3.3几何概型
高中数学人教版必修3课件：3.3几何概型(共20张PPT)
• 因为-----所以基本事件所构成的区域面积为1 • 因为-----所以A=“父亲在离开家前能得到报纸”
所构成的区域面积为7/8 • 所以P（A）=7/8
练 习2
甲、乙两人约于 7 时到 8 时在公园见面，先到
者等候 20 分钟就离开，求两人能见面的概率。
某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听
电台报时（电台会在整点报时），求他等待的 解：醒来的时间可能是整点后的0-60分 钟，所以基本事件构成的区域长度为60
• A={等待的时间不多于10分钟}意味着醒 来的时间点只能为50-60，区域长度为 10
• 所以P（A）=（60-50）/60=1/6
• 每个基本事件出现的可能性相等 • 我们称这种试验模型为几何概率模型，简
称几何概型。
自我总结：古典概型与几何概型的区别
第三章 概 率
3.3 几何概型
• 甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向黄色区域时,甲 获胜,否则乙获胜.用下列哪种转盘时甲获胜的可能性 比较大？
(1)
(2)
• 很明显地可以几何概型中每个事件发生的概率 只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例.
练 习1
在等腰直角三角形ABC中，在斜边 AB上 任取一点M，求AM小于AC的概率。
解：基本事件构成的区 域长度为
A=“AM小于AC”构成的 区域长度为 所以P（A）= 2 .
2
例2
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30 之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早 上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称 为事件A)的概率是多少?
高中数学：第三章概率 小结 (21)
探究2 解与面积相关的几何概型问题的三个关键点． (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几 何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率．
第25页
思考题2
(1)(高考真题·北京卷)设不等式组
0≤x≤2， 0≤y≤2
①求乘客到站候车时间大于10分钟的概率； ②求候车时间不超过10分钟的概率； ②求乘客到达车站立即上车的概率．
第12页
【思路】 分析概率模型 → 得其为几何概型 → 结果 【解析】 ①如下图所示，设相邻两班车的发出时间为 T1，T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分 钟”为事件A.
【解析】 ∵区间[－1，2]的区间长度为3，随机数x的取值区
间[0，1]的区间长度为1，
∴由几何概型知x∈[0，1]的概率为13.
【答案】
1 3
第9页
(2)在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求 AM的长大于AC的长的概率．
【思路】 点M随机地落在线段AB上，故试验所有点所在的 区域为线段AB，在AB上截取AC′＝AC，则当点M位于线段BC′上 时，AM>AC.故“AM的长度大于AC的长度”的度量为BC′.
思考题1 某人向平面区域|x|＋|y|≤ 2 内任意投掷一枚飞 镖，则飞镖恰好落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为________．
第51页
【解析】 区域|x|＋|y|≤ 2是边长为2的一个正方形区域(如 图)，由图知所求概率为π4.
第44页
自助餐
第45页
与线性规划有关的几何概型问题 (仅供先学必修五的学校使用)
几何概型
(2)特点
①无限性：在每次随机试验中，不同的试验结
果有无穷多个，即基本事件有_无__限__多__个__；
②等可能性：在这个随机试验中，每个试验结
果出现的可能性相等，即基本事件发生是
_等__可__能__的__．
你能说说几何 概型与古典概 型的区别吗？
探究一、与长度有关的几何概型
例1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那 么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
1
1
A.4
B.3
C.21
D.23
解析：选 D.假设在扇形中∠AOC＝∠BOC′＝15°， 则∠COC′＝60°，当射线落在∠COC′内时符合题 意，故所求概率为 P＝6900°°＝23.
7.向 面 积 为 S的 A B C 内 任 投 一 点 P ,求 P B C 的 面 积
小 于 S的 概 率
结 论
探究三、与体积有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用体积
表示，则其概率的计算公式为：
P (A )全 部 构 结 成 果 事 所 件 构 A 的 成 区 的 域 区 体 域 积 体 积
几何概型的概率计算
P (A ) 全 部 构 结 成 果 事 所 件 构 A 的 成 区 的 域 区 长 域 度 长 （ 度 面 （ 积 面 或 积 体 或 积 体 ） 积 ）
2
答 案 ：3
A
4
B
C
已 知 正 三 棱 锥 S A B C 的 底 面 边 长 为 4 ， 高 位 3 ， 在 正 三 棱 锥 内 任 取 一 点 P ， 使 得 V 1V 的 概 率 是 多 少
2 P A B C S A B C
课堂小结
1.古典概型与几何概型的区别. 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.
33几何概型
3.3 几何概型一、教学目标： 1. 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2. 情感态度与价值观：本节课主要特点是随机试验多，学习是养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：1. 几何概型的概念、公式及应用；2. 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 三、教学过程：1. 创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2. 基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：① 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；② 每个基本事件出现的可能性相等． 3. 例题分析：例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。
3.3 几何概型
C．
3 4π
D．34π3
【解题探究】先明确是几何概型中的面积类型，分别求三
角形与圆的面积，然后求比值即可．
【答案】D
配人教版 数学 必修3
【解析】设落在阴影部分内接正三角形上的概率是 p.∵S 圆
＝πR2，S 三角形＝12×(
3R)2×sin
60°＝3
4
3 3R2，∴p＝S三 S角 圆形＝
4 3R2 πR2
配人教版 数学 必修3
2．均匀分布 当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是_等__可__能___的，我 们 称 X 服 从 [a ， b] 上 的 均 匀 分 布 ， X 为 [a ， b] 上 的 均 匀 __随__机__数__．
配人教版 数学 必修3
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)在几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何 区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相 等．( ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体 图形．( ) (3) 与 面 积 有 关 的 几 何 概 型 的 概 率 与 几 何 图 形 的 形 状 有 关．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) 【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√
配人教版 数学 必修3
3.3 几何概型
配人教定义、特 1.了解随机数的意义，能 点，会用公式计算几何概率． 运用模拟方法估计概率；
难点：等可能性的判断与几何概 2．了解几何概型的意义. 型和古典概型的区别.
配人教版 数学 必修3
1．几何概型 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 __长__度____(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概 率模型，简称为几何概型．
高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2几何概型均匀随机数的产生课件新人教A版
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车 站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是31.
拓展提升 1.解几何概型概率问题的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能 性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域 D； (3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I； (4)利用概率公式计算．
【跟踪训练 2】 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB
中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内随
机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．1－π2 B.21－π1
2
1
C.π
D.π
解析 设扇形的半径为 2，则其面积为π×422＝π.阴影部 分的面积可转化为扇形的面积减去△AOB 的面积，即阴影 部分的面积为 π－12×2×2＝π－2.因此任取一点，此点取自 阴影部分的概率为π－π 2＝1－2π.
拓展提升 1.解与体积有关的几何概型的关键点 分清题中的条件，提炼出几何体的形状，找出总体积是 多少以及所求的事件占பைடு நூலகம்的几何体是什么几何体，并计算出 体积． 2．与体积有关的几何概型概率的求法 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表 示，则其概率的计算公式为 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的体区积域体积.
所以作 AC′＝AC，且∠ACC′＝180°2－45°＝67.5°.
如图，当 CM 在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有 AM<AC′＝AC，即 P(AM<AC)＝6970.5°°＝34.
探究 5 用随机模拟法估计图形的面积
3.3几何概型
复习巩固： （1）若A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},则从A中
任取出一个数,这个数不大于3的概率
是多少？
3 1 P= = 9 3
二等奖
谢谢
iphone
Mp5
转盘游戏计算 机模拟试验
生活中的 数学
生活中常见的几何概型 （转盘抽奖问题）幸运大转盘，转到几打几折 提问：转到几的概率 最大？转到几的概率 最小？ 免费抽奖 如果转到1免费得到 一部MP3，否则按转 到几打几折必须买一 部MP3，你愿意参加 吗？
事件A发生的概率 取出水的体积 0.1 P( A) 0.1 杯中所有水的体积 1
构成事件A的区域体积 P A 试验的全部结果所构成的区域体积
几何概型的概率计算公式:
P(A)
构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
例题讲解：
例1.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外 向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色。金 色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为 122cm，靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。 假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可 能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解：记“射中黄心”为事件B，则 1 12.22 P( B ) 4 0.01 1 2 122 . 4 模拟试验 答：射中黄心的概率为0.01
S椭圆 P( A) S正方形 0.3 2 1.2
2
答：椭圆面积为1.2.
7.(2009· 辽宁)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的 中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距 离大于1的概率为(
B
A.
3.3《几何概型》教案(新人教必修3)
3.3.1几何概型教学目标：初步体会几何概型的意义。
教学重点：初步体会几何概型的意义。
教学过程：1．古典概型要求样本点总数为有限．若是有无限个样本点，特别是连续无限的情况，虽是等可能的，也不能利用古典概型．但是类似的算法可以推广到这种情形．若样本空间是一个包含无限个点的区域Ω（一维，二维，三维或n 维），样本点是区域中的一个点．此时用点数度量样本点的多少就毫无意义．“等可能性”可以理解成“对任意两个区域，当它们的测度（长度，面积，体积，…）相等时，样本点落在这两区域上的概率相等，而与形状和位置都无关”．在这种理解下，若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ⊂Ω}，则A 的概率定义为 P(A)=的测度的测度Ωg ． 这样定义的概率称为几何概率．2．例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻，故 P(A)=53=Ω的长度的长度g ． 例2（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率．因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成．以7点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为Ω:{(x,y) | 0≤x ≤60,0≤y ≤60},画成图为一正方形．会面的充要条件是|x －y| ≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分．P(A)=9560)2060(60222=--=Ω的面积的面积g课堂练习：略小结：通过实例初步体会几何概型的意义课后作业：略3.4概率的应用教学目标：结合实际问题情景，理解概率的应用教学重点：结合实际问题情景，理解概率的应用教学过程：1．概率依赖于观察者至少在数学中概率是依赖于观察者的。
3.3几何概型
班级：___ 姓名：________
一、新知导学
1.如果每个事件发生的概率只与构成事件 成正比例。
则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2.几何概型有两个基本特征：
（1）无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有 。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性 。
3.几何概率的计算公式： 事件A 的概率定义为：P （A ）=
()
A 构成事件的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
= 。
其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量。
4.在500ml 的水中有一只草履虫，现从中随机取出1ml 水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率为 。
二、课前自测
1.在10000km 2的海域中有40km 2的大陆架贮藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是 。
2.有一杯1升的水，其中含有1个细菌，有一个小杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有细菌的概率为 .
3.某人午觉醒来，发觉手表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为 .
4.两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为（ ）
A 、12
B 、
13
C 、
14
D 、不确定。
3.3几何概型
2
-1
0
1
x
以直线 x=1，x=-1，y=0，y=1 为边界作矩 形，用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均 匀随机点的频率，则所求区域的面积=频率×2.
理论迁移
例4.在一边长为2的正六边形的纸片上，
有一个半径为R的半圆孔，随机向该纸
片投掷一粒芝麻，若芝麻恰好从半圆孔
穿过的概率为 3 ，则R=_________.
知识探究（二） ：几何概型的概率
思考 2：在玩转盘游戏中，对于下列两个转盘， 甲获胜的概率分别是多少？你是怎样计算的？
B N B N B N N B N N B
B
知识探究（二） ：几何概型的概率
思考 3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环， 从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心 是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛 的靶面直径是 122cm，黄心直径是 12.2cm，运 动员在距离靶面 70m 外射箭.假设射箭都等可能 射中靶面内任何一点， 那么如何计算射中黄心的 概率？
分布直方图，数据在[3, 5]内的频数为m，
现向该频率分布直方图内(即5个小长方形
内)抛掷一点，则该点落在阴影部分的概率
是0.7，求m.
频率 组距
O1 2 3 4 5 6
x
小 结
1. 在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机 数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随 机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随 机数只取区间内的整数.
小 结
1. 在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机 数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随 机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随 机数只取区间内的整数.
2. 利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试 验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列 问题，体现了数学知识的应用价值.
3.3几何概型
§3.3 几何概型1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)[试一试]1．在长为6 m 的木棒AB 上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率________．2．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点 到O 的距离大于1的概率________．3．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是________．4．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是________．5．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是________．6．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________． 考点一 与长度、角度有关的几何概型例1(1) 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为________．(2) 如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(3) 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．考点二 与体积有关的几何概型例2(1) 一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．(2) 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．考点三 与面积有关的几何概型例3(1)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF ．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π4－1 C ．2－π4 D.π4(2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．【巩固训练】1．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率( )A.16B.13C.12D.232．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.14B.13C.427D.4154．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( )A.45B.15C.13D.125．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是( )A ．1 B.23 C.310 D.256.如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15B.14C.13D.127．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离 大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π48．在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S -APC 的体积大于V 3的概率是________． 9．在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．10.如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点，则该点落在半圆内的概率为____．11.如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．。
高中教材数学必修三《3.3几何概型》ppt
答案 1－π4 解析 阴影部分的面积 S＝a2－π×(a2)2＝a2－π4a2，正方形木板 的面积为 a2，故击中阴影部分的概率是a2－a2π4a2＝1－π4.
思考:“必然事件的概率为1,但概率为1的事件一 定是必然事件。”这种说法对吗？为什么？
举例: 在单位圆内有一点A，现在随 机向圆内扔一颗小豆子。
解析 取出 10mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件 记为 A，则
P(A)＝取 所出 有种 种子 子的 的体 体积 积＝210000＝2100.
1、已知棱长为2的正方体，内切球O，若在 正方体内任取一点，则这一点不在球内的概
率为_______. 1
6
例：（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数， 任取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y ≥1 ”
A
（1）求小豆子落点正好为点A的概率。 （2）求小豆子落点不为点A的概率。
结论：
不可能事件概率为0，概率为0的事件不一定是不可能事件；
必然事件概率为1，概率为1的事件不一定是必然事件。
题型三 与体积有关的几何概型
在 2L 高产优质小麦种子中混入了一粒带白粉病的种 子，从中随机取出 10mL，求含有白粉病种子的概率是多 少？
4
总长度3
（3）有根绳子长为3米，拉直后任意剪成两段， 每段不小于1米的概率是
题型二 与面积有关的几何概型
例 ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 的中点．
在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1
的概率为( )
A.π4
B．1－π4
C.π8
D．1－π8
解析 如图所示，长方形 ABCD 的面积为 2，以 O 为圆心，1 为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)的面积为π2，
3.3几何概型
2 2
1的点
4m . n
23/46
例3：利用随机模拟方法计算 右图中阴影部分（由 y 1 2 和 y x 所围成的部分）的 面积．
做题步骤如下： (1)利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数：
当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的
条件为a>b. 当a>b时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1), (3,0),(3,1),(3,2),即A包含的基本事件数为6, ∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率 6 1 P( A) . 12 2
34/46
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,
b从区间[0,3]中任取一个数,则试
验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)| 0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形 区域,其面积 S Ω 2 3 6. 设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成 的区域为M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b},即图中 1 阴影部分的梯形,其面积 S M 6 2 2 4. 2 由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根 的概率 P( B) S M 4 2 . SΩ 6 3
1 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6
6/46
60 50 1 P( A) 60 6
例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机 向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
2a
解: 记“豆子落在圆内”为 事件A,
圆的面积 π a2 π P(A) 2 正方形面积 4a 4 π 答：豆子落入圆内的概率为 . 4
高中数学人教版必修3课件：3.3几何概型
问题7
知识点1 与长度有关的几何概型
某人午觉醒来,发现表停了,他打 开收音机,想听电台报时,求他等待的 时间不多于10分钟的概率解
变式
解
y
即点 M 落在图中的阴影部分.5
所有的点构成一个正方形,即 4
有无穷多个结果.由于每人在 任一时刻到达都是等可能的,
的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为 几何概率模型,简称为几何概型.
问题5 几何概型有哪些特点 ?
问题6 古典概型与几何概型有何异同？
异 古典概型的特征
几何概型的特征
（1）实验中所有可 （1）实验中所有可
能出现的基本事件 能出现的基本事件
有有限个；
有无限个；
同
(2)每个基本事件出 (2)每个基本事件出 现的可能性相等. 现的可能性相等.
3
所以落在正 方 形 内 各 点是 2
等可能的.
1
01 2 3 4 5 x
y
y-x =1
5
4
y-x = -1
3
2
1
0 1 234 5 x
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离 开家前能得到报纸 (称为事件A) 的概率是多少?
解1
解2
变式 解
A 20m
2m
30m
解题步骤
记事件
构造几何图形
计算几何度量
下结论
求概率
如图,在正方形中随机撒一把豆子,用随机摸拟
的方法估计圆周率的值. 解
知识点3 与体积有关的几何概型 解
变式 解
作业
第一课时
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教学重点
正确掌握几何概型的概念、公式及应用，利用计算器或计算机产生均匀 随机数并运用到概率的实际应用中. 正确掌握几何概型的概念、公式及应用，利用计算器或计算机产生均匀 随机数并运用到概率的实际应用中. 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主 义观点.
教学难点
教学设想
教学用具
Y X (b a ) a
拓展、延伸、补充
计算 Y 的值，则 Y 为[a，b]上的均匀随机数.
练习：怎样利用计算机产生 100 个[2，5]上的均匀随机数？ （1）在 A1～A100 产生 100 个 0～1 之间的均匀随机数； （2）选定 Bl 格，键人“＝A1*3+2” ，按 Enter 键，则在此格中的 数是随机产生的[2，5]上的均匀随机数； （3）选定 Bl 格，拖动至 B100，则在 B1～B100 的数都是[2，5] 上的均匀随机数. （三）讲练结合，巩固提高 例 1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30～7:30 之间 把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00～8:00 之间， 问你父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？ 分析： 1、如果把“父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件 A，那么事件 A 是哪种类型的事件？ 随机事件 2、我们有两种方法计算该事件的概率： ⑴利用几何概型的公式； ⑵用随机模拟的方法. 解：⑴利用几何概型的公式； 设送报人到达你家的时间为 x，父亲离开家的时间为 y，若事件 A
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发生，则 x、y 应满足什么关系？ 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. 你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？ 根据几何概型的概率计算公式，事件 A 发生的概率为多少？ 试验的全部结果所构成的区域为 ={（x，y）| 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8 }，这是一个正方形区域， 面积为 1. 事件 A 表示父亲在离开家前能得到报纸，所构成的区域 A={（x， y）| 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8， y≥x }，即图中的阴影部分，面积为
P ( A) 构成事件 A 的区域长度（面积或体 积） 积）
拓展、延伸、补充
试验的全部结果所构成
的区域长度（面积或体
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例 1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他 等待的时间不多于 10 分钟的概率. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟}.我们所关心的事件 A 恰好是 打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公 式得
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Hale Waihona Puke 日康乐一中教导处制
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关？哪个因素无关？ 与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关. 几何概率模型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体 积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. （三）讲练结合，巩固提高 练习 1：某班公交车到终点站的时间等可能是 11：30～12：00 之 间的任何一个时刻，那么“公交车在 11：40～11：50 到终点站”这个 随机事件是几何概型吗？若是，怎样理解其几何意义？ 练习 2：一个游戏转盘如图,让转盘自由转动,当转盘停止转动后,指 针落在哪个区域.这个随机事件是几何概型吗？为什么？落在哪个区域 的可能性最大?落在哪个区域的可能性最小?有可能性相等的情况吗?为 什么? 解： 是几何概型， 因为事件发生的概率只与构成该事件区域的面积 成比例, 落在红色区域可能性最大， 落在蓝色区域可能性最小，黄色和绿色 可能性相同, 这是几何概型，可以通过图形的面积判断. 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事 件， 一般都有几何概型的特性， 我们希望建立一个求几何概型的概率公 式. 在刚才的转盘游戏中，落在各颜色区域的概率各是多少？ 在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下:
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（1）圆面积︰正方形面积≈落在圆中的豆子数︰落在正方形中的 豆子数. （2） 设正方形的边长为 2， 则圆面积︰正方形面积=/ 2×2） /4. （ = （3）由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以 ≈落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数×4. 这样就得到了 的近似值. 另外，我们可以用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下： ⑴产生两组 0-1 之间的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND； ⑵进行平移和伸缩变换，a=2（a1﹣0.5） b=2（b1﹣0.5） ， ； ⑶数出落在圆内 x 2
学科：数学
课题
高一年级 25,26 班
3.3 几何概型 1、掌握几何概型的概率公式：
教师：蒲军红
教 学 目 标
P（A）=
构成事件
A 的区域长度（面积或体
积） 积）
试验的全部结果所构成
的区域长度（面积或体
；
2、掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； 3、会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．
1 1 2 1 2 1 2 7 8 P ( A) 7 8 /1 7 8
拓展、延伸、补充
这是一个几何概型，所以
思考：你能设计一种随机模拟的方法，近似计算上面事件 A 发生 的概率吗？ ⑵用随机模拟的方法. 设 X、Y 为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X 表示送报人到达你家的 时间，7＋Y 表示父亲离开家的时间，若父亲在离开家之前能得到报纸， 则 X、Y 应满足： 7＋Y >6.5＋X，即 Y>X－0.5. 利用计算机做 50 次模拟试验，计算事件 A 发生的频率，从而估计 事件 A 发生的概率. （1）在 A1～A50，B1～B50 产生两组[0，1]上的均匀随机数； （2）选定 D1 格，键入“=A1-B1” ，按 Enter 键. 再选定 Dl 格，拖 动至 D50，则在 D1～D50 的数为 Y-X 的值； （3）选定 E1 格，键入“=FREQUENCY（D1：D50，-0.5），统 ” 计 D 列中小于-0.5 的数的频数； 例 2：在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法 审阅人 估计圆周率的值.
构成事件 A 的区域长度（面积或体 积） 积）
拓展、延伸、补充
试验的全部结果所构成
的区域长度（面积或体
；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古 典概型还是几何概型. 教学重点、难点： 正确掌握几何概型的概念、公式及应用. （一）创设情景、导入课题 1、古典概型有哪两个基本特点？ 2、计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法? 3、在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情 况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率. （板书课题） （二）师生互动、探究新知 特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率. 例如：一个人到单位的时间可能是 8：00～9：00 之间的任何一个 时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点 上„„这两个试验可能出现的结果是有限个， 还是无限个？若没有人为 因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？ 问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指针指向 B 区域 时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？ （见课本 P135） 以左边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为 1/2 以右边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为 3/5 从结论来看，甲获胜的概率与字母 B 所在扇形区域的哪个因素有
P ( A) 60 50 60 1 6 ,
拓展、延伸、补充
练习：某路口红绿灯的时间设置为：红灯 40 秒,绿灯 60 秒,黄灯 4 秒.当人或车随意经过该路口时,遇到哪一种灯的可能性最大?遇到哪一 种灯的可能性最小?根据什么? 遇到红灯,绿灯,黄灯的概率各是多少？为什么？ 例 2：甲乙两人相约上午 8 点到 9 点在某地会面，先到者等候另一 人 20 分钟，过时离去，求甲乙两人能会面的概率.
黑板
教学方法
讲议结合 3.3 几何概型
课时安排
2
1、几何概型 板 书 设 计 2、均匀随机数的产生 3、例题解析
课堂练习 课时小结 课后作业
教 学 反 思
教学设计（首页）
1
康乐一中教导处制
教学活动设计 3.3.1 几何概型
教学目标： （1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： P（A）=
y
60
P ( A)
20
60
2
40
2
2
5 9
60
x
O
20
60
练习： 甲乙两人相约下午 1 时至 2 时在某公共汽车站乘车，已知该 站在下午 1 时 30 分和 2 时准点各发一班车，假设因堵车的影响，甲乙 两人在 1 时至 2 时之间任一时刻到达车站的可能性相同， 如果两人到车 站后见车就上，那么两人乘一辆车的概率是多少？ 例 3：如图，甲转盘被分成３个面积相等的扇形，乙转盘被分成了 ２个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏， 规定小夏转甲盘一次， 小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线 上视为无效，重转）
RAND PRB RANDI STAT DEG
拓展、延 伸、补充
ENTER
ENTER
RANDI 0.052745889 STAT DEG
注意：每次结果会有不同. 用 Excel 演示. （1）选定 Al 格，键人“＝RAND（），按 Enter 键，则在此格中的数是随 ” 机产生的[0，1]上的均匀随机数； （2）选定 Al 格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如 A2～A100， 点击粘贴，则在 A1～A100 的数都是[0，1]上的均匀随机数.这样我们就很快就得 到了 100 个 0～1 之间的均匀随机数，相当于做了 100 次随机试验. 试验的结果是区间[0，1]上的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可 能的，因此，就可以用上面的方法产生的 0～1 之间的均匀随机数进行随机模拟.