天津市部分区2017届高三质量调查理科数学试题(一)含答案

天津市部分区2017年高三量调查试卷（一）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|03,},{|A x x x N B x y =<≤∈==，则()R A C B =A ．{}1,2B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2D ．(0,1)2、若变量,x y 满足约束条件23030230x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，则z x y =-的最大值为A ．-1B ．0C ．1D ．23、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．104、在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,6,s i n 2s i n 03B b AC π==-=，则a =A ．3 B．．．125、已知()221:430,:x p x x q f x x+-+≤=存在最大值和最小值，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6、已知抛物线220y x =的焦点F 恰好为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且点F 到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为A ．2214116x y -= B ．221214x y -= C ．22134x y -= D ．221916x y -= 7、在ABC ∆中，022,120,AC AB BAC O ==∠=是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO = ，则MB MC ⋅的值是A ．56-B ．76-C ．73-D ．53- 8、已知函数()22,(,0]21,(0,)x x f x x ax x ⎧∈-∞⎪=⎨++∈+∞⎪⎩，若函数()()2g x f x x a =+-有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(,3)-∞-D ．(3,0)-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、已知,,a b R i ∈是虚数单位，若复数21biai i+=-，则a b += 10、72)x的展开式中，1x -的系数是 （用数字填写答案）11、某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12、直线4y x =与曲线24y x =在第一象限围成的封闭图形 的图形的面积为13、在直线坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(1x tt y at =+⎧⎨=+⎩为参数，a R ∈），曲线C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，当弦长AB 最短时，直线l 的普通方程为14、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞ 上单调递增，若实数x 满足12(log 1)(1)f x f +<-，则x 的取值是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分12分） 已知函数()sin()cos 16f x x x π=-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[,]122x ππ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值.16、（本小题满分13分）某校高三年级准备矩形一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如下表所示：（1）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率； （2）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X 为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分13分）如图，五面体PABCD 中，CD ⊥平面,PAD ABCD 为直角梯形，1,,22BCD PD BC CD AD AP PD π∠====⊥ . （1）若E 为AP 的中点，求证：//BE 平面PCD ； （2）求二面角P AB C --的余弦值；（3）若点Q 在线段PA 上，且BQ 与平面ABCD 所成的角为6π，求CQ 的长.18、（本小题满分13分）已知正项数列{}n a 满足211111142(2,)n n nn n n n a a a n n N a a a a ++--++-+=-≥∈，且611a =，前9项和为81.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}lg n b 的前n 项和为lg(21)n +，记12n nn n a b c +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .21、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为3b .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若点M 在椭圆C 上，不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，与直线OM 相较于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB ∆面积的最大值.20、（本小题满分14分） 已知函数()21ln ()2f x x ax x a R =-+-∈ . （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，求证：124()2()13ln 2f x f x -≤+.天津市部分区2017年高三质量调查试卷（一）数 学（理工类）一、选择题：（1）-（4）ABCC （5）-（8）ADDC 二、填空题：（9）4 （10）280- （11）2 （12）1 （13）4=0+-x y （14）)1,21()23,3(--- 三、解答题:（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()sin()cos 1=(sin coscos sin )cos 1666=-+-+f x x x x x x πππ，..............2分2113i n c o s c o s s i n 2c o s 2244=-+-+x x x x x ，1313=(c o s s i n 2s i n c o s 2)=s i n (2)2664264-+-+x x x πππ.............................4分 所以周期22T ππ==. .......................................................................................................6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知13()sin(2)264=-+f x x π，因为]2,12[ππ∈x ，所以52[0,]66-∈x ππ，...................................................................8分 所以sin(2)[0,1]6-∈x π，.................................................................................................10分故当3π=x 时，函数()f x 的最大值为45；当12π=x 时，函数()f x 的最小值为43. .......................................................................................................................................13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为210C ，选出2人中不属于同一班级的方法数为111143332C C C C ⋅+⋅ …………………4分设2名学生不属于同一班级的事件为A所以111143332102C C C C 11()C 15P A ⋅+⋅==. ………………………………………………6分 （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,337310C 7657(0)C 109824P X ⨯⨯====⨯⨯； 2173310C C 676321(1)C 2109840P X ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯；1273310C C 6737(2)C 109840P X ⨯⨯====⨯⨯； 33310C 61(3)C 1098120P X ====⨯⨯. ………………………………10分 所以X 的分布列为所以721719()012324404012010=⨯+⨯+⨯+⨯=E X ……………………………………13分 (17)（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连接CF EF , ∵F E ,分别是PA ，PD 的中点， ∴AD EF //且AD EF 21=；…………………………1分 ∵AD BC 21=，AD BC //， ∴BC EF //且BC EF =；∴CF BE //． …………………………3分 又⊄BE 平面PCD ，⊂CF 平面PCD ， ∴//BE 平面PCD ．…………………………4分（Ⅱ）（方法一） 以P 为坐标原点，PA PD ,所在直线分别为x 轴和y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC =，则(0,0,0),(1,0,0)P A D,1(1,0,1),(2C B1(,(1,2PA AB AD === .……………………………6分设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z n =，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n从而0,10.22x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令2x =，得(2,0,1)-n =. …………………………7分同理可求平面ABD的一个法向量为m =. …………………………8分cos ,⋅===n m n m n m 平面ABD 和平面ABC 为同一个平面，所以二面角C AB P --的余弦值为5． …………………………10分 （方法二） 以D 为坐标原点，DC DA ,所在直线分别为x 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC =，则1((2,0,0),(0,0,0)2P A D ,(0,0,1),(1,0,1),C B3(,(1,0,1),2PA AB ==- ……………………6分设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z n =，则00PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，3020x y x z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，令y =1x z ==，即(1n =. …………………………7分易求平面ABC 的一个法向量为(0,1,0)m =. …………………………8分cos ,5⋅===n m n m n m 所以二面角C AB P --…………………………10分 （Ⅲ）（方法一）建系同(II)（方法一），设(0,,0),Q x 由(II)知平面ABCD的一个法向量为m =，1(,1)22BQ x =--- ；…………………………11分若BQ 与平面ABCD 所成的角为6π，则sin 6BQ BQ π⋅==m m解得33=x，所以(0,3Q (1,1),3CQ =--3CQ =.…………………13分 （方法二）建系同(II)（方法二），设3(,0)2AQ AP λλ==- ,则3(1,1),2BQ BA AQ λ=+=--3(2,1),2CQ CA AQ λ=+=--由(II)知平面ABCD 的一个法向量为(0,1,0)m =.…………………………11分若BQ 与平面ABCD 所成的角为6π，则sin 6BQ BQ π⋅==m m.解得23λ=，则1)CQ =-，从而||CQ ==………13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由241121111-=+-++--+n n nn n n n a a a a a a a ，得112212124-+-+-=+n n n n n a a a a a ，整理得n n n a a a 211=+-+，所以{}n a 为等差数列，…………… 2分 由116=a ，前9项和为81，得12-=n a n ；…………… 4分 当1=n 时，3lg lg 1=b ，即31=b ；当2≥n 时，)12lg(lg lg lg 21+=+++n b b b n …………………………………①，)12lg(lg lg lg 121-=+++-n b b b n …………………………………②①-②，得21lg lg(21)lg(21)lg 21n n b n n n +=+--=-， 所以1212-+=n n b n （n ≥2） 31=b 满足n b ，所以1212-+=n n b n …………… 7分（Ⅱ）112122+++=⋅=n n n n n n b a c …………… 8分 2341357212222n n n T ++=++++ ，又1233572122222n n n T +=++++ ， …………… 9分 以上两式作差，得23132222122222n n n n T ++=++++- . 所以21111131112132122()1222222212n n n n n n n T -++-++=++++-=+-- ,因此，152522n n n T ++=-.……………………………… 13分 （19）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意,得b c a 33=-，…………………………………1分 则221()3a cb -=，结合222b ac =-，得2221()()3a c a c -=-，即22230c ac a -+=，……………………………………………………2分 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =. 所以椭圆C 的离心率为12.………………………………………………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)得2a c =，则223b c =.将M 代入椭圆方程2222+143x y c c =，解得1c =.所以椭圆方程为22+143x y =.………………………………………………6分 易得直线OM 的方程为12y x =. 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上，故直线l 的斜率存在. 设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，与22+143x y =联立消y 得 222(34)84120k x kmx m +++-=,所以222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->.设1122(,),(,)A x y B x y ,则122834kmx x k +=-+,212241234m x x k -=+.……………………8分由121226()234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243(,)3434km mN k k-++, 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =-. ……………10分所以248(12)0m ∆=->，得m <<,且0m ≠，12AB x =-==又原点O 到直线l 的距离d =………………………………12分所以12AB O S ==△22122m m -+≤=.当且仅当2212,m m m -==m <,且0m ≠.所以B OA △ ………………………………14分 （20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a =时，21()ln 2f x x x x =-+-，1()1f x x x'=-+-， 则1(1)2f =，(1)1f '=-， 所以所求切线方程为1(1)2y x -=--，即2230x y +-=. （Ⅱ）由21()ln 2f x x ax x =-+-，得211()x ax f x x a x x -+'=-+-=-.令2()1g x x ax =-+，则()()g x f x x'=-. ①当240a ∆=-<，即22a -<<时，()0g x >恒成立，则()()0g x f x x'=-<， 所以()f x 在(0,)+∞上是减函数.②当240a ∆=-=，即2a =±时，22()21(1)0g x x x x =±+=±≥，则()()0g x f x x'=-≤， 所以()f x 在(0,)+∞上是减函数.③当240a ∆=->，即2a <-或2a >. (i)当2a <-时，2()1g x x ax =-+是开口向上且过点()0,1的抛物线，对称轴方程为(1)22a a x =<-，则()0g x >恒成立，从而()()0g x f x x'=-<， 所以()f x 在(0,)+∞上是减函数.(ii)当2a >时，2()1g x x ax =-+是开口向上且过点()0,1的抛物线，对称轴方程为(1)22a a x =>，则函数()g x 有两个零点1212)x x x x =<显然，列表如下：综上，当2a ≤时，()f x 的减区间是(0,)+∞；当2a >时，()f x 的增区间是，减区间是，)+∞. （Ⅲ）根据（Ⅱ），当2a >时,()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，则12,x x 是方程2()10g x x ax =-+=的两个根，从而2211221,1ax x ax x =+=+. 由韦达定理，得12121,x x x x a =+=.又20a ->，所以1201x x <<<.2212111222114()2()4(ln )2(ln )22f x f x x ax x x ax x -=-+---+- 22111222244ln 22ln x ax x x ax x =-+-+-+ 222211122224(1)4l n 2(1)2l nx x x x x x =-++-+-++222122122ln 2x x x x =-++ 22222223ln 2x x x =-++. 令22(1)t x t =>，2()3ln 2(1)h t t t t t=-++>， 则2223(1)(2)()1t t h t t t t --'=--+=-. 当12t <<时，()0h t '>；当2t >时，()0h t '<，则()h t 在(1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数， 从而max ()(2)3ln 21h t h ==+，于是124()2()13ln 2f x f x -≤+.。