8T圆锥曲线与导数

命题组：高三数学教研组参考答案（一）详细解析【考点】数列与不等式的综合．【专题】综合题．【分析】（1）由△=an+1-4×3an+24=0得a n+1=3a n+2，再由a n+1=3a n+2得a n+1+1=3（a1+1），由此能够证明11+a1+11+a2+…+11+an＜34．（2）当a1=a时，a n+1=（a+1）•3n-1，b n=（a+1）•3n-1-1-（3n-12）•2n，b n+1-b n=（a+1）•2•3n-1-（3n-6）•2n≥0对一切n∈N+都成立，由此能求出使b n+1≥b n对一切n∈N+都成立的a的取值范围．【解答】解：（1）由△=an+1-4×3an+24=0得a n+1=3a n+2∴ a_=5，a3=17(2分)由a n+1=3a n+2得a n+1+1=3（a1+1），所以a n+1为首项为2公比为3的等比数列得a n+1=2•3n-1（5分），11+a1+11+a2+11+an=12[1+13++13n-1]=34-34•(13)n＜34（8分）（2）当a1=a时，a n+1=（a+1）•3n-1，b n=（a+1）•3n-1-1-（3n-12）•2nb n+1-b n=（a+1）•2•3n-1-（3n-6）•2n≥0对一切n∈N+都成立，所以a+1≥(23)n-1•(3n-6) 令 cn=(23)n-1(3n-6)， cn+1-cn=(23)n-1(-n+4)，所以 (cn)max=c4=c5=169，所以a≥79（16分）【点评】本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意公式的合理运用．（二）详细解析【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】常规题型；计算题．【分析】（1）先求出导函数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间；（2）讨论a的正负，根据函数y=f（x）与y=g（x）的单调增区间是区间(a，a+12)的子集建立方程组，解之即可；（3）欲使y=f（x）与y=g（x）的图象有三个不同的交点，则x3+ax2-a2x-1=ax2-x-1有三个解，可求出a的范围，根据a的范围求出y=g（x）在区间[0，14]上的最小值为h（a）即可．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax-a2=0解得：x= a3或-a当x∈（-∞，a3）或（-a，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）的增区间为（-∞，a3），（-a，+∞）当x∈(a3，-a)时，f'（x）＜0，∴减区间为(a3，-a)（4分）（2）当a＜0时，则有{a+12≤a3或-a≤aa+12≤12a得a∈（-∞，-1]（7分）当a＞0时，则有{a+12≤-a或a3≤aa≥12a得a∈[22，+∞)（10分）所以a∈(-∞，-1]∪[22，+∞)（3）由x3+ax2-a2x-1=ax2-x-1得x（x2-a2+1）=0有三个解，所以a＞1或a＜-1 （12分）得h(a)={-14a-1(a≥2)a16-54(a＜-1或1＜a＜2)（16分）【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及图象交点的问题，常常转化成方程根的个数，属于中档题命题组：高三数学教研组参考答案（一）详细解析【考点】反证法与放缩法；数列的求和；不等式的证明．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先计算数列的前8项猜想数列的特点，数列{a2k-1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列，从而利用等比数列的求和公式求解即可；对于否定性的结论的证明，往往利用反证法证明；（1）欲证此不等式∑k=1n2ka2k-1a2k＜4恒成立，先对左边式子利用拆项法求和，后再进行放缩即得．【解答】解：（1）当r=0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8．从而猜出数列{a2k-1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列．（2分）∵a2k=a2k-1=2a2k-2，a2k+1=2a2k=2a2k-1，∴数列{a2k-1}、{a2k}（k∈N*）均为等比数列，∴a2k-1=a2k=2k-1．（4分）①∴S2k=2（a1+a3+a5++a2k-1）=2（2k-1）=2k+1-2，S2k-1=S2k-2+a2k-1=2k-2+2k-1=3×2k-1-2，∴ Sn={2n2+1-2， n=2k3×2n-12-2n=2k-1k∈N*.（6分）②证明（反证法）：假设存在三项S m，S n，S p（m，n，p∈N*，m＜n＜p）是等差数列，即2S n=S m+S p成立．因m，n，p均为偶数，设m=2m1，n=2n1，p=2p1，（m1，n1，p1∈N*），∴2×2(2n1-1)=2(2m1-1)+2(2p1-1)，即2×2n1=2m1+2p1，∴ 2n1-m1+1=1+2p1-m1，而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾；（10分）（2）∵a2k=a2k-1+r=2a2k-2+r，∴a2k+r=2（a2k-2+r），∴{a2k+r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴a2k+r=（1+2r）•2k-1．又∵a2k+1=2a2k=2（a2k-1+r），∴a2k+1+2r=2（a2k-1+2r），∴{a2k-1+2r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴a2k-1+2r=（1+2r）•2k-1．（12分）∴ 2ka2k-1a2k=2k[(1+2r)•2k-1-2r]•[(1+2r)•2k-1-r]= 2k-1[(1+2r)•2k-2-r]•[(1+2r)•2k-1-r]= 21+2r•[1(1+2r)•2k-2-r-1(1+2r)•2k-1-r]，∴∑k=1n2ka2k-1a2k=21+2r∑k=1n[1(1+2r)•2k-2-r-1(1+2r)•2k-1-r]= 21+2r[1(1+2r)•2-1-r-1(1+2r)•2n-1-r]＜21+2r•21+2r-2r=41+2r．∵r≥0，∴41+2r≤4．∴∑k=1n2ka2k-1a2k＜4．（16分）【点评】本题主要考查了等差数列、等比数列、不等式证明中的反证法与放缩法以及数列的求和，是一道综合性很强的题目，属于难题（二）详细解析【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；证明题．分析：（Ⅰ）若P=0，要证f（x）＞1-x；即可转化为lnx-x+1＞0在定义域内恒成立即可．在通过求导，研究其单调性，看函数的最小值，只要函数的最小值大于0即可．（Ⅱ）若在其定义域内f（x）是单调函数，求P的取值范围；先要明确定义域；在求导，求导后，只要满足导数在某区间恒大于0或在某区间恒小于0即可．在这里要注意对参数p进行讨论．（Ⅲ）对于区间（1，2）中的任意常数P，是否存在x0＞0，使f（x0）≤g（x0）成立，这种题型属探索性问题；解决的关键在于弄懂题意．据题意可转化为：令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+e2-2epx，则问题等价于找一个x0＞0使F（x）≤0成立，故只需满足函数的最小值F（x）min≤0即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：当p=0时，f（x）=-lnx．令m（x）=lnx-x+1，则m′(x)=1x-1=1-xx．若0＜x＜1，m′（x）＞0，m（x）递增；若x＞1，m′（x）＜0，m（x）递减，则x=1是m（x）的极（最）大值点．于是m（x）≤m（1）=0，即lnx-x+1≤0．故当p=0时，有f（x）≥1-x；（4分）（Ⅱ）解：对 f(x)=px-px-lnx求导，得f′(x)=p+px2-1x=px2-x+px2．①若p=0，f′(x)=-1x＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减，故p=0合题意．②若p＞0， h(x)=px2-x+p=p(x-12p)2+p-14p≥p-14p．则必须 p-14p≥0，f′(x)≥0，故当p≥12时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．③若p＜0，h（x）的对称轴 x=12p＜0，则必须h（0）≤0，f′（x）≤0，故当p＜0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减．综合上述，p的取值范围是 (-∞，0]∪[12，+∞)；（Ⅲ）解：令 F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+e2-2epx．则问题等价于找一个x0＞0使F（x）≤0成立，故只需满足函数的最小值F（x）min≤0即可．因F′(x)=p-2x-e2-2epx2=(px-e)(px-2+e)px2=px2(x-ep)(x-2-ep)，而 x＞0，1＜p＜2，ep＞2p＞0，2-ep＜0，故当 0＜x＜ep时，F′（x）＜0，F（x）递减；当 x＞ep时，F′（x）＞0，F（x）递增．于是， F(x)min=F(ep)=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-4＞0．与上述要求F（x）min≤0相矛盾，故不存在符合条件的x0．【点评】（1）若在其定义域内f（x）是单调函数，求参数的取值范围；先要明确定义域；在求导，求导后，只要满足导数在某区间恒大于0或在某区间恒小于0即可．这是通性通法．（2）对于区间任意给定的某区间，某代数式恒成立问题，解决的关键在于弄懂题意．据题意一般可可转化为构造一个函数，求满足函数的最小值或者函数的最大值即可．命题组：高三数学教研组班级： 姓名： 得分：（一）、设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（Ⅰ）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （Ⅱ）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（Ⅲ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．（二）、定义：若数列{}n A 满足21n n A A =+，则称数列{}n A 为“平方递推数列”。

已知数列{}n a 中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数。

（Ⅰ）证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n a 为等比数列。

（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即12(21)(21)(21)n n T a a a =+++ ，求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式。

（Ⅲ）记n a n T b n 12log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使2008n S >的n 的最小值。