1233x x --的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题 9．已知a ，b 是方程220x x --=的两个根，则()()11a b --的值是 ．10．若方程2210x x --=的两个根12x x 、，则1211+x x 的值为 ．11．方程 242x x +=的两个根分别为1x 和2x ，12x x +的值为 ．12．如果1是关于x 的方程230x kx +-=的一个根，这个方程的另一个根是 ．第 2 页 共 3 页三、解答题 17．已知关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1)求a 的取值范围；(2)若12,x x 满足22121218x x x x +-=，求a 的值．18．关于x 的一元二次方程为()2202x x m m -+=-．(1)求证：无论m 为何实数，方程总有实数根；(2)若方程的两根之积等于0，求m 的值．19．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若12123x x x x --=，求k 的值．20．已知关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有实数根．(1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()2212121115x x x x --+=，求k 的值．参考答案：1．C2．D3．D4．D5．A6．B7．A8．D9．2-10．2-11．4-12．3-13．314．115．116．2 17．(1)2a<；(2)12a=．18．(2)0m=或2-19．(1)1k≤-(2)1k=-20．(1)4k≤(2)1k=-第3页共3页。
人教版九年级数学上册《根的定义与韦达定理结合》专项练习-附带答案
人教版九年级数学上册《根的定义与韦达定理结合》专项练习-附带答案类型一确定两个字母是某方程的俩根1．若a、b是互不相等的两个实数且分别满足a2﹣a﹣1=0 b2﹣b﹣1=0 则a+b+2ab的值为（）A．﹣1B．1C．3D．【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意可把a、b看作方程x2﹣x﹣1=0的两根则利用根与系数的关系得到a+b=1 ab=﹣1 然后利用整体代入的方法计算a+b+2ab的值．解：∵a、b是互不相等的两个实数且分别满足a2﹣a﹣1=0 b2﹣b﹣1=0∵a、b可看作方程x2﹣x﹣1=0的两根∵a+b=1 ab=﹣1∵a+b+2ab=1+2×（﹣1）=﹣1．故选A．考点：根与系数的关系．2．若实数a b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0 b2﹣7b+2=0 则b aa b的值为（）．A．452B．492C．452或2D．492或2【答案】A【解析】【详解】解：由实数a b满足条件a2﹣7a+2=0 b2﹣7b+2=0 可把a b看成是方程x2﹣7 x+2=0的两个根所以a+b=7 ab=2 所以b aa b+==4942-=452．故选A．3．已知a、b、m、n为互不相等的实数且（a＋m）（a＋n）=2 （b＋m）（b＋n）=2 则ab-mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣1【答案】C【解析】【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn-2=0 b2+（m+n）b+mn-2=0 则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn-2=0的两实数根利用根与系数的关系得到ab=mn-2 从而得到ab-mn的值．【详解】解：∵（a+m）（a+n）=2 （b+m）（b+n）=2∵a2+（m+n）a+mn-2=0 b2+（m+n）b+mn-2=0而a、b、m、n为互不相等的实数∵a、b看作方程x2+（m+n）x+mn-2=0的两实数根∵ab=mn-2∵ab-mn=-2．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时x1+x2=ba-x1x2=ca．4．已知互不相等的实数m、n 且满足m2+3m﹣5＝0 n2+3n﹣5＝0 则m2﹣n2+mn+6m的值为（）A．14B．﹣14C．10D．﹣10【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由题意可知：m 、n 是方程x 2+3x ﹣5＝0的两根 ∵m+n ＝﹣3 mn ＝﹣5∵原式＝（m+n ）（m ﹣n ）+mn+6m ＝﹣3（m ﹣n ）﹣5+6m ＝﹣3m+3n+6m ﹣5 ＝3m+3n ﹣5 ＝3（m+n ）﹣5 ＝﹣9﹣5 ＝﹣14 故选B ． 【点睛】此题主要考查根与系数的关系 解题的关键是熟知根与系数的关系的表达式. 5．若实数ab 且a 、b 满足2530a a -+=2530b b -+= 则代数式()26a b a b ---的值为_______________． 【答案】5- 【解析】 【分析】由题意知a 、b 是关于x 的一元二次方程2530x x -+=的两个实数根 则a ＋b =5 ab =3 即可得到结论． 【详解】解：∵实数a b 满足2530a a -+= 2530b b -+= 且,a b ≠ ∵a 、b 是关于x 的一元二次方程2530x x -+=的两个实数根 则a ＋b =5 ab =3 253,a a =- ∵原式=26a a ab b -+- =356a a ab b -+-+- =3()a b ab --++ =353--+ =5-故答案为：−5． 【点睛】本题主要考查了根与系数关系、整体代入的思想 解题的关键是学会转化的思想 把问题转化为一元二次方程解决 学会利用公式恒等变形 属于中考常考题型． 6．已知实数满足22640,640a a b b -+=-+= 且a b 则b aa b+的值是_______． 【答案】7． 【解析】 【详解】解：∵实数满足22640,640a a b b -+=-+= 且a b∵,a b 是方程2640x x -+=的两个根． ∵6,?4a b a b +=⋅= ∵()2222262474a b ab b a a b a b ab ab +-+-⨯+====故答案为：7． 【点睛】本题考查求代数式的值；一元二次方程根与系数的关系；整体思想的应用．7．若实数a ≠b 且a 、b 满足a 2﹣5a +3＝0 b 2﹣5b +3＝0 则代数式a 2﹣6a ﹣b 的值为_____． 【答案】-8． 【解析】 【分析】a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+3＝0的两个实数根 根据根与系数关系求解. 【详解】解：∵实数a b 满足a 2﹣5a+3＝0 b 2﹣5b+3＝0∵a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+3＝0的两个实数根 则a+b ＝5、ab ＝3 ∵原式＝﹣3﹣5＝﹣8 故答案为﹣8． 【点睛】考核知识点：根与系数关系.8．设x y s t ，，，为互不相等的实数 且2222()()1x s x t --= 2222()()1y s y t --= 则2222x y s t -的值为（ ） A ．-1B ．1C ．0D ．0.5【解析】 【分析】把22,x y 看作以上方程的两个不同的根 可得()42222210x s t x s t -+--= 根据一元二次方程根与系数的关系求解即可 【详解】 解：2222()()1x s x t --= 2222()()1y s y t --=∴22,x y 看作以上方程的两个不同的根即22,x y 是方程()42222210x s t x s t -+--=的两根故22221x y s t =-- 即22221x y s t =-- 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义 一元二次方程根与系数的关系 整体代入是解题的关键．类型二 变形后确定两个字母是某方程的俩根9．已知mn≠1 且5m 2+2010m+9=0 9n 2+2010n+5=0 则mn的值为（ ） A ．﹣402 B ．59C ．95D ．6703【答案】C 【解析】 【详解】将9n 2+2010n+5=0方程两边同除以n 2 变形得：5×（1n ）2+2010×1n+9=0 ,又5m 2+2010m+9=0 ∵m 与1n 为方程5x 2+2010x+9=0的两个解 则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•1n =m n =95．故选C10．设x y s t ，，，为互不相等的实数 且2222()()1x s x t --= 2222()()1y s y t --= 则2222x y s t -的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．0.5【答案】A 【解析】把22,x y 看作以上方程的两个不同的根 可得()42222210x s t x s t -+--= 根据一元二次方程根与系数的关系求解即可 【详解】 解：2222()()1x s x t --= 2222()()1y s y t --=∴22,x y 看作以上方程的两个不同的根即22,x y 是方程()42222210x s t x s t -+--=的两根故22221x y s t =-- 即22221x y s t =-- 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义 一元二次方程根与系数的关系 整体代入是解题的关键． 11．设实数a 、b 分别满足2211120a a ++= 2121120b b ++= 且1ab ≠ 求ab的值．解：∵2121120b b ++= 显然0b ≠ ∵2112120b b ++= ∵211211120b b ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵1ab ≠ ∵1a b≠∵a 与1b为方程2211120x x ++=的两根∵1262a b ==； 12．已知实数,x y 满足()14xy x y ++= 2245x y xy += 求22x y +的值．【详解】 ∵2245x y xy += ∵()45xy x y +=又∵()14xy x y ++=∵xy 和x y +可以看成是方程214450m m -+=的两个根． ∵5,9xy x y =+=或9,5xy x y =+= 当5,9xy x y =+=时 ∵()2222x y x y xy +=+- 292571=-⨯=当9,5xy x y =+=时 x,y 无解.13．已知a 、b 、c 均为实数 且a ＋b ＋c ＝0 abc ＝16 求正数c 的最小值． 解：∵a ＋b ＋c ＝0 abc ＝16 ∵a ＋b ＝－c ab ＝16c∵a 、b 是方程x 2＋cx ＋16c＝0的两根 ∵Δ＝c 2－416c⨯≥0 ∵c ＞0 ∵c 3≥64 ∵c≥4 ∵c 的最小值为4．类型三 综合解答14．阅读材料：材料1 若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1 x 2则x 1+x 2＝﹣b ax 1x 2＝ca ．材料2 已知实数m n 满足m 2﹣m ﹣1＝0 n 2﹣n ﹣1＝0 且m ≠n 求n mm n+的值． 解：由题知m n 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个不相等的实数根 根据材料1得m +n ＝1 mn ＝﹣1 所以222()2121n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-＝﹣3． 根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x 2+10x ﹣1＝0的两个根为x 1 x 2 则x 1+x 2＝ x 1x 2＝ ． （2）类比探究：已知实数m n 满足7m 2﹣7m ﹣1＝0 7n 2﹣7n ﹣1＝0 且m ≠n 求m 2n +mn 2的值： （3）思维拓展：已知实数s 、t 分别满足19s 2+99s +1＝0 t 2+99t +19＝0 且st ≠1．求41st s t++的值． 【答案】（1）-2 -15；（2）﹣17；（3）﹣15．【解析】 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0 利用根与系数的关系得到m+n＝1 mn＝﹣17再利用因式分解的方法得到m2n+mn2＝mn（m+n）然后利用整体的方法计算；（3）先把t2+99t+19＝0变形为19•（1t）2+99•1t+1＝0 则把实数s和1t可看作方程19x2+99x+1＝0的两根利用根与系数的关系得到s+1t＝﹣9919s•1t＝119然后41st st++变形为s+4•st+1t再利用整体代入的方法计算．【详解】解：（1）x1+x2＝﹣105＝﹣2 x1x2＝﹣15；故答案为﹣2；﹣15；（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0 7n2﹣7n﹣1＝0 且m≠n ∵m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0∵m+n＝1 mn＝﹣1 7∵m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣17×1＝﹣17；（3）把t2+99t+19＝0变形为19•（1t）2+99•1t+1＝0实数s和1t可看作方程19x2+99x+1＝0的两根∵s+1t＝﹣9919s•1t＝119∵41st st++＝s+4•st+1t＝﹣9919+4×119＝﹣15．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时x1+x2＝﹣bax1x2＝ca．也考查了解一元二次方程．15．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根且其中一个根为另一个根的2倍则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x2－3x＋2＝0是倍根方程吗？如果是请说明理由．（2）若一元二次方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程且方程有一个根为2 求a、b的值？【答案】（1）是倍根方程 121,2x x ==； （2）3,9a b =-= 或39,42a b =-=【解析】 【详解】(1)方程x 2 －3x ＋2＝0可变形为(x -1)(x -2)=0∵x -1=0或x -2=0 ∵方程的两个根分别为121,2x x == ∵2=1×2 ∵方程x 2－3x ＋2＝0是“倍根方程”(2) ∵方程ax 2＋bx －6＝0是倍根方程,且有一根为2.设另一根为1x 则1x =1或4 当1x =1时 12{612baa +=--⨯=解得：3{9a b =-= .当1x =4时 24{624b a a +=--⨯= 解得：34{92a b =-=综上所述得：3,9a b =-= 或39,42a b =-=16．已知a 2+2a ﹣1=0 b 4﹣2b 2﹣1=0 且1﹣ab 2≠0 求22331()ab b a a+-+的值．【答案】﹣8 【解析】 【分析】观察已知a 2+2a ﹣1=0 b 4﹣2b 2﹣1=0 可以发现a 21b看成关于x 的方程x 2+2x ﹣1=0的两根 利用根与系数关系和方程解得定义可得到211a b⋅=- b 4=2b 2+1 然后代入所求的代数式化简即可． 【详解】解：∵b 4﹣2b 2﹣1=0 ∵b ≠0∵两边除以（﹣b 4）得：22211()2()10b b +-= ∵1﹣ab 2≠0 ∵21a b ≠又∵a 2+2a ﹣1=0∵把a 21b看成关于x 的方程x 2+2x ﹣1=0的两根 ∵211a b⋅=- b 4=2b 2+1 ∵a =﹣b 2∵224223323131())=(ab b a b b b a b +-+-+++-=222322131()b b b b --+++-=2322()b b- =﹣8． 【点睛】此题考查了分式的化简求值 解题的关键是求出a 与b 2的关系 然后把代数式化简成为常数即可求值． 17．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x 的方程x 2+px +q ＝0的两个根是x 1 x 2 那么由求根公式可推出x 1+x 2＝﹣p x 1•x 2＝q 请根据这一结论 解决下列问题：（1）若α p 是方程x 2﹣3x +1＝0的两根 则α+β＝ α•β＝ ；若2 3是方程x 2+mx +n ＝0的两根 则m ＝ n ＝ ；（2）已知a b 满足a 2﹣5a +3＝0 b 2﹣5b +3＝0 求ab ba+的值； （3）已知a b c 满足a +b +c ＝0 abc ＝5 求正整数c 的最小值. 【答案】（1）3 1 －5 6；（2）193或2；（3）3 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系即可得到结论；（2）根据α b 满足a 2-5a+3=0 b 2-5b+3=0 得到α b 是方程x 2-5x+3=0的解．当α≠b 时 是方程a+b=5 ab=3 根据根与系数的关系即可得到结论；当α=b 时 原式=2；（3）根据a+b+c=0 abc=5 求得a+b=-c ab=5c于是得到α b 是方程x 2-5cx c +=0的解 即可得到结论．【详解】（1）α p 是方程x 2-3x+1=0的两根 则α+β=3 α•β=1；若2 3是方程x 2+mx+n=0的两根 则m=-5 n=6； 故答案为3 1 -5 6；（2）∵α b 满足a 2-5a+3=0 b 2-5b+3=0第 11 页 共 12 页∵α b 是方程x 2-5x+3=0的解．当α≠b 时 是方程a+b=5 ab=3 ∵()222225231933a b b a a b ab a b ab ab +-+-⨯+=＝＝＝当α=b 时 原式=2；（3）∵a+b+c=0 abc=5∵a+b=-c ab=5c∵α b 是方程x 2-cx+5c=0的解 ∵c 2-4×25200c cc ≥-，≥0 ∵c 是正整数 ∵c 3-20≥0 即∵正整数c 的最小值是3．∵正整数c 的最小值是3．【点睛】此题考查根与系数的关系 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．第12页共12页。
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新人教版九年级数学上册二十一章韦达定理与根与系数的关系专项练习题一、填空题1．已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x． 2．如果1x ，2x 是方程0652=+-x x的两个根，那么21x x ⋅＝ ． 3．已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 4．已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x xa 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ． 5．设x 1、x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)= ．6．若方程03422=--x x 的两根为a 、β，则=+-22ββ2a a ． 7．若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则k= ．8．请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： ．5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ⋅= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。
18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。
20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为 。
21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 。
二、解答题1．已知关于x 的二次方程x 2+mx-1=0的一个根是12-，求另一个根及m 的值．2．已知关于x 的方程x 2－（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．3．α，β是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－x + 1 = 0的两个实数根，且满足(α+1)(β+1) = m +1，求实数m 的值．4．已知关于x 的方程0)2(222=+--m x m x ，问：是否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.5．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O ．(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为x 1、x 2，且满足1x 1+1x 2 =－12，求m 的值．6.（2009年淄博市） 已知12x x ，是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=（1）求12x x ，及a 的值； （2）求32111232x x x x -++的值．7、已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。
8、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
16、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6和2－6。
17、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
18、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。
19、已知关于x 的方程2x 2－(m －1)x+m+1=0的两根满足关系式x 1－x 2=1，求m 的值及两个根。
20、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根，并且满足10091)1)(1(=---βα，求m 的值。
21、已知一元二次方程8x 2－(2m+1)x+m －7=0，根据下列条件，分别求出m 的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；(5)两根的平方和为641。
22、已知方程x 2+mx+4=0和x 2－(m －2)x －16=0有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。
23、已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。
24、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b 、c 的值。
25、设：3a 2－6a －11=0，3b 2－6b －11=0且a ≠b ，求a 4－b 4的值。
26、试确定使x 2+(a －b)x+a=0的根同时为整数的整数a 的值。
44、已知一元二次方程(2k －3)x 2+4kx+2k －5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k 取何整数时，方程有两个整数根。
27、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m －2)x+1=0的两根，求(1+m α+α2)(1+m β+β2)的值。
28、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。
29、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。
30、关于x 的方程m 2x 2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x 2+2(a+m)x+2a －m 2+6m －4=0有大于0且小于2的根。
求a 的整数值。
31、关于x 的一元二次方程3x 2－(4m 2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m 的值。
32、已知：α、β是关于x 的二次方程：(m －2)x 2+2(m －4)x+m －4=0的两个不等实根。
(1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若α2+β2=6时，求m 的值。
33、已知关于x 的方程mx 2－nx+2=0两根相等，方程x 2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证：方程x 2－(k+n)x+(k －m)=0一定有实数根。
34、关于x 的方程22n 41mx 2x +-=0，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。
35、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p 2=0有两个实根x 1和x 2(x 1≠x 2)，在数轴上，表示x 2的点在表示x 1的点的右边，且相距p+1，求p 的值。
36、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。
55、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 37、已知方程2x 2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x 2－2nx+8m=0的两根相等(mn ≠0)。
求证：对任意实数k ，方程mx 2+(n+k －1)x+k+1=0恒有实数根。
38、(1)方程x 2－3x+m=0的一个根是2，则另一个根是 。
(2)若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m ，n 应满足 。
43、已知关于x 的方程2x 2+5x=m 的一个根是－2，求它的另一个根及m 的值。
63、已知关于x 的方程3x 2－1=tx 的一个根是－2，求它的另一个根及t 的值。
65、设x 1，x 2是方程2x 2－4x+1=0的两个根，求｜x 1－x 2｜的值。
66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2，方程x 2－mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7， 求m 和n 的值。
71、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。
72、已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是： (1)a+1.b+1 (2)b a a b 2,2 73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ，面积为27cm 2，求这个直角三角形斜边的长 。
74、在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。
这个方程的根应该是什么?79、已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，求(a －1)(b －1)的值。
80、如果x=1是方程2x 2－3mx+1=0的一个根，则m= ，另一个根为 。
84、.已知m ，n 是一元二次方程x 2－2x －5=0的两个实数根，求2m 2+3n 2+2m 的值。
85、已知方程x 2+5x －7=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数。
86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根之比为2∶1，求证：2b 2=9ac 。
87、.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+12=0的两根之差为11，求m 的值。
88、已知关于y 的方程y 2－2ay －2a －4=0。
(1)证明：不论a 取何值，这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?89、已知一元二次方程x 2－10x+21+a=0。
(1)当a 为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么? 90、已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。