4多自由度系统振动a
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第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
多自由度系统的振动
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
返回首页
两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
j 1
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
第三章(多自由度系统的振动)
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.
多自由度系统振动(a)
振动对系统的影响
振动可能导致系统性能下降，如机械 零件磨损、设备失效等。
振动可能引发安全问题，如桥梁垮塌 、建筑物倒塌等。
多自由度系统振动的研究意义
多自由度系统振动是研究复杂振动现象的重要手段，有助于 深入了解振动本质。
研究多自由度系统振动有助于解决实际工程中的振动问题， 提高系统稳定性和可靠性。
传递矩阵法
总结词
传递矩阵法是一种通过建立系统的传递矩阵来描述系统的动态特性的方法。
详细描述
传递矩阵法的基本思想是通过建立系统的传递矩阵来描述系统的动态特性，其 中传递矩阵包含了系统各元素之间的相互作用关系。这种方法适用于线性时不 变系统，能够方便地处理多自由度系统的振动问题。
模态叠加法
总结词
模态叠加法是一种通过将系统的振动表示为若干个模态的线性组合，然后对每个 模态分别进行分析的方法。
多自由度系统振动(a)
• 引言 • 多自由度系统振动的基本理论 • 多自由度系统振动的分析方法 • 多自由度系统振动的控制策略 • 多自由度系统振动的应用实例 • 结论与展望
01
引言
振动现象的普遍性
01
振动是自然界和工程领域中普遍 存在的现象，如机械运转、地震 、建筑结构等。
02
振动可以由多种因素引起，如外 部激励、内部干扰等。
03
多自由度系统振动的分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种将连续的弹性体离散为有限个小的单元体的组合，通过求解每个单元的力学特性，进而得到整个 弹性体的振动特性的方法。
详细描述
有限元法的基本思想是将复杂的振动问题分解为若干个简单的子问题，通过求解这些子问题，再将这些解组合起 来得到原问题的解。这种方法能够处理复杂的边界条件和材料属性，适用于各种形状和大小的物体，具有很高的 灵活性和通用性。
结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
第4章 多自由度系统的振动题解
习 题4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。
解：由题3-10的结果22121111)(l g m l gm m k k +++=，2221l g m k -=，2212l g m k -=，22222l g m k k +=代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=l mg l mg l mg l mg K 3 由频02=-M p K ，得0322=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=mp l mg l mg lmgmp l mgB 0242222242=+-∴lg m p lg m p mlg p )22(1-=∴ ，lg p )22(2+=为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg mpl mgadjB 2分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112)1(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=112)2(A题4-1图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。
解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2111,k k ，由平衡条件得到，222111ak b k k +=， a k k 221-=设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到，12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000312222221221x a k a k a k a k b k x m a m θθ由频率方程02=-M K p ，得031222222212221=----+pm a k ak a k pa m a kb k4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
第四章 多自由度系统
频率方程为 则频率方程为：
(1)
2 为方程的解，代入（ ），得 设 {q} = { A} sin(ωt + ϕ ) 为方程的解，代入（1），得([ K ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[K ] − ω2 [M ] = 0
系统有n个大于零的正实根， 当 [ K ] > 0 时，系统有n个大于零的正实根， 对应固有频率
求系统的柔度矩阵[D]。 求系统的柔度矩阵 。
F1
F2
F3
EI
分析
m1
m2
m3
x
y
以三个集中质量m 离开其静平衡位置的垂直位移y 以三个集中质量m1、m2、m3离开其静平衡位置的垂直位移y1、y2、y3为 系统的广义坐标（见上图）。 系统的广义坐标（见上图）。
F1
EI
F2
F3
m1
m2
m3
x
y
由材料力学得知，当简支梁受力作用时， 由材料力学得知，当简支梁受力作用时，其挠度计算公式为 ： Pbx 2 y= (l − x2 − b2 ) , ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EIl 根据柔度影响系数的定义， 根据柔度影响系数的定义，我们首先在坐 处作用一单位力，则在坐标y 标y1处作用一单位力，则在坐标y1、y2、y3处 产生的挠度即分别为d 产生的挠度即分别为d11、d21、d31。
3k 则刚度矩阵为 [ K ] = − k 0
−k 4k −3k
0 −3k 7k
线弹性系统的刚度矩阵对称
第一节 运动微分方程的建立
2.柔度影响系数和位移方程 柔度影响系数和位移方程
柔度影响系数d 单位外力所引起的系统位移， 柔度影响系数 ij——单位外力所引起的系统位移，即系统第j个坐标上
(1)
2 为方程的解，代入（ ），得 设 {q} = { A} sin(ωt + ϕ ) 为方程的解，代入（1），得([ K ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[K ] − ω2 [M ] = 0
系统有n个大于零的正实根， 当 [ K ] > 0 时，系统有n个大于零的正实根， 对应固有频率
求系统的柔度矩阵[D]。 求系统的柔度矩阵 。
F1
F2
F3
EI
分析
m1
m2
m3
x
y
以三个集中质量m 离开其静平衡位置的垂直位移y 以三个集中质量m1、m2、m3离开其静平衡位置的垂直位移y1、y2、y3为 系统的广义坐标（见上图）。 系统的广义坐标（见上图）。
F1
EI
F2
F3
m1
m2
m3
x
y
由材料力学得知，当简支梁受力作用时， 由材料力学得知，当简支梁受力作用时，其挠度计算公式为 ： Pbx 2 y= (l − x2 − b2 ) , ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EIl 根据柔度影响系数的定义， 根据柔度影响系数的定义，我们首先在坐 处作用一单位力，则在坐标y 标y1处作用一单位力，则在坐标y1、y2、y3处 产生的挠度即分别为d 产生的挠度即分别为d11、d21、d31。
3k 则刚度矩阵为 [ K ] = − k 0
−k 4k −3k
0 −3k 7k
线弹性系统的刚度矩阵对称
第一节 运动微分方程的建立
2.柔度影响系数和位移方程 柔度影响系数和位移方程
柔度影响系数d 单位外力所引起的系统位移， 柔度影响系数 ij——单位外力所引起的系统位移，即系统第j个坐标上
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
两自由度是多自由度系统最简单的情况。
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
第四章多自由度系统
kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )
机械振动基础--第四章--多自由度系统PPT课件
.
5
例 4.1 求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。
解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即 {x}={yA,yB,y1,y2}T
各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。
.
6
(1) 求[K]的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位 移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时： 外力{f}=???
x2 ) c3 x2
[M ]{x} [C]{x} [K]{x} {F(t)}
.
1
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
2) 分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法； 3) 用变换方法求多自由度系统动力（态）响应的问题。
.
2
§4.1 运动微分方程
kij
2U xix j
2U x jxi
k ji
质量矩阵、阻尼矩阵和刚度. 矩阵均是对称矩阵。 9
针对本例：系统的动能为杆的平动 动能和转动动能与两个质量的动能 之和，设杆的质心在杆的中点，质 量为M。系统的动能为：
ET
M 2
y A
2
yB
2
I 2
yB
L
y A
2
1 2
m1 y12
1 2
在静力学中，各自由度的位移{x}、系统的刚度矩阵[K]、 各自由度上所受到的外力关系为：
{ f } [K]{x}
——如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移， 其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状 态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施 加的外力就是kij。
.
4
系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移 为零这种变形状态可以由向量{x}＝{ej}描述。
多自由度振动系统的数值方法
一、杆的纵向振动
x
dx
杆单位体积质量为 ，杆长为l ,截面积为A， 应变
( x) ，纵向张力为 P ( x)
ε ( x) u
P( x) AEε AE u x x
，则
在 x dx 截面处张力为
2 P u P dx EA( u dx) 2 x x x
Y '' (l ) 0
C3 C1
C4 C2
(chl cos l )C1 (shl sin l )C2 0
(shl sin l )C1 (chl cos l )C2 0
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特征方程
cos l chl 1
2 2u 2 u VP 2 2 t z
(1)
u u(C1cosωn t C2 sinωn t)
VP－桩身材料的[纵波]波速(m/s) C1、C2由桩顶桩端的边界条件（见下）确定： 摩擦桩：
u | z 0 0, u | z l 0 z
端承桩：
u u | z 0 0, | z l 0 z z
• 试验设备
手锤、黄油 传感器、导线 基桩低应变分析仪、显示器
试验方法
黄油、传感器、手锤、获得波形（时域）曲线。
资料整理
直接由显示器得波形（时域）曲线（或其积分－ 频 域曲线），只要分析该曲线即可，无需进一步整理。
二. 弦振动
若横波在张紧的弦线上沿 x轴正方向传播， 我们取 AB ds 的微分段加以讨论（见图）。 设弦线的线密度（即单位长质量）为 ，则 此微分段弦线的质量为 ds 。在A、B处受到 T2 ，其方向为沿 左右邻段的张力分别为 T1 、 2 角。 弦线的切线方向与x轴交成 1 、
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
多自由度线性微幅振动系统简正坐标的一般求法
图 1 三质点振动系统
此力学系统的动能为
其中
T
=
m 2
q21 + q22 + q23
qi = x i - x i0 ( i = 1 ,2 ,3)
势能为
V
=
k 2
q2 -
q1
2
+
k 2
q3 - q2 2
方法一 :用 2. 1 中的方法一 ,有
k -k 0
B = - k 2k - k
0 -k k 由
类似 2. 1 节中的方法二 ,由 det H = 0 求得特征频率
的平方
λ i
,写出频率特征矩阵的伴随矩阵
Ha 的任
一列
,将各
λ i
代入该列中
,运用归一化条件式
(
11
)
和式 aααqα =εα ,可直接写出简正坐标 xα与 qα 的关
系 (具体算法见算例) .
3 算例
例 1 如图 1 所示 ,三质点用两根相同的轻弹 簧相连 ,在水平直线上作微振动 ,且 m 1 = m 2 = m 3 = m ,求其简正坐标.
s
6 T =
1 2
εα2
α= 1
2
T
表示
s
维εi 坐标下的球
,
各
ε i
轴
为
动
能
球
的
主
轴. 在此坐标系下 ,势能可表示成
其中 :
V
=
1 2
εB′ε
ε= ε1 ε2
…
ε s
b11Πa b12Πa … b1sΠa
B′=
b21Πa ⁝
b22Πa ⁝
… b2sΠa ⁝
多自由度系统的振动、响应和求解
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
0 0 y y2 1 m 3 y3
qrki qrkj qiqj 12in1
n
mijqiqj
j1
其中mij
N
mk
k1
rk rk qi qj
பைடு நூலகம்
mji
(4.4)
(4.2)、(4.4)式可写成矩阵形式
V1qTKq, 2
(4.5)
T1qTMq
(4.6)
2
其中q[q1, q2,, qn]T,K[kij]nn,M[mij]nn
矩阵K 称为刚度矩阵，它是一个对称正定或半正定矩阵；矩 阵M 称为质量矩阵，它是一个对称正定矩阵。
因此，柔度矩阵的第一列为
{f11,f21,f31}T76l83EI{9,11,7}T
类似可算出柔度矩阵的第二、第三列。柔度矩阵为
f11 [F]f21
f12 f22
ff123376l83EI191
11 16
7 11
f31 f32 f33
7 11 9
系统的动能为
T1 2(m 1y & 1 2m 2y & 2 2m 3y & 3 2)1 2{y1,y2,y3} m 01 m 02 0 0
§4.1 多自由度系统的动力学方程
我们先来考察多自由度线性系统动能和势能的数学结
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
0 0 y y2 1 m 3 y3
qrki qrkj qiqj 12in1
n
mijqiqj
j1
其中mij
N
mk
k1
rk rk qi qj
பைடு நூலகம்
mji
(4.4)
(4.2)、(4.4)式可写成矩阵形式
V1qTKq, 2
(4.5)
T1qTMq
(4.6)
2
其中q[q1, q2,, qn]T,K[kij]nn,M[mij]nn
矩阵K 称为刚度矩阵，它是一个对称正定或半正定矩阵；矩 阵M 称为质量矩阵，它是一个对称正定矩阵。
因此，柔度矩阵的第一列为
{f11,f21,f31}T76l83EI{9,11,7}T
类似可算出柔度矩阵的第二、第三列。柔度矩阵为
f11 [F]f21
f12 f22
ff123376l83EI191
11 16
7 11
f31 f32 f33
7 11 9
系统的动能为
T1 2(m 1y & 1 2m 2y & 2 2m 3y & 3 2)1 2{y1,y2,y3} m 01 m 02 0 0
§4.1 多自由度系统的动力学方程
我们先来考察多自由度线性系统动能和势能的数学结
第1章多自由度系统的固有振动特性
第一章多自由度系统的固有振动特性§1.1概述实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。
多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。
因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。
§1.2 无阻尼系统的自由振动1．振动方程（1－1），为广义位移矢量2．质量矩阵物理意义动能（1－2）（1）质量矩阵反映了系统的动能（2）质量矩阵是正定的（3）质量矩阵是对称的例外：纯静态位移使（1－3）如在用有限元法建模时，采用非一致质量阵，则某些自由度上可能无质量项，此时质量阵不能保证正定。
即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。
3．刚度矩阵的物理意义势能（1－4）（1）刚度矩阵反映了系统的势能（2）刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零）（3）刚度矩阵是对称的刚度矩阵的逆阵也有明确的物理意义——柔度矩阵使用刚度矩阵或柔度矩阵建立振动方程，分别称为“力法”、“位移法”4．特征方程各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动。
（1－5）求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。
5．几个基本概念（1）固有频率特征方程的根为，即为固有频率，它反映了结构自由振动随时间的变化特性。
（2）固有模态或固有振型对应于特征方程根的特征矢量（1－6）它反映了结构自由振动在空间的变化特性。
（3）标准模态对固有模态归一化（1－7）则称为标准模态或归一化模态，模态归一化的方法有：1）置中某一分量为12）置中绝对值最大的分量为13）置模态质量为1，（1－8）（4）刚体模态：对应于（1－9）纯刚体模态：仅含有一种刚体运动（5）纯静态模态：使的模态，在非一致质量阵中，某些对角元素可以为零，可以找到一组位移使（1－10）（6）单频：称为单频。
（7）重频：称为重频，但相应有两个模态。
（8）密频或近频：通常当时，可以称为密频§1.3 固有频率与固有模态的特性1．正交性指模态对刚度矩阵[K]及质量阵[M]的加权正交性：（1－11）证明：由（1－12）分别前乘，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。
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kθ 1
M 1 (t )
M 2 (t ) θ 2
k
kθ 3 I2
I1 0
I1
ɺ 0 θɺ kθ 1 + kθ 2 1 ɺɺ + − k I 2 θ 2 θ2
− kθ 2 θ 1 M 1 (t ) = kθ 2 + kθ 3 θ 2 M 2 (t )
讨论 M
X ∈ Rn
假设系统受到外力作用的瞬时， 假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 即： X = 0 则有： 则有：
ɺɺ MX = P (t )
0 ⋮ P (t ) m11...m1 j ...m1n m1 j 1 P (t ) m ...m ...m 0 m 2n 2j 2 = 21 2 j P (t ) = ..................... 1 = ⋮ ⋮ 0 Pn (t ) mn1...mnj ...mnn ⋮ mnj 0
P1(t) k1
m1
x1 k2
P2(t)
m2
x2 k3
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
k1
P1(t)
m1
x1 k2
P2(t)
m2
x2 k3
建立坐标： 建立坐标：
x1 , x 2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
设某一瞬时： 1 设某一瞬时： m、m2上分别有位移 受力分析： 受力分析：
P1(t) k1x1 k2(x1-x2)
m1
x1、x 2
P2(t)
加速度 ɺɺ1、ɺɺ2 x x
k2(x1-x2)
m2
k3x2
m1ɺɺ1 x
m2 ɺɺ2 x
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 P1(t) k1x1 k2(x1-x2)
m1
P2(t) k2(x1-x2)
m2
k3x2
建立方程： 建立方程：
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程0
⋮ P1 (t ) m11 ...m1 j ...m1n m1 j P (t ) m ...m ...m 0 m 2j 2n 2j 2 = 21 P (t ) = .......... .......... . 1 = ⋮ ⋮ 0 Pn (t ) m n1 ...m nj ...m nn ⋮ m nj 0
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？ 问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
多自由度系统振动
教学内容
• • • • • 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 多自由度系统的动力学方程
• • • • • 作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程
先看几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力 ：双质量弹簧系统， 不计摩擦和其他形式的阻尼
所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列
kij（i=1~n） ：在第 i 个坐标上施加的力 在第
结论： 结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生 单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
ɺɺ KX 作用力方程： MX +√ = P (t ) 作用力方程：
坐标间的耦合项
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t) P2(t)
k1
m1
k2
m2
k3
x m1 0 ɺɺ1 k1 + k 2 m 0 ɺɺ + − k 2 2 x2
− k 2 x1 P (t ) = 1 k 2 + k3 x2 P2 (t )
使系统只在第j个坐标上产生单位加速度， 使系统只在第 个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产 个坐标上产生单位加速度 生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第 的第j列 生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵 的第 列 结论：质量矩阵 中的元素 是使系统仅在第 个坐标上产生单 是使系统仅在第j个坐标上产生单 结论：质量矩阵M中的元素 mij 位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力 位加速度而相应于第 个坐标上所需施加的力 mij、 ij k 又分别称为质量影响系数 刚度影响系数。 质量影响系数和 又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理 意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这种方 ，从而建立作用力方程， 法称为影响系数方法 法称为影响系数方法 。
轴的三个段的扭转刚度 kθ 1 , kθ 2 , kθ 3
θ1
θ2
kθ 1
M 1 (t )
kθ 2
M 2 (t )
kθ 3 I2
I1
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
建立坐标： 建立坐标： 受力分析： 受力分析： 设某一瞬时： 设某一瞬时： 角位移 θ1 ,θ 2
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样， 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结： 小结：
例1： ：
作用力方程
系统
n
自由度
为n
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
ɺɺ 作用力方程： 作用力方程： MX + KX = P (t )
X ∈ Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定 、 确定后， M、K 该如何确定？ 、 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统 则： 加速度为零
− kθ 2 θ1 M 1 (t ) θ = M (t ) kθ 2 + kθ 3 2 2
例2： ：
可统一表示为： 可统一表示为：
ɺɺ M X + K X = P (t )
质 量 矩 阵 加 速 度 向 量 刚 度 矩 阵 位 移 向 量 激 励 力 向 量
kθ 1θ1
kθ 2 (θ1 − θ 2 )
kθ 2 (θ 2 − θ1 )
kθ 3θ 3
M 1 (t )
ɺ I1θɺ 1
M 2 (t )
ɺ I 2θɺ2
建立方程： 建立方程：
I 1θɺ + kθ 1θ1 + kθ 2 (θ 1 − θ 2 ) = M 1 (t ) ɺ1 ɺɺ I 2θ 2 + kθ 2 (θ 2 − θ 1 ) + k 3θ 3 = M 2 (t )
kθ 1θ1
ɺ ɺ 角加速度 θɺ , θɺ2 1
kθ 2 (θ1 − θ 2 )
kθ 1
M 1 (t )
θ1
θ2
kθ 2
M 2 (t )
kθ 3
M 1 (t )
ɺ I (θ 2 − θ1 )
kθ 3θ 3
M 2 (t )
ɺ I 2θɺ2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
m1ɺɺ1 x
m2 ɺɺ2 x
x m1 ɺɺ1 + k1 x1 + k 2 ( x1 − x2 ) = P (t ) 1 x m2 ɺɺ2 − k 2 ( x1 − x2 ) + k3 x3 = P2 (t )
矩阵形式： 矩阵形式：
力量纲
x m1 0 ɺɺ1 k1 + k 2 0 m ɺɺ + − k 2 x2 2
m人
k1 c1
m车
建模方法3： 建模方法3： 车、人、车轮的质量分别考虑， 车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼 优点：分别考虑了人与车、车与 优点：分别考虑了人与车、 车轮、 车轮、车轮与地面之间的 相互耦合， 相互耦合，模型较为精确 k2 c2 k2 c2
m轮 m
k3 c3 k3
m轮
c3
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
0 ⋮ P1 ( t ) k 11 ... k 1 j ... k 1 n k 1 j P ( t ) k ... k ... k 0 k 2j 2n 2j 2 = 21 1 = P (t ) = ⋮ .......... .......... . ⋮ 0 Pn ( t ) k n 1 ... k nj ... k nn ⋮ k nj 0
X = [ x1 ,..., x j −1 , x j , x j +1 ,..., xn ]T = [0,...,0,1,0,...,0]T 即：
0 ⋮ P1 ( t ) k 11 ... k 1 j ... k 1 n k 1 j P ( t ) k ... k ... k 0 k 21 2j 2n 2j 1 = 代入， 代入，有 ： P ( t ) = 2 = ⋮ .......... .......... . ⋮ 0 Pn ( t ) k n 1 ... k nj ... k nn ⋮ k nj 0