1.4 无穷小与无穷大

合集下载

同济大学高等数学第七版1.4--无穷小与无穷大

问：如何定义 lim f (x) ? x 以上定义如何修改？
lim f (x)
x
M 0，X 0，x : x X f (x) M
见教材37页, 题 5
填空：
当 x
2
时，tan x 是无穷大 lim tan x
x
2
1
当 x 0
时，
x
是正无穷大
1 lim x x0
1 lim x x0
无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
无穷小的 ε-δ 定义
(x) 是 x x0 时的无穷小 lim (x) 0
xx0
0, 0
x : 0 x x0 (x)
无穷小的例子
下列函数何时为无穷小？
(x 1)2 (x 1)
lim(x 1)2 0
x1
1 (x ) x
谢谢观看！ 2020
M
M 0 1 使得，当
M
0 x 0 时，就有 1 M
x
称 1/x 为 x 0 时的无穷大，记作：lim 1 x0 x
所以 lim f (x) 的刻划需要两个正数： x x0
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大:
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
x 1
x 1
只要 x 1 2
M 1
证 M 0 2 使得，当
M 1
0 x 1 时，就有
所以 lim x 1 x1 x 1
x 1 M
x 1
x 1 lim x1 x 1
x 1 铅直渐近线
水平渐近线 y 1
y x 1 x 1
若 lim f (x) x x0 则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线 x x0 y f (x)

高数无穷大无穷小

2
4
6
-5
-10
2．无穷大量的性质
(1)若limX A，limY ,则lim(X Y)
(2)若limX A 0，limY ,则lim(X Y) (3)若limX ，limY ,则lim(X Y) (4)若limX ，X Y,则limY (5)若limX ，则lim（ X ) (6)若limX ，则lim 1 0;
注意 ① 无穷小量是以0为极限旳变量；
② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是无穷小量；
③ 讲一种函数是无穷小量，必须指出自变量旳变化趋向；
④ 任何非零常数，不论其绝对值怎样小，都不是无穷小量。
2.无穷小量的性质
性质 1：若 X , Y 都是无穷小量，则X Y, X Y 也是无穷小量；
注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。
（2） lim ( 3 1 ) . x1 1 x3 1 x
3
lim
x1
( 1
x
3
1 1
) x
lim
x1
3 1 x3
lim
x1
1 1
x
0
。错解
正解：
xlim1(13x3
1 1
x
)
lim
x1
2x 1
x2 x3
xlim1(1(1x)x(1)(2xxx)2 ) xlim112xxx2 1.
无穷小量旳比较
例3．求下列极限：
（1）求 lim x0
tan x sin x x2 arctan x
；
tan sin x
tan x(1 cos x)
解：
lim
x0
x2
arctan
x

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大

是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1

→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1

⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以是

→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′

′

无穷大与无穷小

§1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是高等数学中两个重要概念，而无穷小与无穷大又有密切的联系。

一无穷小定义1如果函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时的极限为零，那么称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷小。

例如，由于0limsin 0x x →=，所以函数sin x 当0x →时为无穷小；又如，由于1lim 0x x →∞=，所以函数1x当x →∞时为无穷小。

我们也可以用极限的""εδ-（或N ε-）来描述：对于0,0()εδ∀>∃>或X>0，使得适合不等式00()x x x X δ<-<>或的一切x 所对应的函数值都满足不等式()f x ε<。

则称当0x x →（或x →∞）时，()f x 是无穷小量。

记为0lim ()0x x f x →=（或lim ()0x f x →∞=）。

关于无穷小，我们做以下注释：1 不要把无穷小与很小的数混为一谈，因为无穷小量不是很小的数,它是极限为零的函数任意非零常数（无论多小）极限都不是零。

2 数零是唯一可作为无穷小的常数。

3 无穷小指相对自变量的某一变化过程，而不是量的大小。

例如当2x →时，函数()2f x x =-是无穷小；而当1x →时，函数()2f x x =-就不是无穷小。

由于无穷小是极限为零的函数，因此无穷小与函数极限之间有着密切关系，下面的定理给出了这种关系。

定理1 若0lim ()()(),x x f x A f x A x α→=⇔=+其中0lim ()0x x x α→=。

二无穷大在自变量的变化趋势下，函数)(x f 的极限可能存在，也可能不存在，在极限不存在的情形下，我们着重讨论()f x 无限变大的情形。

如果当()∞→→x x x 或0时，对应的函数的绝对值()f x 的极限无限增大，则称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷大。

高数上第一章§1.4无穷小量与无穷大量

x→+∞
它们都是无穷大量， lim f ( x )= +∞ ， lim g ( x )= −∞ ，它们都是无穷大量，
x→+∞
1 是无穷小量。但 lim [ f ( x )+ g ( x )]= lim = 0 是无穷小量。 x→+∞ x→+∞ 2 x
3.无穷小量与无穷大量的关系
1 性质 6 若 lim X = ∞ ，则 lim = 0 ； X 1 反之，反之，若 lim X = 0 ( X ≠ 0) ，则 lim = ∞ 。 X
两个无穷小的和或积仍然是无穷小，两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小的商却有多种可能性。的商却有多种可能性。
例如，都是无穷小，例如，当 x → 0 时， x , 3 x , x 2 , sinx , 1− cosx 都是无穷小，
3x sin x 1− cos x 1 x2 而 lim =1 ， lim = 0 ， lim 2 = ∞ ， lim = 。 2 2 x→0 3 x x→0 x x→0 x x→0 x
性质 4 若 X ≤Y ， lim X = +∞ ，则 limY = +∞ ；
性质 5 若 lim X = +∞ ，则 lim( − X )= −∞ 。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
不一定。答：不一定。不一定
1 例如：， g ( x ) = −2 x ，例如 f ( x )= 2 x + 2x
（2）正无穷大量的定义正无穷大量的定义
∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − xo < δ, 恒有 f ( x ) > G ⇔ lim f ( x ) = +∞ .

高数高等数学1.4无穷小与无穷大

记为
x x0
lim f ( x )
(lim f ( x ) )
x
若在定义2中将①式改为则记作
x x0 ( x )
( f ( x ) M ),
( lim f ( x ) )
注意: (1)无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. (2)称函数是无穷大量，须指明其自变量的变化趋势.
铅直渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
1 则为无穷小； f ( x) 1 则为无穷大. f ( x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论.
(证明见下页)
证明：设 lim f ( x ) . 其他情况同理可证 x x0 0, 根据无穷大的定义， 0, 使得当 0 x x0 时 1 1 有 f ( x) , 即 . f ( x)
1 所以当x x0时, 为无穷大. f ( x)
x x0
小结
1.无穷小与无穷大均为变量，无穷小的极限为零，无穷大没有极限.
2.无穷小与无穷大与自变量的变化趋势有关. 3.无穷小与函数极限的关系.
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A , 其中 lim 0.
（3） lim f ( x ) 是借用极限记号，并不表示极限存在.
x x0
1 例如：y ， x 0是无穷大，x 不是无穷大. x
(4) 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如：但
例1 证明:
1 只要取 , M
y
o 说明:
1
x
则直线 x x 0

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.4-1.5 无穷小.

课时授课计划课次序号：一、课题：§1.4 无穷小与无穷大§1.5 极限运算法则二、课型：新授课三、目的要求：1.理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小、无穷大以及有界量之间的关系；2.掌握极限的运算法则.四、教学重点：无穷小和无穷大的概念，极限的运算法则.教学难点：极限运算法则的应用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–4 4（1）；习题1–5 1（1）（5）（7）（14），3（2）八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：复习1.两种变化趋势下函数极限的定义，左右极限（单侧极限）2.函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系.对于函数极限来说，有两种情形比较特殊：一种是极限为零，另一种是极限无穷不存在，我们分别称之为无穷小和无穷大.下面我们先介绍无穷小与无穷大，在此基础上，进一步介绍极限的运算法则.第四节无穷小与无穷大一、无穷小定义1 若limα（x）=0，则称α（x）为该极限过程中的一个无穷小．例1当x→2时，y=2x-4是无穷小，因为容易证明（2x-4）=0．当x→∞时，y=也是无穷小，因为=0．定理1(无穷小与函数极限的关系定理lim f（x）=A的充要条件是f（x）=A+(x，其中(x为该极限过程中的无穷小．证为方便起见，仅对x→x0的情形证明，其他极限过程可仿此进行．设f(x=A，记(x=f(x-A，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（x）-A｜＜ε，即｜(x｜＜ε．由极限定义可知，(x=0，即(x是x→x0时的无穷小，且f（x）=A+(x．反过来，若当x→x0时，(ξ是无穷小，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜(ξ-0｜=｜(ξ｜＜ε，即｜f（ξ）-A｜＜ε，由极限定义可知，f（ξ）=A．二、无穷大在lim f（ξ）不存在的各种情形下，有一种较有规律，即当x→x0或x→∞时，｜f（ξ）｜无限增大的情形．例如，函数f（ξ）=，当x→1时，｜f（ξ）｜=无限增大，确切地说，M＞0（无论它多么大），总δ＞0，当x∈（1，δ）时，｜f（ξ）｜＞M，这就是我们要介绍的无穷大．定义2 若M＞0（无论它多么大），总δ＞0（或X＞0），当x∈（x0，δ）（或｜ξ｜＞X）时，｜f（ξ）｜＞M恒成立，则称f（ξ）当x→x0（或x→∞）时是一个无穷大．若用f（ξ）＞M代替上述定义中的｜f（ξ）｜＞M，则得到正无穷大的定义；若用f（ξ）＜-M代替｜f（ξ）｜＞M，则得到负无穷大的定义．某极限过程中的无穷大、正无穷大、负无穷大分别记作：．注（1）若,则称为曲线的垂直渐近线．（2）称一个函数为无穷大时,必须明确地指出自变量的变化趋势．对于一个函数,一般来说,自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同．例如函数y=,当x→时,它是一个无穷大,而当x→时,它则是一个无穷小．（3）由无穷大的定义可知,在某一极限过程中的无穷大必是无界变量,但其逆命题不成立．例如, 当n→∞时,(1+(-1nn是无界变量,但它不是无穷大．例2=+∞，=-∞，=-∞,=+∞, =-∞．三、无穷小与无穷大的关系定理2在某极限过程中，若f（ξ）为无穷大，则为无穷小；反之，若f（ξ）为无穷小，且f（ξ）≠0，则为无穷大．证我们仅对x→x0的情形证明，其他情形仿此可证．设f（ξ）=∞，则ε＞0，令M=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＞M=，即＜ε，故为x→x0时的无穷小．反之，若f（ξ）=0，且f（ξ）≠0，则M＞0，令ε=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＜ε=，即＞M，故为x→x0时的无穷大．第五节极限运算法则一、无穷小运算法则定理1在某一极限过程中，如果(x，(x是无穷小，则(x± (x也是无穷小．证我们只证x→x0的情形，其他情形的证明类似．由于x→x0时，(x，(x均为无穷小，故ε＞0，δ1＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ1时，｜(x｜＜，（1）δ2＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ2时，｜(x｜＜，（2）取δ=min（δ1，δ2），则当0＜｜x-x0｜＜δ时，（1）、（2）两式同时成立，因此｜(x±(x｜≤｜(x｜+｜(x｜＜+=ε．由无穷小的定义可知，x→x0时，(x± (x为无穷小．推论在同一极限过程中的有限个无穷小的代数和仍为无穷小．定理2在某一极限过程中，若(x是无穷小，f（x）是有界变量，则(x f（x）仍是无穷小．证我们只证x→∞时的情形，其他情形证法类似．设f（x）为x→∞时的有界变量，则M＞0，当｜x｜＞X1＞0时，｜f（x）｜＜M，又因(x=0，则ε＞0，对来说，X2＞0，当｜x｜＞X2时，｜(x｜＜，取X=m ax{X1，X2}，则当｜x｜＞X时，有｜(x·f（x）｜=｜(x｜·｜f（x）｜＜·M =ε．这就证明了当x→∞时，(x f（x）是无穷小．例1求．解因为x∈（-∞，+∞），｜sin x｜≤1，且=0，故由定理2得sin x=0．推论在某一极限过程中，若C为常数，(x和(x是无穷小，则C(x，(x（x）均为无穷小．这是因为C和无穷小均为有界变量，由定理2即可得此推论．此推论可推广到有限个无穷小乘积的情形．定理3在某一极限过程中，如果(x是无穷小，f（x）以A为极限，且A≠0,则(x\f（x）仍为无穷小．证由定理2可知，我们只需证为该极限过程中的有界变量即可．我们仅对x→x0时进行证明，其他情形类似可证．因为f（x）=A，A≠0, 则对ε=，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，有｜｜f（x）｜-｜A｜｜≤｜f（x）-A｜＜，从而＜｜f（x）｜＜，故＜=M, 即为时的有界变量．利用无穷小的性质及无穷小与函数极限的关系，我们可得极限四则运算法则．二、极限的四则运算法则定理4若，则(1 ;(2 ;(3 l= (．证我们仅证（2），（3）．因为，所以f（x）=A +(x，g（x）=B +β(x，其中，于是f(x g(x=［A+］［B+β(x］=AB+Aβ(x+B+β(x．由定理1及其推论可得, , ．故由第四节定理1及本节定理1可知．同理，对于式（3），只需证-是无穷小即可，因为-=-=，由定理1及其推论可知．由刚获证的式（2）可知．所以，其中为无穷小．最后由第四节中的定理１便得lim==（B≠0）．推论1 若存在，C为常数，则．这就是说，求极限时，常数因子可提到极限符号外面，因为．推论2 若存在，n∈N，则．例2 求．结论：多项式函数当极限为，而解===-2．例3求，其中m，n∈N．解由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“”型，对此情形不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”．===．例4求．解此极限仍属于“”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”．====．例5求．解分子分母均为无穷大，这种情形称为“”型．对于它，我们也不能直接运用极限运算法则，通常应设法将其变形．==．结论当，例6求解====1例7求解====．例8设f(x=问b取何值时，存在．解由于==2，==b，由第三节定理１可知，要存在，必须=，因此b=2．三、复合函数极限运算法则定理5设函数由复合而成，如果，且在x0的一个去心邻域内，，又=A，则=A．该定理可运用函数极限的定义直接推出，故略去证明．例9求解因为=0，=1，故=1．例10 求．解因为=0，=0，故=0．课堂总结1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则．在计算极限时，应注意法则成立的条件，不要错误地运用以上法则．。

1[1].4.无穷小与无穷大

解
1 2 + 3 2 x +2 x x = 0 = 0. lim 3 2 = lim x→∞ 2x + x +1 x→∞ 1 1 2 2+ + 3 x x
m−1
对于一般的有理函数
a0 x + a1 x + ⋯+ am f (x) = b0 xn + b1 xn−1 + ⋯+ bn
m
（m, n 为正整数）,有为正整数）有
定理3 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。定理有界变量与无穷小的乘积是无穷小。内有界，证设函数u在 U (x0 ,δ1 )内有界，则 ∃M > 0, 恒有 u < M. 使得当0 < x − x0 < δ 1时，
0
又设α是当x → x 0时的无穷小, ∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时
故
1 lim = ∞. x →1 x − 1
证明:函数内无界, 例3 证明函数 y = x cos x 在(−∞,+∞) 内无界但当 x
→ +∞
时,该函数不是无穷大.。该函数不是无穷大
证 ∀M > 0, 在 (−∞,+∞) 内，总 ∃x0 , 使 y ( x0 ) > M 例如,取 x0 = 2kπ , y (2kπ ) = (2kπ ) cos 2kπ = 2kπ 例如取 (k = 0,1,2,⋯), 只要 k > M 时，就有 y ( x0 ) > M 2k 无界. 故在 (−∞,+∞)内 y = x cos x无界
lim 推论2 存在, lim 推论设 x→ x f ( x) g ( x) = A存在若 x→ x f ( x) = ∞.

高等数学1-4-无穷小与无穷大

说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量定义1 . 若则称函数例如 : 函数函数为当函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。）为当时为无穷小;
时为无穷小;
为当时为无穷小.
定义1. 若则称函数为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若若
1 为无穷大, 则为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0

14无穷小与无穷大

以上定义如何修改？
lim f (x)
x
M 0 ， X 0 ， x :x X f() x M
见 p.41, 题 5
定理 2 （无穷大与无穷小的关系）无穷大与无穷小有倒数关系。
1 0 l i m f( x ) lim f ( x)
1 limf (x )0 lim f ( x) f ( x) 0
x x 0
0
不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无穷大。注意： (1) 任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无穷大。 (2) 无穷大必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷大。
x 1 例2 证明： lim x 1 x 1
分析 M 0 要 x 1 M
1.4 无穷小与无穷大
Infinitesimal and Infinity
一、无穷小 (Infinitesimal)
l i m f(x )A
f( x ) A ( 0 )
limf (x )A0 l i m [ f( x ) A ] 0 lim (x )0 ( x ) f( x ) A
无穷小的例子下列函数何时为无穷小？
( x 1) ( x 1)
2
l im (x 1 ) 0
2 x 1
1 x
e
x
(x )
(x )
1 lim 0 x x
x
lim e 0
x
ye
x
下列函数何时为无穷小？
2
1 x
(x 0 )

1 x 0 x
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时

1.4无穷小与无穷大

0
( x )
0
无穷大的概念定义2 如果在 x x0 (或 x )时, 函数 f ( x ) 的绝对值无限增大, 则称函数 f ( x ) 为当 x x0 (或 x )时的无穷大.
注意 1. 无穷大是变量, 不能与很大的数混淆;
lim 2. 切勿将 x x f ( x ) 认为极限存在;
1 4、 . f ( x)
无穷小的概念
注意: (1)无穷小是变量, 不能与很小的数混淆. (2) 零是可以作为无穷小的唯一常数. (3) 无穷小是相对于 x 的某个变化过程而言的, 例
1 1 如, 当 x 时, x 是无穷小; 当 x 2 时, x 就
不是无穷小.
无穷小的运算性质性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如, x 时, 1 是无穷小, 但 n 个 1 之和为1, n n 不是无穷小. 性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量. 反之不然.
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
y
1 1 sin x x
无穷大举例
1 无限增大, 故 1 是当 x 0 (1) 当 x 0 时, x x 1 . lim 时的无穷大, 即 x 0 x (2) 当 x 0 时, ln x 取负值无限减小, 故 ln x
于无穷小的讨论.
例 2 求 lim
x 1
x 1
4x 1 . 2 x 2x 3
证因 lim( x 2 2 x 3) 0, 又 lim(4 x 1) 3 0, 故 x 1
x 2 2 x 3 0 0, lim x 1 4x 1 3

§1.4和1.5极限运算法则

多项式与分式函数代入法
1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有结论: 结论:
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
+ a1 x 0 + L + a n = f ( x 0 ). P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x ) x → x0 0 = f ( x 0 ). lim f ( x ) = = x → x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
sin x lim x→ ∞ x
1 limxcos x→ 0 x
1 limx ar ctan x→ 0 x
2
§1.5 极限运算法则
一、无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质定理1: 在自变量的同一变化过程中, 定理1: 在自变量的同一变化过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 小的代数和仍是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 1 1 但是无穷小，例如, n → ∞ 时, 是无穷小， n 个之和的极限为 1 . n n 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小

高数§1.4 无穷小与无穷大

x x0
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
x
•讨论
1. 很大很大的数是否是无穷大? 2. 无穷大的精确定义如何叙述？
否
•提示 lim f ( x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M
lim f ( x ) M0 X0 当|x|>X 时有|f(x)|>M
f ( x) A
对自变量的其它变化过程类似可证 .
x x0
lim 0
6
下页
二、无穷大无穷大的定义
如果当xx0(或x)时对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大。记为：
x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
15
设及是当xx0时的两个无穷小 d10 d20
取d min{d1 d2}
下页
三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
例如当x0时 x与sin x都是无穷小所以xsin x也是当x0时的无穷小
16
下页
三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
•定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小证明设函数 f 在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|d1}内有界即 M0 使当0|xx0|d1时有|f |M 又设是当xx0时的无穷小即0 存在d20 使当0|xx0|d2时有|| 取dmin{d1 d2} 则当0|xx0|d 时有 |f ||f |||M 这说明f 也是当xx0时的无穷小
1 ( 2) lim f ( x ) 0, 且f ( x ) 0 lim . x x0 x x0 f ( x) ( x ) ( x )

1.4无穷小、无穷大、极限运算法则

返回返回
三、无穷小的比较
引例 . x →0时, 1 Y=x Y=x2 1 1 2 0.1 0.01
x, x2 都是无穷小, 但
3 0.01 4 0.001 …… –> 0 –>0
0.000 0.0001 …… 001
所以无穷小趋于零的速度不一样，所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念
返回返回
例如： − 是很小的数，穷小量。例如： 1010000000000 是很小的数，但不是无穷小量。
2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的 3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变分析变化过程.如量 x 的变化过程如 x → 2时 x − 2 是无穷不是无穷小。小，但 x → 3时，则 x − 2 不是无穷小。返回返回
定义: 定义:设α, β是同一过程中的两个无 , 且α ≠ 0. 穷小 β (1) 如果lim = 0, 就说β是比α高阶的无穷小 , α 记作β = o(α); β β α低阶的无穷小. (2)如果lim = ∞, 就说是比低阶的无穷小. α β (3) 如果lim = C(C ≠ 0),就说β与α是同阶的无穷小 ; α β ; 特殊地如果lim = 1, 则称β与α是等价的无穷小 α 记作α ~ β;
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim β ′ . β′ α′ α α′
返回返回
tan 2x . 例5 求lim x→0 1 − cos x
1 2 解当x →0时, 1 − cos x ~ x , tan2x ~ 2x. 2 2 (2x) 原式= lim = 8. x→0 1 → 2 x 2

1.4 极限的运算法则

lim 2 x 1
3
更一般的，我们有如下的计算公式：若
f ( x ) a0 x a1 x
n
n 1
an 1 x an ,
则
lim a0 x n a1 x n 1 an 1 x an f ( x0 ).
x x0
x x0
1 f ( x) 1
是无穷大.
简言之, 无穷大与无穷小互为倒数.
例如, 当 x 1 时, x 1 是无穷小, 因此
2
1 x2 1
是无穷大; 是无穷小.
当 x 时, e
x 1
1
是无穷大, 因此 e x 1
归纳: 极限的几种情形：
lim xn a
n
x x0
lim f x A
n
1 1 0 1. n n 1 !

例4 求下列极限 ⑴ lim 2 x 2 4 x 3 ;
x2

⑵ lim
x 1
2x 1
2

x x3
.
解
1 : lim 2 x 2 4 x 3 lim 2 x 2 lim 4 x lim 3 x2 x2 x2 x2
2 lim x
例6 求极限 lim 解
x2 x 1 x 2x 2x 1
3 2
x
.
分子分母均除以 x 3，得
1 1 1 2 3 2 x x 1 x x x lim 3 lim 0. 2 x x 2 x 2 x 1 x 1 1 1 1 2 2 2 3 x x x
4 x 2 x24
x2